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Die Fresnelsche Beugungserscheinung an Ultraschallwellen und ihre Auswertung nach der Methode von Mascart.

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F.Mahler. Presnelsche Beugungserscheinung an Cltraschallwellen 689
D i e f l r e s n e I sche Beugungserscheiiaung
an Ultraschallwellen u n d ihre Auswertung
much der Methode von M a s c a r t l )
Porn Pratx M a h l e r
(Mit 12 Abbildungen)
I n h a l t : Intensitatsmessung der F r a u n h o f erschen,Reugungsordnungen
an stehenden Schallwellen. Intensititsverteilungen der F r e s n elschen Beugungserscheinung einer stehenden Schallwelle bei stroboskopischer Beleuchtung. Die
Flachen strukturlosar Intensit%tsverteilung hinter dem Schallfeld werden durch
Uberlagerung eeitlich aufeinander folgender Strukturen dargestellt. Nurnerische
Darstellung der Beugungserscheinungen mit der Naherungsmethode von Mas c a r t . Rerechnung der Ainderung des Brechungsindex im Schallfeld. Zusammenhang der Mascartschen Methode mit der Tiiplerschen Schlierenmethode.
Nachweis der Ubereinstimmung der berechneten Intensitaten mit Ergebnissen
der Theorie von R a m a n und N a t h und Messungen.
A. Einleitung
Die Untersnchung der Lichtstreuung infolge der Warmebewegung
der Molekiile fiihrte D e b y e - S e a r s und L u c a s - B i q u a r d 1932 zur
Entdeckung der Lichtbeugung an Ultraschallwellen. In den wenigen
Jahren seit ihrem Bekanntwerden haben viele Untersuchungen die
Beugungserscheinungen im Unendlichen, die sogenannte F r a u n hofersche Beugung, experimentell und theoretisch hinreichend klaren
konnen. Die Beugungsphiinomene in endlichem Abstand vom Schallfeld, die sogenannte Fr e s n e l sche Beugung , wurde dagegen fast
nicht beachtet, und cine numerische Darstellung der Intensitatsverteilungen ist wegen der schwierigen Losbarkeit der theoretischen
Ansatze ganz unterblieben.
In dieser Arbeit sol1 nun die Beugungserscheinung in endlichem
Abstand vom Schallfeld bei verschiedenen Bedingungen untersucht
und dann der Versuch unternommen werden, die Intensit'ataverteilungen
durch eine Naherungsmethode zu berechnen.
B. Literaturiibersicht
Zunachst moge eine kurze Besprechung der Arbeiten erfolgen,
die unmittelbar Bezug haben auf die gestellte Aufgabe, und deren
1) D 27 (gekiirzt).
690
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 34. 1939
Ergebnisse im folgenden Verwendung finden sollen. Im ubrigen sei
verwiesen auf die z usammenfassenden Berichte von R o (3 e w a l d I),
M eye r 7, G r o s s m an n 3), H i e d em a n n 4), B e rgm a n n 5).
D e by e O) zeigte, daB eine Schallwelle auf ein paralleles Lichtstrahlenbiindel ahnlich wirkt wie ein Strichgitter, und im Unendlichen
bzw. in der Brennebene einer Linse die einzelnen Ordnungen der
Fraunhoferschen Beugung 7, unter Winkeln erscheinen, die bei
Schallwelle und Strichgitter den gleichen Gesetzen gehorchen. Nach
B a r *) treten bei wachsender Schallintensitat auch hohere Beugungsordnungen auf, die aber wechselnde Intensitaten aufweisen: Teils
sinkt die Lichtstarke gleichmahig nach hoheren Ordnungen, teils
besitzt eine niedere Ordnung geringere Intensitat als eine hohere,
wobei der Verlauf abhangt vom Verhaltnis Licht- zu Schallwellenlange, von der Lange des Lichtweges im Schallfeld und von der
Schallintensitat. Diese besonderen Lichtverteilungen wurden zuerst
von R a m a n und Nathg) theoretisch aus einem speziellen Ansatz
der K i r c h h o f f Fresnelschen Beugungstheorie abgeleitet. Wird
die Schallwelle als ruherd angenommen, dann verandert sich eine
ebene, senkrecht auf das Schallfeld auffallende Lichtwelle im Schallfeld entsprechend den optischen Weglangen zu einer sinusformigen
Wellenflache, deren Fraunhofersche Beugungserscheinung zu berechnen ist. Die Abb. 1, S. 411 der angefuhrten Arbeit zeigt diese
relativen Intensitaten der Beugungsordnungen fiir verschiedene GroBen
der Schallintensitat. Bewegt sich die Schallwelle mit einer ihr eigenen
Geschwindigkeit duroh die Flussigkeit, so tritt nach dem Dopplereffekt eine FrequenzLnderung des einfallenden Lichtes ein. Bei einer
stehenden. Schallwelle erhalt man wegen des pro Periode 2maligen
Entstehens des Schallfeldes ein Frequenzgemisch derart, da6 jede
Ordnung in eine Reihe von Komponenten aufgespalten wird. Die
Werte der relativen Intensitat der Komponenten fur funf verschiedene
Schallintensitaten zeigt Abb. 3, S. 82 in der angefuhrten Arbeit von
R a m a n und Nath.
-
1) R o d e w a1 d , Ztfichr. f. techn. Phys. 15. S. 192. 1934.
2) Meyer, Phys. i. regelm. Ber. 2. 1934.
3) G r o s s m a n n , Handb. d. Exper. Phys. XVII, 1. Teil.
4) H i e d e m a n n , Ehg. d. exakt. Naturw. 1935.
5) B e r g m a n n , Uitraschall VDI-Verlag 1937.
6) D e b y e , Phys. Ztschr. 33. S. 849. 1932.
7) Die Ergebnisse der Fraunhoferschen Beugung miissen deshalb erwiihnt werden, weil sie spater zu einem Vergleich herangezogen werden sollen.
8) B a r , Helv. Phys. Acta 6. S. 570. 1933.
9) Raman u. N a t h , Proc. Ind. Acad. Sci. A. 2. S. 406, 413. 1935;
3. S. 76. 1936.
F. Mahler. Fresnelsche Beugungserscheinung an U ltraschallwellen ti91
Im Gegensatz zur Frttunhoferschen Beugungserscheinung an
Schallwellen ist die Fresnelsche Beugung in endlichem Abstand
hinter dem Schallfeld wenig beobachtet und behandelt worden.
In dem Schallfeld erfahren die Lichtstrahlen nach L u c a s und
B i q u a r d ' ) eine Ablenkung, so daB sie gleichsam wie durch eine
Zylinderlinse nach einer Linie konvergieren. Diese Konvergenzlinien
wurden zuerst von Bachem, H i e d e m a n n und Asbach2) bei fortschreitenden und stehendeu Scballwellen in geringem Abstand hinter
dem Schallfeld beobachtet. Nach der Theorie von R a m a n und N a t h
miissen auch diese im Endlichen sichtbaren Strukturen als Interferenzen der von der sinusf ormigen Wellenflache kommenden Strahlen
gedeutet werden. Um Interferenzstreifen zu erzeugen, mussen aber
die Lichtstrahlen erst die notige Wegstrecke zurucklegen, woraus
folgt, daB im Schallfeld selbst keine Interferenzstruktur zu sehen ist.
im
Die Struktur, die man mit der Toplerschen S~hlierenmethode~)
Schallfeld sichtbar machen kann, hat ihre Ursache in der h d e r u n g
des Brechungsindex der Flussigkeit durch die Schallwelle, da Helligkeit im Gesichtsfeld dieser Anordnung nur an den Stellen auftritt,
wo g r a d n von Null verschieden ist.
Hinter dem Schallfeld sind die Streifen in einem weiten Gebiet
nachweisbar. An einzelnen Stellen sind sie indessen durch eine
gleichmabig helle Lichtverteilung unterbrochen, wie N o m o t o *) zuerst
beobachtet hat. Diese ,,Verwaschungsstellen" kehren in gleichen
Abstanden wieder. Ihre gegenseitige Entfernung wurde bei stehenden
A" 1(n = 1, 2, 3 . . .) gefunden6). Auf der GrundWellen zu A D = n . 2
lage der Theorie,von R a m a n und N a t h gibt Nomoto einen Ansatz
fur diese Fresnelsche Beugung. Durch Betrachtung des umfangreichen Losungsintegrals vermag er allerdings nur unter sehr einschrankenden Bestininlungen anzugeben, daB die Lichtstrahlen in
gewissen Ebenen die Phasendifferenz Null besitzen und demnach die
Lichtintensitat in diesen Stellen iiber die ganze Flache konstant
sein mub.
Eine Auswertung der auf Grund der Raman-Nathschen Theorie
von Nomo t o nufgestellten Gleichung ist aber praktisch auBerst
schwierig. Aus cliesem Grunde wird hier versucht, zur Berechnung der
1) L u c a s u. B i q u a r d , Journ. d. Phys. (7) 3 . S. 464. 1932.
2) B a c h e m , H i e d e m a n n u. A s b a c h , Ztschr. f. Phys. S7. S. 734.
1934; 88. 8. 395. 1934.
3) S c h a r d i n , Toplersche Schlierenmethode, VDI-Forschungsh. 367.
4) N o m o t o , Proc. phys. math. SOC.Japan (3) 16. S. 402. 1936.
5 ) kz = SchallwellenlLnge, 1 = Lichtwellenliinge.
692
Annalen dei. Physik. 5 . Folge. Band 34. 1939
Intensitatsverteilung eine Naherungsmethode anzuwenden. M a s c a r t I)
hat bei Berechnung der F r a u n h o f e r s c h e n Beugung des Regenbogens,
die zu ahnlichen Schw ierigkeiten fuhrte, sich durch eine Yaherungsmethode geholfen, die M[o b i u s z, eingehend begriindete und auf ghnliche
F r a u n h o f e r s c h e Beugungsprobleme verallgemeinerte. Es liegt nun
der Gedanke nahe, diese Methode auch auf die F r e s n e l s c h e Beugung
an Ultraschallwellen anzuwenden. Revor dies geschehen kann, soll
ihre Brauchbarkeit erwiesen werden durch den Vergleich von Ergebnissen fur die F r a u n h o f e r s c h e Beugung, die einerseits R a m a n
und N a t h geben, und die andererseits sich au4 der Niiherungsrechnung
von M a s c a r t gewinnen lassen. Da R a m a n und X a t h in den Grundlagen der Theorie die Krummung der Lichtstrahlen im Schallfeld
vernachlassigen, wird es zmeckmaBig sein, die Genauigkeit ihrer
berechneten Intensitatsverteilungen mit Messungen zu belegen. Haben
die Betrachtungen Aul'schluB gebracht iiber die Brauchbarkeit der
Mascartschen Methocle, dann soll diese auf die Darstellung der
Fr e s n e l schen Beugungsbilder spezialisiert werden.
C. Experimenteller Teil
1. Beobachtungsanordnung
:I)
Plan d e r M e s s u n g e n
Die zuerst folgeiiden Intensitatsmessungen an den F r a u n h ojerschen Beugungsondnungen dienen dem erwahnten Vergleich mit
den Ergebnissen der Theorie von R a m a n und N a t h . Deshalb werden
die Intensitaten der einzelnen Ordnungen fur eine stehende Schallwelle gemessen, bezogen auf die Intensitat der ungestorten nullten
Ordnung, und in Abhangigkeit von der Lichtwellenlange und Schallintensitat.
Die Fresrte lschen Beugungsbilder werden dann so gemessen,
daB vom Schallfeld ab in mehreren Abstainden photographische Aufnahmen gemacht werden, um den Intensicatsverlauf i n der Lichtrichtung und in den zii ihr senkrechten Ebenen verfolgen zu konnen.
Zur rechnerisch leichteren Erfassung wird dabei von der stehenden
Schallwelle nur eine Phase gewahlt, so daB die Beugungserscheinung
einer sinusformigen Wellenflache zu berechnen ist. Die Abhangigkeit
der Strukturen von Lichtwellenlange und Schallwellenlange wird bei
jeweils drei verschiedenen Werten und fur eine Schallintensitit
ermittelt. Die Intensitatsverteilungen werden dann graphisch dargestellt, nachdem die Aufnahmen ein Registrierphotometer durch1) M a s c a r t , Trait6 d'optique 1889.
2) M G b i u s , Ann. d. Phys. $3. S. 79. 1910.
F. Mahler. Fresnel sche Beugungserscheinung a n Ultraschallwellen 693
laufen haben, und nach Eichung mit bekannten Helligkeiten die
Umrechnung von Photometerausschlag auf Intensitat erfolgte.
b) Apparaturbes c h rei b u n g
Den beiden Apparaturen zur Untersuchung der F r a u n h o f e r schen und Fr esnelschen Beugungserscheinungen ist gemeinsam der
Ultraschallsender und die monochromatische Lichtquelle.
Zur Erzeugung der Ultraschallwellen diente ein Piezoqiiarz von
der Eigenwellenlange 105 m in der Form von H. Straubell). Der
Schallquarz wurde an der inneren Seitenmand einer Kiivette festgekittet und die Erregung stehender Schallwellen in Nitrobenzol mit
Hilfe einer ihm gegenuber angebrachten Reflektorplatte hergestellt.
Zur Priifung und Herstellung eines exakten Schallfeldes diente die
Toplersche Schlierenmethode (a. a. 0.).Hierbei ergab sich, daf3 selbst
ein Quarz in obiger Form nicht hinreichend gleichmahig von der
Oberflache strahlte. Zur Korrektion wurde deshalb in etwa 1 cm Abstand eine mit Watte gepolsterte Korkscheibe mit einer rechteckigen
Blendenoffnung von 8 x 10 mm aufgestellt. Die Wirkung machte
sich nicht nur in bedeutend saubereren Fresnelschen Beugungsstrukturen bemerkbar, sondern zeigte sich auch in einer Anderung
der gemessenen Schallwellenlange um etwa 1O/,, gegenuber dem Wert
im unkorrigierten Zustand.
Zur Erregung des Quarzes diente ein Sender in Dreipunktschaltung mit einer Rohre R X 241 bei einer maximalen Anodenverlustleistung von 20 Watt. Diese Energie war notig, da fur einige
Messungen eine stroboskopische Beleuchtung gebraucht wurde und
dazu eine Kerrzelle vom gleichen Sender gesteuert werden sollte.
Die Kerrzelle folgt zwar bei den verwendeten Frequenzen von looHz
tragheitslos der angelegten Spannung, aber wegen des sinusformigkn
Stromverlaufes im Sender ist ihre Aufhellungsdauer verhaltnismaBig
groB. Sie ergab sich zu etwa 11, der Periode der Wechselspannung.
Zur Herstellung einer monochromatischen Lichtquelle wurde das
Licht einer Bogenlampe mit einem Leitzmonochromator zerlegt, dessen
Eichung rnit den Hg-Linien und He-Liuien erfolgte.
Aus der endlichen Breite des Eintrittsspaltes berechnet sich die
reziproke spektrale Reinheit des den Austrittsspalt verlassenden Lichtbundels nach Czapski-Eppensteinz) als die GroBe des Wellenlangenbereiches Ail, der auf das Bild des Eintrittsspaltes fallt. Fur
1) S t r a u b e l , Ztschr. f. Hochfrequenztechn. 35. S. 19. 1931.
2) C z a p s k i - E p p e n s t e i n , Theorie d. opt. Instr. 1924. S. 357.
694
Annalen der Physilc. 5. Folp. Band 34. 1939
den Leitzmonochromator ergab sich bei einer Breite des Eintrittsspaltes von 0 , 0 7 5 mm
A h - 3 6 A bei h = 0 , 4 3 5 p ,
A h = (i8A bei h = 0 , 4 9 6 p ,
Ail = 127 d bei 1 = 0,562 p .
Alle verwandten Objektive L, bis L, in den Abb. 1 und 2 waren
chromatisch gut korrigiert, um bei einem Wechsel der Wellenlangen h
keine Einstel€differenzen zu haben und vor allem den Strahlengang
durch das Schallfeld d,auernd parallel zu erhalten. Der Strahlengang
selbst war so genau justiert, daB eine Abweichung von nur +1" von
der exakten ParallelitStt vorhanden war.
Mit der beschriebenen Lichtquelle und dem Ultraschallsender
ergab sich dann f iir die besonderen MeBzwecke folgende Apparatur
zur Intcnsifatsmessuug der Fraunhofer schen Beugungsordnungen:
(Abb. 1).
Die Intensitaten der einzelnen Ordnungen lieljen sich wegen
der Inkonstanz der Lic htemission der Bogenlampe uber einen langeren
Abb. 1. Apparatur zur Intensitiitsmessung
der Fr a u n h o f e r schen Beugungsordnungen
Zeitraum objektiv nur schwierig messen. Ueshalb wurde die subjektive
Vergleichsmethode mil; dem Pulfrichphotometer gewahlt. Das monochromatische Licht vom Leitzmonochromator L M wird an einer
halbdurchlassigen Qlariplatte R getcilt und die Objektive L,, L, bzw.
L3, L, entwerfen zwei gleichgrolje Bilder des Austrittsspaltes von
LM auf der Mattscheibe M , die zur Vermeidung von Meflfehlern
durch verschiedene KSrnigkeit rotiert. Durch das Schallfeld in der
Kuvette K m Q wird das Spaltbild in der Brennebene von L2 in die
einzelnen F r a u n h o f e r schen Beugungsordnungen aufgespalten,
F . Hahler. Fresnel sche Beugungserscheinung an Ultraschallwellen 695
deren Helligkeiten durch Pulfrichphotometer Pupho mit dem zweiten
Spaltbild verglichen werden.
Apparatur zur Aufnahme der Fresnelschen Beugungsbilder:
Zur Registrierung der Gitterstrukturen in den verschiedenen
Ebenen lief3 sich auf einer optischen Bank ein senkrecht stehender
Photoplatt'enhalter P 1 langs der Lichtrichtung verschieben. Das
monochromatische Licht vom Leitzmonochromator L M w i d durch
.+.PI.
Abb. 2. Apparatur zur Aufnahme der F r e s n e l sehen Beugungsbilder
die Kerrzelle K Z zwischen zwei Zeisspolarisationsfiltern P und A
irn Takte der Schallfrequenz unterbrochen und fallt hinter dem
Objektiv L, parallel auf die stehende Schallwelle in der Kiivette K m Q.
ober ein kleines 90° Prisma kann wahrend der Belichtung die
Strukturverteilung in der Aufnahmeebene mit einer Fernrohrlupe F L
kontrolliert werden.
2. Messungen
a) R e d u k t i o n d e r M e s s u n g e n
Eine Umrechnung der Intensitatsrnessung i m Fraunhoferschen
Spektrum war nicht notig, da sich am Photometer sofort die relativen
Intensitaten, bezogen auf die ungestorte nullte Ordnung gleich 100 Ole,
ergeben.
Zur Messung der Lichtintensitat in der Fresnelschen Beugungserscheinung wurden mit einem rotierenden Sektor Intensitatsmarken
hergestellt, die vom Registrierphotometer (Zeiss) erhaltenen Ausschlage mit der bekannten Intensitat geeicht, und d a m die erhaltenen
Photogramme umgezeichnet auf Intensitaten.
b) E r g e b n i s s e d e r M e s s u n g e n
Fr a x n h o f er sche Beugxng :
Mit der MeBanordnung (Abb. 1) wurden die Intensitaten der
Beugungsordnungen ermittelt f u r eine stehende Schallwelle der
696
Annalen der Physik. 5 . Folge. Band 34. 1939
Lknge Ax = 0,530 mm bei den Lichtwellenlangen 1 = 0,596 p, und
il = 0,480 p. Aus den gut reproduzierbaren MeBwerten ergeben die
Mitte,lwerte einen Verlauf der relativen Intensitaten (in "/,,) der
9
X=Q@%
n=Q?6ll
Abb. 3a
einzelnen Ordnungen ni bei der j eweils maximal auftretenden Ordnungszahl v, wie ihn Abb. 11 zeigt.
F u r einen direkten Vergleich dieser Intensitatsverteilung mit
F . Mahler. Fresnelsche Beugungserscheinung an Ultraschallwellen 697
der von R a m a n und N a t h fur die gleichen Bedingungen berechneten fehlt noch die GroBe von An, die den Parameter der Schall-
- -
2n
liefert.
intensititen v = 1 A n I
W
w
33
4
Erstmalig kann in der vorliegenden Arbeit die Berechnung von A n
erfolgen (vgl. unter Abschn. D 3 b) und damit das Ergebnis der Messung
naher diskutiert werden.
698
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 34. 1939
Fr e w e lsche Beugungserscheinung
Die Beobachtungen und Aufnahmen der Fresnelschen Beugungserscheinungen erstreckten sich auf stehende Schallwellen bei
stroboskopischer Beleuchtung mit der Apparatur der Abb. 2.
Fur jede der 3 Schallwellenlangen:
Ax = 0,500 mm
Ax = 0,530 mm
A" = 0,580 mm
wurden jeweils bei 3 verschiedenenen Lichtwellenlangen
A = 0,480 p
A = 0,548 p
A = 0,590 p
die Lichtverteilung in Ebenen mit je 2 cm Abstand aufgenommen
und davon Photogramme hergestellt. Die Schallinterisitat blieb
konstant und hinreicheiid grog, um im Beugungsspektrum f 3 Ordnungen zu erhalten. Als Beispiel sei in Abb. 3 (S. 696 u. 697) nur
der Verlauf gezeigt fiir
?*x= 0,500 mm bei ?.= 0,596 p .
Die Kurven stellen einen Ausschnitt dar von zwei Schallwellen,
Breite gleich 1 mm, senkrecht zur Lichtrichtung in einer Beobachtungsebene, deren Entfwnung in Zentimeter von dem Schallfeld die
Zahl links unten angibi,. Die Ordinate gibt die Intensitat in einem
willkiirlich gewahlten MaBstab, da j a nur die relativen Lichtverteilungen unter sich verglichen werden sollen. Diese IntensitBtsdarstellungen zejgen , daB die Struktur bei dieser Schallintensitat
schon 2 cm hinter dem Schallfeld sichtbar wird, daB langs der Lichtrichtung fortschreitend die Maxima, deren gegenseitiger Abstand
eine Schallwellenlange betragt , immer groBer werden, wobei auch
ein oder mehrere Nebenmaxima auftreten, und daB an einer Stelle
die ganze Erscheinung verschwindet (bei 42 in Abb. 3b). Hinter
dieser ,,Verwaschungsstt:lle'' setzen sich die Linien fort, sind aber
gegenuber denen im ersten Gebiet um eine halbe Wellenlange versetzt. Dieser Rhythmus wiederholt sich mehrmals, ist aber durch
die Versuchsbedingung begrenzt, da sich auf groBe Entfernung kein
exakt paralleles Licht herstellen 1aWt. Der Verlauf ist bei allen Lichtwellenlangen in der Lichtrichtung ahnlich, nur liegen die Verwaschungsstellen in verschiedenen Entfernungen, und bei kurzeren Lichtwellen
verandern kleinere Nebenmaxima den Charakter der Hauptstruktur
ein wenig.
Die Lage und Ausdehnung der Verwaschungsstellen wurden bei
konstanter und stroboskopischer Beleuchtung fur verschiedene Lichtund Schallwellenlangen und Schallintensitaten naher untersucht.
Die Mitten dieser Stellen liegen in der graphischen Darstellung
(Abb. 4) auf Geraden, wobei die Kreise fiir die Verwaschungsstellen
bei konstanter, und die Kreuze bei stroboskopischer Beleuchtung gelten.
F . Mahler. Fresnelsche Beugungserscheinung an Ultraschallwellen 699
Abb. 4 zeigt, daB zwischen zwei Stellen bei stroboskopischer
Beleuchtung noch eine weitere Verwaschungsstelle bei konstanter
Beleuchtung auftritt. Der Abstand D der Mitten dieser Stellen voneinander gehorcht, wie schon Nom o t o (a. a. 0.) gezeigt, dem Gesetz,
A -@fc+4
b
d
I
5d
00
fl%?
Abb. 4. Lage der Verwaschungsstellen in Abhiingigkeit von Lichtwellenlange I
und Schallwellenlangen hx ,
1"
daB A D = fur konstante Beleuchtung. Nun zeigen aber die
I
Iiurven (Abb. 3) mit stroboskopischer Beleuchtung, daB gerade an
der Stelle, wo bei konstanter Beleuchtung eine Verwaschungsstelle
liegen soll, eine besonders ausgepragte Struktur zu sehen ist.
Wie ist diese Erscheinung zu erklaren? Bei einer stehenden
Schallwelle andert sich die Amplitude der Wellenflache periodisch
mit der Zeit und damit auch die F r e s n e l sche Beugungserscheinung, wo jeder Einzelphase der Schallwelle eine ganz bestimmte
700
Annalen der Physik. 5. Folp. Band 34. 1.939
Lichtverteilung zuzuschreiben ist. Es liegt nahe, einmal alle Einzelintensitaten, die man bei stroboskopischer Beleuchtung erhalt, an
diesen besonderen Stellen zu addieren, wobei es ausreichend ist.
nus den unendlich moglichen nur eine kleinere Anzahl, z.B. 7 Teilphasen auszuwahlen. I n den ,4bb. 5 und 6 sind stroboskopisch die
7
7
3
I
?
?
M
W
I
I
I
I
Abb. 5. .
Abb. 6.
Beugungsbilder in 15 cm (Abb. 5) und 21 cm (Abb. 6) Abstand vom Schallfeld
bei verschiedenen Sc,hallwellenphascn
Beugungsbilder der einzelnen Phasen der Schallwelle aufgenommen
und R ist die Summe der Einzelintensitaten. Die Phase ist charakterisiert durch die Anza.hl der zu beobachtenden Ordnungen (Zahl an
den Kurven links unten). Die Ebene der Abb. 6 liegt im Abstand
21 cm, die der Abb. 5 im Abstand 15 cm vom Schallfeld aus.
Die resultierenden Kurven bestatigen also die Vermutung, dab
die Verwaschungsstellen, die bei konstanter Beleuchtung in den Ent-
F. Mahler. Fresnelsche Beugungserscheinung a n Ultraschallwellen 701
fernungen D =n
-
1”
(n = ‘1, 3, 5
21
...j
liegen, durch nberlagerung der
Intensitatsverteilungen wahrend einer ganzen Schallperiode zustande
kommen.
D. Theoretischer Teil
1. Mascartsche Methode
In einer besonderen Arbeit hat Mobius1) die Methode von
Mas c a r t 2, mathematisch naher begriindet. Ihre Grundlagen sind
folgende:
Nach dem H u y g h e n s when Prinzip in der strengen E’assung
von K i r c h h o f f 3 ) ist die Lichterregung in einem Aufpunkt P gegeben durch
(1)
so
=I-- cos ( n r )
cos (n @,
2ri
.jsin2n
t
- I- a@ ) d S ,
wenn auf der den Punkt P umschlie6enden Flache S die Lichterregung anzusetzen ist mit
(;
s(t)=j.cos2n --
f )-
Es bedeuten dal-rei p den Abstand der Lichtquelle vom Flachenelement dS, r Abstand P von d S , und n die Normale auf dS.
Wird weiter angenommen, da8 die Flache S die Wellenflache
enthalt und auf den iibrigen Teilen von S die Amplitude f gleich
Null zu setzen ist, d a m wird p = konstant fur alle Punkte von
S. F e r n e r wird angenommen, daB die Wellenflache so deformiert
ist, daB sie in bezug auf den Aufpunkt P die endliche Anzahl von
m Polen haben moge, daB die Normalen in diesen Punkten auf der
Wellenflache durch den Punkt P gehen. Zerlegt man nun die game
Wellenflache in m Teile mit je einem Pol, wobei die einzelnen Teile
voneinander durch ausgezeichnete Punkte, z. B. Wendetangenten,
getrennt sein konnen, so la6t sich die G1. (1) schreiben als
m
m
v=l
v=l
v
mit Abkiirzung
(4)
1) M a b i u s , Ann. d. Phys. 3% S. 79. 1910.
2) M as cart, Trait6 d’optique 18S9.
3) D r u d e , Lehrb. d. Optik 1906. S. 169.
Annalen der Physik. 6. Folge. 34.
46
Annalen der Physik. 5. E’olge. Band 34. 1939
702
mahrend das Integral sich nur iiber den zum Pol gehorigen Teil
der Wellenflache erstreckt. Es laBt sich nun jedes Teilintegral
nach Integration in cter Form schreiben
s
t
(5) j‘ sin 2 a (T - -- - v j a s = F v c o s
:r
,A
1.
t
r
T
A
A
V
so dab schliefilich (4)mit (5) gibt
v=l
G1. (6) definiert die Methode nach Mascart. Sic! bedeutet, dat? das
Integral iiber die ganze Wellenflache ersetzt wird durch eine Summe
von m Einzelerregungen mit einer besonderen Amplitude F und der
sogenannten Phasenanomalie a,,.
Die GroBen F und 3’ sind natiirlich von der Form der Wellenflache abhiingig, lassen sich aber fur bestimmte Flachen leicht angeben. 1st die zum P o l gehijrige Wellenflache so stark deformiert,
daB sie sich nach der bekannten Fresnelschen Zonenkonstruktion 1)
in eine grofiere Zahl von Zonen aufteilen laat, dann muB sie nach
Mobius einige Bedingungen erfiillen, damit 6 und F ohne Integration
gefunden werden konnen. Dann kann die Mascartsche Methode mit
groBer Genauigkeit dilj Integration ersetzen. Aber selbst wenn die
Bedingungen nicht a l l e erfiillt .sind, kommt man noch zu brauchbaren Ergebnissen.
2. Spezialieierung der M a s car tschen Methode auf Ultraschallwellen
Es sol1 jetzt gepriift werden, ob diese Methode auch auf den
Fall der Lichtbeugung an Ultraschallwellen angewendet werden kann.
Aus den Versuctien dieser Arbeit ergab sich, daB die Deformation der sinusformigen Wellenflache bei der verwendeten Schallintensitiit ungefahr 10-4 mm betragt, d. h. weniger als eine Lichtwellenlange. Man ka.m also hier jede Polstelle nur als eine
F r e s n elsche Zone auffassen. Wegen der Kleinheit der Deformation
und der sinus-Form entfallen also die von Mobius aufgestellten
Bedingungen.
Die reduzierte Amplitude F wurde probeweise konstant gesetzt,
und die ‘ijbereinstirnmung der Rechnung mit der Theorie von B a m a n
1) D r u d e , Lehrb. d. Optik.1906. S. 169.
F . Mahler. Fresnelsche Beugungserscheinung an Ultraschallwellelz 703
und N a t h zeigte, dal3 diese Vereinfachung immer zulassig ist
(vgl. unten).
Die noch fehlende GroBe 6 sollte aus den G1. (3) bzw. (6) ermittelt werden. Der Zweck der Mascartschen Methode ist aber
gerade, 6 und F.moglichst ohne Integration zu finden. F u r einige
einfache Formen der Wellenflache hat Mobius den Wert d angegeben,
und es wird bei der Berechnung einer Beugungserscheinung zweckma6ig sein, eine beliebige Wellenflache aus Teilstucken zusammenzusetzen, denen diese Werte entsprechen.
Diese 6 sind berechnet fur den Fall, dab die Wellenflache so
orientiert ist, daB der Pol im Koordinatenanfangspunkt liegt, und die
Normale, die auch durch den Aufpunkt geht, die Achse des Systems
bildet. L a & man den Aufpunkt P sich senkrecht z u r Achse verschieben, so wird auch der Pol auf der Wellenflache wandern.
Nach Mobius kommt man in diesem Falle zu folgendem Ergebnis:
Die Gestalt eines Hauptschnittes der Wellenflache kann am
Pol als kreisformig angesehen werden, wie auch immer die Gleichung
der Wellenflache in diesem Punkt tatsachlich lautet.
F u r die Wellenflache hinter dem Schallfeld sind somit die
Werte 6 zu wahlen, die fur eine aus Zylindern zusammengesetzte
Flache gelten:
bei einem konvexen Zylinder:
I
6 =4’
bei einem konkaven Zylinder: 6 = 3:s
(7)
Wie man ohne weiteres sieht, andert sich nichts am Resultat,
wenn bei einer periodischen Wellenilache f u r die Pole in einem
konvexen Teil 8 = 0 gesetzt und fur einen Pol im konkaven Teil
d=
zur normalen Phasendifferenz addiert wird.
5
3. Geometrische Betrachtungen
zur Berechnung der optischen Weglangen
Die Voraussetzungen sind also erfiillt fur die Anwendung der
Methode von M a s c a r t zur Berechnung der Lichtbeugung an Ultraschallwellen.
Die Gesamtrechnung hat sich aus folgenden Einzelberechnungen
zusammenzusetzen :
a) Bestimmung der Gleichung fur die Wellenflache;
b) Bestimmung der Lage der Normalen auf der Wellenflache,
die gleichzeitig auch durch den Aufpunkt gehen.
c) Berechnung des geometrisch-optischen Lichtweges vom Pol
zum Aufpunkt.
46 *
704
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 34. 1939
d) Berechnung der Phase aus c rnit Beriicksichtigung der
Phasenanomalie.
e) Intensitit im Aufpunkt aus vektorieller Addition der einzelnen
Amplituden F mit zuijehoriger Phase aus d.
a) B e s t i m m u n g der G l e i c h u u g der Wellenfliiche
Die Berechnung der Lichtbeugung sol1 auf der gleichen vereinfachenden Voraussetzung erfolgen, die R a n i a n und N a t h zur
Berechnung der F r a u nhoferschen Beugung gewahlt haben, da nur
dann ein Vergleich ihrer theoretischen Ergebnisse mit den aus der
Mascartschen Methode erhaltenen Werten iiber die Leistungsfahigkeit der letztereii Auskunft geben kann.
Befindet sich in einer E'lussigkeit mit dem Brechungsindex no
eine ruhend gedachte Schallwelle, dann verandert sich no zu
(8)
n =no
+ A n cos-,2 I"n x
wo A n die grol3te Anderung von no und
bedeutet.
1" die Schallwellenliinge
Hatte eine Lichtwelle
A
=A,
27c Y cos 2
A
im ungestorten Medium die Strecke I - n o zuruckgelegt, so hat sicli
diese verandert zu
2nx
1.n = 1 no + A n cos),
(
je nach dem Ort 5 tles Eintritts in das Schallfeld. Eine Wellenflache ist so definiert, daB die von der Lichtquelle zur Wellenflache
xuriickgelegten optischen Wege gleich sind. W i d nun das Koordinatensystem so gelegi;, da8 die y-Achse mit der Lichtrichtung iibereinstimmt und die 5-Achse parallel ist der Schallrichtung in der
Austrittsebene der Ldchtstrahlen aus dem Schallfeld, dann lautet
die Gleichung der Wellenfliiche
s = - l . A n c o s T ?2 7 t X
(9)
wo s die Abweichung eines Punktes der E'lache von der Ebene
y = 0 ist.
b) Anderung d e s Brechungsindex
Die absolute Rerechnung der Intensitatsverteilung in einem
Aufpunkt P bedarf der Kenntnis der Anderung des Brechungsindex.
Aus den Prinzipien der Mascartschen Methode wird es im folgenden
moglich sein, zunachst dieses A n zu bestimmen.
F. Mahler. Fresnelsche Beugungserscheinung an UltraschaUweUen 705
Die beiden Strahlen der Abb. 7, deren Aufpunkt im Unendlichen
liegt, haben die gleiche Neigung (p gegen die y-Achse, wahrend ihre
Ausgangsorte auf der Wellenflache um eine Schallwellenlange 1"
auseinanderliegen. Ihr gegenseitiger Wegunterschied b ergibt sich
sofort aus der Abbildung
zu b = 15sin'p.
Wird b ein Vielfaches
der Lichtwellenlange I,
so ist
(lo)
1
sin 'p = m . P
1
m = 0, 1, 2
.. .
die Bedingung, unter welchen Winkeln Intensitkititsmaxima im Unendlichen
auftreten konnen.
Durch Differenzieren
der Gleichung der Wellen&ache (9) erhalt man die
Neigung 'p ihrer Tangente
gegen die x-Achse:
Nach Abb. 7 ist
Der Winkel
'p
(p
Abb. 7 . Gr6Bte Neigung der Normalen
auf der Wellenflache
auch die Neigung der Normalen gegen die y-Achse.
I"
wird ein Maximum fur x = -,
also
4
2n
em,,= 1 . A n --.
I"
(12)
Da nach der Auffassung von M a s c a r t - M o b i u s im Aufpunkt nur
merkliche Wirkung eintritt, wenn eine Normale der Wellenflache ihn
trifft, so kann ma,n fragen, unter welchen Bedingungen eine Wellennormale in die Richtung der F r a u n h o f e r schen Beugungsordnungen
hinweist. 1st der gro6te Normalenwinkel vmaxgerade gleich dem
Beugungswinkel y fur die erste Ordnung, so gilt mit (10) und (12):
,,p(,
= 'p
I
2n
also = 1 . An--.
1'
I"
Das ist aber nur der Fall, wenn
Dies bedeutet aber nichts anderes, als da6 mindestens diese
xnderung des Brechungsindex notwendig ist, damit uberhaupt im
706
Annalen der Physik. 5. Polge. Band 34. 1939
Beugungsspektrum die erste Ordnung auftreten kann. Hiermit ist
ein Zusammenhang hergestellt zwischen der Anzahl der beobachteten
Ordnungen und der Schallintensitat. Man kann die Beziehung 14
noch erweitern: da j a die Beugungswinkel ein Vielfaches von Ljh"
sind, wird bei maxiuoaler Anzahl i der Ordnungen die Anderung
von no gegeben sein durch
Fiihrt man nun A n i:n die Gleichung der Wellenflache ein, dann wird
Formel 15 1aBt sich aber auch schreiben
i = I . An,. 2An
Vergleicht man i mit dem Wert 9, den B a m a n und N a t h bei ihren
Rechnungen als Abkiirzung einfuhrten, d a m sieht man, daB
2 = w
-
d. h., da8 die Ordnungszahl i identisch ist mit der von R a m a n und
N a t h als Maf3 der Schallintensitat eingefiihrten Zahl v.
Bei einer Betraclitung der Lichtbeugung im Schallfeld in der
Auffassung von R a m a n und N a t h fallt die xhnlichkeit auf mit der
Lichtablenkung in einer Schliere nach der T 6 p l e r s chen Schlierenmethode. Diese Methode ist von S c h a r d i n l) weiter ausgebaut worden,
so da6 sich aus der Helligkeit im Schlierenbild qnantitativ Riickschliisse ziehen lassen auf die ortliche h d e r u n g des Brechungsindex
im Objekt, da die Helligkeit in jedem Bildpunkt proportional ist zur
Ablenkung E des Lichtstrahles im Objektpunkt, solange E kleiner & 49
1st in einem Medium der Zustand von n auf Parallelen zur
y-Achse konstant und 1 die Lange der vom Lichtstrahl durchlaufenen
Schliere, dann ist
& =
1
. -d-n
dx
no
.
Treten die abgelenkten Strahlen aus dem Schallfeld in Luft, SO vergr06ert sich E zu E . no = y . Durch die Schallwelle ist no verandert zu
2n 2
$Q = n o + A n c o s - -I.?,
also
d n_
. _2nx
_
= - A n 2 n sin
dX
kX
t"
~
1) S c h ar din, VDI-Forschungsheft 367. 1934.
F . Mahler. Fresnelsche Beugungserscheinung an Ultraschallwellen 707
und die Winkelablenkung
Andererseits ist nach Formel (11) die Richtung der Normalen auf die
Wellenflache :
2n . 2 n ~
y =-=-lAn-ssm-.
dY
I"
I"
ax
Der Vergleich zeigt, daB y~ = y' die Normalenrichtung gleich dem
,4blenkungswinkel ist, d. h. die Mascartsche Methode in der vorliegenden Anwendungsform benutzt die Ablenkungswinkel einer
Schliere, bei Auffassung des Schallfeldes im Sinne der Schlierenmethode. Mit der Schlierenmethode wird sich also die Anderung des
Brechungsindeg direkt 'aus der Messung des grad n bestimmen lassen.
I
c) L a g e der Normalen auf der W e l l e n f l a c h e
Fur die Wellenflache 61. (9) ist die Neigung der Normalen gegen
die x-Achse.
(17)
- -1 = Sl
AX
2n X
1 An 2n sin --
I"
Die Bedingung, daB eine Nonnale auf der Wellenfliiche im Punkt P,
auch durch den Punkt Pi (zlyl) geht, wird erfullt durch
(3,y,)
I'
Wird hierin yz gegen y1 vernachlassigt, da y, von der GroBenordnung lo2 mm und ya ungefahr
mm ist, dann lautet (18)
mit (15):
2, - 2,
L2
. 2nx,
-.
= sin I-.
19)
Y1
ADies ist die Bestimmungsgleichung fur den FuBpunkt P, (z29,) der
Normalen auf der Wellenflache. Zur ubersichtlichen Bestimmung
vieler x,-Werte aus GI. (19) eignet sich am besten eine graphische
Losung. Man kann zu diesem Zweck G1. (19) in zwei Teile zerlegen.
so daB sich die Werte x, als die Abszissen der Schnittpunkte einer
Geraden z1 mit einer Sinusfunktion z2 ergeben.
708
Annalen dar Physik. 5. Folge. Band 34. 1939
d ) Berechnung der o p t i s c h e n Weglangen
Fr a u n h o f e r sche Beugung
Wie direkt bei Betrachtung der Wellenflache (Abb. 8) zu ersehen
ist, gibt es f u r jede Riohtung cp in einer Periode A” immer 2 Normalen,
die aber je nacli GrbBe von y verschiedene Lage zueinander und
also auch verschiedene Phasendifferenz besitzen. Daraus folgt,
dab die Intensitatsverteilung im
F r a u n h o f e r s c h e n Spektrum von
zwei Faktoren beeinflufit wird:
1. Die Beugungsmaxima sind
ihrer Lage und Anzahl nach bestimmt durch einq mit AX periodische Wellenflache, deren Deformation hinreichend grog sein
mug, damit fur die gr06te Neigung y i der Kormalen gegen die
Abb. 8. Lage und Gangunterscbied Nullrichtung eine Wegdifferenz i?,
auftreten kann.
der Normalen auf Wellenflache
fur Fraunhofersche Beugung
2. Wegen der speziellen
sinusformigen Art der Wellen&che gibt es fur jede Beugungsrichtung innerhalb einer Wellenrange h* zwei Normalen, die untereinander eine Phasendifferenz besitzen und die Intensitat der einzelnen Ordnungen bestimmen.
Der Wegunterschied f u r die zwei Normalstrahlen ist aus der
Abb. 8 abzulesen. F u r jeden Strahl gilt
Da y sehr klein, ist c o s y = 1 und sin y = m . - und mit y, aus
A
der G1. 16 ist endlich der Wegunterschied der beiden Strahlen
AX
F r e s n e l sche Beugung
Die Weglange, die jeder Strahl von der Wellenflache bis zum
Aufpunkt zuruckzulegen hat, und die die Phase bestimmt, laBt sich aus
Abb. 9 berechnen. Da yl, die Abszisse von P,, groB und in der
Weglange jeder Normalen enthalten ist, geniigt die Berechnung des
Weges von der Wellenflache bis zum Kreis mit yI urn PI. Die
exakte Entfernung P, I’, ist
ez = (x2- 2 ~ 2 (yz - y~,.
m2:=
+
F. Mahler. Fresnel sche Beugungserscheinung an Ullraschallwellen 709
An ihre Stelle sol1 die Streclte P,BAP gesetzt werclen, die sich
zusammensetzt aus s + b + yl.
Die Zulassigkeit dieses Ersatzes
geht unmittelbar aus
der Berechnung ihres
'iiberschusses iiber e
hervor. Es sei
P,C = P, B,
dann ist
P,B=s
und P , C = s . c o s c p .
Nun kann aber nach
dem vorigen Bbschnitt
der Winkel nie grBBer
werden als der groBte
Beugungswinkel, und
weil hier nur drei
Ordnungen auftreten, Abb. 9. Lage und Gangunterschied der Normalen
wachst y nicht iiber
auf Wellenflache fur F r e s n e l s c h e Beugung
t 2O.
Also wird P, C nie groBer als s cos 2 O = s (1 - 6
werden.
Fur
i = 3 ist smBx
= 4 lW4,
so daB der Fehler
s - P,C = 2,4 lO-?rnm
-
-
-
0
gegeniiber dem exakten Wert vollkommen vernachlassigt werden kann.
Die Strecke A B ist nach Sekanten-Tangentensatz
I m Nenner laBt sich b gegen 2 y 1 vernachlassigen, so das
und
s = yz=---
il
2 7l x*
cos
2?C
lX
~
'
also der Wegunterschied A s = b - s.
Zur graphischen Ermittlung der x2 ist nach (20) eine Gerade
mit einer Sinusfunktion zum Schnitt zu bringen. Die Richtungskonstante der Geraden ist umgekehrt proportional zu yl, der Entfernung des Aufpunktes, so daB die Zahl der moglichen Normalen
mit groBer werdender Entfernung recht hohe Werte annehmen kann.
710
Anlzalen der Physik. 5. Folge. Band 34. 1939
Mit wachsendem x2 nelimen aber die optischen Weglaingen wegen b
rasch zu. Bei einer .Knderung der Amplitude s der Wellenflache
variieren auBerdem fiir griiWere x2 die Phasen starker als fur
kleine xs. Damit werden die entfernteren Strahlen wahrend einer
kurzen Zeitspanne , bedingt durch die Aufhellungsdauer der Kerrzelle, sich im Mittel in ihrer Wirkung aufheben und zum Interferenzbild der nahen Strahlen hiichstens als allgemeine Helligkeit
beitragen. Die nberlegung, nach der man in der Rechnung die
%ah1 der interferierenden Strahlen begrenzen kann, stimmt mit der
durch eigene Beobachtung nachgepruften Angabe von Nomo t o l)
iiberein, daB das Lichtbundel durch das Schallfeld eingeengt werden
darf auf drei Schallwellenbreiten, ohne daB die Beugungserscheinungen
beeinflu& werden. Damit ist eine Begrenzung der Anzahl der
rechnerisch zu berucksichtigenden Lichtstrahlen zum Aufpunkt auf 7
A”
aus einem Bereich von & 3 - a- gerechtfertigt.
e) Phase u n d I n t e n s i t a t
Von den im vorigen Abschnitt erhaltenen Wegunterschieden d s
kommt man zur entsprechenden Phase y durch Multiplikation mit
2%
T2. 7%
, L l.=
- - A S.
(23)
1
AuBerdem ist zu allen. Werten der Phase q,, deren x2 aus einem
konkaven Teil derWellenflache stammt, noch die Phasenanomalie 6’ = 22
zu addieren. Bei einer graphischen Berechnung der Intensitat setzen
sich die einzelnen Anteile F (11) an der Lichterregung im Aufpunkt
vektoriell zusammen; das Quadrat der Vektorsumme stellt die
gesuchte Intensitat dar.
4. Elrgebnisee der Rechnungen
Fr azcwho f e r sche Beugungserscheinung
Als Prufstein fur die Anwendbarkeit der Mascartsclien Methode
sollte der Leistungsvergleich mit der Rechnung von R a m a n und
N a t h dienen. Wir wahlen dazu die F r a u n h o f e r s c h e Beugung an
einer ruhend gedachte n Schallwelle, fur welche die theoretischen
Ergebnisse von R a m a n und N a t h der .~4bb.1 (a. a. 0.) zu entnehmen
sind. Eine solche Scha.llwelle besitzt eine sinusformige Wellenflache,
auf welcher die Normaden mit den FuBpunkten x2 (Formel 19) nach
den unendlich entfernten Beugungsordnungen gerichtet sind und
deren Intensitaten sioh entsprechend den optischen Weglangen
1) N o m o t o , Proc. Math. Phys. SOC. Japan (3) 19. 1937. S. 255.
F. Mahler. Fresnel sche Beugungserscheinung an Ultraschallwellen 711
(Formel 21) bestimmen. Damit ergeben sich fur eine Schallwelle
(A. = 0,500 mm) mit maximal i = f 3 Ordnungen fiir die Lichtwellenlange 1 = 0,596 y die Intensitaten J der einzelnen Beugungsordnungen m wie Abb. 10 angibt. Die W-erte J sind mit den von
R a m a n berechneten (Abb. 1 a. a. 0.) fur den Parameter i = v = 3
zu vergleichen. Eine obereinstimmung, nicht der absoluten Griitie,
aber dem Sinne nach ist vorhanden: Abb. 10. 'Bei R a m a n besitzt
Abb. 10. Intensitiiten der F r a u n h o ferschen Beugungsordnungen
einer ruhend gedachten Schallwelle
fur 2, = 2,5 die nullte Ordnung ein Minimum. Untersuchen wir
deshalb, ob nach der obigen Methode das gleiche Resultat zu
erhalten ist. In der Formel 21 wird f u r m = 0:
je nachdem ob
5, = 0
l=
oder xa = --2
I
Fur ein Minimum mug A s = sein, und es ergibt sich i bei
2
rc
- entsprechend h/4 Berucksichtigung' der Phasenanomalie 6 =
fur die beiden Strahlen 1 und 2 (Abb. 8).
d. h. f u r i = 2,4 ware die nullte Ordnung von verschwindender
Intensitat. Rechnet man die Intensititsverteilung unter den gleichen
Bedingungen wie fur i = 3, jetzt fur i = 2,4, so erhalt man Werte,
die mit denen von R a m a n verglichen recht gute fjbereinstimmung
zeigen : Abb. 10.
712
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 34. 1939
DaB diese beiden Berechnungen mit den aus der Integration
erhaltenen Werten ubereinstimmen , kann als hinreichender Beweis
dafiir gelten, daB,die Anwendung der Methode von M a s c a r t fiir
die Lichtbeugung an Tlltraschallwellen zuliissig ist.
Die obigen Bereehnungen der Intensittlten galten fur eine
ruhend gedachte Schallwelle. Um eine solche Sc,hallwelle sichtbar
zu machen, miiBte man eine fortschreitende oder stehende Schallwelle intermittierend mit unendlich kurzer dufhellungsdauer der
Kerrzelle beleuchten.
Auch fur eine stehende Schallwelle berechnete R a m a n die
Stirke der Komponenten mit verschiedenen Frequenzen und erhielt
I
I
%
3
Abb. 11. Intensitaten der F r a u n hoferschen Beugungsordnungen
( h e r stehenden Schallwelle
die Intensitatsverteilurigen der Abb. 3 (a. a. 0). Summiert man ohm
Riicksicht auf die Frequenziinderung I) die einzelnen Komponenten,
so ergibt sich ein Verhuf, der in Abb. 11 mit den eigenen Messungen
(Abschnitt C) verglichsn wird.
Die beiden zusammengehorigen Kurven, die na.ch R a m a n
berechnete und die fur I = 0,596 p , stimmen in ihrem Charakter
1) Nach R a m a n ist die gr6Dte Frequenzlnderung Fur eine geradc
Ordnung A Y = It 2 n . vx
Fur v X = 3 . lo8, n = 4, 1 = 0,5 p ergibt sich eine
Anderung dcr Wellenlange A i= 2 lop4 A. Vergleicht man hiermit die wirksame Breite einer Spektrallinie ( K o h l r a u s c h , ; Lehrb. d. Prakt. Phy:. 192i,
S. 308), die fur die H-Liiiie A = 0,656 p angegeben wird zu A 1 = 0,2 A, dann
erkennt man hieraus, dil3 die Frequenziinderung des Lichtes noch in der
Hreite einer Spektrallinie untergeht und folglich zu vernachlassigen ist.
.
-
F. Mahler. Fresnelsche Beugungserscheinuny an Ultraschallwellen 713
vollkommen uberein, wenn auch nicht den absoluten GrGBen nach.
Vor allem sei aufmerksam geniacht auf das Intensitatsmaximum
der ersten Ordnung bei v = 2,75, das sich fur die Lichtwellenlange
lL= 0 , 4 8 0 ~verschoben hat nach v = 2,l. Um diese Verschiebung
zu verstehen, muB die Abhangigkeit der GrOBe v von il bei konstanter
I m Ausdruck v
Schallintensitat festgestellt werden.
=
1 . An
*
2.
andert sich mit h auch n und A n . Fur die h d e r u n g von n mit
dem Druck gilt:
~
.
(na-t 2)
d n = k _(n2
_ __ _1)
__
dP
tin
wo k die Kompressibilitat und n der Brechungsindex als bekannt
vorausgesetzt werden. Wird bei kleinem Druckunterschied gesetzt
diz
-
dp
An
AP
und bleibt die Schallintensitat (dp) konstant, dann wird v beim
Wechsel von h, = 0,596 p auf ;I, = 0,480 p zu v 2 = 1,29 v,. Aus
den Kurven erhalt man in guter Ubereinstimmung v2 = 1,31 vl.
Dieses Verhaltnis besagt , daB eine Verschiebung des Intensitatsverlaufes eintritt, d. h. die gleiche Intensitat einer Ordnung wird
fur I , eher erreicht als fiir A,, demnach liegt auch das Maximum
f u r die erste Ordnung bei kleineren v. Aus diesen Beziehungen
folgt weiter:
Fur konstantes il ist
A n = 2.- b = hi
2 nl
und weiter
An
AP
- g,
wo g und h konstant sind.
Aus diesen beiden folgt: i =
d p . Die maximal auftretende
Anzahl i der Beugungsordnungen ist direkt proportional dem Schalldruck und unabhangig von der Schallwellenlange und kann daher
als MaB der Schallintensitat dienen.
$-
Fr e sn e 1 sche Beugungserscheinung
Die rechnerische Darstellung der Beugungserscheinungen im
Endlichen gestaltet sich mit der Methode von M a s c a r t nicht
schwieriger als die Fraunhofersche Beugung. Die Berechnung
sol1 nur fur einige Ebenen der Messungen (Abb. 3) nach den im
vorigen Abschnitt erhaltenen Formeln durchgefiihrt werden. F u r
eine ruhend gedachtk Schallwelle (A" = 0,500 mm) bei monochromatischer Releuchtung h = 0,596 p sind die Gesamtergebnisse in den
714
Annalen dev Physik. 5. Folge. Band 34. 1939
Kurven (Abb. 12) dargestellt fur die Entfernungen des Aufpunktes
vom Schallfeld y1 = 70.,290, 410, 490 mm und bei zwei verschiedenen
Schallintensititen i. Eii sei besonders bemerkt, daB jede Kurve streng
durch die 20 Einzelwerte pro Schallwellenlange gelegt und keine
Korrektur durch graph ische Ausgleichung vorgenommen wurde.
R
R
ww\sv
R
Abb. 12. Fresnelsche Beugungsbilder bei verschiedener Schallintensitlt
berech.net mit Methode von Mascart
Wegen der Lange tler Aufhellungsdauer der Kerrzelle wirkt nicht
nur die Phase maximaler Schallwellenamplitude mit i = 3 Ordnungen,
sondern auch noch d,e zeitlich benachbarten Phasen mit i = 2
werden zum Beugungsb tld beitragen. Addiert man daher die beiden
Kurven fur i = 3 und i = 2, so ergeben sich die resultierenden
Intensitatsverteilungen A%, die mit den Messungen Abb. 3 i n recht
guter nbereinstimmuiig stehen. W enn auch die relativen Intensitatsverhaltnisse der Haupt- zu den kleineren Nebenmaxima nicht ganz
erfiillt sind, so zeigen doch einmal deren gleiche Anzahl und die
F . Mahler. Fresnel sche Beugungserscheinung an Ultrascliallwellen 715
Verschiebung der Struktur bei y = 490 urn eine halbe Schallwellenlange gegenuber den vorhergehenden Kurven vollige Analogie zu
den Beobachtungen. Bei y = 410 sollte eigentlich nach dem MeRergebnis Abb. 3 eine Verwaschungsstelle liegen. Man kann zwar
die Struktur des Bildes R nicht einer gleichmafiigen Helligkeit ohne
weiteres gleichsetzen, doch ist die Tendenz zum Ausgleich unverkennbar und wiirde durch Einbeziehung weiterer Zwischenphasen
noch zu vervollkommnen sein. Es lafit sich noch aus den beiden
Einzelkurven y = 410 aeiter erkennen, daW die Bildfolge fur gro6ere
Schallintensitaten (i = 3) eine andere ist als bei geringerer (i = 2),
woraus man wohl schlieBen kann, daB auch die noch bei stroboskopischer Beleuchtung an den Stellen D =
1s
-r
beobachteten
2
Flachen
gleicher Helligkeit als Verw aschungsstellen durch zeitliche Aufeinanderfolge der raumlich versetzten Strukturen nus den verschiedenen Phasen der Schallwelle entstehen. Einen endgiiltigen
Entscheid konnte nur eine Beobachtung mit einem Stroboskop Q O
auEerst kleiner Aufhellungsdauer herbeifuhren.
5 . Folgerungen
Die recht gute Qbereinstimmung der Berechnungen rnit Hilfe
der Mas c a r t schen Methode mit den Reobachtungen zeigt, daE diese
Naherung weitgehend die meist umstandlichen Integrationen ersetzen
kann. Man wird noch bessere Ergebnisse erzielen, wenn die
Krummung der Lichtstrahlen im Schallfeld rnit berucksichtigt werden
kann. Die Erfolge erwecken die Hoffnung, da6 sich auch die Lichtbeugung bei schiefem Lichteinfttll und die kiirzlich von B e r g m a n n ' )
gefundene F r a u n h o f e r sche Beugungserscheinung an mehreren
Schallwellen mit dieser Naherungsmethode iibersichtlich berechnen
lassen werden. Voraussetzung ist allerdings, dab sich in jedem
Fall die Gleichung fur die WellenAache in einfacher Weise darstellen la&.
Zusammenfassung
Die F r a u n h o f e r s c h e Beugungserscheinung an Ultraschallwellen
ist schon fruher in jeder Hinsicht experimentell untersucht worden,
und die theoretische Darstellung von R a m a n und N a t h steht rnit
den Beobachtungen in volliger Qbereinstimmung.
Eine Berechnung der Fresnelschen Beugungsbilder auf Grund
der Ansatze von R a m a n fiihrt zu schwierigen Integrationen. Deshalb
wurde die Naherungsmethode von Masca r t auf die vorliegenden
1) B e r g m a n n , Ztschr. Phjs. 109. 1938. S. 1.
~
716
Annalen de?. Physik. 5 . Folge. Band 34. 1939
Beugungsverhaltnisse spezialisiert. Ihre Brauchbarkeit konnte bewiesen
werden durch einen 'Vergleich mit den Rechnungen von R a m a n ,
fur F r a u n h o f e r s c h e Beugung, deren Ergebnisse mit den eigenen
Messungen ubereinstimmten. Die wegen ihrer Kleinheit bisher
unbekannt gebliebene h d e r u n g des Brechungsindex inuerhalb des
Schallfeldes konnte jei;zt rechnerisch ermittelt werden. Dabei stellte
sich ein Zusammenhang heraus zwischen der Mas cartschen Methode
und der Toplerschen Schlierenmethode, mit der es moglich sein
wird, das A n direkt zu messen. Der Vergleich mit den theoretischen
Ergebnissen von R a m a n und N a t h brachte weiter, da6 ihre MaBzahl fur die Schallintensitat gleich der Zahl der auftretenden
Ordnungen ist, und diese wiederum direkt proportional dem Druck
in der Schallwelle ist.
Aus den Beobachtungen der Fresnelschen Beugungsbilder
ergab sich, daB die in Ebenen hinter dem Schallfeld auftretenden
Plachen strukturloser Helligkeit, die ,,Verwaschungsstellen", die in
den Entfernungen D = k 21,(k = 1,3,5 ...) bei konstanter Beleuchtung
liegen, durch oberlagerung der Intensitatsverteilungen aller Phasen
der Schallwelle zustande kommen. Aus den berechneten Kurven laBt
sich schliegen, daB auch die noch bei stroboskopischer Beleuchtung
verbleibenden Verwaschungsstellen durch die Anderung der UTellenflache wahrend der Aufhellungsdauer der Kerrzelle bedingt sein
konnen. Einen Entscheid kaun nur eine stroboskopische Anordnung
mit unendlich kurzer Aufhellungsdauer bringen.
J e n a , Institut f u r angewandte Optik, August 1938.
(Eingegnngen 11. Januar 1939)
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