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Die Metall- und Totalreflexion der isotropen Medien entwickelt im Sinne des Neumann'schen Systemes.

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XI. D i e Metall- un@l’otalrefl8xlmz der isotropen
Hedien e~&twkkeZtd r n Sdnne des A7euniann9sc?ten
Sgstenzes; v o n E. K e t t e Z e r .
Es ist m i r , meines Erachtens, zunlchst im Sinne
F r e s n e l ’ s gelungen, die Gesetze der gewohnlichen und
totalen Reflexion der durchsichtigen Medien und der sogenannten Metallreflexion der absorbirenden Medien in einheitliche Formeln zusammenzufassen.’) Auch yom Standpunkte
N e u m a n n ’ s ist klirzlich durch G l a z e b r o o k 2 ) und T7oigt3)
die Theorie der Totalreflexion selbstandig und unabhkngig
von der der gewohnlichen Reflexion entwickelt worden. Was
dagegen die entsprechende Theorie der Metallreflexion angeht,
so fehlt eine solche g m z , und ist daher auch dlts Verliiltniss dieser zu den Erscheinungen der durchsichtigen Nedien,
wie es sich im Sinne der Neumann’schen Grundrorstellung darstellt, ebenso unbekannt.
Seit indess Hr. K i r c h h o f f 4 ) die Grenzbedingungen N eum a n n’ s modificirt, und seit icli selber 6, Uebergangsbedingungen aufgestellt habe, welche die Reflexionstheorien F r e 8nel’s und N e u m r t n n ’ s gleichzeitig umfassen, ist es leicht
geworden, die vorerwahnte Liickc auszufilllen. Bei der Entwickelung der Gesetze der Netallreflexion kommt es einzig nur
darauf an, dass man Schwingungsausdrlicke von der Form:
2n
{ = 2:e
~
7
‘
[ (;
cos 272
z p +n,tsiiire
-t ---1
)-
4
*
1) Vgl. u. a. Wietl. Ann. 3. p. 83. 1878; und 42. p. 204. 1834.
Carl’s Repert. 16. p. 261. 1SiiO.
2) G l a z c b r o o c k , Proc. Cambridge Phil. Soc. 8. p. 330. 1880.
3) V o i g t , Gott. Saclir. Pebr. 1881. p. 56.
4) K i r c h l i o f f , Abh. t l . H i d . Acad. 1876. p. 75.
5 ) K e t t e l c r . ivied. Ann. 1s. p. 632. 1883.
E. Ketteler.
691
als thstsEchlich richtig anerkennt. Die rationelle Herleitung
dieser Born und ebenso das Grbseenverh&1tnise zwiechen
dem Extinctionamefficienten q, dom Befractionscoefficienten Y
und der durch die Beziehungen:
p = v cos r = Vva - nlssinse , v sin r = n1sin e
(I)
definirten Hiilfsgri3sse p , welches Verhilltniss bekanntlich
von Farbe zu Farbe variirt, mag dann yom 8tmdpunkte
N eumann’s aus einer spatteren Zeit uberlassen bleiben.
Die8 angenommen, hat man die obigen Ausdriicke in
die vorerwilhnten allgemeinen Uebergangsbedingungen einzufiihren. E8 geniigt zu dem Ende, die in meiner friiheren
Arbeit 1) aufgestellten Beziehungen dadurch zu verallgemeinern, dass man den Quotienten:
der Aetherconstanten beider Medien, der fiir das Fresne1’ache System = 1 ist, als vorlilufig unbekannte Grbsse an die
ihm zukommendq Stelle einschiebt.
So erhiilt man fur Schwingungen, die der Einfallsebene
parallel sind, die beiden Grenzgleichungen (cp = 2 n (t/ T ) ):
$siny+hsin(rp--~,)
I 2
=
[(us
- bq sin ( y - xz) - 2ab cos (sp - xi)].
n1
Dieselben sind fur
B
= 1 identisch mit den Gleichungen
(20) p. 97.
Wenn ftir das Fresnel’sche System.die Grossen a, b
Refractione- und Extinctionscoi3fficientfir senkrechte Incidenz
bedeuten, so sollen sie hier einstweilen als mathematiache
Werthe genommen werden, welche mit p , q , e durch die
Gleichungen :
pa - q2 + n,asinae = uz - b27 PP = a h
(3)
verkniipft sind und vielfach zur Erleichterung der weiteren
Transformationen dienen.
1)
Ketteler, Wied. Ann. 8. p. 95. 1878.
692
E. Ketteler.
Eliminirt man die laufende Zeit , so lassen sich beide
Gleichungen auf die kurze symbolische Form bringen :
Analog erhalt man for Schwingungen senkrecht
Einfallsebene:
@;,sinrp+’&sin(cp-,yXB) =SD,sin(rp-,yX,),
(4)
{
@;,sinrp--b
(v--Xe)=
ZUE
~ 0%
[P”in(cp-Xy)-qCOS(cp-Xv)lr
welche Gleichungen fiir o = 1 mit den fruheren (38) auf
p. 102 zusammenfallen.
Dieselben liefern die symholischen Formen:
B,
+ R3 = UY
9
Da wir uns hier blos urn die reflectirten Wellen kiimmern, so sind die Attribute Di , Dy des gebrochenen Lichtes
zu eliminiren. Dadurch gewinnt man dann die Intensitktsausdriicke :
( p + q v z 7) n, - u COB
__e (a + b
(5)
IRp=-
(p
v 3 ) p@P
+ q V T ) n , + ucose(a + b v =
s - n1
n, -co8 e +~ u c?,
( p + gq vv-- - 1)
I)
COB^
7
B8.
Dieselben stimmen fur (T = 1 und bei Einfiihrung anderer
Variabeln mit den von C ft u c hy aufgestellten Ausdriicken
iiberein.
Wir stellen uns jetzt die Aufgabe, den einzelnen Gliedern dieser Formen solche Werthe zu geben, resp. ihnen
eine solche Bedeutung beizuligen, dass dieselben
1. unter gewissen Vereinfachungen unmittelbar in diejenigen Formeln iibergehen, die X e u m a n n selbst :
a) fur die gewohnliche Reflexion und
b) fur die totale Reflexion
der durchsichtigen Nedien aufgestellt hat, und dass dieselben
2. fiir senkrechte und streifende Incidenz mit den fiir
diese Specialfalle von der Erfahrung besonders bestatigten
C a u c h y’schen Formeln der Metallreflexion zusammenfallen.
595
E. Ketteler.
Zu dem Ende sind zwei thdoretische Willkiirlichkeiten
erforderlich, die geraden Weges zum gewunschten Ziele hinfuhren, und die, wie mir scheint, die einzig rnoglichen Mitkel
sind, urn dieses Ziel herbeizufiihren.
E r s t e n s werden wir annehmen, dass auch im N e u mann’schen System die beiden Gleichungen (3) aicht blos
eind mathematische, sondern ebensowohl eine unmittelbar
physikalische Bedeutung haben. Mit anderen Worten: Auch
vom Neumann’schen Standpunkte aus sind v und q als rnit
der Incidenz verauderlich zu nehmen, und sind 11 = vo und
b = qo als deren Specialwerthe anzusehen fur e = 0. EYmag
also dereinst etwa gelingen, die Qleichungen (3) als Integrationsbedingungen gewisser Bewegungsgleichungen direct abzuleiten.
W i r werden z w e i t e n s annehmen, dass der Quotient (F
der beiden Aetherconstanten sich darstellt durch den Amdruck :
sodass die Constante des zweiten, absorbirenden Mediums
gleichzeitig vorn Hauptextinctionscoiifficienten b und vom
Hauptrefrationscoefficienten a abhangen wiirde. Flir b = 0
erhielte dann (F unmittelbar die ihm von N e u m a n n selbst
gegebene Form. Auch diese Beziehung rnag in Zukunft mtiglicher Weise bewiesen werden kihnen.
D a fur das P r e s n e l ’ s c h e System theoretisch (r = 1 ist,
iind d a auch die Gleichungen (3) sich als unmittelbare Folgen
cler mit demselben in Einklang stehenden neueren Dispersionstheorie darstellen, so fallen far dieses die erwahnten
Willkurlichkeiten beide fort.
Fiihren wir jetzt den vorstehenden Werth von G in die
Ausdrucke (5) ein und entwickeln daraus in belrannter Weise
die Werthe fur $Ip,xZ,und ftlr R8,x s . Dann ergibt sich:
Fur parallele Schwingungen:
Auu. d. Phys. 11. Chem.
N. F. SXII.
38
E. Ketteler.
594
Und fur senkrechte Schwingungen:
4;-
- 2pn, COB e [q's i d e + (p' + q')] - a' + b*
- ( p p + q p ) q * + ( a 4 +b39cos~r3n,'ain4e+@*+94'
29% coae [%'ein'e - (p' + p')]
u' + ba
tgX8 ( P P + * ) ? , * - ( a ( + b*)*~08*e~ * s i n * e - ~
8;
gap+
+ ~ '
Jeder dieser Ausdriicke zerfallt in zwei Factoren. Der
jedesmalige erste Factor entspricht fiir sich allein dem
Fr esnel'schen System, mit der Bedingung jedoch, dass die
angehangten p , s gegen einander vertauscht werden; die
zweiten Factoren sind zu je zweien reciprok. Schreiben
wir daher:
.
_ _
- _ _ _
49
' n, sinBe
(a'
+
nlgsin*e- ( p a pp)
+ bB
'
+_bpY
_
aB
wo die beiden letzten Beziehungen ohne Schwierigkeit aus
den Gleichungen (3) entwickelbar sind, so folgt sonach, dass
das Product des ersten und dritten und ebenso das Product
des zweiten und vierten der Ausdriicke (9) fiir F r e s n e l und
Neum a n n identische Werthe haben.
Bus dieser Gleichheit lisst sich eine bemerkenswerthe
Folgerung ziehen. Bildet man den Ausdruck fur den Phasenunterschied des parallel und senkrecht zur Einfallsebene
schwingenden Lichtes:
so ist der Nenner dieses Bruches von der speciellen Auffassungsweise unabhangig. Nun ist bekanntlich fiir das
F r e s n e 1' sche System:
E. Ketteler.
595
wo (b eine gewisse Function von p , q , nl, e bedeutet. Diese
Form trifft daher auch fur das Neumann’sche System noch
zu, wenn der bezugliche Zahler
durch U N ersetzt wird.
Man ersieht so, dass der eogenannte Haupteinfallswinkel in
beiden Systemen an die identische Bedingung geknupft ist :
p 2 -t y2 = n, sin a E tg B.
(1 1)
W a s sodann das zugehijrige Hauptazimuth botrifft , so
gibt bekanntlich das Fresnel’sche System die einfachen Beziehungen:
(; = t g H ; 2.P = tg 2H,
sodass folgt:
11 = n, sin E t g E c o Z~H ,
q = n, sin E tg E sin2H.
Das Neumann’sche System kennt derartig einfache
Verhaltnisse nicht , vielmehr ist tg H nur mittelst Busserst
umsthndlicher Rechnungen zu gowinnen.
Der Grund dieses Verhaltens ist leicht zu erkennen.
WIhrend im Fresnel’schen System der Ausdruck (5) far
Rp auf die bekannte, in zwei Factoren spaltbare Tangentenform :
T ’ ) cos (e + 1,’)
R - - -sin...(e. ..
- .. .- - - - ~
Y sin (e + T ’ ) sin (e - T ’ ) @P
zuriickkommt , in welcher das BrechungsverIialtniss n und
der Brechungswinkel r’ complexe Werthe erhalten, wird hier
die erwahnte Spaltbarkeit um deshalh unmoglicli, weil sie
eben fur c den wegen der Form der Ausgangsgleichungen
(2) und (4) geradezu unmoglichen complexen Werth:
(T = . . .?La
._
_(a + b V - u 2
voraussetzen wiirde.
Was jetzt weiter das Verhiiltniss der Metallreflexion zur
Reflexion der durchsichtigen Medien betrifft, sowie es sich
den Formeln (7) und (€9, resp. (9) und (10) entsprechend gestnltet, so wollen wir in ihnen b = 0 setzen und die Incidenz e von 0 bis 90° ansteigen lassen.
F u r das Interval1 zwischen den Grenzen n, sin e -- 0 und
n, sine = (I ist dann wegen 9 = 0 der Factor:
(12)
f,= 1,
38*
E. Ketteler.
696
sodass die erste und dritte der Gleichungen (9) fiir Rp ,und
‘& nach N e u m a n n und F r e sn e 1 identische Ausdriicke
liefern, wahrend die Verzbgerungen xp und ,ye verschwinden.
F u r das Interval1 zwischen den Grenzen 7t1 sine = a und
71, sin e = 11, wird dagegen p = 9 cos r = 0, folglich der Factor:
(13)
f 2 = 1.
Es verschwinden daher jetzt die Differenzen (@,2 - 8 , z )
und (($82-’iY182)l sodass die Reflexion eine totale wird. Andererseits erhalten diesmd die Ausdrucke fur tgXp und tgXe
nach N c u m a n n und F r e s n e l identische Formen.
Daraus folgt dann, dnss die fiir undurchsichtige Medien
nur nach F r e s n e l mogliche Spaltung dcr Tangentenformel
fur durchsichtige Medien, und zwar fur heide Intervalle, auch
nach N e u m a n n ausfuhrbar wird.
I m allgemeinen werden auch die Formeln fur die Metallreflexion sich in beiden Systemen um so mehr einander
aiiliern, als die Quotienten:
2pn, sin e
~
a2
+ b2 ’
2qn, .sin
e
- - 1
a2 + b2
sowie der Werth von:
cos 0
kleiner und kleiner werden, sodass insbesondere der Voraussetzung zufolge fur e = 0 wie fur e = 90° volle Identitat besteht.
Bemerkenswertli ist noch, dass fur die specielle Inciclenz,
welche an die Bedingung:
p 2 + q2 = n12sin el j l = 0
(14)
geltniipft ist, und filr welche man findat:
tg ( z p ) x und tg ( , Y ~ ) ~zusnmmenfallen, wahrend dagegen
tg ( , y e ) N und tg ( , y P j p moglichst differiren.
Gehen wir zum Schluss nochmals auf die Ausgangsgleichungen auf p 591 und 592 zurikk. Multipliciren wir
beispielsweise die beiden Gleichungen (4) so reprgsentirt
das so gewonnene Product:
Qaa sin Q; sin* (y - xl,) =
1) K e t t e l e r ,
Cad’s Hepert. 16. p. 277. 1850.
E. Ketteler,
597
die Gleichung der mornentanen lebendigen Krafte , die zur
variablen Zeit t vom ersten Medium in db8 zweite ilbergehen. Man multiplicire jetzt jede Seite desselben rnit dt
und integrire iiber die Zeiteinheit. DAIIDergibt sich filr
die totalen oder mittleren lebendigen Krlfte die einfache
Beziehung :
worin der Syirimctrie wegen D8 statt
geschrieben ist.
Indem hier beznglich der mabogen, ftir die Parallelschwingungen aus Gleichungen (2) abzuleitenden Beziehmg auf die
citirte Abhandlungl) sel.bst verwiesen werden mag, setze man
unter Bewhtung der Definitionsgleichungen (1):
- P . = -u- cos
- - 1' -
n, cos e
n, COB e
v 2 sin ?*
n,
* sin e
COB
-
r
cos e
7
und ftihre diesen Werth nebst den beiden oben besprochenen
Werthen von CT in die letzte Gleichung ein. Setzt man zuaachst nach F r e s n e l :
6 = 1,
so erhalt sonach die Gleichung der mittleren lebendigen
Krgfte die Form:
(I'iF)
n12sin e cose (&z - RBS)
=
sin T cos r %>.
Substituirt man dagegen nach N e u m a n n:
( 1 7 ~ ) nI2sin e cos e
- 'iXS2)= g2-+35sin 7' cos 1' Za2.
V2
Die F r e s n e l'sche Form ist identisch mit der bezliglichen Form der durchsichtigen Medien, wghrend die Form
N e u m a n n ' s ghzlich davon abweicht. Da nun, solange
wenigstens die Oleichungen (3) a1s physikalische Gesetze zugelassen werden, ausser etwa der noch speciellereii Annclhme
0 = n I 2 / d nur der von uns angenommene Werth von 0 zu
__
-
I ) K e t t e l e r , Wied. Ann. 8. p. 98. 1876.
598
S. P.Langley.
den von N e u m a n n selbst gegebenen Ausdriicken der gewohnlichen und totalen Reflexion der durchsichtigen Medien
hinfiihrt, so ist jede andere Annahme, (z. B. (T = nla/wa,
(T = n I 2 /(va + pa))) beziiglich
dieses Quotienten der beiden
Aetherconstanten ausgeschlossen.
B o n n , im Mai 1884.
XI 1. X~pemhaemtelleBestirnrnzcny der WellenliCrbnyera
irn unns.lchtbaa*enpr%ssmat4schemSpectrum;
von S. P. Lamg1e.y.
(Hlerzn Tsf. IX.)
Bei meinen Versuchen auf Mt. Whitney war ich auf
eine bis dahin unbekannte dunkle Bande (52) gestossen, deren
Ablenkung eine sehr grosse Wellenlange andeutete. Es bot
sich mir damals zur Bestimmung derselben eine der mehr
oder weniger zuverlassige Extrapolationsforrnel dar. Die
Cauchy'sche Pormel ergab nun dits unmogliche Resultat,
dass ein Brechungsexponent, wie ich ihn gefunden hatte, bei
diesem Prisma nicht moglich sei. Ich wurde dabei auf die
grossen Fehler aufmerksam, zu denen die Ubliche Formel
fiihrt.
Jedes Prisma gibt eine verschiedene Darstellung des
Spectrums, und wir konnen die Lage der einzelnen Linien
vermittelst des ,,normalen Spectrums'f, d. h. der die Wellenlangen direct wiedergebenden Zeichnung bestimmen. B u s
praktischen Griindcn empfiehlt es eich, fiir den vorliegenden
Zweck dieses normale Spectrum zu benutzen, wahrend es sich
z. B. fur die Darstellung der Energie an den einzelnen Stellen
des Spectrums empfehlen kann, dieselbe als Function der Schwingungszahl, oder des reciproken Werthes d w Quadrate der
WellenlSlnge oder irgend einer anderen Function derselben
darzustellen. Obgleich es scheinen konnte, dass wir des
prismatischen Spectrums nicht mehr bediirfen, seitdem Bon7l a n d seine concaven Gitter construirt hat, so ist dies doch
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