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Die Lagrangesschen Koordinaten als Feldvariable in der allgemeinrelativistischen Kontinuumsmechanik.

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H.-G. SCHOPF:LAGRAgGESChe Koordinaten als Feldvariable
121
Die LAGRANGESChen Koordinaten afs Fefdvariabfe
in der a f /gemeinrefativistischen Kontinuumsm echanik
Von HANS-GEORG
SCHOPF
Inhaltsubersicht
F u r konservative mechanische Kontinua sind die allgemeinrelativistischen Bewegungsgleichungen mit den EULER-LAGRANGESChen Differentialgleichungen eines Variationsprinzips identisch, wobei als Feldvariable die LAGRANGESChen Koordinaten benutzt werden.
I n einer fruheren Arbeit 1) wurde die allgemeinrelativistische Kontinuumsmechanik fur konservative Systeme als eine Feldtheorie charakterisiert, in der
die LAGRANGESChen Koordinaten ap als Feldvariable fungieren. Da wir aber die
Variation des Wirkungsintegrals beziiglich dieser GroBen nicht in der gelaufigen
Weise behandelt haben, konnte der Eindruck entstehen, als ob an dieser Stelle
die Analogie zur Feldtheorie nicht vollstandig ware. Daher wollen wir jetzt zeigen, daB die in der iiblichen Weise gebildeten EULER-LAGRANGESChen Differentialgleichungen
mit den Feldgleichungen
T:;e= 0 , T p v = w U P U’ - Spy
(2)
identisch sind.
Hierbei ist fur L entweder nach (6,2) Q @ oder nach (6,9) und (6,13) e !P
einzusetzen. Somit kann L aufgefal3t werden als Funktion
L = L’(yik, a k ) = Q @ = w ,
(3)
oder als Funktion
L = L” ( yik ,T,a k) = e Y = w - T 17 e .
Wegen ( 3 , l l ) bzw. (6,lO) und
(4)
sowie unter Beriicksichtigung von (6,12) nnd ( 6 , l l ) konnen wir schreiben:
l) H.-G. SCHOPF,
Ann. Physik 12,377 (1964). Wir verwenden die Begriffe und Formeln
dieser Arbeit, auf welche wir mit ihren Nummern verweisen. Dabei ist eine Verwechslung
mit den Formeln der vorliegenden Arbeit nicht zu befurchten, weil diese keine Paragrapheneinteilung besitzt.
122
Annalen der Physik. 7. Folge. Band 14. 1964
bzw.
mas mit (1,lj)und ( 2 , l ) zu
fuhrt. Dementsprechend gilt :
Aus y i k = psfpf sag berechnet man mittels der vorstehenden Formeln leicht :
aYik
a
r
B
- - 2vppci 9%) sag s:
(10)
*
8%
- @A
Td.+
gtJ. -
sxrl
+ wxrl
(12)
setzen, woraus wegen ( 2 , 2 ) und (2,8)
0 x 1
(13)
UA = 0
folgt.
Wir setzen diese Ergebnisse in (5) bzw. (6) ein und erhalten:
ar'
~
- - pz sap 8,"pi p{ a:%afA (
-
aa;
+ T e 7 9%') + a,@Q q u
e sayp
B . y
(15)
Es ist aber pl a:, pf afA bis auf Summanden, welche proportional zu U' bzw.
S: S f . Diese Summanden m-erden in (14), (15) wegen der Kofaktoren sap s: keinen Beitrag liefern. Somit kommt, wenn wir ( 2 , l ) und (13) beuBsind, gleich
H.-G. SCHBPF:LAGRANGESChe Koordinaten als Feldvariable
rucksichtigen :
aL'
123
= -p;0:,
2%
afif
-
8%
+ :S T
= - 9; (0:+ SX T
= - p:
(@:
Q
7 - a.8 c, 7 u@&)
7 - a , p SB, Q 7 ue).
(17)
Nunmehr tatigen wir im Hinblick auf die Tatsache, da13 die up anch die Bedeutung von speziellen Koordinaten haben, folgende Umformung :
Beachten wir nun
sowie
so reduziert sich (20) auf
Q
124
Annalen der Physik. 7. Folge. Band 14. 1964
Operieren wir hingegen mit der LAGRANGE-Funktion L“,so ergibt sich ein Ausdruck wie (20), jedoch auf der rechten Seite mit einem additiven Zusatzterm
D, E y;
1
{- I/-s ( T 7
- 3 T 7 e I/?
9%’ %,I,~
+ 1/T e q ye + G e rl T,a
+ (6
T7
d! e 7
av,”
+ 1 / - s ( m e 7 -a,, e 7 ue)2
.
a
t
8,
e
aJa
“,e)
(~/-sa,g
@),a
(24)
Beachten wir, da13
-
I/-S ( T 7
1
-3 T e 7
gxn,,
+(I/--g~v
@),a
0
ist, sowie, daIj wegen der hier vorauszusetzenden Beziehung (6,15)
- ( ~ ‘ T a ,ea7 U Q ) ,=
~ -I/=@
=
-I/TP
7
~
,
7 ue a , a e
+ I / T e 7 a , e u:a
a
gilt, und formen wir schlieI3lich den letzten Term von (24) gemall (21) um, so
wird sich (24) zu
D, =
7 ] / T { Turaux
+ a,,u:a + ( T ur + a,,)u’.
aSa)
vereinfachen.
Nun ist aber
-
1
(. roe
ye a,na -3
- a,,
$0
+ T u,) u pe a,nLy T u:a u,,
= - (a,,
womit sich
Utuxung,n,,)
J
r
e
-
D, = 0
ergibt. Damit fiihrt das Variationsprinzip auch bei Verwendung von
zu (23). uberschiebt man diese Gleichung mit -a: so resultiert
L”
Greif s w a l d , Institut fur Theoretische Physik der Universitat.
Bei der Redaktion eingegangen am 4. Dezember 1963.
wieder
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lagrangesschen, kontinuumsmechanik, die, feldvariable, der, allgemeinrelativistische, als, koordinat
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