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Die Kirchhoffsche Konstante und ihre Abhngigkeit von der Temperatur.

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D8e R d r c h h offsche Konstante y
und 8hre Abhiingigbc4t vom der l'enaperatur
Yon P. Buss
(GieSener Dissertation)
(Mit 5 Figuren)
Bieherige Beetimmungen. Theoretieche und experimentelle Werte
I n Luft, die in Rohren eingeschlossen ist, pflanzt sich
der Schall infolge des Einflusses der Reibung und der Wiirmeleitung mit geringerer Geschwindigkeit) fort als im freien Gase.
Die Verringerung der Schallfortpflanzungs- Geschwindigkeit wird
theoretisch angegeben durch die K i r c h h off - H e 1m h o 1t z sche
Formell)
__
v=
1
+y
/ 2 4 X '
die mit Rucksicht auf die Kleinheit des letzten Gliedes im
Nenner in der k'orm angewandt zu werden pflegt:
Darin bedeutet v, die Schallgeschwindigkeit in freier Luft,
v die in der Rohre, r den Riihrenradius und n die Tonhohe;
y ist die sogenannte ,,Kirchhoffsche Konstante", welche
K i r c h h o f f in seiner Theorie als Abkurzung fur den Ausdruck
eingefuhrt hat. Hierbei ist a der Laplacesche, b der N e w t o n sche Wert der Schallgeschwindigkeit ; ferner ist
wenn Q die Dichte, c, die spezifische Warme bei konstantem
Volumen, 7 die Konstante der inneren Reibung und k die
1) G. Kirchhoff, Pogg. Ann. [3] 184. S. 177. 1868.
A~lMlcuder Physik. 6. Folge. 7.
39
P. Buss
602
Wiirmeleitfiihigkeit, des Gases bezeichnen. 1)ie (;leichung ist
von k ' u r s t e n a u l ) und spiiter von Cornish untl Rastman2)
umgeformt untl Bur Berechnung der Koristanten y in ihrer
hbhiingigkeit von der Temperatur brauchbar geiriacht worden.
Nach dem Vorgehen von Cornish uiitl E a s t n i a n crhiilt nian
folgende Fassung der Formel :
(3
y =
i&
[l
+ 1,12j1,!3- -x
1 ( x - 1)
I
T
''
*
re
abedeutet das Verhiiltiiis drr spezifischen KSrrneri ; d w Index 0
bexieht sich auf die Twnperatur 00 C. Bei der -4bleitung der
(ileichung haben die genaimten Autoren xwischeri den Iionstariten der Wkrmdeitung untl dc.r innwen Heibung tlir l k zirhung angenommen
k
= 4 ( 9 . x - 5 ) 7,
C" . 3 )
Die Abhlingigkeit der Reibungslionstantcw von der Temperatur geben sie wicder durch die Gleichung
7/
=c
wohei den I<onstanteri c und
11
e = 3,48* 10-0
- T"
4),
fur Luft die R c r t e zulrominen
n = 0,696.
Yiir eiriige Temperaturen sirid die R e r t e der K i r c h h o f f schrn
Konstanten nach Gleichung (3) berechnet und in nachfolgender
Tabelle zusammengestellt worden (graphisch in Fig. 5 als
tht)oretische Kurve dargestellt) ; sie unterscheitlen sic11 ubrigens
\\ elchc. die von
fur Jduft nur unweseritlich von deli W~'c~trn,
Elii rut t'iiau angegebenr (ilrichung lirfrrt.
1 ) R. Fiirstenau, Ann. d. Phys. [4] B i . S. 735. 1908.
2) Cornish 11. E n s t m a n , Phys. Rev. 33. S. 90 11. 258. 1920.
3) Jeans, Dynamical Theory o f Gases. Cambridge. ITniv. Press.
S. 318. 1916.
4) Chapman, Phil. Trans. A 216. S. 279. 1!)16.
Die Iiirchhffsche Iionstanle y u. ilm Abh.iin.gigkeit usw. 603
Bei dieser Rerechnung wurde das Verhaltnis der spezifischen
Rarmen als mit der Temperatur ver8ndrrlicli angrsehen uml fiir
jede der Temperaturen nach der Forniel
berechnet, aobei die erforderlichen Schallgeschuindiglreitswerte
der Srbeit von C a m p b e l l , D i x o n und Parker') entnommen
wurden.
Experimentelle Werte der Kirchhoffschen Konstanten
liegen fur Zimmertemperaturen in gro13er Zahl vor. Von diesen
ist bei weitem der groI3te Teil berechnet worden durch Kombination von Schallgeschwindigkeitsmcrten, wie sie sich bei
Messungen in Rohren von verschiedener M'eite ergabm. Die
so erhaltenen M-erte sind mit Namensangabe des Heobachters
in nachfolgender Tabelle zusammengestellt worden. Ausgeschlossen sind dabei die Werte, denen Messungen in Riihren
mit nicht viillig glatter Oberflache zugrunde liegen, z. I3.
Nessungen mit K u n d tschen Staubfiguren.
_____
-
-
-
.-
- -
....
~
_
-_- ..
Schneebeli . . . . .
Blaikley . . . . . .
Low . . . . . . . .
St e v e ns . . . . . .
Kaliihne . . . . . .
Schulze. . . . . . .
Griineiscn u. Merkel
Cornish u. Eavtman
-
- .
cm
?-sekl.2
Beobachter
___.__
___
.
.
. . ._
..._
. . ._
.~
._
. .
0,918
0,805
0,87
0,739
0,863
0,78
0,49 (Luft von 0")
.
0,36 (0,46*)
1
. . .
. . .
. . .I
. ..I
. ..1
. ..I
. . .I
. .
1
Zu der Zahl von K a l a h n e ist zu bemerlren, dal3 dieser
Wert von y sich ergibt, wenn die Kalahneschen Messungen
nicht auf den Grundton (n = 1024), wie es K a l L h n e tut und
wie F i i r s t e n a u gerechnet hat., soridern auf den 7. Oberton
( n = 7168) bezogen werden, mit dem K a l 8 h n e t,ats&chlich
beobachtet hat. Die Schallgeschwindigl;eitsmessur~ge~i,aus
deren Ergebnissen die beiden 1et.zten Wertc? der Tabelle berechnet worden sind, wurden nach der Methode des geschlossclnen
Resonatorsz) in Messingriihren ausgefiihrt. C; riineisen und
_.1) Campbell, D ix o n u. Parker, Yroc. Roy. SOC.London [A]
100. S. 1. 1921.
2) Thiesen, Ann. d. Phys. 24. S. 401. 1907; 25. S. 506. 1908.
30 *
- -
P. Buss
604
Merkell) beobachteten in Luft von 00 und fanden viellricht
aus diesem Grunde einen so niedrigen Wert fur die K i r c h hoffsche Konstante, die in der Tat nach den Ergebnissen der
vorliegenden Arbeit mit der Ternperatur stark veriinderlich ist.
Xber auch die Blessungen von Cornish und Eastnianz),
w l c h e in Luft von 260 ausgefuhrt wurden, liefern fur y rinen
srhr kleinen Wert. Der in Klarnmern stehende gr6Berci Wert
rrgibt sich, wenn unter Herarizirhung drr Ueobachtungen von
G r u n e i s e n uric1 Merlrel drr EinfluB der Endijffnungen
schdtzungsweise beruclrsichtigt wird. Inimerhin drangt sich
die Frage auf, ob diese Xbwrichungen nicht in der Methodr
sclbst begrundet sind.
Bri den Arbeiteri von C a m p b e l l , D i x o n und Parirclr3)
einerseits und S h i l l i n g und P a r t i n g t o n Q ) andererseits sintl
zu den Nessurigen Rdhren aus verschiedenem Material, aber
von gleichem Durchmesser verwandt worden. Eine ,,Riihrenltorrelrtion" wurde angebracht ini Sinne dcr Formel
w = w, (1 - K y),
wobei I{, die sogenannte Rbhrenkonstante, bwtirnmt wiirtle
(lurch Vergleich der in der Riihre gemessenen Geschwindiglteit
init dein fur das freie Gas geltenden Rerte. Regen der Cnsicherheit dieses Rertes jedoch durfte es nicht angingig win,
von der Rbhrenkonstanten, {vie sie nach diesem Verfahren
wmittelt wird, suf die wahre GrijSe der Kirchhoffschen
Iconstanten zu schlieBen; wie denn auch die von S h i l l i n g
und P a r t i n g t o n fur ihre 4 Riihren angebrachten Korrekturen
(;,ti-, 7,2-, 2 3 - bzw. 0,5-mal so groB ausfallen, als wenn sir rnit
b'ormel (1) unter Benutzung des theoretischen Wertes von y
berechnet worden wiiren.
Soweit es sich um gewiihnliche Temperaturen handelt,
kann man uber die K i rc h h o f f sche Theorie zusammenfasseritl
sagrn: Durch die E'ormel (1) wird die Abhgngigkeit der Schallgeschwindigk4t vom Riihrendurchmesser sicherlich richtig
wiedergegeben, wiihrend die .4bhiingiglreit von der Tonhiihe
nicht bei allen Beobachtungen von der Art gefunden wurde,
-
.-
__
-
1) Uruneisen u. Merkel, Ann. d. Phys. 66. S. 344. 1921.
2) Cornish u. Eastman, ,J. Am. Chem. SOC.50. S. 627. 1928.
3) Campbell, D i x o n u. Parker, Proc. Roy. SOC London (A)
100. S. 1. 1921.
4) Shilling
11.
Partington, Phil. Mag. 6. S.920. 1928.
Die Icirchhffsche Konstante 7 u. ihre Abhayigkeit
mu'. 605
wie sie die Formel verlangt. Der theoretische Wert der K i r c h hof f schen Konstanten, der nach Gleichung (3) fur 20° etwa
die GroBe 0,57 annimmt, wird bei Zimmertemperatur von den
beobachteten Werten fast durchweg urn beinahe 50 Proz.
ubertroffen, eine Abweichung, die durch Verwendung von
Riihren mit rauher Inneiiwand noch erheblich gesteigert
werden kann.
Fur hohere Temperaturen liegen nur vereinzelte experimentelle Werte der Kirchhoffschen Konstanten vor.
Stevens') hat aus seinen Schallgeschwindigkeitsmessungen
in zwei Riihren verschiedener Weite fur y folgende Werte
berechnet :
j
__
20°
1000
Y5Oo
'
i
I
~cm
''8Ckl''
0,74
0,4
33
Aus den Messungrn voii K tila hnc2) c~rrrchnetman folgende
Werte :
--_ _
.
20"
4500
700"
9000
I
036
1,67
1,35
1,62
Diese Ergebnisse sind jedoch anfechtbar, du, Kaliihne,
der nach der Resonanzmethode arbeitete, wie oben bereits
crwihnt, auf die Resonanzmaxima eines Obertones einstellte,
ohne daB es ihm bei hoheren Temperaturen gelang, den Grundton viillig auszuloschen. Solche llberlagerungen durften aber,
bei der ungleichen Herabminderung der Fortpflanzungsgeschwindigkeit, welche tiefe und hohe Tijne im gleichen Rohr erfahren,
nicht zulassig sein.
Uber das Verhalten der Kirchhoffschen Konstanten bei
hiiheren Temperaturen lassrii sich aus dirsrii schon in sich
1) Stevens, Ann. d. P h p . 7. S. 285. 1902; Verhdlg. d. deutschem
physikal. Ges. 8. S. 54. 1901.
2) Kalahne, Ann. d. Phys. 11. S. 225. 1903.
606
P. Buss
miderspruchsvollen Ergebnissen kaum sichere Aufschlusse gewinnen.
Es ist das einzige Ziel der vorliegenden hrbeit gewesen,
hier Aufklarung zu schaffen, ohne dab gleichzeit,ig Pine Untersuchung uber die Temperaturabhangigkeit der Schallfortpflaneungsgeschwindigkeit und des Verhaltnisses der spezifischeii
WSrmen damit beabsichtigt gewesen ware.
Die Vereucheanordnung
Zur Restirnmung der Kirchhoffschen Konstanten wurde
die Schallfortpflaneungsgeschwindigkeit in zwei Rohren vcrschiedener Reite mi gleicher Zeit gemessen und m a r nach der von Kaliihne
und F h r s t e n a u bereits angewandten
Resonanzmethode.
Die Resonanzrohre R (vgl. Fig. 1)
waren aus Porzellan und hatten einen
inneren Durchmesser von 2 3 8 bzw.
1,20 cm. Die Liingenanderung eines jeden
Rohres und die Einstellung auf Resonanz
wurde durch Verschieben eines Stemprls St
aus Quarzglas bewirkt. ]hide Rohre
waren in vertilialer Stellung untergebracht
in detn ebenfalls aus I’orzchn gefertigtm
Umhiillungsrohr 1 ‘, welches von tlem
elektrischen Ofen umgeben war (vgl.
photographische -4bbildung).
Die Schallwellen 1ieB man nicht nnniittelbar in die Hesonanzrohre einfallen ;
vielmehr wurden sie durch die Rodenplatte
des Tfmhullungsrohres eingeleitet und gclangten erst nach Zuruckwerfung an der
am oberen Ende tles Umhilllungsrolirrs
befindlichen, verschiebharm (ilinimerplatte I’ in die Resonanzrohre. Mit dieser
Anordnung wurdr die Zuruckwerfuiig tlw
Tonwellen at1 Iriiltcren Luftschichteri vermirtlen. Zur Yeststellung der HesonanzLangsschnitt
niasirria wurden die durch die Sclialldurch das Ofeninnerc bewegungen
hervorgerufenen
lhckFig. 1
schwanliuiigen durch eine lileille offnung
Die Kirchhojjsche Iionstnnte 7 u. ihre Abhangigkeit usw. 607
in der Stempelscheibe S und den hohlen Stempelschaft
dem Aufnahmeapparate zugeleitet. Die Temperatur ill den
Resonanzrkumen der Rohre wurde mit den beiden Thermoelementen T h gemessen, dereii erwirmte Liitstelle sich auf der
Vortlerseite der Stempelscheibe befand, wiihrend die Platinund Platinrhodiumdriihte rlurch Bohrungen in der Stempel-
Photogrephie des elektrischen Ofem
Fig. 2
soheibe hindurch am Stempelschaft entlang ins E'reie gefuhrt
wurden, isolicrt durch Quarxglaskapillaren. Die elektromotorische Kraft der Elemente wurde mit einem von Siemens und
Halske geliefertm Galvanometer grmcssen, das direlit nach
Crlsinsgraden geeicht war. Die angaben diesrs Iristruxnexitarium~
sind im folgenden ohne weiteres benutst wordrn. Eine spdtere
Nachprufung ergab, da13 die Fehler dieser Temperaturmessungen
in der Tat nur wenige Grade betrugen.
608
P. Buss
Der elektrische Ofen war von der F'irma R. C. Heraeus
geliefert und bestand in seinem Hauptteile aus einer Platinspirale, die in der Mitte unterteilt war, so daB die obere Halfte
des Ofens, deren Warmeabgabe wegen der vertiknlen A4nordnung des Ganzen herabgesetzt werden muBte, im XebenschhiB
geheizt werden konnte. Bei hoheri Temperatnren machte es
die groBe Rellenlange notwendig, noch eine writ ere Heizspirale
auf den Ofen aufzusetzen, um die erforderliche GleichmBBigkeit
tler Erwiirmung in den Rohren zu erzielen. Den AbschluB
des Ofens nach oben hin bildete ein ebenfalls heizbarer Deckel.
Alle drei Hhzspiralen waren in der ublichen Weise durch Asbestlagen vor RBrmeverlusten durch Ausstrahlung geschiltzt. EachClem die Temperatur unter Verwendung hoher Stronistiirken
bis in die Niihe der gewunschten gebracht worden war, lieB
sich durch sorgfaltiges Regulieren der Stromstiirke in den
rinzelnen Heizkreisen nach langerer Zeit ein Zustand erzielen,
bei dem durch die Heiznng alle Wiirmeverluste gerade ausgcAglichen wurden und die 'l'emperatur des Ofeninnern nahezu
konstant blieb.
Als Tonquelle diente ein 'elephon T , das durch einen
Ansatz an der Rodenplatte des Umhullungsrohres seine Schallwellen in das Innere hineinsandte. Es wurde erregt durch
die Schwingungen von Elektronenrohren in einer Schaltung,
wie sie von G r u n e i s e n und Merkel') angegeben uncl benutzt worden ist.
GroBe Muhe bereitete es, die bei allen bisherigen Arbeiten
angewandte subjektive Reobachtungsmethode des ,,Abhorens"
durch eiri objektives Verfahren zu ersetzen. Nach vielen vergeblichen Versuchen erwies sich folgende Anordnung als recht
brauchbar : Die durch die Schallbewegung im Resonanzraume
riner j d e n der beiden Riihren erzeugten llruckschwankungen
wirkteii durch den Sternpelschaft und eine lturze Schlauchleitung hindurch auf die Meinbran eines Telephons. Durch die
Schwiiigungen der Membran murde ein iiuBerst schwacher
Rechselstrom induziert, der, verstiirkt durch einen 4-RijhrenVerstiirker, einem von Siemens und Halske bezogenen Wechselstrom-Dynamometer mit Spiegelablesung zugefuhrt wurde.
Der Verstarlrer muBte in einen geerdeten Metallkasten eingeschlossen werden, um eitie direkte Indubtion von seitm
1) Gruneisen u. Merkel, Ztschr. f. Phys. 8. S. 277. 1920.
Die Kirchhojfsche lionstante y u. ihre Abh&n!gigkeit USUL 609
des Rohrensenders, die sich anfangs storend bemerkbar machte,
zu beseitigen.
Um eine bequeme und fur beide Rohre mBglichst gleichseitige Reobachtnng zu erreichen, wurden folgende Anordnungen getroffen. Die Stempel wurden vom Standpunkte
des Beobachters aus mit einer Ubertragung durch FSiden und
Rollen bewegt. Vor seinen Augen waren zwei Fernrohre aufgestellt ; das eine diente zur Ablesung der Stempeleinstellung
an einem feinen Drahte D (vgl. Yig. I), der ausgespannt in
einem rechteckigen, am Stempelschaft befestigten Rahmen,
vor einer Skala dahinglitt. Mit dem anderen Fernrohr wurde
das Spiegelbild einer feststehenden Sliala im tlrehenden
Spiegel des Dynamometers beobachtet. I n unmittelbarer
Nahe hefanden sich auDerdem das Pyrometer fur die Temperaturnblesung, Voltmeter und Amperemeter zur Dberwachung
der Betriebsverhlltnisse des Tonsenders, sowie endlich die
Vorrichtung zur Betatigung einer Stromwippe, welche bald
das eine, bald das andere der an die Stempel angeschlossenen
Telephone mit dern Verstarker in Verbindung setzte.
Fehlerquellen
Eine Erweiterung und hnpassung der Kirchhoffschen
Theorie an die vorliegenden Verhaltilisse ergibt fiir die Amplitude
der Verdichtungen und Verdunnungen in einer der Stempelscheibe unmittelbar anliegenden Lufhchicht die Gleichung
(5)
sa =
K'
e2 m' 1
+
e- 2 m! I
+ 2 cos 2 nf'
1
Hierin bedeutet K eine Konstante, deren GrBBe im wesrntlichen von der Intensitiit der einfallenden Tonwellen abhiingt ;
I ist die jeweilige Lange des Resonanzrohres, na' und m" sind
gegeben durch die Gleichungen
Retrachtet man in Gleichung (5) die Amplitude der Dichteschwankungen als eine E'unktion der Rohrliinge, so ist hiermit
Cil 0
P. Buss
eine Knrve bestimmt, die im folgenden als Resonanzkurve
bezeichnet werden soll. Ihre Maxima, aelche durch Gleichuiig
Z = ( 2 k + 12 dt
) 2 ( 1 - 3
ft>htgelegt sintl, gt’beii durch ihre Iiagcl die Rohrlhigeii bzw.
tlic Stempeleiristellungrn an, bei dcmeri Resonanz eintritt. I k r
;\bstancl zwcier aufeinander folgentlrr Rrsonanzt.instc~llurigeii
soll als die halbe W~llenliingeder stc~hentlcnWellenhtwrgung
irri Rrsonaiizrohr arigrseheii a erderi
I n dieser Formel und ebenso in der obigen fur m” lirlwn
sich die quadratischen Korrelitionsglieder hrraus. 1)urcli (lie
objektive Reobachtnngsmethotle, wit. sir bei der vorliegriiden
Airbeitzur Snwendung kam, wurdc es moglich, die Hesonanzliurvr fur irgendeinen Tori aufzunrhrnrn. 1)abri er~viesensi -11
cine gaiize Reihe von Tbnen sogleich als ungeeignet fur tlics
JIessurig der Wellenliinge, da sir bcitle oder nuch iiur i4iitib
tler Hesonanzrohre nicht zum hnsprechen brarlitcn. I )its
Hesonanzkurven der ubrigen Ttine verlieferi zurn l‘eil iiiclit
rcgclmiifiig, sondern wieseii gespaltene Ilavima otlrr a. tic11 in
glrichbleibenden -4bstiinden eirie F’olge von schw‘lclicr ausgrbildeteii Nebenmuxima auf. I)urch hnbriiigen von Gliriimbrclucr~vlindcii(i(vgl. Fig. 1 ) im Umhnllungsrohr zur Ycrhii tun::
von Koppelungserschcinuiigt.~i zwischrn diesem uncl tltvi
Resonansrohren sowie tlurch sorgfdtigcs Eiiistellrn der Rt4esplatte lronnten die grnannten Stiirungeri erheblich geinintlert
werden. Von Wichtigkeit war es auch, wilireiid cler Nessungrn
in dem einen Rolire das andere durch Emporschic~ben tles
Stempels bis an den Rand des Bohres abzuschlieflen, u111auch
Koppelungserscheinungen zwischen den beiden Rohrrn zu
vrrhindern. Zur Verwendung karnen bei den llessungen jrtlocli
n i i r solche Tiine, fur welche die Rcsonanzlturven rrgclmiifiig
und tlrr b’orm nach, \vie es die Glrichung ( 5 ) vwlangt, vcrlirfrn
(vgl. Pig. 3).
Es lie@ auf der Hand, dafl anf dicse Wrist. vicle Tiin?
ausgeschieden wurden, die bei der subjeektivm Abhiirmetliotltwahrscheinlich Verweridung pifunden untl (lurch vrrstrckt P
UnregelmiiiBiglteiten ilic Ifessung der Rellcnliingen becintriichtigt hztten.
Die Kirchhoffche Konstmte ;‘ u. ilm Abhungiykeit wsm. 61 1
Das Anbringen einer Korrektion aegen des Eiiiflusses der
Rohrmundung sowie der offriung in cirr Stemyelschribe erubrigte sich glucklicherweiue, da hierdurch m a r die Lage der
Maxima, riicht aber ihr gegeiiseitiger Abstand geiindert wid.
a
I n der Gleichung (7) kann --n = A , gesetzt werden, wobei
A, die WellenlSinge der Schallbewegurig im unbrgrenzten Raunir
~
Resonanzkurue im weiten Rohv
Resonanzkurve im engen Rohr
Resonanxkurven irn weiten und im engen Rohr
Fig. 3
bedeutet. Man erhiilt dann fur die Wellenliingcn in dcn bc&n
Resonanzrohren die Gleichungen
A und A siiid die RellenlSingen im weiten und irn engen Hcsonanzrohre, H und r die Halbmesser der beiden Rohre. Aus den
Gleichungen (8) ergibt sich fur die WellenlBiige in freier Luft
il,=d+--Ail
(9)
D-d
und fiir die Kirchhoffsche K h s t a n t e
Dd
-A i
(10)
y=- D - d F V n - p
wobei 1) und (1 die Durchmesser der beiden Hesonaiizrohre,
Aiz=A-A
den Unterschiecl der in beirlen Rohrcn gemessenen n'ellrnliingen bezeiclinet. Aus der Gleicliung (10) ist xu ersehen, tlal3
zur sorgfiiltigen Festlegung der Kirohhoffsclien Koristanten
in erster Linie eine genaue llessung des Wellenliingenuntrrschiedes A iz notwendig ist. Bei der nachfolgenden Untersuchung der Fehlerquellen sind denn auch die Fehler vor allem
danach beurteilt worden, in wcMier Weise sie die Ilestimmung
von d iz beeinflussen.
Die Urellenlange wurde fdr den einzelnen Messungssatz
durchschnittlich in jedern Rohre etwa 6-Inal gemesscm und
m a r so, dab jedesmal 3, zuweilen auch 4, aufeinanderfolgendo
't'onmaxima festgelegt wurden. Fur jedes Resonanzmaximuiii
wurde gleichzritig auch die Temperatnr am Pyrometer allgelesen und aus den 3 Temperaturablwungen t,, f , , 1, (inti
inittlerr Temperatur gebildet gemAIJ dcr (fl(Aichung
Hierbei ist der Teniperaturverlauf lhg-s dtls Resoiianzrohrc>s
r/;wischen Clem ersten und zweiten Maximum durch rine geradc.
Iinie, awischen drrn zweiten urid dritten Maximum, wo inan
in der Regrl eineri geringen Temperaturabfall beobachttite,
durch einen Parabelbogeri dargestellt worden im Eiiilrlangr
init den Temperaturmessungen, wie sie in kleinen AbstSnderi
liings des Resonarizrohres ausgefuhrt wurden. AUS den mittlereri
'Cemperaturen t, des weiten Rohres untl drneii ,f des engen
Rohres wurde als Xlittel eirie l'emperatur fR gebildet, auf
wrlche (lie WrllenlBngenmessungen in beideii Rohreri reduziert
wurden unter Verwentlung der Redulrtionsforr~ieln
wobei rriit 1' die absolute Trmperatur bezeichnet ist.
Die iirtlichen und zeitlichen Temperaturschwarikungen,
welche eine Reduk tion der gemessenen Wellenlangen auf eine einheitliche Temperatur notwendig machen, verursachen zugleich eine
Die Kirchhoffssch Konstantc y u. ihre Abhiingigkeit ww. 619
Reihe von Fehlern bei der Bestimmung der Wellenlangen und
des Wellenlangenunterschiedes. Die haupt,siichlichsten F’ehlerquellen mogen hier kurz aufgefuhrt werden. An Stelle der
exakten Formeln sind zur Reduktion der Wellenlangen die
Niiherungsformeln (12) benutzt worden ; die Veriinderlichkeit
der Kirchhoffschen Konstanten mit der Temperatur ist bei
der Reduktion nicht beriicksichtigt worden; die bblesegenauigkeit des Pyrometers ist auf einige Grade beschriinkt ;endlich ist
der wirkliche Temperaturgang liings des Resonanzrohres in vereinfachter Weise durch eine gerade Linie und daran anschlieSende
Parabel dargestellt und eine entsprechend gebildete mittlere
Temperatur der Reduktion zugrunde gelegt worden. Eine
sorgfiiltige Abschiitzung aller dieser Fehlerquellen fiihrt jedoch
xu dem Ergebnis, do13 ihr EinfluB auf die Bestimmung des
Wellenlangenunterschiedes auch in den ungiinstigsten Fallen
eine Grenze von 30 Proz. nicht uberschreitet. Selbst ein solcher
Fehler durfte noch als unbedenklich angesehen werden, wenn
man berucksichtigt, daB in den giinstigen Fiillen, wie z. B.
durch die Messungen bei Zimmertemperatur, die von Temperaturschwankungen fast gar nicht beruhrt werden, d 1 und
damit auch y nur mit einer Genauigkeit von 13 Proz. bestimmt
werden (vgl. weiter unten), und zwar als Ergebnis eines ganzen
Messungssatzes, womit der Einzelmessung von A 1 eine Genauigkeit von etwa 30 Proz. zukommen diirfte. Ein Eichfehler des Pyrometers z. B., der sich bei allen Messungen des
Satzes in gleichem Sinne auswirken wurde, durfte eine Hiihe
von 5 Proz. der absoluten Temperatur, d. h. uber 450 bei den
hochsten angewandten Temperaturen, erreichen, ohne die
Restimmung von 4 1 mit einem Fehler von mehr als 10 Proz.
zu behaften.
Eine Fehlerquelle, die von F u r s t en a u eingehend erortert worden ist, beruht auf dem Umstande, daB sich beim
Einstellen der Stempelscheibe auf die verschiedenen Maxima
der Abstand zwischen der Stempelscheibe im Innern des Ofens
und der Ablesemarke auSerhalb des Ofens verkurzt, indem
ein dem Abstand der Maxima entsprechendes Stuck des Stempelschaftes aus dem heiDen Innern in die kiihle Umgebung versetzt wird. Aber der auBerordentlich geringe Ausdehnungskoeffizient des Quarzglases bewirkt, daB diese Verkurzung
selbst bei den hijchsten Temperaturen und den langsten Wellen-
614
P. Buss
lilngen nicht mehr als 0,2 mm betriigt. 8ie kommt auBerdem
fiir die Bestimmung des Wellenlangenunterschiedes uberhaupt
nioht in Retracht.
Pliitzliche Schwankungen der Tonhiihe wiihrend einsr
Einzelbestimmung des Wellenliingenunterschiedes ltiinnten die
Genauigkeit erheblich beeinflussen, sind aber bei lionstenten
lktriebsverhiiltnissen dss Tonsenders lraum 5u befurchten.
Eine Fehlbestimmung der Tonhiihe beruhrt das Verhiiltnis .4A/Af gar nicht und den fir die Kirchhoffsche Konstante zu berechnenden Wert nur wenig, da sie unter der
Wurzd in die Formel (10) eingeht. Es wurde daher far ausreichend erachtet, die Frequenz der bei Zimmertemperatm
benutzten Tiine auf rechnerischem Wege zu bestimmen aus
ihrer nach Formel (9) ermittelten und auf 00 reduzierten Wellenliinge in freier Luft. Ale Schallfortpflanaungsgeschwindigkeit
wurde dabei der Wert
vo = 331,s m/sec
zugrunde gelegt, den man mit Beriicksichtigung des E'suchtigkeitsgehaltes der zu den Versuchen verwendeten h f t auf
532,2 mlsec erhohte. Die Tonhiihen der ubrigen, bei hiiheren
Temperaturen benutzten Tiine wurden dann aus den bereits
bekannten Frequenzen gefunden durch Interpolation auf Grund
der jeweils in den Schwingungslweis eingeschalteten Kapazitiit.
Durch die Verwendung von nicht getrockneter Luft wird
das Verhiiltnis d A/A nicht beeinflulit. Bei Siittigung der Luft
rnit Wasserdampf beobachtete St evens oine Erhiihung der
Kirchhoffschen Konstanten von 0,74 auf 0,89; es ist aber
zu bedenken, daS es sich bei diesem Versuche um gesattigte
h f t mit einem Wasserdampfgehalt von 14,5 g/m* handelte,
wiihrend bei den vorliegenden Messungen noch nicht die halbe
Wasserdampfmenge erreicht wurde, und daS ferner die Vcrgr6Serung der Kirchhoffschen Konstanten wohl in der Hanptsltche durch die Isildung von Wasserdampfblamhen an dor
Riihrenwandung verursaeht worden ist.
Die exakte Bestimmung der 9'emperatur und Tonhiihe,
welche gerade bei den Arbeiten zur Ermittelung der Temperaturabhiingigkeit des Verhiiltnisses der spczifischen Wiirmen soviel
Miihe bereitot, spielt bei der Restimmung der Kirchhoffschen
Konstanten nur oine untergeordnete Rolle. Dafiir kommt e~
um so mehr darauf an, dia Wollenlilnge in beidon Riihren uiid
Die I~irclrhoffsdtt?
Konstnnte y u. ihre Abhdn.&k&t usw. 616
ihren Unterschied a d das Genaueste zu bestimmen; denn auf
eine bderung der fir die Wellenllinge ermittelten Werte
reagiert y in 80 cmpfindlicher Weise, daB eine Pehlbestimmung
derselben von nur 0,l Proz. bei hiiheren ‘l‘emperaturen bereits
einen Fehler bis zu 1OProz. fur die Kirchhoffsche Konstante nach sich zieht. Am meisten gefiihrdet abor wird sicherlich die genaue Messung der Wellenlangen durch die Temperaturschwankungen, welche sich wiihrend der Festlegung
zweier Maxima einschleichen; und wenn bei der Ermittelung
der Kirchhoffschen Konstanten eine Genauigkeit, wie sie
nach den vorhergehenden Darlegungen erwartet werden durfte,
nicht immer erreicht worden ist (vgl. weiter unten), 80 ist
dies sicherlich dem Einflnsse jener unkontrollierbaren Temperaturschwaiikungen zuxuschreiben.
Auawertung d a Xemungen
Die Auswertung der Messungen geschah in folgender
Weise: Die in den beiden Rohren gemessenen und dem gleichen
Messungssatze angehorenden Wellenhgen wurden nach Reduktion rruf die mittlere Temperatur des Satzes (vgl. S. 612) m
je einem Mittelwert vereinigt. Die erhaltenen Werte A und 1
aowie der WellenliingenunterschiedA 1 sind in Tab. 1 nebst
den zugehorigen Temperaturen eingetragen. Mit Hilfe der
Gleichung (9), welche f i r die Werte D=2,98cm und d = 1,U)cm
die einfache Form
If = A 0,674 A 1
(9 4
+
annimmt, konnten sodaim die Wellenliingen 1, in freier Luft
berechnet werden, wie me in Tab. 1 angegeben sind.
Die fur Zimmertemperaturen erhaltenen Werte von Af
dienten zur Berechnung der Tonhohe, welche in der auf 8. 614
beschriebenen Weise ermittelt wurde. Erwiihnt sei noch, dafi
dreinial im Laufe der Messungen eiiic iler Elektronenriihren
des Tonsendera ausgewechselt werden mu& und demgemiil
die bei Zimmertemperaturen penutzten T h e zur Interpolation
der bei hoheren Temperaturen angewandten Frequenzen in
3 Gruppen eingeteilt wurden, von denen jede die T h e enthiilt, die bei unveriindertem Sender zur Anwendung gekommen
waren. Zur Kontrolle wurden die durch Interpolation crmittelten Schwingungszahlen mit der Wellenliinge in freier
Die Kirchhoffssch Konstante y u. ihre Abhangigkeit usw. 617
T a b e l l e 1 (Fortsetzung)
A cm
519O
523O
524"
529"
536O
538O
540°
670°
671O
682O
'
.
1
1523
1416
1458
1423
1287
1798
1450
I rz I I
__ - __
~
Y
dl
1,-
v v-w
P
~- __ -
12,46 3
17,39 5
15,97 3
39;120 37.978 1-142 39'890 3-85 567;5 09% 16,25 195
43.6061 42:579I 1:027 Ih298 2:96 570.0 8,91 13,22 5
31;345 30;725 0;620
7,52 11,14 26
38,788 37,851 0,937
9,16 13,59 5
1
1
8,41
1,72
0,76
8,12 12,06
9,53 14,14
9,45 14,Ol
1713 35,346 34,642 0,704
1575 38,426 37,528 0,898
1641 37,154 36,300 0,864
3
3
3
Luft A, multipliziert und die erhaltenen Werte der Schallgeschwindigkeit verglichen mit den im ,,Handbuch der
Physik"1) angegebenen, auf die betreffende Temperatur und
auf feuchte Lnft umgerechneten Schallgeschwindigkeiten. Auch
die daselbst noch nicht berucksichtigten Werte aus der Arbeit
von S h i l l i n g und P a r t i n g t o n z ) sind umgerechnet und zum
Vergleich mit herangeaogen worden. Wo sich groDere Abweichungen zeigten, murde die errechnete Schwingungszahl
korrigiert, aber nur so weit, daB sich der entsprechende Schallgeschwindigkeitswert innerhalb der wahrscheinlichen Fehlergrenzen der angegebenen Werte hielt. Die endgultigen Werte
der Tonhohen und die entsprechenden Schallgeschwindigkeitswerte, wie sie sich durch Multiplikation der Wellenlange in freier
Luft mit der zugehorigen Frequenz ergeben, sind in Tab. 1
eingetragen. Hinzugefugt sind die Schallgeschwindigkeitsunterschiede :
v,.-
V=n(A,.-A)
und
V--v=ndA,
welche die Verzogerung des Schalles bei seiner Fortpflanzung
in Rohren der GroDe nach veranschaulichen sollen.
Die Kirchhoffsche Konstante y wurde sodann aus dem
Wellenllngenunterschiede d A und der Wellenlange in freier
1) Handbuch der Phyeik 8. S. 627ff.
2) S h i l l i n g u. P e r t i n g t o n , Phil. Mag. 0 S.920. 1926.
Annalen der Phyeik. 6. Folge. 7.
40
P. Buss
G18
Luft A, berechnet gemalj der Formel (lo), w l c h e fiir die vorliegenden Rohrweiten die Form annimnit :
- A t
y = 3,661 v ? t -.
(10a)
A/
Die erhnltenen Werte finden sich ebenfalls in Tab. 1
zudein in Fig. 5 graphisch dargestellt.
sind
lint1
Tabelle d
(Mittelwerte, n
=
--
Am
A 2,
1,
1600)
!fm
mjsec 1 efn,- V ,
i.,,,
~
1'm
~
~
223,OO
294,SO
426,3"
533,8O
674,3O
I 27,979
29,847
33,018
35,576
38,495
21,415
22,376
23,508
24,753
27,564
29,405
32,546
35,032
37,933
21,290 0,125
22,087 0,289
23,141 0,367
24,212 0,541
26,948 0,616
28,749 0,656
31,846 0,700
34,225 0,807
37,075 0,848
344,O
361.1
380;l
401.9
447,7
477,6
528,3
569,2
615,9
I
1,34
3.12
3;95
5,84
664
7,07
735
R,70
9,15
3,w
4,62
537
8,66
9,86
10,60
11,20
12,91
13,57
Die Streimiig cler IVerte ist ziemlicli betraclitlich. Es
wurde zunachst versucht, die beobachteten Wellenlangen
uiitereiiiander auszugleictien, uncl dazu folgendermaljen verfahren: Die Wellenliingen in frrier Luft R, sowic die IVellrnlingen in den beiden Rohren A und 1 wurden auf eine einheitliche mittlere Frequenz I G = 1600 reduziert. Dazu dienten
(lie Formeln :
(14)
I
I
1.flf;oo =
Ik
Lf
f
d
dim = 4 u ; w - D-d A ~ i w u ~ i m =
) dicw - Lirw .
Die Redulition des Wellenliingenunterschiedes d 1 erfolgte
init Hilfe der Formel:
Diese Bezielinng erhiilt innn, \vciin man tlic C~Icichung(10)
nnch A I aufliist :
1lie Iiirclahoffsche Iionstniite y u. ihrc ABlz&ngigkeitusw. 619
durch Division der beiden Gleichungen ergibt sich dann:
Die erhaltenen Werte jlf1600, A1600, 3’1600 und d I,,, wurden
entsprechend den zugehorigen Temperaturen in 9 Gruppen
eingeteilt in der Anordnung, wie sie bereits aus Tab. 1 ersichtlich ist. Die Angehijrigen jeder Gruppe wurden unter Beruclisichtigung ihrer Gewichte p zu Mittelwerten: if,, A , und R,
zusammengefaflt und finden sich in Tab. 2 eingetragen nebst
den zugehorigen mittleren Temperaturen. Die Mittelwerte fur
jede Gruppe wurden nicht aus den, Wellenlangen selbst und
den entsprechenden Temperaturen gebildet, sondern aus deren
Logarithmen :
zi,log I‘
und log Tm=
log I , = z’p log
Z’P
Z’P
Diesem Verfahren lag die Annahine zugrunde, daB in einem
begrenzten Temperaturbereich die Rellenliinge 1 als Funlition
der absoluten Temperatur T dargestellt werden kann in der
Form :
I=CP,
wobei c und E Konstsnten sind, clenen fur die 3 Wellenlangen
verschiedene Werte zukommen : E insbesondere muB fur die
Wellenlange 1, in freier Luft nahezu den Wert $, fur die Wellenlangen in den beiden Rohren A unc\ 1 jedoch kleinere Werte
annehmen. Durch Logarithmieren der obigen Gleichung ergibt sich :
log 1 = & log T
log c .
+
Zwischeri den beiden Veranderlichen log 1 und log T besteht
also ein linearer Zusammenhang, welcher die einfache Art
der Mittelbildung rechtfertigt.
AuBer den Mittelwerten der Wellenlangen I,,,, A , und ,1
enthalt Tab. 2 noch die Mittelwerte des Wellenlangenunterschiedes A 1, = A,, - R m , die Schallgeschwindigkeitswerte
ufm = 1600 A,
sowie die Schallgeschwindigkeitsunterschiede
v,, - V , = 1600 (A,, - A,) und V , - v, = 1600 d 1,.
I n Fig. 4 sind die Mittelwerte der Wellenlangen in freier
Luft A, und in den beiden Rohren A,n und ,1 als Funktion
der Temperatur aufgetragen und auf zeichnerischem Wege
40 *
620
P. Buss
Bmperalur
Anderung der Wellenlajlge mit der Tcmperatur
Fig. 4
_________________._._.___._._.___._____
y(&v#hW
Anderung der K i r c h h o f f schcn Konstsnten mit der Temperatur
. * Messung bei Zimmertemperatur
0 0 Messung bei hiiberer Tempemtttr
Fig. 5
durch jo eine miiglichst glatte und stetige Kurve ausgeglicllen
worden. Die von diesen Kurven abgelesenen ausgeglichenen
Werte AIA, A , und A, sind in Tab. 8 ent,halten.
Die Kirchhoffsche Konstante y u. ihre Abhangigkeit usw. 621
Tabelle 3
(awgeglichene Werte)
P
223,OO 11 27,93
29,86
294,8O
33,08
426,3O
35,52
533,8O
38,54
674,3O
21,42
22,39
23.47
24,74
27,56
29,43
32,58
34,97
37,95
1
21,29
22,15
23,13
24,31
26,98
28,78
31,86
34.18
37,04
1
i
-.
00,240
0,333
0,430
0,567
0,643
0,730
0,803
0,893
,
2,45
11 2,89
3,07
3,14
3,22
3,30
l 360,8 v
379,O
400,5
446,9
477,8
529,3
568,3
616,6
,
10
5
5
8
2
4
1
5
1
Je 2 dieser Werte liefern miteinander kombiniert einen
Wort fur die entsprechende Wellenlangendifferenz d 1~:
Aus den 3 Werten wurde jedesmal das Mittel A 1, gebildet und in Tab. 3 eingetragen. Ebenso finden sich daselbst
die ausgeglichenen Werte der Kirchhoff schen Konstanten y A ,
berechnet fur n = 1600 nach der Formel:
Die erhaltenen Werte sind in Fig. 5 graphisch dargestellt
und durch eine Kurve miteinander verbunden worden.
Ein Vergleich der ausgeglichenen y-Werte mit den bereits
friiher berechneten (vgl. Tab. 1) 1aBt einen SchluB auf die
erlangte Genauigkeit zu. Es zeigt sich, daB der mittlere Fehler
der Einzelbestimmung von y im Durchschnitt etwa 20 Proz.
betrggt, fur die Beobachtungen bei Zimmertemperatur allein
jedoch nur 13 Proz. Der mittlere Fehler der ausgeglichenen
y-Werte ergibt sich zu 3 Proz.
Endlich enthalt die Tab. 3 noch die Werte der Schallgeschwindigkeit in freier Luft
VfA
= 1600 LfA
.
P. Buss
622
Zu den Schallgeschwiiidigkeitswerteiz v,, vf ,,, und vfA, wie sie
in den Tabellen 1, 2 und 3 eingetragen sind, ist noch zu beinerlien, da13 sie lediglich berechnet wordeii sind, weil sie anschaulicher wirken als die bloBen Werte der Wellenlange in
freier Luft, nicht aber, weil sie AufschluB geben konriten fiber
die genaue Temperaturabhangigkeit der Schallgeschwindigheit
und insbesondere des Verhkltnisses der spezifischen W ”
armen
x =
C
-’1_
co
.
Dazu ware einerseits eine genauere Restimniung
des Absolutwertes der Temperatur, andererseits vor allem eine
direkte und sorgfaltige Rlessung der Tonhohe notwendig, wo(lurch aber die Beobachtungen, welche allein auf Bestimmung
der I i i r c h h o f fschen Konstanten durch sorgfilt,ige Nessung
des Wellenlangenunterschiedes gerichtet waren, noch umfangreicher und muhsamer geworden maren, als sie es ohnedies
schon waren.
Xusammenfaaaung
Die Ergebnisse der vorliegenden Arbeit zeigeii eine ganz
iiiidere Abhangiglieit der K i r c hhof f schen Konstanten von der
Temperatur, als sie nach der Theorie (vgl. Gleichung 3 und
Pig. 5 ) zu erwarten war. Rahrend fur die Temperatureii in
der Niihe von 00 eiiie Siinlihermig der experimentellen Ergebnisse a n die theoretischen zu bestehen scheint, wachst die
Kurve der experimentellen Werte (vgl. Fig. 5 ) bereits fur
Zimmertemperaturen in raschem Anstieg weit uber die theoretischen Werte hinaus. Bei hoheren Temperaturen, von etwa
2500 an, hort jedoch dieses rasche Anwachsen auf, urn einem
fast gleichmaljigen Ansteigen Platz m i machen, das noch langsnmer erfolgt, als bei der Kurve der theoretischen Werte.
Die Tatsache, daB die von der Theorie geforderten Werte
fast durchweg von den experimentellen Ergebnisseii bei weitem
~bertroffen werden, liBt sich nicht danijt begrunden, dalj
I i i r c h h o f f bei ilbleitung seiner Theorie den Einflulj der
LuBeren Reibung und Warmeleitung vernachlassigt habe.
Denn mit der Voraussetzung, daB die Luftteilchen an der
Rohrenwaiid haften und die konstante Temperatur derselbeii
besitzen sollen, sind doch geracle diese beiden Einflusse in
hijchstem MaBe berficltsichtigt wordeii. Vielniehr Twist K i r c h hoff selbst darauf hin, da13 (lurch die in seiner Theorie vernachlassigte Wiirmestrahlung der WBrmeaustausch z-ischen
Die Kirclhoffsch,e lionstante y u . i7ire Abhawjgkeit
USE.
623
dem schwingenden Gas und der Rohrwandnng w-esentlich
gefordert werden konne. Jede Begiinst,igung des Warmeausgleichs aber zieht eine VergroBerung der Kirohhof f schen
Konstanten nach sich, da durch sie die Schallbewegung vom
adiabatischen Vorgang dem isothermen nHher gebracht wird.
Die inehr oder weniger plotzliche dnderung, welche im Verlanf
tler Kurve fur die experimentellen pWerte bei etwa 250° eintritt, lafit sich schwer erkliiren, will man niclit die hnnahme
sulassen , daB die obengenannten Vorausset,zungen, auf denen
die K i r c h h o f f sche Theorie beruht, bei hoheren Temperatureii
iiicht mehr in vollem Umfange zutreffen. Mit den experimentellen Werten jedoch, melche von anderer Seite fur die
Kirchhoff sche Konstante aufgefunden wurden (vgl. S. 303
und S. G05), stehen die Ergebnisse der vorliegenden Arbeit in
guter Ubereinstimmung, soweit es sich um Messungen bei
Zimmertemperaturen handelt. Bei 0 0 wiirde der Wert voii
G r u n e i s e n und Merkel: 1' = 0,49 uin ein geringes unterboten, bei 950° der Stevenssche Wmt': 7 = 3,9 fast erreicht
werden. Immerhin sind weitere Untersuchungen uber die
Temperaturabhangigkeit der K i r c h h o f f schen Konstanten
namentlich in dem Temperaturbereich um etwa 1000, wo die
Streuung der erhaltenen Werte ziemlich groB ist (vgl. Fig. 5 ) ,
sowie fur Temperaturen unter 00 und in anderen Oasen
wunschenswert .
ifiber eine Weiterfuhrung der vorliegenden Messungen und
Ausdehnung auf hohere Temperaturen uncl einige andere Gasc
wird Herr R e c h e l demnachst bericht'en.
Die experimentellen Untersuchungen zur vorliegenden Abhsndlung wurden im physikalischen Institute der Universitiit
GieBon auf Anregung von Hrn. Geh. Rat Prof. Dr. W.Elijnig
ausgefuhrt.
Hrn. Geh. Rat Prof. Dr. W.I i o n i g , der mir bei der Ausfiihrung der Messungen wertvolle Anregungen und Ratschliigo
in reichem MaBe zuteil werden lie6 und vor allem auch an
der Auswertung und Darstellung der Versuchsergebnisse den
regsten Anteil nahm, iniichte ich an dieser Stelle meinen herzlichsten Dank aussprechen.
(Eingegangen 1. Oktober 1930)
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