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Die Grenze der Totalreflexion. II Strenge wellenoptische Berechnung

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Die Crenze der Totalreflexion. II
Strenge wellenoptische Betechnung
Von H . M a e c k e r
(Mit 7 Abbildungen)
Inhaltsiibersicht
Der Intensitatsverlauf in der Umgebung des Grenzwinkels der Totalreflexion
wird streng wellenoptisch fur ein spezielles Beispiel numerisch berechnet. Es ergibt sich eine Kurve, die von der partiellen Reflexion her stetig in die Totalreflexion
einschwingt.
I. Problemstellung
Die vorangehende Abhandlung (I)uber die Reflexion einer Kugelwelle a n der
Grenzflache zum dunneren Medium mit der neuen Strahldefinition von W o l t e r
hat gezeigt, da13 durch die Strahlversetzung bei der Totalreflexion neben der totalreflektierten Kugelwelle auch eine Kegelwelle, die Grenzschichtwelle, entsteht.
Die Uberlagerung beider fuhrt zu Interferenzen in der Nahe des Grenzstrahles.
Wenn auch die Strahlenauffassung das Gesamtbild der bei der Totalreflexion auftretenden Erscheinungen gut beschreiben kann, so bleibt daran doch unbefriedigend, da13 zwischen dem p a r t i e l l reflektierten Grenzstrahl und der Kaustik
der totalreflektierten Strahlen eine kleine strahlungslose Lucke bleibt, die sicher
nicht reell ist, sondern durch Beugungsvorgange ausgefiillt wird. Hieruber
kann nur die strenge wellenoptische Betrachtung Auskunft geben. H. O t t 1 ) hat
diese Rechnung bis zur zweiten Naherung allgemein gelost, aber seine Resultate
erreichen noch nicht ganz die strahlenoptischen Ergebnisse. Zwar findet O t t
keine Lucke zwischen partiell und total reflektierter Welle, aber seine Naherung
versagt in der unmittelbaren Umgebung des Grenzwinkels, was sich u.a. darin
iiuL?ert, daIJ die Intensitat dort unendlich wird.
Um daher die Vorgange in der unmittelbaren Umgebung des Grenzwinkels
kennenzulernen, mu0 eine strenge wellenoptische Losung fur diesen Rereich
gesucht werden. Die a l l g e m e i n e Berechnung dieser Wellenfunktion stofit auf
uniiberwindliche Schwierigkeiten, mir miissen uns daher mit der Durchrechnung
eines Spezialfalles begnugen. Von diesem Ergebnis aus konnen wir uns allerdings auch ein qualitatives Bild fur andere Fiille machen. Als Spezialfall greifen
wir uns den gleichen heraus, der schon in I durchgerechnet worden ist, namlich
Abstand vom Spiegelpunkt
n
1
2 n Itl
R ’ e 6cm, n =>=kR’ =; lV, k =A,
’
und parallele Polarisation.
H. O t t , Ann. Physik (5) 41, 443 (1942).
nl
1,52
154
A m a h der Physik. 6. Folge. Band 10. 1952
11. Die wellenoptisehen Rcchnungen yon H. 0 t t
Unsere Rechenmethodik baut auf der von 0 t t angewendeten nu€, weswegen
wir zunachst den Ottschen Gedankengang in den fur uns wichtigen Teilen kurz
rekapitulieren wollen.
Nach S o m m e r f e l d liDt sich der 17-Vektor (IT= rot rot E) einer Kugelwelle,
die von einem in der z-Achse schwingenden Hertzschen Dipol ausgesendet wird,
darstellen als Uundel ebener Wellen in den Zylinderkoordinaten r , p', z :
,i k R
no= -R- = i b2 ~n~ . ~ i l i ( I s i n ~ c o s ( p - p ' ) + 1 z / c o s ~ } j i n 2 q i c ~ 6 d ~ ,
(1)
wenn sich der Koordinatenursprung in der Lichtquclle befindet. Es ist also zur
Ermittlung des 11-Vektois irn Punkte T , p', z der Ueitrag aller ebenen Wellen,
die durch diesen Funkt gehen und deren Normale durch den Azimutwinkel p
und durch die Neigung gegen die positive x-Achse 6 in ihrer Richtung bestimrnt ist,,
zu summieren, und zwar mit, den Integrationsgrenzen fur p von 0 his 2 7c und fur
7c
8 in der kornplexen 6-Ehcne von 0 his 2 - i 00. Die Integration uber
rr
O -
- 2
J H: ( r lc sin 6 )eik IZI cos 0 sin 6 d6
liefcrt
(2)
+
n
n
mit den geanderten Grenzen fur 6 von - -- i 00 bis -- i 00. Fallt nun diese
2
2
Kugelwelle im Abstand -Tz von der Lichtquelle auf eine zur z-Achse senkI
P
Abb. 1. Koordinaten des Aufpunktes
P
fur die reflektierte Welle
rechte Grenzflache zu einem optisch dunneren Medium, dann findet man entsprechend fur die gebrochene Welle (Koordinatenursprung in der Grenzflache)
.~
fig = %
ik J H ; ( I c r
~-ikz\/~rs-sina9.+ikhcosB
sin6d8
(3)
mit dem Amplitudenfaktor g nach den Fresnelschen Formeln
155
H . Maeeker: Strenge wellenoptisehe Berechnung
Bur die reflektierte Welle gilt ahnlich
(Koordinatenursprung im Spiegelpunkt der Lichtquelle, s. Abb. 1 ) .
Fur grolje Entfernungen vom Spiegelpunkt ist
so da5 aus (5) init (6) und (7) wird
Fiihrt inan statt der Koordinaten r, z fur den Aufpunkt P die Polarkoordinaten
urn den Spiegelpunkt R',01 mit
r
= R'sina
x = R'cos
(9)
iy
ein, dann wird aus dern Exponent in (8)
i k R' cos (6- 01)
= i Jc
R' {sin (& - 01) Gin 6,
+ i cos (6,
-
a)Qoi 6,},
(10)
+ i6, ist.
wmn 6 = 8,
Der Integrand in (8) mit (10) bildet in der komplexen 6-Ebene ein welliges
Gebirge mit einem Sattel, dessen PaBtraBe
cos (6,- a)eoy 6, = 1
von --
2
+ iw + a
Achse nach - ? 2
iw
iiber den Pal3
+
DI
(11)
6, = a mit 45" Neigung gegen die reelle 6-
verlauft (Abb. 2).
Von den singularen Punkten interessiert uns der zweiblattrige Verzweigungs__
punkt der Wurzel w
-~
= I n 2- sin26
?G
auf der reellen Achse zwischen 0 und --
fiir reelles n, definiert durch sin 6 = n, narnlich
2
6, = arc sinn. Von ihm aus
ziehen wir einen Verzweigungsschnitt, auf dern der Imaginarteil der Wurzel sein
Vorzeichen wechselt. E r verlluft von 8,auf der reellen Achse nach Null und dann
auf der irnaginiiren Achse entlang. Piir das positive Vorzeichen der Wurzel ist
der Imaginarteil positiv links und unterhalb des Verzweigungsschnitts, dagegen
negativ rechts und oberhalb des Verzweigungsschnitts. Als oberes Blatt sol1
dasjenige mit positivem Imaginarteil der Wurzel definiert sein. Auf diesem Rlatt
mussen Anfang und Ende des Integrationsweges liegen, darnit das Integral (3)
fur die gebrochene Welle konvergiert. Solange a < 6, ist, kann diese Forderung
ohne weiteres erfullt werden, wenn die Pal3stral3e auch zwischen der imaginaren
und der reellen Achse auf dern unteren Blatt verlauft. 1st dagegen a > a, dann
156
Annalen der Physik. 6 . Folge. Band 10. 1952
bleibt die PaBstraBe, wenn man von unten kommt, auf dem oberen Blatt bis zur
imaginaren Achse, wo sie auf das untere Blatt iibergeht, also nicht die vorgeschriebene Grenze auf dem oberen Blatt (Abb. 2) erreicht. Um dennoch diese Grenze
zu erreichen, mu13 der Integrationsweg wieder zuruckgefuhrt werden, und zwar
urn den Verzweigungspunkt herum auf das untere Blatt, um schlieDlich jenseits
der imaginaren A c h e die
richtige Grenze auf dem
oberen Blatt mit positivem
Imaginarteil der Wurzel zu
erreichen. Es tritt also zu
dem Integral iiber die Pa&
straBe in dem Augenblick,
wenn 01 den Grenzwinkel6,
uberschreitet, ein Zusatzintegral um den Verzweigungsschnitt auf. Aus diesem
Grunde identifiziert O t t das
C
Integral uber die PaBstraIje
allein mit der reflektierten
Kugelwelle, wahrend das Zusatzintegral um den Verzweigungsschnitt der Grenzschichtw-elle zugeschrieben
wird. Indes ist diese Trennung nicht zwingend, denn
man hatte auch einen
f
e s t e n Integrationsweg diesAbb. 2. Komplexe 8-Ebene mit Verzweigungsschnitt
(stark ausgezogen). PaBstraBe durch a1< 6,. Inte- seits des Grenzwinkels 6,
grationsweg durch a2> 8,. Wege auf dem unteren wahlen konnen, so da13 nieBlatt gestrichelt
mals, auch nicht fur 01 >6,,
ein Zusatzintegral
aufpetreten ware. Oder man konnte auch einen f e s t e n Weg jenseits des Grenzwinkels
einschlagen niit dem Umweg um den Verzweigungsschnitt, dann ware immer, auch
fur 01 < Go ein Zusatzintegral entstanden. Trotzdem wird die von O t t vorgenommene Trennung nachtraglich durch die Rechnung und den Vergleich mit
der Erfahrung gerechtfertigt, und wir wollen sie uns auch hier zu eigen machen.
y
111. Neue Integration in der Umgebnng des Grenzwinkels
Fur die strenge Losung des Integrals in der Umgebung des Grenzwinkels, die,
wie gesagt, nur nurnerisch erfolgen kann, ist es nun sehr vie1 einfacher, nicht die
PaBstraDe selbst als Integrationsweg zu nehmsn, sondern die feste Parallele ciazu
durch Go, weil dann alle von 6 abhangigen Funktionen, vor allem der komplizierte
Ausdruck g, fur die verschiedenen Integrationen mit jeweils anderem 01 unverlndert bleiben. Die Integration wird oherhalb des Verzweigungspunktes auf beiden
Blattern durchgefuhrt. Das Integral vor dem Verzweigungspunkt ( A B in
Abb. 3) ist dann die Gesamterregung, das dahinter (C B ) ergibt die Kugelwelle,
und die Differenz beider ( A - C ) ist als Umweg urn den Verzweigungsschnitt die
Grenzschichtwelle, die nun natiirlich auch fur Werte OL < 6, existiert.
+
+
H. Maeeker:
Strenge wellemptische Berechnung
157
Der beschriebene Integrationsweg ist aus praktischen Grunden nur fur die
Umgebung des Grenzwinkels brauchbar, weil mit zunehmender Entfernung des
Integrationsweges von der PaBstraBe durch 01 hindurch der Integrand immer
welliger und daher die Ermittlung des Integrals immer ungenauer wird.
$0
j
'\A
\
\
6
A
+B
Abb. 3. I n dieser Arbeit benutzter Integrationsweg.
Gesamterregung; C B Kugelwelle; A - C Grenzschichtwelle
+
Wir wollen nun das Integral mit dem Integrationsweg durch Go explizit hinschreiben und es in einer fur die Ausrechnung geeigneten Weise umformen.
Die reflektierte Welle ist nach G1. (8) und (10)
An die Stelle der PaBstraBe (11) tritt die Parallele durch 6,:
cos (6,- 6,) %of 6, = 1.
Diese in Gl. (12) eingesetzt, ergibt:
mit
e eip = g
m.
COB
(a,- a )
Da der Realteil des Exponenten - k R' -___ - - schnell grol3e negative Werte
C 0 8 (6,
-&J)
annimmt, zieht sich der Integrand auf den Bereich einiger Minuten um die ein-
Annalen der Physik. 6. Folge. Band 10. 1952
158
i
ander benachbarten Punkte Gound a zusammen, so daB 1- cos (8,- 6,)= )I-- 2 i
~
gesetzt werden kann. I n der so entstchenden Gleichung
e
die einmal fur alle Intcgrationen
sind und gleich bleibende Funktionen von
axis der Fresnelschen Formel fur g zu berechnen sind. xhnliches gilt fur die
Funktionen von S,-t9,,.
Nur
Jntegmnd
cos
(6,
a)
und
sin
(6,
- a)
Reafteil
relatw
verandern mit versehiedenem a
den Integranden. Auf diese
Weise ist der rechnerische Aufwand auf ein ertragliches MaB
zuriickgeschraubt. Die Zweiblattrigkeit kommt in der
Doppeldeutigkeit von g
= eip zum Ausdruck. Fur die
Integration sclbst wurde der
Integrand in Real- und Imaginirteil getrennt als Funktion
von 6, aufgetrager, und graphisch integriert. Ein Beispiel
fur die beiden Teile des Integranden ist in Abb. 4 dargestellt.
e
IV. Ergebnisse
Die Ergebnisse der ganzen
Berechnungen sind in den
Abb. 5-7 zusammcngefaflt. I n
ihnen sind auch die Resultate
der strahlenoptischen Berechnungen a u s der vorigen Arbeit
Abb. 4. Integrand als Funktion Ton 6,. Die eingetragen. Folgende Punkte
schraffierte Grenzschichtwelle wurde in 10-fachem sind beniorkenswert :
OrdinatenmaBstab planimetriert
1. Als Mcrkmal von Interferenzen treten in der Amplitude dcr totalreflektierten Welle Schwingungen auf, und zwar sowohl nach
der Wellentheorie als. auch nach der Strahlentheorie (Abb. 7 ) .
2. Wahrend aber die Strahlentheorie eine Lucke zwischen dem partiell reflektierten Grenxstrahl und der mit unendlicher Amplitude einsetzenden Grenze
der Totalrcflexion laBt, ergibt die Wellentheorie einen stetigen Anstieg von der
partiellen zur totalen Reflexion.
3. Beide Theorien ergeben, daB die Grenze der Totalreflexion, definiert als
absolutes Maximum der Intensit at, nicht auf dem par1 iell reflektierten Grenzstrahl liegt, sondern uin ein kleines Stuck nach groBeren Rcflexionswinkeln verschoben ist.
H . Maecker: Xtrenqe wellenoptische Berechnung
159
4. Die Aufteilung der Gesamtamplitude in Kugelwelle und Grenzschiclitwelle
laBt sich prinzipiell sowohl vor als auch hinter dem Grenzwinkel durchfiihren
(Abb. 5 u. 6). Da aber beide Teile im Rereich der partiellen Reflexion konstante
-6
-4
1-96
-2
Abstondvarn(irenzw
in tinuten, -a-
.9.,.
I
2
b
6
8
?O
I
I
---_
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
1
J
Abb. 6. Amplituden der Kugelwelle und
der Grenzschichtwelle nach der Wellenoptik
(ausgezogen) und nach der Strahlenoptik
(gestrichelt)
-4
t
Abb. 6. Phasen der reflektierten Welle
Abstand vom Gre0.w
im BogenmaB auf der Kugel k R' = 1 0 b fur
,
O2b
7ifly&<a-a;
n
n = -.Z =
und parallele Polarisation. - 4
n, 1,52
a) Kugelwelle, b) Grenzschichtwelle.
Abb. 7. Gesamterregung nach der WellenWellenoptische Rechnung ausgezogen, optik (ausgezogen) und nach der Strahlenstrahlenoptische Rechnung gestrichelt
optik (gestrichelt)
~
'
-i
,l
160
Annden der Phyeik. 6. Fdge. Band 10. 1952
(entgegengesetzte, vgl. Abb. 5a u. b) Phaaendifferenz haben, so hat hier die Trennung keinen Sinn. Aber in der Nahe des Grenzwinkels set& eine schnelle ungleichmaI3ige h d e r u n g beider Phasen ein, so dd3 von hier ab zu groI3eren Winkeln eine
Trennung in Kugelwelle und Grenzschichtwelle .sinnvoll ist.
5. Der Verlaiif der Gesamterregung ahnelt dem der Beugungserscheinung an
einer Schirmkante. Das nimmt nicht Wunder, wenn man bedenkt, daI3 nach
der alten Strahlenauffassung (vgl. Abb. 1 in I) ein scharfer Intensitatssprung
von der totalen zur partiellen Reflexion stattfindet, ahnlich dem Sprung an der
Licht-Schatten-Grenze bei Beleuchtung einer Schirmkante, allerdings mit dem
Unterschied, dsI3 hier die Intensitat, strahlenoptisch betrachtet, u n s t e t i g auf
Null fallt, wahrend sie bei der partiellen Reflexion nach einem Intensitiitsknick
zwar schnell, aber s t e t i g auf Null sinkt. Auch A r t m a n n fiihrt das Integraln,
auf ein Beugungsintegral zuriick a),
Herrn stud. phys. W. B o t t i c h e r danke ich fur die fleiI3ige Mitarbeit bei den
numerischen Rechnungen.
*) K. Artmann, Ann. Physik
(6). 8,270 (1961).
Kiel, Institut fur Experimentalphysik der Universitat.
(Bei der Redaktion eingegangen am 29. Oktober 1961.)
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