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Die Geometrie der Lage in ihrer Anwendung auf die Krystallographie.

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X. Die Geonzetrie der L a g e in ihrer Anwerndwng
auf d i e Kr?JstaZlographdel);v o n Ewg. B ZasiPGs.
I n der letzten Arbeit2) uber diesen Gegenstand wurde
darauf hingewiesen, ctass die Mobius'schen Netze zwar den
Ausgangspunkt fur die SQ wichtige Lehre ron der col1ine:tren
Verwandtschaft bildeten , dass aber die Theorie der Netze
spater nicht so weit durchgefuhrt wurde wie viele andere Geisiete der Geometrie, namentlich die Lehre von der Collineation
selbst. Aus diesem Grunde wurden bei der Anwendung der
Geometrie der Lage zuerst 3, diejenigen krystallographischen
Probleme in Angriff genommen, welche sich ohne Bezugnahine
auf die Netze behandeln liessen. Nebenbei wurde aber auch
an einer Reihe von Beispielen bewiesen, dass inan bei der
Untersuchung der Netze von den Methoden der neueren Geometrie ebenfalls mit Vortheil Gebranch machen kann. Dieser
Nachweis sol1 im Folgenden weiter gefuhrt und durch Sngabe
neuer Resultate gestiitzt werden.
Das Mobius'sche Netz in der Ebene wird bestimmt durch
vier Geraden, von denen keine drei durch einen Punkt gehen.
Qerbindet man die Schnittpunkte derselben durch neue Geraden, sucht deren Schriitte mit den gegebenen und unter sich,
verbindet auch diese Schnittpunkte wieder und setzt die
Operationen ins Unbegrenzte fort, so erhalt man die sammtlichen Punkte und Geraden des Netzes. Das Mobius'sche
Netz im Raum ist durch funf Ebenen gegeben und wird ebenso
wie das Netz in der Ebene durch Schnitt und Verbindungen
1) Wenngleich der Inhalt der vorliegeuden Abhandlung eigentlich
etwas ausserhalb des Gebietes der Annalen liegt, so hat die Redaction
sie doch aufnehmen zu durfen geglaubt, da der Hr. Verf. weitere physikalische Folgerungen daran zu kniipfen beabsichtigt. I). Red.
2) Eug. B l a s i u s , Beitrag zur geometrischen Krystallographie. Wied.
Ann. 41. p. 538-564. 1890.
3) Eug. B l a s i u s , Die Ausdehnung der Krystalle durch die Warme.
Wied. Ann. 22 p. 528-549. 1884 und Zeitschr. f. Kryst. 11. p. 140 bis
146. 1885, sowie der citirte Aufsatz.
Geometric deer Aage.
109
der Elemente construirt. 1st eine der funf Geraden die unendlich ferne so nennen wir das ebene Netz ein krystallographisches, ist eine der funf Ebenen die unendlich ferne, so
nennen wir das raumliche Netz ein krystallographisches. Die
allgemeinen M o bius’scheu Netze im Raum haben noch keine
lrrystallographische Anwendung gefunden ; wir wollen uns daher nicht mit ihnen beschaftigen. Dagegen entsteht ein allgemeines ebenes Netz immer als Schnitt eines raumlichen
krystallographischen Net,zes mit einer demselben nicht angeharenden Ebene. Die Centralprojectionen des krystallographischen raumlichen Netzes aus einem Systempunkt nuf andere
als Systemebenen sind auch nicht krystallographische sondern allgemeine Netze. Die letztereu sind also krystallographisch von Bedeutung und sollen demgemass im Folgenden
behandelt werden. Wir wenden uns zunachst im I. Theile zu
den ebenen Netzen, den allgemeinen sowohl wie den krystallographischen und behandeln in diesem Zusammenhange auch
die einformigen Grundgebilde : Strahlenbiischel , Punkt,reihe
und Ebenenbuschel. Im 11. Theile gehen wir zur Lehre von
den krystallographischen Bundeln uber fur welche wir yon
vielen Satzen des I. Theiles Gebrauch machen konnen.
I. N e t z e i n d e r E b e n e u n d ei n f i j r mi g e G r u n d g e b i l d e .
Sind S, und S, zwei beliebige Netz- oder Systempunkte
eines ebenen krystallographischen Netzes so schneidet jeder
durch 8, gehende Systenistrahl die unendlich ferne Systemgerade in einem Systempunkte. Ein durch den Punkt S, zu
der Geraden parallel gelegter Strahl verbindet also zwei Systempunkte und ist daher auch eine Systemgerade. Ebenso ergibt
sich zu jedem Systemstrahl des Buschels 8, ein solcher des
Buschels 8,.
1. Bas krystallographische Netz enthalt lauter congruente
Straiilen6usche1, deren entsprechende Strahlen parallel sind.
Drei im Endlichen gelegene Geraden, welche ein Dreieck
bilden, bestimmen ein krystallographisches Netz. Der Systemstrahlenbuschel enthalt drei zu den Geraden parallele Strahlen
und alle daraus durch Construction der vierten harmonischen
ableitbaren. Es werden sich also besondere Symmetrieeigenschaften des Dreiecks auf den Strahlenbiischel ubertragen.
110
E. Blasius.
Zugleich mit den ausgezeichneten Arten der Strahlenbiischel
ergeben sich auf diese Weise auch diejenigen der Ebenenbiischel oder krystallographischen Zonen. Denn der Strahlenbiischel kann immer d s ein zur Axe senkrechter Schnitt durch
eine Zone aufgefasst werden. Wichtig sind folgende Falle :
1) Bas yleichseitige Dreieck. (Fig. 1.)
Legt man durch eine Ecke eine Parallele a,
zur gegenuberliegenden Seite a , so ist die
aus dieser Ecke gefallte Hohe ha ein Strahl,
zum System gehort, denn sie wird durch
der
a.
die
Seiten 6 und c Ton al harmonisch geFig. 1.
trennt. In dern zugehorigen Strahlenbiischel
gibt es also drei Paare aufeinander senkrechter Strahlen. Wenn
aber nur zwei solcher Paare vorhanden sind, so steht auf
jedem Systemstrahl des Biischels ein anderer senkrecht. Der
Biischel ist folglich ein orthogonaler mit dem Winkel GOo,
wie er in der Hauptsymmetrieebene des hexagonalen Systemes
uiid der Oktaederflache des reguliiren
vorkommt. Senkrecht zu diesen Fliichen
liegen die Axen von Zoneiz derselben Art.
kc
2) Bas reclzbinklig gZeichschen,khjy
Fig. 2.
Dreieck. (Fig. 2.) Ein Strahl c l , welcher durch den Scheitel C des rechten
Winkels geht und parallel zur Hypothenuse c ist, wird von der Hiihe h, durch die Katheten a und b
harmonisch getrennt. Die Hohe ist daher eine Gerade des
Systems. Der Biischel besitzt zwei Paare aufeinander senkrechter Strahlen, namlieh h, und el, a und b und ist in Folge
dessen ein orthogonaler. Solche orthogonale Buschel mit dem
Winkel 45O, enthalt die Hauptsymmetrieebene
des tetragonalen , uiid die Wurfelflache des
regularen Systems. Die Zonen, deren Axen
auf den genannten Flachen senkrecht stehen,
. f i C ’
sind
gleichfalls Zonen von dieser Art.
%
3) B a s gleichschenhl(qe Dreieck. (Fig. 3.)
c
Sind a und b die gleichen Seiten, so wird,
Fig. 3.
wie im vorigen Falle die durch C gelegte
Parallele zu c durch u und b yon h, hxrmoiiisch getrennt
und h, ist demnach ein Systemstrahl. Es ist also wieder ein
&’
A
Geometrie der Lqge.
111
P a a r von senltrechteii Systemstrahlen vorhanden ; wenn aber
der Winkel (a6) nicht besondere Werthe aiinimmt, braucht
kein zweites derartiges Paar vorzukommen. Der Biischel ist
zu den beiden aufeinander senlcrechten Strahlen symmetrisch. l)
Solche Biischel kommen in allen Ebenen des rhombischen
Systems vor, die eine Axe enthalten, in allen ausser den
Hauptsymmetrieebenen des hexagonalen und tetragonalen
Systems u. s. w.; wir wollen sie kurz rhombische Biischel
nennen und ihre aufeinander senkrechten Strahlen ausgezeichnete Strahlen oder Axen.
4 ) Bas rechttuinklige Breieck. Wenn die spitzen Winkel
des Dreiecks nicht besondere Werthe annehmen, 60 haben wir
es mit einem Biischel zu thun, welcher nur zwei aufeinander
senkrechte Systemstrahlen besitzt , also mit eineni Biischel
yon gleicher Art, wie im vorigeii Falle.
5) B a s schiefwinklige Dreieck. TT’enn die Winkel keine
besonderen Werthe annehmen, so ist der Biischel ein solcher
ohne Merkmale. Derartige Biischel kommen im triklinen
System und auf schrag gegen die Axe liegenden Ebenen des
monosymmetrischen und rhombischen Systems vor.
Damit haben wir ohne Rechilung die Haupttypen der
krystallographischen Strahleiibiischel und Zonen kenneii gelernt. Im Verlaufe der weiteren Untersuchung wird sich dann
noch manches iiber dieselbm ergeben.
Ein orthogonaler Biischel ist zu jedem seiner Systemstrahlen s symmetrisch; denn auf s steht ein anderer Systemstrahl s1 senkrecht und jeder weitere Systemstrahl p wird
durch s und s, von dem ihm beziiglich s und s1 symmetrischen harmonisch getrennt. Zu sammtlichen Systemstr%hlenp
sind bezuglich s symmetrische Systemstrshlen vorhanden. Wir
wollen einen orthogonalen Biischel S mit den Systemstralileii
a 6 c . . . m . . . festhalten , wahrend ein ihm congruenter concentrischer und beweglicher Biischel
mit den Strahlen
Q~ 6, c, .. .m, . . ., welche Anfangs bezw. mit a b c . . .m.. . zusammenfallen um den gemeinsamen Mittelpunkt gedreht wird,
bis der Systemstrahl a, von S, auf den beliebigen Systemstrahl rn von AS fallt. In dieser Lage deckt sich such der
1) Eug. Blasius, Beitrag z. georn. Kryst., Wied. Ann. 41.p. 552.1890.
112
3. Blasius.
auf a, senkrechte Systemstrahl von S, mit dem zu m normalen
Systemstrahl von 8. Endlich fallt auf den Strahl a von S ein
Strahl von S,, welcher zu ml symmetrisch beziiglich a, liegt
und daher auch Systemstrahl von S, ist. Ton den Biiseheln S,
uiid 8, kommen demnach drei und folglich alle Strahlen zur
Deckung. Also :
2. Jeder orthqgonale Strahlenbiischel kommt wieder vollstandiy mit sich zur Deckung, tuenn er urn seinen X’ttelpunkt derart
herumgedreht iuird, dass ein einziger Systemstrahl auf den
fruheren Ort eines anderen Systemstmldes fallt.
2 a. Kommt in einem orthogonalen RrystallogrcrpRisc~ienStrahbnbuschel iryend ein Pihkel zwischen zwei Systemstrahlen vor,
so sind nuch xu jedem anderen Systemstrahl zwei solclie vorhanden, die diesen WTnkel mit ihm einschliessen und in Bezuy
aiif ihn symmetrisch Ziegen.
3. Jeder orthoyonale Ehenenbuschel oder jede orthoyonale
Zone kommt mieder vollstand~ mit sich zur Deckung, wenn sie
um ihre -4xe so herumgedreht wird, dass eine einzige krystallographische Ebene derselben in die fruhere Lage einer anderen fullt.
3 a. Komnzt in einem orthogonalen krystallographisehen Ebenen6iischel irgend ein Winkel ztuischen zwei S3stemebenen vor, so sind
zu jeder Systemebene ztuei solche uorhanden , die unter diesem
Finkel gegen sie geneigt sind t m l in Berug auf sie symmetrisch
lie.gen.
Die Bestimmungsstiicke cles ebeiien Netzes sind vier
Punkte, oder ein Punkt und drei Strahlen, oder vier Strahlen,
oder endlich ein Strahl und drei Punkte. Haufig werden wir
Gebrauch machen von einer Bestimmungsweise die sich nur
(lurch die Bezeichnung von diesen unterscheidet , indem wir
als Fundamentalstiicke zwei krystallographische Strahlenbuschel
geben, welche nicht mit einander in Widerspruch sind. Es
ist nicht moglich von zwei beliebigen uiid beliebig gelegenen
Strahlenbiischeln auszugehen. Die einzige Bedingung aber,
die erfiillt werden muss ist die, dass die Verbindungslinie
der Mittelpunkte in beiden Biischeln ein Systemstrahl ist.
Zur Bestimlnung der beiden Biischel sind in jedem noch zwei
Strahlen nothwendig , und wenn wir diese Strahlenpaare als
Seiten eines Vierseits auffassen, erkennen wir, dass die neue Bestimniungsweise thatsachlich auf eine der friiheren herauskommt.
Geometrie der Laye.
113
Die Mittelpunkte der Biischel sind zwei Gegenecken, ihre Verbindungslinie eine Diagonale des Vierseits. Ebenso kann die
Bestimmung des Netzes auch auf die Arrgabe von zwei Systetnpanktreihen gegriindet werden , welche nicht mit einander in
Widerspruch sind , d. h. dereii gemeinschaftlicher Punkt in
beiden Punktreihen ein Systempunkt ist. Man sieht namlich,
dass auf jeder Seite des Vierseits, durch die Schnitte mit den
drei iibrigen, drei Systempunkte gegeben sind, so dass man die
weiteren Systempunkte durch fortgesetzte Construction der
vierten harmonischen finden kann.
Durch die neuen Bestimmungsmetboden des Netzes werden wir gleich auf einige Folgerungen gefiihrt, welche im Laufe
der Untersnchnng von Wichtigkeit sein werden. Wir wollen
die beiden Strahlenbiischel , durch welche das Netz gegeben
win soll, derart auf einander projectivisch beziehen, dass drei
Systemstrahleii des einen a b c , drei Systemstrahlen a, b, c1 des
anderen entsprechen. Dann ist auch jedem Syst~?mstrahlp des
ersten Biischels ein Sysfemstrahl p1 des zweiten zugeordnet.
Denn ist y dnrch fmtgesetzte Construction des vierten harmonischen aus den S%rahlen a b c abgeleitet, so fiihrt dieselbe
Constructionsfolge, anf die Strahlen a, 6, c1 angewandt, auf den
entspsechenden Strahl des zweiten Buschels. Die entsprechenden Systemstrahlen schneiden sich in Systempunkten, und da
die beiden projedivischen Biischel im allgemeinen eine Curve
11. Ordnung erzeugetl, so folgt :
4. In dem Miibius’schen Netz sznd Curven 1% Ordnuny
vorhanden, mif denen ultendlich viele Systempunkte liegen.
Die beiden Strahlenbiischel, von denen wir ausgegangen
siiid, spielen in dem Mifibius’schen Netze keine bevorzngte
Rolle. Statt ihrer k6nnen wir irgend zwei beliebige andere
Sy&embiischel des Netzes wahlen und diese noch in unendlioh
vielen verschiedenen Weisen anfeinander prajectivisch beziehen,
so dass Systemstrahlen Systemstrahlen entsprechen. Wir erhahen folglich eine unbegrenzte Anzahl von Curven 11. Ordnung , von denen jede durch unendlich viele Systempunkte
geht. Wenn wir beachten, dass auch die Netzgerade unendlich viele Netzpunkte enthalt, so werden wir die Curven wohl
als Netzcurven oiler Systemcurvela bezeichnen und zunachst
nntersuchen, inwieweit ihr Verhalten mit demjenigen der NetzAnn. d. Phys. u. Ch0n1. N. F. XLV.
8
E. Blasius.
114
geraden ubereinstimmt. Zw'ei Punkte bestimmen eine Geracle,
zwei Systempunkte eine Systemgerade, funf Punkte bestiimmen eine Curve 11. Ordnung.. Es liegt nahe zu vermuthen,
dass wenn die funf Punkte Systempunkte sind, die Curve eirie
Systemcurve ist, und das ist in der That der Fall. Seien
die Punkte '4 B C B E . Man bezieht nun, urn die Curve zu
construiren die Strahlenbuschel mit den Mittelpunkten
B uiid
__ und E so aufeinander,
dass_ _die
Strahlen B A , D 33, L, C bezvi.
__
den Strahlen B A , B B , E C enteprechen. Der Schnitt dieher
projectivischen Strahlenbuschel ist die gesuchte Curve 11. Ordnung. Da, wie wir oben gesehen haben, bei der Beziehung
die Systemstrahlen des einen Biischels den Systemstrahlen des
anderen entsprechen, so liegen auf der Curve unendlich viele
Systempunkte.
5. Zine Curve I1 Ordnung, welche durch f u n f Netzpuiikte
~
~
Qestimmt wird, hesitzt unendlich viele Netzpunkte und ist also eine
Netzcurve I% Ordnung.
Die Curve kann in derselben Weise auch erzeugt wertlen
durch den Strahlenbuschel B und irgend einen anderen Struhlenhiischel des Systems , der einen beliebigen Systempunkt der
Curve zum Mittelpunkt hat. Auch d a m schneiden sich entsprechende Systemstrahlen der beiden Biischel in Systempunkten
der Curve. Geht also irgend eine Systemgerade g durch einen
Systempuukt der Curve, so ist dieselbe eine Systemgerade des
Biischels , deren Mittelpunkt dieser Punkt ist. Ihr zweiter
Schnittpunkt mit der Curve muss gleichfalls ein Systempuiikt
sein , als Schnittpunkt von g mit der entsprechenden Geraden
irgend eines anderen Systembiischels , dessen Centruin ein
Systempunkt der Curve ist.
6. Legt man durch einen Systempunkt einer Systemcurve
I1 Ordnung einen Systemstrahl, so schneidet er die Curlie noch
in einetn rweiten Systempunkt, oder :
Jder Systemstrahl schneidet jede Systemcurve I L Ordnzing
ifi zwei Systempunkten, wenn er sie in einem Systempunkt schneidet,
oder auch:
Burch einen nicht auf einer Systemcurve I 1 0rdnun.q liegenden Syqtempunkt als Involutionscentrum werden die Punkte der
Curve einander derart auyeordnet , dass Systempunkte Systempunkten entsprechen.
115
Geornetrie der //age.
Sind Y und Q zwei beliehige Sybtempunkte einer SystemStrahlenbuschel P
curve 11. Ordnung, so entspricht in dem
__
die Tangente an die Curve tlein Strahle Q P des Biischels Q.
Die Tangente im Puiikte P muss also eine Systemgerade sein.
7. Die Tanyente an eine Systemcurve II, OTdnung in einem
Systempiinkt ist eine Systemgerade.
Die Systemcurve II. Ordnuny atif*der unendlich viele Systemp m k t e liegen, ist zugleich eine Systemcurve I1 Classe, die von
unendlich vielen System-qeraden umhiillt wird.
Sind auf einer Geraden drei Systempunkte gegeben, so
6ndet man die iibrigen durch fortgesetzte Construction der
vierten harmonischen. Das gleiche gilt fur die Systemcurve
11. Ordnung; denn sind auf einer solchen drei Systernpunkte
A B C gegeben , und legt man, durch irgend zwei andere
Systempunkte Q P derselben .I R C' Strahlen nach, so ist der
Schnittpunkt der in den Biischeln P und Q zu den nach A B C
gehenden Strahlen in derselben Weise construirten , vierten
harmonischen Strahlen der auf der Curve liegende vierte harharmonische Punkt zu den drei Punkten A R C u. s. w.
S. Aiif einer Systetnoirve II. 0rdnnlin.y ist die Gesammtheit
der Systempunkte drirch drei von ihnen gegeben. Bie Uebriyen
werden dtirch fortgesetzte Construction der vierten harmonischen
gefunden.
Da auf diese Weise durch drei auf einem Kegelschnitt
gelegene Systempunkte mit Halfe des Kegelschnitts ein vierter
Systempunkt construirbar ist, der mit keinen zwei der ersten
auf einer Geraden liegt, so ist durch Angabe dreier Systempunkte und eines durch sie gehenden Systemkegelschnittes das
ganze System bestimmt.
9. D u ~ hdrei Systempiinkte nlmd einen durch sie ,qeleyten
Syrtemkegelschnitt ist das Netz bestimmt.
Legt man durch einen beliebigen nicht auf einer Systemcurve 11. Ordnung c gelegenen Systempunkt A zwei Secanten
nach zwei Systempunkten P und Q der Curve, so schneiden
diese die Carve in zwei weiteren Systempunkten P und Q
(Satz 6). Auch die Puiikte, welche von A durch P nnd PI,
bezw. durch Q und Q harmonisch getrennt sind, mussen
Systempunkte sein, weil die Construction der vierten harmonischen in Punktreihe und Strahlenbiischel iiberhaupt das FundaS*
116
E. Blasius.
ment der Netzconstruction ist. Die Polare des Punktes A ist
also, als Verbindusgslinie dieser beiden Systempunkte, eine
Systemgerade.
10. Die Polare eines Systempiiiiktes bezuglich einer Systemcurve II. Ordnung ist eine Systemgerade.
Construirt man daher die Polaren von zwei beliebigen auf
einer Systemgeradea g liegeaden Systempunkten, beziiglich der
Systemcurve, so ist ihr Schnitt, der Pol der Geraden g , ltls
Schnitt von Systemgeraden ein Systempunkt.
11. Ber Po1 einer Systemgeraden bezuglich einer Systemcurve II. Ordnung ist ein &ystempnkt.
Beriihrt eine Systemgerade y eine Systemcurve 11. Ord-
nung, und construirt man die Polare eines in ersterer liegenden
Systempunktes, so ist diese (nach Satz 10) eine Systemgerade,
uud da sie eine Systemgerade g in deren Bcriihrungspunkt
schneidet, so ist der Beriihrungspunkt ein Systempuukt. Der
Sotz kana auch als besonderer Fall des vorigen aufgefasst
werden.
12. Beriihrt eine Systemgerade eifhe Systemcurve I1 f l r d n u y ,
so id der Beriihrungspunkt sin Systencpunkt.
Werden von einem nicht auf einer Systemcurve 11. Oiclnung gelegenen Systempunkt A die Tangenten an die Systemcurve gelegt, und ist die eine derselbeii eine Systemgerade,
so ist ihr Beriihrungspunkt ein Systempunkt. Da die Polare
von A eine Systemgerade ist, und sowohl durch diesen Beriihrungspunkt , wie durch denjenigen der zweiten Tangente
geht, so i d (nach Satz 6 ) auch der zweite Beriihrungspunkt
ein Systempunkt , folglich auch die zweite Tangente eine
Sy stemgerade.
13. Die Tangenten uon einem nicht aaf der Systemcurve
IL Ordnury lieqenden Systempunkt sind entweihr beidc Systemyeraden, oder keine von beiden ist es.
Der Satz 6 spielt bei dem Bemeise von mehreren der
eben gegebenen Satze eine RoHe, uiid derselbe ist auch maassgebend fiir die Systemstucke der anderen Aufgaben 11. Grades im Mobius’schen Netz. Eine derartige Aufgabe ist z. B.
folgende. Zwei Systernstrahlenbiischel liegen concentrisch und
besitzen dieselben Systemgeraden ; es sollen die entsprechend
gemeinen Strahlen derselben gefunden werden. Seien a B c
Geometrie der Lage.
117
drei Systemstrahlen des einen Biischels S und n1 b, c, die entspreohenden des Biischels Sl. Wir oonatruiren ein ebenes
Netz, in welchem der Btischel S ( a b c ) , also auch der Buschel
S, (alblcl)Systembtischel sind, indem wir drei Systempunkte A B C
bezw. auf den Strahlen a b c wiiblen. Dann legen wir l) durch
B A B C und einen weiteren Punkt des Systems eine Curve
11. Ordnung. htieseibe schneide die Strahlen a, bl c1 bezw. in
deh Punkten A, B, C, , welches Systempunkte sein musseb.
Verbindet man nun A und B,, B mit A , und ebenso A mit
Cl und C mit A, und nennt die Schnittpunkte der beiden
ersteren Geraden 8, den der letzteren M, so ist die Verbindungslinie u der Punkte M und .A als Verbindungslinie von
Systempunkten eine Systemgerade. Die Gerade u schneidet
die Curve in Punkten U Y , welche mit S verbunden, die entsprechend gemeinen Strahlen der beiden Strahlenbiischel ergeben. 1st einer von den Punkten U F ein Systempunkt, so
muss es auch der andere sein, das gleiche gilt dahex auch
fur die entprechend gemeinen Strahlen u und v.
14. &yen zwei Systemstrahlenbuschel concentrisch, und besitzen sie dieselben Systemstrahlen, so sind entweder ihre beidt .a
entsprechend gemeinen Strnhlen Systemstrahlen, oder keiner von
beiden ist ein solcher.
Der Fall, dass beide entsprechend gemeinen Strahlen
Systemgeraden sind, ist leicht zu verwirklichen. Wir brauchen
nur drei Strahlen a b c in dem einen Biischel anzunehmen und
resp. drei Strahlen a b c l zuzuordnen, wovon el sich durch
fortgesetzte Construction der vierten harmonischen aus a b c
ableitet.
Im E’olgenden werden ofters involutorische Elementargebilde eine Rolle spielen und da die Aufgabe in solchen die
Ordnungsclemente zu finden, gleichfalls eine Aufgabe 11. Grades, mit der eben (Satz 14) behandelten nahe verwandt ist, so
wollen wir uns jetzt zu den involutorischen Gebilden im Netze
wenden. Eine involutorische Punktreihe ist gegeben durch
zwei Paare zugeordneter Punkte A A , und B B , . Fiir ans
ist der Fall von besonderem Interesse, dass die vier Punkte
dernselben System angehiiren, d. h. dass der vierte durch
I t Ygl. R e y e
I. p.
140. 1882.
118
E. Blasius.
fortgesetzte Construction der vierten harmonischen aus den
drei anderen gefunden werden kann. Unter diesen Umstanden
wird auch jedem weiteren Systempunkt P der Punktreihe ein
Systempunkt PI entsprechen. Denn ist P aus den drei Punkten
A B A, durch fortgesetzte Construction der vierten harmonischen construirbar, so ist es P, durch Anwendung der gleichen
Constructionsfolge auf A, B, A. Der Satz gilt sowohl fiir den
Strahlenbiischel und den Ebenenbuschel, wie fur die Punktreihe.
15. Gehoren in einer involutorischen Punktreihe, einem involutorischen Struhlen- oder Ebenenbiischel rwei Paare zugeordneter Elemente zu einem System, so ist das ru.yeordnete Element
jedes weiteren Systemelementes gleichfalls ein Systemelement.
Um in einem involutorischen Strahlenbiischel S, in welcheni zwei Paare einander zugeordneter Strahlen a a, und b b,
Systemstrahlen sind, die Ordnungselemente zu finden, erganzt
man den Biischel zu einem Netz und legt durch S und Systempunkte A A , B B , , welche bezw. auf den Strahlen a a , b b ,
liegen. eine Curve 11. Ordnung. Den Schnittpunkt von A B ,
__
mit A, B verbindet man durch eine Gerade w mit dem Schnitt__
punkt von A B und A, B,. Die Strahlen u und v des Biischels S, welche durch die Schnittpunkte der Geraden w mit
der Curve gehen, sind die gesuchten Ordnungsstrahlen. Entweder beide miissen Systemstrahlen sein oder keiner von beiden ist es.
16. In einer involutorischen Punktreihe, einem involutorischen
Struhlen- oder Edenenbiischel, in welchem zwei Paare von zugeordneten Elementen zu demselben System gehoren, sind entweder beide
Ordnungselemente Systemeleinente oder keines von beiden ist ein
solches,
Der Fall, dass in einem involutorischen Gebilde I. Ordnung , in welchem unendlich viele einander zugeordnete Elemente desselben Systemes vorkommen , auch die Ordnungselemente zum System gehoren , ist leicht zu verwirklichen.
Man braucht nur das System in dem Gebilde I. Ordnung
durch die beiden Ordnungselemente und ein weiteres Element,
oder durch ein Ordnungselement und zwei einander zugeordnete Elemente zu bestimmen.
E s ist nicht nothwendig, dass eine Systemgerade eine
-
Geometrie der Lage.
119
Systemcurve 11. Ordnung in zwei Systempunkten schneidet,
aber die Schnittpunkte bilden die Ordnungspunkte einer involu torischen Punktreihe, in der Systempunkte Systempunkten
zugeordnet sind , und die wir kurz als involutorische Syatmprtnktreihe bezeichnen wollen. Dies macht es begreiflich, dam,
wenn man eine Curve 11. Ordnung durch drei Systempunkte
und die Ordnungspunkte einer involutorischen Systempunktreihe giebt, die Curve auch eine Systemcurve ist. Seien A B C
die drei Systempunkte, D Di und 3El zwei Paare zugeordneter
Systempunkte der involutorischen Systempunktreihe p 1). Wir
bestimmen zunachst einen weiteren Punkt
des Kegelschnittes k, so dass A 8 , durch den Pol vm p geht. Schneiden BA und
die Punktreihe p bezw. in P und G und
sind die diesen Punkten in der involutorischen Punktreihe zugeordneten P und G, so sind diese (nach Satz 15) Systempunkte. Der Punkt A’ ist der Schnitt der Geraden B P und
Ccf‘ und daher auch ein Systempunkt. Strahlen, welche von
A und A, nach zugeordheten Systempunkten von p gehen,
schoeiden sich auf der Curve, die folglich eine Systemcurve
ist. Der Fall gewinnt dadurch an Interesse, dass die Construction und somit der Satz auch dann gelten, wenn die
Involution D D’ E $7 eine gleichlaufende ist , die Ordnungspunkte also conjugirt imaginare Punkte sind. Wir werden
dadurch in der einfachsten Weise zur Einfuhrung imaginarer
Elemente in die krystallographische Betrachtung gefiihrt.
17. Eine Curve I1 Ordnung, welche durch drei Systempunkte
und die Ordnungspunkte einer involutorischen Systempunktreihe
gegeben ist, ist auch, wenn die letzteren conjugirt imaginar werden, eine 8ystemcurve.
18. Ein .k-egelschnitt, welcher bestimmt ist durch drei Tanyenten, die Systemgeraden, und zwei andere, welche Ordnungsstrahlen eines involutorischen Systemstrahlenbiischels sind, isi? eine
Systemcurve.
Wir haben die Systemcurven 11. Ordnung definirt als
solche , auf denen unendlich viele Systempunkte liegen, und
sahen, dass die Strahlenbiischel I welche sie umhiillen unendl j W i e n e r , Lehrbueh der darstellenden Geometrie Aufg. 351. p. 279.
120
8.Blusius.
lich viele Systemgeraden enthalten. Ferner wurde bewiesen,
dass eine durah funf Systempunkte bestimmte Curve 11. Ordnnng eine Systemcurve ist. Man kiinnte geneigt seim zu vermuthen, daas alle Curvea 11. Ordnung, welche durch fiinf
Stiicke des Systems bestimmt werden , Systemcurven sind.
Der Beweis dieses Satzes lasst sich aber auf Grund des Vorstehenden nicht allgemein fiihren, und es bleibt uns nichts
anderes iibrig, als die einzelnen Faille besonders zu untersuchen.
Es sei ein Kegelschnitt durch fiinf Tangenten bestimmt,
die zum System gehiiren. 1st derselbe ein Systemkegelschnitt ?
Der Fall ist besonders einfach, weil er dern erstan direot
reciprok ist. Der Weg des Beweises ist daher gegeben. Drei
der gegebenen Geraden bestimmen auf den beiden ubrigen projectivische Systempunktreihen. Die Verbindungsgeraden entsprechender Systempunkte derselben sind Systemgeraden und
zugleich Tangenten der gesuchten Curve. Der Kegelschnitt
wird also von unendlich vielen Systemgeraden beriihrt. Der
Beweis, dass auch hier die Beruhrungspunkte der Systemgeraden Systempunkte sind, ist genau reciprok zu fiihren, wie
oben der Beweis, dass die Tangenten in Systempunkten
Systemgeraden sind.
19. V i r d eine Curve II. Ordnung durch funf Tanyenten
bestimmt, welche dystemgeraden si&, so ist die Curve eine Systemcurve; auf ihr liegen ulzendlich vieb Systempunkte uvd der sie
umhullende Strahlenbuschel enthalt unendlich viele Systemgeraden.
Man sieht, dass zwiscben der Art der Curven 11. Ordnung, welche durch funf Tangenten, und denjenigen, welche
durch Punkte des Systems gegeben werden, gar kein Unterschied besteht. Wir wenden uns zu den ubrigen Arten einen
Kegelschnitt durch fiinf Stiicke zu bestimmen. Es werden zuniichst gegeben vier Systempunkte und eine Systemgerade
als Tangente. Auf der letzteren wird durch die Schnittpunkte
zweier Paare von Gegenseiten, des durch die ersteren bestimmten vollst'iindigen Vierecks eine involutorische Punktreihe
bestimmt. Die Ordnungspunkte derselben sind die Beriihrungspunkte der beiden Curven, welche den Bedingungen der Aufgabe geniigen. Die Ordnungspunkte sind entweder beide
Sgstempunkte, d a m gehen die Curven 11. Ordnung durch funf
Geometrie der Lage.
121
Systempunkte und sind Systemcurven, oder keiner von beiden
Ordnungspunkten ist ein Systempunkt.
Die Curven beriihren dann eine Systemgerade in einein
nicht zum System gehorigen Punkt, kiinnen daher kefne Systemcurven sein.
20. 3 s yibt in) Allgenieinen zwei Cirrven II. Ordnun,q, welche
durcll vier ye.qebene Systempnkte gehen und eine geyebene Systemgerade beriihren. Entweder beide sind Systemcurven otter Reine
von beiden ist es.
Ebenso gilt der reciproke Satz:
21. Es gibt im AElgemeinen zwei Citruen 1% Ordnung, welche
vier gegebene Systemgeruden beruhren und durch einen ge-qebenen
Systempunkt gehen. Enttoeder beide sind Systemcurven oder keirte
von heiden ist es.
Wenn die Cnrve 11. Ordnung durch drei Punkte und zwei
Tangenten oder d m h zwei Punkte und drei Tangenten gegeben ist , so spielen mehrere Paare von Ordnungspunkten
involutorischer Sptempunktreihen bei der Construction eine
Rolle. Es lasst sich also dariiber, ob die Curve eine Systemcurve ist, oder nicht, im Allgemeinen noch weniger sagen, wie
in den beiden vorhergehenden Fallen.
Wesentlich einfacher gestaltet sich die Untersuchung,
wenn die fiinf Restimmungsstiicke der Curve 11. Ordnung nicht
vollkommen willkiirlich gewahlt werden.
Es seien gegeben vier Systempnnkte A B C B und eine
Systemgersde a, welche die Curve in einem derselben, A berilhren soll. Dann ist die projectivische Beziehung der Strahlen__-bilschel A und B gegeben, indein die Strahlen 2,A B B I) C
____
yon B den Strahlen a A B A C von A entsprechen. Auch
alIe anderen Systemstrahlen des einen Biischels entsprechen
solchen des anderen, und die Curve ist eine Systemcurve.
Ganz analog ist auch der Beweis zu fiihren, dass eine Curve
11. Ordnung, die durch vier Tangenten und den Beriihrungspunkt in einer derselben bestimmt ist, eine Systemcurve ist,
wenn die Stiicke zum System gehoren.
22. Wird eine Curve IL Ordnung bestimmt durch vier Punkte
und die Tangente in einem derselben, und gehoren diese SCiicke
zum System, so ist die Curve eine Systemcurve.
E. Blasius.
122
23. Wird eine Curve II. Ordnung 6estimmt durch vier zum
System gehiir&~eT’hngenten und einen Systempunkt uuf einer derselben als Beriihwngspunkt, so ist die Curve eine Systemcurve.
Sol1 eine Curve 11. Ordnung durch drei Systempuiikte
A B C gelegt werden und in den beiden ersten die Systemgeraden a und b beriihren, so ist die projectivische Beziehung
zwischen den Strahleubuscheln A und B dadurch vollstandig
bestimmt, dass den Strahlen a A B und A C van A bezw. die
Stridden B A 6 und B C von B entsprechen. Im iibrigen
entsprechen danach den Systemgeraden des einen Biischels
solche des anderen und die Curve ist eine Systemcurve. Ein
analoger Beweis gilt fur den reciproken Satz.
24. Eine Curve I1 Ordnun.y, welche durch drei Systsmpunkte gele,gt wird und in zweien derselhen Systemgeraden beriihrt, ist eine Systemcurve.
25. Eine Curve II. Ordnung , welche drei System-geraden
~
~
und zwei davon in Systempunkten beriihrt, ist eine Systemcurve.
Bus dem Vorstehenden ergiebt sich allgemein, dass die
Curven 11. Ordnung dann mit Sicherheit Systerncurven sind
wenn man zu ihrer Construction aus den gegebenen Systemstiicken Aufgaben ersten Grades zu losen hat, dass sie aber
aucb , wenn Aufgaben zweiten Grades herangezogen werden
miissen, Systemcurven sein kiinnen.
Der Schnitt zweier Systemgeraden ist ein Systempunkt.
Die Schnittpunkte einer Systemgeraden mit einer Systemcurve
11. Ordnung konnen auch solche sein und spielen auf jeden
Fall in dem System eine. besondere Rolle. Unsere nachste
Aufgabe ist es, die Schnittpunkte zweier Curven 11. Ordnung
zu untersuchen.
Wir wollen zuerst annehmen, drei der Schnittpunkte B B C
seien Systempunkte. Der eine Kegelschnitt k gehe noch durch
die Systempunkte B E , der andere k , durch die Systempunkte
B, El. Zur Construction des vierten Schnittpunktes hat man
folgendermaassen l) zu verfahren. Man verbindet B mit B,
und sucht auf der Verbindungslinie die beiden ubrigen Schnittpunkte A und A, der Kegelschnitte k und k,. Die Punkte b
1) Steiner’s Vorlesungen iiber synthetische Geornetrie bearbeitet
von SchrBter, I. Aufl. p. 240. 1567.
Geometrie der Lage.
123
uiid A, sind (nach Satz 6) Systempuckte. Die Punkte B A
B, A, bestimmen eine involutorische Systempunktreihe. Trifft
13 C diese Systempunktreihe in B so ist der conjugirte Punkt
dasselben X ein Systempunkt , A S eine gemeinschaftliche
Secante der Kegelschnitte. Trifft C A die Punktreihe in IZ,
so ist der diesem Punkt conjugirte Y ebenfalls ein Systempunkt, B Y eine gemeinschaftliche Secante. Der Schnittpunkt
von A X und B Y , also ein Systempunkt, ist der geguuchte
vierte Schnittpunkt der beiden Kegelschnitte. I n Bhnlicher
Weise lBsst sich auch der reciproke Sat8 beweisen.
26. Scheiden sich zwei Systemcurven II. Ordnuag in drei
Systempunkten so ist auch ihr vierter Schnittpunkt ein Systempun&
27. Sind drei von den gerneinschafilichen Tangenten zzoeier
Systemcurven II. Ordnuny Systemgeraden, so ist auch die vierte
eine solche.
Wir wollen nun annehmen, dass nur zwei von den Schnittpunkten A B zweier Systemcurven 11. Ordnung k und k ,
Systempunkte sind. Die eine Curve R gehe noch durch die
Systempunkte C B E , die andere R, durch die Systempunkte
Cl D,3,. Man verbindet l) C mit C, und bestimmt auf der
Verbindungsgeraden die weiteren Schnittpunkte rr, derselben
mit R und k,. Die Punkte C r Cl T, bestimmen eine involutorische Systempunktreihe. Ebenso sucht man die Schnittpunkte d d, der Kegelschnitte mit 1)U,: auch D d B, A, bestimmen eine involutorische Systempunktreihe. Schneidet die
Gerade A B die beiden Punktreihen in den Punkten E bezw. K,
und sind die dazu conjugirten Punkte X und Y, so ist T Y
eine gemeinschaftliche Secante und zugleich eine Systemgerade.
Ihre Schnittpunkte, mit It und k, sind (nach Satz 6 ) entweder
beide Systempunkte, oder keiner von beiden ist es: jedenfalls
sind sie, ob sie reel1 oder imaginar sind, von der Art, dass
jeder durch sie und drei andere Systempunkte gelegte Kegelschnitt ein Systemkegelschnitt ist.
28. Sind zwei van den Schnittpunkten zweier Systemkegelschnitte Systempunkte, so liegen die anderen jedenfalls awf einer
1) St e i ne r - S ch r o ter, Vorlesungen iiber synthetische Geometrie.
I. Aufl. p 241. 1867.
124
E. Bdaaizre.
Systempraden und sind ads Ordnungspnhte einer involutorischen
5tj.&mpzdnktreihe eratwedsr beide Systempzmnkte, oder keiner von
beiden ist es. Auch in letzterem Palle, und selbst wenn, sie conjugirt imaginar werden, sind sie von der Art, dass jeder durch
sie und drei andere &stempunkte gelegte Kegelschitt ein Systemkegelschrdtt ist.
In ilhnlicher Weise lasst sich auch der reciproke Sat,z
beweisen.
29. Sind zwei von den gemeinschafilicilen Tam~entenzweier
Systemkegelschnitte Systemgeraden , so schneiden sich die heiden
iibr<qen in einem Systempunkt. Sie sind die Ordnungsdemente
eines involutorischen Systems~ahlen6uschels,also entweder beide
sind Systemstrahlen, oder keiner von heiden ist es. I n letzterem
palle sind sie, auch wenn sie conjugirt ima.qinar werderi, von der
ATt, dass jeder von ihnen und drei Systemyeraden 6eriihrte Keqelschnitt ein Systemkegelschnitt ist.
Wir gehen nun zu der Theorie der Curven 111. Ordnuiig uber , und wollen anuehmen , dass neun Systempunkte
0 Y Q R A B C B E zur Bestimmung einer solchen gegeben sind.
Man verfahrt zur Construction der Curve folgendermaassen. I)
Durch vier der gegebenen Punkte O P Q R legt man eineii
Kegelschnittbiischel und bezeichnet init u ,8y B E die Kegelschnitte dieses Btischels, welche bezw. durch A B CB E gehen.
Man bezieht den Kegelschnittbiischel projectivisch auf den
Strahlenbuschel, dessen Centrum D ist, so dass die Strahlen
___-B A D B BC den Kegelschnitten a @ entsprechen.
~
Nun
sucht man die Strahlen yon B auf, welche den Kegelschnitten 6
_____
und 6 entsprechen, es seien dies D B , B El, und legt durch
die Punkte A B C B einen Kegelschnitt x , der in i7 den Strahl
__
B B , beriihrt. Dieser Kegelschnitt x werde von B E l im
Punkte El geschnitten. Er ( x ) ist derart projectivisch auf
den Kegelschnittbiischel bezogen, dass die Punkte A B CB El
von x den Kegelschnitten Q /iy’6 E entsprechen. Jeder Strahlenbiischel S, der zum Kegelschnitt x perspectivisch ist, erzeugt
mit dem Kegelschnittbiischel eine Curve III. Ordnung, welche
durch die acht Punkte O U Q H A B CB geht. Sol1 die Curve
1) Reye, Geometrie der Lage.
11. Aufl. 11. p. 210. 1882.
Geometrie der Laye.
125
-_
auch noch den Punkt E enthalten, so muss der Strahl SEl
durch 3 gehen. D& h' und Ri gegeben sind, erhalt man
__
demnach s" als Schnittpunkt der Geraden EB1 mit dem Kegelschnitt Y . Die sammtlichen Curven ITI. Ordnung , welche
durch die acht Punkte 0 P Q R A B C B gehen , haben einen
Punkt gemein, namlich den sechsten Schnittpunkt 27 der
Curve x mit einer derselben, denn rler Punkt T liegt ebenso
wie die Punkte A B C B auf dem ihm entsprechenden Kegelschnitt des Buschels OPQlc.
Wir untersuchen nun, welcher Art die verschiedenen, bei
der Construction benutzten Stiicke sind , wenn man von neun
Systempunkten 0 P Q R A B C D E ausgeht. Die Kegelschnitte
tc /3 y 6E sind (nach Satz 5 ) Systemcurven und a y entsprechen
drel Systemstrahlen von B. Bei der projectivischen Beziehung
eines Kegelschnittbuschels auf einen Strahlenbiischel is%auch
der Strahlenbiischel, der von den Tangenten der Kegelschnitte
in einem Mittelpunkt des Buschels gehildet wird, zum Strahlenbuschel projectivisch. Die Tangenten der Kegelschnitte QPYSE
in einem der Mittelpunkte des Kegelschnittbiischels , etwa 0,
sind (nach Satz 7) Systemstrahlen. Die Tangenten an (r B y
______
entsprechen den Systemstrahlen D A B B D C des Strahlenbuschels D,folglich entsprechen auch die Tangenten an die Kegelschnitte 6 und E Systemstrahlen von D, d. h. B Z l und DD,
sind Systernstrahlen, und jedem Systemstrahl des Biischels B
ist ein Systeinkegelschnitt des Kegelschnittbiischels (0P Q R)
zugeordnet. Der Kegelschnitt x ist durch vier Systempunkte
und eine Systemgerade, die denselben in einem der vier Punkte
beriihrt, bestimmt also (nach Satz 22) eine Systemcnrve. Der
Punkt El ist als zweiter Schnittpunkt einer Systemgeraden,
welche die Curve in einern Systempunkt schneidet, ein Systempunkt. Aus demselben Grunde ist es auch cler Punkt 8'.
Die Punkte der Curve 111. Ordnung, welche auf den Systernstrahlen des Biischels S liegen, sind die Schnittpunkte dieser
Systemstrahlen mit den entsprecbenden Systemcurveii des
Kegelschnittbiischels. J e zwei solcher Punkte sind aber entweder beide Systempunkte, oder doch von der Art, dass jeder
durch sie und drei Systempunkte gelegte Kegelschnitt eine
Systemcurve ist.
126
E. Blasius.
Geht ein Systemstrahl von S durch einen zweiten Systempunkt der Curve 111. Ordnung, etwa A , so ist auch der zweite
Punkt A , , den dieser Strahl mit dem Kegelschnitt cc gemein
hat, also der dritte Schnittpunkt mit der Curve 111. Ordnung,
und der sechste des Kegelschnitts a mit derselben ein Systempunkt. Es ist also allgemein, wenn eine Curve III. Ordnung
durch neun Systempunkte geht und ein Kegelschnitt durch
funf derselben gelegt wird, auch der sechste Schnittpunkt der
Curven ein Systempunkt.
,,Der Kegelschnittbiischel (0P Q R) enthalt auch die drei
Paare Gegenseiten des Vierecks 0 P Q R. Suchen wir zu einem
- derselben, etwa zu OY, Q R den entsprechenden Strahl des
Biischels S, so lSsen wir die Aufgabe:
Auf einer Geraden O f , welche zwei yon den gegebenen
neun Punkten verbindet , den dritten Schnittpunkt rnit der
Curve C3 dritter Ordnung zu construiren." 1)
_ Das Paar Gegenseiten 0 P, Q R ist a19 Systemkegelschnitt
aufzufnssen, der entsprechende Strahl von 8 ist ein Systemstrahl und der Schnittpunkt des letzteren mit
ein System
punkt. Geht also eine Curve 111. Ordnung durch neun Systempunkte, so ist der dritte Punkt der Curve auf der Verbindungslinie je zweier von den neun Punkten ein Systempunkt.
Aus diesem Satz ergiebt sich die Thatsache, dass eine Curve
111. Ordnung , welche durch neun Punkte bestimmt ist , unendlich viele Systempunkte enthalt und deshalb nls Systemcurve aufzufassen ist. Sind namlich A , B und 0 drei der gegebenen Systempunkte, so verbindet man 0 mit A und sucht
auf der Verbindungslinie den dritten Punkt 0, der Curve,
__
verbindet 0, rnit B und construirt auf 0, B den dritten
Punkt O,, sucht daun den dritten Punkt 0, auf
den
dritten Punkt auf 0,B u. s. w.
Wir konnen unsere Resultate bezuglich der Curven
111. Ordnung folgendermaassen zusnmmenfassen.
30. Vird eine Curve IIL Ordnuny durch neun SystempunRte
bestimmt, so enthiilt dieselbe unendlich viele weitere Punkte, und
m,
sol2 daher als Systemcurve bezeichnet toerden.
1) R e y e , Geometrie der Lage 11. p. 211. 1882.
Geometrie der Luge.
127
31. hhneidet eine Systemgerade eine Systemcurve III. Ordnung in einem Systempunkt, so sind die beiden ubrigen Schnittpunkte entweder gleichfalls beide Systempunkte, oder , und das
selhst fGr den Pall, dass sie conjugirt imaginiir sind, von deer
Art, dass jeder durch sie und drei Systempunkte gelegte Keyelschnitt eine Systemcurve ist.
32. Wenn eine 8ystemgerade eine Systemcurve 1IL 0rdnung in zwei Systempunkten schneidet, so ist auch der dritte
Schnittpunkt ein Systempunkt.
33. Venn eine Systemcurve I1 0rdnung einP Systemcurve
IIL Ordnung in funf Systempunkten schneidet, so ist auch der
sechste 8chnittpunkt ein Systempunkt.
34. Alle Systemclirven Ill: Ordnung, welche durch dieselhen
acht Systempunkte gehen, schneiden sich in einem und demselben
neunten Systempunkt.
Um die Tangenten der Curve 111. Ordnung in dem
Punkt 0 zu bestimmen, braucht man nur denjenigen Kegelschnitt
des Biischels (0P Q A) zu construiren, welcher dem Strahl S 0
entspricht. Die Tangente des Kegelschnittes in 0 ist die gesuchte. Wie wir oben gesehen haben, ist, wenn die Punkte
09 Q R A B C B B Systempunkte sind , auch S ein solcher.
Der dem Strahl 6 0 entsprechende Kegelschnitt des Biischels
ist ein Systemkegelschnitt, die Tangente in 0 also (nach Satz 7)
eine Systemgerade.
35. Uie Systemcurve Ill. Ordnung besitzt unendlich viele
Tangenten, welche Systemgeraden sind. Die l'angente in jedem
Systempunkte der Curve ist eine solche.
Man erkennt in den angegebenen Satzen iiber die Systemcurven I11 .Ordnung Analogien mit denjenigen iiber die Systemcurven 11. Ordnung, und sie wiirden sich, indem man den
eingeschlagenen Weg verfolgt, um zahlreiche andere vermehren
lassen. Wir wollen jedoch die Untersuchung der Curven hier
ahbrechen und zur Theorie einiger besonders interessanter
Netze iibergehen.
Das ebene Miibius'sche Netz , dessen unendlich ferne
Qerade Netz- oder Systemgerade ist , wurde als krystallographisches Netz bezeichnet. Sind in einem &lo b i u s'schen
Netz vier Netzpunkte in den Ecken eines Parallelogrammes
gelegen, so sind die beiden unendlich fernen Gegenseiten des
128
3.Blasius.
Parrtllelogrammes Netapunkte, die unendlich ferne Gerade eiiie
Netzgerade, das Netz ein krystallographiroches.
36. Liegen in einem Mob ius’schen Netz vier Netzpenkte
in den &ken eines Pardlelogrammes, so ist das Netz ein
kr~stallo~~a~hisches.
Der Mittelpunkt einer Curve 11. Ordnung ist der Pol der
unendlich fernen Geraden. Im krystallographischen Netz sind
daher die Mittelpunkte von Systemcnrven (nach Satz 11) Netzpnnkte.
37. Der Mittelpunkt jeder Systemcurve Jl. Ordnung im
krystallographischen Netz ist ein Systempunkt.
1st umgekehrt in einem Mobius’schen Netz der Mittelpunkt iM einer einzigen Systemcurye ein Systempunkt, so ist
die uiiendlich ferne Gerade als desseii Polare (nach Satz 11)
eine Systemgerade, das Netz ein krystallographisches.
30. 1st der Hittelpur~kt einar Systemcurve ein Systempunkt,
so ist das Netz ein krys~allographisches.
Auf der unendlich fernen Geraden eines krystallographischen Netzes, bilden, wie auf ,jeder anderen Systemgemden,
die beziiglich einer Systemcurve II. Ordnung conjugirten Punkte
eine involutorische Systempuuktreihe. Daraus und weil der
Mittelpunkt ein Systempwnkt ist, folgt der Satz :
39. Ist einer von zuwi cowjqirteii Durchmessmrz einer Systemcurve II;Ordnung im k ystnlloyray,hischeri 1Vet.z eine Sysbmgerade,
so ist es auch der andere.
Soll in einem Mijbius’schen Netz ein Systemkreis vorkommen, und sind PIP2 zwei beliebige Systempunkte desselben,
so sind die yon PI nach den Systempunkten A B C B . . . auf
dem Kreis gerichteten Strahlen ebenso gegeneinmder gelegen,
wie die von P2 nach diesen Punkten gezogenen Strahlen.
40. Kommt in einem Mobius’schen Nett ein Systembeis
VOB, so SiPld die sammtlichen Systemstrahlenbkchel, deven Centra
Sytempu&te des Kreises sind, untereimnder gbiuh.
Soll specie11 in einem krystallographischen Netz ein Systemkreis moglich sein, so liegt jeder Systempunkt A einem anderen A, diametrftl gegeniiber, denn der Mittelpunkt ist ein
Systempunkt, und der durch A gehende Durchmesser mum3
als Systemstrahl (nach Satz 7) den Kreis noch in einem zweitm
Systempunkt schneiden. Die von einem beliebigen System-
129
Geometric der &age.
punkt P des Kreises nach Punktenpaaren A A, , B Bl u. s. w.
gelegten Strahlen sind Strahlen , die paarweise aufeinander
senkrecht stehen, und da im Biischel P mehr als ein solches
Paar vorkommt, so ist der Biischel ein orthogonaler.
41. Ist in einem krystallo~qraphischen Net% ein Systemkreis
vorhmden, so muss der Systemstrahlenbuschel, welcher das Netz
charakterisirt, ein orthogonaler sein.
Ein Systemkreis des krystallographischen Netzes Rchiieidet
die unendlich ferne Gerade in den beiden imaginaren Kreispunkten, durch welche a118 Kreise der Ebene gehen. I n unserem Falle miissen die Punkte als Schnitte einer Systemcurve 11. Ordnung mit einer Systemgeraden die Eigenschaft
besitzen, dass jeder durch sie und drei Systempunkte gelegte
Kegelschnitt eine Systemcurve ist, d. h. also jeder durch
drei Systempunkte des Netzes gelegte Kreis ist ein Systemkreis.
42. Ist in euem krystallographischen ebenen Netz ein Systemkreis moglich, so sind alle Kreise, welche durch drei Systempunkte
gelegt werden, Systemkreise.
Wenn ein krystallographisches Netz enen Systemkreis
besitzt, so ist der Systemstrahlenbiischel, welcher fur das Netz
charakteristisch ist, ein orthogonaler. Enthalt umgekehrt ein
krystallographisches Netz einen orthogonalen Biischel, und ordnet man jedem Systemstrahl des letzteren den dazu senkrechten zu , so erhalten wir einen involutorischen Systemstrrthlenbiischel. Dieser schneidet die unendlich ferne Gerade
in derjenigen involutorischen Systempunktreihe, deren Ordnungspunkte die imaginaren Kreispunkte sind. Legt man durch
drei Systempunkte und diese beiden Punkte eine Curve 11. Ordnung, d. h. legt man durch drei Systempunkte einen Kreis,
so ist derselbe ein Systemkreis.
43. ht der Strahlenbuschel, welcher einem KrystaZZographischen Netz zu Grunde liegt, ein orthogonaler, so ist jeder durch
drei Punkte des ATetzes gelegte Kreis ein Systemkreis.
Gehen zwei Systemkreise eines Mij bius'schen Netzes
durch dieselben zwei Systempunkte, so liegen (nach Satz 28)
ihre beiden iibrigen Schnittpunkte , die beiden imaginaren
Kreispunkte, auf einer Systemgeraden. Die unendlich ferne
Gerade ist also eine Systemgerade, das Netz ein krystalloAnn.
a. Phya. u. Chem. N. F. XLV.
9
E. Blasius.
graphisches, und (nach Satz 42) ein solches, dem ein orthogonaler Biischel zu Gtrunde liegt.
44. Gehen durch zwei Systempunkte eines Mobius’schen
Xetzes zwei Systernkreise, so ist das Netz ein krystalloyraphisches,
der ihm zu Grunde liegende Buschel ein orthogonaler.
1st ein Mobius’sches Netz in Bezug auf eine Gerade g
symmetrisch, so schneiden sich die zu g symmetrisch liegenden
Systemgeraden auf g , und g ist daher eine Systemgerade.
Zwei Systemgeraden a und 6 und die zu ihnen symmetrischeii
al und 6, bilden ein Vierseit, yon dem g eine Diagonale ist,
wahrend die beiden anderen auf g senkrecht stehen. Letztere
sind ebenfalls Systemgeraden , ihr unendlich ferner Punkt ein
Systempunkt. Es folgt daher:
45. 1st ein ebenes Miihius’sches Netz symrnetrisch in Bezug
auf eine Gerade g, so ist dieselbe eine System.gerade, und auf der
zu ihr senkrechten RichCung liegt ein Systempunkt im U7zendlichen.
Die sammtlichen Systemstrahlenbuschel, deren Centra auf g
liegen, besitzen zwei aufeinander senkrechte Systemstrahlen,
sind also rhombische Buschel.
Sol1 ein ebenes Mobius’sches Netz in Bezug suf zwei
Geraden g1 und g, symmetrisch sein, so sind diese entweder
parallel, und dann ist ihr Schnittpunkt im Unendlichen ebenso
wie der unendlich ferne Punkt auf der zu ihnen senkrechten
Richtung ein Systempunkt - oder die beiden Geraden y1
und 9, sind gegeneinander geneigt, dann liegen auf den beiden
zu ihnen senkrechten Richtungen Systempurikte im TJnendlichen. I n beiden Fallen ist das Ketz ein krystallographisches.
46. Ist ein Miibius’sches Netz symmetrisch zu zwei verschiedenen Geraden, so ist dasselbe ein krystallographisches.
1st ein krystallographisches Netz symmetrisch in Bezug
auf eine Gerade g , so ist es auch symmetrisch in Bezug auf
jede zu g parallele Systemgerade gl. Denn verbindet man einen
beliebigen Systempunkt Y mit dem unendlich fernen Punkt auf
der zu g und g1 senkrechten Richtung, und schneidet die Verbindungsgerade die Geradeg, im Punkte Q, so ist der Punkt PI,
welcher yon P durch Q und den unendlich fernen Punkt harmonisch getrennt wird, ein Systempunkt, und die Punkte P
und PI liegen symmetrisch zu g,. Das Netz ist auch symmetrisch in Bezug auf die Systemstrahlen, welche auf g senk-
131
Geometrie der Jage.
recht sind, denn auf der zu ihnen senkrechten Richtung, namlich 9, liegt ein unendlich ferner Systempunkt.
47. Ist ein krystallographisches Netz symmetrisch in Bezug
auf eine Gerade g , so ist der Systemstrahlenbuschel des Netzes
ein rhomdischer und das Netz symmetrisch, sowohl in Bezug auf
alle Systemstrahlen, welche g parallel laufen, wie auch auf diejenigen, welche dazu senkrecht stehen,
Neben den Symmetrieeigenschaften der ebenen Systeme
sind besonders bemerkenswerth die aufeinander senkrechten
Systemstrahlen uiid die dadurch bestimmten rhombischen
Systemstrahlenbuschel. Sind in einem Mobius'schen Netz
zwei rhombische Systemstrahlenbiischel in allgemeinster Lage
vorhanden, d. h. so, dass keiner von den ausgezeichneten
Strahlen der Biischel in die Verbindungslinie ihrer Mittelpunkte
fallt, so muss noch ein dritter rhombischer Biischel im Netz
vorkommen. Man kann namlich die ausgezeichneten Strahlen
der gegebenen Biischel als Gegenseiten eines vollstandigen
Vierecks auffassen, und es gilt der Satzl): ,,Wenn zwei Paare
Gegenseiten eines vollstandigen Vierecks sich rechtwinklich
schneiden, so sind auch die letzten beiden Gegenseiten aufeinander normal."
Durch diesen Satz ist zugleich die Construction des dritten rhombischen Biischels gegeben.
40. Kommen in einem iWobius'schen Netz zwei rhombische
Systemstrahlenbiischel in allgemeinster Zage vor, so besitzt dasselbe auch noch einen dritten solchen Biischel. Die drei Paare
von ausgezeichneten Strahlen bilden die Gegenseiten eines vollstandigen Eerechs.
Es konnen im Mo bius'schen Netz auch zwei orthogoiiale
Systemstrahlenbiischel vorkommen. Derartige Netze lassen
sich j a direct bestimmen, indem man zwei orthogonale Biischelwahlt und so legt, dass die Verbindungslinie ihrer Mittelpunkte
in beiden Biischeln Systemstrahl ist. Da die beiden Biischel
zu der Verbindungslinie ihrer Centra symmetrisch sind? so
ist auch das ganze Netz zu dieser Geraden symmetrisch, und
auf der zu ihr senkrechten Richtung lie@ ein Systempunkt
im Unendlichen.
49. ERthalt ein Netz zwei orthogonale Strahlenbiischel, so
1) Reye, p. 182.
9*
132
E. Blasius.
ist dasselbe zur Terbindungslinie von deren XtteEpunkten symmetrisch.
Sind die beiden orthogonalen Biischel gleich, und besitzt
das eine einen Systemstrahl s,, so muss in dem anderen eiri
Systemstrahl s, vorhanden sein, der unter demselben W inkel
gegen die Verbindungslinie der Mittelpunkte geneigt ist, wie s,,
und zu s1 parallel ist (nach Satz 2a). Der Strahl s1 und
demnach jeder andere Systemstrahl des ersten Biischels enthalt also einen unendlich fernen Systempunkt. Das Netz ist
ein krystallographisches.
50. Enthalt ein Netz zwei gleiche orthogonale Systemsti-ahlen6usche1, so ist es ein Rrystallographisches Netz.
Wir wollen nun naher auf den Fall eingehen, dass eiri
Netz zwei ungleiche orthogonale Systemstrahlenbiischel 3; und
S, enthalt und zunachst untersuchen, ob in demselben ausserhalb der Verbindungslinie Sl S, noch der Mittelpunkt eines
weiteren orthogonalen Biischels vorhanden sein kann. Sei P
der Mittelpunkt eines orthogonalen Biischels, dann geht durch
P ein Systemstrahl p , welcher zu S, S, senkrecht steht. Dies
folgt aus__
den Satzen 49 and 45. Senkrecht zu p , also
parallel S, S, muss ein Systemstrahl von P liegen, weil P
Centrum eines orthogonalen Biischel ist. Es liegt also auf
__
S, S, ein unendlich ferner Systempunkt, und d a , wie wir
wissen, in der eu S, S, senkrechten Richtung ein zweiter liegt,
so miisste das System ein krystallographisches sein und die
Buschel il und 8, waren gleich, was
der Voraussetzung widerspricht.
Es kann also ausserhalb der Verbindungslinie 8,S2 kein Centrum
eines orthogonalen Biischels im
allgemeinen Mobius’schen Netx
vorhanden sein.
1st P (Fig. 4) ein Systempunkt des besonderen Mobius’schen Netzes, so kann man durch
denselben, wie wir gesehen haben,
einen Systemstrahl p legen, welFig. 4.
cher auf S, S, senkrecht steht.
~
~
~
133
Beometrie der &age.
Durch P moge der Strahl S, des Biischels S, und der Strahl S,
des Biischels S, gehen. Der zu s1 senkrechte Strahl des
Biischels S, heisse s,'
der zu s, senkrechte Strahl voii S,
heisse s',, und s', schneide s,' in dem Punkt Q. Lasst man
nun P die Punktreihe p durchlaufen, so beschreiben die beiden Strahlen s1 und s, zwei perspectivische Strahlenbiischel.
Da die hierbei yon s', und s,' beschriebenen Strahlenbiischel
bezw. den von s, und s, durchlaufenen gleich sind, so sind auch
die ersteren projectivisch. Riickt der Punkt P auf p ins Unendliche, so sind die Strahlen s1 und s, parallel, wahrend die
einander entsprechenden Strahlen sfl und s,' in die Qerbindungslinie S,S, fallen. Die von den Strahlen s,' und d2 beschriebenen Strahlenbiischel sind daher perspeetivisch und erzeugen als Schnitt entsprechender Strahlen eine gerade Punktreihe q. Fallt P in die Qerbindungsgerade S, S,, d. h. in
deren Schnittpunkt mit p , so stehen die Strahlen sfl und s',
nuf S, S, senkrecht, und da p durch diesen Schnittpunkt geht,
__
so ist auch p zu S, S, normal. Dies hatten wir auch aus
Griinden der Symmetrie schliessen konnen. Die Winkel PS, Q
und PS, Q sind Rechte, daher liegen die vier Systempunkte
Y Q S, S, auf einem Kreis k, dessen Durchmesser &P ist. Fallt
__
man von Clem Mittelpunkt $1des Rreises (Fig. 5) ein Loth MM,
___
auf SS,, so halbirt dessen Fusspunkt N, einerseits die Strecke
S, S, , andererseits die orthogonale Projection der Strecke P Q1
oder den Abstand von p und q. Es folgt, dass der Abstand
des Punktes S, von der Geraden p oder ihrem Schnitt PI
mit S,S, gleich dem Abstand des Punktes S, von q oder Q,
__
deren Schnitt mit SlS,, ist.
51. Wenn sich in dem Mobius'schen Netz mit zwei orthogonalen Strahlenbiischeln 4 und S, ein Punkt P auf einer zu
8, 8, normalen Geraden p befindet, und man uerbinded ihn durch
Strahlm s1 nnd s, mit den Punkten S, und S,, so liegt Q, der
Schnittpunkt der Strahlen s ' ~und s,' welche bez. in den Biischeln
Sl und S, auf den Strahlen s1 und sa senkrecht stehen, auf einer
zu 8,Sa senkrechten Geraden p, die von S, denselbp Abstand hat,
zoie p von S,.
Jeder Systempunkt Pliegt seinem zugeordneten Q diametral
~
~
~
134
3. Blasius.
gegeniiber auf eineni Kreis (Fig. 5): der noch durch Sl untl
8, geht. Abgesehen von dem Fall, dass der Kreis in die
Gerade S, iibergeht, kann kein Kreis,
der durch 8, S, urid einem Systempunkt P gelegt wird, weitere Systempunkte enthalten, denn sonst miissten
die Systemstrahlenbuschel S, und 8,
gleich seiri, was unserer Voraussetzung
widerspricht.
Jeder Systempunkt der Gernden
knnn als Schnittpunkt voii ASl %,
mit einer zu ihr seiikrechten Systemgernden aufgefasst werden. Es ist
Fig. 5.
also zu jt:dem Systempunkt Pl der
_Geraden 8, S2 ein anderer Q, vorhanden, welcher den gleichcn
Abstantl \on 114 dem Mittelpunkt der Strecke 8,S2 lwitzt.
Die Systempunktreihe S, S, ist folglich symnictriscli Zuni
Punkt J4. Dies ist besonders deshalb beinerkenswerth. weil
XI nicht Systempunkt sein kann, sonst musstc niimlicli wegen
des gleic-hen Abstandes von Systempunkten beiderseits von ill,
__
auch der unendlich ferne Punkt von Si S, ein Systempunkt und
das Netz ein krystallographisches sein. Wir lemen also i n
dei. Systempunktreihe $&
;
eine solche kenneri. die in Bezug
auf einen nicht zum System gehorigen Punkt sgmmetrisch ist.
IXese Eigenschaft iibertragt sich auch nuf alle Strahlenbiiwhel.
die man durch Projection einer solchen Punktreihe aus beliebigen Punkten des in dern Mittelpunkte All erriclitettw
Lotlies 1 crhiilt. Derartige Strahleubuschel besitzeri eiiie Art
vou rliombischer Symmetrie, dn clieselben nicht nur in Bezug
auf den Strahl I, sonderii auch den duzu senlirechten Stralil symmetrisch sind. Der letztere kann gleichfalls nicht ein Systemstrahl sein. Ks hefrsclit also lieinc vollkommenc Aiialogie
zwischen der Sfmmetrie in der Systempunktreihe. dem Systemstrahlen- und dem Systemebenenbiischel eiiierseits und den1
ebenen Betze und dem S~stemstrahlenboiidelandererheits. In
den Ietzteren sind k3Symnietriegeraden hex. Symmekieebenrri
immer Systemgenideu und Ebenen.
A
S
x
~
136
Geometrie der Lage.
52. Systempunktreihen konnen einen nicht zunc Systmi grhartyen Mittelpunkt , oder Symrnetriemittelpunkt hesitzen, Systemstrahbn- und Bbunenbuschel in Rezug nuf zzoei zii einander senkTechte Strahlen, bez. Ebeaen symmetrlch sein, welche nicht zum
System yehoren.
53. In dern ehenen AGtz mit zwei orthyonalm R u s c f d n S,
wnd 8, ist dir Verhindunyslinie der Yunkte S, und S, eine s.ymmetrische Systempunktreihe, deren Xttelpunkt in dem niclit zum
System gehiiriyen Mittelpunkt der Strecke S, Sz lieyt.
Wenn auf der Geraden SlS2 noch ein weiteres Ceritrum C'?
eines orthogonalen Systernbiischels liegen sollte , so musste
nach dem vorigen Satz die Pnnktreihe symmetrisch sein zu
den drei Mittelpunkten ~ ~ , M2,,
, , M3, der Strecken S, S,,
- _ _
S,S,, 8, S,. 1st also irgend ein Systempiinkt P, (Fig. 6) in
~
t
44
I
s2
k
I
2
1
93
Fig. 6.
der Entfernung u von S, vorhanden, so ist der beziiglich MI,
dazu symmetrische P,, welcher in der Entfernung a von Y,
und auf der critgegengesetzten Seite, wie P, von S, liegt, auch
ein Systempunkt. Der zu P, beziiglich JW,~ symmetrische
Systempunkt P, licgt iii der Entfernung a von S, und auf
derselben Seite davon wie PI von S,, endlich der zu P3 bezuglich -M,, symmetrische Punkt im Abstand IZ von S, aber
auf der entgegengesetzten Seite wie P,. Das heisst, die Systempunktreihe besitzt Systempunkte P, und P4, welche gleich wcit
von einem Systempunkte S, und auf verschiedenen Seiten desselben liegen, und folglich einen Systempunkt im Unendlichen.
Da i n der zu J; S, senkrechten Richtung auch ein Systempunkt im Unendlicheii liegt, so musste das Netz der Voraussetzung entgegeii ein krystallographisches sein. Wir baben
oben geseheu , dass ausserhalb der Geraden SlS, gleichfalls
nicht das Centrum eiries orthogonalen Systemstrahlenbuschels
miiglich ist, wenu das Natz nicht ein krystallographisches ist,
kiinncn also jetzt allgemein behaupten.
54. Sind in einem iVetz rnehr als zwei mthogonale $trdlenbuschel vorhanden, 80 ist dasselbe ein kr.ysta~~*9raphisches.
E. Blasius.
136
Wir wenden uns jetzt wieder zu den zusammengehirigen
Systempunkten Pund Q, und verlangern(Fig. 7)diedurchsie gehenden Strahlen s1 und 8, des Biischels
S,, s, und s,’ des Biischels S, bis sich
s’, und s, in N , s1 und s,‘ in N
schneiden. Das Viereck iMYiVQ
ist dann ein solches, in dem zwei
Paare normaler Gegenseiten vorhanden sind, die dritten Seiten
und P Q stehen daher auch
auf einander senkrecht, und ihr
Schnittpunkt R ist der Mittelpunkt eines rhombischen Systembiischels. Zu jeder Geraden, welche
zwei zusammengehorige Punkte P
Fig. 7.
und Q verbindet, giebt es einen
Systemstrahl, welcher auf derselben senkrecht steht. Mehr
als ein derartiger Normalstrahl kann nicht vorhanden sein.
Denn w b e n zwei vorhanden, so schnitten sie sich in
einem unendlich fernen Systempunkt, das Netz besitzt aber,
wenn es kein krystallographisches ist, nur den unendlich fernen Systempunkt der zu S, S, senkrechten Richtung.
Sol1 also dies der Schnittpunkt der beiden zu &P normalen
sein, so muss &P der Geraden
parallel sein, was nach
der Construction von Q aus P unmoglich ist.
Die Lage der Centra rhombischer Biischel auf den Geraden P Q wollen wir etwns genauer untersuchen. Lasst man
-P die auf S, 8, senkrechte Gerade p durchlaufen, so heschreibt
Q die Gerade 2. Die von S, nach zusammengehorigen Punkten
gezogenen Strahlen schliessen immer einen rechten Winkel
ein, wie auch die von 8, durch dieselben Punkte gelegten
Strahlen. Nun gilt der Satz l), ,,dreht sich ein Winkel von
unveranderlicher Gr6sse um seinen festen Scheitel P und begegnen die Schenkel xx, zwei festen Geraden QQ, bez. in
den Punkten und gl, so hiillt die Verbindungslinie xxl einen
~
x
1) Steiner’s Vorlesungen uber synthetische Geometrie, 11. Theil,
herausgegeben von Schrtiter, 1. Aufl. p. 211. 1867.
Geometric der Laye.
137
Kegelschnitt ein, welcher die beiden Geraden I! 8, b e r m und
den Punkt P zu einem seiner Brennpunkte hat." Wenden
wir diesen Satz auf unseren Fall an, indem wir fur P entweder kY1 oder S,, fiir die Geraden I!g1 die Geraden p p und
als Winkel von unreriinderlicher Grosse den Rechten wahlen,
so erkennen wir, dass Sl und S, die Brennpunkte des von
den Geraden p& eingehullten Kegelschnittes sind. Das Centrum des rhombischen Biischels , welches auf p& liegt, ist
(vgl. Fig. 7) ein Punkt R, der durch die Punkte Y und Q
von dem Schnittpunkt L der Geraden &P
und
har___
monisch getrennt ist. Bus Symmetriegrunden ist Sl S, die Axe
des von p& umhullten Kegelschnittes k . Die Polare des
Punktes in Bezug
auf den Kegelschnitt
Q
k (Fig. 8) steht auf
__
der Axe SIS, senkrecht, weilL auf der
Axe liegt. Nennen
wir ihren Schnitt__
punkt mit S, S, R,,
so ist B1von L durch
Q,
PInnd Q1,die Scheitelpunkte des Kegelschnitts, harmonisch
Fig. 8.
getrennt. Projiciren
___
wir die vier harmonischen Punkte senkrecht zu Sl 8, auf die
Punktreihe p&, so erhalten wir J P R Q und R ist von L
durch P und Q harmonisch getrennt. Da Rl die Polare
von L beziiglich des Kegeischnitts ist, J P die Tangente aus
L an denselben, so ist ihr Schnittpunkt R dey Beruhrungspunkt der Geraden y&. Wie wir andererseits gesehen haben,
ist dieser Punkt das Centrum des rhombischen Biischels.
55. Lasst man einen Systempunkt P alle miiglichen Jagen
auf einer zu S, S, senkrechtes Systemgeraden p einnehmm, und
verbindet ihn mit dem zuyehortqen Punkte Q durch eine Gerade,
so umhiillt letztere einen Kegelschnitt, dessen Brennpunkte die
Centra LS~und S, der orthoyonalen Ruschel sind Die Beruh~
E. Blasius.
138
rmgspiinkte der Geraden y& sind Hittelpunkte rhombischer
Systemstrahlenbuschel.
In den von den Geraden p& umhiillten Kegelschnitten lernen wir Systemcurven kennen, bei denen nicht nur die Tangenten, sondern auch die Normalen in Systempunkten Systemgeraden
__
sind. Die Punkte J und 1;,, in welchen die Axe S, S, des Kegelschnittes yon den Tangenten und den zugehorigen Normalen desselben geschnitten werden, sind einander zugeordnete Punkte
einer involutorischen Punktreihe , deren Ordnungspunkte die
Brennpunkte bilden. Dass I; und Ll durch Sl und S, harmonisch getrenrit werden, kann man auch durch eine geeignete Erganzung von Fig. 7 I) sehen. Da L % auf L, R senkrecht steht,
so ist der Winkel den J T mit
bildet, das Complement
___
von demjenigen zwischen L, R und S, S, oder gleich deln
__
Winkel zwischen L,R und der Normalen zu S,S,. Daraus
folgt , dass die beiden rhombischen Strahlenbiischel mit den
Mittelpunkten L und L, gleich sind. Sie haben auch parallele
Axen oder ausgezeichnete Strahlen, nur liegt die Axe, welche in
___
dem einen rhombischen Biischel mit S, S, zusammenfallt, i n
__
dem anderen zu 8, S, senkrecht. Jeder Systemstrahl des
einen Biischels bildet mit S, S, denselben Winkel, wie der
entsprechende Strahl des anderen Biischels mit der Normalen
zu S, 8,. Folglich stehen j e zwei einander entsprechende
Strahlen der beiden Biischel aufeinander senkrecht , und ihre
__
Schnittpunkte liegen auf einem Systemkreis , der L L, zuni
Durchmesser hat. Sammtliche Systempunkte des Kreises sind
(nach Satz 40) Centra yon Biischeln, die unter sich und mit
den Biischeln 1; und A, congruent sind.
56. Sehneidet die ~ e r ~ i n d u n y s ~ i nzzaeier
ie
msammengelioriget.
Punkte P und Q die Gerade S, S, in einem Punkte L , so ist
der m n L durch 8, und S, hrsrmonisch getrennte Pankt 1;, Centrum eims &em BiischeE L cwagruenten, aber geg.ezl j e n m urn
YOQ gedrehten Biischets. Ber iiber A X , als Bzcrchmesser 6es c h r i e h e Kreis ist ein Sy&emkpeit?, und enthah & Systempunkte
Juuter Cen&a m n BiischeL die mit 1; congruent shd.
~
~
~
~
~
1) h d e m M N una S, S, bis zu ihrem Schnittpunkte L, verlsngert
wetden.
Geometrie der Zage.
139
Von diesen Kreisen diirfen sich (nach Satz 44) keine zwei
in Systempunkten schneiden.
Es sei hier nur noch kurz darauf hingewiesen, dass man
es bei der Beziehung zwischen allen Punkten P der Ebene
und den zugehorigen Punkten Q mit einer eigenthiimlichen
involutorischen Verwandtschaft zweiten Grades zu thun hat.
Es entsprechen den Geraden bei dieser besonderen Verwandtschaft nur Geraden oder Parabeln. Liegt namlich ein Punkt Y
im Unendlichen, so sind die nach ihm gerichteten Strahlen s1
und s, der Biischel S, und S, parallel; dann und nur dann
sind die nach Q geriohteten Strahlen stl und d2 parallel, so
dass auch Q im Unendlichen liegt. Dem unendlich fernen
Punkt einer Geraden entspricht a150 ein einziger Punkt im Unendlichen, und keinem im Endlichen gelegenen Punkt kann ein
unendlich ferner zugeordnet sein. Beschreibt also P eine Gerade,
so bewegt sich Q im allgemeinen auf einer Parabel. Auf die
iibrigen merkwurdigen Eigenschaften der besonderen Verwandtschaft zweiten Grades wollen wir hier nicht naher eingehen.
Auf den Systemcurven 11. Ordnung, welche die Gerade
__
PQ umhiillt, wenn P die zu SlS, senkrechte Gerade p
durchlauft, sind die Systempunkte symmetrisch zur Axe S, S,,
nicht aber zu der dazu senkrechten Axe vertheilt. Denn
waren sie letzteres, so miisste der Systemstrahlenbuschel von S,
zu demjenigen von S, symmetrisch, also die beiden orthogonalen
Biischel gleich sein. Dies ist aber gegen die Voraussetzung.
57. Die Yertheilung der Systempunkte mif einer Systemcurve
-
II. Ordnulzg braucht nicht dieselbe Symmetrie wie die Curve
besitzen.
zu
,,Wird ein eigentlicher Brennpunkt einer Curve 11. Ordnung verbunden mit den Beruhrungspunkten , sowie mit dem
Schnittpunkte von zwei Tangenten, so bildet die letztere Verbindungslinie gleiche Winkel mit den beiden ersteren." l)
Wenden wir diesen Satz an auf eine Systemcurve eines
l o b i u s schen Netzes und setzen voraus, dass ein Brennpunkt Sl derselben ein Systempunkt sei, so ist der Systemstrahl s , welcher von s,, nach dem Schnittpunkte zweier
SptemtangeateD n utld B der Curve geht, glekfi geneigt gegen
1) R e p e , &ornetl.ie der
Tiage, p. 1%.
1882.
140
23. Blasius.
die Systemstrahlen al und b,, welche 8, mit den Beriihrungspunkten von a und b verbinden. In dem Strahlenbiischel S,
ist auch ein Systemstrahl vorhanden, welcher auf s senkrecht
steht, namlich derjenige, welcher von s durch a und b harmonisch getrennt wird. Solcher senkrechter Systemstrahlenpaare miissen aber im Buschel S, unendlich viele vorhanden
sein , denn man kann von unendlich vielen Systemtangentenpaaren a b ausgehen , welche unendlicb viele verschiedene
Strahlen s bestimrnen. Der Systembiischel S, ist folglieh ein
orthogonaler. Die zum Brennpunkt gehorige Directrix ist
dessen Polare, also in unserem Falle eine Systemgerade.
58. Sol1 in einem Mobius’schen Netze ein eigentzicher Brennpunkt einer Systemcurve I . Ordnung Systempunkt sein, so muss
rlerselbe Centrum eines orthogonalen Systemstrahlenbuschels sein.
Die zum Brennpunkt gehorige Birectrix ist eine Systemyerade.
11. D e r S y s t e m s tra h l e n b iindel.
Viele von den Satzen, die im I. Theile fiir das ebene
System abgeleitet worden sind, iibertragen sich auch auf den
Strahlenbuiidel und zwar entweder, indem man von der projectivischen Beziehung von Strahlenbundeln auf ebene Systeme
Gebrauch macht, oder, was im Grunde genommen auf dasselbe
herauskommt, indem man die Beweise fur die Ebene einfach
in der Weise verandert, dass fur die Punkte und Geraden
der Ebene Strahlen und Ebenen des Bundels gesetzt werden.
Andere Satze , namentlich solche , bei denen die unendlich
fernen Elemente der Ebene, oder solche, bei denen Winkelverhaltnisse eine Rolle spielen, sind nicht ohne weiteres, zum
Theil iiberhaupt nicht, auf den Biindel anwendbar. Von der
ersteren Gruppe seien folgende erwahnt , indem wegen der
Beweise nur auf die analogen Satze im ebenen Netz verwiesen wird.
59. Die Bestimmung eines Systembundels durch ein Pierftach oder Vierkant kann man auch so auffassen, als ob als
PundamentalsCiicke zwei nicht miteinander in Widerspruch stehende
tSystemebenenbusche1 oder zwei nicht miteinander in Widerspruch
stehende Systemstrahlenbuschel gegeben seien (vergl. p. 112-1 13).
Dass die Systemebenenbuschel oder Strahlenbiischel nicht
miteinander in Widerspruch steben , ~ ~heissen
l l , dass ihre
Geometrie der Lage.
141
gemeinschaftlichen Elemente Systemstiicke der beid en Systemebenen, bezw. Strahlenbiischel sein miissen.
60. Durch einen Systemebenenbuschel und einen Systemstrahlenbuschel ist ein Systembiindel nicht bestimmt.
61. In dem Systemstrahlenbiindel sind Kegelflachen I% Ordnung vorhanden, auf denen unendlich viele Systemstrahlen des
Biindels liegen (Satz 4).
62. Eine Kegelflache I% Ordnung , welche durch fun1
Systemstrahlen bestimmt ist, besitzt unendlich viele Systemstrahlen
als Seiten und ist also eine Systemke.gelflache 1%Ordnung (Satz 5).
63. Jede Systemebene schneidet jede Systemkegelflache I1
Ordnung in einem zweiten Systemstrahle, wenn sie dieselbe in
einem Systemstrahl trifft (Satz 6).
64. Jede Ebene, welche eine Systemkegelflache in einem
Systemstrahl beriihrt, ist Systemebene (Satz 7).
Die Systemkegelflache I1 Ordnung, auf der unendlich viele
Systemstrahlen liegen, wird umhiillt von einem ~~enenbiischel
I1
Ordnung, welches unendlich viele Systemebenen enthalt (Satz 7).
65. Auf einer Systemkegelflache I1 Ordnung ist die Gesammtheit der Systemstrahlen durch drei derselben gegeben. Die
Uebrigen werden aus den dreien durch for{qesetzte Construction
der vierten harmonischen gefunden (Satz 8).
66. Burch drei Systemstrahlen und eine durch sie gehende
Systemkegelflache II. Ordnung ist ein Systembiindel vdlQ bestimmt (Satz 9).
67. Die Polarebene eines Systemstrahles beziiglich einer
Systemkegelflache I1 Ordnung ist eine Systemebene des Biindels
(Satz 10).
68. Ber Polstrahl einer Systemebene beziiglich einer SystemKegelfEiiche IX Ordnung ist ein Systemstrahl des Biindels (Setz 11).
69. Beriihrt eine Systemebene eine Systemkegelflache I1 Ordnung, so ist ihr Beriihrungsstrahl ein Systemstrahl (Satz 12).
70. Die Tangentialebenen durch einen nicht auf der Systemkegelflache II. Ordnung liegenden Systemstrahl sind enhueder beide
Systemebenen oder keine van beiden ist es (Satz 13).
7 1. Besitzen zwei projectivische Systemebenenbiiscitel dieselhe
Axe und dieselben Systemebenen, so sind die beiden Ebenen, welche
sie entsprechend gemein haben, entweder beide Systemebenen, oder
Reine von beiden ist eine solche (Satz 14).
3.Blasius,
142
‘12. Vird eine Kegelflache II. Ordnung durch funf Tangentialebenen bestimmt welche Syqtemebenen sind, so ist die Kegelflache eine Systemkegel$?ache, d. h. unendlich viele ihrer Seiten
sind Systemstrahlen und der sie umhullende Ebenenbiischel I .
0rdnun.g enthult unendlich viele Systemebenen (Satz 19).
73. Zine Keyelflache, welche gegeben ist durch drei Systemstrahlen und zwei weitere Strahlen, die Ordnungsstrahlen eines ebenen
involutorischen S~stemstrahlenbischels sind, ist eine Systemkegelflache II. Ordnung , auch menn die Ordnunysstrahlen nicht reell
sondern conjngirt imaginar sind (Satz 17).
14. Xine hkqelflache II. Ordnun.7, welche durch fiinf Beriihrunysebenen gegeben ist , von denen drei Systemebenen , die
heiden anderen Ortlnun~gselemente ekes involutorischen Systemstrahlenbuschels sind, ist eine Systemkegelflache auch im E’alle, dass
die bemgten Ordnungselemente nicht reell sondern, conjugirt imaginiir sind (Satz 18).
75. 1st eine liegelfZiiche IL Ordnung zu construiren, welche
durch vier Systemstrahlen geht, und eine Systemebene beriihrt oder
vier Systemebenen beruhrt und durch einen Systemstrahl geht, so
erhalt man jedesmal zwei Kegelflichen, und entweder beide sind
Systemkegelfiiichen, oder keine von beiden ist es (Satz 20, 21).
76. Eine Kegelflache I% Ordnuny, welche durch vier Systemstrahlen geht und in einem derselben eine Systemebene beriihrt,
ist eine Systemkegelfiache (Satz 22).
7 7. sine Kegelflache I% Ordnung, welche vier Systemebenen
und eine von ihnen Cn einem Systemstrahle beriihrt, ist eine Systemkegelfluche (Satz 23).
78. h’ine Kegelflache II. Ordnung, welche durch drei Systemstrahlen geht und in zweien derselben Systemebenen beruhrt, ist
eine Systemkegelflache (Satz 24).
79. Eine Systemkegelflache II,Ordnung, welche drei Systemebenen, zwei davon in Systemgeraden beriihrt, ist eine Systemkegelfiuche (Satz 25).
80. Sind drei von den Schnittstrahlen zzoeier Systemkegelfiachen I1 Ordnung Systemstrahlen, so ist auch der vierte ein
soleher (Satz 26).
81. Sind drei von den gemeinschaftichan Beruhrungsebenen
zweier Systemkegelfiachen II. Ordnung Systemebenen, so ist auclt
die vierte eine solche (Satz 27).
,
Geometrie der Lage.
143
82. Sind zwei von den gemeinschaftlichen Seiten zweier
Systemkegelflachen 2% Ordnung Systemdrahlen , so liegen die
beiden ubrigen auf einer Systemebene und sind als Ordnungselemente eines involutorischen Systemstrahlenbuschels enheder beide
Systemstrahlen, oder keiner von beiden ist ein soleher. Auch in
letztereni Palle, und selbst wenn sie imaginar sind, haben sie die
Bigenschaft, dass liregelfiachen II. (Irdnung, welche durch sie und
drei Systemstrahlen gehen, Systemkegelfiaclien sind (Satz 28).
83. Sind zwei von den yenieinschaftlichen Beruhrungsebenen
zioeier Systemkeyelfiachen 1% Ordriuny Systemebenen, so schneiden
sich die beiden ubrigen in einem Systemstrahl rind sind als Ordnunpelemente eines involutorischen Systemebenenduscliels entweder
beide Systemebenen, oder keine von beiden ist eine solche. 1174ch
in letzterem fi’alle, und selbst wenn sie imaginar sind, haben sie
die Eigenschaft, dnss KegelfZachen TI. Ordnung, welche sie und
drei Systemebenen beruhren, Systemke~gelfiachensind (Satz 29).
84. 3ine Systemkegelflache III. Ordnung, welche durch neun
Systemstrahlen bestimmt ist, eiithalt noch unendlich viele weitere
Systemstrahlen und kann als Syniemkeyelfiache TI[ Ordnung bezeichnet werden (Satz 30).
85. Eiae Systemebene, welche e k e Systemkegelfiache IIL Ordnung in einent Systemstrahl schneidet, enthalt zwei weitere Systemstrahlen derselben, von der Eigenschaft, dass jede durch sie und
drei beliebiye Systemstrahlen gelegte KegelfZache IT. Ordnung eine
Systemkeyelflache ist (Satz 31).
86. Schneidet eine Systemebene eine Systemkegelflache IIT.
Ordnung in zwei Systemstrahlen, so ist auch der dritte gemeilzschaftliche Strahl ein Systemstrahl (Satz 32).
87. Wenn eine Systemkegelfiache II. Ordnuny eine Systemkegelflache III. Ordnuny in funf Systempunkten schneidet, so ist auch
ihr sechster gemeinschaftlicher Strahl ein Systemstrahl (Satz 33).
88. Alle Systemkegelflachen IIL Ordnung , welche dureh
dieselhen acht Systemstrahlen gelegt werden konnen, schneiden sich
in einem und demselben neunten Systemstrahl (Satz 34).
Die vorangehenden Satze sind solche, welche wir unmittelbar durch gebertragung von Satzen iiber das ebene System
erhalten konnen. Als Gesammtheit genommen, sollen sie d a m
dienen, zu zeigen, dass das Zonengesetz der Krystnllographie
einer wesentlichen Ertreiterung fahig ist. Der Zone oder dem
144
E. Blasius.
krystallographischen Ebenenbiischel I. Ordnung, welcher bisher allein beriicksichtigt wurde, gesellen sich in einfacher und
naturgemasser Weise die Systemebenenbiischel zweiter and
hoherer Ordnung zu, die wir als. Zonen zweiter und hoherer
Ordnung bezeichnen kijnnen.
Von den nun zu behandelnden Satzen, die fiir den
Strahlenbundel besonders abgeleitet werden miissen, besitzeii
viele immerhin noch grosse Aehnlichkeiteii mit Satzen uber
ebene Systeme und manche wiirden sich, wenn auch nicht
direct, wie die obigen, auf solche zuriickfuhren lsssen.
1st der Systemstrahlenbiindel symmetrisch in Bezug auf
eine Ebene E , so bilden zwei Systemebenen oc und /Imit den
zu ihnen beziiglich E symmetrisch liegenden Ebenen ein Vierseit , dessen drei Diagonalebenen Systemebenen sind. Die
Ebene E ist eine von den Diagonalebenen, die beiden anderen
stehen auf E senkrecht und schneiden sich in einem zu E normalen Systemstrahl.
89. Ist ein Systemstrahlenbiindel in Bezug auf eine Ebene E
symmetrisch, so ist dieselbe eine Systemehene und ihre Normale
ein Systemstrahl.
Wir wenden uns zu specielleren Formen des Bundels und
zwar zuerst zu dem orthogonalen Bundel. Jede Systemebene
eines orthogonalen Bundels ist eine Symmetrieebene desse1ben.l)
Daraus folgt:
90. Zu irgend einer beliebigen Zone des orthogonalen Biindels miissen unendlich viele andere von gleicher Art existireiz,
namlich die zur ersten symmetrischen Zonen beziiglicli sammtlicher
Systemebenen des Biindels.
Hierbei und im Folgenden nennen wir Zonen voii gleicher
Art solche , deren sammtliche Systemebenen gleichzeitig zur
Deckung gebracht werden konnen, ohne Riicksicht darauf ob
im regularen Krystallsystem , fur welches der orthogonale
Bundel massgebend ist, die Zonen denselben Nainen tragen
oder nicht.
Sind a und a, die Axen zweier gleichen Zonen im orthogonalen Biindel und q eine Systemebene des Biischels a , so
existirt im Buschel a, (nach Satz 3a) eine Systemebene ql,
1) E B l a s i u s , Beitrag z. geom. Krystallographie,
p. 553. 1890.
145
Geomeh-e der Aage.
welcha die gleiche Neigung zur Ebene
besitzt wie q und
auch auf derselben Seite der Ebene
liegt. Die Ebene,
welche durch die Schnittgerade von q und q, und die Normale zu
gelegt wird, ist eine Systemebene, welche auf
senkrecht steht und den Winkel zwischen a und a, halbirt.
Die zur Halbirungeraden des Winkels (a a,) normale Ebene
halbirt den Nebenwinkel und ist ebenfalls eine Systemebene.
91. Biejenigen beiden Ebenen, welche im orthogonalen Bun-
aa,
5
del auf der Ebene zweier Axen a a, von gleichen Zonen senkrecht
stehen und die von a und a, gebildeten FEnkel halbiren, sind
Systemebenen des Biindels.
Daraus folgt :
Zwei Zonen im orthogonalen Biindel sind dann und nur
dann gleich, wenn die Halbirungslinie des Winkels zwischen
ihren Axen ein Systemstrahl ist. Da dem reguliiren System
ein orthogonaler Biindel zu Grunde liegt ergibt sich demnach:
Sind im regularen System zwei Flachen (und folglich die
dazu normalen Zonen) von gleicher Art, so sind die geraden
Abstumpfungen ihrer Kanten krystallographisch moglich und
umgekehrt.
Condruirt man die symmetrischen Axen zu einer gegebenen a beziiglich sammtlicher Systemebenen eines Systemebenenbiischels I. Ordnutlg mit der Axe 6 , so liegen diese
alle auf einer Rotationskegelflache, deren Axe b ist.
92. Ton den Axen von Zonez gleicher Art mit einer Zone a
liegen uiiendlich viele azif Botationskegeln, welche a als Sez'te enthalten und deren Axe jeder beliebz$e andere Systemstrahl sein kann.
Sind drei Axen a, a2 a3 von Zonen gleicher Art gegeben,
so sind die Ebeneh, welche auf den Verbindungsebenen je
zweier unter ihnen senkrecht stehen uud den Winkel zwischen
ihnen haibiren nach Satz 91 Systemebenen. Dieselben schneitlen
sich in e i n m Systemstrahl K und die zu 4 a2 a3 symmcftrischen,
beziiglieh aller Systemebenen des Biischels k , liegen auf einem
dureh al a2 ag bestimmten Rotationskegel und sind alle von
gleicher Art, wie a, a2 a3.
93. Burch drei Axen von Zmen gbicher Art ist im orthogonabn Bitndet ein Rotationskegel des Systems bestimmt, auf dem
noch zlrtendlich viele andere Axen uon Zonen derse@en Art liege..
Ann. d. Phys. u. Chem. N. F. XLV.
10
E. Blasius.
146
Wird ein solcher Rotationskegel entweder durch drei
Axen a , a2 as von gleicher Art oder durch einen krystallographischen Strahl k als Kegelaxe und eine einzige Axe a,
als Seite bestimnit , und liegt auf demselben ein beliebiger
anderer Systemstrahl 6, , so ist die Ebene, welche durch die
Normale n zur Ebene a,b, und die Axe k des Kegels gelegt
wird, eine Systemebene, weil k und n Systemstrahlen sind, und
halbirt den Winkel zwischen a, und b,. Es folgt nach dem Zusatz zu 91, dass 6, Axe einer Zone von gleicher Art wie 9 ist.
~
94. Ist ein Rotationskegel des Systems entweder durch drei
Axen ,a, aa a3 von Zonen derselben Art, oder durch einen Systemstrahl k als Axe des Kegels und einen anderen Systemstrahl a,
als Seite bestimnit, so sind alle auf demselben lie-qenden Systemstrahlen Axen von Zonen derselben Art wie a,.
Aus diesem Satz und dem Satz 80 ergibt sich:
95. Legt man durch drei [ystemstrahlen einer turn System
gehongen Rotationskegelfiache eine andere Systemkegelfiache IT.
Ordnung, so schneiden sich die Kegel in einem vierten Systemstrahl, welcher Axe einer Zone von gleicher Art mie die Zoneii
der drei ersten Strahlen ist.
Wenn ein Bundel nicht wie der orthogonale, ausschliesslich Systemstrahlen besitzt, auf denen Systemebenen senkrecht
stehen, so sind doch noch viele Moglichkeiten vorhanden, in
denen er einzelne oder auch ganze Gruppen normaler Systemstrahlen und Systemebenen enthalt. Das trikline System ist
das einzige, welches im allgemeinen keine normalen Elemente
hat. Aber auch im triklinen System kommt nach Ansicht
mancher Krystallographen eine Anzahl von Krystallen mit
zwei aufeinander senkrechten Kanten vor. E s handelt sich
um Krystalle, welche man friiher in ein besonders ,,diklinoedrisches" System stellte. Nach den Eintheilungsgrundsatzen
von B r a v a i s und Anderen bilden die Krystalle dieser Art
nicht ein System, j a nicht einmal eine der 32 Abtheilungen.
Damit ist aber nicht gesagt, dass sie nicht von der grossten
Wichtigkeit namentlich fur die Structurtheorie der Krystalle
waren, wenn sie wirklich vorkamen. Theoretisch lasst sich die
Frage nach ihrer Xxistenz nicht entscheiden und praktisch lhst
sich m a r feststellen, dass bestimmte Krystalle nur fur bestimmte
147
Geometrie der &age.
Temperaturen die senkrechten Kanten besitzen, nicht aber,
dass es keine Krystalle gibt oder geben kann, welche sie bei
allen Temperaturen bewahren. Da wir also das Vorhandensein der besagten Gruppe weder mit Sicherheit behaupten
noch verneinen konnen , so werden wir bei unseren geometrischen Untersuchungen auf sie und einige andere ahnliche
Gruppen Rucksicht nehmen.
Wenn man den Fall, dass zwei aufeinander senkrechte
Kanten in einem triklinen Krystall vorkommen, von der geometrischen Seite auffasst, so strehtdemselben als gleichberechtigt und reciprok derjenige gegenuber, bei welchem im triklinen
System zwei Ebenen aufeinander senkrecht stehen. Nur dadurch, dass man vielfach friiher auf die Axen das Hauptgewieht legte, ist es zu erklaren, dam neben dem diklinoedrischen
System nicht ein solches mit zwei aufeinander senkrechten
Ebenen angenommen wurde. Nach unserer jetzigen Auffassung
ist der Fall demjenigen des friiheren .diklinokidrischen Systems
gleichberechtigt, wenn er auch wie jenes nicht einmal eine
der 32 Abtheilungen bildet. Weder die Krystalle mit den
zwei aufeinander senkrechten Kanten noch diejenigen mit zwei
aufeinander senkrechten Ebenen haben wesentlich geometrisches
Interesse. Dagegen ergeben sich einige bemerkenswerthe Verhaltnisse bei der Untersuchung von Formen, die mehrere derartige orthogonale Elemente besitzen.
Da der krystallographische Strahlenbundel durch vier
Strahlen oder vier Ebenen bestimmt wird, so ist es auf unendlich viele Arten moglich Strahlenbundel zu construiren, in
clenen zwei Paare aufeinander senkrechter Kanten oder zwei
Paare aufeinander senkrechter Ebenen vorkommen. Es gilt
nun aber der Satz: Wenn in einem Vierseit zwei Paar Gegenkanten aufeinander senkrecht stehen, so sind auch die beiden
letzten Gegenkanten normal. Dieser Satz ergibt sich aus dem
folgendenl) : ,,Wenn bei einem Tetraeder ein Paar Gegenkanten
rechtwinklig zu einander gerichtet ist und noch ein zweites
Paar, so ist es auch das dritte Paar." Wenn man namlich
1) Schrliter, Theorie d. Oberflfichen zweiter Ordnung und der
Raumcurven dritter Ordnung als Erzeugnisse projectivischer Gebilde
p. 84. 1880.
10'
145:
E. Blasius.
durch einen Punkt Parallelebenen zu den Ebenen eines Tetraeders legt , so erhzlt man ein Vierseit , dessen Gegenkanten
den Gegenkanten des Tetraeders parallel sind, und verschiebt
mail urngekehrt, die Ebenen eines Vierseits sich selbst parallel
so, dass sie nicht mehr alle durch einen Punkt gehen, so erhalt man ein Tetraeder, dessen Gegenkanten denen des Vierseits
pitrallel laufen. Aus dem Satze ergibt sich fur den krystallographischen Strahlenbundel :
96. Besitzt ein Rystallographischer Strahlenbundel zwe2
Paare aufeinander senkrechter 8ystemstrahlen , so ist auch ein
drittes solches Paar vorhanden. Uie drei Paare bilden die Ge.qew
kanteri eines Vierseits.
Wenn ein krystallographischer Strahlenbiindel S, zwei
Paare aufeinander senkrechter Ebenen enthalt, so besitzt der
dazu reciproke Strahlenbundel S,, dessen Strahlen und Ebenen,
bez. auf den Ebenen und Strahlen des ersteren senkrecht sind,
zwei Paare aufeinander senkrechter Strahlen. I n S, ist also
nach dem vorigen Satz noch ein drittes Paar aufeinander
senkrechter Strahlen vorhanden und folglich in S, ein drittes
Paar aufeinander senkrechter Ebenen.
9 7. Besitzt ein Rrystallopaphischer Strahlenbundel zwei
Paare aufkiaander senhrechter Ebenen, so enthalt er noch ein
drittes derartiges Paar. Die drei Paare bilden die Gegenseiten
eines Yierkants.
Wie dieser Satz dem Satze 43 fur dle Ebene analog ist,
ohne dass er sicli aus dem letzteren einfach ergibt, so nehmen
auch die Strahlenbiindel mit zwei orthogonalen Zonen oder
mit zwei orthogonalen ebenen Strahlenbiischeln eine ahnliche
Stellung unter den Strahlenbundeln ein, wie die Netze mit zwei
orthogonalen Strahlenbiischeln unter den ebenen Netzen. Die
Satze lnssen sich auch hier nicht ohne weiteres von der Ebene
auf den Raum ubertragen. Wird ein Biindel durch zwei beliebige ortliogonale Zonen bestimmt, die nicbt mit einander
in Widerspruch stehen, d. h. deren gemeinsame Ebene E eine
Systemebene beider Buschel ist, so ist diese gemeinssme Ebene
eine Symmetrieebene des Biindels. Der Biindel 1st also mindestens von der Symmetrie des inonosymmetrischen Systems ;
senkrecht zu B liegt (nach Satz 89) eine krystallographische
Kante.
Ceometrip der Aage.
149
98. Ein lcrystallographischer Strahlenbiindel mit i w e i orthoyonalen Zonen besitzt in der gemeinsamen Ebene der beiden %onen
eine Symmetrieebene.
Sind in einem krystallogmphischen Strahlenbiindel 8, zwei
orthogonale ebene Strahlenbiischel vorhanden, so ist derjenige
krystallographische Strahlenbiindel S:, , dessen Ebenen und
Strahlen, bez. auf den Ebenen und Strahlen von Sl senkrecht
stehen, ein Biindel von der im vorigen Satz vorausgesetzten
Art. Der Symmetrie des Biindels 8, muss die gleichartige
Symmetrie des Biindels 8, zu Grunde liegen.
99. Ein kr~stallo.qraphischerStrahlediindel mit zwei orthogonalen ebenen Strahlenbiischeln besitzt eine Symmetrieebene, welche
senkrecht zuni yemeinsamea Stralil der beiden Biischel ist.
Jede Ebene n , welche in einem Biindel mit zwei orthogonalen Ebenenbiischeln s1 und s2 nuf der Verbindungsebene
d ‘der Axen s1 und sa senkrecht steht untl durch einen beliebigen Systemstrahl p geht , ist eine Systemebene des Biindels. Legt man durch den Spstemstrahl p die Ebenen el und
e2 der Biischel s1 und s, und schneiden sicb die z u den Ebenen
el und ea, bez. senkrechten Ebenen E ‘ ~ und B‘:, der Buschel s1
und sa in dem Strahl 2, so ist dieses auch ein Systemstrahl
und die Beziehung zwischeii den zusammengehijrigen Strahleii
p und q in Strahlenbiindel ist eine ahnliche, wie die zwischen
den Punkten P und Q in dem ebencn Mobius’schen Netz
mit zwei orthogonalen Strahlenbiischeln. Durchlauft der Strahl
p die auf B‘ senkrechte Ehene n , so beschreiben die Ebenrn
el und ea zwei perspectivische Ebenenbiischel, die Ebenen E ’ ~
und E ’ ~daher zwei projectivische Biischel. Fillt der Strahl p
in der Ebene n insbesondere auf den Strahl s‘, welcher zu G‘
normal ist, so fallen die beiden einandw entsprechenden Ebenen
E ’ ~ und ef2 rnit der Ebene B’ zusammen.
Die von dl und e’2
beschriebenen projectivischen Ebenenbiischel haben daher diesc
Ebene entsprechend gemein und sind folglich perspectivisch.
Ihr Schnitt, der Ort der zu den Strahlen p der Ebene n geharigen Strahlen q, ist also eine Ebene x. Dieselbe steht ebenso
wie n auf B‘ senkrecht; denn fallt p in die Schnittgerade von
n mit d, so fallen die Ebenen el und e2 mit G’ zusammen,
und
schneiden sich daher in dem zu 0’ normalcn
Strahl s’.
150
E. Blasius.
100. Ordnet man in einem Strahlenbundel mit zwei orthogonalen Ebenenbuscheln s1 und s, einem Strahle p , durch den die
Ebenen el und e2 der beiden Buschel gehen, denjenigen Strahl p
zu, in welchem sich die zu el und 6, senkrechten Ebenm
und
d2 schneiden, und bewegt sich p in einer zur Perbindungsebene
c’ von s1 und s, senkrechten Ebene z, so beschreibt der zugeordnete Strahl q eine 3bene x, welche gleichfalls zu c’ normal ist.
Nun gilt der Satz’): ,,Dreht sich ein gegebener Flachenwinkel urn seine Scheitellinie s, so umhullt die Verbinduilgsebene der beiden Geraden, in welcheri seine Fliichen von zwei
durch einen Punkt von s gelegten J3benen beziehungsweise
geschnitten werden , eine diese beiden Ebenen beriihrende
Begelflache I. Ordnung , vori welcher s eirie Focalaxe ist.“
Wir kijiinen diesen Satz auf unseren Fall in doppelter Weise
anwenden, indem wir entweder s1 oder sz als Schnittlinie des
Flachenwinkels annehmen, diesen gleich einem rechten wkhlen
und die beiden Ebenen n und x fur die im Satze erwahnten
Ebenen setzen. Wir ersehen dann, dass die Verbindungsebene cler Strahlen p und q eine Kegelflkche 11. Ordnung
umhullt, deren Focalaxen s1 und s, sind. Die Ehcne n’ muss
eine Symmetrieebene der Kegelflache sein, die heiden anderen
Symmetrieebenen stehen auf ihr senkrecht und halbireii den
Winkel zwischen den Focalaxen. Zu den letzteren Symmetrieebenen mussen auch die Beruhrungsstrahlen der Ebenen 7c
und x symmetrisch liegen, denn die Tangentialebenen n und x
stehen auf der Symmetrieebene G’ der Kegelflache senkrecht und
schneiden dieselbe daher in Strahlen, welche symmetrisch zu den
Halbirenden der Winkel zwischen s, und sz liegen. I)a man
durch jeden Systemstrahl a der Ebeiie 0’ eine auf c‘ senkrechte Systemebene errichten kann, so erhalt man auf c’ zu
jedem Systemstrahl a eineri Systemstrahl b , welcher beziiglich der Halbirenden des Winkels (sl s), zu a symmetrisch
ist. Der Systemstrahlenbuschel in der Eberie sF< hesitzt
also rhombische Symmetrie. Wenn die Halbirenden des
Winkels (sl s2) Systernstrahlen sind, so ist der Biibchel wirklich eiri rhombischer, sonst ist er von der S r t , die wir durch
den Satz 52 kennen gclernt haben. Im ersteren Fall ist die
1) R e y e , Geometric der Lage 1. 154. Aufg., p. 159.
Geometrie der Lage.
151
Ebene, welche auf IT' senkrecht steht und den Winkel zwischen
s1 und s, halbirt eine Systemebene und die Buschel s1 und sz
miissen gleich sein.
101. Perbindet man in einem Biindel mit zwei orthogonalen
Zonen s1 und s, alle Systemstrahlen p einer auf der Yerhindungsebene d der Axen s1 und s2 senkrechten Ebene z mit ihren zugeordneten Strahlen y durch Ebenen, so urnhiillen die Yerbindwtgsebenen p(r eine Keyelfache II. Ordnung, deren Pocalaxen die
Axen s1 und s2 sind.
102. In einem Strahlenbundel mit zwei orthogonalen Zonen
s1 und s2 ist der Struhlenbuschel, dessen Ehene die ,4xen s1 und
s2 verbindet von rhombischer Syrnmetrie. Die Geraden, in Bezug
auf die er symmetrisch ist, sind die Ilalbirenden des Winkels (sl s,).
Wenn die orthogonalen Zonen einander gleich sind, undnur dann
ist der Struhlenbiischel ein eigentlich rhombischer.
Sind p und q (Fig. 9) zwei
zusammengehijrige Strahlen, sodass
die nach p und q gelegten Ebenen
und dl des Buschels sl aufeinander senkrecht stehen, ebenso
wie die nach p und q gelegten
Ebenen E , und i2des Biischels s2
und ist in n der Schnittstrahl von
uncl
und E ' ~ , m derjenige von
E ~ ,so ist nach Satz 97 die Ebene
p 3 zur Ebene
normal. Der
h
Schnittstrahl r der Ebenen
und
P
<
m ist daher Axe eines rhombiFig. 9.
schen Ebenenbuschels. Durch andere Auswahl des Strahles p erhiilt man unendlich viele weitere
Ebenen pq- und unendlich viele weitere Axen von rhombischen
Ebenenbiischeln. Die aufeinander senkrechten Ebenen derselben trennen immer die Strahlen s1 und s2 harmonisch.
senkrechte Ebene z durchlaufen,
Lasst man p die auf
so dass die Ebene p 7 die oben erwiihnte Kegelflache einhullt,
so istl) jedem Strahl a in der Symmetrieebene B' ein zweiter
*
i7
6.2
1) R e y e , Geometrie der Lage 1. 1882. p. 152.
152
3. Blasius.
b zugeordnet, sodass zwei zu einaiider normale Ebenen der
Biischel a und b beziiglich der Kegelflache conjugirt sind.
Die Strahlen a und b trennen die Focalaxen s1 und sz harmonisch, und die Ebenen p> stehen in ihren Beriihrungsstrahlen auf den zugehorigen Ebenen m y senkrecht. 1st a em
so ist es auch 6, ebenso der
Systemstrahl in der Ebene
Polstrahl jeder Systemebene des Biischels a. Die Ehenen,
welche den Systemebenen von a conjugirt sind, sind daher
auch Systemebenen. Auf jeder Systemebene des einen Biischels
steht eine Systemebene des anderen senkrecht , und der 0rt
der Schnittstrahlen dieser conjugirten Ebenen ist ein orthogonaler Systemkegel 11. Ordnung.
<<,
103. I n einem Biindel mit zwei orthogonalen Ebenenbiischeh
s1 und s2 sind unendlich viele rhomhische Ebenenbiischel vorhanden.
Die Systemstrahlen der KegelFachen II. Ordnung, welche von der
Terbindunysebene zweier zusammengehoriger Strahlen p und q
zmhullt loird, wenn p eine zur Ebene S ~ S ; senkrechte Ebene n
beschreibt, sind sammtlich Axen rhombischer Ebenenbiischel. Ton
den a?ifenander senkrecht stehenden Ebenen dieser Ebenenbiischel
ist die eine die Beriihrungsebene an die Ke.qelftiche.
104. Zu jeder Systemebene a eines Biischels a, dessen Axe
in der Ebene
lieyt, existirt eine Systemebene @, welche durch
den von a durch s1 und s2 harmonisch yeti-enliten Stralil b yeht
und auf a senkrecht steht. Die beiden Biischel a und 6 erzeuyen
einen orthogoqo7zalen Systemkegel I 1 Ordnvng.
In dem Strahlenbiindel mit zwei
orthogonalen Systemeberienbiischeln s1
und s2 ist der Systemstrahlenbuschel
s1 s2 symmetrisch zu
in
der
Ebene
$2
den Halbirenden der Winkel [s,, sz).
Lage in der Ebene
(Fig. 10) noch
die Axe sg eines dritten orthogonalen
Ebenenbiischds, und ist p , ein be3'
liebiger Systemstrahl des StrahlenFig. 10.
biischels in der Ebene s z , so muss
ein Systemstrahl p , vorhanden sein, welcher mit s2 denselben
Winkel a einschliesst, wie p , mit sl, aber auf der entgegen-
Geometrie der Lage.
153
gesetzten Seite von sa liegt, wie p , von sl. Ebenso muss ein
Systemstrahl p , den Winkel a mit s3 bilden und auf der entgegengesetzten Seite van s3 liegen, wie p z von s2. Endlich
muss es auch einen Strahl p , geben, der mit s1 den Winkel
a einschliesst und auf der entgegrngesctzten Seite von p , liegt,
wie p , yon s3 und p , von sl. Es sind daher zwei Systemstrahlen p , und p , vorhanden, die symmetrisch zu s1 liegen,
folglich ein zu s1 senkrechter Systemstrahl. Da man fur sZ
und. ss dasselbe beweisen kann, so ist der Strahlenbuschel in
ein orthogonaler. In dem orthogonalen Buschel
der Ebene
ist jeder Strahl s ' ~ , welcher zu einem Systemstrahl s1 bezuglich eines anderen Systemstrahles o symmetrisch ist, auch ein
Systemstrahl. Durch o lasst sich eine Systemebene m senklegen. Der Systemstrahlenbiischel in m
recht zur Ebene
wird aus s1 und d1 durch zwei gleiche Ebenenbuschel projicirt, d. h. der Ebenenbiischel s', ist auch ein orthogonaler,
und da o ein beliebiger Systemstrahl ist, so ergeben sich auf
diese Weise unendlich viele Axen orthogonaier Ebenenbiischel
in der E b e n e G .
105. Liegen in einer Ebene eines Strahlenbiindels drei Axen,
orthogonaler Zonen, so lieyen in dieser Ebene tcne~zdlichviele
sx
<<
Axen orthoyonaler Zonen.
,,Wird eine Focalaxe f einer Kegelflache 11. Ordnung verbunden mit den Beriihrungsstrahlen und mit der Schnittlinie
von zwei Beruhrungsebenen, so bildet die letztere Verbindungsebene gleiche Winkel rnit den beiden ersteren." l) Wenden
wir diesen Satz auf den Fall einer Systemkegelflache an, deren
eine Focalaxe s, ein Systemstrahl ist, und verbindeii die Focalaxe mit zwei Systemstrahlen a und b der Kegelflache durch
Ebenen a' und @',und mit der Schnittlinie der Beriihrungsebenen a und p in den Strahlen a und b durch eine Ebene
trl, so sind die Ebenen LY' und p' gegen crl gleich geneigt.
Es gibt also im Ebenenbiischel s1 eine Systernebene az, welche
auf der Systemebene q senkrecht steht, und da man durch
andere Auswahl der Strahlen a b mehr als ein Paar senkrechter Systemebenen des Buschels s1 findet, so ist letzterer
ein orthogonaler Buschel.
1) R e y e , Geometrie der Lage 1. p. 156. 1882.
154
E. Blasius.
106. 1st in eiiiern beliebigen Systemstrahlenbundel eine SystemRegelflache 71.0rdnun.q vorhanden, deren eine Focalaxe ein Systemstruhl i s t , so ist letztere Axe eines nrthoymalen Systemebenenhiischels.
Nun machen wir zur weiteren Untersuchung des Bundels
mit drei und folglich unendlich vielen Axen von orthogonalen
Ebenenbiischeln in einer Ebene (Satz 105) Gebrauch von dem
Satzel): ,,Wenn ein diedrischer, rechter Winkel sich so bewegt, dass seine Kante in einer festen Ebene (bl) um einen
festen Punkt !8 sich dreht und die eine Seitenflache desselben
[x, n] um einen festen durch % gehenden Strahl f sich dreht,
so umhullt die andere Seitenflache einen besonderen Kegel
zweiter Klasse, welcher die feste Ebene (q) beruhrt, den Punkt
$!3 zu seinem Mittelpunkt und den Strahl f zu einem Brennstmhl hat , wahrend der andere Brennstrahl auf der festen
Ebene normal steht." Wir wahlen als feste Ebene (q)diejenige,
in welcher die drei Axen orthogonaler Ebenenbiischel liegen,
als festen Strahl einen beliebigen ausserhalb dieser Ebene
liegenden Systemstrahl f ' des Bundels. Der Kegel, von dem
in dem Satz die Rede ist, muss ein Systemkegel sein, denn
jedesmal , dass die Kante des diedrischen rechten Winkels
mit einer der Axen orthogonaler Biischel in der Ebene s1s2
zusammenfallt , sind beide Seitenfiachen des Winkels Systemebenen. Die eine geht nach der Voraussetzung durch f , die
andere ist Beriihrungsebene der Kegelflache. Der Strahl f
ist (nach Satz 106) als Systemstrahl und Focalaxe einer Systemkegelflache 11. Ordnung Axe eines orthogonalen Biischels. Da
der Strahl f ein beliebiger Systemstrahl ausserhalb der Ebene
Gs2
ist, so folgt:
107. Zin Systemstraiilenbiindel mit drei i n einer h%ene lie-qenden Axen orthogonaler Bbenenbuschel besitzt nicht nur in der
Ebene unendlich viele weitere Axen orthogonaler Biischel, sondern
auch jeder ausserhalb der Ebene liegende Systemstrahl i s t eine
solche.
Wir wollen nun untersuchen , welcher Art der Systembiindel ist , wenn er drei orthogonale Ebenenbuschel enthalt,
1) Schriiter, Theorie der Oberflachen zweiter Ordnung u. s. w.
p. 72. 1880.
Geomekrie der Luge.
155
deren Axen nicht in einer Ebene liegen. Seien diese Axen
I n dem Ebenenbiischel a ist eine Systemebene senkreoht zur Ebene a6 vorhanden, ebenso im Biischel b. Diese
beiden Ebenen schneiden sich in einem Systemstrahl c,, der
auf der Ebene ab senkrecht steht. Die Normalen a, und b,
der Ebenen bc und a& sind daher gleichfalls Systemstrahlen.
Der Hohenstrahl h des Dreikantes a b c ist der Schnittstrahl
der drei durch a, 6 und c gehendeii und bez. auf den gegenuberliegenden Seiten senkrechten Ebenen. Der Strahl h ist also der
__
Schnitt der Ebenen a a l , b b , und
und daher ein System--.
strahl. Die Ebenen ~ a , ,b b , und c c , siiid Trager orthogonaler Systemstrahleiibiischel , denn in
steht a senkrecht
__
auf dem Schnitt dieser Ebeiie mit der Ebene 6, c1 und al
senkrecht auf ihrem Schnitt mit bc. I n den drei Ebenen
66, und
sind also senkrecht zu h Systemstrahlen vorhanden. Folglich ist die zu h normale Ebene x eine Systemebene.
E s sind nun im Strahlenbiindel vier Systemstrahlen a b c h
~
_
vorhanden, deren Nomalebenen 6, c,, a, c,, a, b und x Systemebenen sind. Man kann die vier Strahlen den vier dazu senkrechten Ebeiien zuordnen , und erhalt dadnrch eine reciproke
Beziehung, in der jedem Systemstrahl des Biindels eine zu
ihm senkrechte Systemebene entspricht. Der Biiridel ist demnach ein orthogonaler.
108. Sind in eiiiem Systembundd drei orthoyonale Ebenenbuschel vorhanden , so i s t der Bundel ein orthogonazer , sowohl
wenn die Axen derselben in einer Rbene liegen, iuie auch wenn
sie es nicht thun.
Sind in einem Systembiindel zwei orthogonale Zonen
vorhanden, so hangt es von ihrer Art und dem Winkel zwischen den Axen ab, ob der Biindel ein orthogonaler ist oder
nicht. Stehen specie11 die Axen f, und f, zweier orthogonalen
Biischel aufeintnder senkrecht, so sind die beiden Ebenen yl
und spz, welche zu fi bez. f, normal sind, Trager orthogonder
Systemstrahlenbiischel, denn sie sind Systemebenen , weil sie
in den orthogonslen Biischeln fi bez. j i auf der Systemebene
senkrecht stehen und sie schneiden die orthogonalen Ebenenbiischel senkrecht zur Axe. Der symmetrische Strahl f’, von
abc.
~
z,
G,
fx
156
E. Blasius.
fi beziiglich eines beliebigen Systemstrahles o in der Ebene spl
ist Axe eines orthogonalen Ebenenbiischels von derselben Art
wie f i , denn rturch o und f, lasst sich eine Systemebene legen,
zu der die Biischel fi und f, symmetrisch sind. In Folge
dessen enthalt die Ebene yl unendlich viele Axen orthogonaler
Ebenenbiischel, und der Biindel ist (nach Satz 108) ein orthogonaler. Der Fall, dass der Biindel zwei orthogonale Strahlenbiischel enthalt, deren Ebenen auf einander senkrecht stehen,
ist vollig identisch mit dem behandelten, denn die Normalen
der Ebenen sind Axen orthogonaler Ebenenbiischel.
109. Enthalt ein Bundel zwei orthogonale Ebenenbuschel,
deren Axen auf einander senkrecht stehen, oder, was auf dasselbe
herauskowimt, zwei orthogonale Strahlenbuschel, deren Axen aufeinder senkrecht stehen, so ist der Bundel ein orthogonaler.
Wir haben ausser den orthogonalen Biindeln oben schon
andere kennen gelernt , welche unendlich viele Paare senkrechter Systemebenen enthalten. Damit sind aber die Falle
dieser Art keineswegs erschijpft, und wir wollen kurz noch
einen derselben hehandeln. E s seien in dem Biindel zwei
Strahlen a und b als Axen von Ebenenbiischeln gegeben.
Wird fur den Biischel a ein beliebiger krystallographischer
Ebenenbiischel gewahlt, so bilden auch die zu den Systemebenen desselben senkrechten Ebenen des Biischels b einen
krystallographischen Ebenenbiischel. Diese beiden Ebenenbiischel wiirden den Biindel bestimmen , wenn ihre gemeinschaftliche Ebene ab in beiden Systemebene ist. Rechnet
man die Ebene a6 zum Biischel a , so folgt aus der Construction des Biischels b , dass auf ihr eine Systemebene des
Biischels 6 senkrecht stehen muss, rechnet man sie zu b, so
folgt aus demselben Grunde, dass auf ihr eine Systemebene
des Biischels a normal ist. Wenn man also von einem beliebigen rhombischen Ebenenbiischel a ausgeht, in einer seiner
ausgezeichneten Ebenen einen Strahl b annimmt, und bestimmt,
dass die zu den Systemebenen von a senkrechten Ebenen
von b Systemehenen sein sollen, so ist ein Systembundel bestimmt, da die Biischel a und b nicht miteinander in Widerspyuch stehen, und in dem Biindel sind unendlich viele rhombische Ebenenbiiscbel vorhanden , deren Axen alle auf einem
Geometrie der Luge.
157
orthogonalen Systemkegel liegen. Letzterer ist der Ort des
Schnit?tes entsprechender Ebenen von a und b. Da die Ebene
a b Symmetrieebene fiir die beiden Biischel ist, so ist auch der
Biindel in Bezug auf sie syinmetrisch und gehort also im allgemeinen zum nionosymmetrischen System.
110. Wird ein beliebiger rhombischer Bbenenbiischel a gegeben und ein beliebtyer 8trqhl b in einer seiner ausgezeichneten
Eiene?z, so ist dadlrrch ein i3ystembiindel bestimmt, in welchem avf
jeder hgstemebene des Buschels a eine Systemebene des Biischels b
senkrecht steht. I h e beiden Biischel a umd b erzeugen als Schnitt
einen orthogonalen Systemkegel, dessen Systemstrahlen Axen rhombischer Ebenenbuschel sind.
In ahnlicher Weise kann man auch das reciproke Gebilde construiren. Es sei gegeben ein beliebiger ebener rhombischer Systemstrahlenbiischel u nnd eine Ebene p durch
einen seiner ausgezeichneten Strahlen. Bestimmen wir, dass
jeder Strahl von p, der auf einem Systemstrahl von u senkrecht steht , ein Systemstrahl sein 5011, so ist hierdurch der
besondere Bundel festgelegt.
111. ???rd ein beliebiger rhombischer Systemstrahlenbiischel e
gegeben und eine Xbene ,i3, toelche durch einen seiner ausgezeichneten Strahlen geht, so ist durch diese ein Systembiindel bestimmt, in tcelchem auf jedern 8ystemstrahl der Kbene des ersten
Riischels ein Systemstrahl in der Ebene /
l
senkrrcht steht.
S c h lus 8.
Das wesentlichste Ergebniss der vorliegenderi Untersuchung ist wohl der Nachweis, dass im krystallographischen
Ebenenbundel neben den bisher allein beriicksichtigteii Ebenenbiischeln oder Zonen erster Ordnung, solche zweiter und hoherer Ordnung vorkommen, welche wie die Zonen erster Ordnung
unendlich viele krystallographische Elemente enthalten. Die
Gesetze der Zonen hoherer Ordnung schliessen sich, wenn sie
auch complicirter sind > denen der gewohnlichen Zonen aufs
engste an.
Neben den Satzen iiber die Zonen hoherer Ordnung haben
sich namentlich solche uber orthogonale Elemente im krystallographischen Biindel ergeben wir heben als besonders merkwiirdig den Ebenenbiindel mit zwei orthogonalen Zonen hervor.
158
E. Blasius.
Geometrie der Jage.
Endlich wurde gezeigt, dass auch bei krystallographischen
Untersuchungen und Constructionsaufgaben imaginare Elemente
verwendbar sin&
Die Leiehtigkeit, mit der man die Geometrie der Lage
bei der Behandlung krystallographischer Fragen anwenden
kann, tritt auf dem vorliegenden Gebiete ebenso deutlich zu
Tage, wie bei den friiheren Untersuchungen. Die gegebenen
Siitae sind wieder nur ein geringer Theil von denen, die man
fast ohne Miihe ableiten kann, diirften aber als Anregung zu
weiteren Forschungen dienen.
B e r l i n , Phys. Inst. d. Univ., Sommer 1891.
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