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Die physikalische Interpretation von Ausdrcken aus der Theorie unendlich kleiner Schwingungen.

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707
12. Die physdkalische Interpretation,
von A u s d r u c k m aus der Theor& unen,&lich kleiner
Schwingungen; v o n J . Zernneck.
§ I.?
Die allgemeinste Schwingung eines Systems von n Freiheitsgraden'lasst sich bekanntlich stets zerlegen in n Elementarschwingungen der Form:
VI = f l
.
(4
y, = fs (t). . . etc.,
worin yl , vz.. voneinander unabhangige ,,Systemcoordinaten"
(Lagrange'sche Coordinaten) bedeuten und die f ( t ) sich im
allgemeinen als n fach periodische Functionen der Zeit ergeben.
Diese Zerlegung besitzt jedoch ink allgemeinen keine physikalische Bedeutung. Denn einmal ist weder die kinetische (T)
noch die potcntielle Energie ( 7 )der Gesamtschwingung gleich
der Summe der cntsprechenden Energien der Einzelschwingungen.2) E s ist vielmehr
(1)
{ 2T
= all
v:" + a,, qJ:
+ . + 2a12y; y; + 2a,,y:y: ...
+
2 Y = c i i ~ i+ c z a ~ i - * * + 2 ~ 1 ,~2~ 1+ 2 c i s ~ i ~ s - - - ,
wo y' = d y / d t und die a und c Constante des Systems sind;
beide enthalten also ausserdem noch Glieder, die eine Art
,,wechselseitiger Energie'; jener Elementarschwingungen vorstellen. Und dann sind diese Elementarschwingungen fur sich
allein iiberhaupt keine moglichen Schwingungen des freien
Systems. Schwingungen der Form
_____
y1 = f, ( t ) ;
ya = v,
=
. . . = y, = 0
1) Vgl. zum ganzen Paragraphen: Ch. Lagrange, mbcan. anal.
part. sect. VI; J. J. Thomson u. P. G . Tait, Treatise on nat. phil.
new. edit. Q 313. 1879; Lord Rayleigh, Theory of sound Vol. 1. cap. IV,
dessen Voraussetxzlngen und Bexeiehnungen im Folgenden gelten sollen.
2) Vgl. J. J. Thomson u. P. G. T a i t 1. c. Q 338.
2de
708
J . Zenneck.
konnen, auch wenn sie zwangsweise erregt werden, nicht bestehen, sobald das System sich selbst uberlassen wird. l)
Bei bestimmter Wahl der Systemcoordinaten , wenn diese
die Hauptcoordinaten (,,normal coordinates") des Systems sind,
andern sich die Verhaltnisse vollkommen. Die Functionen f ' ( t )
werden einfach harmonische Functionen der Zeit und zwar fiir
unendlich kleine Schwingungen von der Form A . cos ( nt - E),
und die Gleichungen
vi = A; cos (nit - E ~ )
(2)
y1= y 2 . . = q i - 1 = , l p , i + l . . = .w, = 0
stellen stabile Schwingungsformen des freien Systems, die Partialschwingungen, dar.
Entscheidend dafiir, ob dieser Fall vorliegt oder nicht,
sind die Grossen aik und cir ( i s k ) : Die notwendige und hinreichende Bedingung fur die Moglichkeit einer einfachen
Schwingung der Form (2) ist:
al=a,=
ai-l=ai+l=
... = a n = O
(3)
c1 = c2 = ... c i - 1 =
c i + 1 = ... - cn = 0 .
{
.
{
...
..
3
2.
Begniigt man sich nicht einfach mit der Thatsache, dass
die Gleichungen (2) nur dann die Bewegungsgleichungen des
Systems befriedigen , wenn die Bedingungen (3) erfiillt sind;
sucht man sich vielmehr iiber die physikalischen Beziehungen,
welche dem zu Grunde liegen, klar zu werden, so ist bei der
entscheidenden analytischen Bedeutung der Grossen aik und cik
1) Z . B.: Die allgemeinste Schwingung eines starren um einen festen
I'unkt beweglichen Systems lasst sich stet8 zerlegen in Schwingungen um
drei beliebige, zn einander senkrechte Axen. Aber nur wenn diese Axen
die Haniittraghcitsaxen sind, k h r i e n diese Elementarschwingungen fur
sich bestohen.
Ebenso kann man die allgemeinste Schwingung einer nicht ganz
homogenen, kreisfiirmigen Memhxan , Platte oder Gloeke bis eu einem
gewissen Grade in beliehiger Weise auffassen als die Summe von Schwingungen mit ewei, drei etc. Knotendurchmessern. Eine Schwingung mit
etwa zwei Knotendurchmessern alleilz hervorzurufen, gelingt aber nur bei
ganz bestimmter Lage der Knotendurchmesser. (Vgl. Lord R a y l e i g h , 1. c.
§§ 208, 209, 221; Phil. Mag. (5) 29. p. 2. 1890; J, Z e n n e c k , Wied.
Ann. 66. p. 17Of. 1898.)
Theorie unendlich hleiner Schwingungen.
709
(i 2 k ) von vornherein anzunehmen, rlass die erste Aufgabe in
dieser Echtung die physikalische Interpretation der Grossen aik
und cik sein muss. Diese ist der Zweck des Folgenden.
§ 3.
Damit durch die Verwendung von Systemcoordinaten
keine Weitlaufigkeiten entstehen, mogen vor allem folgende
Abmachungen getroffen werden.
a) Erfolgt eine Verriickung (oder auch Deformation) des
Systems so, dass nur eine Systemcoordinate, etwa yi,sich iindert
und zwar um d y i , so soll von einer ,,Verriickung des Systems
in der Richtung der Systemcoordinate yi um dy;' gesprochen
werden. I n demselben Sinne soll ,,Geschwindigkeit oder
Schwingung l) des Systems in der Richtung der Systemcoordinate
yitczu verstehen sein.
b) Wenn auf ein Systemteilchen Krafte wirken mit den
rechtwinkligen Componenten X, Y, i7,und Sz, Sy, 6 z die Componenten des Weges sind, welchen das Teilchen zuriicklegt, so lLsst sich die vom ganzen System gleistete Arbeit
(XSx + Y Sy + Zd z ) auf die Form bringen:
'y,.ay, i3Fr,ayz + * . *
Bedeuten ebenso P Q R die rechtwinkligen Componenten eines
auf ein Systemteilchen ausgeiibten Impulses, SO kann auch
der Ausdruck C (P6 x + Q 6 y + R 6 z) umgeformt werden in
El S y l + E2 Sy, + . . . Es sollen deshalb die Grossen P,,
Pzete. bez. & , g2 etc. ,,die Componenten der Kraft bez. des
Impulses in der Richtung der Systemcoordinaten yl, y, etc."
heissen. a)
c) Irgend ein Teilchen des Systems moge bei einer Verriickung des Systems in der Richtung der Systemcoordinate yi
um den unendlich kleinen Betrag d yi das Wegelement
d si = oi . d yi zurucklegen. I n der Richtung dieses Weg1) Eine 8olche ist durch die Gleichung (2) dargestellt.
2) Vgl. J. J. Thomson u. P. G . Tait, 1. c. 8 313; Lord R s y l e i g h ,
1. c. cap. IV.
710
J. ZemecR.
elementes wirke auf dae Teilchen die Kraft- oder Impulscomponente K,. Dann sol1
K, . oi
,,das Moment der Kraft oder des Impulses K8 bezuglich der
Systemcoordinate wi" genannt werden.
§ 4.
Ueber die erste Frage, die physikalische Bedeutung der
Busdrucke aik und cik, orientirt man sich am besten, wenn
man von den eben definirten Grossen Vr und g Gebrauch
macht. Es ist')
Erteilt man dem System in der Gleichgewichtslage durch
einen Stoss eine Geschwindigkeit in der Richtung einer Systemcoordinate etwa
vom Betrage v;, so wird
vi,
gl = a l j q ; ;
&, = aziVl; . . . E~ = a k i y / .
Obwohl also das System eine Geschwindigkeit nur in der
Richtung einer Systemcoordinate q4 erhielt , verursacht doch
gerade diese Geschwindigkeit Impulse auch in der Richtung
der anderen Systemcoordinaten. Die Folge davon ist, dass
nicht nur in der Richtung der Systemcoordinate qi,sondern
auch in der Richtung der anderen Systemcoordinaten Schwinguugen zu stande kommen. 1st 9;= 1 , so wird El = a l i ,
& = a a i . . ., lj, = aki. Es bedeutet also a,, = aki den Impuls,
den das System in der Richtung der Systemcoordinate qk(bez. yJ
erhalt, wenn ihm in der Richtung der Systemcoordinate yi
(bez. qk)die Geschwindigkeit 1 erteilt wird.
1) Vgl. J. J. Thomson u. P. (3. Tait, 1. c. § 343; Lord Rayleigh,
1.c. @ 71 und 76.
Hheorie unendlich k leiner Schwircgungen.
71 1
Wird das System ausschliesslich in der Richtung einer
Systemcoordinate, etwa tpi, aus der Gleichgewichtslage entfernt
um den Betrag yi, so wird:
!PI = c l i ? / J i ; w2 = c2i?pv;;. . . zu, = 'ki Vi'
Es werden also dadurch, dass man das System in der
Richtung einer Systemcoordinate aus der Gleichgewichtslage
verriickt, Krafte auch in der Richtung der anderen Systemcoordinaten gemeckt. Diese miissen, wenn man das System
in die Gleichgewichtslage zuriickschnellen lasst , Anlass zu
Schwingungen auch in der Richtung der anderen Systemcoordinaten geben. Die Grosse der Kraft, welche auf das
System in der Richtung der Systemcoordinate J!~,I (bez. I,!J,)
wirkt , wenn dasselbe in der Richtung der Systemcoordinate
(bez. I,!J~)um die Einheit dieser Coordinate aus der Gleichgewichtslage entfeiat wird, ist cik = c k i .
Bei dieser Bedeutung der Qrossen uik und cik (is
k ) heisst
also die Bedingung Gleichung (3) 8 1 physikalisch nichts anderes als: nur dann ist eine einfache Schwingung in der Richtung nur einer Systemcoordinate moglich, wenn diese Schwingung nicht Krafte oder Impulse in der Richtuag der anderen
Systemcoordinaten liefert. l) Sind solche vorhanden , SO muss
durch dieselben eine sofortige Storung der Schwingung eintreten; die Schwingung kann nicht stabil sein.
vk
8
5.
Die zweite Frage? wie man sich die physikalische Zntstehuzg
dieser storenden Impulse und Krafte zu denken hat, sol1 vorerst
bezuglich der Impulse, der Grossen aik, beantwortet werden.
Das System besitze in einem bestimmten Augenblick in
der Richtung der Systemcoordinate yi die ,,Geschwindigkeit"
in der Richtung der Systemcoordinate
die ,,Oeschwindigkeit" q~;. Der ersten ,,Geschwindigkeitscomponente"
entspreche fiir ein Massenteilchen d rn die lineare Geschwindig-
vl,
vk
1) Dieser Satz ist also physikalisch selbstverstgndlich. Er ist es so
sehr, dass man sich versucht fuhlen kann, diesen Satz zum Ausgsngspunkt zu machen und darsus
und nicht aus den Differentialgleichungen
ffi die Bewegung des Systems
die analytischen Bedingungen Qleichung (3) 0 1 rtbzuleiten.
-
-
J. Zenneck.
712
keit vi, der zweiten die lineare Geschwindigkeit vk. Dann gilt
fur die lebendige Kraft T des ganzen Systems
2T=Jv,$dm + l v ; d m
+ 2 ~ v i v k c o s ( vvi k, ) d m ,
8 1)
a$,q i y =
~ J v i v k . cos (vi,uk).dm.
also (vgl. Gleichung (1)
Bedeutet ds, bez. ds, den Vector des unendlich kleinen
Weges, den das Teilchen d m beschreibt bei einer Verruckung
des Systems in der Richtung der Systemcoordinate yi bez. qk
urn dly, bez. dy%,so ist
dsi=ci.dqi,
dsk= ck.dVk,
wo tick fur das betreffende Teilchen Constante sind. Daraus
folgt
vi = ci .q);,
V k = c k .q;
und
(4)
aik= 0; e k ecos (ci, c~ am. 1)
J
Man hat sich demnach die Entstehung der Grossen uibfolgendermaassen zu denken:
1) Flir die Analogie, die zwischen der Theorie dieser Schwingungen
und dejenigen mancher elektromagnetischer Erscheinungen basteht (vgL
Lord R a y l e i g h , 1. c. fj l l l b und cap. XB), bieten diese Verhllltnisse
eine besonders gute Illustration.
Die Gleichung fur die kinetische Energie T [Gleichung (111
2
T=
..
Ug<$#i*
-!-a k k v { a
$:
2
a i k v ; vk'-,
-
enbpricht der Gleichung f i r die Energie W zweier Stromkreise i und k
mit den Intensitliten it und ik:
2
w=
p i t itB
+
p k k * iks
-k 2 P i k
ii ik
7
die Coefficienten ara(i2 k) entsprechen den wechselseitigen Inductionscoefficienten p i k . Die in 8 4 besprochene physikalische Bedeutung von air
findet ihr Analogon in der Definition von p i k a18 derjenigen Kraftlinienzahl, welche der Strom i (bez. k ) durch den Stromkreis k (bez. i ) hindurchschickt, wenn der Strom ii (bez. ik) = 1 ist.
Die Gleichung (4) endlich steht SIXder Gleichung fur T in derselben
Beziehung, wie die Nenmann'sche Formel
(ds,, dsa = Stromelement,
T
ihr Abstand) eu der Oleichung fiir W;
713
Theorie unendlich kleiner Schwingungen.
Erhalt das System in der Richtung der Systemcoordinate vi
eine ,,Geschwindigkeit'L vi und zwar vom Betrage v:= 1, so hat
irgend ein Massenteilchen d m des Systems bei dieser
Bewegung eine Geschwindigkeit oi (vgl. Fig. l), eine
4(,flt6k
Bewegungsgrosse oi dm. Biese besitzt im allgemeinen eine Componente auch in derjeniqen RichFig,
tung ok, in welcher dasselbe Teilchen bei einer Yerruckung des,Systems in der Richtung eiizer anderen
verschoben worden ware. Die Crosse dieser
Systemcoordinate
Componente isl
= oicos ( o i , o k ) d m ,
L%
vk
ihr ,,Moment bezuglich der Systemcoordinate
y/ (vgl. 8 3c)
=oi.okcoS(oi,Ok)(Em.
Alle diese Momente der einzelnen Teilchen setzen sich zusammen zu der Grosse atk, dem Qesamtimpuls, den in diesem
Falle das System in der Richtung der Systemcoordinate qkerhalt.1)
1) BeispieI: ein starres, urn einen festen Punkt drehbares System.
Systemcoordinaten seien die Drehungswinkel urn drei zu einander
senkrechte Axen X Y Z (vgl. Fig. 2). x y 2 seien die rechtwinkligen Coordinaten eines Massenteilchens d m,
z
r,, vy , vr dessen Entfernung Ton den
drei Axen. Dann wird
zl z /I
u1
=
aber nur der
Grosse nach;
=X
cos (0, , u*) =
- ?,-x y9.v ,
cos (u*, us) =
-
__
y x
vu I;
7
Man gelangt also zu den Deviatiorasmommtera, die einen speciellen FalE
der Grossen ask (i5 k) darstellen.
Annalen der Physik. 1V. Folge. 6.
46
J. Zenneck.
7 14
8
6.
F u r die Frage nach der yhysikalischen Entstehung der
,,Krafte" ciL sei vorerst vorausgesetzt, dass die Kraft , welche
auf irgend ein Massenelement Q d t wirkt, eine Kriiftefunction
besitze, die eindeutige und stetige Function ausschlieselich der
Coordinaten des betreffenden Elementes sein soll. Das Coordinatensystem sei ein rechtwinkliges, sein Nullpunkt 'falle
zusammen mit der Ruhelage des Teilchens.
Fiir die Ruhelage des Teilchens habe die von aussen auf
dasselbe ausgeiibte Kraft die Componenten X , e d t, Yo.c d r ,
2,. Q d r . Die Componenten X,, Yo, 2, sollen in X, Y, 2
iibergehen, wenn das Teilchen sich an dem der Ruhelage unendlich nahen Punkte mit den Coordinaten x y z befindet.
Dann bestehen angeniihert die Gleichungen:
.
I
x= x,+
+ (%.)/+
(4:)
2 =
x,+ F*,
0
Nun handelt es sich im Folgenden nur um die Arbeit,
welche das System leistet, wenn es aus irgend einer Stellung
in die Gleichgewichtslage zuriickgefuhrt wird. Zu dieser Arbeit
leisten aber die Krafte mit den Componenten I,,Yo,2, keinen
Beitrag. I n Betracht kommt also nur die Kraft P.Q d z ,
deren Componenten (Fs,F,, 3;) p d z durch die Gleichungen (5)
definirt sind.
F u r die Arbeit d Y , welche ein Massenelenient p d z leistet,
wenn es aus einer Stellung mit den unendlich kleinen Coordinaten I, y, z zuriickgeht in die Gleichgewichtslage und dabei
den unendlich kleinen Weg s beschreibt, gilt
(6)
d P = +.Ps~os(3~s).qdz.
Das Teilchen ~ d moge
t
die Stellung x, y, z dadurch
erreicht haben, dass man dem System gleichzeitig eine Verschiebung in der Richtung der Systemcoordinate yi um den
unendlich kleinen Betrag yi und in der Bichtung der Systemcoordinate yk um den unendlich kleinen Betrag yfi erteilte.
715
Theorie unendlicii kleiner Schwingungen.
Bei. der ersteren Verschiebung mache das Teilchen den unendlich kleinen Weg si, bei der letzteren sk. Die zuriicktreibende Kraft P sei a m Endpunkte des ersten Weges Fi,
des zweiten Fk. Dann ist der Beitrag d 7, den das Potential P
[GIeichnng (l)]dem betrachteten Massenelement verdankt,
=
4[1",+ Fk]
i'[
+
sk]
+
cos ([q
*
Fk]
7
+
[si
sk])
*
edT
wenn die Ausdriicke in den eckigen Klammern Vectorsummen
bedeuten. Fiihrt man diese Gleichung aus, so folgt
dY=
+ [1",. si cos (q,si) + Fk.s k .cos (Pk,sk) + 4 .sk. cos (8,sk)
+ 3;. si. cos (r",,s i ) ] . q d t.
Dit nach den Gleichungen (j),in welchen wegen der Annahme einer Kraftefunction d X I 8 y = d Y / d x etc. ist,
~ . s k . c o s ( E ' i , s k=) Pk.Si.C0S(Fk,Si),
so erhalt man fur das Potential v des -Systems:
s
2 V = Fisicos (Fi,
sif . Q d t + s F k sk cos (Pk,
sk) . 9 d t
+ 2sli::skcos(F;, Sk).
dt .
Der Vergleich dieses Ausdruckes mit demjenigen von
8 1. giebt:
Cik.
v i e
q k * COS (pi,
vk) * Q d
v
k
=s
t
P k .tpicos(Bi, si). Q dt.
Aus den schon friiher gebrauchten Gleichungen
Sk
= Uky k
Fk
=f k .
si = oiTpi,
folgt nun vermoge Gleichung (5)
4 = fi' vi
9
v k
7
wo 6,f, ebenso wie gi, ck fur ein bestimmtes Element des
Systems als Constante zu betrachten sind. SO wird endlich:
Ci =
s&
.Ok
Cos (fi, Ok)
Q
.
d t = J f k . ci.cos (fk,UJ g d t.
46 *
716
J. Zenneck.
Auf Qrund dieses Ausdruckes hat man sich folgende Vorstellung uber die physikalische Entstehung der stiirenden
,,Kraft" cik zu bilden:
Wird das System in der Richtung einer Systemcoordinate vvi
aus der Gleichgewichtslage verschoben um den Betrag vi = 1 ,
so wirkt auf ein Massenelement e d t , welches bei dieser Verschiebung den unendlich kleinen Weg oi gemacht hat, eine zuriicktreibende Kraft fi . Q d t. Diese Kraft besitzt eine Componente
auch in derjenigen Richtung ok, in welcher dasselbe Element boi
einer Yerriickung des Systems in der Bichtung einer andmen
Systemcoordinate tpk vemchoben worden ware. Dic Griisse dieser
Componente ist
fi cog (6,
ok)
ed t ,
das ,,Moment dieser Componente bezuglich der Systemcoordinate U,I/
fi akcos (fi,ok). g d t.
Die ,,Momente" aller Massenteilclien des Systems summiren .\ich
und liefern eben die Griisse cik.
7.
Bei elastischen Systemen treffen die Voraussetzungen von
nicht mehr zu. Jedoch genugt eine einfache Umformung
des Potentiales , um dieselben Verhaltnisse wie dort herzustellen.
Das elastische Potential W hat die Form
86
wo X z etc. in der ublichen Weise die Componenten der Druckkrafte und u;v, w die Componenten der unendlich kleinen
Strecke s bezeichnen, um welche das Volumenelement d T bei
der betreffenden Deformation aus der Gleichgewichtslage sich
entfernt hat.
Es bezeichne G don Vector der auf die Volumeneinheit
wirkenden inneren Krafte, P den Vector der auf die Ober-
717
Theorie unendlich kleiner Schwinyungeid.
-
flache des Systems - und zwar pro Flacheneinheit
von
aussen ausgeubten Druckkrafte. Dann gelten die Gleichungen
- P, = Xzcos (n, r ) + X, cos (n,y) + Xzcos (n, z ) ,
- P, = Yzcos (n,r) + Y,cos (n,y) + Yzcos (n,z) ,
- P, = Zz cos (n, r) + 2, cos (n,y) + 2, cos (n, z) ,
worin n die nach innen gerichtete Normale des Oberflachenelementes d 0 , auf welches sich P bezieht, bedeutet.
Die partielle Integration von W, Gleichung (7) , liefert
dann
2 W = (G,.u+G,.e,+ G ~ . ~ ) d t + ~ ( P , . u + P y . ~ + P ~ . ~ u ) d o
s
=
G . s. cos ( G , s) d t
+ l P ,s . cos (P,s).d o .
Als Beitrag eines Volumenelementes d t kann also aufgefasst werden der Ausdruck
4G . s . cos(G, s) d t . ,
(8)
oder, falls auch noch aussere Krafte (Vector F, 5 6) vorhanden sind,
[ g P + GI.s. cos([g F + GI,s). d t ,
(8a)
worin unter [pP+ GI die Vectorsumme von g P und G zu
verstehen ist.
Als Beitrag eines Oberflachenelementes d o bat man zu betrachten die Grijsse
P.s . cos (P, s ) . d 0 .
(9)
Die Ausdrucke (8) und -(9) haben genau die Form wie
der entsprechende Ausdruck (€9, 5 6. Bei ihrer physikalischen
Interpretation braucht man .also nur genau nach dem in 8 6
gegebenen Schema zu verfahren.
S t r a s s b u r g i. E., Physikalisches Institut.
+
(Eingegangen 24. April 1901.)
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