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Die Greensche Funktion der Diracgleichung.

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ANNALEN D E R PHYSIK
5. F O L B E
0
BAND 29
HEFT B
H A 1 1937
W e G r e e n s c h e Punh%doa der DgracgZdchung
V o n J. ItFe$xmer
(Mit 1Abbildung)
5 1.
Allgemeine Eigeneohaften der C t r e e n r a h e n Funktion
der Diracgleiahung
Die Greensche Funktion der Diracgleichung le6t sich definieren
als Lasung der Gleichung l), 9
S(P,Q)= sogenannte Diracsche &Funktion; sie ist gleich Null, wenn
P+Q,
SS(P,Q)dr,= 1
bei Integration uber ein Gebiet, das den Quellpunkt Q enthiilt.
= Energieparameter, V ( P )= potentielle Energie, 23, = mc2 = Ruheenergie des Elektrons. Der Koeffizient von S(P,Q) auf der rechten
Seite von (1) ist dem Koeffizienten des Eigenwertparameters E auf
der linken Seite gleichgesetzt.
Entwickelt man die G r e e nsche Funktion nach Eigenfunktionen
der Diracgleichung
E
so ergibt sich
Der Strich uber vabedeutet die Bildung des adjnngierten Ausdrucks
zu wa Das kontinuierliche Spektrum ist in (3) in bekannter Weise
durch ein Integral iiber den kontinuierlichen Eigenwertparameter
1) J. M e i x n e r , Ztschr. f. Phys. 90. 6.312. 1934. Die dortigen y l , y 2 , 7%
sind durch - rl, - rP,- ya zu ereetzen, damit man die Beeeichnungen dieser Arbeit
erhat. Das liegt daran, daS dort die Diracgleichung nicht mit der ricbtigen
Zeitabhiingigkeit augrunde gelegt wurde.
2) u b e r das Rechnen mit den Operatoren 7 ohne Zugrundelegung der
Diracschen Darstellung durch vierreihige Matrizen vgl. F. S a u t e r , Ztschr. f.
Phys. 83. a. 803. 1930 und 64. S. 295. 1930, sowie W.F r a n z , Sitzungsber. d.
Bayer. Ak. d. Wissensch., math. naturwiss. Abt. S. 379, 1935.
Annalen der Physik. 6. Folge. 20.
r
98
Annulen der Physik. 5. Folge. Band 29. 1937
beriicksichtigt. Ersichtlich darf E weder dem diskreten, noch dem
kontinuierlichen Spektrum angehoren, da sonst die Darstellung (3)
sinnlos wird.
Die Singularitat der Greenschen Funktion fur P = Q ist bei
der Diracschen Gleichung etwas anderer Art, als bei den sonst
untersuchten Differentialgleichungen zweiter Ordnnng (Schwingungsgleichung, Schrodingersche Wellengleichung). Integriert man namlich
(1) uber ein kleines Gebiet S, das den Quellpunkt Q enthalt, und
nimmt man an, daE grad G E ( P , Q ) in Q starker unendlich wird als
GE(P,Q), so ergibt sich nach Anwendung des Gaussschen Satzes
(4)
3
.
Dabei ist y, die Normalkomponente des Vektors y = 1 yl, ya, ys 1 znm
Oberfiachenelement d a. Hieraus kann man auf folgendes Verhalten
in der Nahe von Q schlief3en
Man kann nun umgekehrt die Greensche Funktion unter Vermeidung der &Funktion ftir einen Energiewert E, der weder dem
diskreten, noch dem kontinuierlichen Spektrum angehort, so definieren :
I. Sie geniigt im ganzen Raum, auBer im Punkte &, der Differentinlgleichung (1).
11. Im Punkte Q ist ihr Verhalten durch (4) oder (6) gegeben.
III. Im Unendlichen verschaindet sie stiirker ale rpg-'.
Sei E* konjugiert komplex zu E. Aus (1)und der dazu adjungierten
Gleichung (Eigenschaft I.) fur den Energiewert E bzw. E* folgt dann
in bekannter Weise mit Ausnahme der Pnnkte P = Q und P = Q'
Integriert man (6) uber den ganzen Raum mit Ausnahme kleiner
Kugeln mit den Mittelpunkten Q und Q', verwandelt man das Raumintegral in ein Oberflachenintegral, so liefern nur die Oberflilchen
um Q nnd Q' einen nichtverschwindenden Beitrag, nicht aber das
Oberflachenintegral im Unendlichen (wegen 111.). Er berechnet sich
aus (4) (Eigenschaft 11.)und es wird
Das ist die Symmetrieeigenschaft der G r e e n schen Funktion der
Diracgleichung.
J . Meixner. Die Greensche Funktion der Diracgleichung
99
Gabe es nun zum Quellpunkt Q zwei Greensche Funktionen
Gk(P,Q) und G i ( P ,Q), so wurde aus (8) folgen, daS GA(Q', Q)= G i ( Q , &)
bei beliebigem Q'. Damit ist gezeigt, dafl die Eigenschaften I, II,I11
die G r e e n sche Funktion eindeutig definieren, falls sie uberhaupt
existiert. Indessen sol1 uns die Esistenzfrage im allgemeinen nicht
beschaftigen, da in den fur uns wichtigen Fallen die Exjstenz durch
Berechnung der G r eenschen Funktion erwiesen wird.
Die Beziehung (7) mit Q' = Q liefert ein MaS fur die Ergiebigkeit des Quellpunktes &. Integriert man uber den ga.nzen h u m
mit Ausnahme einer kleinen Kugel um Q, so folgt fur die Zahl der
Elektronen, die pro Zeiteinheit aus der Quelle Q emittiert werden
(n = auBere Normale, d. h. von Q wegweisend)
(9)
1st der Imaginiirteil von E positiv, bzw. negativ, so wird die
Ergiebigkeit des Quellpunktes positiv bzw. negativ, da j a das Integral auf der rechten Seite von (9)
als Wahrscheinlichkeitsdichte positiv ist.
Nun kann man E in das kontinuierliche Spektrum riicken lassen.
Dann mu6 aber der Integrationsweg
in der Darstellung (3) verschoben
werden, 60 wie es in der Abb. 1
Abb. 1
angedeutet ist; und zwar ergibt
sich der Weg a bzw. der Wege, wenn der Imaginarteil von E vorher positiv, bzw. negativ war; d. h. aber, daS dem Integrationsweg a
bzw. e Ausstrahlung bzw. Einstrahlung, anders ausgedriickt eine
Elektronenquelle bzw. eine Elektronensenke in Q entspricht
Es zeigt sich also, daB es zu einem Energiauert As kontinuierlichen Spektrmms zwei verschiedene G r e e n sche Funktionen gibt;
denn bilden wir die Differenz G",(P,Q) - CE(P,&), so liefert die Darstellnng (3) d u d Residuenbildung im Punkte E = E den Wert
- 2 i V E ( ~ ?E(Q)
)
y4 t
also eine Eigenfunktion zum Eigenwert E des kontinuierlichen Spektrums. (Das gilt auch, wenn der Eigenwert E entartet ist.) Diese
Zweideutigkeit kommt daher, daS die Eigenschaft III, die zum Eindeutigkeitsbeweis notwendig war, nicht mehr besteht. Urn wieder
Eindeutigkeit zu erzwingen, muS 111 durch die Ausstrahlungs- bzw.
7*
Annakn der Physik. 5. Fobe. Band 29. 1937
100
Einstrahlungsbedingung ersetzt werden, die zuerst S o m m e r f e l d l)
im Falle der Schwingungsgleichung eingefuhrt hat. Man kann diese
Bedingung einfach so aussprechen, daS die Greensche Funktion im
Unendlichen das Verhalten einer Kugelwelle haben 8011. Dieses Verhalten ist im Falle der Schwingungsgleichung
Falle der Diracgleichung
+ikr
,
jedoch im
wo r irgendein Operator ist, der die Diracschen Operatoren yz, ys, y4
1
enthalt, und k = - 1/ Ez - Eoa ; sign k = sign E. Dieses Verhalten
IrC
ergibt sich, wenn man eine Losung der Diracgleichung ohne Feld
(d.h. V=O) sucht, die nur von r, yr und y4 abhangt. Nun gilt sber
daher werden wir die Aus- bzw. Einstrahlungsbedingung so formnlieren:
m.
Pa)
(10e)
. .
1
[
I
+
lim r + i k y , - y , z
r+m
r
lim r [ - i k y r - y
r+m
I
G:(P,Q) = 0 ;
.G i (P,&) = beschrankt fur T -+
cc ,
--+-]Gi(P,Q)=O;
E
E
o
tic
4Ilc
.
r Gk (P,&) = beschrankt fur r -
-
t
w.
Daraus folgt unmittelbar
I n diesen drei Beziehungen ist bei Wahl des oberen bzw. uuteren
Zeichens zu GE jeweils der Index a bzw. e hinzuzufugen. Die letzte
1) A. S o m m e r f e l d , Jahresber. d. Deutsch. Math.-Ver. 21. S. 309. 1913.
Unsere Methode zur Herleitung der allgemeinen Eigenschaften der G r e e n schen
Funktion der Diracschen Wellenglcichung entspricht der Sommerfeldschen
Methode bei der Schwingungsgleichung; insbesondere ist die eog. Diracsche
S-Funktion nichts snderes als die Funktion, die bei S o m m e r f e l d mit Zackenfunktion bezeichnet ist.
J. Meixner. Die Greensche Funktion der Diracgleichung
101
Gleichung ist die adjungierte zur vorletzten. Hieraus folgt weiter
fur die Zahl der Elektronen, die in der Zeiteinheit durch irgendeine geschlossene Fliche nm den Quellpunkt nach auBen treten
(v
> 0):
____-
~ C ~ (Gp ,EQ) Y,G E ( P &)
, da = &
=
I E , EO' JGE ( P , Q ) Y , G E ( J ' , Q ) ~ ~
fv$GEKCQ)y4Gs(P,Q)da.
Dies ergibt sich sofort, wenn man (10") und (10') addiert und
in (10') einsetzt.
Also ermoglicht die obige ubereinkunft uber das Vorzeichen
von k sowohl fur positive als auch fiir negative Energien E die
Gleichungen (1Oa) bzw. (10e) als Ausstrahlungs- bzw. Einstrahlungsbedingung zu bezeichnen.
Die Symmetrieeigenschaft (8) geht nun uber in
G'E&?,
&'I
Y4 = Y, Gi (&',Q) *
(11)
Der fruhere Beweis, der von (6) ausging, kann wortlich wiederholt
werden, wenn in (6) G i statt GE und G", statt G,, geschrieben wird;
nur ist das Verschwinden des Obediichenintegrals im Unendlichen
jetzt mit Hilfe von 111' statt von 111 zu zeigen.
wegen (loa) und (1Oe) aus
Dies folgt aber
Aus der Symmetrieeigenschaft (11) folgt wieder wie fruher, da6
die Greensche Funktion aus I, 11, III' eindeutig bestimmt ist.
Aus der Eindeutigkeit und aus I, II, III' folgt ferner, wenn der
Stern die Bildung des konjugiert komplexen Ausdrucks bedeutet
(im Gegensatz zum adjungierten):
(11')
G;P,Q)* = G p , Q,;
denn beide Funktionen genugen derselben Differentialgleichung (1)
und derselben Bedingung (10a).
-.Da der Ausdruck G E ( P Q)
, y7GE(P,Q') divergenzfrei ist mit Ausnahme der Punkte Q und Q , so folgt weiter, wenn man einmal uber
102
Annulen det Physik. 5. Folge. Band 29. 1937
eine weit entfernte geschlossene Flache, das andere Ma1 uber zwei
kleine Kugeln nm Q und Q' integriert, mit Hilfe von (lOa) bzw. (10e)
und wegen (11) und (11')
Dabei ist immer der Index a bzw. der Index b zu den GE hinzuzufiigen.
0 2. Aesmptotieohe Integration der inhomogenen Diracgleichung
Hllufig ist die Aufgabe gestellt, eine ,,inhomogene Diracgleichung"
zu integrieren. 1st E kein Eigenwert des diskreten oder kontinuierlichen Spektrums, so ist die Losung gegeben durch
(14)
WtP) = - f r c l G ~ ( PQ)
, Y 4 f ( Q ) dre-
Dies folgt ohne weiteres aus der Definition(l), wenn man beachtet, daE
-
$d ( P ,Q)* f ( Q ) d r =
~ f(P)
Die Losung ist eindeutig, wenn man verlangt, dal3 sie im Unendlichen mindestens ebenso staxk verschwindet wie die Eigenfunktionen
des kontinuierlichen Spektrums. - Gehort jedoch E dem kontinuierlichen Spektrum an, so ist die Losung nur bestimmt bis auf eine
Eigenfunktion des kontinuierlichen Spektrums zum Eigenwert E.
Unter diesen Losungen gibt es zwei ausgezeichnete
(144
Pam= -nCSG~(P,Q)Y4f(Q)dra1
(144
qe(PI = - A c [ G ; ( p ,
Q) Y4 f(Q)d TQ .
Sie entsprechen einer nberlagerung von Kugelwellen, die von den
Punkten Q mit zu f (Q) proportionalen Amplituden ausgehen (Fall a)?
bzw. in sie miinden (Fall e). Nur der erste Fall hat physikalische
Bedeutung.
Physikalisch interessiert ferner die Funktion P ( P ) haufig nur
f u r groSe Entfernung des Punktes P vom Atom; es genugt also die
Greensche Funktion fur den Fall zu kennen, daE der Punkt P
J . Meixner. Die Greensche Funktion der Diracgleichung
103
(oder wegen (11) auch Q) in gro0er Entfernung vom Atom sich befindet, um die asymptotische Form von Y ( P )zu finden. In diesem
Sinne sprechen wir auch von einer ,,asymptotischen Integration“ der
G1. (13).
Eine Anwendnng findet dies z. B. beim Bornschen Verfahren
zur Berechnung der Streuung einer ebenen Welle von schnellen
Elektronen an einem Potentialfeld V ( P ) . Das Potential wird als
kleine Storung betrachtet. Dann liefert der Ansatz far die Wellenhnktion
y = yo q J l + . - die Differentialgleichungen
+
q0 ist die Diracsche Eigenfunktion einer ebenen Welle; yl berechnet sich nach (14a) zu
vl = JGi
(16)
&)
(‘9
‘(&Iv0 (&) drQ,
d. h., jeder Punkt des Potentialfeldes ist Ausgangspunkt einer Streuwelle, deren Amplitude zu V(Q) yo(&)
proportional ist. Die G r e e n sche Funktion G i (I?,&) ist in diesem Falle f a r die GL (15’) zu berechnen l) :
-
dabei ist
YrpQ =
(r ,
--t
‘P-
‘Q
‘PQ
Zur asymptotischen Integration kann in ik
1-.
1
__
das zweite W e d
‘PQ
vernachllssigt werden. Setzt man (17) in (16) ein, so ergibt sich die
bekannte Darstellung der Strenwelle. Die Ausrechnung sei nicht
durchgefiihrt; sie steht in ahnlicher Form bei F. Sautera).
Q 3. Niiherungeweiee Bereohnung
der (freenechen Funktion der Dirmgleiohung
aue der (f r e en eohen Funktion der Sohriidingergleiohung
Rir multiplizieren (1) von links mit dem Operator
1) J. Meixner, a. a. 0.
2) F. S a u t e r , Ztschr. f. Phys. 86. S. 818. 1933.
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 29. 1937
104
und entwickeln die Greensche Funktion')
G , ( P , & ) = G ~ ( P , 8 ) + G Z . ( P , Q ) +- * - ,
(18)
so dab
he
*d
hc)
(4"
Wir fuhren ferner die G reensche Funktion der Schrodingergleichung
ein dnrch
(A+
(21)
-)
E 9 - EO9-2E V ( P )
h=cs
Gi ( P ,&')
Q3
=
-
Dann folgt
Sie enthalt ersichtlich keine 7-Operatoren.
Fiihrt man im ersten Glied des Integranden eine partielle Integration
auii, so ergibt sich
(22)
Gi(',
Q) =
&,;(
grade) -I-i'4
-11 V ( Q ) +
-2)
y4GZ (P,Q)
-
Aus Gi(P,Q) 1"a& sich nun nach dem Verfahren von S o m m e r f e l d
und M a u e 3 Gi(P,Q)unmittelbar bis auf eine LosnngX der homogenen
Gleichung zu (20) angeben. Wir wollen aber zuerst eine Spezialisierung einfiihren, indem wir uns auf gro6e Entfernung des Pnnktes Q
beschranken. Zugleich wollen wir im folgenden nur den Fall der
Ausstrahlungsbedingung beriicksichtigen. Ferner sei vorlaufig V (P)
im Unendlichen absolut integrierbar; dann ist aber (Beweis im S n hang l), wenn Im E z O
(23)
G i (P,Q)
'V
--eikiQ
(rl
e
-ik-
rQ)
rQ
.zip).
Der zweite Faktor auf der rechten Seite stellt eine ebene Welle
dar, die vom Quellpunkt Q herkommt; der dritte Faktor weicht
1) Dae ist bei Atomproblemen immer eine Entwicklung nach Potenzen
von a Z ; a = Sommerfeldsehe Feinstrukturkonstante.
2) A. S o m m e r f e l d u. A. W. Mane, Ann. d.Phys. [5] 28. S.629. 1935.
J. iVeixner. Die Greensche Funktion der Diracgleichung
von Eins nur durch die -4nwesenheit des Potentials
Also wird
r
grad, G i ( P ,Q) N i k -% G: (P,Q).
105
V(P) ab.
.
V (Q) kann in
so daB
G; (P,Q) fur weit entfernte Q vernachlassigt werden,
G i ( P , Q ) berechnet sich nach S o m m e r f e l d und M a u e zu
Fur X ist eine solche Losung der homogenen Gleichung zu (19) zu
wiihlen, daBGi(P,Q) klein von erster Ordnung ist gegen G i ( P , Q ) .
Das erreicht man .aber, wenn man gradp nur auf den dritten Faktor
in (23) wirken 1aBt; denn wirkt gradp auf den zweiten Faktor in (23),
so entsteht eine Losung der homogenen Gleichung zu (20), die sich
gerade gegen X weghebt. Daher wird
(25)
{
i
Dies ist die naherungsweise Darstellung der G r e e n schen Funktion
der Diracgleichung , ausgedruckt durch die als bekannt vorausgesetzte G r e e n sche Funktion der entsprechenden Schrodingergleichung.
Die Formel (25) gilt auch noch fiir den Fall des Conlombschen Potentials V = - Ze' , das im Unendlichen gerade nicht mehr
absolut integrierbar ist. D a m lautet die Greensche Funktion der
Schrodingergleichung zur Su~strahlnngsbedingung~)
1) J. Meixner, Mathem. Ztschr. 36. S. 677. 1933.
106
Annalen
der Physik. 5. FoQe. Band 29. 1937
Bei Zugrundelegung der Einstrahlungsbedingung ergibt sich der
konjugiert komplexe Ausdruck. (Ein einfacher Beweis ftir (26) ist
im Anhang 1 gegeben). Also wird aus (25)l)
Umgekehrt erhalt man, wenn P statt Q sehr weit vom Atom entfernt ist, wegen der Symmetrieeigenschaft (11) aus der Cfreenschen
Funktion der Schrodingergleichung zur Einstrahlungsbedingung
4
2E
l,ik(ro+
))]
M)
Dabei ist zur typographischen Vereinfachung
gesetzt. Diese Darstellung gilt fiir Energiewerte des positiven nnd
des negativen kontinuierlichen Spektrums, wenn man beachtet, da6
signk = signE.
5 4. Anwendung der Ctreenechen Funktion
bei der Behandlung der 8torung durch eine Liohtwelle
Die allgemeine zeitabhangige Diracgleichung lautet
3
@ ist das Vektorpotential, i e U1+ V das skalare Potential. Speziell
+
setzen wir fiir cl, , U4 das Viererpotential einer monochromatischen,
aber sonst zunachst beliebigen Lichtwelle ein.
1) Diese Funktion stimmt uberein mit der in meiner Arbeit, Ztachr. f.
Phys., a. a. 0. nach einer anderen Methode abgeleiteten Funktion.
J . Meixner. Die Green"sche Funktion der Diracgleichung
+ -21u - e + i w t ;
107
= g-;
A;+
=
Ac-.
Dann laSt sich V entwickeln nach Potenzen der Amplitude der
Lichtwelle
W* ist von der ersten Ordnung in dieser Amplitude, die durch
Punkte angedeuteten Glieder von hoherer Ordnnng. Dann gilt
Physikalisch bedeutet W , die Wellenfunktion der Elektronen
von der Energie Et + h m , die durch die Lichtwelle Cl,? m4 aus dem
Atomznstand 1 mit der Eigenfunktion vl ausgelost werden.
W- spielt nur dann eine Rolle, wenn E,- h w in das negative
kontinnierliche Spektrum fallt.
Die Funktion W + sol1 einer ausstrahlemkn Elektronenwelle
entsprechen und ist daher gemilS (14 a) gegeben durch
--t
E
(34')
= El
+h c ~ .
Fur G i ( P , Q) setzen wir den Ausdruck (28) ein und begehen
damit nach Sommerfeld und M a n e einen Fehler von der GroSenZ
ordnung a Z = 137
0
Die gesamte Elektronenemission ist nach der Stromdefinition
gegeben durch
$8'
do
=iec
s
W+yrW+ds.
Setzt man (34) hier ein nnd fuhrt in dem entstehenden Sfachen Integral
(Integration uber da, d r Q ,drQ3 die Integration uber d a nach (12)aus
und beachtet man ferner, daS wegen (3) und Abb. 1:
G i (P,Q) - G;.( P, Q)= - 2 7~ i 2 v E ( P )
74
A n n a h der Physik. 5 . Folgi. Band 29. 1937
108
wo die Summe uber alle linear unabhangigen orthogonalen Eigenfunktionen zum Energiewert E des kontinuierlichen Spektrums zu
erstrecken ist, so ergibt sich
Diese Formel beniitzt man immer dam, wenn einen die Richtungsverteilung der austretenden Elektronen nicht interessiert, wie
bei der Berechnung des Sbsorptionskoeffizienten von Strahlung durch
Photoeffekt l) oder wenn von vornherein keine ausgezeichnete Achse
vorhanden ist, also der Elektronenstrom richtungsunabhangig ist,
wie beim Photoeffekt in der Atomhiille durch Kern-y-Strahlung 9
oder bei der Positronenerzeugung im Kernfeld durch Kern-yStrahlungs) usw.
$j 5.
Der Photoeffekt in der K-Sahale bei harter anregender Strahlung
Das Vektorpotential einer ebenen monochromatischen Lichtwelle
kann so geschrieben werden :
(35)
= a e k i t q r ) ,. A,* = o .
q fallt in die Fortschreitungsrichtung der ebenen Welle, Iq/ = q
=
%;
a hat die Richtung des elektrischen Vektors. Die normierte Eigenfunktion fur die K-Ychale und die Spinrichtung - n lautet4)
+.
1
1st der Operator des Spins = z yz y3,y3 yl, y1 yz). In ausreichender Naherung fur die folgende Rechnung ist
IJ
(37)
U
= N,e-b’;
V = -1e . Z j Y , e - b ~ . ;
2
K, = b ’ L w - ’ h .
Die GroSe b, die zunachst als Parameter betrachtet wird, SOU
schlieSlich den Wert
ctZ erhalten. Wir fiihren noch einige
2.
(39)
1) H. R. Hulme, Proc. Roy. SOC.London (A)133. S. 381. 1931.
2) H. M. Taylor und N. F. M o t t , Proc. Roy. SOC.London (A) 142. S. 215.
1933.
3) J. C. Jaeger und H. R. Hulme, Proc. Roy. SOC. London (A) 148.
S. 708. 1935.
4) F.Sauter, Ztschr. f. Phys.97. S. 777. 1935.
J . Meixner. Die Greensche Funktion der Diracgbichung 109
Der Operator T ist fur Kugelwellen charakteristisch und steht immer
links in der Wellenfunktion. Er hat die Eigenschaft
y,,
, die in der Wellenfunktion unmit(*
?
telbar rechts von r stehen, wegzuschaffen, bzw. solche hinzuzufugen.
Sie erlaubt es, Faktoren
Setzen wir nun (36)und (28)in (34)ein, so entsteht
Die hier auftretenden Integrale sind im Anhang 3 ausgerechnet.
Mit den dortigen Bezeichnungen ist, wenn man noch Uberall y,
nach rechts hinuberschiebt und mit (1 y,) vereinigt:
+
Es 1 s t sich nun leicht nachrechnen, daB (42) mit der von S a u t e r l )
berechneten Funktion identisch ist und zwar liefern die Glieder mit
J , und J, die Ausdriicke (22), die mit JBnnd J4 die Ausdrucke (24)
der Santerschen Arbeit.
Wir wollen indessen hier direkt aus (42)den Strom der Photoelektronen fur harte anregende Strahlnng berechnen. Dazu ‘bemerken wir, daB das Glied in (42) mit J4 den Faktor -2 hat;
J4 enthalt aber selbst schon die GroBe n =
a 2
~
iB
, die fur p-+
1 von
der Ordnung uZ ist, so daS wir das Glied in (42)mit J, vernachlassigen konnen gegeniiber den anderen Gliedern.
J , driicken wir durch (3,3)aus, setzen fur b seinen Wert ein,
und statt J , konnen wir wegen (40)schreiben
1) F. Sauter, Ann. d. Phys. [5] 11.
S. 454.
1931.
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 29. 1937
110
Mit diesen Vernachlassigungen und Umformungen wird (42)
(13)
I
(24)( ; a ) J ' + u z . (7*,a)
-i2fEi c
Die Berechnung des Stromes der Photoelektronen sei nur kurz
angedeutet. Es ist
(44)
W,
= e o W , y4W,.
Hierin setzt man (43)ein und driickt q, k, E durch die Geschwindigkeit D = P c aus. Es ist
Dabei ergibt sich q aus der photoelektrischen Gleichung (34') fiir
Emission aus dem Orundniveau
Die Endformel fur die Richtungsverteilung der Photoelektronen
ergibt sich dann durch elementare algebraische Umformungen;
sie sei jedoch nicht mehr angegeben, da sie naturlich mit der von
S a u t e r gefundenen identisch ist. - Das Ziel dieses Paragraphen
war ja nur zu zeigen, wie durch Anwendung der Greenschen
Funktion die Ergebnisse der umfangreichen S a u t e r schen Arbeit
uber den Photoeffekt in der K-Schale bei harter anregender Strahlung
auf kurzem Wege hergeleitet werden konnen.
Der Photoeffekt in der L-Schale bei harter anregender Strahlung
ist nach der Sauterschen Methode von T. Muto') behandelt worden.
Auch hier gibt unsere Methode eine wesentliche Verkiirzuug der
Rechnungen, wenn sie auch entsprechend den komplizierteren Endformeln umfangreicher sind als f iir die K-Schale.
Es sei noch auf die groSere ubersichtlichkeit unserer Rechnungen
hingewiesen, die ihren Grund darin hat, daS kein spezielles Koordinatensystem zugrunde gelegt wurde (Rechnung mit Vektoren) und
daS insbesondere die Spinrichtung n nicht wie ublich in die Fortschreitungsrichtung der Lichtwelle gelegt wird.
-
1) T. Muto, Sci. Pap. Inst. Physic. Chem. Res. 18. 6. 249. 1932.
J . Meixner. Die Greensche Funktion der Diracgleichung 111
Anhang
1. Die in der k-Skala normierten Eigenfunktionen des kontinuierlichen
Spektrums der Schrodingergleichung lauten fir V = V ( r ) , wenn I V(r)j iiber
den ganzen Raum integrierbar ist (m = 0):
wo fur grobe r asymptotisch
Speziell fiir V ( r )= 0 verschwinden alle St.
Die G r e e n s c h e Funktion zur Ansstrahlungebedingung lautet, wenn wir
den Quellpunkt auf die Achee 4,= 0 legen (also t, = Polarachse):
-
wo
uber die Eigenfunktionen des diekreten Spektrums zu eretrecken
ist. Der Integrationsweg ist der Weg a der Abb. 1. Nun wird in der ablicben
Weisel), wenn ro > r, R;, (r,) in zwei eich asymptotisch wie Exponentialfunktionen verhaltende Teile aufgespalten und der Weg filr die beiden Teile in
die positiv bzw. negativ imaginlire Hdbachse verschoben. Die Integrale llnge
der imaginllren Halbachaen heben sich gegen den Beitrag dee diskreten Spektrums eur Oreenschen Funktion auf und es liefert nur der Pol k = k, einen
Beitrag. Fiir grofle ro>r gilt wegen (I,2) (ststt k, echreiben wir wieder k):
Die Funktion
kommt in der Theorie der elaetischen Streuung von Elektronen am Potentialfeld V ( r )vor. sie h a t allgemein f i r groEe r folgendes Verhalten: eie setzt
sich aus einer ebenen Welle e-ik'eose und einer Kugelwelle zusammen. Der
zweite Bestandteil verechwindet, wenn V ( r )3 0; der erete Bestandteil iEt dann
exakt eine ebene Welle (auch im Endlichen). Diese Funktion (1,5) haben wir
- ik
(K
r)
-
a'
in (23) mit e
x ( P ) bezeichnet; also ist tatatichlichx (P)gleichEins fur
'V(t.)=0;x ( P ) weicht um EO etiirker von E i n ~ab, j e ,,stkkeri' das Potentialfeld wird.
.
1) Vgl. A. S o m m e r f e l d , a a 0. oder J. M e i x n e r , Mathem. Ztschr.,
a. a. 0.
112
Annalen der Physik. 5. FoZge. Band 29. 1937
Im Falle des Coulombfeldes ist I V ( r )I im Unendlichen nicht mehr integrierbar. Dann ist ') :
(1, 6)
1
&I=
fl
e-ikr
zit1
k l T ( l f 1 4-
+ 1)!
n + 2 + 1 , 2 1 + 2 , 2 ikr).
(2 1
e"(2kr)'-
- F(-
Trotzdem MBt sich (1,2) auch auf diesen Fall anwenden, indem wir
setzen :
dl =
i n l g 2 kro + u{.
(197)
Dabei ist:
-
T(2+ 1 - n)
e'nt = __
(1, 8)
+ 1 - n)I
*
Die Reihe (1, 5) wird damit:
rn
-
F(-n+Z+1,2Z+2,2ikr)P1(cos8).
Sie liiflt sich nach G o r d o n ' ) summieren zu
1
2 i k r 0 ) - n e - i k r c o s 6 F ( - n, 1, i k r (1
(1,10) ~ ( +%I(-
+ COB 8))
nnd daher wird, wegen (t, h) = T r,, COB 3:
2. Die elaetische Streuung einer ebenen Elektronenwelle an einem Feld
mit dem Potential V ( P )wird durch die zugehorige Greeneche Funktion beschrieben, deren Quellpunkt im Unendlichen liegt. - Die nfiherungeweise
Darstellung (25) der G r eenschen Funktion der Diracgleichung gestattet nun,
allgemein, d. h. fiir beliebiges V(P)(das nur im Unendlichen geniigend stark
verschwinden mu@, eine nfiherungsweise Darstellung der Formel f iir die
elastische Streuung nach der Diracgleichung zu geben, wenn die Streuformel
fur die Schrodingergleichung bekannt ist.
Die Funktion (23) des Aufpunktes P geniigt iiberall (auch in beliebiger
Entfernung vom Streuzentrum), der Gleichung:
( 2 , l ) lirflt sich umschreiben in die iibliche Form der Schrodingergleichung, wenn man die Energie E durch die bewegte Masse m =
m0
Vi--p
~
ausdriickt (v = l c ist die Geschwindigkeit des Elektrons in g r o h Entfernung
vom Streuzentrum):
1) Vgl. z . B. H. Bet he, Handbucli der I'hysik von Geiger-Scheel, 2. Aufl.,
Bd. 24/1, S. 289. Druckfehler! Dort steht in der asymptotischen Darstellung
1 - 1 shtt Z+l.
2) W. G o r d o n , Ztschr. f. l'hys. 48. S. 180. 1928.
J. Meimer. Die
Funktion der Diracgleichung
Greens&
113
Daa ist aber formal die nicht-relativistische Schrodingergleichnng, in der
nnr die Rnhmaase des Elektrons m, durch die bewegte MaEEe m ersetzt iet;
1
denn die kinetische Energie - m, vp in gro6er Entfernung ist gieich der Ge-
2
eamtenergie.
Demnach lautet die Formel far die elsstieche Streuung gemLB G1. (2,l)
genau EO wie gem& der Schrodingergleichung, nur iet atatt der Ruhmssae no,
die bewegte Masse m zu eetzen.
Wir berechnen nun die Streuformel, die sich nus der Nlherung (25) der
G r e enechen Funktion ergibt.
Dieee Nlherung Iautet, unter Weglaseung von Faktoren, die nicht von P
abhbren:
wo
Dieee Funktion kann in die ankommende ebene Welle und in die geetreute Kugelwelle zerlegt werden, und zwar entspricht dies einer Zerlegung
von x
in x , (P)und x,
mit folgendem asymptotischen Verhalten:
(n
(a
Daraus folgt asymptotiech :
(2, 5)
(:
gradxs(P)==ik - + -
gradX1(P)=O;
::)
xs(P,.
DemgemiiB haben wir getrennt zu berechnen: den Stro'm S,,der der einfallenden ebenen Welle entepricht, indem wir in GE (P,Q) den Teil x, (P)
beibehalten, und den Strom 4 , der der geetreuten Kugelwelle entspricht,
Q) den Teil xs (P, beibehalten. Ee wird nach (44) [(44)
indem wir in G , (P,
gilt fnr ebene und fiir Kugelwellen]:
4=
.
' 0 74 rQX1'XI;
Nun folgt aber unmittelbar nus der Definition von T Q :
- + ru =
irQY
- 8- r, -.
I Q Y ~ ~ Q .
YO
Dsmit wird
&=evFQy,rux,*xn.
-
Bezeichnen wir wie iiblich den Winkel zwischen r, und r mit n
8
( 8 ist also der Ablenkungewinkel der von Q kommenden elastiech gestreuten
Elektronen), so wird
r ro
=
- cos 8 und
A d e n der Physlk. 5. Folge. 29.
8
dnnalen der Physik. 5. Folge. Band 29. 1937
114
Die gestreute Intensitat druckt sich demnach
'I* X 9
Xl* XI
BO
durch die einfallende aus:
ist aber das Verhliltnis von gestreuter Intensitflt zur einfallenden
Intensittit, wie es sich BUS der G1. (2, 1) bzw. (2,2) berechnen wiirde. Alno
wird die durch die D i r a c s c h e Gleichung dee Elektrons bedingte Formel fur
die elastische Streuung in erster Niiherung folgendermaBen aus der Streuformel nach der unrelativistischen Schrodingergleichung gewonnen: Man eraetzt in dcr ktzteren Streuformel die bfaaae m, durch dk bewegte M u s e m
4
(bzro. den kluaeiechen Impub m, t' durch m v ) und fiigt den Faktw 1 - Bin2-
2
hinzci.
Dies gilt im ganzen Geschwindigkeitabereich. F u r den Bereich, in dem
das Bornsche Verfahren angewandt werden kann, also fiir B
, nahe an 1, hat
S a u t e r I) dasselbe Resultat erhalten.
Die Anwendung dieser Regel auf die R u t h e r f o r d s c h e Streuformel
2
in Ubereinstimmung mit Mo tt').
3. Zur Berechnung von (41) benBtigen wir die folgenden Integrale:
=
+
-
[(T, grad,, F ( - n , l , i k ( r o + v ) ) )
?
J4,
Js,J4
i(ere)-<k (hf)
e
- b r, r,
r0
dr,.
lassen sich alle auf J, zuruckfiihren, denn es ist
00
+
1
J p =5 g r a d g l J l d b ;
(3,2)
h
grad, iet bezuglich q z , qu,
Integration umformen in
(3,3)
(1.
zu bilden.
.falIif3t sich durch eine partielle
J a = ( 7 , ( i k Tr - i q ,
1) F. S a u t e r , Ztschr. f. Phys. 68. S. 818. 1933.
2) X. F. Mott, Proc. Roy. Soe. [A] 124. S. 425. 1929.
J . iieixner. Die Greensch Funktion der Diracgleichung
115
SchlieBlich ist
W
+J , = T1g r a d , $ J 8 d b .
b
Wir berechnen ausfiihrlich J,, indem wir die Integraldarstellung
(3,5)
der entarteten (konfluenten) hypergeometrischen Funktionen einsetzen; der
Integrationsweg fuhrt im positiven Sinn um die Punkte F = 0 und E = 1. Die
r h n l i e h e Integration wird in Polarkoordinaten r,, a, q, ausgefuhrt. Dabei
tritt das Integral
auf. Die Integration iiber r, erfordert die Berechnung von
W
Damit wird
5, = -
b
a t ( [ - 1)"
[ ( b - F i k)'
- Fik
1
-
+ q + k (F - 1)
.
r l
wenn mit 4 der Winkel zwischen q und r bmeichnet wird, also r-q-cos3=(r, q).
Dehnt man den Integrationsweg ins Unendliche, 80 kommt ein Beitrag vom Pol
(br+ kP+ q'- 2 k q COB 3)
2k(ib+k-qcobb)
'
wlihrend vom Unendlichen kein Beitrag geliefert wird; denn dort verhiilt eich
Reeiduenbildung liefert
der Integrand wie 6 -
'=
'.
I
4n
aR
J,P-kq
ijb '
(3,6)
wo
R = - k q [(b - i k)* + p7" [b'
Daraus folgt nach (3'2) und wegen
+ k4 +'4 - 2k q cos 31- " -
.
nach kuraer Umrechnung
Nach (3, 3) wird nach Ausfuhrung der Differentiationen und Zusammenfaeeung
3, = 6 n i k n [ ( b - i k ) a + q']-" -
1
-
.[b*+q*+k'-2kqco~~])]-"-~
'
8
Annulen der Physik. 5. Folge. Band 29. 1937
116
Wir fiihren nun mit S a u t e r , au6er R, noch die Abkiirzungen ein:
Dam ll6t sich J3 auch so schreiben:
(3,101
Also ist wegen (3,4) :
(x, (3;
Der Ausdruck
a);),
der in (42) auftritt, l&Et sich noch teilweise auf Js zuriickfiihren. Fiihrt man nlrnlich in den beiden letden Ai1.edriicken von ( 3 , l ) die Gradienten aua, EO erkennt man, daE
wegen
Also iet:
SchlieElich seien noch die folgenden Relationen angemerkt, die zur Umrechnung auf die Formeln von S a u t e r niitzlich aind:
Herrn Prof. Dr. A. Sommerfeld danke ich fur sein Interesse
an dieser Arbeit.
G i e I3 e n , Institut fur theoretische Physik.
(Eingegangen 15. Februar 1937)
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