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Die Hhe der Erdatmosphre.

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A. Kmbm.
117
IX. Die Hiilte d e ErcEatmosphttre;
~
von Dr. A. E e r b e r .
I. D i e Cardiualpunktc der Atmosphiire.
Filr kleine Zenithdistanzen repriisentirt die AtmosphAre
ein optisches System von brechenden Medien, getrennt durch
centrirte KugeHiichen yon k l e i n e r Oeffnung, sodass auf sie
die von G a u s s und M o b i u s aufgestellte Theofie solcher
optischen Systeme angewendet werden kann.') Von Wichtigkeit ist die Bestimmung der ,, Cardindpunkte durch
diese Theorie. Zu diesen rechnet man bekanntlich ,1) die
H a u p t b r e n n p u n k t e f,f im ersten und im letzten Medium A , A'.
In ihnen vereinigen sich
die im entgegengesetzten f
f'
Medium der
Axe parallelen Strahlen;
2) die KnoFig. 1.
tenpunkte
k, R' mit der Eigenschaft, dass jeder im ersten Medium gegen
A zielende Strahl (ab) im letzten Medium in der durch k'
zu seiner Anfnngsrichtung gelegten Parallele ca' weitergeht ;
3) die H a u p t p u n k t e h , Id', ftir welche Bild und Gegenstand, auch hinsichtlich ihrer Stellung, identisch sind. Die Lnge dieser Cardinalpunkte kann nuch hier, wie bei
allen complicirteren Systemen, deren Constitution nicht bekannt ist, nur experimentell gefunden werden a) auf Grund
der astronomischen Bestimmungen der Strahlenbrechung durch
die Atmosphare.
1) Gauss, Dioptr. Unterauchungen, Mtt. 1840. Vgl. Helmholtz,
Phys. Optik, Braunachw. 1861. Im Folgenden verweiae ich auf die weitrerbreitete Physik yon Mousaon.
2) Mousaon, Phys. 2. Ad. 8 731. 3. Ad. 5 810.
A. KeTber.
118
E s sei m der Mittelpunkt der Erde, c der Standort des
Beobachters, cc‘ ein kleiner Bogen eines grassten Erdkreises,
bb‘ der zugehorige Durch--.__
schnitt desselben mit der
E
f ’ Grenze
der
----)-------t
r
F r----Atmosphare,
Fig. 2.
a einFixstern;
a b c ein von a
nach c gehendes Strahlenbiindel, welclies in c in die Richtung cf gebrochen wird, sodass
die scheinbare Zenithdistanz, e die astronomische Refraction bestimmt; a m die
A x e des optischen Systems, dessen erstes Medium das Vacuum, fur welches n = l , das letzte die unbegrenzt gedachte
unterste Luftschicht mit dem Brechungsverhsltniss n’.
Die K n o t e n p u n k t e der Atmosphiire fallen in den
Mittelpunkt der Erde. Denn da wegen der concentrischen
Begrenzung der brechenden Medien der Strahl in einer
C u r v e durch die Atmosphare geht, deren Tangenten niemals
parallel sind, so kann nur ein auf m hinzielender Strahl im
Medium n’ in derselben Richtung weitergehen.
Die Lage des z w e i t e n B r e n n p u n k t e s j ” ergibt sich
leicht, wenn der von a nusgehende Strahl nls ursprunglich
der h e parallel betrachtet wird. Derselbe wird aus seiner
Anfangsrichtung urn den Betrag der astronomischen Refraction = p abgelenkt und zielt im letzten Medium nach dem
zweiten Brennpunkte des Syatems. Die zugehorige Brennweite F folgt aus d c mf;denn es ist cm IR, < ; ~ = jund
wegen ab I I aj”, < a’ = p , mithin:
F I =I.
R.
(1)
0
Das Verhliltniss der astronomischen Refraction zur
scheinbaren Zenithdistanz e :5 betrilgt aber nach den jetzigen
Refractionstafeln fiir den mittleren Luftzustand 57,3l), sodass man setzen kann:
1)
Brnhns, h t r . Strahlenbrechung, p. 19.
A. K d m .
119
a
(2)
r = 57,3”.(1+ A ) ,
wo 57,3”d einen etwaigen Beobachtungsfehler vorstellt, den
mir, um in den Resultaten den Grad der Gennuigkeit zu
priifen, mit in Rechnung ziehen. Hiernach ist:
F = ---(1R
37,3”
A); fur
R
= 6366,7km:
F = ca. 22 018 400 km.
Die e r s t e B r e n n w e i t e der Atmosphlre folgt aus der
Beziehung wonach die Entfernung der beiden Brennpunkte
von den zugeharigen Knotenpunkten dem Brechungsverhdtniss der beziiglichen Medien verkehrt proportional ist.1) Man
hat also :
n‘ R
(4) F = n ’ l f = 37,3”
- . ( l - - A ) , d. i. F = c a . 22924900 km,
wobei d u Brechungsverhaltniss fur den mittleren Luftzustand ( b = 0,?52m, t = 9,3OC.) nach K e t t e l e r ’ s Bestimmung
= 1,000 282 ... angenommen wurde.
Sammtliche Gestirne, der Mond allein ausgenommen,
stehen ausserhalb der Brennweite I;: Die AtmosphAre erzeugt daher von ihnen verkehrte reelle Bilder : die Strnhlenbiindel treten c o n v e r g e n t ins Auge, sodass sie i n n e r h a l b der Brennweite y des ganzen Auges (a. h. von der
Retina gerechnet, j e n s e i t s y) zu ebenfalls verkehrten Bildern sich vereinigen, und es entsteht daher auf der Netzhaut
unter allen Umstiinden ein Z e r s t r e u u n g s k r e i s , kein
scharfes Bild, wodurch die Ausbreitung des Sternenbildes
auf der Netzhaut ihre physiologische ErklPrung findet.
Vom Monde dagegen erzeugt die Atmosphsre, weil e r
innerhalb ihrer vorderseitigen Brennweite steht, ein aufrechtes virtuelles Bild, und das Auge empfangt divergente
Strahlenbiindel. Mithin steht das von b e i d e n optischen
Systemen, der Atmosphlre und dem Auge, erzeugte (verkehrte) Bild, von der Retina an gerechnet, d i e s s e i t s y?
aber wegen der bedeutenden Entfernung des Objectes immer
noch so weit ?or der Netzhaut, dass es einer a u s s e r o r d e n t li c h e n Accommodation bedarf, urn ein scharfes Netzhaut-
--
1) Moueson,
2. 5 731
(4), 8 .
5 809
(4).
120
A. Kerber.
bildchen zu erhalten. In der dadurch bewirkten Spannung
des Muskelappmates liegt die ErklBrung fiir das scheinbare
S c h w e b e n des Mondes in der Atmosphiire. Das Bild des
Mondes wird aber auch bei dieser ausserordentlichen Accommodation die Nervenfasern der Netzhaut eben nur beriihren,
und da diese streifende Beriihrung beim gewahnlichen Sehen
fir eine ganz bestimmte terrestrische Entfernung, die durch
D bezeichnet sei, erfahrungsmiissig eintritt, so versetzt das
Auge auch den Mond, welcher auf die Retina denselben
Reiz ausiibt, in die Entfernung D , wodurch das scheinbare
Schweben desselben a n e i n e m v e r h i i l t n i s s m a s s i g n a h e n
P u n k t e der Atmosphiire erklirlich wird.')
Was endlich die Lage der H a u p t p u n k t e h betrifft, so
ist ihre Entfernung von dem zugehorigen Brennpunkte gleich
der Entfernung des entgegengesetzten Brennpunktes von
seinem Knotenpunkte also (Fig. 2):
f ? i = F , fA'=F,
dsher m h (d. i. f m - f h ) = F - F ,
mh' (d. i. f h'- f m) = F- F :
und auch:
folglich:
m h = mh'= F - P'
und, die Werthe nus (3) und (4) eingesetzt:
m h = mh'= (d--1) R (1 - A ) = ca. 6463 km.
(5)
57,s"
Die beiden Hauptpunkte fallen also, wie die Knotenpunkte, in einen Punkt h zusammen, der vom Erdcentrum
6463 km, von der Erdobefllche c durchschnittlich:
6463- 6366,7= 96,3km
entfernt ist. Nach der
Definition des Hauptpunktes decken sich daher Gegenstand und
Bild im Punkte h, d. h.
Fig. 3.
a l l e imVacuum n a c h
1) D bestimmt man experimentell, indern man diehtfernung miast,
in welcher eine intensive Flsmme eben noch scharf geeehen wird.
2) Mousson, 0. § 731 (2), 8. 5 809 (2).
A. Kerber.
121
h hinzielenden S t r a h l e n divergiren nach ihrem
D u r c h g a n g e d u r c h die A t m o s p h i h e yon demselben
P u n k t e h. Denkt man sich z. B. zwischen einem Fixstern
und der Erde etwa ein planetarisches Nebelsystem, und es
stiLnde das von letzterem erzeugte E'ixsternbild (Fig. 3) im
Punkte h, der nun fdr die Atmosphilre als leuchtendes Object zu hetrachten wiire, so wiirden die nach h convergirenden Strahlen a b \-on der Atmosphlre so gebrochen werden,
dass sie bei ihrem Eintritt in das letzte Medium n' von h
in der Richtung cd zu divergiren schienen und also in demselben Punkte ein identisches virtuelles Bild gesehen wtirde,
in welchem ohne das Vorhandensein der Atmosphiire ein
reelles Fixsternbild entstehen miisste.
LI. Erster Niihernugswerth fur die H6he der Atmosphiire.
Bei der Natur der Lichtcurve a b c d , welche ihre Concavitilt dem Erdcentrum zuwendet, liegt es auf der Hand,
dass der Hauptpunkt i n n e r h a l b der Atmosphiire liegen
muss. Denn ware (Fig. 3) e der Hauptpunkt, so wiirde ein
Strahl, der im Vacuum die Richtung ef haben mag, bei
seinem Eintritt in das Medium n' in der Richtung e g h
weitergehen mtissen, wenn in e ein dem Gegenstande identisches Bild entstehen SOU; das ist jedoch unmaglich, weil
ef und g k nicht Tangenten derselben Curve in f und 9 sein
konnen. Daraus folgt also H > ch,' d. h. nach den Bemerkungen zu (5):
(6)
H > 96,3km.
Eine genauere Bestimmung ergibt sich sber sofort aus
folgender Betrachtung. Da die Lichtcurve fiir kleine Zenithdistanzen nahezu ein Kreisbogen yon sehr grossem Erfimmungshalbmesser ist'), so kannen die Tangenten bh und c h
(Pig. 3) als gleich betrnchtet werden, und weil nun, immer
unter der Voraussetzung einer kleinen Zenithdistanz die
Tangenten mit den Entfernungen des Hauptpunktes von den
Grenzen der Atmosphiire vertauscht werden konnen, so hat
man anniihernd :
1)
Bruhns, Antr. Strahlenbrechung, p. 66.
122
A.
Kerber.
H = 2 c h , (1. i. nach
(7)
H = 2 B [ n ' 57,3"
TJ(1-d)-
(5):
I]=ca.l92,6km.
Danach wiirde die Bestimmung aus dem Dimmerungsbogen, wie sie A l h a z e n gogehen hat (sie fiihrt auf eine Hohe
von etwa 79 km), vie1 zu niedrig sein, und in der That folgt
aus den Fresnel'schen Intensithtsformeln fiir reflectirtes unpolarisirtes Licht , dass die Alhazen'sche Beweisftihrung keineswegs das Vorhandensein noch hoherer Luftschichten ausschliesst.
Nnch jenen Formeln ist niimlich fiir eine einfdlende
Lichtmenge = 1, wenn durch e, b der Einfalls- und der Brechungswinkel bezeichnet werden , die Intensitit des gespiegelten Lichtes:
COB Y(e -t- a)
Da in unserem Falle die Refiexion an der diinneren
Schicht erfolgt, das Brechungsverhiiltniss also n :(n + 871) ist,
so hat man s i n b = ( l + S n ) s i n e , c o s b = c o s e - 8 i n e t g e . S n
und e r h d t nach Einfiihrung dieser Werthe:
oder, da hier e in der Niihe von 90° bleibt, annahernd:
I
I
8
Nun sei (Pig. 4) rnc der Erclradius und n c der Horizont des Ortes
c , s die Sonne. Bei einer Spiegelung ihres Lichtes an einer Luftschicht vom Radius R + h in der
Richtung des Horizontes ist alsdann
sine= l - h : R , cosge=2h:R,
und die Intensitit der in c gesehenen Lichtstrahlen nach (8):
Fig. 4.
Wenn nun bei einer Spiegelung in d e r Hohe von 79 km
die Dammerung ihr Ende hat, d. h. die Sterne der kleinsten
A. Kerber.
123
Lichtintensitilt J, dem blossen Auge sichtber werden, so
folgt daraus doch nur, dass die Intensitit der Spiegelung in
dieser Hohe, ( a n .R / 4 .79)a, < J, geworden ist. Ob aber
eine weitere Verringerung der Intensitat eintritt, d. h. noch
hohere spiegelnde Luftschichten vorhanden sind, entzieht sich
der directen Wahrnehmung; die Maglichkeit kann wegen J,
> 0 anf keinen Fall bestritten werden.
Dnss die AtmosphZire bedeutend haher als 79 km ist
(0 :5 = 57,3” als richtig nngenommen) ergibt sich auch aus
der Differentialgleichung der astronomischen Refraction:
welche fus lcleine Zenithdistnnzen auf die Beziehung fuhrt :
Setzt man hier fiir Ir seinen JIasimalwerth H; sodass
die rechte Seite noch kleiner wird, so ist:
nnd nach Integration von der Grenze der Atmosphllre (n =II 1)
bis zur Erde (n = n‘):
also: 5 : p = 1:57,3“, n’- 1 = O,OOO2820,
eingesetzt :
H > 96,3 km, vgl. (6).
(10)
R = 6366,7 km
III. Die Symmetriepunkte der Atmosphtire und der Zenithpunkt
dea Strahles.
Symmetrisch nenne ich der Kiirze wegen zwei conjugirte
Punkte a, a’ (Fig. 5 ) , far welche die Divergenzwinkel des
Strahles mit der A x e einander gleich sind, sodass:
(11)
u-u.
Ihre Entfernungen vom Mittelpunkte der Erde seienD,D’.
Nach der Gsuss’schen Theorie ist das Verhiiltniss der Object- und Bildhohe ( D : D’), multiplicirt mit dem Ver-
A. Kmber.
124
hiiltniss der Tangenten der zugeharigen Divergenzwinkel
(tga : t g a ' ) , gleich dem umgekehrten Verl~Siltnisse der
Fig. 5.
Brechungsquotienten des ersten und des letzten Mediums').
also:
D
D' t g n = a', oder nach (11):
= a' und wegen (4):
-D - _F
F
F
'
E=F-
D-B"
Eine zweite Bestimmungsgleichung fir D, D' ergibt sicli
aus der von G a u s s entwickelten Beziehung zwischen zwei
P a r t r e n conjugirter Punkte, z. B. den Knotenpunkten m
und den Symmetriepunkten a, 0'7. Dividirt man die Entfernungen des einen Psares m von den Brennpunkten, also
F, F , durch die Entfernungen der beiden P a r e von einander, also durch D , D'; SO ist die Summe der Quotienten
= + 1, und man hat daher:
F'I
-F- + - =
(13)
D
D
2_E - 1, D = 2 F ,
D -
1
mithin nnch (12):
D'=2F.
Hieraua ergeben sich aodann d i e E n t f e r n u n g e n d e r
S y m m e t r i e p u n k t e von d e n G r e n z e n d e r A t m o s p h a r e ,
niimlich : a b ' = 2 F - R - H, . a' c' = 2 F + R,
und: F= 22 924 900, F'= 22 919 400, R = 6366,7, H=200km
eingesetzt,
(14)
a b' = 45 843 200, a'c' = 45 943 200 km.
1) Monsaon, 5.
2) Mousaon, 9.
8 790 (7), 8. 0 908 (19).
0 750 (4), 8. 0 808 (18).
125
A. Kerber.
*
Die Symmetriepunkte sind also von den G r e n Zen d e r A t m o s p h l r e a n n g h e r n d g l e i c h w e i t e n t f e r n t ,
11nd d e r E i n - u n d A u s t r i t t s p u n k t d e s z u g e h t i r i g e n
S t r a h l e s , b u n d c, h a b e n (wegen a = u’) g l e i c h e n A b s t a n d v o n d e r A x e , sodass:
(15)
bcllarn.
Unter dem Z e n i t h p u n k t e des Strahles verstehe ich
(Fig. 6) den Durchschnittspunkt d seiner Anfangsrichtung mit
Clem verlangerten Radius des Be----__ ___.
d
obachtungsortes. E s
seien a , u’ a!
a*
zwei belie- LR
F-------bige conjuFig. 6.
girte Punkte,
deren Entfernung vom Erdcentrum D. D’, die Divergeaznrinkel des zugehtirigen Strahles u, a’; so hat man nach
dem soeben angefiihrten Satze in der Nilhe des Zenithes:
-
---
D
a
_.-D’ a, - n‘.
Bus d m c a ’ folgt aber, wegen 7 = 5:
und dies in (16) eingesetzt:
(17)
D _
a - ,
_.
-n.
B t
Ferner ist in A m a d , wenn man die Hohe des Zenithpunktes durch h bezeichnet:
sodass sich (17) in:
);
+):
(18)
(1 3(1
= 12)
yerwandelt. Hieraus ergibt eich, wenn fir p :5 der Wehh (2)
eingesetzt wird:
(19) h = [(n‘- 1) - 57,3“ n’ (1 + A)] .R = ca. 0,027 km.
A. Kerter.
126
D i e Hijhe des Zenithpunktes ist fur Zenithd i s t a n z e n b i s gegeii 1" yon 8 und 5 unabh~ingip, d. 11.
d e r Z e n i t h p u n k t h a t fur denselLen O r t R u n d d e n s e l b e n L n f t z u s t a n d ?I' e i n e unveriinclerliche L a g e .
I V . Z w e i t r r Klherung~swc*rtlifur H,Gennuigkritsgreazc des
R e au 1t a t ca.
Da wegen (15) die Dreiecke b c d uud u m d (Fig. 5) einander iihnlich sind, so hat man fiir den Symmetriepunkt a :
2)
d. h. 1-I- ----.F,
R+k
a nr
dnr
=-*cd,
und, aus (4) und (19) die Werthe eingesetzt:
(20)
[
1
11 = 2 R 5.,377 ( I - d ) - I )
11'-
'1
= ca. 1S9,O km gegen 102,6 in (7).
Die Uebereinstimmung beider Werthe zeigt, class cler
durch Gleichsetzung der Entfernungen in (14) gemachte Fehler
ohne wesentlichen Einfluss auf das Resultat der Rechnung
ist; dass also in der That die Entfernungen der Symmetriepunkte von den Grenzen der Atmospbre (fiir p : 5 = 57,3'
und n'- 1 = 0,000282) einander nahe gleich sind.
Von den beiden F o r m e l n fdr H in (7) und (30) ist
ubrigens die erste am genauesten, weil die Lichtcurve in der
Niihe des Zenithes von einem Kreisbogen unendlich wenig
abweicht.
Was die n u m e r i s c h e Bestimmung H I 192,6 km anlangt, so wiirde unter der Voraussetzung, dsss das in (2) angeoommene Verhiiltniss der Refraction zur Zenithdistanz
(37,3'3 bis auf l/l,,,,o des Betrages richtig ist, d < 0,001 zu
setzen aein, und dieseslwiirde in der Bestimmung der Hohe
der Atmosphire auf einen Fehler von wesigen Kilometern
fiihren. l)
V. S c h 1us a b em c r kung en.
E s liegt nahe, auf Grund der obigen Bestimmung eine
neue Entwicklung der Differentialgleichung (9) der astronomischen Refraction zu versuchen.
1) Inzwiachen hat sich mir ergeben, dasa die numeriachen Bestimmungen fiir 0 : ;, n'- 1 und H einer wesentlichen Correctur bedurfen.
A. h'eTber.
127
Als Gesetz der Abnahme der B r e c h b a r k e i t mit der
Hohe ergibt sich mit grosser Wahrscheinlichkeit die Beziehung:
(21)
h=(;&) - n
.H,
die ganz ahnlich abgeleitet wird, wie das Bunsen'sche Absorptionsgesetz. Nach Einfuhrung dieses Werthes wilrde
dann die Liisung der Difl'erentialglejchung keine Schwierigkeiten machen, und auch die Gleichung der Lichtcurve leicht
zu finden sein.
W a s die Constante m betrifft, so ergibt sie sich am
sichersten aus e i n e r gennuen Refractionsbestimmung. Spiiter
nerde ich den gefundenen Werth von m durch die Tempernturabnahme mit der Hahe priifen, indem ich hoffe., durch
einen mir verwandten Physiker, der voraussichtlich noch
J a h r e lang in den Tropen
verweilen wird, in den Besitz des beziiglichen Materials gesetzt zu werden.
Auch glaube ich nach meinen bisherigen Versuchen,
dass es mir gelingen wird,
fiir die Abnahme der Brechbarkeit und die Bestimmung
der Constanten aus d e r Beobachtung des Abendr o t h e s directes Beweismaterial zu beschaffen. Es sei
Fig. 7.
(Fig. 7) cm der Erdradius
und ca der Horizont des Ortes c; in s', s" stehe die Sonne
t'! t" Stunden nach ihrem Untergange; a'c' und d'c" seien
die Hohen (A', h") der spiegelnden Luftschichten, e' und e" die
beziiglichen Einfallswinkel. Alsdann ergibt sich leicht :
h'= (1- sine') R, h"= (1- sine") R,
uud nach (8) als Intensitgt der Spiegelung an den Schichten
11': h", derenBrechungsverhaltnisse durch n',n" bezeichnet seien:
128
A. Sprung.
Misst man nun mittelst eines guten Photometers die Intensitat J , s',so kann die Abnahme der Brechbarkeit zwischen
zwei benachbarten Schichten in der Eohe h'! A", Y" etc. berechnet werden; denn es ist:
Sn'= 2cosZe'VJ,
Sn"= 2 c o s 8 i ' V J ' etc.
C h e m n i t z , E'ebruar 1881.
Obwohl die im Jahre 1735 von H a d l e y ausgesprochene
Anschauung uber den Einfluss der Axendrehung der Erde
auf die Stromungen der Atmosphke, besonders durch Dove's
Schriften, ausserordentlich beknnnt geworden ist und in fast
alle Handbiicher der Meteorologie und Physik Aufnahme
gefunden hat, wurde die wirkliche Construction der Bahn
eines Lufttheilchens nach dem Hsdley'schen Princip im sllgemeinen doch nur selten a u s g e f b t . Indessen findet man
gerade in diesen Annalen drei Abhandlungen I) , welche sich
die Aufgnbe gestellt haben, die Bahnlinien der Winde streng
zu berechnen, und zwar unter der entweder bestimmt ausgesprochenen, oder dem Sinne nach leicht erkennbaren Voraussetzung, dass die Lufttheilchen ale frei bewegte Massenpunkte
zu betrachten seien. Es handelt sich also in diesen Arbeiten
um ein streng zu formulirendes mechanisches Problem, niimlich um die freie Bewegung (Tragheitsbewegung) einev Massenpunktes, welcher gezwungen ist, auf einer rotirenden Obertfiiche zu verharren. Seit dem Jahre 1858 hat eine Reihe
1) von Bsyer, Pogg. h n . 104. p. 477. 1658. - Ohlert, Pogg.
Am. 110. p. 234. 1866; - M O U S S O R ,Porn. Bnn. 129. p. 652. 1866.
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