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Die Kantenbedingung in der Theorie der Beugung elektromagnetischer Wellen an vollkommen leitenden ebenen Schirmen.

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D i e Kantenbedingung in der Theorie der Beugung
elektromagnetischer Wellen an vollkommen leitenden
ebenen Schirmen
Von J . Meixner
.Ma
x v. L a u e zurn 70. Geburtstag gemilmet
Inhaltsiibersicht
Das Verhalten elelitroiriRgiietischer Felder in der Unigebung der Kanteii VOR
vollkommen leiknden Plachen wird untersucht. Dort merclen die elektromagnetischen Feldstarken ini allgeineinen unendlich gro13. Uni clektroinagrietische Randwertprobleme, insbesondere Beugungsprobleme eindeutig bestimmt zu machen,
mul) die Ordnung dieses Unendlichwerdens in geeigneter Weise eingeschrankt
werden. Dies geschieht durch die Kantenbedingung. Sie beruht auf der physikalisch plausiblen Forderung, dn13 die clektroniagnetische Energiedichte in der Umgebmig der Kante integrierbar, d. h. da13 die Feldenergie in jedem endlichen
Volumen endlich ist. In den D e b y e schcii Potentialen des elektroinagnetischen
Peldes findet die Kantenbedingung eirien besonders einfachen rnatheinatischen
Ausdruck. Die Notwendigkeit der Kantenbedingung folgt daraus, daB es Losungen
der Maxwellschen Gleichungen gibt, welche die Kantenbediiigung nicht erfullen
und welche eiri den physikalischen Verhaltnissen wiclersprechendes Verhalten
zeigen; dafiir wird ein einfaches Beispiel gegeben.
1. Die Bedcutiing der Kantenbedingiing
Wie ich in einer kiirzlich ergchienenen Arbeit uber die Beugung elektromagnetischer Wellen an der vollkommeii leitenden Kreivcheibel) auseinaiidergesetzt habe,
ist fur die vollstandige Formulierung des Beugungsproblems bei ebenen Schirmen
die Kantenbedingung yon wesentlicher Recleutung. Erst sie macht das Beugungsproblem eindeutig bestiniiut.
Ein solches Beugungsproblem besitzt ja eine Singularitat besonderer Art in
der Schirmkante. Es zeigt sich zwar beirn entsprechenden akustischen Beugungsproblem, daB der Schalldruck an der Schirmkante endlich bleibt; doch mird dort
die Schallschnelle unendlich. Beim elektromagnetischen Beugungsproblem entspricht dem, da13 die Feldutarken an der Schirrnkante unendlich groB werden. D a s
sieht man bereits am einfachsteri Fall, d e n elektrostatischen Grenzfall, der sich
fiir unendlich gro13e Wellenlange ergibt uiid der sich fur die leitende Kreisscheibe
streng und geschlossen durchrechnen la&.
1)
J. Meixner, Z. Naturforschung 38, 606 (1948).
J . Neixner: Kantenbedingung in der Theorie der Beugung eleklrmgt&ischer lVeUen 3
Bei diesem Grenzfall handelt es sich uni die Berechnung der Feldstorung durch
eine leitende Kreisscheibe im hoinogeneii elektrischen Feld. Man karin hier, und
das setzen wir im nlchsten Abschnitt auseinander, auBer dein bekaniiten und
richtigen noch weitere elektrische Felder angeben, welche in groBer Entfernung in
ein homogenes Feld ubergehen und auf der Kreisscheibe die Bedingung verschwindender Tangentialkoniponente der elektrischen Feldstarke erfullen. Ahnliche Verhaltnisse darf man natiirlich auch fur beliebige Wellenlange erwarten; das ist auch
tatsachlich der Fall. Man braucht also noch eine weitere Bedingung, die unter der
Gesalntheit dieser Felder die richtige Losung aussondert.
Es ist eirie nntiirliche Forderung, darj die elektromagnetische Feldenergie in
jedem endlichen Raunigebiet endlich sein muB, d. h. daB die elektromagnetische
Energiedichte insbesondere in der Umgehung der Kante des beugenden Schirmes
integrierbar sein niuB. Wir bezeichneri diese Bedingung als Kantenbedingung,
da fur die Erfullung dieser Bedingung gerade die Umgebung der Schirinkante, an
welcher die Feldstarken in jedein Falle nnendlich werden, kritisch ist. Die Kantenbedingung beschrankt also die Ordnung des Unendlichwerdeils der elektromagnetiwhen Feldstarken an der Kante. Sie ist ein Gegenstuck zur Forderung beirn akustischen Beuguiigsproblem am ebenen Schirm, RO man verlangt, daB der Schalldruck a n der Schirmkante endlich bleibt. Die Analogie wird noch enger, wenn man
diese Forderung so niodifiziert, daB man eine endliche Energie des Schallfeldes
in jedem endlichen Raumgebiet, d. h. Integrierbarkeit des Quadrats der Schallschnelle verlangt.
Ebenso, wie .die Endlichkeit des Schalldrucks ausreicht, um den Eindeutigkeitsbeweis fur die Losung des akustischen Reugungsproblems zu fuhren, geniigt die
Kantenbedingung, um die Eindeutigkeit der Losung des elektromagnetischen Beugungsproblems zu beweisen.
2. Der elektrostatische Grenzfall
Hier handelt es sich darum, eiri elektrostatkches Feld zu finden, dessen Tangeny2 a2, i= 0 verschwindet und
tialkomponente auf einer Kreisscheibe S:2 2
das in groBer Eiitfernung in ein homogenes [elektrisches Feld So,etwa parallel
zur
2-Achse iibergeht.
I m elektrostatischen Fall lie@ es nahe, dicses Problem durchEinfuhrung des
elektrostatischen Potentials p zu behandeln. Aus @tang = 0 auf S folgt zw-angslaufig p = constant auf S. Mail hat also einp zu sucben, das 1. der Gleichungdp = 0
genugt. 2. in groBer Entfernung eine lineare Funktion in x, p m - E, z constant, wird, 3. im Endlichen endlich bleibt wid 4. auf S constant ist. Da in p
noch eine Konstante willkiirlich bleibt, so kann man auf S sogar p = 0 vorschreiben
und erhalt dann die bekannte eindeutig bestirnmte Losung dieses Problenis
+ <
+
+
p=-Eox
[1-- f(:
Hierin ist 6 eine der drei Koordinaten des abgeplatteten Rotationsellipsoids,
welche duqch
-
x
= aI/(ta+
1) (1-112)
cosp, y = a
1/(p+1) ( 1 - q ~ ) siiip, z = a lq
definiert sind.
1*
(2)
4
A n n a h der Physik. 6.Folge. Band6. 1949
Da dieHerleituug des elektromagnetischenFeldes aus einem skalaren Potentialv
auf den elektrostatischen Fall beschriinkt ist, liegt es nahe, das Problem durch Einfiihrung eines anderen Potentials zu losen, das auch noch anwendbar+ist, wenn die
Wellenlange nicht unendlich ist, also etwa des Hertzschen Vektors 17. Wir setzen
dementsprechen d
-+
C
j = rot rot 17
(3)
-+
-+
-b
und haben dann fur 17 die Bedingungen: 1. 17 genugt der Gleichung
= 0;
-+
2. fur grode Entfernung ist 17 eine gewisse quadratische Funktion der Koordinaten.
+
3. Iin Endlichen ist 17 endlich. 4. Auf S gilt @tang = 0, d. h.
+
Die letzte Bedingung fur Il ist wesentlich komplizierter a19 die Bedingung q =
constant auf S. Man konnte versuchen und dieses Verfahren wird gelegentlich
angewandt, die GI. (4)dadurch zu erfiillen, daB man setzt
17,= 0, 17y = 0'
217
2= 0 auf
i.2
S.
(5)
Man komte diesen Ansatz so rechtfertigen : Aus physikalischen Griinden ist das
gest,elltelProblem eindeutig losbar. Wenn man also auf irgendeineni Weg Z. B.
mit dem Ansatz (5) eine Losung findet, welche unsere Bedingungen erfdlt, dann
braucht, man sich nicht darum zu kiimmern, ob sich die Losung aus dem Rechungsgang eindeutig ergibt; denn e i n e Losung ist zugleich d i e Losung.
-+
E i n e Losung 17,welche die obigen Bedingungen 1. bis 4. erfiillt und fur welche
inbesondere (5) gilt, ist, wenn die El, und P, Kugelfunktionen bedeuten
Sie ist aber bestimrnt nicht die richtige Losung. Berechnet man namlich ihr elektrisches Feld, so hat es in groBer Entfernung den Charakter eines homogenen eiekz-Richtung und eines ihm uberlagerten Dipolfeldes mit
trischen Feldes E, in
dem elektrischen Dipolmoment p = - 8a323, 4 3 ( E = absolute Dielektrizitatskonstante). D. h. in der Kreisscheibe wird ein DipoImoment induziert, welches
dem auBeren Feld Eo entgegensetzt gerichtet ist. Dieses unphysikalische Ergebnis
zwingt uns, die Losung (6) als nicht richtig anzusehen.
Der Grund dafiir, daB eine Losung, welche die Bedingungen 1 bis 4 erfiillt,
nicht die richtige Losung zu sein braucbt, liegt offenbar darin, daB wir die mathematischen Bedingungen des an sich eindeutigen physikalischen Problems nicht
vollstandig formuliert haben. Man kann auf die Bedingungen 1 bis 4 tatslchlich
auch keinen mathematischen Eindeutigkeitsbeweis griinden. Das folgt schon
+
daraus, daB umer p und unser IT,welche beide den Bedingungen 1 bis 4 geniigen
+
J . Meixner: Kdenbedingung in deer Theorie der Beugung ekktromagn&iseher Wellen
5
durchaus verschiedene Losungen unseres Problems liefern. Die Verschiedenheit erkeiint man etwa daran, daR e, in groRer Entfernung einem homogerien elektrischen
Feld und einem iiberlagerten Dipol init den1 elektrischen Dipolmoment 16d E 4 3
entspricht.
Zur vollstandigen niathematischen Formulierung ist zu den oben genannten
vier Bedingnngen noch die Kantenbedingung hinzuzufugen. Wir wollen sie hier
noch etwas scharfer formulieren, indem wir verlangen (Begriindung s. u.), da13 die
elektrische und magnetische Feldstarke an der Kante des vollkommen leitenden
Schirmes hochstens wie r-l12 unendlich werden, wenn r den Abstand von der
Schirmkante bedeutet. Man priift leicht nach, daR dies fur das aus (l),dagegen
nicht fur das aus (6) berechnete Feld gilt.
Das besagt natiirlich nicht, daR der Hertzsche Vektor iiberhaupt zur Losung
des Beugungsproblems ungeeignet ist. Man priift im Gegenteil leicht nach, daD
das Potential e, dem von (6) verschiedenen Hertzschen Vektor
+
3 Eoaa
dab D o
ElJ
17X =-(52+y2-29)-?
(i 5) Po (7)-0
2
(i 5 ) p2 ($1
17,=n,=0
gleichwertig ist. Doch gilt fur diesen Hertzschen Vektor nicht mehr ( 5 ) ; wohl
aber (a), denn fur z = 0 ist nx
= Eoaa.
3. Die elektromagnetischen Feldstarken an der Schirmkante
Wir befassen uns nun mit dem Fall beliebiger Wellenlange und untersuchen
das Verhalten der elektromagnetischen Feldstarken in der Umgebung der Kante
eines vollkommen leitenden ebenen Schirms. Die Kante sei als beliebige ebene,
aber der Einfachheit halber stetig gekriimmte Kurve angenommen. Sie liege in
der z-y-Ebene und habe die Gleichung
5 = u (8).
9 = v (s), z = 0.
(7)
Als Parameter 8 sei die Bogenlange langs der Kante gewahlt. In der Normalebene
jedes Kurvenpunktes fiihren wir Polarkoordinaten e, y ein und setzen soniit fur
einen Raumpunkt mit den Koordinaten 5 , y z
+ e cosy * v ' ( s ) ,y =
z = u (8)
-e
2.1 (8)
cosy - u ' ( s ) ,z = e siny.
(8)
Die Kriimmung der Kante ist
x
(8)= u' 21"
- u" v'.
I n diesen Koordinaten driickt sich die Rotation eines Vektorfeldes !X so aus
Fur das Volumenelement gilt
dV.=@(l+x&+Osy)+&dy.
(9)
6
Annalen der Physik. 6. Folge. Band 6. 1949
Es ist nun die Frage, welches Verhalten man fur die Komponenten der elektromagnetischen Feldstarken erwarten darf. Aus den streiigen Ergebnissen im Fall
des kreisformigen Schirms') einerseits, aus allgemeinen Uberlegungen von S o m merfelda) uher das Verhalten von Losungen der Wellengleichung in der Umgebung von Verzweigungslinieii des niehrbliittrigen Raumes andererseits, wird man
folgern durfen, daB sich die Komponenten der elektrischen und magnetischen
Feldstarlie nach gebrochenen Pobenzen von e (d. h. nach gebrochenen Potenzen
des Abstandes von der Kante) eiitwickeln lassen. Man setze also solche Entwicklungen fur E,, E,, E,, H,, H,, H, an. Wegen der Kantenbedingung konnen nicht
Potenzen niit beliebig grol3en negat,iven Exponenten auft,reten. Die niedrigste
Potenz, die in diesen Entwicklungen auftrit,t, sei et. Die Kant,enbedingung verlangt, daB alle Feldst,arkenquadrate uber die Kant,e weg integrierbar sind. Da das
Volumenelernent einen Faktor e enthlilt, mu13 also t > - 1 gelten.
Nun setze man die Entwicklungen fur die Feldstlirkenkomponenten in die M a x mellschen Gleichungen ein. Dann ergeben sich fur die Entwicklungskoeffizienten
gewisse Beziehungen. Sei etwa EQ= N (s, y ) et * * , so gewinnt man fur a die
Differentialgleichung a2a/2y3 (t 1)*LY = 0. Wir nehmen den Schirm nun
als durch y = 0 gegeben an. Wegen E,ang= 0 auf S mussen d a m E, und E,
auf der Vorder- und Ruckseite des Schirnies, d. h. fur y = 0 und p = 2n bei
beliebigem e und s verschwinden. Das bedeutet aber N ( 8 , 0) = N ( 9 , an)= 0.
Die Differentialgleichung fur LY ist soniit zu eineni Eigenwertproblem fur deli
Exponenten t erganzt.. Die Eigeiiwerbe von t sind 0, f
f 1, . . . . Der niedrigste,
Auf Grund ahnlicher Uberwelcher die Bedingung t > - 1 erfullt, ist t = legungen findet man, daB allgemein nur solche Potenzen in den Ent,wicklungen der
Feldstarkekomponenten auftreten, welche die Hilfbe einer ganzen Zahl siiid, und
daB alle Entwicklungskoeffizienten in y die Periode 4n haben. Damit gelangen
wir zum Sommerfeldschen Ergehnis3), wonach die Wellenfunktionen, welche
man fur die Beugung am vollkommen leiteiiden Schirm braucht, irn Raum zweideutig sind, d. h. beim zweinialigen Urnlaufen der Schirmkante ihren urspriinglichen Wert annehmen.
Die Rechnungen selbst gebeii wir nicht wieder; sie lassen sich einfach, wenn auch
etwas langwierig, niit Hilfe der Formeln (10) durchfuhren. Wir erwahnen nur
noch das weitere Ergebnis, wonach H , an der Schirmkaribe endlich bleibt und E,
wie
verschwindet ; wir benotigen es fur den Eindeutigkeitsbcweis im Abschnitt 5.
+
+ +
4. Die Debpesehen Potentiale an der Schirmkante
Die Tatsache, daB die Koinponeiiten der elektroniagnetischen Feldstarken a n
der Schirmkante hochsbens wie r- l1-O unendlich werden, spiegelt sich natiirlich
irgendwie in den Pot,entialen wieder, durch die sich das elektromagnetische Feld
darstellen laBt.
Wir untersuchen dies fur die skalaren D e byescheii Potentiale ITl und IT24). Sie
sind durch
1
ik
Q = - rot, rot (Z ITl)rot (r IT2)
I
G
~
ik
____
8 = ).('.
+
rot. (r 17,)
1
- rot rot
I1
(r 17,)
(12)
A. Sonimerfeld, J. London math. SOC.28, 395 (1897).
a) Vgl. A. Sominerfeld in Frank-Riiscs, Die Differential- und Integralgteiclihngen
der Rfechanik urid Phyuik, 11. Bd., 433ff. Braunuchweig 1927.
4, P. Debye, Ann. Pliysik (4) 30, 57 (1909).
2,
J. M e i m r : Eantenbedingung
in der Theorie der Be-ugung ekktromagnetischer
WeUen 7
definiert und genugen beide der Wellengleichung
ADi + k2IIi
= 0.
(i = 1,2)
(13)
Der Grenzbedingung Eta,, = 0 auf S entsprechen in den Dehyeschen Potentialen
die Grenzbediiigungeii l)
RIT, = 3 ( y ) e i k R + p
(p)e-ikR
+
wo R uud p Polarkoordinaten auf S siud, d: h. RZ = x2
yz, p = arctg y/x.
a (p)und p (p)sind Funktionen, die erst aus der Kantenbedingung ermittelt werden
konnen (s. u.). k bedeutet die Wellenzahl, E die absolute Dielektrizitabskonstante,
,u die absolute Permeabilitat. t: ist der Rndiusvektor, dessen Anfangspunkt wir auf
der Schirmflache (aber nicht auf der Kant.e) annehmen.
Damit. sich fur die elektroinagnetischen Feldstarken Reihen nach Potenzen von
beginnen, niussen sich die D e byeschen Potentiale selbst als solche Reihen darstellen lassen, und zwar findet man, da13 sic mit
der Potenz Po beginnen uiid kein Glied iiiit
enthalten. Es ergibt sich sornit der
Ansatz :
ITi = A i Bip Ciea”’ .
(i = 1,2),
(15)
p’/i ergeben, welche init
+
+
+
-
0
wo uberdies A , und A iiur von s abhangen, wahrend B, uiid B, lineme Kombinationen von cos y und sin y mit von s ahhangigen Roeffizienten sind.
Indem man die Grenzbedingungen (14) in der Nahe der Kante entwickelt und
d a m IT, aus (14) niit dem Wert yon IT, aus (15) auf dem Schirm, d. h. fury = 0
und y = 2 n vergleicht, lassen sich A ( y )und p (p) aus A , urid B, berechnen. Da A ,
und B, fur y = 0 und y = 2n denselbeii Wert haben, so folgt weiter, da13 cy (p)
und p (p)vor uiid hinter den1 Schirm deiiselben Wert haben. D. h. IT, und aH2jaz
gehen stetig durch den Schirm hindurch. Das. haben wir rnit dem Ansatz (14)
bereita stillschweigend vorweggenommen.
I m Fall der Kreisscheibe l a s t sich bei Einfuhrung der elliptischen Koordianten
(2) die Kautenbedingung besonders einfach nusdruckenl). An der Kaute sind 6
urid r] = 0. Ill und Il, lassen sich durch Potenzreihen in 6 und r] ausdrucken.
Druckt man andererseits 6 und rl durch e und y aus, so ergibt sich
-
? I = ] ’ ?cos;(l+O($)).
(16)
Die Potenzreihe in 6,r] geht durch Einsetzen von (16) in eine solche nach Potenzen
von e l l a uber. Das Verschwindexi des Gliedes mit
in (15) bedeutet somit,, daB
in den Poterizreiherie~~twicklungen
von 17, und 17, nach 6,r ] , die lineareu Glieder
in wid q fehlen, d. h. es gilt
8
Annalen der Phyaik. 6.Folge. Band 6. 1949
5. Der Eindeutigkeitsbeweis
Der physikalische Charakter der Kantenbedingung als einer Aussage uber die
Feldenergie laBt erwarten, daB der Eindeutigkeitsbeweis fur die Losung des Beugungsproblems vom Energiesatz ausgehen wird.
Wir nehmen an, es gebe zu einer gegebenen einfallenden elektromagnetischen
Welle zwei verschiedene gebeugte Wellen. Die Differenz dieser beiden Felder bezeicbnen wir mit @, $. Dann gilt
1. Die Feldstarken @, 8 sind eine Losung der Maxwellschen Gleichungen.
2. Q, $ stellen eine auslaufende Welle dar.
3. Auf Vorder- und Riickseite- des Schirms ist @tang = 0.
4. @, ,fjerfullen die Kantenbedingung.
Zu 4. ist noch zu bemerkeii, daB niit den einzelnen Feldern stets auch ihre
Differenz die Kantenbedingung erfiillt ; das sieht man unniittelbar an den Reihenentwicklungen der Felder nach Potenzen von ells.
Da die Feldstarkeri im Energiesatz quadratisch eingehen, rechnen wir reel2
und setzen
@
= e ,iwt
+ e*
,-iut,
8 = ~j,io t + o* , - i t w
(18)
J
wo e*, Ij* konjugiert komplex zu e, $ sind und nicht von der Zeit abhangen. Aus
den Maxwellschen Gleichungen folgt dann in bekannter Weise die Beziehung
div [e*
$3
+ div [e Ij*] = 0.
(19)
An der Schirmkante werden e, e*, Ij, $* alle hochstens wie @-'/a unendlich. Fur
gro13e Entfernung gilt die Ausstrahlungsbedingung, d. h. mit r = I r 1
Wir integrieren nun die GI. (19) iiber ein Raumgebiet, das nach aul3en hin durch
eine Kugel mit dem Radius r begrenzt ist und schlieBen den Schirm S durch eine
Hiille aus, welche die Kante in einem kleinen Abstand e umgibt und sonst beiderseits eng am Schirm anliegt. Das Integral 1 B t sich dann nach dem G a u Bschen
Satz in ein Oberflachenintegral iiber K und iiber die Hulle mit der Normalkomponente von [e* Ij]
[e Ij*] als Integranden verwandeln. Das Integral iiber die
beiden Seiten des Schirms gibt Null, da e und e* dort senkrecht zum Schirm sind
und daher der Integrand verschwindet. Auf der Flache e ='constant, welche die
Kante umgibt, hat der Integrand die Form e: Ijv - e$ Ijs
e, $$ - e,
wird
unendlich, da, wie am Ende des 3. Abschnittes
also fur e -+ 0 hochstens wie
erwahnb, e, und Ij., an der Kante endlich sind. Das Flachenelement lautet aber
e dyda, so da13 in der Grenze e --f 0 auch dieses Integral verschwindet. Also mu&
auch das Integral iiber die Kugel K fur sich verschwinden. Setzt man in letzteren
(20) ein, so entsteht
J ( e e * ) d f = O fiirr--tco,
+
+
of,
K
und daher verschwinden sowohl e, wie nach (20) auch f~ fur grode r starker als r-1Da aber jedes elektromagnetische Wellenfeld, das auslaufendeh Kugelwellen .ent-
J . Meixner: Kanlenbedingung in der Theorie der Beqqung ele&romngnetischer WeUen 9
spricht, fur grol3e T genau wie r-1 gegen Null geht, es sei denn, daB es identisch verschwindet, so folgt weiter, daB e und lj im ganzen Rauin identisch verschwinden.
In einer uns erst jetzt bekannt gewordenen Arbeit zeigt C. J. B o u w k a ni p 5)
im AnschluB a n Lord R a y l e i g h 6 ) die Mehrdeutigkeit der Losung des ohne
Kantenbedingung formulierten Beugungsproblenis auf besonders einfache Reise :
man gewinnt zu jeder Losung eine von ihr \-erschiedene, irideni man sie z. B.
zweimal nach der Koordinate differenziert, deren Achse auf den1 Schirrn senkrecht steht. Eine Untersuchung der S o m ni e r f e 1d schen Losung fur die B e u g m g
einer ebenen, elektroniagnetischen Welle a n der vollkommen leitenden Halbebene
ergibt nach B o II w k a m p 7), daB die elektroniagnetischen Feldstarken an der
Kante hochstens wie
unendlich werden ; damit ist bewiesen, daB die
S o m m e r f e 1d scbe Losung unsere Kantmbedingung erfiillt.
5)
6,
7)
C. J. B o u w k a m p , Physira 12, 467 (1946).
Lord R a y 1 e ig 11, Scient. Paprrs Bd. IV, 288 (1903).
C. J. B o u w k a m p , Math. Ann. 67, 317 (1896).
A a c h e n , Institut fur theoretische Physik der Technischen Hochschule.
(Bei der Redaktion eingegangen a m 23. Juni 1949.)
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