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Die p-n-junction im Temperaturfeld.

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Die p-n-junction im Temperaturfeld
Von Wolfgang Klose
Mit 1 Abbildung
Inhaltsiibersic ht
In einer p-n-junction, die sich in einem Temperaturfeld befindet, tritt ein
zusatzlicher elektrischer Strom in Sperrichtung auf. Eine durch die Elektronund Locherleitung bedingte Unsymmetrie im Warmetransport durfte wegen
der grol3en Gitterwarmeleitfahigkeit kaum zu beobachten sein.
Einleitung
Die in Transistoren umgesetzte elektrische Energie wirkt sich wegen der
Temperaturerhohung ungunstig auf die erwiinschten Eigenschaften der Schaltelemente aus. Die Untersuchungen dieses Fragenkomplexesl) 2, gehen jedoch
nicht darauf ein, wie sich ein p-n-Obergang in einem Temperaturgradienten
benimmt.
Es solI hier auf die Problematik der entsprechenden Theorie hingewiesen
werden.
Die isotherme p-n-junction
Wir fuhren hier kurz diejenigen Ergebnisse der bekannten Theorie an, die
fur das Folgende wichtig sind. (Fur eine ausfuhrliche Darstellung vgl. 3).)
Betrachtet wird ein eindimensionaler symmetrischer p-n-Obergang, d. h.
die Dichte der Donatoren n, im n-Teil ist gleich der Dichte der Akzeptoren
nA im p-Teil und alle GroBen hangen nur von einer Ortskoordinate (5) ab.
Es wird angenommen, dal3 alle Donatoren bzw. Akzeptoren ionisiert sind
und daB die n-p-Grenze streng x = 0 ist.
Der durch Raumladungen charakterisierte cbergang zwischen dem pund dem n-Leiter bei x = 0 enthalt in einer Schicht (- d, d ) den Obergang
von n, + nD bzw. pD--f pn. Im unbelasteten Fall kann man niiherungsweise
angeben :
+
~.
L,, = 1 / E T / 4 ne2 n, Debye-Lange d. Eigenhalbleiters
1) G. N. Roberts a. R. W. A. Scarr, International Convention on Transistors and
Associated Semiconductors Devices, London, May 1959, No. 2919. Proc. i. E. E. €3 106,
(1959), im Druck.
2) C. A. Hogarth, A. Langridge a. I. M. Ziman, Transistorsand Associated Semiconductor Devices, London, May 1959, NO.2968. Proc. i. E. E. B 106, (1959).
3) 0. Madelung, Handbuch der Physik, Bd. XX, S. 145ff. Springer-Verlag, Berlin
1957.
26
Annalen der Physik. 7 . Folge. Band G. 1960
m : Elektronenmasse; m,, m,: effektive Elektronen- und Lochermassen;
d E : Energielucke.
Fur den stationar belasteten p-n-ubergang findet man bei schwacher Rekombination
p ( d ) = p , e e V l k T bzw. n (-dl = n, eeVlkT
(1)
V ist die angelegte Spannung.
Fur den Strom, der durch Elektronen (in)und durch Locher (i,) getragen
wird, gilt :
1 din
1 di,
0 =C,U,
O=Gn--U --42)
e dx
e dx'
+-
Dabei sind G, bzw. G, aul3ere Erzeugungsquoten fur Elektronen und Locher,
U , bzw. U , die Rekombinationsuberschu Bquoten
an, dp : Sbweichungen von der Gleichgewichtsdichte, z : Lebensdauer der
UberschuBladungen.
Ohne aul3ere Erzeugung von Ladungstragern und bei direkter Rekombination (G, = G, = 0, U , = U,) ist:
i = const = i,(d)
i,(d) = i n ( - d )
iD(--d).
+
+
Bei schwacher Rekombination kann i allein durch die Minoritatstrager ausgedruckt
werden ; man vernachlassigt die Rekombination in der mergangszone (-d, + d ) ganz und hat
i = i,(-d)
i,(+d).
Die Minoritatsstrome konnen vorteilhafterweise allein als Diffusionsstrome
berechnet werden :
i,, = e D n ddrn
i , = - e D P dP
(3)
dx
und man erhalt:
i = a , e x pkcT- 1 ) .
(4)
+
'(
Der nichtisotherme p-n-nbergang
Der Fall einer auBeren Erzeugungsquote fur Ladungstrager spielt fur die
p-n-Fotoelemente eine groI3e Rolle. Vollig analog dazu sol1 das vorliegende
Problem behandelt werden.
An sich ist in (2) Gn = G, = 0 zu setzen und in U die ortsabhangige Temperatur zu verwenden. Wir schreiben dafur aber:
mit einer passend gewahlten Temperatur To.
W.Klose: Die p-n-junction im Tempraturfeld
2i
Wir legen damit das folgende Modell zugrunde :
1. Der isotherme p-n-Obergang bleibt in seinen Eigenschaften (bzgl. To)
erhal ten.
2. Die durch den Temperaturgradienten mehr erzeugten Ladungstrager
treten allein bei den Minoritatstragern in Erscheinung und werden durch eine
Fremderzeugungsquote beschrieben.
Legen wir zwischen den Enden des Elements die Temperatur durch
fest, wobei 6 ( I & x) <
T = T 0 + 6 ( Z f z)
To sein soll, ist:
gn2
= gnJ‘*
(Analoges gilt fiir die p-Erzeugungsquote.)
Entgegengesetzte Temperaturgradienten machen sich in (5) nur durch die
Ersetzung von g, durch -9, bemerkbar.
Die zu (4) fuhrenden Rnndbedingungen (bei x = & d :(l), bei x = fI :p = 0
bzw. n = 0 (vgl. 4)) legen aueh hier die Minorit&tstragerstzromefest.. Naeh
( 2 ) und (3) ist
Dn(6n)lf- 6n/tn g,(x) = 0; x < - d
+
D,(6P)”- 6 P / t p
uiid das fuhrt auf:
+ g,(4
. = zS. ( e e V l k T o -
2.
= 0;
2
>
+d
1)- i T
( 6)
mit gleichem i,* wie in (4), namlich
und
wobei
A,
= ( I - d)/Ln;
A, = ( I - d)/L,.
Den thermischen Zusatzstrom im Fall des umgekehrten Temperaturgradienten
erhalt man aus (7b) durch Ersetzen von g2 durch -gp
Wird an den Oberflachen x = f 1 als Randbedingung eine Oberfliichenrekombination (charakteristische Lange L,) benutzt, erhalt man an Stelle
von (7)
+ %.
Dv P n
4)
R . L . Cummerow, Physic Rev. 96, 16 (1954).
(8a)
28
Aiinalen der Physik. 7. Folge. Band 6. 1960
Man erkennt, daS bei I.,, A, B 1 die Sperrstrome (7a) und (8a) ineinarider
iibergehen und die gl-Anteile von i, ebenfalls gleich werden.
Die mit der Richtung von grad T zusammenhangenden g,-Teilstrome
haben folgende Eigenschaften :
Vernachlassigt man die Verhaltensunterschiede zwischeii n- und p-Ladungstragern, setzt also alle mit n und p indizierten GroSen gleich, fallen die g2Anteile in i, e x a k t weg. Diese Teilstrome beruhen also auf den verschiedenen
physikalischen Eigenschaften der n- und p-Minoritatstriiger. Fuhrt man diese
Vergroberung der Theorie nicht aus, sondern wahlt nur A,, A,
1, zeigt eine
Abschatzung, daS die 9,-Anteile des Stroms vie1 groSer sind als die g2-Anteile.
Vernachlassigt man diese nun, dann erhalt man :
>
-
+
r.
i, = i,6 21(3/2 AE/2kTo)/To= i s @ .
Fur Germanium ist (bei To = 300 OK):
( 9)
Entnimmt man der p-n-junction keinen Strom, ist:
und die Spannung V ist von dem Temperaturgradienten erzeugt. Der Ausdruck
ersetzt die ,,absolute Thermokraft".
Energietransport iiber die junction
Zur Berechnung des Warmestroms in dem Halbleiterelement kann man
nicht auf die ublichen Theorien Bezug nehmen. Normalerweise werden die
fur jedes Band getrennt berechneten Warmestrome einfach addiert und
eventuell die ambipolare Diffusion zusatzlich berucksi~htigt~).
Hier hat man
jedoch eine Ladungstriigerdichte, die nicht erst durch die Diffusion im Temperaturfeld ortsabhangig wird und auBerdem ist die Anzahl der Ladungstrager
nicht konstant. Die (integralen) Strome (9) konnen daher nicht direkt wie
gewohnlich venvendet werden. Durch das innere Feld des p-n-Obergangs
5,
P. J. Price, Philos.Mag. 1252 (1955).
W.Klose: Die p-n-junction im Temperatitrfeld
29
wird ambipolare Diffusion verhindert (die thermisch erzcugten ElektronLoch-Paare werden getrennt und unabhiingig von der Richtung von (grad T)
flieBt der Zusatzstrom immer in Sperrichtung). Ohne eine exakte mikroskopische Theorie mu13 man mit allgemeinen Eigenschaften des Halbleiters versuchen, zu Aussagen zu kommen.
Der auf Grund des Temperaturgradienten flieDende Warmestrom q geniigt
im stationaren Fall den Gleichungen :
q = - k T'
q' = Quellterme.
(10)
Diese Tatsache, daB bei T' = const gilt: q N - T', aber i N TI 1, versuchen
wir grob zunachst durch folgendes Modell auszudriicken :
Fur den Warmetransport sind nur die Ladungen in einem Band verantwortlich, namlich die, die im ,,heiDeren" Teil des p-n-Halbleiters Minoritatstrager sind. Damit betrachtet man fur die thermischeri Eigenschaften je nach
Richtung von (grad T) zwei verschiedene Ein-Band-Halbleiter mit vorgegebener Ladungsdichte. Da L, rn L, ist nach (9) die Gleichartigkeit von i,
gesichert (qualitativ !). DaD auch der Warmestrom mit den realen Verhaltnissen korrespondiert, zeigen *
Fall 1: T-Gradient von p -+ n. Zusatzelektronen und -Locher werden
vom T-Feld in den n-Teil getrieben. Das elektrische p-n-Feld beschleunigt
seinerseits noch die Elektronen, wahrend es die Locher zuriickhalt.
Die Elektronen durchlaufen also den p-n-ubergang bevorzugt und in der
fur den Energietransport richtigen Richtung. Im ,,heiBen Teil" des Halbleiters sind sie die Minoritatstrager.
F a l l 2: T-Gradient von n --f p. Entsprechende Argumentationen fuhren
zur Auszeichnung der Locher.
Fur die Modell-,,Einbandhalbleiter" entnehmen wir die Warmeleitfahigkeit
der ublichen Theorie
x, = (nk/e 1/3)' e ,unn T
(11)
und setzen fur n die W-erte im p-76-ubergangshalbleiter ein.
Trotz gleicher T-Gradienten und (nahezu) gleichen elektrischen Zusatzstroms, trotz symmetrischer n und p sind hier die Warmestrome verschieden,
da die Beweglichkeiten der Elektronen und Locher i. a. nicht gleich sind.
Korrigiert man das Modell durch Beachtung der Tatsache, daD auch die
jeweils hier nicht betrachteten Ladungstrager zum Transport beitragen, wird
die Unsymmetrie noch verstarkt. Da nach (9) (wenigstens an der junction)
,,die anderen" Ladungstrager immer ZULU Zusatzstrom in gleicher Richtung
beitragen, d. h. in entgegengesetzter Richtung flieBen und damit Energie in
entgegengesetzter Richtung transportieren, wird der nach (11)relativ kleinere
Energietransport durch Locher noch stark reduziert durch die Elektronenleitung, wahrend andernfalls der relativ groflere Energietransport durch die
Elektronen nur wenig durch die Locher beeintrachtigt wird.
I
Mliiglichkeiten der experimentellen Nachpriifung
Wegen der verschiedenen Eigenschaften des n- und p-Teils sind die elektronischen thermischen Leitfahigkeiten voneinander verschieden. Ware das
Gitter nicht am Warmetransport beteiligt, miiBten fur die Aufrechterhaltung
30
Anncslen der Physik. 7. Folge. Band 6. 1960
eines ortsunabhiingigen T-Gradienten uber den p-n-Ubergang hinweg Warmequellen an der Probe angebracht werden (vgl. (lo)], und zwar wegen der
geringen Ausdehnung des nbergangsgebietes am Ort der Trennflache, wie man
aus Abb. 1 ersehen kann.
DaJ3 der durch diese ,,Symmetrisierung" erzeugte elektrische Strom i, fast
unabhiingig ist von der Richtung des Temperatur-Gradienten, ist nicht verwunderlich. La& man Tmax
w
AT
(1,05 bis 1,l) To zu, dann
mu13 der elektrische Zusatzstrom gut meJ3bar sein.
Ob an der Stelle des p-nUbergangs tatsiichlich eine
Wiirmequelle anzubringen ist,
hiingt vom Anteil des Gitters
+lXan der Warmeleitung a b (und
Abb. 1. Anbringen einer Quelle im Gebiet (-4,+ d ) diese Gittereigenschaft bleibt
gleicht die natiirlichen Gradienten aneinander an von dem p-n-Ubergang unberiihrt !). Da der Gitteranteil
relativ grol3 ist, kann man vermuten, daR der Temperaturgradient, der
uber dem entkoppelten Gitter allein vorhanden ware, von dem elektronischen Anteil nur so wenig geandert wird, so daJ3 'man insgesamt mit einem
fast konstanten Gradienten auch ohne aul3ere Quelle rechnen kann.
Mit
,u, = 3600 cm2/Volt sec, k To = 0,l eV, e = 1,6 .
Amp. sec
n = 1014 ~ m - ~k ,= 1,4.
Watt sec/Grad
ist nach (11):x , w 10-6 Watt/cm grad
wahrend nach 6, experimentell x = 0,5 Wattlcm grad die iiberragende Rolle
der Gitterwarmeleitung kennzeichnet. Ob die Unsymmetrie des Elektronenwhmestroms gegenuber dem grol3en Gitteranteil wahrnehmbar ist, bleibt
abzuwarten.
-
6,
G.K. White a. S.B. Woods, Can. J. Phys. 83, 58 (1955).
B e r l i n , Physikalisch-Technisches Instit.ut der Deutschen Akademie der
Wissenschaften.
Bei der Redaktion eingegangen am 21. September 1959.
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