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Die Materialgleichungen in beliebigen Medien.

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ANNALEN DER PHYSIK
7. F O L G E
*
B A N D 3,
H E F T 5-4
*
1959
Die Materiafg-feichungeni n befiebigen Medien
Von M . T i s c h e r l ) und 8.H e s s
Inhaltsiibersieht
Die drei Materialgleichungen der relativistischen Elektrodynamik werden
in vollkommen beliebigen Medien in einer einheitlichen Gestalt formuliert .
A m der Rechnung folgen dam neben den bekannten Materialgleichungen
f i i r SD und @ und dem Ohmschen Gesetz eine neue Gleichung f i i r den infolge
der Bewegung des Mediums erscheinenden ,,magnetischen“ Stromanteil.
Diese Gleichung trat bisher in der relativistischen Elektrodynamik nicht in
Erscheinung .
Es zeigt sich weiter, daB der aus anschaulichen Griinden eingefiihrte
Stromtensor den von T h . S c h l o m k a a ) definierten Stromtensor entspricht.
Die Verfasser gelangen auf Grund ihrer Formulierung zur Aufgabe desjenigen Ohmschen Gesetzes, welches auf der Viererstromdichte aufbaut.
Delinitionen
I n unserer Rechnung legen wir M i n k o ws kikoordinaten, also
x 1 -- x ; x2=yy; x 3 = z ; x 4 = i c t
zugrunde und brauchen deshalb zwischen den kovarianten (x,) und den kontravarianten (e)
Komponenten nicht zu unterscheiden. Dies bedeutet eine
wesentliche Vereinfachung. Als Geschwindigkeit verwenden wir die durch
die Lichtgeschwindigkeit c dividierte Vierergeschwindigkeit
wobei
ist,. Als Erregungstensor Pap wollen wir den antimetrischen Tensor
F’ap=
~~
1)
z,
i
0
-iD3
iD3
-iD2
-HI
iD,
-H2
0
iD,
--illl
0
-H3
:)
H,
(1)
0
Neue Adresse: DAMG Phys. t e c h . Zentralinstitut, Berlin C 1, Labor 11-43.
Th. S o h l o m k a , Ann. Physik 8, 246 (1951).
Ann. Physik. 7. F o l g ~ ,Hd. 3
P
114
Annalen der Physik. 7. Folge. Band 3. 1959
und als Feldtensor H x p den aus der Minkowskitheorie bekannten Tensor
H,, =
i
0
B,
- B,
-B3
0
B,
iE,
-Bl
Bl
0
iE3
iE,
-iE1
-iE,
-iE3
0
1
(2)
,
benutzen.
Es sei weiter E die Dielektrizitatskonstante (DK), p die Permeabilitiitskonstante, die Leitfahigkeit und iL der Leitungsstrom.
Wir treffen folgende Vereinbarung : A l e griechischen Indizes nehmen die
Werte 1, 2, 3, 4 an, wahrend die lat. Indizes uber 1, 2, 3 laufen.
Eine kovariante Form der Materialgleichungen
Bekanntlich lauten die Materialgleichungen im Falle isotroper Korper
fur das Ruhsystem
%=&6
(3)
B=p@
(4)
und
i L = fJ 6.
(5)
Diese Materialgleichungen erscheinen als eine wichtige Ergiinzung der
Maxwellschen Gleichungen in der Elektrodynamik. I n jungster Zeit haben
G. Marx3) und - noch eleganter und allgemeiner - E. S c h m u t z e r * ) den
Zusammenhang der Gln. (3) und (4) fur beliebige Medien und bei Tensorstruktur der MaterialgroBen verallgemeinert. Auf die G1. (5), die das 0 h m sche Gesetz darstellt, jedoch gehen die beiden Autoren nicht ein.
I n dieser Arbeit sol1 nun eine kovariante Formulierung aufgestellt werden,
die neben den Gln. (3) und (4)auch das Ohmsche Gesetz (5) mit enthalt.
Damit gehen dann alle drei Materialgleichungen in beliebigen Medien geschlossen aus einem Ausdruck hervor. Wir gehen bei der Aufstellung dieses Ausdruckes von einem beliebigen Medium ails, das durch den Leitfiihigkeitstensor ai K , den Dielektrizitatstensor e i g und den reziproken Permeabilitiitstensor x ~ Kcharakterisiert ist und machen den Ansatz
mjt
und
~.p/.~.=A,p~.+~n,p-,,,.
Hier ist n eine aus Dimensionsgriinden erscheinende Konstante, die die Dimension einer Lange besitzt. Die Tensoren F a , und H.,p sind unsere vorn
definierten antimetrischen Tensoren (1) und (2), wahrend der Tensor Gap,
3,
*)
G. M a r x , Acta Hung. 3, 76 (1964).
E.S c h m u t z e r , Ann. Physik18, 171 (1966).
5) Wir benutzen der besseren h e r s i c h t wegen hier zwei verschiedene imaginiire
Einheiten i und j .
M . Tiseher
u. S. Hess:
Die Xaterialgleiehungen in beliebigen Medien
115
den wir als Stromtensor bezeichnen wollen, zunachst die allgemeine Gestalt
haben soll. Die GroSen A j und Cj sind hier noch unbestimmt. Die Antimetrie des Tensors G,p ergibt sich unmittelbar aus der G1. (6).
Der Zusammenhang zwischen den Tensoren Pup,Hap und G,p sei nun
im allgemeinsten Fall durch die vierstufigen verallgemeinerten Materialtensoren A, ,@ und n/,,p hergestellt , welche natiirlich feldstarkeabhangig
sein konnen.
Wir weisen noch darauf hin, daB die Darstellung in Form des Ansatzes (6)
eindeutig ist [vgl. 4, Seite 1731.
Auf Grund der Antimetrie der Tensoren Fab,
Hap und G,, folgen sofort
die Antimetrie-Relationen
Werden diese und die Gultigkeit von H e , = 0 beachtet, sowird mit (2) der
Ausdruck
v u p = X a S 2 3 B1
Xap3l B!2 f X a O l 2 B3
+
+ i [Xnp41El +
%up42
E.,
+
X a p 4 3 E3I
erhalten, der durch Aufspaltung in die einzelnen Komponenbe die Beziehungen
116
- i V14 =
- i VM=
-iV,=
ergibt.
Wir spezialisieren nun das Gleichungssystem (9) auf den Fall des Ruhsystems. Da hier erfahrungsgemiiB einfache Zusammenhange herrschen,
konnen wir die unbestimmten GroBen bestimmen. I m Ruhsystem ist B bzw.
@ keine Funktion von $'3 bzw. @ mehr und wir konnen deshalb in (8) den veritllgemeinerten Materialtensor A, b y Null setzen, wenn in den Zahlen a ,8 p 11
kein Index mit dem Wert 4 erscheint. Der vierstufige Tensor ndaplCv
verschwindet dann und nur d a m , wenn ein Index den Wert 4 annimmt.
Besitzt das Material nun Tensorstruktur, so werden die Materialgleichungen
(3), (4)und (5) im Ruhsystem die Form
,
H i = ic,, B,,
Da = E i k Ek
und
(10)
(11)
if = G~~ E,
(12)
annehmen und der Vergleich mit (7) ergibt die folgenden Bestimmungspleichungen :
c j = .L
%. j A j = a j
1
%4k4
=cik;
A i j k l = &k;
n i j k v = Bns
A k l i j = Xkn
mit
[n i j] = 1, 2, 3.
Das Symbol [n i j] bedentet, daR uber n i j mit den Zahlen 1 , 2 , 3 zu permutieren ist.
Hierbei sind allerdingsdieGroBen a j und Pn8noch unbestimmt. Da es imRuhsystem aber kein ,,magnetisches Analogon" zum Leitungsstrom iL, das infolge
M . Tischer
u. S . Hess: Die iUaterialgleichungen in beliebigen Medien
117
der Bewegung des Mediums entstehen konnte, gibt, andererseits ein Zusammenhang der Form
a 8. = p a3. . B I.
schon dmch die G1. (10) befriedigt wird, konnen wir ohne Einschrankung der
Allgemeinheit und in Ubereinstimmung mit der Erfahrung die verschwinden
lassen.
Der Stromtensor G,, (7) nimmt durch diese anschaulichen htzungen bei
beliebigen Medien die Form
an, wobei aj der infolge der Bewegung des Mediums erscheinende ,,mameti-
sche" Stromanteil ist.
Welche Zusammenhiinge ergeben sich nun bei bewegten Korpern fur die
verallgemeinerten Materialtensoren ? Mit Hilfe der Transformationsfomel
fur Tensoren und der Lorentztransformation erhiilt man bei Beachtung der
Ausdrucke fur die verallgemeinerten Materialtensoren im Ruhsystem die
36 Komponenten nach liingerer aber leichter Rechnung, die wir hier nicht
angeben. Setzen wir diese Werte in die Komponenten des Gleichungssystems (9)
ein, so bekommen wir folgende Materialgleichungen fur des bewegte System
bei Aufspaltung in Real- und Imaginarteil
+ 1 Bz + & B3) + -B1 cv E2 - E3)
1
7
+ p1 [ ( x i , BZ4-fiB B3) $ (d&Bz - B3)]
v
1 v
+-P1 ;
El + p 7
Ez
E3) +
EL E3)1
1
1
=B
+ p Bz + xk + 7 Bz
- _1 _v &!I
+ p1 7v Ez E3) (&& E , + E3)]
%'O
uz=--- 1 v
p
[t
- ('J%E, f
f$
H i =
%!I
H2 =
Bi
I
!
%
( ~ 9 2
$2
-
Bi
-4
"$3
4 1
$2
4 2q 2
2
(14)
VZ
[(42
4 1 1'
H3
P
B3)
[(x&
c
- xgz
- '$2
(43
-
&!3
( 4 3 B2 - 4 2 B3)
u3
=
+
l v v
jjT 7 [T (4B2
-4
+ 71 (& Ez +
4 1
2 B3) - (
+ a]
~ S E Z4
3
-
1 v
7 4 1E 1
1 v
- 7 7 (E!S Bz - 6;s B3)
1
BZ= S & ! I ~ I 4-p [&!zE2+ .5i3E3 - (x&E2 - xgz El)]
a 1
= $1 El
1
- -B1 -cv
":lBl-
4 = , d1 E 1
(15)
&!3)
5
1 v
p,[xgZBZ+xg3B3+(~!3B~-&!eB3)l
+ ~1I & E ~ + E & E ~ +V 2 , ( x ! ~ E
- - -, x & E 3 ) ]
( 16)
118
Annalen der Physik. 7 . Folge. Band 3. 1959
41
+1
[ 4 2 E2
iZ
1
=-41
B
+ p1 Lo!,
.L
1
=p&
+ p1
L
*3
+
E2
(43
4 3E 3 - q
f
B, -4B 3 ) 1
V2
4 3 E,-
( 4 3 B2
o%
[ 4 2 E2
$. &3E3-F
(17)
-4 2
- 4 2
%)I-
Um nun die Richtigkeit des Ansatzes und der obigen Resultate zu bezeugen,
spezialisieren wir jetzt die erhaltenen Materialgleichungen auf isotrope Korper.
Vermoge der Beziehungen
&ik
wobei das Symbol
ai,
1
oik = d
=8 8ik; Xik = -8ik;
P
6ik
9
das Kroneckersymbol darstellt. Bei Beachtung von
v1 = w ; v2 = w3 = 0
auf Grund der L o r e n tztransformation in x-Richtung, bekommen wir die
Ausdriicke :
Die Gln. (18) und (19) stellen die in der Minkowskitheorie bekannten
Materialgleichungen fur@und B in bewegtenMedien dar,die auch E. S c h m u t z er4) schon erhielt .
Der Ausdruck (20) ist der infolge der Bewegung auftretende ,,magnetische"
Stromanteil, der bisher noch nicht in Erscheinung getreten ist, wahrend die
G1. (21) das Ohmsche Gesetz (in dreidimensionaler Formulierung) darstellt.
Das Ohmsche Gesetz
I n der relativistischen Elektrodynamik uird meist ein 0 hmsches Gesetz
im Palle isotroper Korper der Form
J,, = 0 H,,.u,;
G
00
=-
B
v e r ~ e n d e t ~welches
),
dreidimensional geschrieben auf die Ausdriiclre
(22)
M . Tischer u. 8.H e w Die Materialgleichungen in beliebigen Medien
119
fiihrt. Hierbei h a t die Viererstromdichte J , nach der Minkowskitheorie
die Form
J , = (i, i c e),
wobei sich die Gesamtstromdichte i additiv aus der Leitungsstromdichte iL
und der -Konvektionsstromdichte Q b zusammensetzt. Betrachten wir das
erhaltene Ohmsche Gesetz (21), so fallt sofort auf, daB (21) nicht mit dem
Ausdruck (23) iibereinstimmt. Fiihren wir aber - wie dies auch bei M. v. L a u e
zu finden ista) - als Ohmsches Gesetz fur bewegte isot,rope Medien die Beziehung
Jp
ua J a u p = 0 H p a ua
(25)
ein, dann werden die rliumlichen Komponenten von (25) genau mit (21) iibereinstimmen.
Setzen wir nun in die G1. (25) die bekannte Beziehung
+
- u, u, = 1
ein, so wird
( u p Ja
- us J p )
US
= u Hppup
Mit dem Ansatz
1
- G p a = upJ ,
B
- U , J,,
laat sich die G1. (25) in der Gestalt
GpaU , = 8 H a p up
(28)
schreiben. DaB der im Ausdruck (27) auftretende Tensor Gap unser eingefiihrter Stromtensor (13) ist, zeigen wir spater. Damit nimmt das Ohmsche
Gesetz (28) in isotropen Medien eine den anderen Materialglei~hungen~)
ilhnliche Gestalt an. Diese xhnlichkeit wurde im allgemeinen Fall durch den
Ansatz (6) beriicksichtigt.
Druckt man das Ohmsche Gesetz (28) vermoge (13) in Vektorform aus,
so ergibt sich die Beziehung
die durch Einfuhrung der G1. (20) auf das Ohmsche Gesetz (21)
fiihrt.
Damit haben wir gezeigt, daB einmal das Ohmsche Gesetz (28) und somit
auch (25) mit dem von uns gemachten Ansatz (6) iiquivalent sind, zum anderen
ist die Relation (27) erfiillt. Aus diesen Uberlegungen sieht man, daB an Stelle
des Ohmschen Gesetzes der Form (21) auch Ausdruck (29) treten kann, in dem
die ,,magnetische" Stromdichte erscheint. Der Zusammenhang der Stromanteile iL und a tritt erst infolge des von uns gemachten Ansatzes, dessen
Richtigkeit oben bestatigt wurde, in Erscheinung.
Das magnetische Analogon zum elektrischen Ohm schen Gesetz war
bisher, wie die G1. (29) zeigt, in dem Ohmschen Gesetz (21) verborgen.
6,
M. v. Laue, Die RelativitMstheorie. Bd. I, 1963.
120
Annalen der Physik. 7. Folge. Band 3. 1959
Im Laufe der letzten Rechnung tritt auch der Unterschied der beiden verschiedenen Ansatze fur das Ohmsche Gesetz (22) und (25), welche mit verschiedenen Leitungs- und Konvektionsstromdichten rechnen , klar zutage.
Diese Fragen hat vor einiger Zeit Th. S c h l o m k a l ) in einer sehr interessanten
Arbeit eingehend beleuchtet. Es ist offensichtlich, daB einer der beiden Ansatze fiir das Ohmsche Gesetz auf Grund der verschiedenen Leitungs- und
Konvektionsstromdichten der physikalischen Realitiit widersprechen mu&
Wir wollen an dieser Stelle nicht weiter auf die Diskussion dieser Fragen eingehen. Eine Tatsache ist aber klar, da13 man beim Ohmschen Gesetz in erster
Linie direkte Angaben uber die Leitungsstromdichte, wie sie in (6) und (28)
zu finden sind und nicht Feststellungen uber den Gesamtstrom, die die G1. (22)
liefert, erwartet. Gibt man diesen Gedanken Gewicht, so mu13 fiir das O h m sche Gesetz die G1. (6) oder in isotropen Medien der Ausdruck (25) genommen
werden.
Als ein weiteres Kriterium fur die Richtigkeit der obigen Gedanken erscheinen uns weiter die Folgerungen, die man aus dem 4. Komponenten der
jeweiligen Ausdriicke erhalt. Wahrend aus der Gl. (25) die Beziehung
(iL- u
e) a = 0
folgt, bekommt man aus der vierten Komponente von (22) einen Zusammenhang
der Form (24) der - schon auf Grund der Ladungsdichte - im Ohmschen
Gesetz unnotig ist.
Wir wollen nicht verskiumen zu bemerken, daB auch T h . S c h l o m k a l )
in seiner Arbeit ebenfalls einen Stromtensor eingefiihrt hat, der in beliebigen
Medien die Gestalt
besitzt. Setzt man hier in die raumlichen Komponenten die Leitungsstromclichte iL der G1. (21) ein, so ergibt sich die Beziehung
1
a =- [a x iL]
.
(30)
Auf Grund der G1. (30) erhalten mir den Zusammenhang
zwischen den beiden Stromtensoren.
Kehreii wir am Ende dieser Arbeit noch einmal zu dem Gleichungssystem(9)
zuriick, das die Materialgleichungen in beliebigen Medien bei Feldabhangigkeit
des Materials darstellt. Auf Grund der Hysteresefreiheit und der damit ver-
M . Tischer u. S. Hess: Die Materialyleichungen in beliebigen iMedien
121
bundenen Vollstiindigkeit des Differentials schlieBt E. Schmutzer4) auf
die Feldunabhangigkeit des Materials und erhiilt daraus eine Unsymmetriebedingung.
Ganz iihnlich hat man nun bei dem verallgemeinerten Materialtensor
npvapzu folgern. Im Ruhsystem, auf das wir uns hier beschriinken wollen,
hat das Differential die Form
Bekanntlich setzt sich aber der Ausdruck i L d @ aus der irreversiblen
Jouleschen Wiirme und der Peltierwiirme zusammen7). Das Verschwinden
der Jouleschen Wirme fiihrt auf die Vollstandigkeit des Differentials dA
und auf die Integrabilitiitsbedingung
a(J,B
-
mrv
aHag
'
welche dann die Unsymmetriebedingung des Materialtensors npy a 6 ergibt.
cr1
Nun hat aber das Verschwinden der Jouleschen Wiirme iLeine unendliche Leitfiihigkeit zur Folge, die nur bei der Supraleitung gegeben ist. Infolgedessen ist der Leitfiihigkeitstensor im allgemeinen unsymmetrisch.
') R. Becker, Theorie der Elektrizitiit, Bd. I, Leipzig 1949, S. 137.
Herrn Prof. Falkenhagen sind wir fiir seine wertvolle Unterstiitzung
zu groBem Dank verpflichtet.
Ros t,oc k , Institut f i i r theoretische Physik der Universitiit.
Bei der Redaktion eingegangen am 11. Juli1958.
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