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Die Intensitten von Dublettlinien nach der Diracschen Theorie.

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700
Die Intensitbten v o n DuliZettZinien
na c h d e r Diracschen Theorie
Vom K . B e c h e r t
5 1. Einleitung
Die Berechnung der Intensitaten von Dublettlinien bei
natiirlicher Anregung ist nach der D iracschen Theorie streng
- mit EinschluB aller Relativitatskorrektionen - moglich.
Dazu hat man die Matrixglieder des elektrischen Momente,c
der Ladungsverteilung g zu berechnen , also die Integral
J q p d t ( q = Koordinate, d t = Raumelement). Es zeigt sicb,
daB man die Dichte g des Elektrons in eine relativ einfache
Form bringen kann, aus der sich leicht allgemeinere Eigenschaften dieser Dichte ablesen lassen (2. B. Kugelsymmetrie
der Ladungsverteilung bei S-Termen auch nach der Diracschen
Theorie und ahnliches). Die Kugelfunktionsbestandteile von e
liefern die H o n 1- Som m erfel dschen Intensitatsformeln in
aller Strenge fur beliebige Zentralfelder. Die Auswertung
der Integrale uber r laBt sich fur Coulombsches Feld durchfuhren. Wenn die Relativitatskorrektionen klein sind ( a 2 Z 2<< l),
erhalt man fur die Linien eines ,,Multipletts" die HonlSommerfeldschen Formeln, weil dann der Faktor, den die
T -1ntegrale beisteuern, fur alle Ubergange eines Multipletts
der gleiche wird und nur die Kugelfunktionsbestandteile verschieden ausfallen. Allgemein gelten f u r diesen Grenzfall
beim Vergleich der Gesamtintensitaten verschiedener Multipletts
(Gesamtintensitat sol1 hier heiBen: Sumnie uber alle Linien
eines Multipletts) die Formeln der Schrodingerschen Theorie,
wie sie yon P a u l i l ) und WentzeI2) angegeben worden sind.
1) Zitiert bei E. S e h r o d i n g e r , S n n . d. Phys. 80. S.489. 1926.
2) Angegeben bei A. S o m m e r f e l d u. A. U n s o l d , Ztschr. f. Phys.
38. S. 238. 1926.
Die Intensitaten v. Dublettlinden nach d. Diracschen Theorie 701
Wenn die Belativitatskorrektionen anwachsen (hohe Kernladung,
groBe Aufspaltungen), dann wird man nach den abgeleiteten
Formeln Abweichungen von den H o n 1- S o mm e rf e ld schen
Formeln und auch von denen der S'chrodingerschen Theorie
erwarten. Eine Anwendung der Intensitatsformeln auf die
Rontgenspektren ist natiirlich nur im Fall wasserstoff ahnlicher
Serien ( K - , L-Serie) gestattet; doch stoBt man hier auf die
Schwierigkeit, daB man von vornherein nicht weiB, welche
Abschirmungszahlen in die Formeln einzusetzen sind. Man
wird zunachst versuchen, mit den Abschirmungszahlen der
Abschirmungsdubletts durchzukommen, weil sie den Tei-mwert
am nachsten liefern. Mit diesen Zahlen aber ergeben sich
bedeutend groBere Abweichungen von den H o d - S o m m e r feldschen Formeln als wirklich beobachtet wurden. - Die
Berechnungen der Intensitaten sind augerst muhsam; auf
keinem der bisher versuchten Wege (verschiedene Abschirmungszahlen vernunftiger GroBe) ergaben sich Resultate, welche die
Beobachtungen erklaren konnten. Man wird also wohl mit
W e n t z e l l ) strahlungslose ubergange fur die Abweichungen
mit heranziehen miissen.
Wir schreiben die Diracsche Gleichung in der Form2):
dabei bedeuten die benutzten Abkiirzungen folgendes:
a, 'p sind die elektromagnetischen Potentiale, E, = nao c2 die
Ruhenergie des Elektrons. Die ul sind vierreihige Matrizen,
deren Form wir in folgender Weise wahlen:
1) B. W e n t z e l , Naturwiss. 14. Heft 26. 1026.
2) Vgl. z. B. A. S o m m e r f e l d , Atombau und Spektrallinien, wellenmechanischer Erganzungsband, S. 302 ff.
K. Bechert
702
0 0 0
0 0-1
ccl =
0-1 0
1 0 0
1
0
0
0
0 0 0-i
0 0-i 0
'
%= o i o o
1
i o o o
1
0
0
0
0 0 0
1 0 0
0-1 0
0 0-1
Fur die 01 gelten die bekannten Relationen
uZ2= 1 (Einheitsmatrix); 0 1 ~aZ 0 1 ~(yj= 0 (I
j);
+
+
i ,1 = 1 , 2 , 3 , 4
Unter u ist eine vierreihige Matrix niit den Komponenten
Bus GI. (1) laBt sich eine
Kontinuitatsgleichung fur den Viererstrom STtmdes Elektrons
ableiten
u,, u2, u3, u4 zu verstehen.
1=1
mit
S,, nn, = universelle Konstante
i
-2
Zeilen
(fin
(aq,
ul u,)) ;
I = 1, 2 , 3 , 4 .
(n.,m = Indizes, die zu zweiQuantenzustandenn,m gehoren.
Das Zeichen
2( )
bedeutet: Man fuhre die Multiplikation
Zeilen
u4 ccLumaus, multipliziere dann mit der zu u,, konjugiert
komplexen Matrix an und summiere alle Glieder der entstehenden Matrix auf. Die vierte Komponente von Snm gibt
die ,,Dichte" des Elektrons und lautet
Die Funktionen normieren wir, indein wir setzen:
4
1=1
Das Problem des Elekti,ons im Zentralfeld (potentielle
Eiiergie e sp = V = V (r)) kann man in Polarkoordinaten r , 8,sp
separieren nnd erhalt zwei Systeme von Losungen, die wir als
Die Intensitaten v. Dublettlinien nach d. Diracschen Theorie
703
System I und I1 bezeichnen wollen (der gemeinsame Zeitfaktor
Die P y (cos 3) sind die zugeordneten Kugelfunktionen
ist stets eine game, positive Zahl+ 0 , m durchlauft die
ganzen Zahlenl) von + x his - x . Die R genugen den
Differentialgleichungen
x
(7)
{
. ' d
1 - k
R, = h2 n (- $3- Vj - E,) R,
T'-
,
E,) R,?
1) Wir weisen ausdrucklich darauf hin, daB die obigen Beziehungen
alle Werte von m , positive wie negative, in gleieher
Weise gelten.
(9,
(5), (6) fur
704
K. Bechert
:\us denen nian schlieBt, dafi R, [und also auch R , . vgl. (4b)
2nes
und (5b)I von der GrtiBenordnung u = - ist, wenn R,
hc
(und R,) die Ordnung 1 hat. Die in (i)
vorkomniende Zahl k
hat fiir System I die R e r t e + 1, + 2 ,
3, . .. und f u r
System I1 die Werte - 1, - 2, - 3 , .. . ; k = 0 ist ausgeschlossen. Der Index der Kugelfunktionen x ist cler absolute
Betrag von k :
x = Ikl.
Rei gege1)ener Hauptquantenzahl ?L hat k die Werte
5 1 . & 2, ... & (?Z - l), ”;
der M’ert - IL ist auszuschlieBen. Ferner h h g t k niit der
Aziinutalquantenaahl 1 der nichtrelativistischen Theorie und
mit der Sommerfelilschen inneren Quantenzahl j’ folgenderinafien zusammen:
System II (k < 0 )
System I (k > 0)
I
l=-k=ikI=x
l=k-l=x--l
+
+
I
;= 1 + ’I2 = ii - ’1,
=%-is 1
1
;=l-1/2=lkl-’/2
=x
- ’1,
Der Deutlichkeit wegen schreiben wir den Fall n = 3
vollstandig auf:
Die vierte Spalte gibt die radiale Quantenzahl rtr = iL - k 1.
-4us dein Viererstrom (‘2) gewinnt man nach den Regeln
der Elektrodynamik das Viererpotential und daraus wieder
die Feldstarken Q ! h j des vom Elektron erzeugten Feldes und
damit die ausgestrahlte Energie. R e n n man nur die Dipolglieder beihehglt und die sehr schwachen Quadrupolstrahlungen
wegliiflt, erhiilt man liekanntlich f u r die ausgestrahlte Energie
Die Intensitaten v. Dublettlinien nach d. Diracschen Theorie 705
Die Dichte <j ist f a r einen beliebigen Ubergang nz'-+m,
k' --t k , n'--, ?z zu bilden.
So findet man die Auswahlregeln'):
Wenn q = x + i y , muI3 m ' - m = f: 1 sein
und gleichzeitig
,, 4 = x , mu6 m'--m = 0 sein
<
System I) oder beide negativ sind [Ubergange im
System 11),
I k' 1 - 1 k 1 = 0 , wenn k', k ungleiches Vorzeichen haben,
1) P.A. M . D i r a c , Proc. Roy. Soc. 11s. 8.351. 1928; C. G. D a r w i n ,
Proc. Roy. SOC. 118. S. 654. 1928.
2) Die Auswahlregeln bleiben auch in auBeren Feldern giiltig,
solange die Winkelabhangigkeit der Eigenfunktionen ungeandert bleibt.
Bei sehr starken Magnetfeldern wird die Abhiingigkeit vom Winkel 8
anders, so daB die Auswahlregel in j und 2 sich andern kann. Dagegen
kann (bei beliebigem Zentralfeld) die Auswahlregel fur m (d. h. fur p)
durch kein Magnetfeld durchbrochen werden.
3) Fur m = H verschwinden drei VOU den Eigenfunktionen, weil
die zugehorigen Kugelfunktionen verschwinden. Man sieht aber am
allgemeinen Bau der D i r a c schen Gleichung , die vier Gleichungen
zwischen je drei u-Funktionen enthalt, daB dann auch die vierte Eigenfunktion verschwinden muB. Also gibt m = + n keine Losung.
+
Ti. B e & ert
706
2. Vereinfachung der Auedriicke fiir die Ladungsdichte
e
Zur Berechnung der Linienintensitiiten mussen wir Integrale der Form j q p behandeln. q gibt in Polarkoordinaten
r sin 3 e * + (entspricht x t i y) oder r cos 13. (entspricht 2).
Offenbar haben wir drei Typen von Integralen, j e nachdem,
ob 9 einem e‘bergang in I oder in I1 oder zwischen I und 11
zal
4
e =1=1
zugehort. Wir bilden also
u l , bezeichnen die R-Bunk-
tionen des einen Quantenzustandes (mit den gestrichenen
Quantenzahlen (m’, k‘, n‘)) durch R’ und beachten die Reziehungen (4b), (5b) zwischen den R:
(9 8)
I
p,L.e. nL‘ I
IL
k 7n I
+ I]’’;+
xt ml
11 =
Pm
I
(In, k‘,*’
I=
nknr 11
+
.
I}
(x’- m’) ( x
- nL)
+ R,‘R, { 1’;;
P y - p‘+m’)
+ ~ x~ -’ 1~ + ‘x p- m + ~ } ) e ~ ~ m ’ - m I p , ,
Tp?)
(R*’E, { P”?
x - 1 P”x - 1
. tx - vt)+
I
1
(R2’n, ( P;: PT
.iX +
[ (In,
(9c’
=
(%’
p mx + l
~ ) ~ ’ + ‘
+ m’)( x + m)
1)
eicln’- m)p7
,
(R,’ R2 { - P?’ P,”.. (x’- nl’)( x + nz)
p m ’ + 1 pm t 1
1 p: ( x ’ + ”’)
- 1 } H,’fi, ((% - m) + I’m’+
p”x 1 ci(m’-ml,,> .
x‘-1
X’
~
+
’
f
Es ist fur das folgende wichtig, daD sich jeder dieser drei
Busdrucke fur 0 in die Form bringen l%Dt(I = f, (r)f, (9.)f, ( y ),
wo jedes f nur vom hingeschriebenen Argument allein abliiingt.
Man kann n%inlich zeigen, daB in jeder einzelnen der
Gleichungen (9) die zwei geschweiften Klammern einander
gleich sind.
F u r die Kugelfunktionen ( 6 ) gelten die Relationen l)
(104
pm
x t l =
c o s a P::;+ :x
+ nz)sina P : - ~,
1) Es ist vielleicht nicht unniitz, darauf hinzuweisen, da6 die foIgenden Kugelfunktionsbeziehungen und die daraus folgenden Forrnen
der Ladungsdichte fur nlk wb gelten, positive wie negative ( I ?n j 5 x ) .
Die Intensitaten
2).
Dublettlinien nach d. Diracschen Theorie 707
und
- ( x - m) P r = sin9.P""
(lob)
x - 1
- ( x + m ) c o s 8 PF-l.
Die entsprechenden Gleichungen fiir die gestrichenen Indizes x', m'
P ~ ' = cos i+
(10.a)
X'
+
PZ;~: + (x' + ni) sin
19.
P::-
und
(10'b) - ( x ' - m ' ) P ~ = s i n 8 P nx - ~- 1+ 1 - ( x ' + m ' ) c o s 9 P ~ - l
multiplizieren wir mit(l0a) und (lob) und addieren; dann kommt
(11)
{
+ ( x - m)(x'- m') P," P;,'
p
m
+
1
m'i-1
- 1 px.- 1
P 4
m') p:
p ; + l p m ' + X'1
+ + @'+
-
1
p:-
1
fur beliebige (ganzzahlige) Indizes x , m , x ' , m' (mit der Beschrankung ] m i s x , Im'I sx' und x , x' positiv). Die zwei
geschweiften Klammern in (9a, b) sind also einander gleich.
Zur Umformung von (9c) braucht man die Beziehungen
( x + m ) ~ ; - , = sinit.P:+l
(12a)
- ( x - m)sin*
pm+'
x - 1 = c o s a P:+'
Vb)
+(x-m)cosa~:
P:.
Wir multiplizieren (l2a) mit (lO'b), (12b) mit (10'a), addieren
und erhalten :
(13)
{
-(X+m)(x'-rn')P;-,P~;
+ Pm+LP98i'+1
x--1
=-(x--nz)(x'+m~)P~P~_,+
XI
y+?'+1
x'1*
Also sind auch in (9c) die geschweiften Klammern einander
gleich, so daB man e allgemein in den folgenden Formen
darstellen kann :
Qdk'm'I
=( f p 2
+ R,'Q (P:,'+ px.-l
ly-ljx'+-q(x+m)
m ' t l p m + l
n-J
ei(m'-m)q
,
1) (14a) stimmt nur formal mit (14b) uberein; in Wirklichkeit sind
die R-Bestandteile versehieden, weil die Funktionen R f u r positive und
negative k (System I und 11) verschieden ausfallen.
K. Bechert
708
e n f k' m' 11
n k m I1
+ R,' z,)(
= (Rz'
+ I>:': PTT :)
pnfVmt1
=
- 1 (x' +m')( x +m)
1
Pzr'-
ez (m' - WO
y
,
(B2'Rz+ R ~ R 4 ) ( - I ~ ~ , ' P ~ - 1 ( x ' - m ' ) ( x + m )
IJ
I
+ pm' + 1 p m
*
92
x
+1
- 1)
z (m'
e'
- nz) y
.
Dies gilt gemaI3 unserer Ableitung fur beliebige Zentralfelder
und in beliebiger relativistischer Naherung. Mit Kilfe von (14)
kann man die Integrale
1
q Q d t und auch das Normierungs-
integral p d t auf Produkte von Integralen uber r allein,
8 allein, ~p allein zuruckfiihren. Die (9.- und 9-Bestandteile
sind fur alle ZentralfeIder die gleichen; es genugt, sie sich
ein fur allemal auszurechnen.
-%us (14) laBt sich leicht ablesen, daB die X-Terme wie
in der Schrodingerschen Theorie l) kugelsymmetrisch werden.
Fur den X-Term gilt namlich k = + 1 (System I); x = 1,
rrz = 0, - 1 (d. h. p = & l/J. Das liefert nach (14a) fur
m = 0 (bei Zustanden ist m' = m , k' = k , 12' = n zu setzen) :
QS
P=
+
= (Bz,
s RL,,s
und fur nz
es
=-
+ Rq,
R A , s) (Poo)= Funktion von r allein
1, ebenfalls nach (l4a)
= (Ed,s &, s
(L=-'2
+ RA,s RA,
S)
Poo)
= es
p= +
;
1,s
d. h. die Ladungsverteilung der zwei Zustande p = f 1/2 hangt
nicht von 8,y ab, ist also kugelsymmetrisch. Dies gilt streng
fur alle S-Terme des Einelektronenproblems und angenahert
fur die S-Terme der Alkalien, soweit man fur diese die
Wirkung der ,,innerenLCElektronen durch eine Abschirmung
der Kernladung darstellen kann.
Such die P-Terme mit j =
sind kugelsymmetrisch;
man hat k = - 1 (System 11), x = 1, nz = 0, - 1 (p = +
und erhalt aus (14b)
gp,,s = gp,ll = Bunktion von r allein.
p=+'/p
JL=-lli2
1) Vgl. A. S o m m e r f e l d , Wellenmechan. Erganzungsband, S. 100;
A. Unsiild, Ann. d. Phys. 82. S. 355. 1927.
Die Intensitaten v. Dublettlinien nach d. Diracschen Theorie T O 9
Alle anderen Terme sind wie fruher axialsymmetrisch um die
Achse 1 9 = 0, weil cp aus dem Ausdruck von p fur Zustande
ganz herausfa1lt.l) (Diese Achse ist natiirlich nur dann physikalisch ausgezeichnet, wenn ein auSeres Feld wirkt.)
§ 3.
Integration uber die Winkelkoordinaten
s
Urn die Integrale
= rq Q d t wirklich ausrechnen zu
konnen, mu6 man die Eigenfunktionen normieren, also das
I n t e g r a l s (1 d t ausfuhren. Wir multiplizieren jede der Eigenfunktionen u mit eineni Normierungsfaktor 1/ N und fordern
+lkt+,at=
i7
l=l
oder ausgeschrieben
Die Integration iiber 9. gibt
oder, wenn wir zur Abkiirzung setzen
M
(15)
f(1
R2(.n,kj12+ /B,(n,k)j2)r3
dr
1
= ___
K 2 ( n ,k)
0
dann folgt
-.1
'
1
4 n ( x 4- m)!
= 1.
(15a)
N 2 (X - 1 -w)! K 2 ( n , k )
Die Berechnung von KZ((n,k ) schieben wir noch auf.
~~
I) Mit Hilfe der Darstellung (14) lg6t sich auch leicht beweisen,
daB Schalen von gleicher Hauptquantenzahl PL und gleicher Azimutalquantenzahl Z kugelsymmetrisch sind. Das gleiche gilt f u r Schalen von
gegebenem ?a, Z , j . (Die Rechnung ist derjenigen nach der S c h r o d i n g e r schen Theorie) vollkommen analog; man iiberlagert die Dichten und vernachlzssigt die Wechselwirkung der Elektronen. Wie ich aus dem S u c h
von P a u l i n g und G o u d s m i t ,,Structure of Line spectra'' S.30 entnehme,
ist dieses Resultat schon von H a r t r e e abgeleitet worden.
K. Bechert
710
Fuhrt man noch die Abkiirzung
m
(16)
J(n’k‘;n k ) =
(Rz(n’k‘)Ez(nk)+R,(n‘k‘)R,(nk)) r 3 d r
0
ein, so erhalt man nach einiger Rechnung fur die erlaubten
Ubergange die bekannten H o n l schen l) Intensitatsformeln. Sie
sind bereits von D i r a c 2 ) abgeleitet worden, sie lauten in
2 e2
unserer Berechnungsweise (C = 3cs(2n)4):
(17)
{
ausgestrahlte Intensitat A,,, kt ,r = C 11* (n‘ k’;
YL k)
-
n k m
1~Z(n’k’)KZ(nk)JZ(n‘k’;
n k ) .f ;
die Faktoren f entsprechen den H o n 1schen Ausdriicken und
hangen nur von k und rn ab. F u r eine beliebige Kombination
zweier Dublett-Terme, die wir etwa durch das folgende Schema
charakterisieren konnen, haben die f die Werte :
(x
+ m) ( x + m + 1) .
(2%+ 1 ) Z
f x , m, I1
X ) m - 1 ,
(x
x,m
+ 1,1.
>
=
I
- m) ( x - m - 1)
+ 1)s
(2x
f x , m, 11
x
- 1, m + 1, I1
f%,m11+ l ,
112,
x ,
.>
= (x-l-ml(x-m(2%- 1)2
I
+ m) ( x - m) .
+ 1)2(2%- 11%’
4 (x
(2x
4(x
2).
+ nt + 1) - m - l )
+ (2x - 1 ) 2
(2x
1) H.HOn1, Ztschr. f. Phys. 31. S. 340. 1925.
2) P. A. M. D i r a c , Proc. Roy. Soc., a. a. 0.
>
(X
1)2
*
Die Intensitaten v. Dublettlinien nach d. Diracschen Theorie
71 1
Durch Aufsummieren uber m erhalt man fur die Intensitat
eines Uberganges in k und n :
(20)
A,,
n
kr
= Cv4(n'k'; nIc)K2(n'k3K2(12k)C)2(i12'k';
n k ). F ,
k
1
F hat die Werte
(21)
P % +II =
,
2 x (x
+ 1) .
=+17
2 X ( X
F%,I1
x-1,
- I) .'
= ___2x-1
I1
x l l
2%
F%I1
=
I
%,
(2x
- 1)( 2 x
4- 1)
;
und entspricht den Intensitatsformeln von H o n l und S o m m e r f e 1d.l)
Es ist klar, daB die Faktoren f und P den von den
Kugelfunktionen herruhrenden Bestandteil der Intensitatsformeln auch fur beliebige Zentralfelder in beliebiger relativistischer Naherung wiedergeben. Im Limes verschwindender
Relativitat werden die Faktoren vonf bzw. F in (17) bzw. (20)
fur alle Linien der Kombination (18) einander gleich.2) Die
Resultate dieses Paragraphen sind im wesentlichen schon in
den zitierten Arbeiten von D i r a c und D a r w i n enthalten.
5 4. Integration uber die radialen Funktionen
Nun spezialisieren wir das Zentralfeld und rechnen von
2 ez
, weil man in
jetzt ab mit einem Coulombfeld V ( r )= allgemeinen Feldern die R-Funktionen nicht explizit angeben
kann. Sie sind allgemein durch die Differentialgleichungen (7)
zusammen mit der Randbedingung der Eindeutigkeit und
quadratischen Integrierbarkeit
1(I R, I + 1 R, 1
00
(22)
p ) r 2d
r
endlich,
0
bestimmt. I m Falle des Coulombfeldes kann man die Integration streng durchfuhren.3) Uns sol1 im folgenden nur der
1) H. Honl und A. S o m m e r f e l d , Preub. Akad. 1926, S. 141.
2) Vgl. 8 4.
3) Vgl. W. G o r d o n , Ztschr. f. Phys. 48. S. 11. 1928; A. S o m m e r f e l d , Erganzungsband, S. 302ff.; C. G. D a r w i n , a. a. 0.
K. Bechert
712
Fall des diskreten Spektrums ( E < E,) interessieren. Dann
werden die R-Funktionen durch die Ausdriicke dargestellt :
- 2-~ e - ~ T . ( 2 ~ u r p (w);
v
Imit A =* I ~ E , ~ - E A , =+~FGZZT,
y
a = =2 =
n e,2 .
hc
z , w geniigen den Gleichungen (p = 2 I r gesetzt) :
Die Bedingung (22) hat zur Folge, daf3
(%a) u’E
-y
= nr (.nr = radiale Quantenzahl = 0, 1, 2,
...]
sein muB. F u r E gilt die Feinstrukturformel
Es ist nicht schwer, eine Integralstellung der Losungen von (24)
anzugeben ;
erfiillen die G1. (24), wie man durch direktes Einsetzen und
einige Umformungen erkennt ; der Integrationsweg ist eine Urnkreisung des Nullpunkts in der Ebene der komplexen s; dabei
sol1 1 s 1 < 1 sein. Durch Ausfiihrung der Integrationen gewinnt man Reihendarstellungen von v und w. Es kommt der
Reihe nach:
Die Intensitaten v. Dublettlinien nach d. Diracschen Theorie 713
daraus folgt nach dem C a u c h y schen Satze p = n,. - 1 - 11,
was nur fur v <nc- 1 erfiillbar ist. Also bleibt
v verschwindet, wenn n,.= 0, wie man auch an (26) erkennt.
Analog erhalt man fur w
Anch hier ist der Fall n,.= 0 besonders einfach. Es wird
Die Funktionen w, w sind im wesentlichen entartete hypergeometrische Funktionen, wie schon G o r d o n a. a. 0. bemerkt
hat, namlich
;F(--12,.+ 1, 2 y + 1, 2ilr),
(28b)
k + 00 E,
w =--
. F ( - n,., 2 y
+ 1, 2 h r ) ,
wo
M
(In unserem speziellen Fall des diskreten Spektrunis brechen
die Reihen F ab.) E s folgt daraus, da6 v, w den entarteten
hypergeometrischen Differentialgleichungen
geniigen, die man auch aus (24) durch Elimination unter
Beri'lcksichtigung von (25) erhalten kann.
F u r die Funktionen R2,R, brauchen wir nach (23) die
Kombinationen v +_ w. Aus der Integraldarstellung (26) kommt,
wenn wir statt y + a'E nach (25) 2 y + n,. schreiben und Q = 2 A r
einsetzen
Annalen der Physik. 6. Folge. 6.
47
I<. Bechert
714
12
-1
Weaen
lvkw=--
1
2y+nr
5 5. Die Integrale II* (n, k) und J(n' k'; n k )
Nun konnen wir zur Berechnung der Integrale K (n,kj
und J (n'k'; n k) iibergehen (Gl. (15) und (16)). Sie sind beide
vom Typ
(31)
1
00
J
~ ( n ' k ' n'k)
;
=
(R,(n'k')R2(nk)+ ~ ~ ( n ' ~ ) i i , ( n k j )
0
.++rdr,
und zwax ist
(31 4
I(n'k'; n k ) z = l = J ( n ' k ; nk),
; nkXZo= K-2(nk).
I(nk
t
= 0,l
Die Intensitaten v. Dublettlinien nach d. Diracschen Theorie 715
Die zum Zustand n’, k‘ gehijrigen GroBen kennzeichnen
wir durch den Index 1, die zu n, k gehorigen durch den Index 2;
dann haben wir zunachst nach (31) und (23)
I
00
Wir berechnen jetzt M ; indem wir die Reihen (30c) einsetzen, erhalten wir
die Integration uber r laBt sich nach dem Schema
K. Bechert
716
ausfuhren und liefert
nrl
nr2
1
M'=CZ-,,-(2h).
7
[ - 1)v
2y1 + nrl
v=o p=o
was sich auch in der Form
schreiben la&. M" unterscheidet sich von M' nur dadurch,
daB es v w an Stelle von v w enthalt, das bedeutet nach
(30c) Umkehrung des Vorzeichens von k + E'E,,. Also gilt
r(F/i + 794- T f 1)
+
-
7r+ %J(27*+n,J
mie man auch durch direkte Ausrechnung best'atigen kann.
Im Falle des Normierungsintegrals vereinfachen sich diese
Ausdriicke bedeutend; es fallen die Niveaus 1 und 2 zusammen
und wir schreiben alle GroSen ohne Index (also I., y, n,, k, a'),
ferner la&. sich die Identitat beweisen:
(37)
\2(E)(@Jp)
(@z7)
1
=
P=o
fur beliebige Zahlen
a = game Zahl
0.
p,;.;
Die Intensitaten v. Dublettlinien nach d. Diracschen Theorie 7 17
Zum Beweise bilden wir das in der komplexen s-Ebene um
s = 0 erstreckte Integral (auf dem Integrationsweg sol1 sI < 1 sein)
I
m
00
die einzigen nichtverschwindenden Beitrage kommen von den
Gliedern, fiir welche p - a + x = 0 ist; also x = u - p und p
lauft von 0 bis a; d. h.
a
p= 0
Andererseits ist
Damit erhalt man im Falle des Normierungsintegrals fur die
zweite Summe in M', G1. (35): (t=0)
) (nT- P + k + a' E,)
p= 0
=2'(2: + ".)(nT
n
- U
27P
-
v
- 1) ( " , - - P ) + ( k i U ' E , ) ( " r - n : - l
p= 0
n,-1
=2("y+nr-')(12,jl=
0
2y-v-1
1-
)(2 y+aJ
El
-
Y
-2
+ fk+a'E,) (".-n,
) + (k +
U'E,)
-
(,,-,m, - 1 ) .
Die erste Summe in (35) lauft von v = 0 bis nT;man sieht
leicht, daB ?:-."(
')
nur fur
verschieden ist. Namlich
Y
= nT- 1
und
Y
= nr von Null
K. Bechert
718
Es bleiben also von der ersten Summe nur die Glieder v = n r
und v = n,. - 1 iibrig. Nach einigen Umrechnungen kommt
Genau denselben Wert liefert Mr’=o(nk ; n k). Das Integral (34)
aird dann
1 ( n k ; n k ) , , ~ = ( 2 ~ ) 2 ~ . ( 1E- - + I
-)M’(nk;nli),,o
E
+
E”
ELl
Bus (24) und (25) schlieBt man, cla8
-nr
- k - a’E, - k - a’E, , also nr (2y + nr)= a’ E,2-
k+a’E,
7+a’E
,,2y+n,
k2
und
I
00
1 (n k ; n k), =: o=
(n k ) =
1(1
R2(nk)I2+1 R4(nk)I2)
r2dr
0
Man hatte G1. (38) auch auf anderem Wege, unter Benutzung
der Integraldarstellung fur v f w,GI. (30a, b) ableiten konnen
und wiirde dasselbe Resultat finden. Eine weitere Probe gilst
cler Umstand, da8 im Limes verschwindender Relativifat die
normierten S c h r o d i n g e r schen Eigenfunktionen R, (n, 6) uncl
R4(n,- Z - 1) einander gleich werden mussen, also
(39)
K ( n ,Z) R, (n,Z) = K(n, - Z = 1) R, (n, - Z
- 1).
Das ist in der Tat der Fall, wie man nach einiger Rechnung
erkennt. (uberhaupt erhalt man in diesem Grenzfall genau
die Formeln der S c hrodingerschenl) Theorie, wenn man
alle fjbergange, die zum gleichen Sprung in n, 1 gehoren, zusammenfafit.)
Der Wert des Integrals J(n‘k‘; n k) kann nun aus (31 a)
(34), (35) und (36) entnommen werden. Es ist mir nicht gelungen, die Ausdriicke M , M fiir diesen Fall, wo die GrijBen
1) Angegeben von G. Wentzel, a. a. 0.
Die Intensitaten v. Dublettlinien nach d . Diracschen Theorie
719
mit den lndizes 1 und 2 voneinander verschieden siud, in
eine einfachere Form zu bringen.')
Versuch einer Anwendung der Formeln zur Berechnung
der Intensititen von Rontgenlinien: Bekanntlich zeigen die
Rijntgenlinien der schweren Atome oft betrachtliche Abweichungen der Intensitaten von den Verhaltnissen, die man
uach den Intensitatsformeln von H o n l und S o m m e r f e l d
(oder, was in diesem Pall das gleiche ist, nach den Summenregeln) erwarten sollte. So hat man z. B. bei Uran (2 = 92)
fur M,,, L, : MI,L, das Verhaltnis 1,02:1 beobachtet 2), wahrend
die Summenregeln 2 : 1 geben wurden. Xhnliche Abweichungen
sind bei anderen Linien von Z', dann auch von T h und W
bekannt.
Die Xveaus X, L , auch M bei schweren Atonien kann
inan als annkhernd wasserstoffahnlich ansehcn. Wir ersetzen
die Kernladung Z durch 2 - G (@ s Abschirmungszahl, verschieden fur jedes einzelne Niveau) und behalten im iibrigen
die Formeln unserer Rechnung mit dem Coulombfeld bei. Die
%ah1 jg entnehmen wir aus dem beobachteten Termwert des
Rontgenniveaus; diese G werden also den bekannten S o m m e r f el dschen Abschirmungszahlen cler Abschirmungs- oder irreguliiren Dubletts nahezu gleich.s)
Wenn die Aufspaltungen der Tenne klcin sind, d. h. wenn
die v in Formel (20) wenig voneinander verschieden sind und
(lie Relativitiitskorrektion wenig ausmacht, kann man diese v
durch cin einziges mittleres v ersetzen; die Abschirmungszahlen 3 werden in diesem Falle fur die Niveaus eines Dublettternis anniihernd gleich, die Beziehung (39) gilt angenahert und
fur die Intensitiitsverhaltnisse der einzelnen Linien eiues
1) Die Methode, die W. Gordon bei den nichtrelativistischen Intensittiten anwendet (Ann. d. I'hys. 2. S. 1031. 1929) versagt hier, bsw.
gibt nichts Einfacheres.
2) Die Messungen an U nnd T h stammen von S. R.A l l i s o n ,
Phys. Rev. 30. S. 245. 1927; 32. S. 1. 1926; diejenigen an W von
A. J c n s s o n , Ztschr. f. Phys. 41. S. Sol. 1927.
3) A. S o m m e r f e l d fuhrt zwei Abschirmungszahlen ein, eine in
dem ersten (nichtrelativistischen) Term der Energieformel (Abschirmungszahl der irregulliren Dubletts) und eine davon verschiedene fur die
Relativit%tskorrektionen (Abschirmungszahl a der regularen Dubletts).
720 K. Bechert,
Die Intensitaten von Dublettlinielz w w .
solchen zusammengesetzten Dubletts bekommt man die Formelu
von Honl und Sommerfeld.
F u r den allgemeinen Fall groBer Termaufspaltungen muB
man hohere Korrektionen beriicksichtigen. Man benutzt am
besten gleich die vollstandigen Formeln, weil eine Entwicklung
nach Potenzen von u 2 Z 2sehr muhsam ist und fur Uran auch
bis mindestens u6Z6 durchgefuhrt werden miiBte. Ich habe
die Intensitatsverhaltnisse einiger Rontgenlinien fur Uran nach
den vollstandigen Formeln ausgerechnet und finde starke Abweichungen von den Summenregeln, aber starkere als die
Beobachtungen zeigen; z. B. erhalt man fur M,,,
L, : M,,L, bei
Uran 0,55 : 1 statt des 1,02 : 1 der Beobachtungen (Summenregeln : 2 : 1).
Als Grund fur diese Diskrepanz kommt in Betracht: die
ungeniigend detaillierte Beriicksichtigung der Abschirmung in
unserer Rechnung - wir rechnen nur mit einer Abschirmungszahl 8 fur jedes Niveau. Um diesen Schaden auszugleichen,
miiBte man wohl eine auBerst muhsame Berechnung nach
der Methode des self-consistent-field von H a r t r e e durchfiihren. AuBerdem konnten die strahlungslosen nbergange
die theoretischen Intensititen abandern , wie schon W e n t z e 1
a. a. 0. vermutete.
(Eingegangen 22. Juli 1930)
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