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Die Intensittsverteilung in einem astigmatischen Strahlenbndel in Abhngigkeit von dem Brennlinienabstand und der ffnung auf Grund der Wellentheorie des Lichtes.

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491
2. DQe Ih?t3T&dt&t8Veri?eizUTlgdm them
ustdgmatdschen StrahlmbfhdeZ 4% Abhdlnf j d g k d t
TOT& &ern Brenr&ndena&stand und der Oflnumg
auf Grztrtd der WeZZentheorQedes Uchtes;
v o n J o ham&
e8 P4 c h t
I n einer frilheren Arbeit') habe ich fir ein beliebiges
optisches Strahlenbiindel die exakte mathematische Lasung der
8chwingungsgleichung A u + ha u = 0 gegeben R = - War
(
2):
das Strahlenbiindel durch eine seiner geometrisch-optischen
Wellenfl8chen gegeben, und lauteta die Vektorgleichung dieser
, wo v und w zwei Para,,KennflachecLdes Bilndels x = ~ ( v w),
meter sind, so galt fur einen beliebigen Punkt, P:
wo
,rP den Aufpunktsvektor und %(a, w ) die zum Punkte (u, u))
%(w, w ) fallt mit
den geometrisch-optischen Lichtstrahlen des Btindele zusammen.
Der Faktor y ( v , w ) gibt die anf der unendlich fernen Wellendiiche in Richtung 2 (u, to) vorhandene durch ya gemessene
Intensitilt an.
Dime Formel wurde u. a. angewandt a d ein astigmatisches Strahlenbilndel, dessen Kennfliiche gegeben war durch
die Gleichungen
der Kennflache gehorige Normale bedeutet.
= = - :(el
Bz + pa YB)
u = I/-i - p a
- ya
und fir welche die Lichtverteilung auf der unendlich fernen
Wellenflilche durch den Faktor (1 - p2 - ya) bestimmt war.
1) Ann. d. Phys. 77. S . 685-782.
1925.
J. Piclit
492
Diem Kennflache etimmt in erster Naerung mit einem ppperbolischem (sign el =i=
sign pa) oder elliptischen (sign p1 = sign s,)]
Paraboloid iiberein. Fur dieses Strahlenbilndel wird:
zu integrieren fiber die game Offnnng dee BUndels. Nehmen
wir diese ungefahr quadratiech an, also etwa von - /I1bie + /Il
nnd von - yl bis + yI, so lilSt sich die Integration trennen
nnd e0 ergibt aich, wenn wir gleich die dem Quadrat von up
gleichgeeetzte Intensitat I, hinschreiben:
wo
Dieser Ausdruck I p wnrde in der angegebenen Arbeit mit
Hilfe der Cornuschen Spirale diskutiert und fir Pl = yl = 0,l;
pz - p1 = 100 h in mehreren Kurven graphisch dargestellt.
Um den Aetigmatismus genauer zn studieren, wurden
noch unter Benutzung der Cornuschen Spirale fiir verschiedene andere Brennlinienabstiinde nnd auch far andere
Offnungswinkel die Intensitiitswerte ftir die Achse sowie fir
die Brennlinien berechnet und graphiech dargestellt. Die Ergebniese seien nachfolgend mitgeteilt. Hierbei ist die Intensitat der Engelwelle (gleicher Offnung und gleicher IntensitiitsI
Die Intcntiriikorrtsiung in eineffl adigmat. Strahknbiindel w. 495
verteilnng im Unendlichen) im Brennpunkte gleich 100 geaetrt.
Die tibrigen Intensitiiten sind also hierauf bezogen in Prozent
fWeg9ben.
Tabelle 1
IntansitELt in den Punkten der Achse eines astigmatiechen
Strahlenbiindels von quadrabher &hung (B1 = rl = 0,l)
a
(1
I
225 A
250 A
276 a
1 $1 1
1
I
1 i;:. 1
1,0
0,Q*
3OOA
1
I
0,7'
100
125 A
160 A
175 1
200 A
15,s
0,7
I
0,s
1,3.
1,2
I
9,s
6,O
3,6.
2,6.
1,6.
1 9 1
1
I
Q,O.
147
10,4
7,s
I
1
1
I
I
io,4
12,4
7,Q
I
4,4
I
I
199
0,7
0,4
I 1
I
0,6.
1
4,6
2,s
2,O
1,4.
0,7.
0,s
0,6
.
I
5,0*
5,7
5,5
4,l
1
425 1
460 1
0,3.
I
0,4
0,7
I
0,5
1
0,4.
1
0,4
($6.
6,2*
4,9.
I
3,l.
0,3
I
0,6.
I
0,4.
0,5.
476 A
500 A
I
5,5
1,2.
575 I
400 I
I
I
I
.
2,5.
o,~
1,s.
5,O.
1
325 I
I
4,4
I
0,3.
I
0,2.
I
0,3.
I
0,5.
(Die Pnnkte hinter den Zahlen bexiehen eich anf die Abrnndnng. Pnnkt
-ten (. ) bedentet, da6 der wirkliche Wert urn etwa 2-6 Emheitan
der nilchaten Stelle kleiner iat sls der angegebene, Pnnkt oben (.), daB
der wirkliche Wert urn etwa 2-5 Einheiten der nafchaten Stalle gr86er
ist a l e der angegebene.)
Diejenige Stelle, die dem Schnittpunkh der Achse mit der
emten bzw. zweiten Brennlinie entspricht, ist durch * gekennzeichnet. Die Egg. 1-9 geben die Werte der Tabb. 1 und 2
graphisch wieder. Man erkennt deutlich, daS - wie dies bereits in der friiheren Arbeit erwiihnt wurde - bei sehr geringer
494
J. Picht
: = rl = 0,1
Kugelwelle. ~ - 0 f f n u n g PI
Intenritet liings der Achse. ( y p = x p = 0)
Fig. 1
Die Intensitatsverteilung in einem astigmat. Strahlenbiindel usw. 495
tI
Aetigmatische Welle. Brennlinienabetand: 100A
0-0ffnung: Pl =I 71 = 0,1
Intensitlit l h g e der Achee. (y, = x p = 0 )
Fig. 2
Astigmatische Welle. Brennlinienabetand: 2001
0-0ffnung: Pl = 7, = 0,1
Inteneitiit lhgs der Achse. ( y p = zp = 0 )
Fig. 3
J. Picht
496
Tabelle 2
Intensitst in den Punkten der Acbse einea astigmatischen Strahlenbhdele
von quedratischer oilhung Vl = rl = 0,2)
Brennlinienentfernung
ZP
~~
0 1
ii
100 *
I
0.8
Aetigmetische Welle. Brennlinienabetand : 800 1
0-Offnung: bl = yl = 0,1
Intensitiit liings der Achse. ( y p = zp,= 0 )
Fig. 4
-
Astigmstische Welle. Brennlinienabetand:400 I
- Offnung: 8, 71 = O,I
Intensitiit 1 h g s der Achse. (yp = x p = 0 )
Fig. 5
0.3.
Die htemitiitsvertcilung in einem astigmat. Sttahlenbundel mw. 49'7
Aetigmatieche Welle
Brennlinienabetand: 100 t
O- Offnnng: pl = rl = 0,2
Intensitiit 1hge der Achee
(Yp = x p = 0 )
Fig. 8
0
-200
+!
-2'170
Knjplwelle
%2hoA.-.p
~1-0ffnnng:PI = 71 = O,2
lotenaitiit l h g e der Ache
htigrnatische Welle
Brennlinienabetand: 200 I
O-Ohung:
= 71 = O,2
Inteneitiit lhings der Ache
-
-
(YP=J~P=O)
Fig. 9
J. Picht
498
Entfernung der beiden Brennlinien diese ihre Selbstiindigkeit
auf der Achse einbiiBen, da0 sie jedoch bei griiberer Entfernung mehr und mehr hervortreten. Die Intensitiit im
Symmetriepunkt nimmt indessen bei groSerer Brennlinienentfernung ab. Der Symmetriepunkt kann also nur bei sehr
geringer Brennlinienentfernung als ,,Ort bester Einstellnng"
gelten. J e gr66er die Offnung des Strahlenbtindels ist, um so
eher machen sich die Brennlinien durch Intensitiltsmaxima bemerkbar und um so geringer wird die relative Intensitat im
Symmetriepunkt. Die Abhangigkeit der Symmetriepunktsintensitat yon der Entfernung der Brennlinien ist fiir die
Offnnng bl = y1 = 0,l in Tab. 3 nnd Fig. 10 noch einmal besonders dargestellt, wobei wieder die Brennpnnktsintensitt der
zugehorigen Kugelwelle gleich 100 gesetzt wurde.
Tabelle 3
Brennlinienentfernung
0
50
100
150
200
250
300
350
1
A
I
I
1
1
rz
1
400
450
500
I
1
550
600
650
700
750
600
850
1
1
1
1
I
1
1
1
900 1
960 1
1000
I
Intensitiit im Spmmetriepunkt
100
96
65,l
36,O
15,8
5,2 *
1,5.
077
0,s
1,s.
1,7.
1,7
192
077
0,s *
092
03.
0,4.
0,5.
0,5
Old
.
Die Iniensitiitsverkiluny in einem astigmat. Strahlenbundel udw. 499
Symmetriepnnktaintenaitiit sstigmstischer Wellen
mit verschiedenem Brennlinienabatand 2a
0 - O f i u n g : PI = rl = 0,1
Fig. 10
J. Pic&
500
noch fortfallen, wenn wir in Fig. 10 nicht den Brennlinienabstand sondern die Entfernung Brennlinie-Symmetriepunkt
als Abszisse gewahlt hiitten. Diese Ubereinstimmung der
Figg. 10 und 1 konnen wir physikalisch so ausdriicken: Im
Symmetriepunkt des astigmatischen Strahlenbtindels mit der
Brennlinienentfernung 2 a herrscht dieselbe Intensitilt wie in
demjenigen Achsenpunkt der idealen Kugelwelle, der vom
Brennpnnkt die Entfernung a hat, dessen Koordinaten also
(a,0, 0) eind.1) Man erkennt diese Beziehung iibrigens auch
sofort an den Formeln. Denn die GroSen sI1, s13,szll sZ2 erhalten ja alle den gleichen Wert, wenn wir einmal zp = 0;
p1 1 = I pa I = a (Symmetriepunkt des astigmatischen Strahlenbilndels mit der Brennlinienentfernung 2 u), das andere Ma1
p1 = pa = 0; I xpl P a (Kugelwelle; Achsenpunkt im Abstande u
vom Brennpunkt) setzen.
Far /I1= y1 = 0,2 konnen wir enteprechend Fig. 7 auffassen ale Darstellung der Symmetriepunktainteneitiit astigmatiecher Biindel in Abhilngigkeit von der Entfernung u der
Brennlinien vom Symmetriepunkt.
I
Tabelle 4
Intenaitllt b g e der Brennlinie (zP=. + a; y p = 0 brw. zp = - a;
%p = 0) einee astigmatischen Strahlenbiindels quadratkcher &bmg
Gs, = 7, a 0,l) vom Brennliniensbetand 2a
01
-
u)
0)
3
3i;j
21
41
61
a1
10 1
12 1
141
16 1
18 1
20 1
39,s
30,l
23,8
22,5
10,s
5,O
5,l
1,5
1,4
1,4
0,s
01
41
81
12 1
16 1
80 1
24 1
28 1
32 1
36 1
24 1
301
36 1
42 1
4,6
401
1,s- 48 1
0,s 5 6 1
0,4 ,
1) Hr. S t r e h l , der diem Beziehnng anf anderem Wege gefnnden
hat, machte mich frenndlichst suf sie sufmerksam.
Die Intensitatsverteilung in einem astigmat. Strahlenbundel usw. 501
In den Figg. 11-16 sowie in Tab. 4 geben wir noch
die Intensitatsverteilung langs der Brennlinien , also fiir
x p = pa = - el = a , y p = 0 (bzw. ~p = - e2 = el = - U,
zp = 0), wobei als &hung des Biindels wieder p1 = y1 = 0,l
gewahlt wurden. Fig. 11 entspricht demnach wieder einer
Kugelwelle, und zwar gibt sie die Intensitat liings einer durch
den Brennpunkt gehenden Geraden, die zu einer Kante des
quadratischen Begrenzungsschirmes parallel ist.
Der Schnittpunkt der Brennlinien mit den Randstrahlen
des Biindels d. h. die geometrisch-optische Begrenzung der
Brennlinien wurde in den Figuren durch Pfeile angedeutet.
Man erkennt, da8 bereits weit vor dieser Begrenzung ein betrachtlicher Intensitatsabfall beginnt.
Um die Intensitatsverteilung in der achsensenkrechten
Brennlinienebene senkrecht zur geometrisch-optischen Brennh i e zu erhalten, haben wir die Intensitatswerte der einzelnen
Punkte der Brennlinie zu multiplizieren mit dem variablen
Faktor :
sin*(k xp rl)
sin' (kyP 8) bzw.
-.
(k Y p 8)'
(kxp Ti)'
Der Verlauf dieser Funktion ist identisch mit der Fig. 11,
wenn dort die Ordinatenwerte durch 100 dividiert werden.
Man erkennt, daB die Brennlinien in der zugehorigen achsensenkrechten Ebene von parallelen, vollkommen iihnlichen
Nebenbrennlinien auf beiden Seiten umgeben sind , deren Intensitiit jedoch schnell abnimmt. Die Intensitat der ersten
Nebenbrennlinie betriigt in jedem Punkte etwa
von der
des entsprechenden Punktes der Hauptbrennlinie. Die Figg. 17
bis 19 geben die Lichtverteilung in der durch den Symmetriepunkt gelegten achsensenkrechten Ebene in verschiedenen
Richtungen fur den Fall, daB der Abstand der beiden Brennlinien 200 il betragt und die Offnung wieder durch Is, = y l = 0,l
gegeben iet. Erwiihnenswert ist hier die Tatsache, daB die
Intensititsverteilung in der Symmetriepunktsebene liings der
Linien, die den Brennlinien parallel sind (Fig. 17), abgesehen
von einem kongtanten Faktor identisch ist mit derjenigen
langs der Brennlinie eines astigmatischen Strahlenbiindels von
balbem Brennlinienabstand (Fig. 12). Auch diese Beziehung
Annalen der Physik. IV. Folge. 80.
33
6.Picht
502
4'
4
-2
Die Intensitatsverteilung in einem astigmat. Strahlenbundel usw. 503
Astigmatische Welle. Brennlinienabstand: 300 I
0 - Offnung: PI = yl = 0,1
Intensitat liings der Brennlinie
(zP= + a; gP = 0 bzw. zP = - u ; ZP = 0)
Fig. 14
Astigmatische Welle. Brennlinienabstand: 400 A
0-offnung: p1 = y1 = 0,l
Intensittit liings der Brennlinie
(zP= I- a ; y p = 0 bzw. zP 3:- a; X P = 0)
Fig. 15
Astigmatische Welle. Brennlinienabstand: 500 I
O-Offnung: PI = yl = 0,i
Intensitat liings der Brennlinie
(zp= + a; y p = 0 bzw. zp =- a ; x p = 0)
Fig. 16
33*
J. Picht
504
erkennt man sofort aus den Formeln. Fiir die Kugelwelle
sowie fiir die astigmatische Welle vom Brennlinienabstand
400 A, fur die wir die entspreohenden Intensitatswerte gleichfalls bestimmt haben, haben wir keine Knrven gezeichnet, da
Astigmatische Welle
Brennlinienabstand: 200 1,
n-Offiung: PI = yi = 0,1
Inbusittit in der Sjmmetriepunktsebene langs der Linie
zp = 0 ; y, = x p
Fig. 18
Astigmatische Welle
Brennlinienabstand: 200 I
0-dffiung: p1 = y1 = 0,l
Inteneitiit in der Symmetriepunktsebene liings der Linie
+=O;
yp=O bzw. sp:p'O; xP=O
*
Fig. 17
t'
Astigmatische Welle. Brennlinienabstand: 200 1
-0ffiung: = 71 = 0,1
Intensitiit in der Symmetriepunkteebene ltiugs der Linie
xP = 0; y p = 2 x P ~ Z W . xP = 0; x P = 2 y p
Fig. 19
diese bei gleichem MaBstab keine besonderen Merkmale oder
Einzelheiten erkennen lassen warden, und da auch die Figg. 20
und 22 diese vollkommen ersetzen. Nachfolgend geben wir
jedoch noch in Tab. 5 die entsprechenden Zahlenwerte fiir die
Kugelwelle sowie die astigmatischen Wellen von 200 A nnd
400 A Brennlinienabstand.
__
d
yP -- 0 ; x P = f d y p = f d ; x p = f 2 d
bzw.
bzw.
yp=fd;Xp=fd
y p = f d; xP = 0 gp = f 2 d ; xP = f d
-..___
1. 2 a = 0 2 (Kugelwelle)
01
12
22
32
42
52
62
72
82
92
10 I
100
85
50
18
3,4
100
88.
57 *
25 '
100
77
33
66,2
-
6.
y.
0
0
2'
5.
0,5
4.
012*
31
016*
1
0
0104'
0,2
0,2.
0,Ol
-
0
2 a = 200 2
02
2 1
42
62
82
10 1
12 1
14 2
16 2
18 2
20 I
15,s
9,o *
5,7.
5,o
112.
012*
0,3.
15,s
12,o
915
8,9 *
473
270
210
0,02
016
0,5
015 *
011
2 a = 400 2
02
42
82
12 2
1
20 1.
24 1
16
28 2
32 1
36 2
018
1,4.
1,4.
192
097
0,2
0,1
011
0,l.
0,02
-
-
028
1,7
2,s
2.0.
112.
014
0,2.
011
0,05.
018
2,3
1,7
0,6
-
oll.
0,Ol
OlO1
-
In den Figg. 20-24 haben wir endlich noch far die
Kugelwelle sowie fur die astigmatischen Wellen vom Brennlinienabstand 200 il und 400 il und fur eine Offnung = y l =0,1
die Linien gleicher Helligkeit der achsensenkrechten Symmetriepunkts- und Brennlinienebenen gezeichnet. Von den unter
J. Picht
506
Kugelwelle. O - o h u n g :
= y1 = 0,1.
Linien gleicher Helligkeit in der Brennpunktsebene zp = 0. Eingezeichnet sind
die (geraden) Linien voller Dunkelheit
( y p = f 52;
102;.
x p = f 52;
101;. . .)
auberdem die Inteneitiitslinien ((100)) ;
50; 25; 10; 5; (1). Der Maximalwert
in den Bechtecken ist etwa ((5,5)), in
den kleinen Eckquadraten
Astipatiache Welle
Brennlinienabstand: 200 2
0-bffnung: = yl = O,I
Linien gleicher Helligkeit inder
Symmetiiepunktsebene (q,=
0).
Eingeeeichnet sind die Intensittbtdinien ((15,8)); 15,O;
Fig.20
Fig. 21
*
*
. .;
((on)
',
12,5;
10,O; 7,5; 5,O; 2,5;
( ~ 5 ) ;(0,5)
,-----__
!
\__-'
Astigmatische Welle
. -_I
Brennlinienabstand: 400 1
- Offnung : PI = rl= 0,1
Linien gleicher Helligkeit in der Symmetriepunktsebene ( z p= 0)
Eingezeichnet sind (in Richtung yp = sP) die Intensitiitslinien
((0,S));
1,O; (1,36); 1,s; 2,O; ((2,35)); 2,O; 1,5; (1,36); 1 , O ; 0,5; (0,l)
Fig. 22
Uie Intensitatsvertedung in einem astigrnat. Strahlenbundel usw. 507
Astigrnatische Welle. Brennlinienabstand: 200 1
a-Offnung:
= y1 = 0,1
Linien gleicher Helligkeit in den Brennlinienebenen x p = a.
Eingezeichnet sind (in Richtung + zp) die Intensitiitslinien
((9,O)); 10,O; 15,O; ((15,6)); 15,O; 10,O;.5,O; 2,5; (1,251; (0,5).
Die geraden Linien y p = &:51; f 101;
kennzeichnen volle
Dunkelheit. In den ,,Nebenbrennlinien" Bind die Intensitiltslinien ((0,45)); (0,5) ; ((0,s)) eingezeichnet
. ..
Fig 23
F-' I
1
.
. . . .
.
.
. . . . . . .
Astigmatische Welle. Brennlinienabstand: 400 I
0-ijffnung;
= y1 = 0,1
Linien gleicher Helligkeit in den Brennlinienebenen zp = & a.
Eingezeichnet sind (in Richtung + sp) die Intensitiitelinien
5,O; ((6,5)); 5,O; ((4,611; 5,O; 7,5; (WD;
7,5; 5,O; (2,5).
Die geraden Linien yp = f 51; & 101;
kennzeichnen volle
.. .
Dunkelheit. In den ,,Nebenbrennlinien" sind die Maxima und
von der der entMinima angedeutet. Ihre Intensitat ist
sprechenden Punkte der zp - Achse
Fig. 24
den einzelnen Figuren angegebenen Zahlen beziehen sich die
einfach eingeklammerten auf die gestrichelt gezeichneten Linien,
die doppelt eingeklammerten auf die Maxima bzw. Minima der
Intensifit.
Auch in diesen Figuren geben die Pfeile die geometrischoptische Begrenzung an. In den Symmetriepunktsebenen
508
J. Picht. D@ Intensitatsverteilzng
usw.
scheint sie auch wellentheoretisch angedeutet insofern, als die
Linien gleicher Helligkeit hier etwa quadratische Form annehmen. AuBerdem erkennt man auch, daB die den Brennlinien parallelen Richtungen ausgezeichnet sind.
Die Brennpunktsebene der Kugelwelle entspricht sowohl
der Symmetriepunkts- a19 auch den beiden Brennlinienebenen
der astigmatischen Strahlenbiindel. Diese Analogie erkennt
man bei Betrachten der Figg. 20-24 sehr deutlich. So
treten z. B. die Linien voller Dunkelheit, die in den Brennlinienebenen der astigmatischen Strahlenbiindel einmal der
z-Achse, einmal der y-Achse parallel sind, in der Brennpnnktsebene der Kugelwelle gemeinsam auf.
Die angegebenen Zahlenwerte sind fast alle - wie bereits erwiihnt - unter Benutzung der Cornuschen Spirale
(also graphisoh) und des Rechenschiebers ermittelt
Der MaBstab der Intensitit ist in allen Figuren der gleiche.
Potsdam, im April 1926.
(Eingegangen 29. April 1926.)
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