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Die Lehre von der Brechung und Farbenzerstreuung des Lichts an ebenen Flchen und in Prismen in mehr synthetischer Form dargestellt.

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241
111. Die Lehre oon der Brechung und Farbenzerstreuung des Lichts a n ehmen Ffiichen und in Prismen, in mehr synthetischer Form dargestellt;
oon E . R e u s c h .
S e i t lauger Zeit bediene ich mich ziir Erlauterung des bekannteri Hauptgesetzes d e r Lichtbrechung und seiner Consequeiizen einer Darstellungsweise, welche, wie ich mich
erst vor Kurzem uberzeugt hahe, die Gesetze der Lichtbrechuiig in Prismen, die Lehre vom Achromatismus, sowie die
einfachsten Falle der Doppelbrechung in recht anschaulicher W e i s e darzulegen geeignet ist. In einem spateren
Aufsatze uber den Schiller des Labradors u. s. w. werde
ich von der hier darzustellenden Methode ebenfalls Gebrauch machen l ) . Moge der letztere Umstand die Aufnahlne
dieser unbedeutenden, nur Bekanntes enthaltenden Arbeit
in diese Annaleu einigermafsen rechtfertigen.
Brecliung an einer ebenen 611cBe.
5. 1.
Es sey OA (Fig. 1 Taf. 11) die Trennungsebene zweier
durchsichtiger Medien, uiiteu das starkere brechende, L 0
ein einfallender Lichtstrahl, dem der Brechuogscoefficient n
entspricht , 0 N das Einfallsloth, ,L. L 0 N = a der Einfallswinkel; der Brechungswinkel MON' = p wird dann bekanntlich d u r t h die Gleichung
sin a = sin ,9
gefunden. Zieht man im diinneren Mediuin mit beliebigem
Halbmesser 0L einen Kreis aus. 0, ferner einen concentrischen, dessen Halbmesser On sich zu 0 L verhalt wie n : 1,
verlangert endlich den gebrochenen Strahl M 0 ruckwarts
bis zum grofseren Kreis in I , so besagt die obige Gleichuug, dafs die Abstande L P und l p der Punkte L und 1
voin Eiufallsloth gleich sind.
1 ) Dieser Aufsatz ist bereits im Bd. CXVI S. 392
PoggendorfTs Ann. Bd. CXVII.
nii~getbeilt.
16
P.
242
1st umgekehrt der Strahl N O im dichteren MitteI gegehen, so wird man deuselben bis zuin Wseren Kreise in I
verlsngern, durch 1 eiiie Parallele 1L mit O N ziehen und
dadurch den zugehorigen Strahl 0 L im diinneren Rlittel
best i in m en.
Die Operation durch welche 1 aus L oder L aus I abgeleitet wird, konnen wir als eine Projection von einem
Kreise auf den andern nach 0 N als Projectionsrichtung ansehen. Die Linien L O , l o von den zusammengehorigen
Projectionen 1 und L nach dem Einfallsprinkt liefern somit
jederzeit die Richtungeu eines einfallenden und des zuge.
hiirigen gebrochenen Strahls.
Wachst der EiufaIlswinkel um L O L ' , so wgchst der
Brechungswinkel uni 1 O l ' , wenn L' und 1' als Projectionen zusammengehoren. Die Projectionen der Bligen L L '
und ZZ' auf der Trennungsfl~che O A sind gleich. Sind die
Bagen verschwindend klein, so ist die Gleichheit ihrer Projectionen ausgesprochen in der Gleichung
LL' cosn = l l ' c o s p
woraus, wenn L L' = da, 11' = dj3 geselzt wird, folgt
dor
-_
ncospOp
- __ - O P '
cosa
eine Relation, die man unter hnderem zur Theorie des Regenbogens braucht.
Zieht man im Schnittpunkt A des inneren Kreises mit
der Trennungsflache eine Tangente A a bis zum aufseren
Kreis, so ist A, a das iiufserste Paar zusainmengehtiriger Projectionen und a On = N' OB der griifstmogliche Brechungswinkel, der somit der streifenden Incidenz (a = 90°) entspricht. Umgekehrt wird ein im dichteren Mittel liings B O
gehendcr Strahl streifend austreten, und ein Strabl CO der
mit ON' einen griifseren Winkel macht als OB, der somit den gr6fseren Kreis in eiiiem Punkte i trifft, den1
keine Projection auf dem inneren Kreise entsprecheu kann,
wird nicht austreten, sondern nach 0 C' reflectirt werden.
Die Richtung P O (Fig. 2 Taf. 11) fur welche das reflectirte Licht OR moglichst polarisirt wird, ist bekanntlich die-
243
jenige, fur welche der gebrochene Strahl OM senkrecht zum
reflectirten OR steht. Diefs fuhrt aber auf die Gleichung
tanga = n. Zieht man daher in den Punkten N und B
Tangenten au die betreffenden Kreise und verbindet deren
Durchschnitt P mit 0, so ist P O die verlangte Kichtung.
Ihr Schnitt L mit dein inneren Kreis auf den aufseren in I
projicirt, giebt die Richtung des gebrochenen Strahls.
8. 2.
Die Betrachtungen des vorhergehenden Paragraphen lassen sich dadurch noch etwas erweitern, dafs man urn 0
zwei Kugeln beschreibt, dereu Halbmesser sich wie 1 :n
verhalten: je .zwei Punkte L und I ihrer Oberfllcheu, die
auf denselben Parallelen mit dem Einfallsloth liegen, geben
mit 0 verbunden Kichtungen LO und ZO, welche als einfallender und gebrochener Strahl zasammengeh6ren. W i r
wollen hieran eine Anwendung auf den Fall machen, dafs
ein kleines bei 0 liegendes Flachenelement einfaches Licht
vgn der Sonne erhalte. Ein Kegel dessen Spitze in 0 liegt
und dessen 'Mantel die Sonne umhiillt, schneidet auf der
inneren Kugel ein Kreischeu 22 aus; man projicire nun dessen Umfang auf die aufsere Kugel nach w uud betrachte
diese Projection als die Basis eines zweiteii Kegels, dessen
Spitze ebenfalls in 0 liegt; alsdann enthalt der zweite Kegel die aufseren Grlnzen aller gebrochenen Strahlen.
Brechuog des Lichts im Prisma.
5. '3.
W i r setzen homogenes Licht voraus und verfolgen zuerst das Licht, welches in einein Normalschnitt des Prisma's
lauft. Es seg (Fig. 3 Taf. 11) S O U der Querschuitt desselben, On die Normale der Eiutrittsflache, On' die der
Austrittsfllche. Vor Allem bemerken wir, dafs die Betrachtungen sehr vereinfacht werden, wenn man nicht sowohl
den W e g eines irgendwo auf 0s eintretenden Strahls verfolgt, sondern sich nur niit den Strahlen beschaftigt, welche unendlich nahe bei der Prismakante einfallend gedacht
werden. W i r erhalten so alle Gesetze der Richtungsande16
*
244
rungen der Strahlen und hiermit beschaftigen wir uns hier
allein.
1st iiuu n der Brechungscocfficient des einfallenden
Lichts, so beschreibe man aus 0 zwei Kreise deren Halbmesser 0s und 0 s sich wie 1 : n verhalten; der Kiirze halber moge der erste Kreis l ~der
, zweite 1)Kreis nfc heiken. Zieht man nun im Kreis n einen beliebigeii Durchmesser Zm iniierhalb gewisser sogleich nalier zu bestimmender Grsnzen) und projicirt I und m auf den Kreis I , den
ersten iiach der Eiiitrittsnormalen O n , den zweiteli nach
der Austrittsiiornialeii On’ als Projectioiisrichtuiig und verbindet die Projectionen L uiid M mit 0, so ist O M der
austretende Strahl, welcher dem eiutreteuden L 0 entspricht.
Der durch den Bogen LPM gemessene VT’iokel L O M mag
der Strahlenwinkel heifsen.
Zur Bestiininung der Grauzen ziehe man in S urid U,
wo Kreis 1 die Prismaflachen trifft, die Parallelen Ss mit
O n , UU mil On‘: alsdann entspricht die Richtung sot der
streifenden Iiicidenz langs S 0 als gebrochener Strahl und
die Projectioii nach O n ‘ von t auf T bestimmt die Richtung 0 T des austretenden Strahls. Verlangert man aber
u 0 bis g, projicirt u in V nach O n , so ist V O die Eintrittsrichtung zu welcher ein streifender Austritt Iangs 0 U
gehort. Alle Richtungen itinerhalb des Winkels S 0 V k6nneii Richtungen des Eiritritts werdeu, und dieseii entsprechen Austrittsrichtungen innerhalb des gleich grofsen W i n kels UOT. Ebenso bestimmt der Winkel S O U den Raum
in welchem die Richtuiigeii aller im Prisma gebrocheneii
Strahlen liegen. W a r e der brecheude Winkel des Prismas
gleich dem grofsten Brechungswiiikel s On, so wiirde zum
streifenden Eintritt ein iiormaler Austritt geh6ren. Will
man fur gewdhiiliche Incideiizeii noriiialen Austritt, s’o mufs
der Prismenwinkel kleiiier seyn als der grbfste Brechuugswinkel.
Eine ausgezeichnete Richtung des Durchmessers lrn ist
aber diejenige, welche senkrecht steht zur Halbirungsliiiie
O P des Prismawinkels, ii~mlichab. Den Punkten a und b
entsprecheii je die Projectionen A und B auf Kreis 1; A 0
))
245
und O B liegen symmetrisch gegen O P , E i n - und Austrittswinkel bezogen auf die Normalen O n und O n ' sind gleich,
ebenso die entsprechenden Brechungswinkel a On, b On'.
E s lafst sich aber zeigen, dafs fur diese Incidenz der den
Strahlenwinkel A O B messende Bogen A P B grofser ist als
fur jede andere Incidenz. So ist z. B. fur den beliebigen
Strahl L 0
LPM = A P B - A L + B M ;
nun sind A L und B M die Projectionen d e r gleichen Bdgen a1 und b m , ferner liegt a1 weiter von n ab, als m b
von n', daher ist A L ) BM, somit in dem vorhergellenden
Ausdruck rechts die Abnahine grofser als die Zunahme,
L P 111 < A PB.
also
Fiir cinen dem Einfallsroth naheren Strabl L'O hat man
ebenao:
LPM'=APB+AL'BM',
aber aus gleichen Grundeii BM' > AL', also ebenfalls
L' P 111' < A P B.
Fiir die streifende Incidenz ist
SPT=APB- AS+BT,
ahep A S sichtbar > als B T , folglich S P T < A P B .
J e naher aber L b e i - A gedacht wird, uin so unbetrlchtlicher fallen die Unterschiede zwischen den Bogen AL und
B M aus, denn j e kleiner die auf entgegengesetzten Seiten
des Durchmessers a b liegenden gleichen Bogen a2 und brn
sind, uin so kleiner ist dcr Einflub, den ihre verschiedene
Lage gegen die Einfallslothe On und On' auf die Verschiedenheit der Projectionen A L uiid B M hat. D e r grofste
Strahlenwinkel A 0B geht daher stetig in die. benachbarten kleineren iiber. Bekanntlich iiennt man aber das Supplement eiiies Strahlenwinkels, die Ablenkung fur eiiie gegebene Incidenz; es ist daher die Ablenkung ein Kleinstes
fur gleichwinkligen Ein- und Austritt.
$. 4.
Urn auch Lichtstrahlen zu verfolgen, welche das Prisma
nicht iin Normalschnitt durchlaufen, sefzen wir, nach Annlogie des in $. 2 Gesagten, an die Stelle der Kreise I und
n, Kugeln voii diesen Halbmessern, ziehen einen Durch-
246
messer 1 O m in Kugel n, projiciren die Punkte 1 und rn,
den ersten nach On, den zweiten nach On’ auf die innere
Kugel in L und M, so ist allgemein L 0 die Richtung des
einfallenden, 0 Jf die des austretenden Strahls.
Auf ein sehr kleines Prisina bei 0 falle Licht von einem sehr fernen leuchtenden Karper. Von 0 aus gesehen
entspreche demselben auf Kugel 1 das Bild 9. Die Projection von fi nach On auf Kugel n sey w und w ’ das
diametrale Gegenbild von w . Die Projection YOU w ’ auf
Kugel I nach On’,namlich
bestimmt mit 0 als Spitze
einen Kegelraum, der alle Strahlen nach ihrem Durchgang
durch’s Prisma enthalt.
Der leuchtende Karper sey die Sonne; der von ihrer
Mitte kommende Strahl liege im Normalschnitt rind habe
iiberdiefs die Richtung A 0,fur welche die Ablenkung ein
Kleinstes wird; A O L sey der scheinbare Halbmesser der
Sonne. Drehen wir nun O L um O A als Achse, so schneiden wir aus Kugel 1 ein Kreischen f;! aus; diesein entspricht auf Kugel n eine Gestalt w als Projection nach On,
welche sehr nahe eiue Ellipse seyn wird, deren Achsen LL’,
12’ sind, die letztere die kleinere. Das diametrale Gegenbild w ’ von w , giebt auf Kugel 1 nach On’ projicirt, eine
Gestalt f;!’, die nur sehr wenig von dem Kreise ,Q verschieden sein kann.
a’,
8. 5,
Es ist aber von Interesse und fur die Theorie der Nebensonnen unerlafslich , einen einzelnen Strahl, der schrag
durch ein Prisma lauft, genauer zu verfolgen. In Fig. 4
Taf. I1 seyen wieder uin 0 die Kugeln 1 und n beschrieben, O n und On’ wie friiher die Normalen der Eiu- und
Austrittsflache. Q sey nun ein arif Kugel 1 r~ordem Normalschnitt liegender Punkt und Q 0 somit ein schrag einfallender Strahl, der mit dem Normalschnitt den Winkel sp
inache, Man lege nun durch 0 Q und On eine Ebene,
welche die Kugeln nach zwei Kreisen schneidet, und klappe
die Ebene Q On uni On samt den Kreisen in dem Normalschnitt. Hiedurch komnit Q nach Q’ auf Kreis 1. Zieht
247
man ferner die Gerade Q’A’ parallel On und ein Raum
Qil+ Q’d’, so ist il iin Raum die Projection von Q auf
Kugel n. Die beiden Puukte Q und il stehen vom Normalschnitte urn dieselbe Grofse sin y ab. Dem Punkt A diametral gegenbber (hinter dem Normalschnitt) liegt Punkt p ;
eine Ebene durch O p und On’ gelegt und heraufgeklappt
um On’, bringt p nach p’ auf Kreis n und hieraus ergiebt
sich wie vorhin zunachst R’ und dann R als die Projection
von p auf Kugel 1 und daher OR als austretender Strahl.
Man bemerke, d a t von den bisher in Betracht gezogenen Punkten nur Q, 1, p, R aufserhalb des Normalschnitts
liegeu und zmar die zwei ersteii vor, die zwei letzteren
hinter demselben. Im Folgenden haben wir aber Veranlassung, die Projectionen dieser vier Punkte in dem Normalschnitt zu benutzeu; sie mogen Q , A, p a R, heifsen.
Es ist also z.B. O Q = 1, O Q , =cosy, OR=n, A 1 , =
shyp, Oil, = vnz sin2 y. Nach diesen Vorbereitungen
ist es nun leicht die zwei Hauptgesetze fur’ den schiefen
Durchgang des Lichts durch’s Prisma aufzustellen.
Eininal haben die Punkte A, x , p und folglich auch
die Punkte Q und R einerlei Abstaud sinrp voin Normalschnitt; es sind daher die Strahleii Q 0 und O R diefsund jenseits des NormaIschnitts gIeich gegeii denselbeu geneigt, woraus ferner folgt
O Q , = OR, = c o s y .
-
Ferner lafst sich erwarten, dafs fur die Richtungen der
Projectionen OQ,, und OR, der schiefen Strahlen in den
Normalschnitt eine Gesetzmafsigkeit existire. Zu diesem
Zwecke verlangere man diese Projectionen, die erste bis L,
die zweite bis M , ziehe durch L eine Parallele mit On
bis zum verlaugerten o h , in I ; ebeiiso durch M eine Parallele mit On’ bis zuin verliingerten Op” in m.
Es lafst sich nun vorerst leicht zeigen, dafs oZ= O m
ist; denn die zwei Paare ahnticher Dreiecke geben
01 : O h , = O L : O Q ,
O m :O p , = O M :OR,,,
248
woraus, wegeii Uebereinstiinmung der letzten drei Glieder
beider Proportioneii 01 = O m folgt.
Aus der ersten Proportion ergiebt sich aber
woraus, weiiii 01 = n l , gesetzt wird,
n12 1 = (n' - 1) sec2 y
sich ergiebt.
Die Strecke 01 hangt somit nur voii n und sp ab, behalt
daher denselben Werth fur alle schiefen Strahlen Q 0,welche einerlei Winkel init dein Noruralschoitt inachen. Be
schreibt man daher aus 0 init 01 = n, einen Hiilfskrcis,
zieht dariii &en beliebigen Durchniesser Zm und projicirt 1
nach O n in L, m iiach On' in M, so sind L 0 und O M
znsammengeharige Proportioilen der schiefen StraIileii 0 Q
und 0 R, welche diefs - und jeiiseits des Norii~alschnitts
1 die breden Winkel sp mit demselbeii inachen. Da n7
chende Kraft einer Substanz voin Brechungsco~fficienteiin
heifst, so kaon inan auch sagen, die Projectionen der schiefeii Strahlen laufen wie Strahlen ini Norinalscbnitt eirics
Prisma, dessen brechender M'iiikel gleich ist dem des angewandteii, aber desseii Substanz eine iin Verhdtiiifs voii
I :sec7 'p grofsere brechende Kraft hltte I ) .
-
-
Farhemerstreuung bei der Rrechung an einer ebenen Fliiche.
5. 6.
1st das einfallende Licht zusammengesetztes, so tritt ail
die Stelle der Kreise oder Kugeln voin Halbmesser n eine
Reihe von Kreisen oder Kugeln, welche den Brechungscogfficienten der einzelnen Bestaiidtheile des einfallenden
Lichts entsprechen. W i r betrachten insbesondere den Fall,
dafs zwei beliebige Farbenstrahleii nach derselben Richtung
L 0 Fig. 5 Taf. I1 eintreten. Es ist alsdanii nicht unpassend, diesen zwei Strahlen eiuen dritten in Gedanken beizugesellen, desseii Brechungs'coefficieiit n das arithmetische
Mittel ist aus deli Brechuiigscoefficienten der zwei gegebe1 ) R r a r n i s , The'orie des h u h ; Journ dr 1'Gcob p o l y t . T. X Y I I I .
249
nen Farben, so d a b diese letzteren durch n ==
! v vorgestellt
werden konnen. Legt man z. B. fur die in der nachfolgenden Tabelle aufgefuhrten vier Stoffe die Spectrallinien
B und H zii Grunde, so erhalten n und Y die nachstebenden abgerundeten Zahlenwerthe:
n
V
1,337
0,007
Wasser
1,536
0,010
Crownglas
1,649
0,022
Flintg I a s
Schwefelkohlenstoff
1,660
0,042
Beschreibt inan also z. B. den Kreis 1 mit einein Halbmesser von loomm,so erhalt der Kreis n fur die mittlere Farbe
166'"InHalbniesser und voii diesein stehen die den Farbenstrahlen B und H entspreclienden Kreise je uin 4,2"" ab.
Es sey nun (Fig. 5 Taf. 11) L O ein die drei Farben enthaltender Strahl, so enkprechen dein eineri L die drei Projectioneii r, Z, 2, auf den Kreisen n, n & v ; diese Projeciionen mit 0 verbunden und itis dichtere Mittel verlangert
erbalt man den Farbenbuschel O R M V . Das Dreieck Ore,
samint seiner Mittellinie 0 1 giebt ein vollstandiges Bild der
obwaltenden Verhdtnisse; so sieht man sofort, dafs LW01
< Z O r , oder dafs 0111 etwas naher bei V als bei R liegt.
D a m erhalt man einen recht brauchbaren Naherungswerth
fur den Zeratreuungswinkel r Ow = 5. 1st nainlich n OZ=p
der Brecbungswinkel der mittleren Farbe fur die Incidenz
L O N = a , so hat man zieinlich nahe, und zwar uin so naher, je kleiner p und v ,
o r sin p = n c
w r cos p = 2 v ,
woraus
2 Y
5=
a = 45"
folglich fiir sehr kleine Iucidenzen
a.
Fur Schwefelkohlenstoff und
erhalt inan durch
directe Berechnung der Winkel r On utid 9 On, <=1"21'59",
mit Forinel ( 1 ) = 1 ' 21 ' 54", init der letzten Formel, = 1* 22'.
Bis zur streifenden Incidenz, wo 5 seinen griifsten W e r t h
250
f o g erhtilt, wird man natiirlich die Formel (1) nicht ausdehnen wollen.
W i r betrachten nun einen gleicherweise zusammengesetzten Strahl P O der vom dichteren Mittel ins dunnere geht.
Seine Verlangerung nach Aufsen trifft die aukeren drei
Kreise in den Punkten T’, q, d , welche auf Kreis I projicirt die Austrittspunkte R’, Q, V ’ und den Zerstreuungswiiikel R’O Y’ = 5’ bestimmen. Hier ist Q V’ etwas gr0h e r als QR’. Ferner liefert die Figur vermage der Gleichheit der Projectionen von w‘r’ und V ’ R ’ auf die Treuniingsfllche OA die nahe richtige Relation, 2 v s i n p = ~ ’ c o s a ,
oder
5’ = 2v
1L a. Verglichen mit dem entsprefur 5, ergiebt sich daher c ’ = n c , d. h.
oder fur kleine a,
chenden Werth
fur gleiche aber kleine Winkel des Ein- oder Austritts ist
daher die Zerstreuung beim Austritt das nfache von der
beim Eintritt.
-.
Die Tangente ih A’ an Kreis 1 bestimmt auf Kreis n
den Punkt a’ und damit die Richtung GOa‘, fur welche die
mittlere Farbe streifend austritt. Ginge Iangs G 0 Licht
von allen Brechbarkeitsgraden zwischen n v nod n +v,
so wiirden sich alle Farben von kleinerer Brechbarkeit
fiber den Bogen A’J, Projection von a’i,ficherfarmig verbreiten; die Farben von starkerer Brechbarkeit wiirden
aber, weil der Strecke a’h keine Projection auf Kreis 1
entsprechen kann, nicht austreten; sondern alle nach derselben Richtung 0 G’ als ein Strahl (mit vorherrschendem
Blau) vollstandig reflectirt werden.
Endlich bestimmt die Tangente in N an Kreis 1 durch
ihre Schnitte g , m, ‘p mit den Tangenten an die Kreise
n, n+v bei B, die Richtungen g 0,rn 0,‘p 0,nach welchen diese Strahlen verschiedener Brechbarkeit durch Reflexion polarisirt werden.
-
25 I
Farbeozerstreuuog im Prisma.
5. 7.
Ein zusammengesetzter Strahl S 0 (Fig. 6 Taf. 11) falle
im Normalschnitt unter dem Winkel S O n = a auf das
Prisma; s On =p sey der zugehbrige Brechungswinkel fiir
die mittlere Farbe. Die projicirende Linie Ss schneidet
die Kreise n =!= v in x und y. Man ziehe nun den Durchmesser s t und lege durch t die ‘Linie x’y‘ parallel x y ;
x’ und y’ sind d a m die Gegenbilder voii x and y und die
Projectionen R und V der ersteren bestimmen die Richtungen der aufseren Farbenstrahlen sowie den Zerstreuungswinkel R O V = [ . Setzt man fernern’Ot=,9,, n ’ O T = a , ,
den Prismenwinkel = w, und den Ablenkungswinkel fur
die mittlere Farbe = 6, so hat man einmal die bekannten
Gleichungen
siua=nsinp,
sincu, =sinp,
(4 @ + P I =VJ,
6=ar+f%, -V.
Dann ersieht man aus der Figur die nahe richtigen Relatiouen
x’y’sin y = R Ycos a,,
s y cos @= 2 v ,
woraus, da x’y’ = sy, und R V = 5 ist, folgt
c=
2 v sin
cospcosar’
Steht die mittlere Farbe unter kleinster Ablenkung und ist
Werth von B fur diesen Fall, so ist cc = a , =$(p+y),
p = p l = ; y , und hiemit wird der obige Ansdruck zu
,u der
Fiir 60gradige Prismen erhalt man mit den in 9. 6 gegebenen Zahlenwerthen und der Formel ( 2 ) die in der Tabelle stehenden Werthe:
P
5
2 3 O 54’ 10”
1” 4‘ 43”
Wasser
40° 20’ 56”
1” 47’ 22”
Crownglas
51O 4’ 32”
4’ 27‘ 19”
Flintglas
So 37’ 41’’
Schwefelkohlenstoff 5 2 O 11’ 30‘’
252
Die so berechneten auf das Interval1 B H beziiglichen W e r t h e
von 5 weichen fur Flint in den Sekunden, fur Schwefelkohlenstoff in den Minuten utn Etwas a b von den mit den
strengen Formeln (A) erhaltenen Werthe. Legt m a n aber
kleinere Intervalle des Spectrums wie BC, CD, D E usw.
zu Grunde, so giebt die Naheruagsforinel recht genaue
Werthe. Legt man z. R. die Brechungscoefficienten fur
Flintglas No. 23 in F r a u n h o f e r ’ s beruhinter Abhandlung
(Denkschriften der bair. Acad. 1814 u. 1815) zu Grunde
und berechnet fiir das zu ihrer Bestimmung angewandte
Prisma vom brechenden W i n k e l w = 60° 15’42” (Tab. II
und 111 der citirten Abhandlung) die kleinsten Winkelbreiteii der auf einander folgenden Intervalle BC, C D usw.,
so findet man zum Theil bis auf Zelintelsekunden die von
F r a UII 11 o f e r direct geinessenen in Tab. I1 enthaltenen
Werthe.
D e r Ansdruck (1) fur die einer beliebigen Incidenz entsprechende Farbenzerstreuung zeigt, d d s 5 Minimum wird fur
das Maximum des Nenners C O S ~ C O S G C=, c o s ( ~ - - p , > c o s a , .
Die rechnende Behandlung fuhrt aber nicht auf einfache
Redingnngen. Die aufrnerksaine Retrachtung der mit der
Lage des Durchmessers s t veranderlichen Figur B R d y’
zeigt aber, dafs das Minimum von V R in die Nahe des
normalen Austritts, sofern dieser fiberhaupt maglich ist,
fallt, d a k daher dieses Minimum bei Prismen von grofsen
brechenden W i n k e l n gar nicht vorkommt.
Eine weitere Beinerkung ist folgende: die Strecke s m
(Fig. 6 Taf. 11) ist etwas grofser als sy, wie inan sieht,
wenn man in den Durchschnitten des Halbmessers 0 s mit
den Kreisen n z k v Tangenten zieht. Daher ist auch das
Rei vblliger
der Normalen On’ nahere Stuck t m ’ > t y ’ .
Gleichheit von tz’ und t y ’ ware a b e r T V > T R ; der Umstand dafs tx’> t y ’ wirkt daher auf Verminderung der
Ungleichheit der Bogen T V und T R , d. h. der mittlere
Farbenstrahl 0 T halbirt beim Austritt ziemlich genau den
Zerstreuungswinliel uiid zwar offenbar a m so genaner je
kleiner y a n d v, vorausgesetzt allerdinge, dafs die lnci-
253
denz in gehbrigem Abstand von eatremen Incidcnzen abstehe. Fur ein Crownglasprisma (No. 9 F r a u n h o f e r oben
cit. Abh.) sey q = 45O und man betrachte die Strahlen
D und F. Hiefiir ist nD= 1,5296, ra,= 1,5360, woraus
n = 3,5328 und Y = 0,0032 folgt. Man nimmt nun den
Ein - uud Austrittswinkel fur kleinste Ablenkung der mittleren Farbe cc = 35” 54’52”. Den nach gleicher Richtung
eintretenden Strahlen D und F entsprechen aber nach den
strengen Forme111 (A) die Austrittswinkel 36” 44‘30” und
36” 5’ 16”, deren Mittel 35” 56’53” wenig von cc abweicht.
Die Formel (2) giebt [ =20’ 47”, wahrend die Differenz
der Austrittswinkel fur D und F = 20’46’’ ist.
Handelt es sich darum die Brechungscoefficienten einer
Substanz fur die Linien B bis H z u bestirnmen, so ist wohl
der einfachste W e g der, dafs man nicht die Linien selber,
sondern die Mitte zwischen zwei auf einanderfolgenden auf
kleinste Ablenkung stellt und die Ablenkungen 6 und 8 ,
der Linien mifst. Dann ist p = $(8+6,) die Minimumsablenkung der mittleren Farbe, [= 6, -8; ra und Y berechnen sich dann rnit Hiilfe der Formeln
Die zwei aufsersten Linieu ausgenommen, erhalt man so fur
jede Linie zwei Bestimmungen, deren Mittel wenig von der
Wahrheit abweichen wird. Die Einstellung zweier Linien
auf kleinsten Abstand wird sehr erleichtert durch zwei Faden, welche vom mittleren Verticalfaden rechts und .links
gleich weit absteheu.
5. 8.
Von der Art wie ein gegebeiies Prisma, fur dessen Substanz man die deu F r a u II h o f e r’schen Haupilinien entsprechenden Brechungscoefficienten kennt , diese Linien bei
einer gegebenen Iocidenz in seinem Spectrum vertheilt, konnen wir uns nach dem Bisherigen ein recht anschauliches
Bild macheo. Man ziehe urn 0 den Kreis 1 und die Kreise
n,, n,, nD . .; wir nehmen ferner an, eine der Linien z. B.
D stehe linter kleiuster Ablenkung. Der Punkt d in wel-
.
254
cbem der Kreis n, von einem zur Halbiruugslinie des Priamenwinkels senkrechten Durchmesser dd’ geschnitten wird,
werde nach der Eintrittsnormalen auf Kreis 1 in S projicirt; d a m ist S 0 die fragliche Incidenz. Die Projicirende
S d schneidet aber die ubrigen Kreiee n in Punkten b, c, e
Die diametralen, ebenfalls auf einer Geraden liegenden,
Gegenbilder b‘, c‘, d’ . . . dieser Punkte anf Kreis 1 nach
der Austrittsnormalen projicirt, geben die Punkte B, C,D
und hiemit die Richtungen 0B, 0 C, OD. . nach welchen
die gleichnamigen Linien erscheinen.
Im Gitterspectrum erscheinen die Linien in Abstanden
vom farblosen Hauptbilde, welche den Wellenlanger\ der
betreffenden (oder genauer fehlenden) Farben proportional
sind. Im prismatischen Spectrum influiren Prismenwinkel,
Incidenz und die specifische Farbenzerstreuung der Substanz auf die Anordnuug der Liuien.
3. 9.
Die F r a u n h o f e r ’ s c h e n Linien miissen bei grofser
Lange der Lichtspalte gekriimmt erscheinen. Denn eiuer
geradlinigen der Prismenkante parallelen Spalte entspricht
als Perspective auf Kugel 1, fur 0 als Augpunkt, ein Bogenstuck des durch S 0 senkrecht zum Normalschnitt gelegteu Grofskreises. Die Projectionen dieses Bogenstiicks
nach On auf die Kugeln nB, no.. . sind Stiicke der Durchdriiigungscurveii desselben elliptischen Cylinders mit den
Kugeln n und wenden ihre Hishlung gegen On. Aber die
Gegenbilder der Projectionen, somit auch die Projectionen
der Gegeubilder auf Kugel 1 nach On’, kehren ibre Conyexitat gegen On’.
9. 10.
Ein kleines Prisma bei 0 (Fig. 6 Taf. 11) werde voii
der Sonne selbst bestrahlt; wir fragen nach der Breite des
Spectrums. I n der Figur sey S O der von der Sonnenmitte kommende Strahl, L OL’ = 2 (r der scheinbare Durchmesser der Sonne. W i r projiciren den Umfang der Kugelhaube LsL’ nach On auf die Kugelu n, nr+v in A X , v d ,
rr’, und bestimmeii deren Gegenbilder. Die aulsersten
...
.
...
2 55
Punkte 4 und sp’ dieser Gegenbilder auf Kreis 1 projicirt,
erhglt man die Breite R’ V’ = 5‘ des Sonnenspectrums. Re&hen sich nun die Winkel ar, p, PI, ar, auf den mittleren
Strahl, so hat man vorerst die nahe richtige Relation
L L ’ c o s a = Ail’ cos /3,
woraus
COSOL
Ferner ist nahe
-
ilk’= 2 0 cos
--pp’.
g
Projicirt man endlich V’ R’ und das Liniensystem ppp’cp‘
auf die Austrittsfltiche, so kommt die mafsig genaue Relation
cos cc . cos p1
q
V’R’cosar, = 2 a
+ 2v’-sin
cos p
cosg’
woraus
q
5’ =2v cosgsin.cos
ccl
.
cos a cos&
+2 6 cosg. cosal*
Fiir kleinste Ablenkung des Mittelstrahls wird aber
4v
5’ =;
tang +(p+q)
+2 IS=5 + 2a.
(8. 7.
2.)
Der Achromatiemue.
5. 11.
In ein erstes Prisma z. B. von Crownglas seyen langs
So (Fig. 6 Taf. 11) zwei Farbenstrahlen von den Brechungscoefficienten a&v eingefallen und verlassen dasselbe
nach den Richtungen OR und OV. Man fange die letzteren Strahlen durch ein zweites Prisma von anderer Substanz, z. B. Flintglas, und anderem iiberdiefs entgegengesetzt gestelltem brechendem Winkel y 1 auf, und verfolge die
Farbenstrahlen bis zum Austritt. Z u diesem Zwecke beschreiben wir in Fig. 7 UUI 0 drei Kreise, den ersten mit
dem Halbmesser 1, die zwei andern mit den Halbmessern
O r und 00,welche den Brechungscoefficiknten derselben
Farben fiir’s zweite Prisma entsprechen. Die Strahlen R 0,
YO seyen bei beliebiger Stellung des zweiten Prisma be-
256
ziehungsweise parallel den gleichnamigen Strahlen der Fig. 6
Taf. IT. Projicirt man nun iiach der Eintrittsnorrnalen On
den Punkt R auf Kreis O r in r , den P u n k t V auf Kreis
Ou i n u, zieht die Durchniesser rr’ und uu‘, bestimmt endlich die Projectionen V O I ~ r’ und u’, auf Kreis 1 nach der
Austrittsnorinalen On’, so sind OR’ und 0 V’ die Richtungen der Farbenstrahlen nach dem Durchgang durch’s zweite
Prism a.
Man ersieht aber sofort die Moglichkeit, dafs beide
Strahlen nach derselben Richtung austreten; denn ware die
Verbiiidungslinie der Punkte r und u, und folglich auch die
Strecke r’v’ parallel der Austrittsnornialen, so entsprtche
den Punkten r’ und v’ nur eine Projection auf Kreis I ; und
es ist einleuchtend, dafs diek entweder durch Drehung des
zweiten Pris~nasgegen das erste, oder bei gegebener Lnge
der einander zugewandten Fllchen der Prismen durch passende W a h l des Brechuiigswiiikels des zweiten Prisina im
Allgeineinen iminer erreicht -werden kann.
Zum Behuf der Verfolgung der Strahlen durch Rechnung erinnern wir vorerst daran, dafs weiin wir den Iaugs
S 0 (Fig. 6 Taf. 11) einfallendeu Stinhlen einen dritten vou
inittlerem Brechungscoefficienteii beigesellen, dieser nach
dem Austritt aus dem ersten Prisina zieinlich die Mitte h d t
zwischen O R und 0 V (3. 7). Dasselbe gilt daher auch
VOJI dem Strahl T O in Fig. 7 Taf. 11. Aber vermoge der
von Mittel zu Mittel verschiedenen Farbenzerstreuung wird
diesem Strahle T 0 im zweiten Prisina nicht ein Berechnungscoefficient entsprechen, welcher genau das Mittel ist
zwischen den Berechnungsco~fficienten der betrachteten
Farbenstrahlen im zweiten Prisma. D e r zum Mittelstrahl
gehiirige Kreis wird daher auch nicht getiau mitten zwischen den Kreisen O r und Ov liegen; uud wenn man T
nach On auf diesen Kreis projicirt, so wird die Projection
im Allgeineinen nicht rnit r v in einer Geraden liegen.
Trotzdern werden wir uns nicht zu sehr von der W a h r heit entfernen, wenn wir annehmen, die Projection t von T
auf die Strecke r v liege so zieuilich auf einein Kreise, des
237
sen Halbmesser n, das Mittel ist aus den Halbmessern O r
nnd Ov, so dafs, wenn 2 v , deren Differenz ist, diese Halbinesser selber n, -C v, werden. Die Gerade t 0 ist dann
ziemlich iiahe die Richtung des gebrochenen Mittelstrahls
und wenn wir durch Punkt t’, der mit t diamentral auf
dern inittleren Kreise liegt, die Gerade r’v’=#re, ziehen
und r’, t’, v’ auf Kreis 1 projiciren, so sind OR’ : OV’ die
Richtungen der aufseren Farbenstrahlen, wahrend 0 U ziemlich iiahe die Richtung des Mittelstrahls ist.
Die Grofseu a,,p2, a,, p3, v , . . . haben fur das zweite
Prisma dieselbe Bedeutung wie die analogen Grofsen in
den Gleichungen 5 . 7 A. Wir haben alsdann fur den Mittelstrahl im zweiten Prisma die Gleichungen
( B ) sina, = n , sinp,, p2 + p 3 = y L , sina, = n , sinp,,
6 , = a 2 +a, - y , , , 4=6-6,,,
wo A die Ablenkung des Mittelstrahls nach dem Durchgang durch beide Prismen ist.
Bezeichnet inan ferner den Winkel r t 0,welchen r v
mit O t macht, durch t, so liefert die linke Seite der Figur
die genaherten Relationen
( C ) v r . cost = 2 v 1 , u r sin (z +p 2 )= V R cos a,,
wozu nach 8. 7 ( I ) noch die Gleichung kommt:
.
Diese drei Gleichungen bestimmen fur eine gegebeoe Incidenz im ersten Prisma und eine gegebene gegenseitige Stellung der einander zngewandten Prismaflachen die Grsfsen
v r und z.
Die rechte Seite der Figur giebt aber, wenn R ’ V ’ = 2
gesetzt wird nnd wenn man bemerkt, dafs auch r’t’ 0
= t ist,
dr’ . sin (z- ,R3) = coscc,,
2 Y
woraus, da nach (C) v’r’ = or = $=,
PoggendorfPs Annal. Bd. CXVII.
folgt
17
298
-
Fur den Fall aber, dafs man hiitte z = p3 = tp, p2 verschwande uud die zwei Farbenstrahlen, welche nach derselben Riclitung So (Fig. 6 Taf. 11) ins erste Prisma eingetreten wareii, verlassen das zweite Prisma als parallele
Strahlen.
Verbinden wir daher die Redingung z =
- p, mit
den Gleichungen (C) und ersetzen daselbst /3 durch y - p ,
so koinmt als Bediitgung des parallelen Austritts aus dem
zweiten Prisma
vl
Uiese Relationen verbunden mit den Gleichungen (A) und
( B ) wiirden also fur zwei gegebene entgegeugesetzte Prismen diejenige Incidenz a und diejenige Stellung der zugewandten Prismenflachen bestimmen, fur welche 5 = o werden kann.
1st aber nur eins der Prismen, z. B. n, v, tp gegeben,
so dient dasselbe Systeiu von Gleichungen, um fur ein
zweites, fur das n und v bekannt sind, den Winkel y 1 zu
bestimmen, welcher fiir eine gegebene Incidenz 5= o macht.
Eiiie ernstliche Theorie des Achromatismus von zwei Prisinen mfifste aber offenbar darauf ausgehen, Iucidenz und
Prismenwinkel so zu bestimmen, dafs nicht blos die fraglicheu Strahlen parallel austreten, sondern dafs auch fur andere passend gewahlte Strahlen die Abweichung von den
erstereu moglichst klein ausfalle.
Gewohnlich begnugt man sich iiber die Incidenz i n passender Weise zu verfugen. Man nimmt z. B. an, der mittlere Strahl stehe in beiden Prismen unter kleinster Ablenknng: dann findet man
Die zugewandten Prismaflachen als parallel voraasgesetzt,
also cr2 = a,, n sinp, = s i n a , = n , s i n p 2 , findet inan
259
Bei kleinen Prismenwinkeln kann man a , = o annehmeii,
wodurcb man erhalt
Y tangy = v , tangq,.
Es ist aber wohl besser iiber a , iu der Art zu verfugen,
dafs in einein der Prismen, z. B. dem ersten, das mittlere
Licht unter kleinster Ablenkung stebt. Dann ist s i n a ,
n s i n & y und die Formel (4) wird zu folgender:
-
(5) tang y,
=
2 sin 4 9
f 1 - (En1 sin ~~.
y>l
_
VI 2 ?-sin2 + y
V
nI
Fur ein Paar achromatischer Prismen des hiesigen Cabinets, wahrscheinlich ans dem Merz’schen Institute, habe
ich mit zu Grundlegung der Linien D und F gefunden
v =0,00312,
fur Crown n =1,52866,
n
,
=
1,64427,
Y
, = 0,00670.
fur Flint
Die Prismenwinkel sind 9 = 4 5 O 5: T,O, = 21O 5’. Die Forme1 ( 5 ) giebt fur diesen Fall y , = 20° 57’ 58”. Die im
Sinne des Crownprismas tibrig bleibende Ablenkung ist
nach Rechilung und Reobachtung d = 11O 32’.
Dafs man bei Anwendung gleicher Substanz fur beide
Prismen, wo also fur jedes Farbeninterrall n = n , und
Y=Y,
ist, den Achromatismus nur durch
= v erreichen kann, zeigen die Ausdriicke (3) und (4); dann verschwindet aber die Ablenkung.
vl
Eiofrrchete Aalle der Doppelbreohtmg.
5. 12.
Die ebene Granzflache OT (Fig. 8 Taf. 11) eines einachsigen Krystalls sey parallel der optischen Achse, die
Einfallsebeue S 0N eines beliebigen Strahls stehe senkrecht zur Achse. Nach den Principien der Wellenlehre erkilt man nun die Richtungen 0 0 und Oe des ordinaren
und extraordinaren Strahls durch folgende Constructionen :
aus 0 beschreihe man drei Kreise, den ersten mit einem
Halbmesser A , welcher der Geschwindigkeit des Lichts in
17
*
260
der Luft entspricht, den zweiten und dritten mit den Halhiiiessern a und c , wovon der erstere der Gcschwindigkeit
des ordinaren, senlrrecht zur optisrhen Achse schwiugenden
Lichts, der Ietztere der Geschwindigkeit des extraordinaren
parallel der optischen Achse schwingenden Lichts im Krystall entspricht. I n der Figur ist ein negativer Krystall
wie Doppelspath vorausgesetzt und die Schwingungsrichtungen siird an Kreis a durch Striche, an Kreis c durch Pankte
angedeutct. Man verlangere nun S 0 bis zurn Kreis A in
Q, ziehe daselbst die Tangente Q T bis an die Granzflache
und ziehe von T die Tnngenten To, T e a n die Kreise a
und c, oder man besrhrribe zur sofortigen Bestimmung der
Beruhrungspunkte o urid e einen Halbkreis uber O T ; 00
nnd O e sind dic zu S 0 gchorigeri Richtungen dcs ordinaTen und extraordinaren Strahls.
Setzt man L . S o N = O T Q = a , L o O N ' = O T o = w ,
L e ON' = Q T e =71, so bestehen nach der Figur die R e lationen :
0 T s i n n = A, 0 Tsin w = a, 0 T s i n y = c,
woraus durch Elimination von 0 T die folgenden Ausdrucke
erhaltcn werden:
a sin n = A sinw, c sin a = A sin 77, c sin u) = a sin ? I .
Die Bedeutung der zwei ersten Gleichungen ist aber folgende: projicirt man die Schnittpunkte IT, und M des verlangerten S 0 init den Kreisen a und c auf Kreis A in I
ond rn, so ist I cin Punkt des ordinaren, m ein Ppnkt des
extraordinzren Strahls, oder such die Projection l m der
Strecke L M = c - a n u f Kreis A mifst and bestinlint auf
diesem Kreise den Bifarcationswinke1. Sind I, und WL, die
Projectionen der Punkte a nnd c arif Kreis A, so ist 1, O m ,
die griikAmiigliche, der streifenden Incidenz entsprecheiide
Trennung der heiden Strahlen.
Die dritte Gleichung besagt: der Schiiittpunkt w des
ordialren Strahls mit Kreis c liegt nlit dem Schnittpunkt q
des extraordinaren Strahls und des Kreises a auf einer Parallelen mit dem Einfallsloth, oder sie gehoren als Projectioneii aiif diesen Kreisen ~usanimen.
26 1
ES 1st eiuleuchtead, dafs wir nuch die bier im uiitereii
Quadraiiteii links geinachten Coiistructioiieii in den oberen
rechts verlegen kijnliten und das ist in 3. 1 geschehen.
Diese Verlegung ist iiameiitlich daiin zu empfehlen , weiin
man das Licht, bei seineui G a i g durch eiii doppelbrechendes Prisma verfolgen wollte. Uin die Zahl der Figuren
iiicht zu hiiufen, unterlassen wir aber eiiie Ausfiihrung dieses ohnehin einfachen Falls.
$. 13.
Die optische Achse des Krystalls falle nun mit der Norinalen 0N der Eintrittsflache zusamrneii, Fig. 9 Taf. 11. Die
Grofsen A, a, c haben dieselbe Bedeutung wie in 3. 12.
Urn nun fur eiiieii beliebigen Strahl S 0 deli ordinaren 00
und den extraordiuaren O e zu finden, verlangere man wieder So bis an Kreis A in Q , lege daselbst die Tangeule
Q T an uiid ziehe aus T Tangenten T o und T e an Kreis a
uud an die uber a und c als Halbachsen beschriebeiie Ellipse ca. Die Beriihrungspuukte o und e geben mit 0 verbunden die gesuchteii Kichtungeu.
Der Halbkreis iiber O T schneidet Kreis o in a und
eiiieii lnit Halbmesser c beschriebenen Rulfskreis c c ' i n einein Puiikte q ; dieser letztere steht aber sammt dein auf
Kreis a liegenden Puukte p des Halbinessers O q in einer
selir einfacheii Beziehung zum Eliipsenpunkte e : es ist nlmlich, \vie man weirs, e der Durchschnitt zweier durch p and
q parallel 0 c und O a gezogenen Geraden.
Es sey nun .,!. S O N = O T Q = a, L N ' O o = 0 T o = w,
L N ' O q = O T q = y , L N ' O e = y ; danu giebt die Figur
folgeiide Gleichungen:
0 T sin a = A, 0 T siuw = a, 0 T sin 'p = c,
O e cos 11 = a cosy, O e sin q = c sin y.
Aus den ersten drei folgt:
a sinn = A sin o, c sina = A sinrp, a sin 'p = c sin w ,
d. h. die Punkte L und I, M und m, p und w liegen je
auf eiiier Parallelen mit ON'. Hat man daher durch Projection der Strecke L M auf Kreis A die Punkte I nnd m
bestinimt, so ziehe man 01 und O m ; die erstere Gerade
262
ist der ordinare Strahl selbst; die letztere schneidet die
Kreise a und c in den Punkten p und q, mit welchen d e r
Punkt e in der bekaanteu Beziehung steht.
&'Ian kann a b e r auch noch auf kurzerem W e g e einen
P u n k t des e x t r a o r d i n ~ r e nStrahles finden. D i e zwei letzteren der obigen fiinf Relationen geben durch Elimination
von Oe
a tangy = c tangy.
Legt m a n daher in a und c' Tangcnten an die Kreise a
und c, so licgt d e r Schnittpunkt q der ersten Tangente mit
den] cstraordiuaren Strahl, und der Schnittpunkt 9. der
zweiten Tangente mit dem Hulfsradius O m auf einer Parallelen mit O N . Geht man daher von na zuerst gegen 0
bis 8 und vou 9. parallel ON' bis 71, so ist 0~ ebeufalls
der extraordinare Strahl.
D e r Zusammenhang zwischen den Richtungen des ordinaren und extraordinaren Stralils wird aber am Einfachsten
erkannt, wenn man die Strecke p a des Hulfsradius O m
ins Auge fafst: projicirt man namJich p auf Kreis c i n w,
6 auf die Tangenten a n a in 17, so sind O w und 011zusammengehbrigc Richtungen. Man mufs sich aber in Acht
nehmen die Zforniige Figur up 911 in Gedanken weiter ZLI
bewegen als erlaubt ist; die aufserste Stellung, welche m
einnehuieu kann, ist namlich die Projection des Punkts c
auf Kreis A.
Es ist nicht undenkbar, dafs auch complexere Falle der
Doppelbrechung sich in ahnlicher W e i s e zu einfacher Anschauung bringen lassen. Die Wellenlehre giebt ihre R e sultate zunachst in einer Form, welche vom mechanischen
Standpunkte nichts zii wiinschen ubrig lafst; aber die weitere Aufgabe, diese Resultate in eiiie unserer Anschauung
mbglichst zuganglichen Sprache zu iibersetzen , ist wie ich
glaube bisher nicht ernstlich genug verfolgt worden.
Tubingen, 9. Februar 1862.
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