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Die Phasenverschiebung fr den Grundzustand in der statistischen Theorie des Atoms.

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ANNALEN DER PHYSIK
7.FOLGE
*
H E F T 5-6
B A N D 6,
1960
rt
Die Phasen versehiebung fur den Grundzustand
in der statistisehen Theorie des Atoms
Von T . T i e t x
Inhaltsiibersicht
In dieser Arbeit leiten wir eine analytische Formel fur die Phasenverschiebung fur den Fall der Nebenquantenzahll = 0 fur das T h o m a s - F e r m i s c h e
Atom ab.
_ _ . ~
~~~
Fiir groBere Nebenquantenzahlen kann sowohl die fur kleine Phasen geltende Formel der B o r n schenNaherung als auch die asymptotische W e n z e l K r a m e r s - B r i l l o u i n s c h e Methode verwendet werden. In einer fruheren
Arbeit hat der Verfasserl) gezeigt, da13 mit Hilfe der B ornschen sowie auch der
asymptotischen W e n z e l - K r a m e r s - B r i l l o u i n schen Naherung geschlossene
Formeln fur die Phasen der kohgrenten Streuung von Elektronen a m T h o m a s Fermischen und Hartreschen Atom abgeleitet werden konnen. Die Tabellen
in der erwahnten Arbeit des Verfassers zeigen, da13 der gro13te Fehler fur die
Phasen bei koharenter Streuung von Elektronen am T h o m a s - F e r m i - A t o m
fur den Fall der Nebenquantenzahl I = 0 auftritt. Um auch im Falle I = 0
zuverlassige Aussagen uber die Phasen zu bekommen mu13 man die S c h r o d j ngersche Gleichung direkt losen2). Das Ziel der vorliegenden Arbeit ist,
die Phasenverschiebung fur das T h o m a s - F e r m i s c h e Atom fur die Nebenquantenzahl 1 = 0 zu berechnen. I n einer Arbeit des Verfassers3) wurde gezeigt, daB folgendes Potential
das Gesamtpotential im Atom von T h o m a s und F e r m i gut approximiert.
Dieses Potential hat den Vorteil, daB man die Schrodingersche Gleichung
direkt losen kann. Die Konstante a, welche in der G1. (1) vorkommt, laBt sich
in atomaren Einheiten wie folgt schreiben.
In dieser letzten Formel ist 2 die Ordnungszahl des Atoms und p bedeutet
p = 0,88534/2'/3. Die Tab. 1 der Arbeit des Verfassers4) zeigt, daB unser
Potential V ( r ) gute Eigenwerte fur den Fall E = 0 ergibt. In dieser Tabelle
findet man einen Vergleich von unseren Eigenwerten mit den numerisch be1)
2,
T. T i e t z , Ann. Physik. 3, 105 (1959).
P. GombAs, Die statistische Theorie des Atoms und ihre Anwendungen. Wien,
Springer-Verlag 1949.
3, T. T i e t z , J. chem. Physics 29, 684 (1958).
') Man vergleiche hierzu3).
Ann. Physik. 7. Folge, Bd. 6
16a
234
Annalen der Physik. 7 . Folge. Band 6. 1960
rechneten Eigenwerten von L a t t er5). Die S c h r o d i n ge r - Gleichung fur
unser Potential V ( r ) schreiben wir in folgender Form
Die zwei linear voneinander unabhangigen Losungen yl(r) und y2(r) von (3)
lassen sich, wie eine leichte Rechnung zeigt, wie folgt darstellen:
yl(r) = eckr2Fl
ikp
ikp
(- a
+ a1 V 2 Z p a - k2p2,- ___
--1 / i ~ . ~
ap
a
a
-~ p 2 ,
,F1 bezeichnet die hypergeometrische Funktion. Die bekannte Formel fur die
hypergeometrische Funktion zeigt
r (c)r (C - a - b )
(a, b, c, 1)= r (C - a ) r (c - b ) fur Re (u
~
$1
+b
-
c)
< 0,
( 6)
daB y1 (0) und y2 (0) in unserem Falle eindeutig bestimmt sind. Fur y1 (0)
und y2 (0) gilt
a
a
und
r (x) bezeichnet
die E u l e r sche Gamma-Funktion. Die Randbedingung
y (0) = 0 der Losung der S c h r o d i n g e r - Gleichung bestimmt uns eindeutig
die gesuchte Phnsenverschiebung q,,fur den von uns betrachteten Fall 1 = 0.
Man sieht leicht. da13 folgende Losung der Schrodinger-GI. (3) die verlangte
Randbedingung y (0) = 0 erfullt.
5)
R. L a t t e r , Phys. Rev. 99, 510 (1955).
235
T . Tietz: Die Phasenoerschiebung fur den Grundzustand des Atoms
In dieser letzten Formel ist C eine beliebige Konstante. Fur r
unsere Losung y ( r ) uber in
--z
00
geht
Ein Vergleich der letzten Formel mit dem Ausdruck
sin ( k T
+ q,) =
ef(kr+qo) - e-i(kr+?h)
-
2i
(11)
gibt uns fur die Phasenverschiebung qo fur den Fall der Nebenquantenzahl
I = 0 das SchluBergebnis
e2iv0 =
(12)
Dieser Ausdruck gibt uns die exakte Losung fur die Phasenverschiebung nach
der S chrodinger-Gl. (3). Wie bekannt, erlaubt uns die Phasenverschiebung
q9 die Berechnung des totalen Streuquerschnitts a, fur den Fall 1 = 0, und zwar
gilt in diesem Falle
4n
a, =zi-
sin2 qo.
(13)
Die Ergebnisse (12) und (13) sind wichtig fur die koharente Streuung von
Elektronen am T h o m a s - F ermischen Atom.
L 6 d i (Polen), Universitat L6di Institut der Theoretischen Physik.
Bei der Redaktion eingegangen a n 23. Novcmber 1959.
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