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Die Punktbewegung im allgemeinen Gravitationsfelde.

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25
In meinor Arbeit uber das skalare Gravitationspotential
hatte ich gezeigt, daB die Feldgleichung
(1)
9 = 2 Div Grad 8
fiir ein beliebiges Gravitationsfeld sufrecht erhalten werden
kann, daa sich CIUS n Einzelfeldern so zusammensetzt, daB
in jedem eirmlnen von diesen die Wirkung der Gravitation
darin besteht, daB eine Schar von RZiumen, die sogenannten
Ruhraume, unverzerrt bleibt , wahrend deren orthogonale
Trajektorien e k e Verkiirzung im Verhtiltnis 1 :1, (h = 1 bis rr)
erfahren. Das GesBmtpotential 8 war gleich der Summe der
Logarithmen dieser Verzerrungsfaktoren fk Daraus geht nun
hervor, daS man mehrere dieser Einzelwirkungen oder eie
alle durch eine einzige gleichartige ersetzen kann, bei der
wiederum eine &her von Rtiumen unverzerrt bleibt, wtihrend
der Verzenungsfaktor 1 der orthogonalen Trajektorien (also
die Gesamtlichtgeech~digkeit) jetzt gleich dem Produkt
sikmtlicher Einzellichtgeschwindigkeiten fA oder gleich 6%
wird. Man erhlilt also aus der unverzerrten Minkowskischen
hfannigfsltigkeit ein beliebiges Gravitstionsfeld dadnrch, daB
man eine %her von Rgumen unverzerrt IBBt und deren senkrechte Trajektorien im VerhrUtnis 1:1 verkiirzt. D a b i
wandern aber die Durchechnittspunkte der Trajektorien mit
den Rgumen, was dadurch mm Ausdruck kommt, daB in
,ledem von diesen Riiumen eine andere Koordinatentransformation ausmfuhren ist, deren Komponenten von der Ian@
der Trajektorien zu messenden Koordinate abhtingen. Wird
diese TPieder mit 5 0 , die drei snderen mit x1, xa, x8 bezeichnet,
*
E . Reichbiicher.
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so besteht die Verzerrung in der vorderen und hinteren Multiplikation des Fundamentaltensors mit der Matrix
I
o
o
0
0
0
0 '
j
u12
u13
as'
4 2
~ a 3
a3'
%Ia
%? I
I
W k e 1 von 21, xa, xs und a: von xo unabhhgig, so
wurde die Verzerrung auf eine blol3e Transformation hinauslaufen. Dies soll nicht der Fall sein, es soll sich vielmehr urn
eine echte Verzerrung handeln. Da der Verzerrungsfaktor 1
sich liings einer Trajektorie nicht gndern darf, mussen diese
in die Rtiume I = const. fallen, auf denen also die unverzerrten
R h m e senkrecht stehen miissen.
Fur die Untersuchung der Punktbewegung im allgomeinen
Gravitationsfeld, bei der ich mich eng an das von mir in meher
Arbeit ,,Theorie der Elektrizitiit und Gravitation" fiir einen
e h i g e n Anziehungsmittelpunkt beschrfebene Verfahren anlehne, lege ich nun ein solches halborthogonales Koordinatensystem der unverzerrrten RBume mit ihren Trajektorien zugrunde. Die MaBvorschrift
(2)
d
82
=
a 2" d 2"
f i r das hienelementquadrat geht also uber in
a s2 =
(3)
a
xll'
a P,
wobei
(4)
9;lo
=lag,,, 9 ~ " = 9 0 . = 0 , gE"=apPQg9,,
und
(5)
ist, da
d z o = ldx" und d x e = a dx'r
(6)
I'
wird .
MaDgebend fiir das von mir in genannter Arbeit entwickelte T'erfahren waren die Gleichungen suf S. 156f.
(8)
und
(9)
Aus den beiden ersten Gleichungen folgt
In dieser Gleichung spielt fK die Roue dee Veraermngafektora und ist daher im allgemeinen Falle durch I m ersetzen,
withrend alles andere iibernommen werden kann. Dagegen
geht GIeichung (9) iiber in
Die Bemichnungen entsprechen denen Kottlers in seinen
Annalenarbeiten, 44. S.701ff. und 45. 8.481ff. Diese Gr6Sen
lessen sich dnrch die (fleichungen bestimmen
und
Mit den Richtungskosinus hangen die c!p' zusammen
durch die Gleichung von
nnd
$1
= grkV
Xk
COB
(a$).
Also wird die Gleichung (11):
U
d s*
d 5 " da?
ds ds
Man multipliziere mit g,. und summiere iiber r von 0
bis 3:
E . Reichenbticher.
28
-
a d. - 1 dg,,- *dx'
=--9 d__
-hr
dsm
2
ds
ds
-
[?I
da"
dx'
ds ds
1 d
g r r dd
-
2
da
ds
Fiihrt man hierin den Wert von cf) aus (14) ein, so
ergibt sich
uie uroden a Ig f/au und cos ( ~ u lassen
)
sich nun ganz
dem Verfahren auf 8.156f. a.a.0. entsprechend nmbilden. F a t
ngmlich die eke von den drei riiumlichen Achsen'mit dem Qradientenr des Gravitationspotentials zusammen, BO ist, da s u h r
a lg f/a r alle anderen Differentialquotienten verschwinden,
Die Punktbewegung im allgsmeinen Gmmtatbnsfekae.
29
Eil steht ja u orthogonal zu den beiden nicht mit xOund r
wsammenfallenden Achsen; daher verschwindet COB (a xk) fib
diese Richtungen; andererseits ist aber geo = 0 aul3er fiir
e = 0, wo aber wieder a 1g [ / a d vemhwindet. So erhiilt man
Nun ist, da a in der z,r-Ebene lie& (vgl. 8. 166):
CO8 ( 2 h a) = cos (7 a) * cos (r &)
ferner
(!w
y
in einem beliebigen Koordinatensystem. W a l t man dies')
so, daB eine seiner Richtungen mit r znsammenfiSut, wlihrend
die snderen dam senkrecht stehen, so erhtilt man:
Das ergibt aber fiir die linke Seite der Gleichung (19)
den Wert
0). Demnach
[nech Gleichung (14), da, gro= 0 fiir 7 =I=
bekommt man fur die Gleichung der durch die Gravitation
erzeugten Punktbewegung
Diese Gleichung enthlilt die Koordinaten der unverzerrten
Mannigfaltigkeit. Ich Will jet& zeigen, daB sie in dem verzerrten System eine geodiithhe Linie darstellt. Deren Gleichnng
in den neuen Koordinaten ht bekannthh :
1) Dies Koordinatensystem ist auch der Gleichung (18) zugrunde
zu legen. Seine EinfUhihrung ist maglich, da der Qradientr ganz in
die zlz*z*-Riiumefiillt. Diesee System wtirde E ~ E O auch halborthogonal eein und enthalt als Parameterrame diejenigen, in denen dae
Qravitationspotential konstant ist.
E. Reichbiicher .
30
Von diesen Vier Gleichungen brauche ich nur die drei
fur 1= 1, 2, 3, de die vierte &us ihnen sich ergibt. In dieee
will ich nach (4) uDd (6) die alten Koordinaten einfuhren:
- -1
h
aa,"a:
2 'k
axh
91,- dxfP -dx"
.
ds
ds
.
Nach (6):
Nun ist, da wegen der Unverzerrtheit der 1, 2, S-Rtiuiume
fur diem Indizes Integrabilitiit vorgeschrieben ist,
d. h. nach (6):
und ebemo
Wegen der Vertauschbarkeit von x und 1 ist dies gleich
dxl
- 9 x t X
da;
ds
nnd hebt eich mit dem eraten Gliede, das aus der Differentiation
d h
von ds
ak g
ubrig:
h
dx'
r
z
herruhrt, gerade auf.
Es bleibt also nor
Die Pmkfbewegung im dlgemeinen Gravitatimsfelde.
31
In dem dritten Gliede dieser Gleichung nehmen x und 1
die Werte 1 bis 9 an; dagegen enthiilt das zmeite Glied den
entsprecbenden Wert fiir x und 1 = 0; Kombinationen von 0
mit anderen Indizes verschwinden, so deS dae zweite Glied
in das dritte ehbezogen werden kann, in dem nun x und 1
J l e Werte von 0 bis S annehmen:
a lg I
--
dzO
Dies sind drei Gleichungen fur lo = 1 bis 3, wiihrend h
in jeder Gleichung die drei Werte durchlauft. Durch Multiplikation mit a,," und Addition uber die drei Werte von lo
erhlilt man wegen a,,'k akh= anh(=1 fur h = m , 0 fiir 7a+n):
Dies ist sber wieder das Gleichungssystem (22) (mit n
etatt 78).
Daraus ergibt sich wie in E i n s t e i n s Theorie, daS die
Punktbewegung unter dem EinfluS der Grevitation bei Abweeenheit anderer Kriifte derartig ist, deS die Weltlinien im
verzerrten System geodatische Linien eind. Dies erweist sich
hier aber als Folgerung der Gleichung (7), die die Kriimmung
der Isogonen oder Weltlinien BUS der h d e r u n g des Einheitsm a b e fur die zeitlichen Vektoren im VerhBltnia en den rltumlichen - denn das bt die Lichtgeschwindigkeit 1 - berechnet,
80 deS also die Annshme der geodlitischen Liden als begrundet
erscheint .
Wilhelmsheven, den 26. Juni 1919.
(Emgeg.ngen 28. Jnni 1919.)
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