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Die Photometrie der diffusen Zurckwerfung.

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Photometrie dt.r d f i i s e n Zu~*uckwerfun~y.
473
m6chte ich auf einen Unterschied der beiden hier in Betrmht kommenden Fiille aufmerksam machen : Haben wir
eiilen Complex schwingender Molecule, so setzen sich die von
jedem einzelnen Moleciil erregten Aetherwellen zu einer resultirenden Welle zusamknen; diese ist es, auf welche wir im
Falle leuchtender Qestirne das Doppler'sche Princip ahwenden. I m Falle des einzelnen Molectiles hnben wir es mit
den oscillatorischen Rewegungen der lichterregenden Bether
paptien selbst zu thun.
E r l a n g e n , Phys. Inst. der Univ., Sept. 188s.
XI. D i e Plt otonzetrie der diffusew Zuw!ixh?we?-fwseg;
VOIL E. L o m m e l .
(Aus deli Sitxuiigsber. d. math. phys. Classe d. I<. Acad. zu Miinchen,
mitgetheilt vorn Hm. Verf.)
I n einer friiheren Abhandlung ,,iiber Fluorescenz" l) habe
ich in einem: ,,Ueber die Qrundsatze der Photometrie". uberschriebenen Abschnitt gezeigt , dass itl der theoretischen
Photometrie nicht, wie bis dahin ublich war, die Flachenelemente einer leuchtenden Oberflache, sondern die Volumenelemente des leuchtenden Karpers als lichtstrahlend zu betrachten seien. Demgemlss whrden der theoretischen Behaadlung photometrischer Probleme die folgenden drei Satze
ztl Orunde gelegt:
I. Die von eineni Volumeaelement nach einem anderen
strahlende Lichtmenge ist detn Quadrate ihrer Entfernung
umgekehrt proportional.
11. Die von einem Volumenelemeat ausstrahlende und
anf ein Flachenelement fdlende Lichtmenge ist dem Cosinus
des Incidenzwinkels proportional.
111. Das von einem V olumenelement ausstrahlende Licht
witd auf seinem Wege innerhalb des strahledden Ktirpers
aach Maassgabe des Absorptionsgesetzes geschwacht.
1) L o m m e l , W i d Ann.
LO. p.
449 u. 631. 1580.
414
E. Lomme2.
Der L a m b e r t’sche Satz vom Cosinus des Emanationswinkels war hierdurch aus der Reihe der photometrischen
Orundsatze ausgeschieden und an seine Stelle der vorstehende Satz I11 gesetzt worden. Das Cosinusgesetz ergab
sich vielmehr jet& als Folgerung aus den obigen Qrundsatzen, jedoch nur fur undurchsichtige gliihende Korper;
fur Selbstleuchter, die fur Licht durchlassig sind, wie Z. B.
Flammen, gilt das Cosinusgesetz nicht.
I n der citirten Arbeit wurde auf der Qrundlage obiger
Satze nur das Verhalten selbstleuchtender (gliihender und
fluorescirender) Korper in Betracht gezogen, dagegen das
ungleich schwierigere Problem der mit erborgtem Lichte
durch diffuse Reflexion leuchtenden Korper, als mit dem
Thema jener Abhnndlung nicht in unmittelbarem Zusammenhang stehend, unberiihrt gelassen.
Auch bei den zerstreut reflectirenden Substanzen war
seit L a m b e r t fur das yon ihnen znruckgestrahlte Licht das
Cosinusgesetz angenommen worden. Dasselbe liess sic5 jedoch
weder theoretisch begriinden, noch zeigte es sich mit den
Beobachtungen in befriedigendem Einklang. Auf diese namentlich auch fur die Photometrie der Planeten bedeutungsvolle
Sachlage hat neuerdings S e e l i g e r l) mit Nachdruck hingewiesen und insbesondere an einer Reihe Beobachtungen
gezeigt , dass von einer experimentellen Bestatigung des
L a m b e r t ’schen Cosinusgesetzes fur zerstreut reflectirende
Korper nicht die Rede sein kann. Durch diese Arbeiten
S e e l i g e r ’ s angeregt, habe ich die vorliegende bereits 1880
begonnene Arbeit wieder aufgenommen, welche sich die Aufgabe stellt, das Verhalten digus reflectirender Korper aus
den obigen Qrundsatzen der Photometrie zu entwickeln.
1. Wenn durch die Flache dw des Volumenelementes
d m d e = dv eines belenchteten das Licht diffus zuriickwerfenden Korpers die Lichtmenge d w (d. i. auf die Flacheneinheit
die Einheit der Lichtmenge) senkrecht eindringt, so sei:
1dodp
die Lichtmenge, welche von dem Volumenelement nach allen
Richtungen hin zerstreut wird. Die Grosse 1 nennen wir
1) S e e l i g e r , Vierteljahrsschrift der astronom. Gesellsch. 20. p. 267
1885; 21. p. 216. 1886.
Photometrie der difusen Zuriichwerfuny.
47 5
das Diflusionsvermogen des Korpers. Dasselbe ist unabhiingig von der F a r b e des einfallenden Lichts und wird nur
bedingt von dem Grade der Trubung, Pulverisirung, Zerstaubung, Schaumblaschenbildung, Rissigkeit u. s. w. des zerstreuenden Kijrpers; fur einen vollkommen klaren (limpideu)
Karper ist das Diffusionsvermogen I = o.
2. Da das Licbtbiindel von der Intensitat do, indem es
die Strecke dg durehlauft, die nach allen Seiten hin zerstreute Lichtmerige Idw d p einbiisst, so erleidet es durch die
Diffusion eine Schwachung, die nach demselben Qesetze erfolgt, wie diejenige durch Absorption.
3. Gleichzeitig wird es aber noch geschwacht durch
eigen tliche Absorption , sowohl heim Durchgang durch die
diffundirenden Korpertheilchen selbst, als auch beim Durchgang durch das klar durchsichtige Zwischenmittel, welches
die Zwischenraume zwischen jenen Thsilchen erfullt. Durch
diese Absorption verliert es noch die Lichtmenge:
k d w dg,
wo das Absorptionsvermtigen k eine Function der Wellen1Lnge ist, da j a Korpertheilchen nnd Zwischenmittel ,,gefarLt"
sein konnen.
4. Die bisher gemachte Annahme, dass das Volumenelement ein gerades Prisma mit zur Richtung des einfallenden Lichtbundels parallelen Seitenkanten sei, ist durchaus
nicht nothwendig. Das Volumenelement kann namlich, welche
Gestalt es auch haben mag, parallel zu den einfallenden
Lichtstrahlen in schmale gerade Prismen zeriegt gedacht
werden, deren jedes in der angegebenen Weise auf das durchgehende Licht einwirkt. Durch ein beliebig gestaltetes Volumenelement werden daher einem Lichtbundel, das fur die
Einheit des Querschnittes die Einheit der Lichtmenge mit
sich fiihrt, durch Absorption und Diffusion die Lichtmengen:
h d u und
ldv
entzogen.
5. Die Lichtmenge Zdv w i d von dem Volumenelement
nach allen Richtungen ringsum ausgestrahlt. Nehmen wir
a n , dass die Strahlung nach d l e n Richtungen hin gleichmbssig erfolge, so wird die Oberflache 4n einer Kugel, welche
mit dem Radius 1 um das Volumenelement beschrieben ge-
E. Lommel.
416
dacht w i d , von der Lichtmenge Edu gleichmiissig erleuchtet.
Die Lichtmenge, welchc das Element dv nach einer beliebigen Richtung pro Fliicheneinheit dieser Kugel aussendet,
betriigt daher :
1
dv.
47l
-
6. Wir bestimmen nun die Lichtmenge, welche eine
unendlich diinne lichtstrahlende planparallele Schicht, deren
Leuchtkraft fur die Einlieit des TTolumens F betragt, nach
einem Volumenelemeiit dv sendet, welches ebenso wie jene
Schicht selbst in ein Mittel, dcssen Absorptionsvermagen k,
und dessen Diffusionsvermogen I ist, eingebettet liegt. 1st
Q der Abstand der Schicht von dem Elemente dv, d p ihre
Uicke, und tlteilen wir sie durch eine Schaar gerader Kreiskegel, die d v als gemeinschsftliche Spitze und Q als gerneinscheftliche Axe haben, in schmale Elementarringe, so ist,
wenn a! den halben Oeffnungswinkel eines beliebigen dieser
Kegel hezeichnet, der Rauminhalt eines solchen Ringes:
2npz tg a sec2DI da d p
Dieser Ring sendet nach dem Volumenelemente dv,
welches von allen seinen Punkten die Entfernung p sec LZ besitzt, die Lichtmenge:
oder, wenn wir noch der Kiirze wegen:
k+l=m
setzen, die Lichtmenge:
4 F d u de d CI tg LZ e-
seca,
weil j a das Licht auf seinem Wege Q seccz einerseits nach
dem umgekehrten Quadrate der Entfernung und andererseits
durch Absorption und Diftusion geschwiicht wird.
Urn die gesammte Lichtmenge zu erhalten, welche von
der Schicht, die wir uns von unbegrenzter Ausdehnung denken, dem Volumenelemente dv zugestrahlt wird, hat man
diesen Ausdruck nach a von u = o his LZ = 4. zu integriren.
Setzen wir:
dX
g sec cc = 5, folglich tg u d u =
,
477
Photometrie der dgusen Zuriicktcerfung.
so wird:
m
J-mpnecatg
~
~
U
=
J
mz
~ <
/
,
lie-me = C + logmp - m e
+
(mB)%
wo :
X-lze-m<t,
=
c
0
-
s
y+ - . . .
der sogenannte Integrallogarithmus, und:
C = 0,577 215 7
die Constante des Integrallogarithmus ist.
Die dem Volumenelemente d v von der Schicht d g zustrshlte Lichtmenge betragt demnach :
- gPdvde1icme.
7. Gehort die Schicht d~ einem durch Diffusion leuchtenden K8rper an, und liegt sie in der Tiefe r' parallel unter
der gleichmassig belenchteten ebenen Oberflache des Korpers,
so ist P offenbar eine Function von r' (= 3'(r')). Befindet
sich das Volumenelement d v in der Tiefe r unter der Oberflache, so ist:
@ = r - r',
de = - dr',
und man hat, um die Lichtmenge zu finden, welche das
Volumenelement d v von den dariiber liegenden Schichten
empfhngt; das Integral:
r
- i d v S B ( r ' ) .Zie-m(r-r') dr'
0
zu bilden.
F u r die Schichten unterhslb dv ist:
Q = r'- r ,
d Q = dr' ,
und das Integral:
R
- t d v j ~ ( r '.lie-m(r'-T)dl/
)
r
gibt die Lichtmenge an, welche das Volumenelement dv von
ruckwiirts erhalt, wenn R die Gesammtdicke des als planparallele Platte gedachten beleuchteten Kijrpers bedeutet.
Die Lichtmenge, welche die ganze Platte dem in der
Tiefe r unter ihrer beleuchteten Oberflache gelegenen Volumenelemente dv zustrahlt, ist demnach:
R
r
- 4 dv (IF(?.').
lie-m(r-r') dr'+
0
s F ( r ' ) .lie-m(T'-.r)
r
d/)
.
E. Lommel.
478
8. Bezeichnen wir mit f ( r ) die Lichtmenge, welche nuf
diese Weise, namlich indirect durch die difluse Strahlung
siimnitlicher Theilchen des zerstreuenden Korpers, der Volumeneinhcit in der Tiefe 7 unter der beleuchteten Oberfliiche zugefuhrt wird, so ist:
r
f ( r )=
11
- 4 ( J F ( / ,.l i e - m ( T - - * ' )
0
dr'+ j ' ~ ( r ' )~. i e - m ( ~ ' - - rii")
~)
.
T
Die Lichtmenge 3(r'), welche die Volumeneinheit in
der Tiefe r' nach allen Seiten ausstrahlt, besteht aber aus
zwei Antheilen, namlich aus dem Antheil, welcher von der
unmittelbaren Beleuchtung durch die direct einfallenden
Strahlen, und dem soeben besprochenen Antheil, welcher
von der allseitigen diffusen Beleuchtung durch die umgebenden Schichten herriihrt.
Bezeichnet man daher die der Volumeneinheit an der
Oberflache durch ein paralleles Strahlenbundel aus irgend
einer Richtung zugefihrte und in den Korper eindringende
Iichtmenge mit a , und den inneren Einfallswinkel mit i , so
ist, wenn I das Diffusionsvermogen bezeichnet:
(
7.
F(T')= 1 ne -Cmr'
uei + f ( r ' ) ,
Es ergibt sich demnach die Gleichung:
0
H
aus welcher die unbekannte Funktion f ( r ) zu bestiminen ist.
9. Man kann sich die Function f ( r ) zerlegt denken in
eine Summe von unendlich vielen Gliedern:
f(4=.A (?9 +fi ( r ) +f3(79
+
*
'
* 7
wo der erste Antheil f,(r) von der erstmaligen indirecten
dieusen Reflexion, die folgenden Antheile fi(r), f3(r) .
dagegen von den indirecten Reflexionen imrner hiiherer
Ordnung herriihren. Man hat alsdann:
. .,
479
Yhotornetrie der d i u s e n Zuriicktoerfung.
r
R
und weiter :
r
0
R
r
f3(r) = - ~ Z j s f , ( r ' ) Z i ~ - ~ ~ di r~- r' +'J'f2(r')lie)
0
T
(r'- r, dr')
'
u. s. f., und sieht, dass die Glieder der obigen unendlichen
Rcihe hurch successive Quadraturen gefunden werden kijnnen.
10. Die Function f , ( r ) ist leicht zu ermitteln. Setzen
wir namlich in dem ersten der beiden Integrale r - r'= x,
so erhalten wir:
folglich:
Nun ist aber:
und, wenn wir zur Abkiirzung:
1 - cosi
m = m'
coa i
setzen:
1-cosi
li eoosi =C+logmx+logT+1 - cosi
demnach:
m'x
+ l.--(m'@
2!
+
. . .;
E. LammeL
480
in x
eaosi/ie-'nz
woraus fur
z =0
1-coni
-
hervorgeht,:
Wir erhalten demnach:
R
J
0
1 - cosi
mr
-lie
- c-mo s i
I'
-mr
m I'
e
-
1 -C
log-
O S ~
cos i
Fur das zweite in d e n Ausdruck fiir f,(7.) vorkommende
Integral erhalten wir, 1.'- r = z setzend, ganz analog:
- m r j7'-!%
R
mr'
-m(r'-?)
d,.' =
-le-eoi'/ie
-
e
coa i
0
e
c ori
- 'nz
lie
0
und da snf demselben Wege wie &en:
1
+ cosi
cosi
(2iL-P
mz
--e
mx
-c o-B i l i c - m ~ )
gefunden wird, so ergibt sich:
R
W i r haben also schliesslich :
x=o
-log- 1 +-c o.s-i
cos z
d.r
+ e- conilog- 11 -+ cos ii - l i e - m r + e- c o n i l i e- m ( H mr
¶&R
T)
COB
Hieraus folgt fur die von den einfallenden Strahlen gctroffene Oberfliiche (T = 0):
und fur die Riickseite der Platte (r = R):
i-mR
fi
(R)= a cos z -e
2m
COSi
1-cosi
I ie- m R
11. 1st mR so gross, dass e - m R als verschwindend klein
angesehen werden kann, d. h. dringt die einfallende Strahlung bis zur Ruckseite der nunmehr undurchlassigen Platte
nicht in merklichem Betrage vor, so ist selbstverstandlich
auch f,(R) verschwindend klein, und fur die Oberflache ergibt sich:
I
1 + cosi
f , ( o ) = acosi-log-.
2nt
cos I
Die in diesem P d l e alla jenseits der Tiefe R gelegenen
Schichten merkliches Licht weder einpfangen noch ausstrahlen,
so kann man geradezu R=m setzen. Man hat demnach fiir
eine undurchlassige Platte (R= 00):
12. Bei senkrcchter Incidenz (i = o ) erhalt man fur eine
PIatte von beliebiger Dicke R, da:
1-cosi
=
1
+ cos i
c + log m + log- 1 -coscos i + 1 -coscosi i m r - + ...
+ log- 1 +coscosz i - log 1 -cos i i
T
~
2
COB
~
Anu. d. Phys. u. Chem. N. F. XXXVI.
31
E. Lommel.
482
sich fur i = o auf:
C + log2 mr
zuriickzieht :
[ f i(41 i = 0
= a L ( e - m r ( C + log2mr) - l i e - m r -
e-mTlie-zmV2-r)
2m
+ e-mRRie-m(R-r)
1 9
und, wenn die Platte undurchltlssig (R= m) ist:
"(
~ f ~ ( r ) l=~ u=2%
~ e-m+(C+
1og2mr)-1ie-~r).
13. W i r betrachten jctzt, fur den Fall einer undurchlassigen Platte (ll),den Gang der Werthe von fl(r), indem
wir zu den Abscissen r die Functionswerthe f i ( r ) als Ordinaten einer Curve aufgetragen denken.
Der Differentialquotient:
lksst erkennen, dass die Curve die Ordinatenaxe beriihrt (da
Zil=
00 ist), sich sodann bis zu einem Maximum bei:
-
mr
l i ecosi
= - log- 1 + eos 1:
1-cosi
1 - cosi
erhebt, um von da an gegen die Absciseenaxe asymptotisch
herabzuainken.
Mit Hulfe von S o l d n e r's Tabelle der Integrallogarithmen I) lassen sich die numerischen Werthe von fi( r ) leicht
berechnen. F u r senkrechte Incidenz (i = 0 ) sind in der folgenden kleinen Tabelle einigo Werthe des Ausdrucks:
2m
~ l [ f , ( r ) ] i = o = e - m T ( C + l o g 2 m- rl i)e - m r - --Y
fiir das Argument e - m r , unter gleichzeitiger Angabe der zugehSrigen Werthe von mr und I i e - m T zusammengestellt.
Da in diesem Falle:
3
- - m e - m + ( C + log 2 m r )
ar 1) Soldner, Thkorie et Tables d'une nouvelle fonction trmscendaute. Munchen 1809.
Photometrie der dgusen Zuruckwerfung.
403
ist, so bestimmt sich der Werth von m r , fur welchen y ein
Maximum ist, aus der Gleichung:
log 2 m r = - C .
Man findet hieraus:
m r = 0,28073, e--mr = 0,75523, yna,. = 0,95634.
___
Y
??kT
0
0,10536
0,22314
0,35668
0,51083
0,69315
0,91629
1,20397
1,60944
2,30259
4,60517
co
-a3
1,77580
1,13401
0,78095
0,54685
0,37867
0,25296
0,15741
0,08513
0,03239
-
-0,00183
0
0,69315
0,89384
0,95034
0,94811
0,90603
0,83060
0,72613
0,59352
0,43438
0,24283
0,02981
0
14. Auf die Ermittelung der von den Reflexionen hohemit Eulfe
rer Ordnung herriihrenden Lichtantheile f a ,f 3
der oben (9) angedeuteten Quadraturen miissen wir verzichten, da dieselben zu Integralen fuhren, die sich auf bekannte
Functionen nicht reduciren lassen.
Noch weniger erscheint es moglich, mit den bis jetzt zu
Gebote stehenden mathematischen Hulfsmitteln die Function
f (r), welche fur die theoretische Photometrie von fundamentaler Bedeutung ist, in geschlossener Form aus der obigen
Bestimmungsgleichung (8) exact zu entwickeln.
Dagegen wollen wir versuchen, wenigstens einen angeniiherten Ausdruck fir diese Function durch folgende Betrachtungen zu gewinnen.
15. Die Bestimmungsgleichung fur die Function f (r)
lautet, wenn man die bereits ermittelte Function fi(r) in sie
einfiihrt, wie folgt:
.. .
f (4 -.h
(r)
R
F
=:
- 4~(Jf(rt)Zie-m(T-T') dr' + j f ( r ' )lie-"
0
V-T)
dr') ,
T
Durch Differentiation derselben nach r ergiht sich hieraus zungchst :
31
3.Lommel.
484
R
r
+ v ( r ’ )~ i e - - m ( ~ - - ~ ’ ) ] + =-~ [ f ( r ’ )~ i e - ~ ( ~ ~ - ~ ) l , , = , . ) ,
oder , w,eil die vom Integralzeichen befreiten Glieder sich
wegheben:
R
c
Setzt man in diesen Gleichungen in dem ersten Integral
r
- r’= x, in dem zweiten r’- r = x, so lauten sie:
r
s
R- r
dr
dx
dr
0
- f ( r + 3).
X
0
Diese Gleichungen lassen erkennen, dass die ihrer Natur
nsch stets positive und endliche Function f (r) einen %hnlichen Verlauf nimmt wie die Function f,(r); ihr Differentialquotient a f / d r ist positiv unendlich fiir r = 0 , wird spater
negativ und verschwindet, wie auch die Function selbst, fur
r = m. Die Function f ( r ) besitzt daher (wenn R = 00 ist)
ein Maximum, das jedoch erst bei einem grijsseren Werthe
von m r eintritt, ah dasjenige der Function f,(r). Denn ist
f ( r ) ein Maximum und sonach a f / a r = 0, so ist die rechte
Seite der letzten Gleichung nothwendig positiv, woraus folgt,
dass das Maximum eintritt bei einem Werthe von mr, fur
welchen t 3 f l / a r bereits negativ ist.
fur mx = 0 unendlich gross ist, und
16. Da von da mit wachsendem m x rasch abnimmt, so fallen in dem
Ausdruck:
r
f ( r )-fi (r)= 41 ( J f ( r
0
- x)i i e - m s
R-r
c ~+
3]f(r
0
+ x) li e-ax
1
rla
die Anfangselemente der Integrale in der Nahe von x = 0
gegeniiber den spgteren bei grSsseren Werthen von x besonders stark ins Qewicht, oder, mit anderen Worten, die in
Photornetrie der d#useii Zuriickwerfung.
485
der Tiefe r unter der Oberflache gelegene Schicht wird weitaus am sfirksten von den ihr beiderseita unmittelbar angrenzenden Schichten beleuohtet.
Legen wir nun siimmtlichen Schichten die in der Tiefe
T hefrschende Leuchtkraft bei, indem wir f (r) sowohl statt
f ( r z) a1s auch statt f ( r 3) setzen, so diirfen wir annehmen, dass der ’rierbei begangene Fehler verhaltnissmassig
nur gering ausfalle, weil der Factor liedmx die Wirkung der
entfernten Schichten, welches auch ihre Leuchtkraft sein
mag, nahezu hinwegtilgt, diejenige der nachstliegenden aber
zu voller Qeltung kommen lasst.
Erwagungen dieser A r t geben Anlass zu der Vermuthung,
dass eine Function f’(r), welche der Qleichung:
-
+
r
R-r
geniigt, nicht allzu weit von der Function f (r) abweiche und
daher annahernd statt ihrer gesetzt werden konne.
17. Man findet nun leicht:
Die &’unction rp (r) bleiht uingeLndert, wenn r mit R - T
vertauscht wird, d. h. sie ist synimetrisch in Bezug auf die
Mittelschicht (r = 4 R) der Platte und erreicht hier, da:
%. = m (2ie-mcR-r) - lie-mr)
ar
fur r = & R verschwindet, ihren Maximalwerth:
.,,~g
= 2 (1 - e--”,mR - 1m R Zi e- ‘hm”),
welcher kleiner als 2 ist.. Als Curve dargestellt, beruhrt sie
die Ordinatenaxe und die im Abstand R mit ihr parallel
E. Lommel.
486
gezogene Gemde, d. i. die Vorder- und die Rackseite der
Platte, und hat an beiden Btellen den Werth:
y ( 0 ) = cp (R)
= 1 - e-mR - m R Zi e - m R .
Setzen wir R = 00, was geschehen kann, wenn bis zur
Riickseite der Platte merkliches Licht nicht vordringt, so wird:
Q. ( r ) = 2 - e-mr - m r l i e - l r = z.
Das folgende Tafelchen gewahrt einen Ueberblick uber
den Gang der Werthe dieser Function.
170
099
098
097
076
075
1,00000
1,28710
1,45305
1,57854
1,67935
1,76247
034
0,3
092
071
0,Ol
0
1,83178
1,88952
1,93701
1,97458
1,99843
2,00000
Da in diesem Falle:
immer positiv ist, so erkennt man, dass die Curve, welche
den Verlauf der Functionswerthe versinnlicht, sich von dem
Punkte z = 1, wo sie die Ordinatenaxe beriihrt, mit immer
langsamerer Steigung erheht, indem sie der Geraden, welche
in der Hohe 2 parallel zur Abscissenaxe lauft, asymptotisch
zustrebt.
18. Als Ausdruck der Functionf‘(r) ergibt sich nunmehr:
Dieselbe besitzt in der That im allgemeinen die Eigenschaften, welche der echten Function f ( r ) zukommen mussen. Da:
1 =
--
2m
stets
< 4, und
1
2(k f 1)
demnach:
1
,,YW < 1
ist, so istf’(r) stets positiv, endlich und > f i ( r ) , und verschwindet fur r = 00; der Differentialquotient:
487
Photometrie der dgusen Zuruckruegung.
zeigt, dass die Curve, welche den Verlauf der Functionswerthe veranschaulicht, die Ordinatenaxe in der Hohe:
fi( 0 )
1 -,,do)
2
beruhrt , sich sodann zu einem Maximum erhebt, welches
bei einem grhseren Werthe von m r eintritt als dasjenige
der Function fi(r), urn sich alsdann (falls R = co gesetzt
wird) asymptotisch gegen die Abscissenaxe herabzusenken.
Die aus den successiven indirecten Reflexionen entspringenden Lichtantheile werden, falls wir f ( r ) durch f ' ( r ) ersetzen, durch folgende abnehmende geometrische Reihe dsrgestellt :
2
A'=fir faf =
(FA7 fsl=
(A,)k
f4)=
(A
3
rp)f,,
*
'
Dem Beitrag der ersten indirecten Reflexion bleibt demnach, auch wenn wir f ' ( r ) statt f ( r ) setzen, die volle Genauigkeit gewahrt.
19. Bezeichnen wir wie friiher mit F(r) die gesammte
Leuchtkraft pro Volumeneinheit in der Tiefe T unter der
Oberflache, so sendet ein daselbst befindliches Volumenelement
d w d r unter dem (inneren) Emanationswinkel E nach dem
Element d w der Oberflache die Lichtmenge:
1
4n
-F(r)e
--m r
Cos*dwdr.
Die gesammte aus der ganzen Tiefe der Platte, deren
Dicke = R, nach dem Oberflichenelemente d w unter diesem
Winkel gelangende und durch dasselbe (wenn keine Reflexion
nach innen stattfindet) ausgestrahlte Lichtmenge betragt :
R
- --
tnT
4m
e
cosrdr,
R
oder da: F(r) = I
i
mr
ac
-
~oai+f(r))ist:
E. Lommel.
488
20. Setzt man an die SCelle der Function f (r) die Function f(r), so hat man annghernd:
R
R
1st 9 ein zwischen 0 und
man schreiben:
liegender Bruch, so kann
kl
n
mr
1
1
- -.r
(r)e
--2 1in Y
?II
cos *
(1 r.
0
Nun sind in dem Ausdruck:
beide Integrale leicht zu berechnen. Indein man bei Berechnung des zaeiten von der Formel:
s
1 e-axlie-bx
=--
e-azlie-bxdx
+ -1l i e - ( n + b ) x
a
(I
wiederholt Gebrauch macht, erhalt man:
do
I.==--.
4n
1 2cosicos&
2 m cosi
COSE
+
+ G a s 1-mR
-co.i)lie-mR
+e
ml:
--
2 COS i COS 6
dw
1
‘p
(4R)
. COB i + cos &
2nt
cosi+coss
---my
+e
1-casi
‘OS*
+ COSE (log---1 -
COB 8
COSE
COSS
1
+ cosi
cos i
21. Unter den zugelassenen Voraussetzungen stellt diescr
Ausdruck das Incidenz- und Emanat.ionsgesetz fiir eine be-
Photometrie der d#uscn
489
Zuruckwwfuny.
liebig dicke Sohicht eines durch diffuse Reflexion lichtstrahlenden Korpers dar.
Man sieht, dass der Ausdruck ungeandert bleibt, wenn
Incidenz - und Emanationswinkel miteinander vertauscht
werden.
1st m R sehr klein, d. h. entweder die Summe aus Absorptions- und Diffusionsvermiigen m, oder die Dicke R der
Schicht sehr gering , so wird die ausgestrahlte Lichtmenge
der Dicke der Schicht proportional und unabhangig von
Einfalls- und Ausstrahlungswinkel.
Wenn Z / 2 m so klein ist, dass im Nenner des zweiten
Gliedes 1/2m,q (9R)gegen 1 vernachlassigt werden kann,
so erscheint der Ausdruck von der unbekannten Grosse 9.
befreit, und reducirt sich auf sein erstes Glied, wenn auch
die zweite Potenz von 2/2m ausser Acht gelassen werden
darf. Es trifft dies zu, wenn k sehr gross gegen Z ist, also
bei nahezu schwarzen Korpern, oder bei fasbigen Kiirpern
fur diejenigen Strahlen, welche sehr stark absorbirt werden.
22. Dringt bis zur Ruckseite der Platte merkliches Licht
nicht vor, d. h. kann e - m R als verschwindend klein oder,
was dasselbe ist, m R als unendlich gross angesehen werden,
so zieht sich der Ausdruck L auf den folgenden weit einfacheren zuruck:
4n
I
-.--
w a .-2
L = d-
1
2cosacosE
2m c o s i f c o s ~
,
1--
+ cosi
[cos i log ___
COB i
29n 'F
+ '1)
+ cos E log _____
cos e
,
wo sp eine noch zu bestimmende Constante bedeutet, deren
Werth zwischen 1 und 2 liegt.
Diese Forlael, welche ausser von i und E nur noch von
dem Verhaltnise des Absorptions- zum Diffusionsvermogen
abhangt, hSCtte nun fur undurchsichtige diffus reflectirende
Korper als n e w s Emanationsgesetz an die Stelle des bisher
in der Photometrie angenommenen L a m b e r t'schen Cosinusgesetzes zu treten. In ihr bedeuten i und E den inneren Incidenz- und Emanationswinkel; flndet beim Eintritt und Austritt keine Brechung statt, was z. B. der Fall iat, wenn der
E. Lommel.
490
Zwisohenraum der diffundirenden Theilchen mit Luft erfiillt
ist, so sind diese Winkel innen und aussen die namlichen.
F u r Renkrechte Incidenz ( l = 0 ) wird der obige Ausdruck:
+ co8e)l
(A)p.-+
+
1 2 C OCOB&
S f (log2+cosalogcoss
1
l-cm*
23. Die Lichtmenge M; welche bei senkrechter Incidenz
von dem Oberflachenelement d w nach allen Seiten hin &usstrahlt und von einer Halbkugel aufgefangen wird, die mit
dem Radius 1 von d w aus beschrieben ist, ergibt sich, wenn
der vorstehende Ausdruck L mit 2 n sin E de multiplicirt und
nach E von o his
integrirt wird. Nun ist:
XI2
J"
1"
I-"" sin ade = 1 - log2,
feroer:
COB &
COS E
sin e log 1 +
de = JFx
COB 6
I&
'
x2
~
LI
ria
log
0
1
=J- (.
- 1 + -log (1 +- a) - 1og.2) dc
l + x) (
0
1
1
=I($-
l ) ( l o g ( l +z)-Ioga)dz
0
1
-[ I +'22
,
dr,
+Jl%%z"
0
also endlich, da die beiden ersten Integrale leicht zu berechnen sind, und bekanntlich:
1
ist:
1%.
1
+
COS&
log -sin ~ d =e 4 - - l o g 2
COB &
+ i ( l 0 g 2 ) ~+ nE-e
0
Setzt man diese Werthe in das Integral:
n.'3
ein,
80
erhalt man:
Photometric deer diflusen Zuriickwerfuny.
49 1
Dieser Ausdruck bedeutet die von der Einheit der Oberflache eines undurchsichtigen Korpers, wenn sie von der Einheit der Lichtmenge beleuchtet wird, nach allen 8eiten diffus
zuriickgestrahlte Lichtmenge; er entspricht also dem L a m
b e r t'schen Begriff ,,Albedo".
Die Albedo ist hiernach, da cp eine absolute Constante
bedeutet, nur von der GrSsse 1/2m oder, dn:
-
ist, nur yon dem Verhaltniss R / Z des Absorptions- zum Diffusionsvermijgen abhiingig und erscheint bei farbigen Korpern vermijge der GrBsse K a,ls Function der Wellenlinge.
24. Der denkbar hochste Grad der ,,Weisse" wurde
einem Kijrper zukommen, der auf sichtbare Strahlen gar
keine Absorption ausiibt. Da in diesem Palle k = o zu setzen
wiire, so musste fur einen ,,absolut weissen" Korper:
sein. E i n solcher Korper aber gibt, wenn er undurchrassig
ist, alles ihn treffende Licht zuriick, oder seine Albedo ist
der Einheit gleich. Setzen wir daher in der obigen Gleichung
1/2m = 8 , so muss aus ihr die ,,absolute" Albedo A, = 1
hervorgehen. Durch diese Gleichung:
wird die Constante cp bestimmt. Setzen wir der Kiirze wegen:
1 - log 2 = 0,80685 p
2
und :
1 12 - (1 + log 2)' = 0,38909 = y,
+
so ergiebt sich aus ihr:
sp = 2 - -22-P
oder cp
s
1,17020.
Diese Zahl hat man sich von nun an in den Ausdriicken
492
3. Lommel.
far L (22) und A, (23) an die Stelle von y~ gesetzt zu
denken.
25. Die Lichtmenge M , welche ein Oberflachenelement
d w einer beliebig dicken Platte bei beliebiger Incidenz nach
alien Seiten hin ausstrahlt, kann fibrigens such ganz exact
ausgedriickt werden, freilich nur durch ein Integrd, welches
auf bekannte Functionen nicht zuruckfuhrbar ist. Man hat
namlich, von dem Ausdruck:
R
mr
mr
ausgehend, sofort:
Nun wird, wenn man:
--e - x und
demnach sin ~ c l e= r d.r
z
COB
setzt:
folglich :
Man -at demnach fur die gesammte n1lseit.g ausgestrahlte Lichtmenge:
R
vnr
+ f ( ~ )( e)- l r
+ rnr l i e - m r )
dr.
Derselbe Ausdruck muss auch hervorgehen , wenn man
die Lichtmenge berechnet, welche von sammtlichen Schiichten
der Platte nach einem Elemente dw der Oberflache gesendet
wird und durch dasselbe ausstrahlt, falls keine Reflexion
nuch innen stattfindet. Denn ist Fir) die Leuchtkraft der
Phtometrie der d@isen 2uriickweilfuil.q.
493
Volumeneinheit in der Tiefe r unter der Oberflache, so ist
die Lichtmenge, welche ein Elementarring (vergl. 6) der daselbst liegenden Schicht von der Dicke dr nach dem Oberflichenelement do sendet, da dieses von den Strahlen unter
dem Einfallswinkel ac getroffen wird :
_-
Q&T
d w . b F ( r ) e "Osatgacosadadr,
welcher Ansdruck, nach ac von o bis an, nach r von o bis
R integrirt, da ja:
ist,, sofort den obigen Werth fur M liefert.
26. Fiir eine Platte von solcher Dicke, dass sic kein
Licht durchgehen lasst (R= m ) , haben wir, indem wir von
dem bereits oben (17) eingefuhrten Functionszeichen sp Gebrauch machen:
e - m r + mr Zie-mT = 2 - y (r)
und demnach:
m
0
m
0
Setzen mir nun in dem zweiten Integral naherungsweise:
stntt f ( r ) , 80 wird dasselbe:
wenn wir unter cp eine zwischen 1 und 2 liegende Constante
verstehen. Wir haben alsdDnn annahernd:
0
wo nun beide Integrale sich ohne Schwierigkeit berschnen
lessen.
Man findet nlmlich:
E. Lornmel.
494
1 + COB I
- C O S 2 ilog 7
cos 2
- cosilog----;-).
1 + cos i
cos I
= a - c1 o s i ( 1
2m
Ferner ergiebt sich :
p
"--
12
mr
e c o s i log-1
4 Z f,(r)dr=u4mcosi
+ COB i
1 - cosi
0
mr
1 -cm i
-mr
-mr
- cosie--c o s t l i e c o s t m r + cos i l i e
- mrlie
=a
-
(2L)?
[
i IOU-
C O S ~ cos
+
1 cos i
1 - cosi
+I
1-cosi
mr
-mr
1
+ COsi(e-~ilieaosimr-
+ cos i
1+cosdlog- 1 - cos i + COS i log -.
1
-a
-
J(4
1
COB i
acosi 1 + cosilog-1 +
cos2
(
)
- cos i
COB*
)
*
Wird demnach ein undurchsichtiger zerstreuender Korper durch parallele Strahlen unter dem Einfallswinkel i beleuchtet, so betragt die gesammte Lichtmenge , welche ein
Photom ctr ie
rl{fiisen Zn rucktoelfii ng
&el.
.
495
Element d w seiner Oberflache nach allen Seiten hin ausstrahlt :
1
1 + COB i
M = a d w .cos i [ l - cosilog ___
2m
COB i
+--(1
(2 - cp)
2
+cosilog~)].
1
l----q,
2m
27. Der Quotient M : a d ct) = A, namlich:
(1 - cosilog-
A = 2-: c o s i
I
+
2
(2 - cp) (2.;)
---cos i
l--cp
2m
1
+COBCOB2 i
c
i
(1 + cos i log )
1
COB
COB 2
stellt nun aber die Albedo in erweitertem Sinne, in ihrer
Abhangigkeit von dem Einfrtllswinkel, dar.
Fur senkrechte Incidenz (i o) ergibt sich hieraus:
E
1
A, = zn,(1 - log 2)
(2 - y ) (1
+
+ log 2).
Dieser Ausdruck muss mit dem oben (23) bereits gefundenen identisch sein. Hierzu ist nothwendig, dass cp den
oben (24) bereits bestimmten Werth:
sp = 1,77020
besitze, und dass ausserdem:
7 2
(2 - y ) ( l + log2) = 1 + e - J ( l + log2)2= q
sci. Es ist daher in der That gmz genau:
(2 - y) ( I
log 2) = 0,2298.1,69315= 0,38909 = 2.
28. Die Lichtmenge M‘, welche ein Kijrper, desscn
Oberflache von allen Seiten her gleichmassig beleuchtet wird,
nach irgend einer Richtung (a) ausstrahlt wird ausgedruckt
durch das Integral:
+
,
=/a
M’= 2nJLsinidi.
0
Da L in ganz gleicher Weise von i wie von
so kann sich dieses Integral von dem vorjgen:
e abhhngt,
496
E. Loinmel.
XJZ
M = 2nSLsin~ds
0
nur dadureh unterscheiden, dass i und
tauscht sind. Es ergibt sich daher:
E
miteinander wr-
1 - c o s ~ l o g -1 + cos &
cos &
wo die Constante cp denselben Werth hat wie vorher.
29. Fur absolut weisse Korper (Z/2m = 4) ergiebt sich
aus den Formeln M (26) und M' (28):
M=adw CQS~,
M = a d u COSE.
Wir gelangen demnach zu folgenden Satzen:
Wird ein absolut weisser Karper von parallelen Strahlen
aus irgend einer Richtung beleuchtet, so ist die von seiner
Oberfiache nach allen Richtungen ausgestrahlte Lichtmenge
(die Leuchtkraft seiner Oberflache) dem Cosinus des Einfallwinkels proportional.
Wird die Oberflsche eines absolut weissen Korpers yon
allen Seiten her gleichmassig beleuchtet, so ist die von ihr
nach irgend einer Richtung ausgestrahlte Lichtmenge dem
Cosinus des Emanationswinkels proportional.
Diese fur absolut weisse Korper ausgesprochenen Satze
gelten iibrigens auch bei fttrbigen Eorpern fiir diejenigen
Farben, deren Absorption als verschwindend gering angesehen
werden darf.
Die beiden Siitze zeigen aber, in welchem Sinne und mit
welcher Beschrankung das Cosinusgesetz fur den Incidenzwinkel einerseits und den Emantltionswinkel andererseits
nach unserer Thmrie als gultig anzusehen ist.
30. Die Lichtmenge AT, welche der Kiirper bei allseitiger (diffuser) Beleuchtung nach allen Seiten von sich strahlt,
wird erhalten, wenn man M mit Z a s i n i d i oder M mit
ascsinsde multiplioirt und sodann nach i resp. E von 0 bis
4% integrirt. Es ergibt sicb:
Photometrie deer d{@usen Zi~riickwerfi~ng.
497
nI2
nl%
cosi
i cos idi - cos2i sini log 1 +
di
COB 2.
S
0
nf2
+Jcoszi sin i log
0
- 1,
1 +cosi
cos 2.
cii
4 2
Jsin i cos idi = 4
oder, da:
0
XI2
J’cos
i sin i log 1 f
~
COB i
cos i
di = ;log2 - 61
ist:
0
Dieser Ausdruck, welcher das Verhaltniss angibt der allseitig durch das Flachenelement ausstrahlenden Lichtmenge
zu der yon allen Seiten durch dasselbe eindringenden Lichtmenge a a d w , entspricht der von Seeliger’) gegebenen
Definition der Albedo, wonach diese eine Zahl sein muss,
die nur von der Beschaffenheit des zerstreuenden Korpers,
dagegen nicht von dem Einfallswinkel abhangig sein darf.
Setzen wir der Kurze wegen :
1
A l = s ~ +
so ist in dieser Formel:
s = 0,40914;
wahrend sp den oben bereits gefundenen Werth:
y = 1,77020
vors tellt.
Fur einen absolut weissen Rorper (1/2m = 4) ergibt
sich hieraus selbstverstandlich A, = 1.
1) S e e l i g e r , Vierteljallrsschr. (1. aetron. Gcsellsch. 21. p. 223. 1586.
32
Aou. d. I’hys. u. Chem. N. F. XXXVI.
E. Lommel.
498
31. 1st die (Lambert'sche) Albedo A, eines Korpers
bekannt, so kann aus der Gleichung (23), (27):
die Grosse 1/2m und demnach auch das Verhaltniss k l l des
Absorptions- zum DiffusionsvermBgen bestimmt werden. Man
findet:
F u r Kremserweiss (cerussa albissima), das auf Konigspapier (charta regis albissima) in solcher Dicke aufgetragen
war, dass es vollkommen undurchsichtig erschien, fand
L a m b e r t l ) als Mittel aus sieben Beobachtungen die Albedo
A, = 0,4230, und fur das dicke und fast ganz undurchsichtige Konigspapier A, = 0,4. Hieraus berechnet sich fur
I
Kremserweiss: 2= 0,42736,
m
k
= 0,16997 ;
k
Konigspapisr: 2 Im = 0,42103 ' I = 0,18756.
Mittels dieser W erthe berechnet sich die Albedo nach
S e e l i g e r ' s Definition fur
Kremserweiss: A, = 0,44907,
Kdnigspapier: A, = 0,42670.
32. Nachdem nun in der Formel (22):
_-I
27?8
2COSiCOSE
+ 1--I$ 1
COSi+COSE
1 + cosi
cos i log 7
cos & log : o r ) )
cos z
+
~
'
2m
welche das Incidenz- und Emanationsgesetz fur undurchsichtige diffus reflectirende Korper darstellt, die CoEfficienten
numerisch gegeben sind, liisst sich aus ihr die Lichtmenge L
fur jeden Einfalls- und Ausstrahlu~gswinkelleicht berechnen.
Nehmen wir senkrechte Incidenz (i = 0) an, so lautet
die Formel:
1) Lambert, Photornetria, p. 341. 1700.
Photometr ie der (hfusen Zur u chweTft:fllug
2m
1--
499
2 cos &
I
$.
.
*----
1 -I-COS&
2mT
oder, wenn wir zur Abkiirzung:
2 cos &
--=-1 3-
COS &
cosz;
COSE
log2
&
-
7
-'7
-2m
''
-p
setzen:
+
C O S E log 1 f C 0 5 &
cos &
4
1
L
a d oL =P
(,+
,
pQ).
I n der folgenden Tabelle sind die Werthe von Y und
log brigg Q fur die um je loo steigenden Werthe des Emanationswinkels E von E = 0 bis 6 = 90° angegeben. I n der
nachstfolgenden Tabelle ist ftur Kremserweiss und Konigspapier das Verhaltniss LIL, (unter Lo die senkrecht ausstrahlende Lichtmenge bei E = 0 verstanden) berechnet; zur
Vergleichung sind in der letzten Columne die Werthe von
cos e hinzugefiigt.
00
to
20
30
40
1,00000
0,99235
0,96891
0,92820
0,86753
0,14186
0,13759
0,12432
0,10053
0,0631 1
50°
60
70
80
90
0,78256
0,66667
0,50971
0,29591
0,00000
I. Kremserweiss : log p
11. Konigspapier : log p
&
00
10
20
30
40
50
60
70
80
90
0,00622
9,91819-10
9,77205-10
9,48187- 10
- co
= 0,24433.
= 0,21829.
L
I. -
L
11. -
1,00000
0,99087
0,96293
0,91473
0,84391
0,74657
0,61766
0,45094
0,24126
0,00000
1,00000
1,00000
0,99087
0,96301
0,91499
0,84430
0,74719
0,61851
0,45197
0,24221
0,00000
0,98481
0,93969
0,86603
0,76604
0,64279
0,50000
0,34202
0,17365
0,00000
32 *
LA
LO
cos &
E. Lommel.
500
D a in dem Ausdruck I; die Winkel i und E miteinander
vertauschbar sind, so gelten die namlichen Zahlen auch fur
die verschiedenen Werthe des Incidenzwinkels , wenn der
Emanationswinkel constant = o ist.
33. Vergleichen wir nun diese Zahlen mit den von S e e l i g e r l) publicirten Beobachtungsresultaten. Dieselben sind
in den folgenden beiden Tabellen enthalten.
Emanationswinkel
i
I Mai-mor I
1000
963
920
853
765
655
513
340
00
10
20
30
40
50
60
70
80
E
0 0
10
20
30
40
50
60
Marmor
gg
a
2-
5 2a 3
a ) & Z
+Q
3
u1
I
I
Papicr
1000
1054
1099
1148
1180
1131
1020
constant.
Carton
1000
990
980
970
942
870
712
500
250
165
I
Papier
8
I
I Porzellan
1000
981
960
940
917
850
670
380
185
l(J00
Carton
Porzellan
1000
1044
1057
1048
1026
919
760
1000
1004
977
918
83I
720
590
982
942
890
830
730
615
472
253
1) S e e l i g e r , Vierteljahreschr. der mtronom. Gesellsch. 20. p. 267.
1885.
2) In der Originaltabelle sind, um die Abweichungen von dem Co-
sinusgcsetz beseer hervortreten zu lassen, die Vcrhgltnisse der gemessenen Lichtmengen zu cos E angegeben; hier sind der Gleicbformigkeit
wegen durch Mnlt,iplicat,ion mit cos 6 diesc Lichtmengen selbst wieder
hergestellt.
Photometric der dfliisen Zuriicktuerfung.
501
gesetzes; doch kann von einer auch nur amahernden Uebereinstimmung nicht die Rede sein. Da diese Materialien
jedoch durchscheinend sind, so limn die fur vollkommen undurchsichtige Platten abgeleitete Formel (22) auf sie uberhrtupt nicht angewendet werden, sondern es ware die complicirtere Formel (20), welche fur eine beliebige Dicke der P1att.e
gilt, heranzuziehen. Diese aber wurde fir eine diinne Schicht
die auegestrahlte Lichtmenge unabhangig von Incidenz- und
Emanationswinkel, also durchweg = 1000 ergeben. Ein Anwachsen dieser Lichtmenge mit zunehmendem Emanationswinkel bis zu einem Maximum, wie es aus den Beobachtungsreihen I1 hervortritt, kann durch das neiie Emanationsgesetz
ebensowenig wie durch das Cosinusgesetz dargestellt werden.
Auch mit der den1 Lambert’schen sowie dem neuen
Gesetz gemeinsamen Forderung , dass Einfalls- und Ausstrahlungswinkel miteinander vertauschbar sein mussen, stehen
die Zahlen fur Papier und Carton im Widerspruch, falls
angenommen wird , dass der constante Emanationswinkel
in I dem constanten Incidenzwinkel in I1 gleich gewahlt
worden ist.
Dagegen stimmen die fiir Porzellan gefundenen Werthe
mit den aus dem neuen Emanationsgesetz berechneten ziemlich nahe iiberein, wahrend sie yon dem Cosinusgesetz betrachtlich abweichen. Der Rechnung wurde die Albedo 0,4
zu Grunde gelegt, welche L a m b e r t als ungefahren Werth
fur weisse KGrper uberhaupt annimmt. Der constante Emanntionswinkel bei I sowie der constante Incidenzwinkel bei
I1 wurden beide = o nngenommen. Da die beiden Beobachtungsreihen f i r Porzellan der Bedingung der Vertauschharkeit von i und E nicht unbedingt widersprechen, wurden
aus ihnen noch die Mittelwerthe b(I + 11) gebildet, welche
noch besser mit den aus der Theorie berechneten Werthen
ubereinstimmen. Neben jeder Beobachtungsreihe sind in der
folgenden Tabelle in den Columnen Q und b die Differenzen
zwischen den beobachteten und berechneten Werthen fiir
das neue Gesetz (a) und fur das Cosinusgesetz (b) angegeben.
Wahrend die Abweichungen bei dem letzteren bis 31
des
beobachteten Werthes ansteigen, erreichen sie bei dem erste.
ren nur 4O/,.
B, Walter.
502
I
_
_
I
a
~
00
10
20
30
40
50
60
70
80
1000
991
963
915
844
747
619
452
242
1000
982
942
890
830
730
615
472
253
0
0
3
-21 +, 2
-25
24
-14
64
-17
87
4 +115
+20 4130
+11
79
-9
-
+
+
- +
+
1000
0
1004
13
977
14
918 + 3
831 -13
720 -27
590 -29
+
+
-
-
0
4-19
+37
+52
+65
i-77
4-80
-
-
1000
993
960
904
831
725
603
-
-
0
0
+ 2 + 8
- 3 3 2 0
-11
38
-13 -I- 65
-22
82
-16 +I03
+
+
-
-
-
-
I m Vorhergehenden ist zugleich der Weg vorgezeichnet
fur die theoretische Behandlung des durch einen durchscheinenden triiben Kiirper hindurchgegangenen diffusen Lichtes;
ein naheres Eingehen auf diese Frage mijge jedoch einer
spLteren Nittheilung vorbehalten bleiben.
XII. D i e Aenderzcmgem des PZuorescemnxverm6yercs
rnit d e r Concentratiort; vom B. WaIter.
(Kierzu Tnf. VII Fig. 12-80).
I n einer kurzlich in diesen Annalenl) unter ahnlicher
Ueberschrift veroffentlichten Abhandlung hatte ich a19 Hauptresultat aus meinen Beobachtungen den Satz abgeleitet , dass
das Fluorescenzvermogen einer fluorescirenden Elussigkeit mit
wachsender Verdiinnung unaufhbrlich zunimmt. Derselbe hatte
seiner Einfachheit wegen sehr vie1 gewinnendes, und er ist
denn auch, wie ich spgter fand, schon friiher vermuthungsweise
von L o m m e l ausgesprochen worden. 2, Nichtsdestoweniger
musste es Misstrauen erregen, dass die darin enthaltene Thatsache sich nach keiner Seite hin an bekannte Dinge anlehnte
und sich auch ebensowenig zum Aufschluss neuer Gebiete zu
eignen schien.
1) B. W a l t e r , Wied. Ann. 34. p. 316. 1888.
2) Lommel, Pogg. Ann. 160. p. 76. 1877,
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