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Die Maasse der elektrischen Grssen.

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13. D i e Mnasse der elektr4schen Griissen,’);
v o n R. S c k r e b e r .
Die Forderung, dass die Einheiten sammtlicher physikalischen Grossen durch die Einheiten von Masse, Lange und
Zeit auszudrucken seien, ist schon so oft aufgestellt worden,
dass man sich mit Recht wundern muss, dass sie noch nicht
consequent durchgefuhrt worden ist. Auf dem Gebiete der
Optik ist, soviel mil- bekannt, ein dahin zielender Versuch
uberhaupt noch nicht angestellt worden. I n der Warmelehre
ist zwar in einigen der Bucher, welche sich speciell mit den
sogenannten absoluten Maassen beschaftigen 2), ein Anlauf in
dieser Richtung gemacht ; aber derselbe scheint nicht allgemeine Anerkennung gefunden zu haben, denn sowohl in den
Lehrbiichern, welche die gesammte Physik behandeln, als auch
in denen, welche sich speciell auf die Warmelehre beschranken,
mird stets die von Masse, Lange uncl Zeit unabhangige Definition der Temperatur nach Lord Kelvins) vorgezogen, ein
Bewais, dass man der ersteren nicht recht trsut. Es muss
also wohl in jener Forderung etwas liegen, was ihre Durchfuhrung erschwert , wenn nicht gar unmoglich macht. Gegen
diese letztere Eventualitat scheint nun die Thatsache zu
sprechen, dass man die Einheiten der elektrischen Grossen
auf die Einheiten von Masse, Lange und Zeit zuriickgefiihrt
hat: Ohm Volt, Ampbre etc. sollen j a nur von den Einheiten
jener drei Fundamentalbegriffe abhangige, elektrische Einheiten sein.
Ich werde im Folgenden zeigen, dass auch fur die elektrischen Grossen eine Darstellung der Einheiten durch die
Einheiten von Masse, Lange und Zeit unmoglich ist, und somit jene Forderung etwas Unmiigliches verlangt.
1) Nach einem am 3. Mni 1899 irn Naturw. Vereiue f. Neuvorpomrnern
u. Rugen zu Greifswald gehaltenen Vortrage.
2) C z o g l e r , Dimension u. absol. Maasse p. 66ff. 1889.
3) Vgl. z. B. I<. S c h r e b e r , F. A u e r b a c h , 0. W i e d e b u r g , Wied.
Ann. 64. p. 163 u. 754. 1598; 65. p.648 u. 921. 1898; 66. p. 1156. 1898.
K. Sclireber.
Die gewohnliche Zuriickfuhrung der elektrischen GrGssen
auf jene drei sogenannten Fuiidamentalbegriffe lasst sich auf
sehr verschiedenen Wegen erreicheii. Ein sehr anschaulicher
is t der folgende :
Man hange an eine Waage einen Magnetstab von hinreichender Lange und aquilibrire ihn. Durch das aufstellen
eines zweiten Magnetstabes unterhalb des ersten wird das
Gleichgewicht gestort, welches man durch passendes Auflegen
voii Gewichtstucken wieder herstellen kanc. Die gegenseitige
Einwirkung zweier Magnetstabe k s s t sich also durch die
Schwerkraft gewisser Gewichtstiicke aquilibriren ; wir durfen
sie cleshalb als eine analoge Kraft bezeichnen. Das Gesetz,
nach welchem diese Kraft von den beiden Magnetstaben und
ihrer Entfernung abhangt, ist zuerst von C o u l o m b anfgestellt
worden zu einer Zeit, wo die Kraft noch unangegriffen als
Fundamentalbegriff der Physik galt. C o u l o m b fand, dass
sie umgekehrt proportional sei dem Quadrate der Entfernung r
der einander zugekehrten Enden der beiden hinreichend langen
Magnetstabe. Die Abhangigkeit der Kraft von den Magnetstaben selbst zeigte sich gegeben durch eine messbare Eigenschaft der Enden der Magnetstabe, der Pole, welche C o u l o m b
Magnetismusmenge der Pole nannte. Was man sich darunter
rorstellen will, ist gleichgiiltig ; wichtig ist, dass die Magnetismusmenge messbar ist. Nelimen wir irgend eine beliebige Magnetismusmenge als Einheit an, so ist die Kraft dem Producte
der Xagnetismusmengen der einaiider zugekehrten Pole proportional, sodass wir also fur die Kraft den Ausdruck er-
wenn p und p' die Magnetismusmengen der beiden einander
zugekehrten Pole und r ihre Entfernung ist; u ist ein yon
den Einheiten von K, p und T abhangiger Factor.')
Genau dieselbe Beobachtung und daraus zu ziehende
Schlussfolgerung machen wir, wenn wir an die Waage eine
elektrisch geladene Metallscheibe hangen und eine zweite, eben1) Vgl. P. P i e t z k e s , Unterrichtsblatter f. Mathem. u. Naturw. 4.
p. 66. 1895; K. S c h r e b e r , Zeitschr. f. d. phys. u. chem. Untcrricl~t12.
p. 139. 1899.
609
Maasse der elektrischen Grossen.
falls geladene darunter stellen, ocler wenn wir eine stromdurchflossene Drahtspule aufhangen und eine ebensolche darunter stellen, oder schliesslich, wenn wir entweder einen
Magnetstab oder eine stromdurchflossene Drahtspule aufhangen und eine stromdurchflossene Drahtspule bez. einen
Magnetstab clarunter stellen. Ueberall lasst sich die gegenseitige Einwirkung durch die Schwerkraft von Gewichtstucken
aquilibriren, sodass wir sie durch eine Kraft ausdrucken durfen.
Das Gesetz der ersten dieser Krafte ist ebenfalls von
C o u l o m b aufgestellt worclen und heisst, wenn wir fur die
Elektricitlltsinenge, welche ebenfalls einfach als Ausdruck fur
eine messbare Eigenschaft der elektrisch geladenen Scheibe
betrachtet werden soll, eine beliebige Einheit einfiihren
I ; = p . - .e T.2e‘
(2)
Fur gewohnlich wird nun die Frage, ob die elektrischen
und magnetischen Grossen auf Masse, Lange und Zeit zuruckfuhrbar seien, von diesen beiden Gesetzen ails beantwortet,
indem man G: und /3 gleich 1 setzt und dann als Einheit cler
Magnetismus- bez. Elektricitatsmenge ldiejenige erhalt, welche
auf eine ihr gleiche, in der Entfernung 1 von ihr befindliche,
die Kraft 1 ausubt. Sol1 aber die Antwort ohne irgend welche
Willkur sein, so muss man auch die Gesetze der beiden
anderen, an der Waage festgestellten Krafte beriicksichtigen,
denn es ist j a nur historischer Zufall, dass die beiden C o u lomb’schen Gesetze friiher entdeckt worden sind als die Gesetze der beiden anderen Krafte.
Bei der experimentellen Darstellung dieser Krafte wurde
von dem Begriffe des elektrischen Stromes i Gebrauch gemacht, welcher mit dem Begriffe der Elektricitlltsmenge durch
die Definitionsgleichung
.
e
z = -
(3)
t
verknupft ist, wo t die Zeit ist, in welcher die Elektricitatsnienge e bei der Stromstarke i durch den Querschnitt des
Leiters fliesst, bez. die Zeit, in welcher der Strom i die Elektricitat e durch den Querschnitt des Leiters fuhrt.
Bei der Aufstellung der beiclen Gesetze stosst man auf
die mathematische Schwierigkeit, dass man dieselben, wenn
Ann. d. Phys.
U.
Chem. N. F. 68
39
hr.Sclireber.
610
man nur eiidliche Krafte hetrachten will. iiicht fur alle inoglichen Falle gultig aufstellen kann. Sol1 der Ausdruck des
Gesetzes allgemein gultig sein, so u u s s man sich auf Elementarkrafte beschranken, aus denen man durch Integration erst
die endlicheii Krafte erhalt. Es wird aber dadurch die Bedeutung der Gesetze iiicht beriihrt, denii durch die Integration
erhalt man stets wieder den esperimentell sich als richtig erweisenden Werth der Kraft.
Reide Gesetze entlialten trigonometrische Functionen,
welche von der Lage der Leiterelemente abhangjg sind: wir
wollen diese Lage so wahlen, class die trigonometrischen FLUICtionen den Werth 1 erhalten; clanii heissen die Gesetze:
D a die Einheiten, nach deneii 14 und i gemessen werdeii, zuniichst noch willkiirlich sind, so diirfen die F'actoren y uiid rs'
nicht vergessen werden.
Die vier Kraftgesetze (l), (2), (4). (5) siud roneinander
unabhangig. Will man die Aehnlicheit zwischen den elektrodynamischen uncl elektromagnetischen Wirliuiigen eines gesddossenen Strornkreises zu einer Gleichheit machen, so sind
die beiclen letzten Kraftgesetze (4) uncl (5) nicht vonein:tnder
unabhangig iind man erhalt zwischen y uiid d eine ganz hestimmte Beziehung. l) D s aber durch cliese willltiirliclie Ersetzung der Aehnlichlreit durcli eine Gleichheit, mie ich unten
zeigen werde, njchts an der ganzen folgenden Discussion geh d e r t wird, so Inache ich yon ihr keinen Gebrauch.
Wollen wir die dufgnhe . die Einheiteii der elcktrischen
und magnetisclien Grosseii auf die Einheiten von Masse, Lange
uiid Zeit zuriickzufiihren, allgemein uncl ohne jegliche Willkiir
losen, so mussen wir clie vier Kraftgesetze und die Definition
der Stromstairke in Betracht ziehen. Es stehen uns nber dazu
auch n w diese 5 Gleichungen z u r Verfiigung.
1)
P. Duhern, Elect. et Milagn6t. 3. 1). 453. 1593.
Jlaasse der elektrischen Griissen.
61 1
Aus den 5 Gleichungen (1 bis 3) erhalten wir z u n k h s t :
und es bleiben d a m zur Bestimmung der vier Proportionalitatsfactoren die Gleichungen:
p = rv2,
c4.y = sz.
wo v = r / t eine Geschwincligkeit ist. Wie sich durch Combination der Gesetze (2) und (4) leicht zeigen laisst, ist v die
sogenannte kritische Geschwindigkeit, wie sie z. B. von R o w l a n d experimentell dargestellt worden ist.
Wir haben also ZUP Bestimmung \'on a, p, y , 8, nur zwei
Gleichungen, und da ein System von zwei Gleichun-yenmit vier Unbekannten nicht zu l&en ist, so ist die Prage, ob die h'inheiten
der elektrischen und mapetischen Griissen durch die Einheiten
von Masse, LCnge iind Zeit clarstellbar sind, mit ,,iVei+ zii beantriiorten.
Sollte vielleiclit noch einmal ein meiteres funftes, von den
oben gegebenen vieren unabhangiges Kraftgesetz gefunden
werden, so wird dadurch nichts an diesem Resultat geandert,
d e w man wiircle zwar im System (7) eine dritte Gleichung,
gleiclizeitig aber auch eine weitere Unbekannte, einen fiinften
Proportionalitatsfactor erhalten. Uasselbe wiirde sich ergeben,
weiin eines oder das anclere der obigen Gesetze sich als nicht
unabhangig erwiese; es wiirde dadurch zwar ein Proportionalitatsfactor, d. h. eine Unbekannte weniger vorlianden sein;
gleichzeitig aber hatten wir auch im System (7) eine Qleichung
weniger. Stets behalten wir im System (7) zwei Unbekannte
mehr als Gleichungen; es bleibt also stets unlosbar.
Die Folgerung RUS dieser Unlosbarkeit des Gleichungssystems (7), die Antwort ,,Nein" nnf die unser Thema bildende
Frage, scheint aber dadurch widerlegt zu sein, dass man ja
elektrische G r h s e n durch Masse, Lange und Zeit dargestellt
hat: Volt, AmpBre etc. sind jn Einheiten, denen angeblich
nur die Einheiten jener drei Fundamentalbegriffe zu Grunde
liegen. Wie vertragt sich dieses mit jener verneinenden
Antwort?
39 *
K. Schreler.
612
Die Mathematik lehrt, dass ein System von zwei Gleichungen
mit vier Unbekannteii nicht losbar ist. Das System wird aber
ein losbares, wenn wir noch zwei weitere, von jenen beiden
gegebenen unabhangige Gleichungen herbeischaffen. Da uns
nun, wie schon oben gesagt, die Elektricitatslehre keine weiteren
Gleichungen bietet , so mussen wir die Erganzungsgleichungen
willkurlich geben. Diese Willkur gestattet uns, die ergiinzendeii
Bedingungen so zu stellen, dass haufig benutzte abgeleitete
Gesetze eine besonders einfache Gestalt erhalten. Nun ist
fur die Technik besonders wichtig das Gesetz, welches einen
Stromkreis durch eine magnetische Schale zu ersetzen lehrt.
Dieses Gesetz heisst:
s.if'= cc.m,
1\10 i die Strornstarke, f' die Flache uiid m das Moment der
Schale ist. Es erhalt seine einfachste Gestalt, wenn wir cc = B
setzen. Neben diese eine willkiirliche Erganzungsgleichung
setze ich, ohne eine besondere Veranlassung dafiir zu haben,
ganz nach Gutdunken, als zweite u = 1. Wir el-halten dann fur
(8)
= s,
cc=l
das System
c c = 1,
p: = v2,
y = 1:
s = 1.
Dieses System ist das sogenannte elektromagnetische,
welchem die Einheiten Ohm, Volt etc. angehoren.
Wir wollen nun zu cc = B als zweite Erg~~iiz~~ngsgleichung
setzen = 1. Wir erhalten clann fiir
(9)
a=&,
p=1
das System
1
p=1,
yL=-v1a 7
a= 1
6 = -*
%I
~
21'
V2
Dieses System ist das von C1 a u s i u s vorgeschlagene elektrostatische.
Da aus der zweiten Gleichung des Systems (7) fur cc = 8
folgt u = y = 6, so haben wir kein drittes Losungssystem
mehr, in welchem neben u = CY ein Factor gleich 1 gesetzt
werden Imnii. Wir sind aber durch nichts gezwungen, uns
an die von der Technik gebrauchten Gesetze zu hnlten und
konnen cleshalb als Erg~nzungsgleichungenwiihlen
(10)
u = 1,
/ j ' = 1.
613
-iMaasse der elektrischen Grossen.
I h n erhalten wir die Losung
u=l,
p=1, y=-
1
* 2 9
J=-
1
Dieses ist das System, welches I-. H e l m h o l t z den meisten
seiner Arbeiten zu Grunde gelegt hat.
Oder wir setzen willkurlich
p=
(1 1)
1,
6 = 1,
dann finden wir das elektrostatische System von Ma x w e ll
welches meist als das elektrostatische schlechtweg bezeichnet
wird, obgleich es vor dem von C l a u s i u s nach keiner Richtung
hin einen Vorzug hat; eher noch kann man es als Nachtheil
desselben ansehen, dass a und 6 verschieden sind, sodass die
fur die Techniker so uberaus wichtige Gleichung keine einfache
Gestalt erhalt.
Die Zusatzgleichungen sind bisher so gewahlt worden, dass
die Proportionalitatsfactoren entweder dimensionslos wurden,
oder ihre Dimensionen ausschliesslich Functionen der kritischen
Geschwindigkeit waren. Man ist aber dazu durchaus nicht
gezwungen. So haben z. B. J o u b i n ' ) und L o d g e 2 ) gesetzt
d = 1, und die daraus folgende Gleichung u.p = va zerlegt in
a = g- 1 em3 und p = g cm- 1 sec- 2 und dabei fiir die elektrischen
Grossen Dirnensionen erhalten , in welchen keine gebrochenen
Potenzen der Masse vorkommen. Wir wollen die Zusatzgleichungen jetzt gleich so wahlen, dass die Beziehungen der
Einheiten der elektrischen und magnetischen Fundamentalbegriffe zu clenen der mechanischen ganz besonders einfach
werden. Zu dem Zwecke setzen wir:
tl2a)
Wb)
(124
y = g crn-l,
oc = (7,
y = 8-l cm,
6 = cm sec-l,
6 = g cm sec-l,
6=
sec-2.
1) P. J o u b i n , Journ. de Physique (3) 6. 11. 398. 1896; 6.
p. 57. 1897.
2) 0. J. L o d g e , Keueste Anschauungen iiber Elektricitat. Anhang p.,
deutsche Uebersetzung p. 519. 1896.
61 4
K. Schreber. Jfaasse der elektrischen Grossen.
Mit diesen drei Paaren von Zusatzgleichungen erhalten
wir folgencle drei Systeme yon Proportionalitatsfactoren:
y = gcm-l,
fl = g cm sec-?,
0' = cm sec- I ,
u = gcmsec-2,
/3
y
0 = gcmsec-',
a = g-1 cm3 ~ e c - ~ ,
=
g cm sec-
u = g cni3 ~ e c - ~ ,
is'
=
=
g~m~sec-~,
g - 1cn13sec-
y = g-
?,
cm,
6 = cniz sec- ?.
Driicken wir nun in diesen drei Systernen die Einheiten der
Magnetismusmenge p uncl der Elektricitatsmenge e aus, so erbalten wir iler Reihe nach:
e = cni,
P = g1
e = sec,
p = cm,
,u = sec,
e = g.
Dieses Beispiel zeigt zur Geniige, dass wir nicht nur fiir
die Einheiten der Magnetismus- uncl der Elektricitatsmenge die
Einheiten der Masse oder der Lange oder cler Zeit ganz nach
Belieben erhalten konnen, sondern dass wir auch die Einheit
jeiler beliebigen mechanisclien Grosse zur Einheit jecler beliebigen elektrischen GrGsse machen konnen. Ein Resultat,
welches offenbar absurd ist. Da nun die letzten clrei Systeme
nach demselben Princip abgeleitet sind, wie die ersten vier in
der Wissenschaft schon besprochenen, so muss in dem ganzen
Princip cler Ableitung ein Fehler stecken und dieser liegt eben
darin, dass man Losungen eines Systems von zwei Gleichungen
mit vier Unbekannten gegeben hat, wahrencl doch die Mnthematik lehrt, dass ein solches System unlosbar ist.
Wir finden also auf Grnnd dieses mathematischen Satzes
als Resultat, dass die Einheiten der elektrischen und magnetischen Grossen sich nicht durch die Einheiten von Masse,
Lange und Zeit clarstellen lassen.
Der praktischen Verwendbarkeit der Einheiten Volt,
Ohm etc. geschieht naturlich dadurch gar kein Abbruch.
(Eingegangen 6. & h i 1899.)
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