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Die Relaxation der Isotropverteilung und makroskopischer Kenngren der Elektronen im abklingenden feldfreien Neon-Plasma.

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Annalen der Physik. 7. Folge, Band 31, Heft 5 , 1977, S. 385-401
J. A. Barth, Leipzig
Die Relaxation der lsotropverteilung und makroskopischer
KenngroRen der Elektronen im abklingenden feldf reien
Neon-Plasma
Von J. WILEELM
und R. WINKLER
Zentralinstitut fur Elektronenphysik, Institutsteil V, Gasentladungsphysik ,,Rudolf Seeliger",
Greifswald
I n h a l t s u bersicht. Die Anfangsphase des feldfreien stoBbestimmten Relaxationsvorganges in
abklingenden schwachionisierten Plasmen, welche infolge der geringen Tragheit der Elektronen durch
schnejl ablaufende Prozesse insbesondere im Elektronenensemble bestimmt ist, wird am Beispiel
eines homogenen Neon-Plasmas untersucht. Dabei wird die Auswirkung der elastischen und anregenden SM3e auf das Zeitverhalten der Isotropverteilungsfunktion und hieraus folgender makroskopischer KenngroBen des Plasmas verfolgt. Mit Hilfe dieser Ergebnim lassen sich charakteristische Zeitkonstanten fur den Ablaiif des Relaxationsvorganges finden, welche mit der Auswirkung der einzelnen
StoBprozesse gekoppelt sind, und darnit ein mikrophysikalisches Verstiindnis fiir das Relaxationsverhalten geben.
Relaxation of Distribution Function and Macroscopic Parameters ot Electrons
in Temporal Decaying Neon Plasma without Field Heating
A b s t r a c t . We investigate the field-free collision-dominated relaxation in the afterglow of a weak
ionized plasma in the first period of temporal decay which is determined especially by the quick
alterations in the electron component because of the small inertia of electrons. Therefore the evolution in time of the electron distribution and hence the macroscopic coefficients determined thereby am
calculated in dependence on the action of elastic and exciting collisions between electrons and neutral
atoms. On the basis of these results we have found characteristic times controlling the relaxation
process which depend especially on the action of the different kinds of collisions. Thus i t is poseible
to get a good microscopic understanding of the field free collision dominated relaxation of the electron
component.
1. Einleitung
Fur das physikalische Verstandnis der Vorgange in abklingenden homogenen Plasiiien oder allgemeiner des Ubergangsverhaltens von Plasmen zwischen verschiedenen
Systemzustanden ist die Erfassung der Relaxationsvorgiinge von besonderein Interesse.
Hierbei kann von der Vorstellung ausgegangen werden, dal3 die erste Phase eines solchen
Relaxationsvorganges vorrangig durch zeitliche h d e r u n g e n in der Elektronenkomponente infolge einiger wegen der kleinen Tragheit der Elektronen schnell ablaufender Prozesse bestiinmt wird, wiihrend erst in einer spiiteren Phase wesentlich mit der groderen
Tragheit der schweren Teilchen gekoppelte Anderungen je nach Parameterbedingungen
zur Auswirkung gelangen. Dabei sind in einer mittels des Drucks p,, normierten Zeitskala i = pot (wohei p,, der auf 0°C bezogene Gasdruck ist) die ersteren Vorgiinge rnit
Zeitlronstanten in eineni Bereich von 10-s-10-6 Torr s zu erwarten; dagegen diirften
fur die letzteren Zeitkonstanten aus den1 Bereich lo4Torr s charakteristisch sein.
J.WE-.
386
u. R.WINKLER
I n dem hier vorliegenden Reitrag wird das Relaxationsverhalten ausgehend von
stationaren Anfangszustanden niit schwacher Anisotropie fiir abklingende Plasmen untersucht, wobei das den stationaren Zustand charakterisierende elektrische Feld am
Beginn des Abklingvorganges praktisch zeitlos abgeschaltet wird. Unsere Betrachtungen
beziehen sich dabei auf die eingangs gesohilderte erste Relaxationsphase, welche wir am
Beispiel eines homogenen Neon-Plasmas iuit schwachen Ionisierungsgraden untersuchen.
Hinsichtlich der den Relaxationsvorgang niaBgeblich bestimmenden Prozesse werden
daher elastische St.oBe und ein effektiver anregender St.oBprozeli (bisher typisch fur die
Behandlung von Edelgasplasmen unter stationaren Verhaltnissen) zur Beschrei bung
herangezogen. I n dieser Phase kann bei der kinetischen Behandlung von der Neuerzeugung und dem Verlust an Elektronen (z. B. Direktionisation und Verlust durch ambipolare Diffusion) abgesehen werden. Damit ist von vornherein die Aussage des zugrunde
gelegten Modells nuf den ersten Zeitbereich von
10-5 Torr s eingeschrankt.
Zur Ermittlung der Zeitentwicklung der charakteristischen KenngroDen der Elektronenkoniponente des Plasmas wird die Boltzniannsche StoBgleichung verwendet.
Dabei erfolgt die Untersuchung des ttelaxat,ionsvorganges sowohl unter dem Aspekt der
gemeinsanien Auswirkung von elast.ischen und anregenden StoBen, als auch, um detailliertere Aussagen uber die Wirksamkeit der eiiizelnen St,oWprozessezu erhalten, getrennt
fur eladische wie fur anregende Sto We. Auf diese Weise wird es moglich, charakteristische Zeitkondtanten fur den Ablauf des Relaxationsvorganges zu finden und gleichzeitig
eine physikalische Deutung derselben auf kinetischer Grundlage zu geben. Wie die Ergebnisse zeigen werden, erfolgt in dem der Untersuchung zugrunde gelegten Zeitintervall eine Abkiihlung des Elekt,ronenensembles nur auf solche mittleren Energiecverte,
welche noch hinreichend groD gegeniiber der mittleren Energie der Neutralgaskoniponente sind, so daW die ini elastischen StoBterm der Roltzmann-Gleichung iihlicherweise vorgenommene Vernachlkssigung des Terms der Eigenbewegung der Neutralgasatonie gerechtfertigt ist.
Allgeineine Untersuchungen iiher die feldfreie Relaxation der verschiedenen Verteilungsfunktionsanteile bei Entwicklung der Bol tzmann-Gleichung fur ein Lorentz-Plasma
werden in [ 11 vorgenommenl). Dahei konnten insbesondere neben der Zeitentwicklung
der hisotropiekoniponenten der jTerteilungsfunktion der Elektronen analytische Darstellungen der Isotropverteilung unter aueiniger Wirkung eines der beiden genannten
StoBprozesse angegeben werden. Andererseits liefert das in [2] entwickelte Losungsverfahren zur Berechnung der zeitlichen Anderung der Veiteilungsfunktion unter zusiitzlicher Berucksichtigung der Aufheizung durch ein elektrischcs Feld einen geeigneten
Ausgangspunkt zur numerischen Behandlung dieses besonderen Falles der feldfreien
Relaxation. Jm folgenden wurden gewisse Daten iiber Wirkungsquerschnitte u. dgl.,
wie sie bei expliziter Durchfiihrung von Rechnungcn in Neon erforderlich sind, dieser
letzteren Arbeit entnonimen; auch die Bezeichnnngsweise lehnt sich an die in [2] eingefiihrte unmittelbar an. Der vorliegende Beit,rag stellt also im wesentlichen eine Weiterfuhivng der in [11 vorgenomiiieneri allgemeineren Ausfiihrungen Zuni Problem der feldfreicn Relaxation und gleichzeitig eine Spezifizierung der in [21 untersuchten Problem-stellung dar.
2. Relaxation durch gleichzeitige Wirkung elastischor und anregender StiiSe
2.1. Ausgangsgleichung und numcrisches Ycrfahren
Die der weiteren Beschreibung zugrunde liegende Ausgangsgleichung fiir die zeitliche ihderung der Isotropverteilungsfunktion f(U, (- wobei U das Voltaquivalent
der momentanen Elektronenenergie und 7 = pot die niittels des zeitunabhangigen Neu-
6
1)
Hier sind auch die wichtigsten vorangegangenen Arbeitcn
ZLI
dieser Frsgestell~~ng
zitiert.
Relaxation der Isotropverkilung der Elektronen
39 7
trdgasdruckes po norii1iert.eZeitsliala ist -) erhiilt nian unmittelbar &IsSpezislfall der in
[2] abgeleiteten G1. (4), wenn man das elehische Feld E ( 4 gleich Null setzt. Sie besitzt
damit die Form
Dabei sind die Parameter
fur die Gasart und die StoDprozesse charakkristische Koeffizienten, wobei insbesondew a,, a, sowie qd( U ) und qa(U) ails der Darstellung der Wirkungsquerschnitte Qd(U)
fur Iinpulsubertragung und Q,(U) fur den anregenden StoBprozeD in der Form
&d(U)
adqd(u))
&a(')
(4)
= aQaa(u)
herruhren [2].
Aus niathematischer Sicht handelt es sich bei den1 Problem urn die Losung der linearen partiellen Differentialgleichung erster Ordnung (1)mit dein zusatzlichen Differenzenterni I ( U
U,) f (U
U,, 7) bei Vorgabe geeigneter Anfangs- und Randbedingungen. Dabei riihrt dieser Differenzterni von der Einstreuung von Elektronen ah Folge
anregender StoQprozessein den Bereich kleiner Momentanenergien her, wo U , das Voltaquivalent der Anregungsenergie des betrachteten effektiven Niveaus bedeutet.
Entsprechend der bereits geschilderten physikalischen Zielstellung wiihlen wir als
Anfangsbedingung analog zu [2] die zur Zeit 7 =r 0, dem Zeitpunkt des Abschaltens, vorliegende stationare Isotropverteilung
+
+
-
feu, t = 0) = f S t W , ElPo),
(5)
welche von den1 anf den zeitunabhangigen Druck po bezogenen Feldstarkewert E/po
als einzigeni noch freien Plasmaparameter abhangt.
Zur eindeutigen Festlegung der Losung f ( U , t ) im Gebiet U 2 0 und
0 reicht die
weitere Vorgabe einer Randbedingung aus. Entsprechend dem Vorgehen in [2] wiihlen
wir aus physikalischen Griinden fur diese
iz
-
f(U+OQ, t ) = 0.
(6)
Enter dein Gesichtspunkt der praktjschen nunierischen Behandlung engen wir den Energiebercich wiederuni auf das Interval1
UQS
5u5
urn
ein, wobei U , eine hinreichend groB gewilhlte Quasiunendlichkeitsstelle und U,, eine
hinreichend nahe bei U = 0 liegende Quasinullstelle ist. Hieraus folgt insbesondere als
Prazisierung von (6)
f(U 2
u,,
-
t ) = 0.
(6')
Zur niimerischen Liisung von (1 ) wird ein Differenzenverfahren verwendet, wobei folgende Gitterpunkteinteilung
U1=
UQs, U i = U , s + ( i - I ) . d U ,
U,=UQs+(r-l)*AU=U,,
(7)
J. WXLHELM
u. R. WINKLER
388
AU
=
U,/n mit ganzzahligeni n,
6 = 0, t k = k dt
Illit
fi,k = f ( u i , ? k )
zugrunde gelegt wird. Die damit durch Wahl der Zahl t c getroffene Festlegung der GroBe
von A U ist insbesondere fiir die nunierische Behandlung des Differenzenterms von (1)
zweckmaBig. Die Wahl yon r legt die Anzahl der Stiitzstelleri in U-Richtung fest und
bestimmt damit auch den Wert von U,.
Es werden die aus Taylorreihenent wicklungen gewinnbaren quadratisch korrekten
Differenzenanaloga
1
(8)
=7
(fi+l,k+l -fi+l.k
.fi,k+l - f h k )
)f:(
+
i 1/2,k
+1 12
+
2-4
3
fur die Ableitungen 1. Ordnung und die quadratisch korrekte Darstellung der Funktionswerte f i + 1 / ~ + 1 / 2gemkfi
1
(10)
.fi+1/2,~+1/2 = 3 ( f i + I , k + 1
fi,k+l
fi+l,k
fi,J
+
+
+
verwendet. Dann resultiert bei Entwicklung der Differentialgleichung (1) an der Gitterstelle i
1/2, k
1/2 und hei Einfuhrung der auf diese Stelle ZugeschnittenenKoeffizientenfunktiorien entsprechend
+
+
Ai+l/2 = ~ ( u t + 1 / 2 ) * ’ ~ > Bi+l/!z= --0c(Ui+1/2I2
fiir 15i
5T
- 1 und
k 2 0.
~ld(ui+1/2)
Relaxation der Isotropverteilung der Elektronen
389
Wegen der Randbedingung (6’) macht sich die spezifizierte Unterteilung von ( 1 2 )
in der angegebenen Weise erforderlich.
Unter Verwendung der entsprechend (5) vorgegebenen Anfangswerte fi,o fur
1 5 i 5 r - 1lii5t sich das lineare Gleichungssystem durch Eliniination beginnend mit
der letzten Gleichung direkt losen. Aus den fi,o werden die fi,l und allgemein in den weiteren Schritten zu festgehaltenem k aus fi,k die fi,L+l berechenbar. Die zur Ermittlung
der Zeitentwicklung erforderliche Anfangdunktion gemaB (5) wurde aus der Rtationaren
Bestimmungsgleichung fur die Isotropverteilung bei zusiitzlicher Beriicksichtigung der
Energiezufuhr aus dem elektrischen Feld El% analog wie in [ 2 ] gewonnen.
Ebenso werden auch wiederuni die mit (1)konsistente Teilchen- und Energiebilanz,
welche sich in der Form
darstellen,
die Beziehungen zur Berechnung der Elektronenkonzentration,der mittleren Elektronenenergie, der Energieverluste fur elaatische und anregende StoBe sowie der Frequenz
fiir anregende Stdk aus der gewonnenen Jsotropverteilung f (U , 4. Wegen der Linearitat
der G1. (1)wurde die Jsotropverteilung entsprechend (16) auf die Anfangskonzentration
n,(O) der Elektronen normiert.
2.2. Ergebnisse der Durchrechnung
Die Naherungsdarstellungen fur die Wirkungsquerschnitte Qd(U ) und Q,( U ) sowie
auch fur den Direktionisierungsquerschnitt Qom(U) wurden unveriindert aus [2] iibernommen.
AuBer den makroskopischen CroRen (16)- (20) werden zusatzlich die StoBfrequenz
vom fiir Direktionisation, die Beweglichkeit be sowie der Diffusionskoeffizient D, berechnet, fiir welche die Dnrstellungen
bestehen.
26 Ann. Physik. 7. Folge, Bd. 34
J. WILHELMu. R. WINKLER
390
Fur die Parameter des Differenzengleicliungssystem wurden die Werte T M 1000,
n M 400-900 (entsprechend der jeweiligen Anfangsfunktion), Arm 1 .
- 5 . 10“
Torr . s, UQs = 0,Ol V gewiihlt,.
Die Berechnung der Terme in der Teilchen- und Energiebilanz (14), (15) mittels der
numerisch gewonnenen Losung fur f (U,fi zeigte wahrend der gesainten Zeitentwicklung
vonf eine Erfiillung der Bilanzen entsprechend der aus (14), (15)folgenden Beziehungen
Dabei erfolgte die Bestimmung der hier zusiitzlich auftretenden Ableitung der niittleren
Energie nach der Zeit aus den Werten der niittleren Energie zu benachbarten i-Wetten
numerisch nach einer 5-Punkteformel [3]. Durchgerechnet wurde die zeitliche Entwicklung der Verteilung ausgehend von stationaren Verteilungen fst(U,E / p o ) ,welche durcli
die drei Feldstiirkewerte Elpo = 5; 1und 0,3 V/(cm Torr) bestinimt sind. Kriteriuni fur
diese Auswahl war der Umstand. daB entsprechend der in [2] durchgefuhrten Rechnung
(Ahb. 1a) diese 3 stationiiren Anfangszustande durch uberwiegend anregende, nahezu
gleiche Anteile von elastischen und anregenden bzw. durch praktisch nur elastische Energieverluste charakterisiert sind.
Da hier Relaxationsvorgange ohne Feldeinwirkung und damit ohne Energiezufuhr
wahrend des Relaxationsablaufes verfolgt werden, muB die Zeitentwicklung in jedein
Falle ZLI einer Energieabnrthme des Elektronenensenibles und damit zu einer Entvolkerung des Hochenergieteils der Isotropverteilimg fuhren.
Dieser Abkuhlungsvorgang der Elektronen wird in Abb. 1-3, in denen die zeitliche
Entwicklung der Isotropverteilung in Abhlingigkeit von der Moinentanenergie fiir die
70
-
Abb. 1 Zeitliche Entaicklung der Verkilungsfunktion zu ( , E / P ~=
) ~6~V/(cm Torr)
Relaxation der Isotropverteilung der Elektronen
391
3 genannten Falle als Ergebnis der Durchrechnung aufgezeichnet ist, unmittelbar ersichtlich. Parameter der Kurven sind dabei die jeweiligen Werte 7 in Torr s. Von der
Anfangssituation hangt es insbesondere ab, wie sich der geschilderte dbkiihlungseffekt
iin einzelnen vollzieht. 1st der Anfangszustand noch maBgeblich durch anregende StoBe
bestimmt (Abb. l),erfolgt zunachst ein schneller Abbau des Hochenergieteils der Verteilung mit einer charakteristischen Zeit von M 10-8 Torr s fur eine merkliche zeitliche
Anderung. Wiihrend dieser Anfangsphase findet praktisch keine k d e r u n g der Verteilung im Energiebereich alleiniger elastischer StoRe statt. Die Entleerung der Verteilung
im Bereich anregender StoBe ist etwa nach -3 .
Torr s abgeschlossen; dieseni
ProzeB folgt dann ein weiterer Abbau der Verteilung nach kleineren Energiewerten hin
auf Grund alleiniger elastischer StoBe mit einer charakteristischen Zeit von -10-6 Torrs
fur eine merkliche zeitliche Bnderung. Da sich die Relaxation der Verteilung unter Erhaltung der Teilchenzahl vollzieht, stellt sich mit zunehniender Abkuhlung eine Umstrukturierung der Verteilung im niederenergetischen Bereich in dem Sinne ein, daB es
zur Ausbildung eines Maximums beziiglich der Energie U kommt.
I n Abb. 2 mit geringerem Anteil von anregenden Energieverlusten in der stationken
Ausgangsverteilung ist grundsatzlich das gleiche Verhalten erkennbar. Von vornherein ist der Anteil von Elektronen im Energiebereich anregender Stofie jetzt merklich
kleiner, er wird jedoch in etwa der gleichen charakteristischen Zeit von ~3
Torr s
praktisch vollig abgebaut. I n der in Ahb. 3 veranschaulichten Zeitentwicklung ist die
Anfangsverteilung im wesentlicken auf den Bereich alleiniger elastischcr StoSe eingeschrankt. Infolgedessen ergeben Rich merkliche Bnderungen im Abbau der Verteilungen
erst in der charakteristischen Zeit von M 10-8 Torr s, da jetzt anregende StoBe bei der
a
70-8';
I
'
I
" I
51 1
'
I
1 1
1 1
I0'
'
I
'
4bb. 2 Zeitliche Entwicklung der Verteilungsfunktion zu
1 1
'
1
1
'
II
\
\
'
15
= 1 V/(cm
20
Tom)
J.WZHELMu. R.WINKLER
392
Abb. 3 Zeitliche Entwicklung der Verteilungsfunktion zu (E/po)st = 0,3 V/(cm Torr)
r
Abb. 4 Der zeitliche Verlauf der inittleren Energie
meter
mit (E/po)stin V/(cm Tom) ils Kurvenpara-
Relaxation der Isotropverteilung der Elektronen
393
Tn Abb. 4 ist der zeitliche Verlauf der mittleren Energie
fur die 3 untersuchten
Relaxationsvorgange als Funktion der normierten Zeit aufgetragen. Entsprechend den
gewahlten unterschiedlichen Feldstarkewerten fur die Anfangsverteilungen liegen auch
verschiedenartige Werte der mittleren Energie im Anfangszustand vor. Wie aus den in
der Abbildung zusammengestellten Ergebnissen ersichtlich, werden die Zustiinde mit
hoherer mittlerer Anfangsenergie in der Anfangsphase des Relaxationsvorganges starker
abgekuhlt als die mit niedriger Anfangsenergie. Nun findet fiir die Zustiinde mit groBerern Feld aufgrund der oben erhaltenen Ergebnisse iiber die zeitliche Entwicklung der
Verteilungsfunktion durch anregende StoBe ein Abbau der Verteilungsfunktion im
Bereich oberhalb U, in der Zeit von w3 .
Torr s statt, ohne eine merkliche Beeinflussung der Verteilung im Gebiet alleiniger elastischer StoBe und damit auch eine stiirkere h d e r u n g der mittleren Energie zu bewirken. Denientsprechend liegt fur den weiteren Relaxationsablauf untar ausschliefllicherWirkung elastischer Sto13e eine Ausgangsverteilung vor, welche sich strukturell wesentlich von der sich unter elastischen StoBen
bei gleichem Feldstarkewert einstellenden stationiiren Verteilung unterscheidet. Damit
ist unter diesen Bedingungen eine starke Storung in der Anfangsphase der Relaxation
gegeben.
I n den nachfolgenden Abbn. 5 , 6 und 7 sind die infolge der unterschiedlichen StoBprozesse in die Energiebilane eingehenden Anteile in ihrem zeitlichen Verlauf wahrend
des Relaxationsvorganges dargestellt. Insbesondere ist aus Abb. 5 und 6 der starke
Abbau der Energieverluste durch anregende StoBe innerhalb der kurzen Zeit von
m3.
Torrs ersichtlich, was aus den bei der Zeitentwicklung der Verteilung besprochenen Ergehnissen unmittelbar verstandlich ist. (Dabei ist insbesondere die Startsituation in Abb. 5 durch @ l / p 0
@/p0 = 2,68 . l o 7 V/(s Tom) und @/Po =
6,69 . lo5 V/(s Torr) charakterisiert.) Andererseits zeigt Abb. 7 nur eine hierzu relativ
langsame Abkuhlung, was der Ausgangssituation des Vorliegens praktisch ausschlieBlich elastischer StoBe entspricht. Ferner belegen die Abhildungen den kontinuierlichen
Abkuhlungseffekt, wie er in jedem Falle auftritt, da nach ,4bschalten des Feldes keine
-
+
Abb. 5 Der summarische Energieverlust Uel/po Ua/po() und der Energieverlust durch anregende StoBe Ua/po(----) in ihrem zeitlichen Verlauf zu (E/po)st= 5 V/(cm Torr)
+
J. WILEELMu. R. WINKLER
394
weitere Energiezufuhr an das Elektronenensemble erfolgt , so daB dieses laufend durch
Abgabe von Energie an die Neutralgaskomponente infolge der StoBe abgekiihlt wird.
-
~ J [ ~ OJarr.s]
- ~
a5
I
-
15
2
-
25
Abb. 6 Der summarische Energieverlust Ue'/po+ Ua/po() und der Energieverlust durch anregende StoBe Ua/po (----) in ihrem zeitlichen Verlauf zu (E/po)st = 1V/(cm Tom)
t
-
po t [lo+ Torr , s]
1
1
1
I
Weit,erhin sind in Abb. 8 die Anregungs- und Ionisierungsfrequenz pro Elektron in
ihrem Zeitverhalten aufgetragen. Dabei interessieren hinsichtlich der Anregungsfrequenz nur die beiden ersten Falle, da fur E/po = 0,3 V/(cm Torr) bereits von vornherein
nur die elastischen StoBe von Redentung sind. Wie ersichtlich, findet innerhalb weniger
lo-' Torr s eine Bnderung dieser Stofifrequenz uber viele GroBenordnungen statt. Dieser
rapide Abfall entspricht vollig dem anfangs gefundenen Abbau der Verteilungsfunktion
im Bereich anregender StoBe wahrend desselben Zeitintervalls. Die gleiche Zeitentwicklung zeigt verstandlicherweise auch die IXrektionjsationsfrequenzvOm,welche zusatzlich
fur den Fall E/po = 5 V(cm Torr) in die Abbildung eingetragen wurde.
SchlieBlich geben die Abbn. 9 und 10 erganzend das Zeitverhalten des Diffusionskoeffizenten 0,und der Beweglichkeit b, der Elektronen wieder. Auf Grund der gemachten Voraussetzung in der Ausgangsgleichung diirfte der Gultigkeitsbereich der angegebenen Werte fur D,bzw. be auf Gebiete schwacher raumlicher Inhomogenitat bzw.
hinreichend kleiner elektrischer Felder beschrankt sein, welche keinen merklichen direkten EinfluB auf den Relaxationsvorgang haben.
395
Relaxation der Isotropverteilung der Elektronen
Abb. 8 Die Anregungsfrequenz va/po zu (E/p,,)st = 5 bzw. 1V/(om Torr) und die Ionisierungsfrequenz vOm/pOzu (E/pO)st= 5 V/(cm Torr)
7 ,
6,5
I
I
t\
I
C706cm2Torr-s??
t
\
.\
I
4
0,s
2
2,s
3,5
7
%5
Abb. 9 Das Zeitverhalten des Diffusionskoeffizienten D, mit (E/po)st in V/(cm Torr) als Kurvenparameter
J. WILEELMu. R. WINKLER
396
7
0
I
I
I
I
$5
7
15
2
2.5
Abb. 10 Das Zeit%-erhalten
der Beweglichkeit 6 , mit ( E / P , , )in
~ ~V/(cm Tom) als Kurvenparameter
3. Relaxation auf Grund alleiniger Wirkung elastischer bzw. anregender StoSe
Die in unserer Untersuchung zu Elpo = 5 und 1 V/(cm Tom) vorliegenden stationaren
Anfangszustande sind energetisch durch einen merklichen Anteil anregender Energieverluste an dein gesamten Energieverlust charakterisiert. Damit verlauft die Relaxation
in der Anfangsphase unter gleichzeitiger Wirkung von anregenden und elastischen StoGen. Es diirfte fiir das Verstandnis des Vorganges von Interesse sein, die Auswirhmg zu
untersuchen, welche die StoSprozeBarten in1 einzelnen hei gleicher Ausgangssitnation zur
Folge haben.
Solche Aussagen werden bei Spczialisierung der G1. (1) relativ einfach moglich.
Bei Wahl von /3 = 0 in der Ausgangsgleichung (1)erhalt man unmittelbar die besehreibende partielle Differentialgleichung fur die Relaxation durch elastische StoBe.
Da sich die matheniatische Struktur der Gleichung nicht merklich andert, kann das
gleiche Losungsverfahren (bei Spezialisierung nuf p = 0) wie in 2. Verwendung finden.
Andererseits ergibt sich fiir a = 0 die gewohnliche Differenzen-Differentialgleichung
fur f (U , $ als Funktion von t mit U als Parameter. Fur diese gewohnliche Differentialgleichung 1. Ordnung mit Parameter ist die Vorgabe allein der Anfangsbedingung (5)
zur eindeutigen Bestinimung der Losung ausreichend.
Numerisch kann die Losung fiir das gleiche Grundgitter dureh uberfiihrung der
Differentialgleichung an der Gitterstelle i , k
112 in Differenzengleichungen erhalten
werden. Cnter Verweridung der quadratisch korrekten Differenzenanaloga
+
+
+
erhalt man bei zusatzlieher Einengung des Differenzenterms I ( U
U,). f ( U U,, T)
von (25) wiederuni auf den Energiebereich U,, 5 U 5 U, a19 Auflosung der hierbei
entstehenden Differenzengleichungen
Relaxation der Isotropverteilung der Elektronen
397
Dabei sind
A.
G.L - - 2 4 - Ii,
At
-
A'
At
6, = 2 4
+ Ii
niit
A, = yU2l2 und Ii = +Uiqa(Ui).
Bei Spezialisierung der in der fruheren Untersuchung zur feldfreien Relaxation [l]fur
die Isotropverteilung bei ausschlieBlicher Wirkung von elastischen StoBen mittels der
Charakteristikentheorie gefundenen analytischen Losung auf den Fall des Neons erhalt
man
mit
- (
U,(U, t ) =
u-2'3
- --
3 YO1
Ebenso wurde in [ 13 mittels iterativer Losung der Differenzen-Differentialgleichungein
allgemeiner Ausdruck fiir die Losung der GI. ( 2 5 ) gewonnen ; bei deren Spezialisierung
auf den Fall des Neons und bei Einengung der durch den Differenzenterni beschriebenen
Ruckstreuwirkung auf das Energieintervall 0 5 U 5 2U, = 33,2 V erhiilt man fur die
analytische Losung
'I2 (1 - e--v(u+u i-
f(U,t)=f(u,i=o)+f(u+
fur 0
~,,t=o)
a)
1
5 U < U,,
P U112qa(U )
v( U ) =Y
als momentaner auf den Neutralgasdruck p,, hezogener StoBfrequenz fur anregende StoBe.
Damit ist ein direkter Vergleich zwischen den speziellen numerisch bestimmten
Losungen und den analytischen moglich. Die hinsichtlich der Zeitentwicklung der Verteilungsfunktion erhaltenen numerischen Ergebnisse sind in Abb. 11 und 12 dargestellt,
wobei sowohl die Veranderung der Verteilung infolge der gleichzeitigen Wirkung elastischer und anregender StoBe (-),
als auch diejenigen Veranderungen bei alleiniger
Wirkung elastisaher (- - -) bzw. anregender StoBe (----)
zum jeweils gleichen
Parameterwert t aufgetragen sind. Als Startverteilung wurde in jeder Abbildung jeweils
die gleiche unter Berucksichtigung von elastischen und anregenden StoBen berechnete
verwendet und niit den) Parameterwert 0 in den Abbildungen angegeben. Abb. 11 zeigt
besonders deutlich, daS nach einigen 10-7 Torr s bereits drastische dnderungen der Verteilung fur die Falle mit gleichzeitiger Wirkung beider StoBprozesse und mit alleiniger
Wirkung anregender StoBe erfolgt sind. AuBerdem ist ersichtlich, daB sich die entsprechenden Verteilungskurven nur relativ wenig bei gleichem Parameterwert voneinander
unterscheiden in] Hinblick auf diese betrachtete Verandemng. Hieraus wird ersichtlich,
da13 es sich bei dem Effekt in1 wesentlichen um die Auswirkung der anregenden StoBe in
der Arifangsphase der Relaxation handelt .
Dieses Verhalten wird auch verstandlich durch eine Betrachtung der analytischen
Losung (30), wonach sich unter der Wirkung anregender StoBe fur Zeiten 'i2 3 . lo-'
Tom s (bei Diskussion der GroBe Y ( U )mittels der Daten fiir,9, y und qa(V ) )nahemngsweise
J. WILHELMu. R. WINKLER
398
als Verteilung
f(u,t2 3.10-7)
w
fiir 0 < U < U,,
- 3. lo-’)
f(u,t= 0) + j(u+ u,,t = 0) (
t ua)liz
0 fur U 2 U ,
(31)
ergibt. Damit ist d a m der Energiebereich anregender StoBe praktisch leer, so daB keine
weiteren Bnderungen der Verteilung auf Grund anregender StoBe stattfinden konnen.
Erst nach dieser Anfangsphase kommen offensichtlich die elastischen StoBe in ihrer Auswirkung auf den Relaxationsvorgang zur Geltung, und es ergeben sioh merkliche Anderungen fur die Verteilung unter der Einwirkung von elastischen StoBen erst in einer Zeit
Torr s.
von
f(U,t>
M
I0 0
(E/poIsf= 5 V c m
-’Torr -’
Kurvenparamef er:
Abb. 11 Die Zeitentwicklung der Verteilungsfunktion zu ( E / P ~ ) 5~V/(cm
~ = Tom) bei gleichzeitiger
) und bei alleiniger Wirkung von elastischen
Wirkung elastischer und anregender StoBe ((- - -) bzw. anregenden (----)
StoBen
Entgegen der Veranderung der Verteilung durch anregende StoDe existiert bei der
Wirkung elastischer StoBe keine entsprechende Grenzverteilung fur gr6Dere Zeiten t in
eineni endlichen Energiebereich wie aus der analytischen Losung (28) und (29) ersichtlich
und aucli physilialisch unmittelbar verstandlich.
Bereits bei der Diskussion der Abbn. 1-3 fur die Verandening der Verteilung wurden
als charakteristische Zeiten fur die beiden strukturell verschiedenen Phasen der Verteilungsfunktionsanderung die Werte 10-8 Torr s und
Torr s gefunden. Nach den jetzt
vorgenommenen Untersuchungen der anteiligen StoBprozeBarten wird deutlich, daO
Relaxation der Isotropverteilung der Elektronen
399
die Zeit
Torr s bzw. lo-* Torr s den anregenden bzw. elastischen StoBprozessen
zuzuordnen ist und dementsprechend diese Zeiten charakteristische Zeitkonstanten
der jeweiligen StoBoperatoren fiir den Relaxationsvorgang sind.
Die unterschiedliche Auswirkung der beiden StoBprozesse wird durch die nackfolgenden Abb. 13-16 an Hand einiger makroskopischer GroBen fiir den stationiiren Ausgangszustand mit E/po = 5 V/(cm Torr) nochmals unterstrichen.
Sbb. 13 zeigt das Verhalten der mittleren Energie bei gemeinsamer Wirkung von
elastischen und anregenden StijBen bzw. ihre Veriinderung bei getrennter Wirkung der
StoBprozesse. Auch hier ist ersichtlich, daB nur in der erwiihnten Anfangszeit von
3 lo-' Torr s sich durch die Wirkung anregender StoBe die mittlere Energie andert,
wahrend nach diesem Zeitpunkt die anregenden StoRe keinen Beitrag mehr leisten,
sondern die weitere Abkiihlung des Elektronenensembles allein auf Grund der Auswirkung elastischer StoBe erfolgt. I n Abb. 14 ist der Energieverlust durch StoBe 0 s als
Funktion der Zeit t aufgetragen, wobei diese GroBe im Falle der Berucksichtigung beider
Stofiprozesse im Relaxationsablauf die Summe der Energieverluste der beiden Prozesse
darstellt, wahrend sie fur die getrennte Behandlung den jeweilig vorliegenden (elastischen bzw. anregenden) EnergieverlustprozeB bedeutet. Damit resultieren fur diese GroBe
in den 3 behandelten Fallen unterschiedliche Anfangswerte bei gleicher Anfangsverteilung, wobei jedoch die Werte bei Wirkung beider StoBprozesse und bei ausschliel3lich anregenden StoBprozessen unter dieser Bedingung praktisch zusammenfallen
(@lipo
@/p0 = 2,68. lo-' V/((s Torr), ?Yel/p,, = 6,69 . lo5 V/(s . Torr), PIP,, =
us
+
J.WILHELMu. R. WINELER
400
.
2,61 lo7 V/(s Torr) fur t = 0). Auch hier wiederuni ist die unterschiedliche Auswirkung der StoBprozesse im Relaxationsablauf zu sehen. Dies zeigen schlieBlich auch die
Ergebnisse der Bbbn. 15 und 16, in welchen das Zeithalten des Diffusionskoeffizienten D,
und der Beweglichkeit b, aufgetragen sind.
8 -
',
/E/po& = 5 V ern-' Torr - 'I
a
3-
Abb. 13 Die zeitliche Veranderung der mittleren Energie zu
= 5 V/(cm Torr) bei gleichzeitiger Wirkung elastischer und anregender StoBe () und bei alleiniger Wirkung von elastischen (---)
bzw. anregenden (----) StiiBen
1
I = 5 Vcm-'ITorr-'
705
I
Po Po ' Po
I
7
Abb. 14 Die zeitliche Anderung der Energieverluste durch StoSe c Z / p o zu (E/po)st= 5 V/(crn
Torr)
401
Relaxation der Isotropverteilung der Elektronen
65-
6-
55 -
5 -
45 -pot[70'5
I
Torr.s]
I '
I
-pot
fTTs Torr.sJ
I
I
@
,
L
7 -
I
I
I
I
Abb. 16 Der
=5
Torr)
Literaturverzeiehnis
[l] R. WINKLER,Ann. Phys. (7) 31, 293 (1974).
[2] J. WILHELM
u. R. WINKLER,Beitr. Plasmaphys. 16, 287 (1976).
[3] I. S. BERESINu. N. P. SHIDKOV,
Numerische Methoden 1, VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1970, S. 165. '
Bei der Redaktion eingegangen am 2. Februar 1977.
Anschr. d. Verf.: Prof. Dr. J. WILHELM
und Dr. R. WINKLER
ZI fur Elektronenphysik, Institutsteil V
Gasentladungsphysik ,,Rudolf Seeliger"
DDR-22 Greifswald, Robert-Blum-Str. 8- 10
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