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Die Kohrenz der induzierten Strahlung.

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Annulen der Physsik. 7. Folge. Band 12. 1963
Die Koharenz der induzierten Strahlung
Von H a i r y P a d
Inhaltsii bcrsieht
Da die Energie U und die elektrische Feldstarke Q eines (quantisierten)
elektromagnetischen Feldes nicht gleichzeitig scharf sein konnen, ist unter einem
koharenten Zustand des Feldes ein solcher z u verstehen, bei dem sowohl U als
auch B moglichst wenig streuen. Unter der Annahme, daB nur eine Eigenschwingung des Feldes angeregt ist, werden die Unscharfen AU und a =
I/
,--
~-
- (B)?
(der Querstrich hedeutet Mittelung uber die Zeit t ) vor und nach
tier induzierten Emission eines Photons berechnet, und zwar fur den Fall eines
kohiirenten und eines (vollstandig)inkohkenten induzierenden Feldes. In beiden
Fallen vergr6Rert die induzierte Emission cr um den Betrag ?a=012 N ( N mittlere
7ah1 der vorhandenen Photonen). ?a ist vie1 kleiner fiir ein koharentes als fur
ein inkoharentes Feld, weil dasselbe fur 0 selbst gilt. I n diesem Sinn kann die
induzierte Strahlung als koharent zur induzierenden (koharenten) Strahlung bezei chnet werden.
Einleitung
Wahrend der Begriff der Koharenz eines Strahlungsfeldes bei klassischer
Hehandlung des elektromagnetischen Feldes klar ist -- das Feld ist dann kohhrent, wenn ihm eine bestirnmte Phase zugeordnet werden kann -, stoRt seine
Anwendung auf ein quantisiertes Strahlungsfeld dagegen auf eigentumliche
Schwierigkeiten, die ihre Ursache in der bekannten l ) Unscharfebeziehung
4 N ' da, 2 1awischen der Anzahl N der Lichtquanten und der Phase y des den
Lichtquanten zugeordneten elektromagnetischen Feldw haben. Einem Zustand
scharfer Energie (i. e. genau definierter Anzahl von Lichtquanten), wie er ublicherweise zur Berechnnng von Ubergangswahrscheiiilichkeiten benutzt wird,
entspricht demnach eine vollig undefinierte Phase : hingegen w&reein Zustand
genau definierter Phase in seiner Energie vollig unbestimmt. Ein Zustand, bei
dem sowohl Energie als auch Phase bestimmte Werte haben, ist nur approximativ
realisierbar, namlich in der Weise, daR die Streuung von Energie und Phase
moglichst klein ist. Diese Streuung fallt dann wenig ins Gewicht, wenn eine geniigend groBe Anzahl von Lichtquanten vorhanden ist, d. h. wen~iein makroskopisches Feld vorliegt. Das ist, gerade dcr Fall, der fur die induzierte Emission
von Interesse ist.
I)
W. H e i t l e r , The Quantum Theory of Radiation. 3.ed.. Oxford 1954.
H . Paul: Die Koharenz der induzlertelz Strahlung
291
I n ubereinstimmung mit S e n i t z k y 2 ) bezeichnen wir ein elektromagnetisches Feld dann als kohiirent, wenn Energie und Phase mBglichst wenig streuen
oder, da die Phase mit der (momentanen) elektrischen Feldstiirke (3unmittelbar
verknupft ist., wenn die Streuung sowohl der Energie U als auch der Feldstiirke
E minimal ist.
Ausgehend von der letztgenannten Eigenschaft eines kohiirenten Feldes
werden wir uns im folgenden zuniichst einen Uberbliek uber die mathematischen
Eigeiischaften der Wellenfunktion eines solchen Feldes verschaffen und dann
-->f
(der Querstrich bedeutet Mittelung
die mittlere Unscharfe CT = v@q.
iiber die Zeit t ) der elektrischen Feldstarke (an einem festen Ort) mit einer Genauigkeit bis auf Glieder der Ordnung N-l ( N mittlere Zahl der vorhandenen
Photonen) berechnen. Dabei wird vorausgesetzt, daB niir eine ganz bestimmte
Eigenschwingung des Feldes angeregt ist, d. h. daB nur Photonen einer ganz
hestimmten Sorte (allerdings sehr viele) vorhanden sind. Zum SchluB werden wir
xeigen, daB die (mittlere) Unschiirfe u der elektrischen Feldstiirke 6 - sowohl
fiir ein kohiirentes als auch ein fvollig) inkohiirentes a d e r e s Feld - durch Eniission eines Photons der bereit,s vorhandenen Sorte um den Wert Bu = a / 2 N zunimmt. (Die Unschiirfe der Energie bleibt dabei unveriindert.) Da u im Fall der
Kohiirenz des Feldes wesentlich kleiner ist als im Fall der Inkohiirenz, gilt dasselbe also auch fur die Zunahme von u, m. a. W. durch induzicrte Emission in
einem kohiirenten Feld wird die Unschkfe der elektrischen Feldstiirke am wenigsten vergroRert. Das ist die quantenmechanisch priizisierte Formulierung dessen, was man als Kohiirenz der induzierten Emission - im Gegensatz zur Inkohiirenx der spontanen Emission - bezeichnet.
Die Zustandsfunktion eines kohiirenten Strahlungsfeldes
Wir nehmen im folgenden stets an, daB nur e i n e Eigenschwingung des
Strahlungsfeldes angeregt sei, d. h. daD wir es nur mit Photonen einer ganz
bestimniten Sorte zu t u n haben. Bekanntlichl) lautet dann der Operator der
elektrischen Feldstiirke
@ = F(q%-q+%*).
(1)
Hier bezeichnet 012 x die Frequenz der Strahlung, q+ den Erzeugungs- und q den
Vernichtungsoperator fiir ein Lichtquant, und % (t) e-id ist das (n0rmiert.e)
ldassische Vektorpotential der betreffenden Eigenschwingung.
Eine beliebige Zustandsfunktion @ des betrachteten Strahlungsfeldes ist
darstellbar als eine Uberlagerung von Zustiinden I n, 0 . . 0), bei denen genau n
Photonen der iins interessierenden Sorte (und keine Photonen einer anderen
Sorte) vorhanden sind,
.
@(t)= s c , ( t )
n
.
In, 0.. 0 ) .
(2)
I l a gleich Eins sein.
Wir setxen Ir, als noriniert voraus, d. h. es sol1 2 c,
n
?) I. R. Senitzky, Physic. Rev. 96, 904 (1954); s. auch Physic. Rev. 111, 3 (1958);
115, 327 (1959); 119. 1807 (1960); 123, 1525 (1961); 137, 1638 (1963).
w*
292
Alvnalen der Phy8ik. 7.Folge. Band 12.1963
Fur den Fall eines isolierten Feldes lautet die Zeitabhiingigkeit der Koeffizienten c,(t) einfach
(3)
c,(t) = c, ecinmt.
Wir stellen zuniichst die Forderung, daI3 die Energie des Zustandes (2) annahernd scharf sein soll. Da I c, die Wahrscheinlichkeit angibt, n Lichtquanten, also die Energie n R w vorzufinden, darf c, als Funktion von n nur in einem
kleinen Bereich merklich von Null verschieden sein. Wir haben so die erste Eigenschaft der Wellenfunktion eines kohiirenten Strahlungsfeldes
l2
C,MO
fiii In--NI>dN
mit A N e N ,
(4a)
wobei N als geniigsnd groS vorausgesetzt w i d . Es erscheint weiterhin (scbon
auf Grund dcr physilralischen Bedeutung von I c, 12) verniinftig anzunehmen,
daS sich c, beim Obergang von n zu n
1 betragsmiiBig nur schwach iindert:
+
ICn+l(
(4b)
IC,I.
Die Forderung, daI3 die (momentane) elektrische Feldstiirke @ (an einem festen
Ort betrachtet) ebenfalls einen anniihernd scharfen Wert besitzen SOU, liiuft
bekenntlich auf die Erfiillung der Beziehung
hinaus (( ) bedeutet Bildung des quantenmechanischen Erwartungswertes).
Wir bestimmen zu diesemzweck zuniichst
und (E2),. Aus Gl. ( 1 ) ergibt
sich
( @ ) t=
2
{% e-imt+
c* cn + l < n l p l n +
1)-Y1*eim6zcncZ+i
(nlpln+
I)],
(6)
woraus sofort folgt:
Andererseits berechnet sich der Erwartungswert von
Ci? zu
Entsprechend der Forderung (5) sollen die letzten beiden Ausdriicke anniihernd
iibereinstimmen, im besonderen mussen also die zeitunabhiingigen Glieder
(geniihert) gleich sein; das bedeutet, es mu13 die Beziehung beetehen:
I<
CfiCn+ll
w
$ [Cnl a=
1-
Schreiben wir
c, = [en/ e-i'*
und beachten die Voraussetzung (4b), so soll also
IWcnl
Im 1
(12)
sein.
Diese Beziehung ist offenbar nur dann zusammen mit (10) erfiillt, wenn die
Differeni 3~ a + l -a, (geniihert) nicht von n abhiingt, m. a. W. wenn
2 ,+(%+ran)
m n 01 (LY unabhiingig von n).
(40)
Man uberzeugt sich leicht, da13 mit (4b) und (4c) auch die zeitabhiingigen
Terme von (7') und (8') anniihernd iibereinstimmen. Die Wellenfunktion eines
kohiirenten Feldes ist somit durch die Eigenschaften (4a, byc) zu charakterisieren3). Aus G1. (6) ist iibrigens unmittelbar ersichtlich, daB a die Bedeutung
der (klassischen) Phase des elektromagnetischen Feldes hat.
Nach diesen orientierenden Uberlegungen soll nun die Streuung der elektrischen Feldstiirke fiir ein kohiirentes Feld explizit berechnet, werden.
01,
Dio Streuung dcr elektrischen Feldstarke
Die Streuung cr? der elektrischen Feldstiirke (3 (am Ort r und zur Zeit t ) ist
bekanntlich durch die Gleichung
-- Erwartungswert ((3 - (@>,)* = ( @ ) t - ((3):
(13)
a) Von Senitzkyz) wurde die optimale Wellenfunktion angegeben, die mit den Bedingungen (4) vertriiglich ist.
Annalen der P h p i k . 7. E'olge. Band 13. 1963
294
definiert. Da of als Erwartungswert des Quadrates eines Hermiteschen Operators stets positiv (oder hochstens gleich Null) ist, geniigt ea, den zeitlichen Mittelwert uz der Streuung
-~
_0 2 = at2 = (en?,- (@)f
(14)
zu betrachten und die dsraus folgende Unschiirfe n als ein MaR fur die Koharenz
des Strahlungsfeldes ~u benutBen.
Ails den Gln. (7) und (8) folgt sofort
und
auch
02
= ti w
y{Z1
c,
12 ( I *
+
a)
-I
1
2
c:
n
C,+l
y;T<
i")
(15')
geschrieben werden ksnn.
Dieser Ausdruck soll fur ein koharentes Feld weiter ausgerechnet werden,
d. h. unter den Voraussetzungen (4) uber die Koeffizienten c,. Zu diesem Zweck
entwickeln wir oz nach Potenzen von N-1 und beschranken uns bei der Berechnung auf die ersten beiden Terme (also die Ordnungen N1 und N o ) .
Zuvor formulieren wir die Eigenschaft ( 4 c) mathematisch genauer, indem
wir voraussetzen, daB die Abmeichung der Phasendifferenz an+l -a, von einem
n-unabhtingigen Wert OL nur von der GroRenordnung N-l ist,
an+ 1
- a,a = a
+0
(N-l)
.
(4c')
AuSerdem nehmen wir, schon um einfacher rechnen zu konnen, an, daD lcnl
beziiglich N geniihert:') symmetrisch ist :
ICN-41
= !CN+kI (1
+ 0 (N-l))
(k = 0, &I, r t 2 ,
*
.).
(4d)
Aus G1. (4a) folgt zuniichst, dal3 die Energieunscharfe von der GroSenordnung
ti w AN ist.
Wir berechnen nun den ersten Term der geschweiften Klammer in G1. (15').
Unter Beachtung der Symmetriebeziehung (4d) und der Normierungsbedingung
fiir die c, ergibt sich
4) Wir setzen hauptsachlich deswegen keine exakte Symmetrie voraus, weil (wie spater
deutlich werden wird) die Symmetrienur bis auf eine Abweichimg der Ordnung N-l erhalten
bleibt, wenn sich das Strahlungsfeld durch induzierte Emission andert. Mit (4d) sind wir
daher in der Lage, unsere Pormeln auch ohne weiteres auf das durch induzierte Emission
verstarkte Feld anzuwenden.
H . Paul: Die hbharenz der induzierten Strahlung
296
Die zweite Summe der geschweiften Klammer in Gl. (15') wird, wenn wir
-1 = 1/N
k
1 riach Potenzen von (k f 3)/N entwickeln,
+ +
+. / 1
yvc n*c n + i I / n + ~ = g ern i *
+kcN+n.+i~*(l+
ijx
kS-1
+o(N-~)).
(17)
Nun folgt &us den Gln. (4c') und (4d) die Beziehung
c%-k-1
CN-k
(1$- ()(N-')),
z
' C%+kcN+k+l
(18)
woraus sich wiederuni leicht die Relation
+
C%+k CX+k+l
+ +)= 0 P - l )
(k
(l!))
herleiten 1iiBt. Damit ergibt sich aus (21. (17)
c*, cn+11/;+1
= l/h' (1
4N)
1 2 c: c,+1+
+
2
also
1v*
c, cn+l v n
+
= ( N -/-
+) I
c z c,%+ 1
O(N-39,
12
+o(N-~).
(IT')
(20)
Wir erhalten so fur o2 gemiiB G1. (15')
-
I +c,*
C % + l 12)
+ OW1)
(21)
oder - auf Grund der physikalischen Bedeutung (gemiiB G1. (14)) der beiden
Summanden in Gl. (15') -~
0'
= (@'),(1 - i+c.*c,+i
,2)
+ O(N-').
(21')
Wegen des Bestehens der Schwarzschen Ungleichung
I?aU:b,l2
1
I ~ I c c , / b~, i 2~ . ~
{22)
ist o2 nichtnegativ (wie es sein muS); iiberdics kann man aus Gl. (22) sofort
schlieBen, daS o2 von Null verschieden ist, denn das Gleichheitszeichen in (32)
ist nur dann richtig, wenn b, = e a, gilt, was in unserem Fall c,+l = e c,
(mit e = 1)bedeuten wiirde und mit den Voraussetzungen (4)unvertriiglich
ist.
Zum SchluS dieses Abschnitts wollen wir noch eine quantitative Abschiitzung
von 9 durchfiihren. Zu diesem Zweck nehmen wir eine GauB-Verteilung fiir die
Koeffizienten c, an :
c, z-I c I e-ina
( a unabhiingig von n)
(23)
- ka
Ic,I= I C N + k I = f? ( A N ) ' .
I I
(tist
durch die Normierungsbedingung eindeutig festgelegt. )
Mit leichter Miihe findet man niiiherungsweise (im Sinne einer Entwicltlung
nach Potenzen von (AN)-l) fiir die Energieunschiirfe
An:
A U m t i o -2
(21)
296
Annalen der l'hyeik.
7. Folge. Band 12. 196.3
und fur die Unschiirfe a der elelrtrischen Feldstlrke (nach G1. (21'))
Damit wird
Hieraus erkennt man noch einmal deutlich den komplementaren Charakter der
beiden GroBen U und Q ; die Schiirfe der einen muB mit der Unschiirfe der anderen erkauft werden. Weiterhin lehrt G1. (26), daB fiir makroskopische Zustiinde
(d. h. im Limes sehr groBer Photonenzahl N ) die r e l a t i v e Unschiirfe von Energie und elektrischer Feldstiirke beliebig klein gemacht werden kann. In diesem
Sinne gibt es niakroskopische Zustiinde, denen ,,makroskopisch exakte" Werte
von Energie und Phase ziigeordnet werden konnen.
Wir zeigen noch, daB wir uns mit einer Unscharfe von Energie und elektrischer Feldstiirke, die G1. (26) befriedigt, tatsiichlich an der Grenze des quantenmechanisch iiberhaupt Moglichen befinden. Zu diesem Zweck fiihren wir einen
von Hei t l e r 6, angedeuteten Gedankengang konsequent durch, der dieHerleitung
einer Unschiirfebeziehung zwischen der Zahl N der Lichtquanten und der elektrischen Feldstiirke Q aus der Vertauschungsrelation fur die zugehorigen Operatoren zum Ziele hat.
Das iibliche Verfahren zur Gewinnung von Unschiirfebeziehungen geht aus
von der fur zwei beliebige Hermitesche Operatoren A und B gultigen Ungleichung
(Y
;
1
4Y> (Y I B21w> 2 I (Y IAB - BA I Y>12,
(27)
die sich unter Beachtung der Schwarzschen Ungleichung und der Tatsache,
daB der Imaginiirteil einer komplexen Zahl betragsmiil3ig nicht groBer sein kann
ala die Zahl selbst, leicht beweisen laBt ( s . z. B. Ludwigs)).
Wir identifizieren A und B mit den Abweichungen von N uncl 6 vom jeweiligen Mittelwert, y mit der Wellenfunktion @ ( t ) des Strahlungsfeldes und erhalten so aus GI. ( 2 7 )
= ( @ ( t )I ( N - (Ar))z I W ) )( W )I (@ - ( Q > t ) 2 I W ) >
1
2 I ( W )I @ - c2 N I@( t ) ) l2
beachtet wurde, daB der Kommutator [ N - (N),Q - (@)I
0%
(wobei
(28)
gleich
o N niit der EnergieDarstellung identisch ist - lautet der Kommutator [AT, c2]
[N, @] ist). In der N-Darst)ellung - die wegen U
= ti
( N Q - Q N)nn, = (n - m ' ) Qnnt,
(29)
und da nur die Matrixelemente Qnn,n+l
und Qna,n-l
einen von Null verschiedenen
Wert besitzen (8. Gl. (l)),sind die nichtverschwindenden Mat,rixelemente
des Kommutators durch
gegeben.
6,
6)
( N Q - Q N)n,n*l = T Qn,n&i
W. Heitler, The Quantum Theory of Radiation, 2. ed., Oxford 1950, p. GGf.
G. Ludwig, Die Grundlagen der Quantenmechanik,Springer 1954, S. 95f.
(297
H . Paul: Die Kohiirenz der induzierten Strahlung
297
Setzen wir dies in G1. (28) ein, so bekommen wir unter Verwendung der Gln.(2)
und (3)
1
(AN)2uf 2 ~ / e - i a r t r c ~ c n + l ~ R , n + l - e ic,c,*+&,n+l12.
~t~
(30)
Das Zeitmittel iiber die rechte Seite dieser Gleichung ist eine einfache physika1lische GriiBe, nfmlichx (@),2. Aus der Ungleichung ( 3 0 ) folgt somit (unt.erBeriicksichtigung der Zeitunabhiingigkeit von AN)
-
-
Da fur ein kohiirentes Feld (@2)t niiherungsweisedurch (&)f ersetzt werden kann,
entspricht die Beziehung (26) tatsfchlich dem Gleichheitszeichen der (streng
giiltigen) Unschfrfebeziehung ( 3 1 ) .
Die hderung der Streuung der olektrischen Feldstiirke durch induzierte Emission
Die S c h r iidinger -Gleichung des Strahlungsproblems lautet fiir den Fall,
dsB nur Lichtquanten einer ganz bestimmten Sorte 4 eingestrahlt werden und
nur e i n Atom vorhanden ist, in der Ho-Darstellung (Houngestiirter H a m i l t o n Operator des Gesamtsystem Atom
Strahlungsfeld), wenn wir dem Energiesatz widersprechende Terme von vornherein weglassen,
+
ifi&=h(Oa+
nm)a,+ ( a , n [ H w ~ b , ~ + l ) P n + i
+a&<%
nlHWI
b9
(32)
n, 1(4) Ya
(b,nlHw\a,n-l)~n-~.
~ ~ B , = ~ ( c o I , + A w ) P , +
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
(Die nichtangeschriebenen Gleichungen beschreiben die zeitliche h d e r u n g von
Zustiinden, bei denen auBer Quanten der Sorte 4 noch ein oder mehrere (spontan emittierte) andere Quanten A, %',. . vorliegen.)
Hier sind a,, fin und ya die Koeffizienten der Entwicklung der (Gesamt-)
Wellenfunktion nach den Eigenfunktionen von H,, :
.
y ( t ) = $a,(t) Ia, n> f
5 P,(t) I b, n ) + &ya(t)!
6, a, l(a) )
+ .-
(33)
(I
a ) Wellenfunktion des Ausgangs-, 16) des Endzustandes des Atoms ; In> Zustand des Strahlungsfeldes mit n Photonen der Sorte 4, (l(a)) Zustand mit
einem Photon der Sorte I. Die Punkte sollen weitere Zustiinde andeuten, bei
denen neben Lichtquanten der urspriinglichen Sorte noch (ein oder mehrere)
andere Quanten vorhanden sind.) tiwa, limb, hco, tioa bezeichnen in dieser
Reihenfolge die Energie der ZustZinde la>, b), eines Photons der Sorte A, und
eines Photons der Sorte A. H w ist der Operator der Wechselwirkung zwischen
Atom und Rtrahlungsfeld. Falls nur ein Elektron an der Ausstrahlung (bzw.
Absorption) beteiligt ist, lautet I P (in nichtrelativistischer Niiherung) bekanntlich')
I
H"=
-A@.$
(r).i -&P. q (!!A+ !lyq}
I-
(34)
(e Ladnng, m Masse, @ Impulsoperator des Elektrons, %(r)Operator des Vektorpotentials des Strahlungsfeldes).
298
Annalsn der Physik. 7. Folge. Band 12. 1963
Wir behandeln den ProzeB dcr induzierten Emission zuniichst in der ersten
Ordnung der Storungstheorie. Zur Zeit t = 0 befinde sich das Atom im Zustand
I aj und das Strahlungsfeld im Zustand @ = Z11c : In). Der Anteil der Losung
von G1. (32), der einer induxiertcn Emission im Zeitraum 0 . . . t entspricht, ist
durch 2 P n ( t ) b, n j gegehen, und die Storungstheorie liefert fiirp, ( t )den folgen11
I
den Ausdrurlt (s. z. B. Ref.'))
mit d m = OJ - (w,' - w,)
.
Nach G1. (34) liiDt sich die n-Abhangigkeit des
( b , n I EIVI a. n - I ) als Faktor ( n
n - 1) = 1/R/2w .
wir kiiiinen schreiben
( b , n iHml a , 11.- 1 ) = k M , vk
mi t8
Matrixelementes
abspalten, d. h.
(57)
(!Pa,!P,
Elektronenwellenfunktion des
Ausgangs- bzw. Endzustandes).
Wir denken uns die Phasen von !Po undY, (iiber die ja frei verfugt w-erden
kann) so gewiihlt, daB M,, reell wird.
Der nach Emission eines Lichtquants der urspriinglich vorhandenen Sorte
(Al) vorliegende Zustand des Strahlungsfeldes ist nach dem Obigen durch
beschreiben, wobei der Faktor fur die richtige Normierung (Norm @' = 1)
zu sorgen hat. Auf Grund der Normierungsforderung fur @' sind wunabhangige
Faktoren von ( t ) hedeutungslos, d. h. wir ltonnen -entsprechend den Gln. (35)
und (3G) - die Beziehung (38) ersetzen durch
ZII
QY
G
2
n
&(t) In>
q'
n
e--inml
1;/
con-lln).
(38')
Vom Verfasser wurde kiirzlich eine andere Losungsmethode fur das Gleichungssystem (32) vorgeschlagen, die fur den Fall eines starken iiuDeren Feldes
anwendbar ist. Die Wahrscheinlichkeit einer spontanen Emission (also eines
Lichtquants il
A,) ist dann vernachlassigbar, d. h. alle Terme in (32), bei denen
ein Photon der Sorte A
Al vorkommt, konnen gestrichen werden. Nach Ref.s)
ergibt sich so
+
7)
8)
+
L. I. S c h i f f , Quantum Mechanic@,Rew York l!J%.
H. Paul, Ann. Physik 11, 411 (1963).
H . Puul: Die Koharenz der induzierten Stralilung
299
Wir setzen nun voraus, dafi das urspriinglich (also zur Zeit t = 0) vorliegende
Strahlungsfeld kohiirent ist, i . e. da13 die Koeffizienten c: die Eigerischaften (4)
besitzen. Man kann dann in (38') und (39) die Terme
und
I/;
nach Potenzen von A7-l entwickeln und erhiilt so fur die Losung (38') wie auch
fur die Losung (39) eine Darstellung der Gestalt
Cb+l+k(t)
= e--i(N+l+k)mtcC f l k k (1 +& b
+ O(N-')).
(40)
Der genaue Wert des von k unabhiingigen reellen Entwicklungskoeffizienten E
(der natiirlich in beiden Fiillen verschieden ist - fur die Losung (39) hiingte,
und damit auch 5, uberdies [schwach] von der Zeit t ab) kann ohne goBe Muhe
angegeben werden. Fur die folgende Diskussion geniigt aber vollig die Kenntnis,
daB E von der Ordnung N-l ist, wie man leicht narhpriift. (Im Fall der Losung
(39) hat man dabei zu beachten, daB wegen der Periodizitiit der Sinusfunktion
f(q)*
+
die Zeit t durch die Bedingung
M%,n t < 2 n eingeschriinkt werden
kann.)
Wir hestimmen nun zuniichst den Wert der Normierungskonstante iin G1. (40))
den wir als positiv voraussetzen konnen, da ein allen Koeffizienten ck gemeinsamer Phasenfalrtor keine physikalische Bedeutung hat. Offenbar mu13 sein
Auf Grund der Eigenschaft (4d) der Koeffizienten c t ist,
d. h. wir haberi (da E von der Ordnung N-l ist)
t = 1 + O(N--2)
( 42)
und konnen damit Gl. (40) vereinfachen zii
C h + l + k ( t ) = e--i(N+l+k)mt& + k ( l
+ Eb f
o(N-')).
( 40')
Bus dieser Gleiehung ist unmittelbar ersicht,lich, daB sich die Eigenschaften (4)
von den Koeffizienten c t auf die Koeffizienten ck ubertragen ; der Unterschied
besteht nur darin, dalj die Koeffizienten ck bezuglich N
1 (statt N ) ihrem
Betrage nach (geniihert) symmetrisch sind, und daB die relative Phase
ak+l- ol; zwischcn zwei henachbarten Koeffizienten um den Wert w t zugenommen hat, d. h. daB sich die (klassische)Phase des elektromagnetischen Feldes
um wt vergro13ert hat, wie nicht anders zii erwarten war.
Die im vorhergehenden Abschnitt hergeleitete Formel fur die Streuung u2
der elektrischen Feldstiirke ist somit ohne weiteres auf dasjeriige Feld anwendbar, das nach einer induzierten Emission (in einem IrohLrenten Feld) vorhanden
ist.
+
300
Annalen der Phyrrik. 7'. Folge. Band 12. 1963
Da genau ein Photon emittiert wurde, ist klar, daO die Energieunschiirfe
durch die Emission nicht veriindert wurde. Die Streuung d anach der Emission
hat (entsprechend Gl. (21)) den Wert
U'P=fiwy(N+;)(
,4us G1. (40') folgt
2 cL*cA+l=
l-~+*c:+l
c%*+~~ ' & + k +(1
~
IB) $- O(N-1).
(43)
+ (2k + 1.) + 0 (N-a)}
E
oder, unter Beachtung der Beziehung (19),
2
n c;*
= e--i.mt p v + k c % + k + l { l +
O(N-9).
Damit kann statt (43) geschrieben werden
(43')
und wir bekommen fur den Zuwachs der UnschLrfe u infolge induzierter Emission (genau) eines Quants den Wert
U
da = 2N(1
+ O(N-1)).
(44)
Genau die gleiche Formel gilt auch dann, wenn die induzierende Strahlung
(viillig) inkohtent ist. In diesem Fall ist die Streuung der elektrischen Peldstiirke maximal, was genau dann eintritt, wenn die Zahl der Photonen scharf
ist, d. h. wenn nur der Koeffizient c~ von Null verschieden (auf Grund der Normierungsbedingung also betragsmiifiig gleich Eins) ist. Entsprechend G1. (15')
haben wir fur die Streuung
der elektrischen Feldstiirke eines inkohkenten
elektrischen Feldes
die Zunahme der Unschiirfe 0, die ihre Ursache in der induderten Emission eines
Lichtquants hat, ist somit gleich
Sowohl im Fall eines kohkirenten als auch eines (vollig) inkohkenten 5uBeren
' proportional (mit dem gleichen
Feldes ist der Zuwachs der Unschiirfe von 3
Proportionalitiitsfaktor!) der vor der Emission bereits vorhandenen Unschiirfe,
wlihrend die Unschiirfe der Energie unveriindart bleiht. Nun ist f i i r nicht zu
kleine Werte von AN, d. h. der Unschiirfe der Zahl der Photonen, u selbst
wesentlich kleiner als 5 - der Vergleich der Gln. (21) und (45) liefert ja
(nach G1. (25)) - ,
(47)
daher ist die Zunahme der Unschiirfe der elektrischen Feldstiirlre infolge induzierter Emission im Pall der Kohiirenz der einfallenden Strahlung wesentlich
geringer als im Fall der Inkohiirenx. (Anschaulich gesprochen, wenn die ankommenden Lichtquanten bereits in einem stark geordneten (eben kohlenten)
I€. Paul: Die Koharenz der induziertelt StraMung
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Zustand sind, fugt sich dw hinzukommende Lichtquant in die bereits vorhandene
Ordnung ein.) In diesem Sinne kann man die induzierte Strahlung als kohiirent
zur einfallenden (bereits kohlrenten) Strahlung bezeichnen.
Herrn Prof. Dr. G. R i c h t e r miichte ich fur die Anregung zu dieaer Arbeit
und, ebenso wie Herrn Dr. W.B r u n n e r , fur viele interessante Diskussionen
herzlich danken.
B e r l i n -Adlershof, Deutsche Akademie der Wissenschaften zii Berlin,
Institut fur spezielle Probleme der theoretischen Physik.
Bei der Redaktion eingegangen am 21. Marz 1963..
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