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Die Methode von A. A. Michelson zur Grenbestimmung von Fixsternen und ihre bertragung auf Ultramikronen

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61
3. D i e Hethode vom A. A. X 5 c h e l s o w
szcr Gr@3ewbestQmmu/ngv on Zixsternrtew uwd ihre
h r t r a g u l z g auf Ultram5kronen;
vow R u d o l f Bechmawnrt
(Hierzn Tafel I)
Einleitung
I m folgenden sol1 die Methode von M i c h e l s o n l ) zur
GroBenbestimmung von Fixsternen nach einem Vorschlag von
H. S i e d e n t o p f 3 auf die mikroskopische Anwendung zur Bestimmung der wahren GrGI3e von Ultramikronen ubertragen
werden. Die Intensitatsverhaltnisse in der Bildebene sind bei
Selbstleuchtern und Nichtselbstleuchtern wegen der Inkoharenz
bzw. Koharenz der von diesen ausgehenden Strahlung verschieden. Bei R. Bans3) findet sich eine Diskussion fur spaltund kreisf ormige Hlenden, wahrend die Diskussion von Doppelspaltblenden, wie sie Michelson zur praktischen Durchfuhrung
seines Verfahrens in Anwendung bringt, beim Mikroskop zwar
gegenuber der von G a n s behandelten Anordnung zu keiner
weiteren Steigerung des Aufl6sungsvermogens, wohl aber zu
wesentlich deutlicher beobachtbaren Erscheinungen Anla6
geben wird.
Die Intensittitsverhaltnisse fur Selbstleuchter und Nichtselbstleuchter werden allgemein au8 einem Beugungsansatz abgeleitet; durch spezielle Annahmen folgen die von M i c h e l s o n
angegebenen Resultate.
Nach einigen Vorbemerkungen uber die Darstellung der
Intensitiitsverteilung eines leuchtenden Objektes in der Bildebene in 8 1 und einer allgemeinen Definition der Methode
und ihre Stellung zur Abbeschen Abbildungstheorie in 8 2,
1) A. A. M i c h e l s o n , Phil. Mag 30. S. 1-21. 1S90.
2) H. S i e d en t o p f , Z s i g m o n d J Festschrift, Erganzungsband der
Kolloid-Zeitschrift 36. 1925.
3) R. Gans, Ann. d. Phys. 78. S. 1. 1925.
-
62
R.Bechmann
werden in 0 4 die wesentlichen Resultate fur Selbstleuchter,
in 5 5 die Erscheinungen fur Nichtselbstleuchter abgeleitet.
I n $j6 wird die Leistungsfiihigkeit der Methode dargelegt und
auf die technische Anordnung eingegangen, die zu einer Erwartung irrtumlicher Resultate AnlaB gegeben hat.
§ 1. Dae Blld einee leuchtonden Objektee
Die Verkniipfung von Objektraum und Bildraum eines
optischen Systems geschieht physikalisch durch ein Randwertproblem der Wellengleichung.
Die Gruppe von Problemen, die sich auf die Beugungserscheinungen in einer mathematisch streng definierten Ebene
beziehen, wie z. €3. der Fragenkomplex des Auflosungsvermogens
(idealer) optischer Instrumente, laBt sich behandeln mittels der
von E i r c h h o f f l ) auf Grund des Huyghensschen Prinzips
abgeleiteten angenaherten Losung fur den Lichtvektor in der
Bildebene. Dabei wirkt die Eintrittspupille des abbildenden
Systems als beugende Offnung. Damit aber streng eine Ahbildung in einer Ebene zustande kommt, sind Voraussetzungen
notwendig, die in folgendem dauernd beibehalten werden und
auch nahezu erfullbar sind. Diese sind: Das abbildende
System sei zentriert und vollstindig korrigiert , scharf eingestellt und so berechnet, daB es die Abbesche Sinusbedingung? fur punktweise Abbildung mittels weitgeoffneter
Strahlenbiischel erfulle.
Durch Anwendung des Greenschen Satzes3j auf eine
Funktion u , die der Schwingungsgleichung geniigt, gelingt ea,
die Werte der Funktion u im Aufpunkt P darzustellen durch
die Werte von u auf der den Aufpunkt umschlieBenden
Flache 25’ mit der in den Objektraum weisenden Normalen Y.
Diea ergibt, falls man fur u ein spezielles Integral der
Schwingungsgleichung fiir riiumliche Lichtausbreitung, eine
1) G. Kirchhoff, Vorl. uber math. Optik, Leipzig 1891.
2) E. Abbe, Die Lehre von der Bildentstehung im Mikroskop,
herausgeg. von 0. Lummer u. F. R e i c h e , Braunschweig 1910. S. 13.
3) Die hier angegebene Vereinfsehuag des Kirchhoffschen Verfahrens entnehme ich den Vorlesmgen uber Optik von A. Sommerfeld
(ungedruckt). Vgl. auch R i e m a n n - W e b e r , Diff.-Gl. der Physik, 11.
Kap. 13 (im Erecheinen).
Die Methode von -4. A. Michelson usw.
63
e i k ro
Kugelwelle -- , und die Flache 22 als eben annimmt, fur
ro
die Erregung im Aufpunkt:
Dabei bedeuten r0 und T die Entfernungen des Elementes d 6
der beugenden Ebene 25’ vom Lichtpunkt bzw. Aufpunkt.
Nach der Kirchhoffschen Methode ist in (1) die Integration
iiber die lichtdurchlissige -0ffnung G der Flache 2 zu erstrecken. Durch Einfuhrung eines rechtminkligen Koordinatensystems, dessen 2-Achse in den Objektraum weist und durch
eine Taylorsche Entwicklung der GriiBen r0 und T bis auf
3
findet man fur die resul@lieder von der Gr68e (l/B)3,
tierende Erregung im Aufpunkt:
(s)
(3)
I
bedeutet. Dabei sind z0,yo, zo die Koordinaten des Lichtpunktes, 2, y, z die dss Aufpunktes, E, 1 die des Elementes
der Integrationsflache da. 2, y und ro,yo konnen als kleine
@froBen vorausgesetzt werden.
Bei endlichem Abstand, sei e8 des leuchtenden Punktes,
oder des Aufpunktes, von der Flache G sind in dem Ausdruck (3) die quadratischen Glieder im allgemeinen beizubehalten; die auftretenden Beugungserscheinungen sind vom
Fresnelschen Typus. Zu Fraunhoferschen Beuguagserscheinungen gelangt man, wenn in (3) die quadratischen
Glieder verschwinden. Dies wird erreicht, wenn in (3) R und Ro
fiber alle Qrenzen wachsen, bzw. in dem allgemeineren Fall,
da8 die Bedingung
(4)
64
R. Bechmann
erfullt ist; d. h. daB man in der Objektebene selbst beobachtet.
Dies entspricht dem Fall, daB man ein Fernrohr auf die
senkrecht zu seiner Achse liegende Ebene, die den leuchtenden
Punkt enthiilt, einste1lt.l) Die IntensitMsvcrteilung in der
Bildebene eines den obigen Voraussetzungen genugenden abbildenden Systems stellt sich also nach (2) und (4)durch das
Quadrat des absoluten Betrages von
dar. GemaB der Ableitung beziehen sich die Koordinaten x
und y nicht auf den in der Bildebene liegenden Beobachtungspunkt, sondern auf den ihm in der Objektebene konjugierten
Punkt. Der Ubergang zu den Koordinaten x' und y' in der
Bildebene bei einer durch ein optisches System mit der
LateralvergroBerung vermittelten Abbildung erfolgt auf Cfrund
der A b b e schen Sinusbedingung durch die Beziehung
(6)
2'=/92;
y'=Py.
Daraus folgt, daB die virtuellen Beugungserscheinungen in der
Objektebene sich von den reellen Erscheinungen in der Bildebene nur durch ihre Dimensionen unterscheiden, so daB eine
Veranderung der LateralvergroBerung keinen wesentlichen EinfluB auf die Beugungserscheinungen hat.
Die Formel (5) gilt nur fur streng punktformige Objekte.
Zu einer Darstellung der Intensitatsverteilung in der Bildebene
fur ein ausgedehntes Objekt gelangt man durch die Superposition
der von den einzelnen strahlenden Fliachenelementen des Objektes herriihrenden Beitrage.
Nach A b b e z, sind dabei
Selbstleuchter und Nichtselbstleuchter zu unterscheiden,
Bei Selbstleuchtern sind die Intensitaten der einzelnen
Beitrage zu summieren. 1st z der Bereich der leuchtenden
Flaohe, so ergibt sich fur die IntensitBtsverteilung3)
1) Nach E. A b b e (Bildentstehung ugw., a. a. 0. S. 24) gelangt man
stets zu Fraunhoferschen Beugungserscheinungen, wenn bei einem
optischen System Lichtpuokt und Aufpunkt in Ebenen liegen, die in
beeug auf das abbildende System konjugiert sind.
2) E. A b b e , Ges. Abhandlungen 1.
3) N bedeutet Norm, d. i. das Quadrat des absoluten Betrages des
betreffenden Ausdruckes.
Die Methode von A. A. Michelson
(7)
J =J J N {
k
eiR
rec=-4
65
USW.
+ r l (Y - Y o f l
r
wobei die Funktion ~ ( z der
)
Intensitat der Ausstrahlung der
einzelnen Flachenelemente d c Rechnung tragt.
Bei NiehEselbstZezichternn sind, da alle Teile der von dem
Objekt ausgehenden Strahlen koharent schwingen, die Amplituden der Lichterregung im Aufgunkt zu summieren. Dementsprechend ergibt sich fur die Intensitatsverteilung
Dabei bedeutet y (r) die Amplitude der Lichterregung in dem
betrachteten Element des Objektes bzw. seinen Durchlassigkeitskoeffizienten fur die primare Strahlnng bei Hellfeldbeleuchtung.
A, ist ein Phasenfaktor, der im wesentlichen dem schiefen
Einfall der Beleuchtung Rechnung tragt. Zu einer physikalisch
anschaulichen Interpretation von (8) gelangt man nach Abbe I)
durch Vertauschung der Integration uber die Ieuchtende
Flache mit der uber die wirksame Aperturblende. Daduroh
wird aus (8)
worin das innere Integral das auf der Fliiche D von z erzeugte
Interferenzspektrum darstellt. Die zweite Integration Iiefert
die Intensita€sverteilung in der Bildebene durch Interferenz
der von diesen Spektren durch die beugende &hung, bzw.
Aperturblende in das Instrument gelangenden Lichtstrahlen.
Die xhnlichkeit des Bildes ist bedingt durch die Anzahl und
die Ordnungen der zur Interferenz gelangenden 5lpektren.a)
Die in der beugenden Ebene auftretenden Beugungsmaxima
and Minima, deren Abstinde und Intensitaten, sind abhiingig von der Form bzw. Struktur und der Beleuchtung des
Objektes.
1) E.Abbe, Beitrsge zur Theorie des Mikroskops nnd der mikroskopischcn Wahmehmung, Arch. f. mikr. Anatomie 9. 1814.
2) M. W o l f k e , Ann. d. Phys. 34. S. 277. 1910; 37. S. 96. 191%.
Annalen der Physik, IV. Folge. 84.
5
66
R.Bechmann
9
2. Die Erweiterung des Auflosungeverm6gena
Allgemeines
Leuchtende Objekte, deren Dimensionen unter der Grenze
des Auf losungsvermogens der Objektive optischer Systeme
liegen, lassen eine direkte GroBen- und Formbestimmung nicht
zu, wahrend ihre Sichtbarmachung im Fernrohr und Mikroskop
(Ultramikroskop) gelingt. Als untere Grenze fur die Sichtbarkeit von Ultramikronen kann die QroBe von 0,004 p angenommen werden.')
Demgegenuber entsteht die Frage nach einer optischen
Anordnung, aus der sich auf die QroBe der leuchtenden Objekte schlieBen la&.
F u r Selbstleuchter weist R. E'i z e a u a) auf die Maglichkeit
hin, die Interferenzen der von zwei leuchtenden Spalten herriihrenden Beugungserscheinungen zu verwenden , um einen
SchluB auf die Gro8e der Sterndurchmesser machen zu konnen.
Unabhangig davon gibt M i c h e l s o n dieselbe optische
Anordnung, auf Grund deren M i c h e l s o n und P e a s e a ) in
neuerer Zeit vier Sterndurchmesser erfolgreich bestimmt haben.
Die Methode beruht auf folgendem. Deckt man das Objektiv
eines astronomischen Fernrohres mit einem undurchlassigen
Schirm zu und 1aBt an den beiden Enden eines Durchmessers
der Objektivoffnung zwei schmale spaltformige Teile wirken,
dann wird das Bild eines Objektes, das unter der Grotle des
Auflosungsvermogens des abbildenden Systems liegt und als
Beugungsscheibchen erscheint, parallel zu der Verbindungslinie
der beiden Spaltmitten auseinandergezogen ; auBerdem entsteht
eine Interferenzerscheinung auf dem Beugungsscheibchen, die
aus mehreren aquidistanten Helligkeitsmaximis und -minimis
besteht, derart, daB diese Interferenzstreifen senkrecht zu der
L'ingserstreckung des Beugungsscheibchens stehen und parallel
zu den Spalten, die uber der Offnung des Objektivs angebracht
sind, laufen. Diese Beugungserscheinungen erlauben einen
SchluB auf die GroBe des leuchtenden Objektes. M i c h e l s o n
1) H. S i e d e n t o p f , Ztschr. f. wiss. Mikr. 29. S. 1-47. 1912.
2) 11. F i z e a u , Bern. zum Prix Bordin, Compt. rend. 6G. S. 934. 1868,
3) A. A. Mich els on, Phil. Mag. 30. S. 1-21. 1590.
4) A. A. Michelson und F. G. Pease, Astrophys. Journ. 63.
S. 249-259. 1921.
Die Methode von A. A. Michelson usw.
67
zeigt: Hat das leuchtende Objekt in einer Richtung parallel
zu der Verbindungslinie der beiden Spalte einen Durchmesser,
der gleich dem objektiven Auflosungsvermtjgen des Fernrohres ist, das einer h u n g des Objektivs entspricht, die bis
zu den Spalten reicht , dann verschwindet diese Interferenzerscheinung zugunsten einer im wesentlichen konstanten Helligkeitsverteilung in der Mitte des Beugungsscheibchens ; auf
Objekten von abweichender GrMe bleibt sie noch sichtbar.
Durch Veranderung der Spaltabstande wird diese Interferenzerscheinung verandert ; die Beobachtung ergibt dann ein Verschwinden der Interferenzstreifen bei einem entsprechenden
Objekt.
Zur praktischen Ausmessung von Objekten sind also die
Intensitiitsverh&ltnisse der Beugungsscheibchen in Abhangigkeit
von der ObjektgroBe und dem Abstand der beiden Spalte zu
berechnen ; insbesondere sind die speziellen Abstande, bei denen
die Interferenzerscheinungen verschwinden, zu ermitteln.
F u r Selbstleuchter sind diese Rechnungen unter Berucksichtigung verschiedener Ausstrahlungsgesetze der Lichtquelle
naherungsweise durchgefuhrt.l)
Nach N i c h e l s o n l&Bt sich das interferometrische Me6verfahren auch mit einer spaltformigen oder kreisfiirmigen
Blende variabler GrGBe durchfuhren ”);doch werden einerseits
die visuellen Bedingungen fur die Beobachtung der Intensitatsmaxima und -minima dabei wesentlich ungunstiger, andererseits ist die Leistungsfahigkeit dieser Anordnung geringer, so
daB dies Verfahren bisher keine experimentelle Anwendung
gefunden hat.
Die Frage nach der GrBBenbestimmung von Ultramikronen
aus dem ultramikroskopischen Bild wurde von H. S i e d ent o p f 3, aufgeworfen. Wiihrend ein Versuch zur GroBenbestimmung, das bei Totalreflexion in das zweite Medium eintretende Licht fur die Funkenerscheinung unrunder Ultramikronen auszunutzen4), miBlang, eeigt die Michelsonsche
1) A. A. M i c h e l s o n , Phil. Mag. 30. S. 1. 1890.
2) A.A. M i c h e l s o n , Phil. Mag. 30, speziell S. 17. 1890.
3) H. S i e d e n t o p f , Zsigmondy-Festschrift a. a. 0.
4) Cotton und M o u t o n , Les Ultramicroskopes S. 45. Paris 1906.
5*
R. Bechmann
68
Methode beim Mikroskop bzw. Ultramikroskop nach Vorversuchen von H. Siedentopfl) einen Weg zur Messung der
wahren Gro8e von Ultramikronen, worauf schon Mi c h el s o n 2,
und E. Gehrckes) hingewiesen haben. Uber die Anwendung
von nur einer spalt- bzw. kreisfijrmigen Blende vgl. R.
Es sei das Prinzip, das der wahren GrbBenbestimmung
eines leuchtenden Objektes aus seinem als Bild erscheinenden
Beugungsscheibchen zugrunde liegt, allgemein formuliert.
Unter Verwendung einer optischen Anordnung, die eine
oder mehrere experimentell veriinderliche GroSen enthalt, sei
fur die Intensitatsverteilung des unahnlichen Bildes eines
leuchtenden Objektes, die abhangt von den wahren Dimensionen und eben diesen Parametern, ein eindeutig beobachtbarer 6,Kipp"-)Effekt der Intensitatsverteilung gesucht, der
einen berechenbaren Zusammenhang liefert zwischen diesen
durch das Einstellen auf den Kippeffekt festgelegten Variablen
und der wahren ObjektgriiSe.
Diem im AnschluB an Michelson formulierte Methode
zur Bestimmung der wahren ObjektgrOBe aus seinem unahnlichen Bild stellt eigentlich kein neues Prinzip dar , vielmehr
eine direkte Erweiterung der seit Abbe systematisch entwickelten Theorie des AuflosungsvermGgens optischer Instrumente. I n den diesbeztiglichen Formeln fur die Intensitiitsverteilung von Selbstleuchtgrn (7) und Nichtselbstleuchtern (8)
wird unter Konstanthaltung der Koordinaten des Objektes
diese als stetige Funktion der Koordinaten der Eintrittspupille
aufgefabt. I n derselben Weise erzeugte Abbe sukzessiv uniihnliche Bilder des Objektes, nur mit dem Unterschied, daS
die Koordinaten der Eintrittspupille nicht stetig veranderlich
waren.
9 3. Ableitung der Sntegrale &us den Gleiohungen (7) und
(8)
A. Zuniichst iat der in Gleichungen (7) und (8)auftretende
Ausdruck, der die Abhiingigkeit der Intensitatsverteilung von
1)
2)
3)
4)
H. Siedentopf, Zsigmondy-Featachrift a. a. 0.
A. A. M i c h e l s o n , Americ. Journ. of Science 39. S. 115. 1890.
E.Gehrcke,DieWissenschaft,Heft17. S. 120. Braunschweig1906.
R. Gane, Ann. d. Phys. 78. S. 1. 1925.
Die Xethode von A. A. Michelson usw.
69
der Porm der Eintrittspupille darstellt, zu bilden. Es werde
der Ausdruck
fur die folgenden Formen der Eintrittspupille sbgeleitet.
a) Spaltformige Offnung. Die Rander der Blenden liegen
symmetrisch zu dem Koordinatensyetern. Die Breite des
Spaltes sei a, die Hohe b. Dann wird aus (10)
b) Kreisformige Offnung. Der Radius dee Ereiees sei s.
Sein Mittelpunkt falle mit dem Koordinatenanfangspunkt zusitmmen. Durch Einfuhrung von Polarkoordinaten
= PcosO; 4 = PsinO; x - x o = g c o s 8 ; y-yo = g s i n 9
wird aus (10)
Nach der Theorie der Beseelschen Funktionen ist
Dedurch wird
BUS
(12)
R. Bechmann
70
c) Zwei spaltformige Oflnungen. Beide Spalte seien gleich
groB und liegen symmetrisch zu dem Koordinat.ensystem; sie seien
untereinander parallel und parallel zur rp Achse (vgl. Fig. 3). Die
,
1
b
+y
-(d+a)
j --
l e i i fi (z- zo) t 1) i y
~
1
2
--(a-a)
15)
-
yo)]
b
2
1
b
- %@-a) + T
+
S --
J’..Zi
- -(d+a)
2
1
I-
ifi a (2
- + ‘1(Y - yo)] d g dr],
p [&(z Q)
b
2
- 20) sin p a (z - 5) sin ,u b (y - yo) .
r S @- %)(Y - Yo)
Der zweite Term in (15) geht aus (16) durch Vertauschung
von 6 mit - 8 hervor und wird
-e-ipa((”-q)sin,ua(z - q,)sinpb(y - yo) .
(16 a)
P2 @ - 23 (Y - Yo)
Die MetJmie won A . A. Michelson usw.
71
Die beiden Glieder (16) und (16a) lassen sich noch zusammenfassen, wodurch (15) iibergeht in
Weiter lieBe sich eine Anordnung angeben, bei der die
eben betrachteten Offnungen weiter unterteilt Bind, also durch
mehrere Spalte oder im Grenzfall vieler Spalte durch ein
Beugungsgitter ersetzt sind. Doch gehen w i r hierauf nicht
ein, da in dieser Richtung noch keinerlei Vorversuche ausgefiihrt sind.
B. Bei der Bildung der Ausdriicke (7) und (8) ist sodann
auf die Form des leuchtenden Objektes und die Aurstrahlungsverteilung uber dasselbe Riicksicht zu nehmen. Die Objekte
liegen symmetrisch zum Koordinatensystem. Form und Ausstrahlung seien in die Beziehung
(18)
Yo = ff@O>
zusammengefaSt, so zwar, da6 bei gleichmU3igerAusstrahlung yo
die zur Abszisse x0 gehiirende Ordinate der Begrenzung der
Scheibe bedeutet, bei ungleichfdrmiger Ausstrahlung aber eine
reduzierte Ordinate, die sich aus dem Ausstrahlungsgesetz
cp(~,,yo)in der unter c) erlauterten Weise berechnet. Der
Phasensektor in (8) sei in folgendem gleich Eins gesetzt.
Es werden folgende F d l e betrachtet:
a) Lineares Objekt mit gleichmaBiger Ausstrahlung. Das
Objekt habe die Hifhe 1 und die Breite d. Dann gilt
yo = f(so)=
(19)
1
fur 0
d
< zo< 7.
2
b) Kreisfirmiges Objekt mit gleichmii/%’ger Ausstrahlung.
(18) wird, wenn d der Durchmesser der Kreisscheibe ist
C)
RreisfZrrmiges Ohjekt mit ung leicher Oberfliieh enausstrah-
Die Ausstrahlung sei zonal, d. h. nur eine Funktion
des Abstandes q vom Mittelpunkt der Scheibe. Das Ausstrahlungsgesetz sei gegeben durch
lung.
72
R. Bechmann
Dann sol1 in (18) bedeuten:
Setzt man speziell eine Verteilungl) von der Form
an, wobei g den Radius der Kreiszone bedeutet, so geht (22)
uber in
Dieses Integral li6t sich auswerten; (24) ergibt
wobei
2 * 4 *6 . . .2m
ist,
x = J O * l .r 3 . 5 ...(2 m - f -1)
Ee sei hervorgehoben, daB nach (25) die Intensitat am
Rand der 1euchteqdeD Scheibe versobwindet, wits tatsiichlich
nicht der Fall ist. Bei Sternen vollzieht aich der IntensiGtsabfall nach dem Gesetzq
(1 4- #m5@
c o s a = fi=-&
Far den Wert 9~ = 0,4 in (25) stirnmen beide Anssltze praktiarch
(26)
gut uberein. Der Parameter n li6t sich auch durch Messung
ermitteln, worauf in dem folgenden Paragraphen hingewiesen
wird.
0 4. Apwendung &uf rJglbstleuohter
Wir beschrbnken une in diesem Paragraphen auf die
Doppelspaltanordnung, da die Steigerung des Auflosungsvermijgens an die Anwendung der Michelsonschen Spiegelmethode geknupft ist. Aber auch in dem Grenzgebiet des
normdeq Auflijsungsvermijgens dea verwendeten Teleskops,
1) A. A. M i c h e l s o n und F. G. Pease, Astrophya. Journ. 63.
S. 249-259. 1921.
2) R. E m d e n , Festschrift fiir v. S e e l i g e r , Berlin 1924. S. 347.
Die Methode von A. A. iWchelson usw.
73
bei dem man zur GrOBenbestimmung mit der Anwendung
einer einzigen spalt- oder kreisfarmigen Blende von variabler
GriiBe auskommt, gibt die Doppehpaltordnung, also hier ohne
Spiegel, zu wesentlich giinstigeren visuellen Erscheinungen
AnlaB.
Unter Annahme einer aus zwei Spalten bestehenden Eintrittspupille wird die Intensitit auf dem Beugungsscheibchen
nach (7), (17) und (18) proportional dem Ausdruck
+-d2
(27)
f(5)
s i n p a ( 5 - z,,)
J = J J[,,P b d
--
a
o
$0)
sinpb(y
P b (Y
- yo) cospa(x-zo)]~
- Yo)
2
*dx0d~,.
In dem Gtrenzfall verschwindender Spaltbreite und Hijhe
geht (27) wegen
iiber in
d
fz
(28)
-
J = J f (z0)C O S ~p 6 (z
--d
so)d z o
2
bzw. nach einer kleinen Umformung in
a
+H
(28a)
J = L$f(
2
rob)[l +cos2pa6f~- x0)Idqp
--d2
der bei Michelsonl) den Ausgangspunkt fiir das Verfahren
bildet.
Die Diskussion des Ausdruckes (28a) fuhrt Michels on
mit Hilfe eines Visibilitatsansatzes aus, der fiir das Folgende
nicht verallgemeiuerungsfahig ist. Nan iiberzengt sich leicht,
da8 die IntensitBtsverteilung (28a) ilquidistante Helligkeitsmaxima und -minima besitzt, die fur bestimmte Werte der
Parameter d und d simultan verschwinden. Bei dem allgemeineren Ausdruck (27) findet dies nicht mehr statt. Wir
1) A. A. Michelson, a. a. 0.Formel (1).
R. Bechmann
14
beschriinken uns bei der Diskussion von (27) bzw. (28a) auf
die Durchschnittsachse des Beugungsscheibchens, setzen daher
im folgenden stets y = 0. AuBerdem genugt es, das Verhalten
der Intensitat in Abhangigkeit von der ObjektgroBe und dem
Spaltabstand in der Mitte des Beugungsscheibchens, also in
der Umgebung der Stelle z = 0 zu untersuchen. Hier gilt,
da unter den gemachten Annahmen fur f(z,,) nach (19), (20)
bzw. (25) d J l d x identisch Null ist, d. h. die Intensitit hier
dauernd einen Extremwert besitzt, die Entwicklung
Funktionen der Parameter d und 6 sind.
wobei J ( 0 ) ; ($-$)o
Als Bedingung fur den einstellbaren Effekt, die die gesuchte
Beziehung zwischen d und 6 liefert, setzen wir an:
Auf Gleichung (28a) angewandt, ergibt sie
d
i"
(31)
d
f ( ~ 0 ) C 0 S 2 p 6 ~ 0 *==d0~. 0
- _2
Wir fiihren darin die dimensionslose Integrationsvariable
u s - 2xo und den dimensionslosen Parameter
d
db
-p=
-n
db
AR - - p
ein. (31) geht dabei iiber in
(33)
i'
~ ( w ) c o s ~ p 2dow. = 0 ;
f ( 4= f k o )
*
-1
Die. speziellen Werte, fur die (33) verschwindet, seien p = p,,
wobei der Index Y die Ordnung der Wurzeln angibt. Gleichung(33) gibt dann fur die Werte von p , den Zusammenhang zwischen der ObjektgroBe und den speziellen Spaltabst&nden, bei denen die Interferenzstreifen in der Mitte des
Beugungsscheibchens verschwinden.
Es sind nun die Werte von p , fur die verschiedenen
Objektformen zu ermitteln.
Die Methode von A. A. Michelson
USW.
75
Bei Annahme eines linearen Objekts erhiilt man nach (19)
fiir (33)
tl
+Jcosnpwdw=--
(34)
lsinnp
- 0.
ZP
-1
Die Wurzeln sind also
p, = 1; 2; 3;
(35)
Fur eine nach dem Qesetz (25) strahlende Kreisscheibe
lautet (33) bis auf einen konstanten Faktor
...
$-
(36)
w2~+'l*cosmpwdw
= 0.
-1
Dieses Integral laBt sich durch Be s s el sche Funktionen darstellen.l) Es gilt die Beziehungz)
(37)
Jn
(4 7
(3
r(;)
I&-
+ 4).
w2)n--'/*cosZW.dw.
-1
Somit wird (36)
(38)
j(1
- w2)af'/*~osmpw.d w = CC;r,+l(mp)= 0 .
0
Fur die gleichmaBig strahlende Scheibe ist nach (20)bzw. (25)
n = 0. Die ersten beiden Werte von p, p , und p z , die die
Qleichung (38) erfullen, sind in ihrer Abhangigkeit von dem
Parameter n als Abszisse in Fig. 4 dargestellt. Als Ordinate ist
der Wert von p, d. h. die durch I dividierte erste bzw. zweite
Wurzel der Besselschen Funktion von der Ordnung n gewahlt. Zufolge einer am Ende des vorigen Paragraphen gemachten Bemerkung tragt der Wert n = 0,4 in geniigender
Naherung den tatsachlichen Verhaltnissen Rechnung. Andererseits besteht bei technischer Vervollkommnung der Methode
die Mijglichkeit, aus den beiden Spaltabstanden, bei denen die
Interferenzerscheinungen zum ersten und zweiten Male verschwinden , diese Unbekannte zu ermitteln. Sind die beiden
ersten sukzessiven Wurzeln in (38) p, und p z , so ist
a=8,
P2
4. '
1) R. Gans, Physik. Ztschr. 26. S. 335. 1924.
2) G.N. Watson, Theory of Besael Functions, Cambridge 1922.
R.Bechmann
76
wenn 8, und 8, die beiden gemessenen Werte fur jene Spaltabstande sind. Daraus 1aBt sich die Ordnung der zugehorigen
Fig. 4
Q4 1
i
I
1
I
I
77
Die Methode uon A. A . Nichelson usw.
Abszisse ist der Wert von n, als Ordinate das Verhaltnis der
ersten beiden Wurzeln der B es selschen Funktion von der
Ordoung n + 1 aufgetragen, welches nach (38) gleich dem Verhaltnis der gemessenen Werte SJS, ist.
Wir beriicksichtigen nun die endliche Spaltbreite und
greifen dazu auf Formel (27) zuriick. Unter Beschrankung
auf die Querachse des Beugungsscheibchens wird (27), falls wir
ein lineares Objekt zugrunde legen, bis a d einen unwesentlichen Faktor, der von der Integration nach yo herriihrt:
Fuhrt man die Bezeichnungen
(40)
1; p a d = q ; ~
ein, so nimmt (39) die Gestalt an
- x0) = 5;
U ( Z
d
a = /?
€-+
Durch Einfiihrung der Funktion
wird (41)
(41 a)
J=F(g++)-F(g-+).
Die Funktion (42) 1’aBt sich durch den Integrdsinus und die
trigonometrischen Funktionen darstellen und dadurch mit Hilfe
.der Tabellen fiir den Integralsinus I) berechnen. Durch partielle
Integration ergibt sich
1
J: sin a :p B I; d j = -
(43)
sin a 2 sin
6m
+
j a cos a; sin
a
5
d5
0
+ ~ s i n a ~ c o .d ~5 .;
0
Wendet man (43) unter Beriicksichtigung einiger elementarer
trigonometrischer Formeln auf (42) an, so erhalt man
1) E. Jahnke u. F. E m d e , Funktionstafeln, Leipzig u. Berlin 1923.
R. Bechmann
78
[j77-I2=3
(B + si
sin C cos (? 5
1I
(44)
1) [2(P
+ 1) 23
+ (/3 - 1)Si [2(/3- 1)x] - 2/3 Si (2p
+ 2 Si (,8 x) - {sin(8 + 1)z - sin [@- 1)
O
X)
- I.
219
5
Die Bedingung fur das Verschwinden der Interferenzstreifen
in der Mitte des Beugungsscheibchens gernaB (30) lautet fur (41)
(45)
a) c o s yB f=l
2
17 cotg
0 ; b) 2
’’
17 2
1 = -tang&.
817
2
2
- __2a -I- n , also unabhangig
2
von a. 1st ,5 bekannt, so lassen sich die Wurzeln von (45b)
ermitteln. Da aber praktisch a klein gegen S ist, so laiBt sich
die linke Seite von (45b) entwickeln; dadurch geht (45b)
Die Wurzeln von (46a) sind
iiber in:
-.
817 tang 817 = 17%
(46)
2
2
12
Die Wurzeln dieser Gleichung lassen sich leicht graphisch ermitteln. In dem Grenzfall verschwindender Spaltbreite geht (46)
zusammen mit (45a) in (34) iiber. Auf die Behandlung von
gleichformig und ungleichfijrmig ausstrahlenden Kreisscheiben
sei hier nicht eingegangen.
5.
Anwendung auf Nichtselbstleuchter
I m folgenden gehen wir dazu uber, die Intensitatsverhiiltnisse der eben betrachteten Anordnungen fur Nichtselbstleuchter, also im wesentlichen im Hinblick auf die mikroskopische Anwendung, abzuleiten. Da es sich hier in hijherem
Grade um Neues handelt, als in dem vorigen, wesentlich schon
von Michelson behandelten Abschnitt, werden wir jetzt etwas
ausfuhrlicher vorgehen, namlich neben der Anordnung der
zwei Spalte mit verschwindender and endlicher Spaltbreite
auch diejenige des einfachen Spaltes und der kreisfdrmigen
Qffnung besprechen.
a) Zwei Spalte. Die Intensitat auf dem Beugungsscheibchen
ist nach (8) bei Annahme einer aus zwei Spalte bestehenden
Eintrittspupille gemaB (1 7) gegeben durch den folgenden Ausdruck, falls man hier Form und A4usstrahlung des Objektes
den Ansatz (18) zugrunde legt:
Die Methode von A. A. Jfichelson usw.
79
Wegen der GrijBenverhaltnisse beim Mikroskop ist bei der
praktischen Anwendung des Verfahrens der EinfluB der endlichen Spaltbreite im allgemeinen zu beriicksichtigen. Doch
sei als erste Naherung der Fall verschwindender Spaltbreite
und Spalthohe betrachtet , der den charakteristischen Verlauf
der Intensitat in Abhangigkeit von der ObjektgroSe und dem
Spaltabstand erkennen 1aBt. Der EinfluB der endlichen Spaltbreite stellt sich dann ah Korrektion dieser Resultate dar.
Unter diesen Voraussetzungen ist die Intensitatsverteilung auf
der Querachse des Beugungsscheibchens bis auf einen unwesentlichen Faktor gegehen durch
(48)
{
+ dl2
J = l f , x , , ) cos p a ( x - so)dx,)
a
.
-d / 2
Vergleichsweise seien die unter denselben Annahmen resultierenden Intensitiitsverhaltnisse (28a) bei Selbstleuchtern
denjenigen bei Nichtselbstleuchtern (48) gegeniibergestellt. Bei
konstanter ObjektgroBe setzt sich die Intensitatsverteilung bei
Selbstleuchtern nach (28 a) zusammen aus der Summe zweier
@lieder, einem konstanten Glied und einem in Abhangigkeit
von dem Spaltabstand oszillierenden, das konstante nicht iibersteigende Glied. Die Intensitatsverteilung besitzt demnach
Maxima und Minima, deren Lage eine Funktion des Spaltabstandes ist, dagegen keine Nullstellen. Das Verschwinden
des zweiten Termes liefert im wesentlichen die Bedingung fiir
das Verschwinden der Interferenzstreifen.
Bei Nichtselbstleuchtern dagegen besitzt die Intensitat
auf der X-Achse Nullstellen. Um dies einzusehen und um den
Verlauf der Intensitat i n Abhangigkeit von dem Spaltabstand
festzustellen, fiihren wir die Integration in (48)zuntchst fur
ein lineares Objekt, d. h. fur f ( x o ) = c aus. Durch eine kleine
Zwischenrechnung erhtilt man bis auf einen unwesentlichen
Faktor
(49)
R. Bechmann
80
Der erste Faktor in (49)ist ein Amplitudenfaktor, der von
der ObjektgroBe und dem Spaltabstand nbhangt, der zweite
Faktor liefert die Verteilung auf der Achse, des Beugungsscheibchens. Die Intensittit besitzt also Nullstellen, die sich
aus cos p 6 x = 0 ergeben. Der Abstand der Nullstellen, d. h.
die Breite der Interferenzstreifen ist abhangig von dem Spaltabstand 6. Der erste Faktor ist maBgebend fur die Helligkeit
auf dem Beugungsscheibchen. Diese schwankt demnach zwischen
einer maximalen Helligkeit und einer vollstandigen Ausloschung.
Durch Veranderung des Spaltabstandes kann man auf diese
beiden Erscheinungen einstellen und sie so zur GroBenbestimmung des Objektes nutzbar machen.
Vollstlindige Ausloschung auf dem Beugungsscheibchen
tritt ein, falls
(50)
. pd6
sin-=
2
0
P d d = nz oder p ,
ist, d. h. 2
= 2n,
wenn man wieder die Beziehung (32) einfuhrt.
Maximale Helligkeit besitzt das Beugungsscheibchen fur
die Werte von 6, fur die der Amplitudenfaktor in (49) als
Funktion von 6 ein Maximum besitzt. Die Bedingung dafur
lautet fur die Stelle x = 0
Gleichung (51) verschwindet fur Wurzeln von
(52)
z = tangz.
Die ersten Wurzeln von (52) sind
4,4934 = 1,4302 n;
7,7253 = 2,4590
Wir erhalten also aus (51)
p , = 2,8604;
(54)
~t;
10,9041 = 3,4708 n.
4,9180;
6,9416,.
.
Ferner seien die Verhaltnisse fur kreisformige Objekte,
ebenfalls unter Annahme verschwindender Spalte, erwiihnt.
Unter Beriicksichtigung von (25) erhalt man fur (48)
+dl2
(55)
J=
{ J-z(I:(
-aja
xoa)"+1'2cos p 8 ( z
- zo)dx,,] a -
81
Die Methode von A. A. Midielson usw.
1
Fur n = - geht aus (55) der eben behandelte Fall des
2
linearen Objektes hervor. Wir beschranken uns auf die Mitte
der Achse des Beugungsscheibchens und setzen in (55) x = 0.
Durch Einfuhrung der dimensionslosen Integrationsvariablen
w =
und Berucksichtigung der Bsziehung (37) erhalt man
aus (55)
+1
J = C [l ( 1
- w2)l’+’/aco8E2 p w - d w
IZ
(56)
wobei wie vorher abkurzendp =
gesetzt ist. Vollstandige
AuslGschung in der Mitte des Beugungsscheibchens tritt ein,
wenn J - 0, d. h.
wobei
die w-te Wurzel der Besselschen Funktion
n + 1-ter Ordnung bedeutet. Die Intensitat besitzt an der
Stelle x = 0 ein Maximum, wenn die Bedingung
(58)
d J - 0 oder nach (56)
dP
erfullt ist. Nach der Theorie der B e s s e l schen Funktionen 1)
eilt aber
Somit ergibt sich fur das Auftreten maximaler Helligkeit an
der Stelle x = 0 die Beziehung
Der Wed des Parameters n, der dem Ausstrahlungsgesetz des
Objektes Rechnung triigt, lii6t sich moglicherweise auf Grund
1) G. N. Watson, a. a. 0.
Annslen der Physik. IV. Folge. 84.
6
R. Bechmann
82
der Beugungstheorie an kleinen Kugeln approximativ bestimmen.
Nunmehr werde der EinfluB einer endlichen Spaltbreite
auf die beiden eben beschriebenen Effekte der Intensitatsverteilung untersucht. Unter Annahme eines linearen Objektes
von der Breite d wird der zu diskutierende Ausdruck fur die
Intensitatsverteilung auf der Durchschnittsaehse des Beugungsscheibchens nach (47) bis auf einen unwesentlichen Faktor
f d2
Mit Einfuhrung der Abkurzungen
S
(62)
p a x = 6 ; p a d = 0 ; p a ( r - ~ ~ 2 . 0=
) 5; = (3
U
stellt sich (61) dar durch
gesetzt ist. Die hier auftretenden Funktionen (64) lassen sich
auf den Integralsinus zuruckfiihren und dadurch mit Hilfe der
Tabellen fur diesen berechnen.
Es ist allgemein
[f
( 2 ; rn, 12)
I
(65)
s2
cos n c d c
=0
z
z
1
I
1
2
=-
+
(Si[(m n ) z ] + Si[(m
- n ) z ] ).
Daraus folgt speziell fur (64)
(66)
fi+
+ l ) z ] - si[(F - l ) z ] ) -
1
2,
p) = ,fsi[(,8
AuBerdem gilt
(67)
fi-
21
Pi
= - fk, p) *
Fur die Werte p = 1 ; 2; 3; 4; 5 wurden die Funktionen (64)
im Interval1 0 < z < n berechnet und in Fig. 6 aufgezeichnet.
Die Methode v o ~ i8.A. Michelsorh usw.
83
Die d a m verwendeten Tafeln von J a h n k e und E m d e sind
leider fur diesen Zweck vie1 zu wenig dicht ausgewertet. Die
dort nicht tabellierten Werte wurden durch graphische Interpolation ermittelt.
It
w
I
Fig. 6
Die Lagen der Extremwerte der Intensitat auf dem
Beugungsscheibchen ergeben sich nach (631, (64) aus der Beziehung
sin (5
(68)
+ +)
( E - +) = o.
--
- - sin
B
E+y
5 - - 27
Insbesondere besitzt die Intensitatsverteilung an der Stelle =0
dauernd einen Extremwert, da fiir diese Stelle (68) identisch
erfiillt ist. lj = 0 ist nach (62) gleichbedeutend mit x = 0.
E s werden nun die Beziehungen zwischen ObjektgroBe
und Spaltabstand fur die beiden Falle verschwindender und
maximaler Intensitat ermittelt. Urn zunachst die Beziehung
zwischen d und 8, die bei dem Verschwinden der Intensitat
6*
R. Bechmann
84
in der Mitte des Beugungsscheibchens besteht, abzuleiten,
gehen wir von (61) bzw. (63) aus, setzen daria 5 = 0 bzw.
= 0 und fragen nach den Wurzeln dieses Ausdruckes. Wir
22
erhalten nach (63) mittels der Substitution w = d
fl
-1
Ein VergleiCh des hier auftretenden Integrals mit (65) liefert
Daraus folgt, daB (69) aquivalent ist der Gleichung
Si(n + m) = Si(n - m),
(71)
woraus sich die gesuchte Beziehung zwischen m und n berechnen liiBt. Fur die praktische Anwendung ist es bequem,
statt der Variablen m und n die neuen Variablen p und @’
durch die Beziehung
einzufuhren. Dabei bedeutet p die durchgehend benutzte, fur
das AuflSsungsvermogen charakteristische Zahl.
In Fig. 7 sind die ersten beiden Losungszweige von (71)
in die Variablen ,& und p umgerechnet unter der Bezeichnung u
and b aufgetragen. Fur ,& = 0, d. h. fur verschwindende
Spaltbreite, munden diese Zweige in die unter (50) angegebenen
Werte.
Urn andererseits die Beziehung, die zwischen der Objektgro6e und dem Spaltabstand bei dem Auftreten maximaler
Helligkeit in der Mitte des Beugungsscheibchens besteht, zu
,ermitteln, hat man, falls man von der Form (69) der Intensitatsverteilung unter Verwendung der Abkurzung (70) ausgeht,
zu bilden :
+1
173)
-1
85
Die Metlhode von A. A. Bichelson urn.
Durch Ausfiihrung der Differentiation und Auswertung des
Integrals ergibt sich
Durch eine leichte Umformung laBt sich (74) in die Gestalt
tang
877
'I
tang -
--2
(75)
~
2
= --
'I
2
2
bringen, woraus sich der gesuchte Zusammenhang zwischen d
und 6 ergibt. Die Auflijsung von (74) bzw. (75) lilBt'sich
a
,
Q7
I
Q.2
I
I
I
03
gq
(75
p'
Fig. 7
graphisch bewerkstelligen. Die beiden ersten Lbsungszweige
von (74) wurden ermittelt und nach (72) auf die Variablen ,4'
und p umgerechnet, in Fig. 7 unter c und d aufgetragen.
Der vollstandige Verlauf der Intensitit auf der Durchschnittsachse des Beugungsscheibchens in Abhkgigkeit von der
ObjektgrijBe wurde aus Gleich. (63) im Fall = 3 fur die
86
R. Bechmann
speziellen Werte q = 1,O; 1,6; 1,s; 2,O; 2,2; 3,O berechnet
und in Figg. 8 bis 13 dargestellt. Nach Fig. 7 liegt fur dieses
Fig. 8. q = l,o
Fig. 9. 7 = 1,6
I
Fig. 10. q = 1,8
Beispiel nahe bei 4 = 2,2 eine Nullstelle der Intensitat in der Mitte
des Beugungsscheibchens. Insbesondere findet fur solche Werte
Die Methode von A. A. Michelson usw.
87
keine vollstandige Ausloschung der Gesamthelligkeit auf dem
Beugungsscheibchen statt, wie dies bei verschwindender Spaltbreite der Fall war, wohl aber wird die Helligkeit sehr gering.
Fig. 11. 71
= 2,0
i
I
Fig. 12. 71 = 2,2
Fig. 13. 7 = 3,O
Der Verlauf der Intensifat an der Stelle x = = 0 in Abhangigkeit von dem Spaltabstand ist nach (63) gegeben durch
J = {2+
4)'.
Fiir die Werte = 1, 2, 3, 4, 5 ist dieser Verlauf in Fig, 14
dargestellt.
Die Bemerkungen uber den Intensitatsverlauf auf dem
Beugungsscheibchen in Abhangigkeit von dem Spaltabstand
stimmen mit den Angaben uber die Vorversuche von H. Sieden-
88
R.BecAmann
top fl) nicht iiberein. Dies diirfte damit zusammenhiingen, da6
nach einem anderen Effekt gesucht wurde, nach einem Qerschwinden der Interferenzstreifen auf dem Beugungsscheibchen,
wie er im Falle von Selbstleuchtern auftritt. Einer Bemerkung
in 9 6 a. a. 0.zufolge waren die Parameter, insbesondere der
Spaltabstand nicht variabel. Wir suchen obige Resultate an
Hand der Fig. 15, Taf.1, die der Arbeit: ,,Uber den Nachweis
der Form von Ultramikronen" entnommen ist und eine photographische Aufnahme des interferometrischen Verfahrens wiedergibt, zu deuten.
Es treten darin Teilchen mit extremer Helligkeit und
solche mit sehr geringer Helligkeit auf. Es liegt nun nahe,
und dies wurde auch von H. Siedentopf betont, den sich
schwach abbildenden Teilchen eine wesentlich geringere Gr06e
zuzuschreiben, als den helleuchtenden Ultramikronen. Dies
mag auch bei einigen Teilchen der Fall sein, da die Gesamthelligkeit in bekannter Weise von cler GroBe des Teilchenradius abhangig ista2) Dem uberlagert sich aber der eben
besprochene Interferenzeffekt. Wegen des letzteren wird die
Gesamthelligkeit fur Teilchen, deren Gr68e mit dem Abstand
der Spalte in der Beziehung (69) steht, auBerordentlich klein,
wahrend schon Teilchen, deren GriiBe nur wenig von dieser
abweicht , im ultramikroskopischen Bild mit endlicher Intensitat erscheinen, wie dies in Egg. 8 bis 13 dargestellt ist.
Die obigen Resultate fordern, daB fiir jene und nur fiir
jene dunklen Teilchen, die die Beziehung (69) erfiillen, bei
einer Variation des Spaltabstandes ein wesentliches Aufhellen
eintritt und umgekehrt, da6 die sehr hellen Teilchen in Fig. 15,
soweit sie die Bedingung (73)erfullen, in ihrer Helligkeit abgeschwacht werden. Ob dies in dem MaBe, wie es die Intensitiitsfunktion (63) fordert, der Pall ist, kann nur ein Versuch
in dieser Richtung zeigen.
Der Vollstandigkeit wegen seien die Verhaltnisse auch
fiir rechteckige und kreisf6rmige Blenden kurz abgeleitet, die
schon R. Clanss) angibt.
1) H. Siedentopf, Zsigmondy-Festschrift a. a. 0.
2) G. M i e , Ann. d. Phys. 25. S. 371-445. 1908.
3) R. Gans, Ann. d. Phys. 78. S. 1. 1925.
Die Xethode vo1i A. A. Michelson usw.
89
b) RechtecRiger 8pult. Nach (11) ist fur die Intensitatsverteilung auf dem Beugungsscheibchen eines linearen Objektes
von der GroBe d , E zu setzen:
2
(7 7)
J=i
+3
I
J
d
-
sin p a (E
%)dx,
P a @ - 5)
'.
R. Bechmann
90
stellt sich (77) dar durch
wobei
(79)
bedeutet. Die Intensitatsverteilung besitzt nach (77) Maxima
und Minima und insbesondere findet an der Stelle 8 = 0, also
x = 0 ein Ubergang von einem Extremwert in den entgegengesetzten statt, falls die Gleichung erfullt ist :
(80)
@
T
-
(+) @’ (9)
= 0, wobei 0
2
T
- sm.
B
2
ist. Der erste Faktor von (80) besitzt auBer $ = 0 keine
weiteren Nullstellen. Die Nullstellen des zweiten Faktors sind
gegeben durch
7 = tangL.
2
2
Die Wurzeln dieser Gleichung sind unter (53)angegeben.
c) Kreisformige Offnung. In diesem Fall stellt sich die
Intensitat fur ein lineares Objekt nach (14) dar durch
Durch die Substitution
- x0) = 5 ;
E;
~ P , . F X =
~ S , U ( X
geht (81) uber in
(82)
J = fP(c
wobei gesetzt ist
(83)
2 p ~=
d 71
+%)- ly(g --+)I2,
jJp
!if=
----dC.
0
Diese Funktion ist im Interval1 von 1 bis 15 von R. G a n s
berechnet. Die Intensitatsverteilung (82) besitzt Maxima und
Die i7lethode von A. 8. Michelson usw.
Minima, die an der Stelle lj
Wurzeln von
=
91
0 umschlagen fur Werte, die
I
5
ist. Der erste Faktor von (84) besitzt nur die Wurzel == 0 .
Die Wurzeln des zweiten Faktors von (84)ergeben sich unter
Verwendung der folgenden Beziehungen zwiscben B e s s elschen
Funktionen
x J1'(x)= - J1(2)+ x J, (2) und x J, (x)= 2 J1 (2) - z Jo(x)
als Wurzeln von
Die ersten beiden Wurzeln von 4(z)sind
(86)
5,135 = 1,634 m ; 8,417 = 2,679 m.
8
6. Die Grenze der IkTethode
Der im Vorigen bei Selbstleuchtern und Nichtselbstleuchtern in gleicher Weise auftretende Ausdruck (32) liefert
den Zusammenhang zwischen der Objektgrofie und dem beobachtbaren Effekt durch den fur die jeweilige Anordnung und
Einstellung charakteristischen Wert p,,. Durch Einfuhrung
der numerischen Apertur uo l&t sich schreiben:
Dabei entspricht a, der Apertur, die im Fall von zwei Spalten
bei der von Michelsonl) angegebenen Spiegelmethode bis zu
diesen reicht. (87) ist eine verallgemeinerte Formel fur das
Auflosungsvermbgen, die bis auf den Wert p , mit dem bekannten Ausdruck fur das Hellfeldgittergesetz des Auflosungsvermogens formal iibereinstimmt, wenn auch A b b e niemals
eine Offnung angenommen hat, die iiber die technisch mogliche
Offnung des Objektivs hinausgeht.
1) A.A. Michelson, Phil. Mag. 30. S. 1. 1890.
92
R.Bechmann
Das MeBverfahren besitzt eine Grenze, die nach (87) gegeben ist durch die Grenze der technischen Moglichkeit der
Steigerung der Apertur des verwendeten optischen Instrumentes.
Dabei ist es nicht erforderlich, da6 sich die Apertursteigerung
auf das bei der Abbildung verwendete Objektiv selbst bezieht ;
vielmehr kann sie sich, wie Mi c h e Is o n l) zeigt, auf ein durch
Spiegel erzeugtes, innerhalb weiter Grenzen beliebig erweiterbares Vorlagesystem beziehen.
Bei der astronomischen Anwendung ist die Steigerung
der Apertur, abgesehen von den dabei auftretenden Schwierigkeiten technischer Natur innerhalb weiter Grenzen beliebig
ausfuhrbar. Bei der mikroskopischen Anwendung dagegen ist,
wie 0. v. B a e y e r und U.G e r h a r d t 2 ) zuerst bemerkt haben,
eine beliebige Steigerung wegen der in dem Ausdruck fur die
Apertur auftretenden trigonometrischen Abhangigkeit von dem
Offnungswinkel nicht moglich.
Die Intensit'atsverhaltnisse im Bildraum sind insbesondere
nach der Ableitung der fur diese giiltigen Formel (5) bis auf
ihre Dimensionen gegeben durch die Vertaltnisse im Objektraum, bzw. durch die diesen mit dem Bildraum verbindende
Eintrittspupille. Eine Veranderung der LateralvergroBerung
in (5) durch irgendeine optische Vorrichtung im Bildraum, sei
es durch Anbringung von Spiegeln in der von H. S i e d e n topf3) beschriebenen Weise, oder durch Anwendung eines mit
variabler VergrBBerung ausgestatteten Zwischensystems hat
lediglich eine leere VergrBBerung des Bildes zur Folge, da in
(5) die Bildkoordinaten, bezogen auf den Bildraum mit denen
im Objektraum nach (6) nur linear durch das VergrBBerungsverhaltnis verkniipft sind. Da6 daher die von H. S i e d e n t opf 3, beschriebene Spiegelmethode auf die Beugungsscheibchen
des Objektes keinen anderen EinfluB hat, als den der leeren
VergroBerung, wurde zuerst von F. Goo s 3 bemerkt. Wesentlich
isi; fur den positiven Ausfall des Effektes eine Beeinflussung
des Objektraumes bzw. der Eintrittspupille.
1) A. A. M i c h e l s o n , Phil. Mag. 30. a. a. 0.
2) 0. V. B a e y e r u. U. Gerhardt, Ztschr.f.Phys. 35. S. 718. 1926.
3) H. S i e d e n t o p f , Zsigmondy-Festschrift a. a. 0.
4) F. G o o s , Phys. Ztschr. 27. S. 202. 1926.
Die Bettiode von 8.A. Michelson usw.
93
Zusammenfassung
E s wurde gezeigt, daB die Moglichkeit der Erweiterung
des Auflijsungsvermogens optischer Systeme fur Selbstleuchter
und Nichtselbstleuchter innerhalb gewisser Grenzen besteht.
Sie beruht auf der Betrachtung der im Abbeschen Sinne unahnlichen Bilder von leuchtenden Objekten, durch deren Beeinflussung mittels Blenden. Die Ansatze von Michelson
enthalten kein neues Prinzip, sie geben aber zu einer allgemeineren Fassung der A b b eschen Abbildungstheorie AnlaB.
Die von Michelson gegebenen Ansatze wurden beugungstheoretisch begriindet und erweitert.
Die Michelsonsche Anordnung fur das Fernrohr wurde
auf das Mikroskop ubertragen und die Intensitatsverhaltnisse
in Abhangigkeit von der ObjektgrbBe zur Erzielung eines beobachtbaren Effektes fur rechteckige, kreisformige und doppelspaltige Eintrittspupillen des abbildenden optischen Systems
disku tiert.
In dem praktisch wichtigsten Fall der zwei Spalte sind
die Intensitatsverhiiltnisse bei Selbstleuchtern und Nichtselbstleuchtern wesentlich voneinander verschieden. Bei Selbstleuchtern besitzt die Intensitatsverteilung im Bild keine Nullstellen, wahrend dies bei Nichtselbstleuchterh der Fall ist.
Zum SchluS sei es mir gestattet, meinem hochverehrten
Lehrer, Hrn. Prof. S o m m e r f e l d fur vielfache Fijrderung vorstehender Arbeit den herzlichsten Dank auszusprechen, ebenso
Brn. Prof. S i e d e n t o p f - J e n a , der die Anregung zu dieser
Arbeit durch eine Anfrage an Hrn. Prof. S o m m e r f e l d gegeben und mich auch direkt beraten hat.
(Eingegangen 17. Juni 1927.)
Annalen der I’hysak, IV. Folge, Band 84
Fig. 15
R. Dech~iianti
Tafel I
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