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Die ponderomotorischen Drehwirkungen der Lichtwelle und das Prinzip von Wirkung und Gegenwirkung.

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473
5. D i e potaderomotorischem D r e h w i r k u n g e n
d e r LichtwelEe u,nd das Prinxip von W4rlc:un.g
uizd Gegenwirlcung;
vow I<. Schaposchqaikow.
I n dem vorliegenden Artikel bemiihe ich mich zu zeigen,
daB die Abrahamsche Theorie der ponderomotorischen Wirkungen im elektromagnetischen Felde l) eine Tatsache nicht
erklaren kann. Der von mir betrachtete Fall scheint mir darum besonders wichtig, weil er die Frage uber das Prinzip von
Wirkung und Gegenwirkung der klassischen Dynamik einigermaBen beruhrt.
A. Sadowsky? folgerte aus der Maxwellschen Theorie,
daB die Kristallplatten in der Lichtwelle ponderomotorische
Drehwirkungen erfahren mtissen. Als Beispiel fassen wir ins
Auge die Kristallplatte von 1/4 Wellenlange, auf deren Oberflache normal eine ebene planpolarisierte Welle fallt. Diese
Platte wandelt bekanntlich planpolarisierte Strahlen in elliptisch
polarisierte um. Das entstandene Drehmoment bestrebt nun
die Platte in Bewegung zu setzen, die entgegengesetzt der
Drehung der elektromagnetischen Vektoren in den elliptisch
polarisierten Strahlen gerichtet ist. Auf dem elektronentheoretischen Wege kann diese Wirkung folgendermaben abgeleitet
werden: Es miige (it = (4Y,Z) der Vektor der elektrischen
Kraft in einem Punkte des Feldes sein und '$ = ( p , r, s) die
in diesem Punkte unter dem EinfluB der Kraft entstandene
Polarisation des Dielektrikums. Wenn diese zwei Vektoren
nicht parallel gegeneinander sind, so entsteht ein Drehmoment,
das auf das Dielektrikum wirkt, und dessen GroBe auf Volumeneinheit berechnet, lautet:
111
-
=
[y, 61.
1 ) M. A brahnm, Theorie der Strahlung p. 33. 19OS, Leipzig u. Berlin.
2) A. S a d 0 w 8 k p , Ponderomotorische Wirkungen der Lichtwelle
(Dissect.), 1899, Dorpat.
474
K. Schaposchnikow.
Oder fiir die Komponenten gescbrieben:
m,= r - Z - s . Y , n i , = s . X - p . X ,
m,=p.Y-r.X.
Wie bekannt, ist nun ein folgender Zusammenhang zwischen
@ und !j3 in Kristallen vorhanden:
4np
= (F1
- l).X,
4 R T = (E2 - 1). Y
, 4n.9 = (c3 - l ) . Z .
Daher zum Beispiel:
nt, =
(1)
s 1-
el - t,) .
471
A. Sadowsky hat folgenden Fall in Betracht gezogen:
Eine durchsichtige, unbegrenzte Kristallplatte, die parallel ihren
Symmetrieachsen abgeschliffen ist und normal zu deren Oberflache, die ebene unbegrenzte Lichtwelle fallt. Wenn die Koordinatenachsen x y parallel den Symmetrieachsen der Kristallplatte gerichtet sind, also t normal zur Oberflache, so kommt
nur die z-Komponente des ponderomotorischen Drehmomentes
in Betracht, namlich die GroBe (1). Fur das Innere des
Kristalls lauten die Gleichungen des Lichtstrahles:
i:. ;
X = B s i n 2 5 ~- - A,
' - 81, 2 ' = B s i n 2 n - - - a ) ,
wo A und B die Amplituden, h, und A, die zwei Wellenltingen
riach den Symmetrieachsen, S Phasendifferenz, T die Periode
der Schwingung ist. Diese GrBBen in der Gleichung (1)
eingesetzt und das mittlere Drehmoment pro Periode gerechnet, d. h.
(
ergibt sich:
6, =
AB
~
4n
(El
- E2) cos 2 7r
m, ist das mittlere Drehmoment in der Volumeneinheit. Es
moge die Kristallplatte die Dicke h haben. Denken wir uns
auf der (xy) Ebene der Platte ein Quadrat von 1 qcm Flache
ausgeschnitten, dessen Seiten parallel den x y laufen. Durch
die Seiten dieses Quadrates sind vier Ebenen parallel der
z-Achse durchgefiihrt. Aus der Kristallplatte ist also ein
Parallelepipedon von 1 qcm Flache und it cm Hohe aus-
Die ponderomotorisclien UrehwiTkungen der Lichtlcelle usw. 475
geschnitten. F u r das mittlere Drehmoment in diesem Parallelepipedon haben wir nach A. Sadowsky:
h
Daraus
fur die Kristallplatte von
A,
'laWellenlange
(h/?*,
i9
Wenn man darin die Maxwellsclien Beziehungen
einfuhrt, ergibt sich schlieBlich :
X ist die GroBe des mittleren Drehmomentes in dem
Parallelepipedon, die auch als pro Flacheneinheit berechnet,
aufgefaBt werden kann.
Die Frageiiber dieBeziehung zwischen der Sadowskyschen
Arbeit einerseits und der A b r a h a m schen Theorie andererseits
hat schon ihre kleine Vorgeschichte. Zuerst hat J. H. P o y n t i n g I) eine Vermutung ausgesprochen, ohne einen strengen
Beweis dafur zu geben, da6 in den zirkularpolarisierten Strahlen,
die die Kristallplatte verlassen, ein elektromagnetisches Drehmoment ausgestrahlt werden mu6. I n bezug auf diese Behauptung von P o y n t i n g hat P. E h r e n f e s t 2 ) darnuf hingewiesen, da6, wenn man die Griitje dieses elektromagnetischen
Momentes vom Standpunkt der Abrahamschen Theorie ableiten will, bekommt man den Wert Null. Diese von der
Theorie geforderte Ausstrahlung kann ganz gut in dem Falle
der Druckkrafte des Lichtes aufgefa6t sein, aber fur das
S a d 0 w s kysche Drehmoment bietet sie gro6e Schwierigkeiten.
Nach der Abrahamschen Theorie muB das ponderomotorische Drehmoment 8,das in einem Bereiche des elektromagnetischen Feldes wirksam ist, folgenderma6en ausgedruckt sein :
I
1) J. H.P o y n t i n g , Proc. of the R. S. A. SS p. 565. 1909.
2) P. E hr e n fe s t, Journal Russ. Phys. Gesellschaft 45. p. 17. 1911.
h: Schaposchnikow.
416
Das Integral an der linkeii Seite ist auf die Begrenzung
des Bereiches ausgedehnt, r ist ein Radiusvektor, von einem
Punkte des Raumes, auf den das Drehmoment bezogen ist,
bis zu dem Element d f der Flache gezahlt, 5 die GroBe der
Maxwellschen Spannungen. Die Funktion % ist fur unsere
weiteren Rechnungen belanglos. Die z-Komponente des Vektors
92 hat die Bedeutung:
(3)
Ich wende diese Formel zu dem Volumen und der Oberflache des von mir betrachteten Parallelepipedons an und
nehme die mittlere GroBe:
I
(4)
-JW.
1
T
0
I
d t = ;Jd
tJX
2,- 9 %J
d f '.
0
Das letzte Glied der rechten Seite der Gleichung (3) verschwindet bei der Mittelwertbildung, weil !23z eine periodische
Funktion der Zeit mit der Periode T ist. Wenn die Resultate von M. A b r a h a m und A. S a d o w s k y ubereinstimmten,
miiBte die linke also auch die rechte Seite der Gleichung (4)
der GroBe (2) gleich sein. Tatsaichlich aber kann man beweisen, daB das Integral der rechten Seite der Gleichung (4).
fiber die Grenzflache unseres Parallelepipedons ausgedehnt, den
Wert Null hat. Urn das klarzustellen, legen wir den Anfang
der Koordinatenachsen in das Zentrum des Parallelepipedons
und nehmen ihn als Bezugspunkt fur das resultierende Drehmoment an., Die GroBe der Maxwellschen Spannungen 2
hat bekanntlich den Wert:
wobei 6 die elektrische, 8 die magnetische Kraft und i t die
iiuBere Normale im betreffenden Punkte der Oberflache ist.
Bezeichnet man die Flachen des Parallelepipedons, die senk-
Bie yonderomotorisclien Brehwirkungen der Lichtwelle
USIU.
477
recht zu den Achsen 2,y, z gelegt sind, beziehungsweise durch
f+,, f-x, f + y , f d g , f'+;, f - z , so ist leicht zu sehen, daB das
Integral (5) fur die Flachen f + z , f - z den Wert Null ha.t, weil
d a 5€% = Z9 = 0. Zu den Seitentlachen ubergehend, fuhren wir
zwei Ebenen z und z + d z , die unendlich schmale Streifen in
den Seiten0achen ausschneiden. Dann kann das Integral (5)
wie folgt geschrieben werden:
z=+a
wobei die Integrale in den Klammern uber die zugehorige
Streifen genommen werden mussen und z = a , z = - a die
zwei Begrenzungsebenen der Kristallplatte sind. Mit Hilfe der
Gleichung (6) ist leicht zu sehen, da5 der Ausdruck in den
Klammern identisch verschwindet.
Ich bin daher zu.dem Schlusse gedrangt, daB die GroBe
(4), die nach der Theorie von M. A b r a h a m das Drehmoment
in der Kristallplatte darstellen muS, den Wert Null hat, was
mit dem Resultate von A. Sadowsky nicht vereinbar ist.
Bekanntlich bricht die Theorie von M. A b r a h a m mit
dem Prinzipe von der Wirkung und Gegenwirkung der klassischen Dynamik. Wenn das ponderomotorische Drehmoment
auf den Kristall wirkt, so ist nach A b r a h a m keine Gegenwirkung vorhanden.
In der Tat, fur die Aufrechtorhaltung des dritten Prinzips der klassischen Dynamik miissen
zwei Korper anwesend sein: auf dem einen macht sich die
Wirkung geltend, auf dem anderen die Gegenwirkung. H. H e r t z ,
der den Standpunkt der klassischen Dynamik behalten wollte,
nahm als den zweiten Kiirper den Ather an. Es gibt noch die
Xoglichkeit, als den zweiten Korper, die in dem Parallelepipedon eingeschlossene elektromagnetische Energie anzunehmen.
Bieser Standpunkt setzt voraus, d a p die Kriifte a n die Energie
angreifen kl'nnen. M. A b r a h a m erkennt nun nicht die Krafte,
die auf den Ather oder auf die Energie wirken, an und so
kommt er zur Verneinung der Giiltigkeit des dritten Prinzips
der klassischen Dynamik. D a s Prinrip wird vernichtet, weil nach
32.A b r a h a m kein zweiter Kiirper, auf den die Krnft wirken kann,
4 78
K , Schaposcfinikow.
corhanden ist. Bei der Ableitung der Formel (3)setzt b1.Abraha tn
voraus, da6 nur das ponderornotorische Drehmornent allein vorhanden ist. Die vorige Berechnung zeigt, daB d a m die S a dowskysche Wirkung gleich Null sein muR. Stellt man sich
dagegen auf den Standpunkt der klassischen Dynamik, so muB
man erwarten, da6 die Summe der Drehmomente in dem Parallelepipedon auch gleich Null ist, weil die Wirkung und Gegenwirkung sich gegenseitig aufheben. Aber diese Tatsache widerspricht nicht im mindesten dem S a d o w s k y schen Resultate.
Fur meiue weiteren Auseinandersetzungen ist wichtig, daB
das Drehmoment in Kristallplatten aus d e n Prinzip der virtuellen Arbeit abgeleitet werden kann. Wenn F das Drehmoment der Volumeneinheit ist, so hat die virtuelle Arbeit
desselben folgende Bedeutung:
P*SU,
wo u der Drehwinkel ist. Diese Arbeit vergro6ert die Dichte
der elektromngnetischen Energie in Kristallplatte w urn den
Betrag d w. Nach dem Prinzip der virtuellen Arbeit haben wir :
PSU
( 7)
= sw
und daraus:
Diese Formel gibt einen Fingerzeig fiir unsere Berechnungen :
Man mu6 die Energiedichte in solcher Form darstellen, damit
der Parameter a explizite vorkommt. D a m fuhren wir noch
ein zweites Bezugssystem xl, y,, z1 ein, das unbeweglich im
Raume ist und dessen z,-Achse parallel der z-Achse des ersten
mit dem Kristalle beweglichen Systems gerichtet ist. Es moge
X und' Y die Komponenten des elektrischen Vektors der Lichtwelle im System (z-,y, z) sein und XI, Y, die Komponenten
im System (zl,
y,, zl). Die Transformationsgleichungen lauten
wie folgt:
XI = Xcos u - Ysin u ,
(9)
Yl = X s i n u + Ycosu,
{
wobei u der Winkel zwischen x und x,, ist. Bei der Drehung
der Kristallplatte um die z-Achse gibt er die GrG6e dieser
llie ponderomotorischen Brehwirkirnyen der Lichtwelle w w . 479
Drehung wieder. Was die Energiedichte betrifft, so druckt sie
sich im System (z,,yl, zl)folgendermaBen aus:
+
1
+
+
(10)
2El2 x1r,, w1 '
w = Gkl1X12 &22
Dagegen im System (x,y, z ) nimmt sie die kanonische Form an:
.
w = 8 n (&l x2 + E2 P)+ w1
(11)
In (10) und (11) stellt der in Klammern eingeschlossene Ausdruck die elektrische und w, die magnetischti Energiedichte
dar. Die GrOBen (9) in (10) eingesetzt und das Entstandene
mit dem (1 1)verglichen, bekommt man folgende drei Oleichungen:
E~~ sin2cc + E~~ sin 2 u =
,
cos2 ri
E~~ sin2u
E~~ cosB(i - E , ~sin 2cc = E~ ,
- E ~ sin22cc
,
+ cP2 Sin22cc + 2 5 , cos dcc = 0 ,
und hieraus :
1
~
+
+
El
f11
+ + (El
&*
=
-
EJ
cos 2 f l
822
>
2
=
el
+ ey -
(f,
'L
-~e d )cos 2_(r
7
- e2) sin 2
- ~ - _2_ _ _ _ .
(el
El3
=
(1
Mit Hilfe dieser Formeln nimmt die Energiedichte (10) die
von mir gewiinschte Gestalt an:
w =
@(.TI, Y,)+
is"
{X,Pcos 2 a - Y1Zcos 2 a
+ 2X1 2 ; sin2af + w,.
& -&
Dabei ist @ eine Funktion, die nur von X , und Yl abhangt und
die fur unsere weiteren Rechnungen belanglos ist. Durch die
Differentiation dieses Ausdruckes nach a bekomme ich :
X,zsin 2 u + Y,2sin 2 w + 2x1 Y , cos ZU).
ail -- 87C' % { Wenn man die X, und Yl aus den Formeln (9) einsetzt, ergibt sich nach der elementaren Vereinfachung:
a W - E 1 -
p - 81 - 8%x y ,
4n
d. h. die GroBe (1). Aus der Gleichung (7) folgt also die
GroBe des Drehmomentes, die vollig mit der von I?. Sadowsky
gefundenen ubereinstimmt.
Jetzt stelle ich folgende Betrachtungen an: Bei der Drehung
der Kristallplatte um den Winkel d u ist die Arbeit des mittleren
ponderomotorischen Drehmomentes gleich:
Arct cI,
_
480 K. Schaposciinikouy. B i e ponderomotorischen Breiiicirkungen usw.
wo M die Bedeutung (2) hat. Diese Arbeit ist durch die
Acderung der Energiestromung durch die Grenzflachen des
Parallelepipedons bedingt , d. h. die einfallende elektromagnetische Energie ist groBer, und zwar um die geleistete
Arbeit groBer , als die austretende. Wenn die elektromagnetische Energie auberhalb des Parallelepipedons, die die Arbeit
des Drehmomentes bedingt, um d U vermindert ist, so folgt:
d
U = M d tc .
Andererseits vergroBert die Arbeit Jf d u den Energieinhalt des
Parallelepipedons gemiiiB der Qleichung (7). Daher
.I/da
=
dB,
wo E die mittlere elektromagnetische Energie ist, die sich in dem
Parallelepipedon befindet. Aus den zwei vorigen Gleichungen
folgt:
(12)
dU=dE.
Jetzt betrachte ich den Fall vom Standpunkt des P o y n tingschen Satzcs: die Energiestromung d U muf3 alle Prozesse,
die im Inneren des Parallelepipedons entstehen, kompensieren.
Nach der klassischen Dynamik sind nun drei Prozesse im
Inneren der Parallelepipedons zu erwarten: 1. die Arbeit des
Sadowskyschen Drehmomentes X d u , 2. die VergroBerung
der Energie d h ’ , 3. die Arbeit des gegenwirkenden Drehmomentes - .Uda. Daher:
d U = -1Idtc
+d X -
-7fdtc,
was mit der Bedingung (12) vollig ubereinstimmt.
M o s k a u , Oktober 1913.
(Eingegangen 6. November 1913.)
Drucli
TOU
Xetdger 9 Kitlig in Eeiprig
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