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Die paraxiale elektronenoptische Abbildung in Quadrupolsystemen auf wellenmechanischer Grundlage.

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Annalen der Physik. 7. Folge, Band 29, Heft 1, 1973, S. 63-74
J. A. Barth, Leipzig
Die paraxiale elektronenoptioche Abbildung
in Quadrupolsystemenauf wellenmechaniocher Orundlage
Von F. STORBECK
Mit 1Abbildung
In haltsti bersicht
Fur elektronenoptische Felder mit rotationssymmetrischem elektrischem Anteil,
elektrischem Vierpolanteil und magnetischem Vierpolanteil wird angegeben, wie in paraxialer Naherung und auf wellenmechanischer Grundlage aus der Wellenfunktion in der
Objektebene die Intensitiitsverteilung in einer beliebigen, hinter der Objektebene liegenden
Einstellebene gefunden wird. Als Spezialfall ist die paraxiale wellenmechanischeAbbildung
in elektrischen Zylinderlinsen und in reinen Quadrupollinsen enthalten.
Abstract
The paraxial electron optical imaging in a system of qnadrupoles on the wave mechanical
basis.
For a system of electrostatic round lenses and electrostatic and magnetic quadrupoles
it was investigated, how the intensity distribution in any arbitrary plane may be found
from the wave function in the object plane on the basis of paraxial and wave mechanical
approximation. The paraxial wave mechanical imaging in electrostatic cylindrical lenses
and in exact quadrupole lenses is contained as a special case.
1. Einleitung
I n der gegenwartigen Zeit werden irnmer haufiger nichtrotationssymmetrische Anordnungen auf ihre elektronenoptischen Eigenschaften untersucht. Eine
besondere Bedeutung haben dabei Quadrupolsysteme, die eine vierzahlige Symmetrie in bezug auf die optische Achse aufweisen. Das Interesse an nichtrotationssyinmetrischen Elektronenlinsen ist deshalb so groB, weil bei ihnen wesentliche Aberrationen (wie z. B. die spharische Aberration dritter Ordnung oder die
chroniatische Aberration) vermieden werden konnen bzw. mit diesen unrunden
Systemen solche wesentlichen Aberrationen von rotationssymmetrischen Linsen
zu korrigieren sind [l,21. Damit eroffnet sich die Moglichkeit, die bei runden
Elektronenlinsen durch ihre spharische Aberration dritter Ordnung gegebene
Auflosungsgrenze des Elektronenmikroskops zu unterschreiten und in den Bereich der atomaren Auflosung vorzustol3en [3]. Um aber die Auflosungsgrenze
berechnen zu konnen, die man mit einem korrigierten, unrunden elektronenoptischen System als Objektiv erreichen kann, ist eine wellenmechanische
Theorie der Abbildung in einem solchen System erforderlich. Ein Beitrag dazu
sol1 die vorliegende Arbeit sein, in der die paraxiale wellenmechanische Abbildung in Quadrupolsystemen mit ebenen Hauptschnitten behandelt wird.
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Bereits in den ersten Arbeiten uber Quadrupolsystenie [4] konnte auf geometrisch-optischer Grundlage nachgewiesen werden, da13 mit ihnen in paraxialer
Niiherung unter bestimmten Bedingungen eine fehlerfreie Abbildung inoglich
ist. Dieser Nachweis auf wellenniechanischer Grundlage, wie er von GLASER
und SCHISKE
[5] fur rotationssymmetrische Systeme geliefert wurde, steht aber
fiir Quadrupolsysteme noch aus. I n den folgenden ltechnungen wird neben den
reinen Quadrupolanteilen des elektrischen und niagnetischen Feldes ein uberlagerter rotationssymmetrischer elektrischer Anteil zugelassen, um die Allgemeingultigkeit der herzuleitenden Beziehungen zu erhohen, zuinal auch solche
Quadrupollinsen mit iiberlagertew rotationssymmetrischem elektrisrhem Feld
Interesse finden [GI1).
2. Das elektrische und das magnetische Abbildungsfeld
Es wird ein kartesisches Koordinatensystem x, y, z eingefiihrt. Die z-Achse
sol1 mit der optischen Achse des Abbildungssystems zusaniinenfallen. Die Symmetrieebenen der Felder sind die xz- und die yz-Ebene. Fur die Komponenten
der elektrischen Feldstiirke
(3 = - grad 9,
und der magnetischen Induktion
% = - p , grad w = rot i?l
(1)
lo-'
V.s/Am) sollen die Syinmetriebedingungen
-%(-x, y, x ) = - U x ,y, 2); U x , -y, z ) = E&, y, 2)
- q - - x , Y,2) =
E&, y, 2); .q(x, -y, 2) = - E J x , y;z)
Y, z ) =
Bz(x, y, 2); BJx, -y, z ) = - B&, y, z )
BJ-x, Y,2 ) = - By (5, Y,z ) ; By@, -y, 2) = By@,y, z )
(yo= 4n
m-5,
+
+
+
+
I
(2)
(3)
gelten. Bei diesen Bedingungen sind die Hauptschnitte des Quadrupolsystems
eben und fallen mit der xz- bzw. yz-Ebene zusamnien. Aus der allgemeinen Entwicklung [7] des elektrischen Potentials ~ ( xy,, z) und des skalaren magnetischen
Potentials w(x, y,z) bzw. des Vektorpotentials %(x, y, z ) erhalt man mit (3)
+
1
1
v ( x , y, z ) = @(%) - [@"(z) - D(z)]* x2 - - [@"(4 D(41 * Y2
4
4
1
+ [@'J)(z) + 6l4
48
D"(2)
+
@,(%,I -
y4
1) In der Literatur [2] werden auch Vierpolanordnungen beschrieben, bei denen ein
magnetisches Rundlinsenfeld iiberlagert ist. Sol1 es sich dann urn ein Orthogonal-System
handeln, miissen die Pole des Quadrupols mit der LAMoa-Drehung verschraubt sein. Ohne
prinzipielle Schwierigkeiten lassen sich die folgenden Rechnungen auch auf ein solches
Orthogonal-System verallgemeinern.
Bei diesen Entwicklungen bis zu den Gliedern 4. Ordnung treten fiinf willkiirliche Funktionen von z auf, von denen
1
@(z) den rotationssymmetrischen elektrischen Anteil,
D(z) den elektrischen Vierpolanteil,
H ( z ) den magnetischen Vierpolanteil,
(7)
Q4(z) den elektrischen Achtpolanteil,
Q (z) den niagnetischen Achtpolanteil
beschreiben. Fur die paraxiale Niiherung werden die Entwicklungen nur bis zu
den quadratischen Gliedern benotigt. I n die paraxiale Nllherung gehen daher
nur @(z), D(z) und H ( z ) ein. Q ( z ) sol1 so definiert sein, dal3 am Ort z = ZQ der
Elektronenquelle @(zq) = 0 gilt.
I
J
3. Das A ufstellen der pa.raxialen ScHRbDI~aER-GleiChUng
Die Bewegung eines Stromes von Elektronen (Masse m, Ladung -e) einheitlicher Energie E kann aus der zeitunabhangigen SCHRODINGER-Gleichung
berechnet werden ;
(div grad + ti
2ie
- (a grad)
2m
- -'$I2
+ - (ey + E) G(x, y, z )
e2
ti2
'
ti2
=0
(8)
(i = imaginiire Einheit, h = 1,054. 10W4 Ws2). Uni zur paraxialen SCRRODINGER-Gleichung zu kommen, nius man nach GLASER
und SCRISKE
[ 6 ] fur die
Wellenfunktion den Ansatz
G(x, y,
2)
= exp
machen, wobei
dz
1-
x ( x , Y,2)
(9)
der Irnpuls von Elektronen bedeutet, die sich entlang der optischen Achse bewegen. Mit (9) findet man fur die z-Komponente pz(z) des Impulses
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Ini paraxialen Gebiet stimnit nun p&) ini wesentlichen mit dem Impuls p ( z )
entlang der optischen Achse uberein, so daB ax/& bereits ein kleiner Ausdruck
gegenuber ip . x/ti ist. Daher kann in
der Summand 22x/az2 gegenuber den ubrigen Gliedern vernachlassigt werden.
Ebenso kann in 91 grad G nach Einsetzen der in x,y quadratischen Glieder
das Glied ax/& vernachliissigt werden. e2W/ti2 ist von vierter Ordnung in z, y
und wird ebenfalls nicht berucksichtigt. Fur cp(r,y, z ) wird in (8) die Forinel (4)
bis zu den quadratischen Gliedern in x, y eingesetzt. Damit findet man die
p a r a x i a 1e SCHRODINOER
- G 1e i c h u n g fur Quadrupolfelder mit uberlagerteni
rotationssyinmetrischeni elektrischem Anteil
J
L
Diese Gleichung enthalt die drei z-abhangigen Funktionen @ ( z ) ) D(z) und H(z).
Fur die z-Koniponente der Teilchenstronidichte &(z, y, z ) folgt mit (9)
Multipliziert iiian (14) init
druck ab, so entsteht
x* und zieht davon den konjugiert komplexen Aus-
x
Da bei der paraxialen Abbildung die Wellenfunktion nur in der Nahe der optischen Achse von Null verschieden sein kann und fur x -+ f00 und y + f 00
gegen Null gehen niuls, folgt durch Integration uber x und y
+m + m
--m
-cc
+m +m
-m
-m
x X * @ O ? Yo,2 0 ) dXOdY0 *
Wie bei der paraxialen Abbildung durch rotationssynimetrische Felder [5]
bleibt bei der paraxialen Abbildung durch Quadrupolfelder die z-Komponente
des Elektronenstronies erhalten.
4. Die Integration der paraxialen ScHRBDIsaER-Gleiehung
Die paraxiale SCHRODINUER-Gleichung (14) sol1 nun ohne weitere Vernachlassigungen analog zu der Rechnung von GLASERund SCHISKE[5] integriert
F. STORBECK
: Die paraxiale elektronenoptischeAbbildung in Quadrupolsystemen
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werden. Dazu wird der Ansatz
X k , Y,
2)
= 4 2 ) e=p
i
[x
S(Z,
Y, z ) ]
(18)
gemacht. Fur den Real- und Imaginarteil ergeben sich die Differentialgleichungen
-
p'A
[yD ( z ) - epoH(z). p ( z ) ].
+ 2pA' + A - ("8x2 + aas
-)
aya
(z2
- y2) = 0
= 0.
(19a) wird zunachst durch den Ansatz
4%
y, 2) = 4 2 )
b(z) * II: 4 2 ) * 39 4 2 ) . Y
4 2 ) Y2
f(z) * xy
(20)
gelost. Aus der Forderung, daI3 jeder Koeffizient einer Potenz von x oder y nach
dem Einsetzen von (20) in (19a) verschwinden mu13, entsteht das Gleichungssystem
b2 d2 2 p ' = 0
4bc
2df
2pb' = 0
4de
2bf
2@' = 0
me
me
@" - - D
e,uopH = 0
4c2 f2
2pc'
2
me
me
4e2 fa
2pe'
- @"
- D - e,uopH = 0
2
2
4cf
4ef
2pf' = 0.
G1. (21f) wird durch
f(4 =0
befriedigt. Aus (21 b) und (21 c) folgen dann niit
b'/b = - a:/on; d'/d = - a;lay
die Gleichungen
+
+
+
+ +
+ +
+ +
+ + +
+ + +
+ +
+ - +
+
+
die in (21d) und (21e) eingesetzt werden. Mit (10) entsteht so
6*
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Dies sind die p a r a x i a l e n Bahngleichungen der geometrischen Elektronenoptik fur Quadrupolsysteme bei Anwesenheit von rotationssymmetrischen Anteilen.
Jetzt werden die Fundamentalbahnen a&), tx(z) als Losungen von (25a)
eingefuhrt, die in der Objektebene z = zo die Randbedingungen
=1
sx(zo)= 1, sL(z0) = 0, t,(zo) = 0,
(26)
erfullen. Analog dazu werden s,(z), t,(z) als Losungen von (25b) mit
s,(zo) = 1, s&,)
= 0, tw(zo)= 0, tL(zo) = 1
eingefiihrt. Fur die WRomKIsche Determinante ergibt sich aus (25)
P * [s, . t;
2 , . [sy
- 4 t,l
*
- t; - s;
*
(27)
= Po = P(Z0)
ty ] = $3 0 - P(Z0).
(28)
I n (23) und (24) werden fur c,(z) und cr,(z) die Losungen t,(z) bzw. t,(z) eingesetzt :
Die Integration von (23) liefert
und fi sind dabei willkurliche Integrationskonstanten.
SchlieSlich findet man
aus (2ia) mit (30)
(x
Diese Gleichung wird durch
befriedigt, wie man durch Differenzieren und mit (28) erkennt. Damit ist die
Funktion S(z, y, x ) berechnet. Jetzt wird (19b) gelost und A(z) berechnet. Mit
(20) und (29) findet man
2pA'
p'A
(2c
2e) A = 0
+
+ +
(33)
A(%)= _
L(u, /?,
_ _ _ _ ~
VP(4
*
tx(z) *
-
(34)
L(u,p) ist eine von z unabhiingige Integrationskonstante, die aber eine Funktion von a und j3 sein dad. Durch Integration uber a und /? findet man die allgemeine Losung der paraxialen $CHRoDINaER-Gleichung
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: Die paraxiale elektronenoptischeAbbildung in Quadrupolsystemen
Die Funktion L(a,b) wird nun so gewahlt, daB (35) fur z -+zo in die Wellenfunktion x(xo,yo, zo) in der Objektebene ubergeht. Dazu schreibt man
S ( x , y, z , a,8)um. Mit ( 2 8 ) folgt
Geht in (36) z --f zo, so gehen t,(z) --f 0 und t,(z) + 0. Damit wird die ExponentialfunktiQn unter dem Integralzeichen eine schnell mit OL und B veranderliche
Punktion und der Wert der Integrale wird Null, solange x
asz und y
@sit ist.
Bei z w z,, erhalt man nur in der Umgebung von a = X I S z , B = y/sv wesentliche
Beitrage zum Integral. Man kann L vor das Integral ziehen und
+
+
(37)
schreiben. Die beiden entstehenden Integrale lassen sich ausrechnen,
mit sz(zo) = s,(zo) = 1, si(z0) = sL(zo) = 0 und p ( z ) = po
2 miti
x ( 5 , Yo9 20) = 7
a x , , Yo)
PO
SO
daB
(38)
folgt. Setzt man dies in (36) ein und nennt man a , jetzt xo, yo, 80 erhalt man
mit (9) schlieBlich die W e l l e n f u n k t i o n in p a r a x i a l e r NLherung
(39)
Mit Hilfe dieser Formel kann man die Wellenfunktion G(s, y, z ) in einer beliebigen Ebene z = const berechnen, wenn man die Wellenfunktion ~(xo,yo,zo)
in der Objektebene z = zo kennt und wenn die Abbildungsfelder, d. h.
das rotationssymmetrische elektrische Feld @(z),
das elektrische Vierpolfeld D(z)
und das magnetische Vierpolfeld H ( z )
bekannt sind. Man hat niimlich dann den Wert der Funktionen s,(z), t,(z),
sY(z) und t,(z) sowie ihrer Ableitungen nach z aus der paraxialen Bahngleichungen
(25) der geometrischen Elektronenoptik zu berechnen und in die hergeleitete
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Formel (39) einzusetzen. Naoh der Integration uber die Objektebene erhiilt man,
die Wellenfunktion a(%,
y, z ) in einer beliebigen anderen Ebene z = const > z,,
aus der man mit (15) die z-Komponente der Stromdichte und damit die Intensitatsverteilung findet.
In der allgemeinen Formel (39) sind folgende Spezialfiille enthalten :
a) r o t a t i o n s s y m m e t r i s c h e e l e k t r i s c h e Linse
Sind die Vierpolanteile D ( z ) und H ( z ) gleich Null, so werden die beiden
Bahngleichungen (25 a) und (25 b) gleich, weshalb auch die Fundamentalbahnen
a&) = sy(z) = s(z) und t&) = t&) = t ( z ) ubereinstimmen. In diesem Fall geht
und SCHISBE
[a] fur ein rein elektrisches rota(39) in die Formel von GLASER
tionssymmetrisches Abbildungsfeld uber. I n [71 wurden dazu mehrere Beispiele
der Abbildung beschrieben.
b) el ek t ro s t a t is c he Zy linderl in se
Diesen Spezialfall erhalt man fur D(z) = @"(z) und H ( z ) = 0. G1. (39)
geht in die Formel fur eine rein elektrische Zylinderlinse iiber.
c) reines Q u a d r u p o l s y s t e m
Sind keine rotationssymmetrischen Anteile des elektrischen Feldes vorhanden, d. h. ist @(z) = U = const, so entsteht der Fall des reinen Quedrupolsystems, dessen paraxiale Bahngleichungen
lauten. In (39) ist p ( z ) = po = 1 / 2 m e ~zu setzen.
5. Der Einflull von Blenden
Befindet sich im Strahlengang eine Blende, so kann deren EinfluS in KIRCHHoFFscher Naherung auf gleicher Weise wie bei Rundlinsen [7] beriicksichtigt
werden. Man hat aus (39) zunachst die Wellenfunktion C ( X B , Y B , Z B )in der
Blendenebene z = z B zu berechnen, die dort entstehen wiirde, wenn sich keine
Blende in ihr befinden wiirde. Zur Fortsetzung der Wellenfunktion in KIRCHRoFFscher Niiherung wird dann von der Blendenebene an die Formel (39) erneut
angesetzt und jetzt die Blendenebene z = ZB als Ausgangsebene angesehen, wobei aber nur uber die freie Offnung zu integrieren ist. Als Wellenfunktion in der
Ausgangsebene nimmt man innerhalb der Blendenoffnung die Funktion
G(xB, y B , zB), die dort im Fall fehlender Blende entstehen wurde. Wie man zeigen
kann, ergibt sich fur eine sehr grode Blendenoffnung nach diesem Verfahren
hinter der Blendenebene die gleiche Wellenfunktion wie bei einer einstufigen
direkten Fortsetzung der Wellenfunktion.
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6. Die Moglichkeit einer fehlerfreien A bbildring
Die durch (39) verniittelte Abbildung ist bekanntlicli im allgemeinen nicht
stigniatisch, da man mit Bahnen im xz-Hauptschnitt eine andere Bildebene als
niit solchen ini yz-Hauptschnitt erhalt. Als Bildebenen sind dabei diejenigen
Ebenen z = zbx = const bzw. z = zby = const anzusehen, bei denen tx(zbx)= 0
oder ty(zbu)= 0 werden. Als Beispiel sol1 fur die Ebene z = zbx die Wellenfunktion berechnet werden. Die von z und zo abhangende Exponentialfunktion wird
wegen tx(z) --f 0 fur z --f zbx eine schnell iiiit xo oszillierende Funktion, bei der
man nur fur z = s,(zbX). xo wesentliche Beitrage erhalt :
I n der Bildebene z = zbxdes xz-Hauptschnitts entsteht also die Wellenfunktion
Ein entsprechender Ausdruck entsteht in der Ebene z = zbu: man hat in (42)
x und y zu vertauschen. I m allgemeinen ist weder die in der Bildebene z = zbz
noch die in der Bildebene z = zby entstehende z-Komponente der Stromdichte
derjenigen in der Objektebene ahnlich, so daB man von einer fehlerfreien Abbildung sprechen konnte. Fallen aber bei speziellen Verlaufen der drei Feldanteile
@(z), D(z) und H ( z ) die Bildebenen z = zbx und z = zby zusammen, so entsteht
fur die Wellenfunktion in dieser gemeinsamen Bildehene z = zb :
und fur die z-Koniponente der Stromdichte mit (15) der Ausdruck
Die Stroindichte in der Bildebene z = zb stimmt bis auf einen MaBstabsfaktor
sz(zb)in der x-Richtung und s,(zb) in der y-Richtung mit der Stromdichte in der
Objektebene uberein. Sind die beiden GroRen sx(zb)und sy(zb),die man als ,,AbbildungsmaBstab" anzusehen hat, verschieden, so erscheint das Bild verzerrt :
es ist in einer Richtung hoher vergroljert als in der anderen. Erst wenn s&,)
=
sy(zh)wird, tritt eine fehlerfreie Abbildung in der hier behandelten paraxialen
Naherung auf. Die erforderliche Bedingung fur eine fehlerfreie Abbildung
lautet also, daB hinter dem Quadrupolsystem die paraxialen Bahnen s&) und
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ubereinstimmen sowie die Bahnen tJz) und t,(z) gleich sind. Diese Obereinstimmung ist durch geeignete Verlaufe von @(z), D(z) und H ( z )zu erreichen, wie
viele Beispiele aus der Literatur zeigen.
s&)
7. Die Abbildung einer Rechteckblende
Die in den vorigen Abschnitten hergeleiteten Bezjehungen sollen auf die
Abbildung einer Rechteckblende angewendet werden. Fur die Wellenfunktion
in der Objektebene z = zo wird
0
sonst
gesetzt. Es handelt sich um eine senkrecht auf eine Rechteckblende fallende
ebene Elektronenwelle. Die Blendenoffnung wird nun durch ein Quadrupolsystem abgebildet. Fur die angegebene objektseitige Wellenfunktion (45) lassen
sich die Integrationen (39) ausfiihren. Man findet fur die Stromdichte in einer
Einstellebene z = const > zo
C(u)
+ i S(u ) =
0
jo=
ist die Stronidichte in der Objektebene innerhalb der Blendenoffnung. Fur willkurlich angenommene Fundamentalbahnen s&), t J z ) , s&)
und t,(z) hinter dem Quadrupolsystem, deren Verlaufe aus Abb. 1zu entnehmen
sind, wurde die Intensitatsverteilung &(x,y, z ) fiir unterschiedhhe Einstellebenen berechnet. In Abb. 1 sind diese Verteilungen entlang der Symmetrielinien des Beugungsscheibchens in x- und y-Richtung dargestellt. Damit liiSt
sich die Stromdichte (46) fur eine beliebige Stelle angeben. Wie bereits im vorigen
Abschnitt erliiutert wurde, findet bei den angenommenen Fundamentalbahnen
keine fehlerfreie Abbildung statt, vielmehr beobachtet man in allen Einstellebenen FREsNmsche Beugungserscheinungen. I n z = 1 0 . d sind alle vier Bah-
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Abb. 1. Die Abbiidung einer Rechteckblende durch ein Quadrupolsystembei a,
b, - b, = 2a undp,,a2/(nZd)= 1
- a,
73
= 2a
nen von Null verschieden. Dort treten in beiden Richtungen FREsNELsche
Beugungserscheinungen auf. I n z = 9 d wird t,(z) = 0. Es wird zwar in y-Richtung (Schnitt BB') die Rechteckblende richtig abgebildet, in 2-Richtung
(Schnitt AA') wird aber weiterhin FRESNELsChe Beugung beobachtet. I n
z = 11d wird tx(z) = 0. Hier ist im Schnitt AA' die rechteckige Intensitiitsverteilung zu bemerken, dafiir tritt aber 'in y-Richtung die FREsNELsche Beugung auf. In der Ebene z = 5 d wird sx(z) = 0 ; es ist die Brennebene im xzHauptschnitt. Geometrisch-optisch erhiilt man hier eine unendlich grode Intensitiitsverteilung auf der Achse. Bei der paraxialen wellenmechanischen Abbil-
-
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dung geht dagegen in dieser Ebene fur die x-Richtung die FREsNELsche Beugungserscheinung in die TRAUNHOFERSChe uber und bleibt - wie in allen
anderen Einstellebenen - immer endlich.
8. Zusammenlassung
I n der vorliegenden Arbeit wird die paraxiale wellenmechanische Abbildung
in Quadrupolsystemen mit ebenen Hauptschnitten und mit einem eventuell
iiberlagertem rotationssymmetrischem elektrischem Feldanteil behandelt. Mit
der hergeleiteten Beziehung 1613t sich die Intensitiitsverteilung in einer beliebigen Einstellebene in oder hinter dem Quadrupolsystem berechnen, wenn die
Wellenfunktion in der Objektebene gegeben ist. Die Moglichkeit einer fehlerfreien paraxialen Abbildung durch Quadrupolsysteme wird auf wellenmechanischer Grundlage nachgewiesen. Als Beispiel ist die Abbildung einer Rechteckblende beschrieben.
Literaturverzeichnis
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M., H. ROSE,Optik 88 (1968/69) 475.
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[7] GLASER,W., Grundlagen der Elektronenoptik, Wien 1952.
Dresden, Sektion Physik der Technischen Universitat Dresden.
Bei der Redaktion eingegangen am 13. September 1972.
Ansohr. d. Verf.: Dr. sc. nat. F. STORBECK
Sektion Physik d. TU Dresden, Arbeitsgruppe EP 1
DDR-8027 Dresden, Zellescher Weg 16
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