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Die Sattelpunktsmethode in der Umgebung eines Pols. Mit Anwendungen auf die Wellenoptik und Akustik

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$1
a
ANNALEN DER PHYSIK
'C
.
Die Sattelpunktsmethode in der Umgebung eines Pols
Mit Anwendungen auf die Wellenoptik und Akustik
Von H . O t t
g
1. Problemstellung
Bei wellenoptischen und akustischen Problemen, wie 2. B. Beugung
an einem Keil l ) , Ausbreitung elektrischer Wellen iiber der Erde z j 3),
Fortpflanzung des Schalls langs der Grenzflache Wasser- -Luft 3), Unterwasserschall in seichtem Wasser 4, u. a. stol3t man auf Integrale von
der Form
A (6) d o ,
J .
: ,ikRcos(8--a)
J-
(1)
C
die in der komplexen 6-Kbene von - 2
3l
nach
+ ioo zunachst
uber 6 = 0
7c
-- i a, erstreckt sind. A (6) ist im allgemeinen regular und
2
Jangsam veriinderlich", besitzt jedoch im Endlichen nahe der reellen
Achse bei 6 = OP einen Pol 1. Ordnnng, was gelegentlich durch die
8 (8)
Schreibweise d (6)= -zum Ausdruck komnien soll, worin N (6)
(6)
fur 6 =-t9p eine Nullstelle 1 Ordnung habe. a ist ein reeller Winkel
S
zwischen 0 und n/Z, der die Richtung des Fahrstrahls R zwischen
Queue und Aufpunkt gegen irgcnd eine Xormale festlegt, k ist die
Wellenzahl.
Fur groIje k R liegt die Berechnung von ( I ) mit der Sattelpunktsmethode nahe : die Exponentialfunktion hat einen Sattelpunkt bei
6=
: a, uber den sich der lntegrationsweg ohne weiteres verlegen laBt,
natiirlich unter Beriicksichtigung des Residuensatzes, falls der Pol
dabei eingefangen wird. Wir setzen fur die Sattelpunktsmethode
6 - a = t , cos t = 1 $. i sz und durchhufen, wenn s alle reellen
Werte von - m bis 4-m anninimt, ersichtlich die durch Imag.
{i k R cos (6 -. a ) } = konst. definierte Fallinie uber den Pal3 6 = a ,
und zwar in der richtigen Richtung niit s
=
4
-
1'2 eiN4sin
1:
:
2
1) Herrn Geheimrat Prof. Ur. A . Sommerfeid zum 75. Goburtutag gowidmut.
Aiinalen der I'hysik. :1. Folgc. 43.
215
Annakn der Phyaik. 5. Folge. Band 43. 1943
394
[Js ist das Integral uber die Fallinie; es unterscheidet sich von
(1) gegebenenFah um daa Residuum dea eingefangenen Puls.]
Solange der Pol von A (6)nicht zu nahe am Pal3 liegt, ist dic
iibliche Sattelpunktsmethode gangbar: man entwickle A(6) _. F (6)
t
cos 2
nach Potenzen von a und erhalt, d a nur die geraden Pot,enzen einen
Beitrag zum Integral liefern, in guter Niiherung eine nach fallenden
Potenzen von k R fortachreitende Reihe mit den Anfangsgliedern:
8
8 . Modifizierte Sattelpunktsmethode
Andem aber, wenn der Pol 6 p deru Sattelpunkt bcliebig nnliekummt
oder gar durch die Fallinie hindurchtritt, sei cs dadurch, daB wir den
Winkel a variieren, wobei sich die Fallinie parallel zu sich selbst verschiebt, aei es, daO die Lage des Pols noch von einern Parameter
abhbgt, den wir verlndern. Dann kann A (6)in der Cmgebung des
Pesees weder als Konstante behandelt, noch in eine Potenzreihe um
den PaD entwickelt werden, d a der Konvergenzkreis dieser Reihe durrh
die Kachbamchaft des Pols zusammenschrumpft. Aber diese Schwierigkeit l l 0 t sich, worauf uns Herr Geheimrat S o m m e r f e l d aufmerksam
machte, durch eine einfache Umformung des Integranden uberwinden,
die P a u l i s ) vor kutzem in einem speziellen Pall (Beugung an einem
Keil) angewendet hat, und die wir hier fur beliebige Lage des Pola
verallgemeinern wollen, da diese Methode auch fur andere Probleme
recht brauchbax zu win scheint.
Man fiihre mit P a u l i den Abatand p = n - f l P zwischen Sttttelpunkt und Pol ein und erweitme Zahler und Senner unter dem Integral ( l a ) mit casf-cosp, = i a e ( 1 - c o s y ) = is2 -t a :
+
( l b ) Js =
fieim-q+/e-kW-
A (6)
[ COH t - cos 931
1
.-i
tl R
8 2 -1- fl
cos 2
d
- x
Denkt man sich allea.unter dem Integral durch s und p auwgedriickt
(8= t
Q
+ v + t9p), so ist, d a der Pol von -4 (6)= s durch ('0s I - cos p
kompensiert wird,
Q (6)[ma t -*COS p1
t
=-
c ( 8 , p)
N (6)COB y
e h e auch noch fiir q~ = 0 reguliire Funktion von s und kann daher in
eine Yotenzreihe
H . Ott. Die Sattelpnktsmethode in der Umgebung cines Pols uaw.
entwickelt werden, in welcher die Koeffizienten c,,
=
395
dm
C (s:P ) ) ~ = ~
d srn
natiirlich noch Funktionen von P) sind. Dies eingesetzt in ( l b ) ergibt,
da alle Integrale mit ungeradem m verschwinden:
m
(3)
A m
1'2 eZkR---in k+Je-i~s*
7
92 m - - - . a s
J,
a
-a
s2-ia
p und soniit a = 1 - cos q ist in den folgenden Anwendungen im
allgemeinen komplez. Fiir reelles a hat P a u l i die obigen Integrale auf
die hypergeometrische Funktion und auf verallgemeinerte Fresnelsche
Integrale zuriickgefiihrt, doch laat sich seine Beweisfiihrung nicht ohne
weiteres auf den komplexen Fall ubertragen. Wir miissen daher etwas
anders vorgehen als P a u l i und betrachten zu diesem Zweck das Inte+m
[c-
gal
ls's2m
d s , das fur alle komplexen, von Null verschiedenen
--P
=
=< 5
*
2
151 e2ffl konvetgiert, falls 12
Fuhren wir die Transforma-
tion t = s V i a u s , so kann der Tntegrationsweg in der t-Ebene, der
zunachst auf der Geraden mit der Neigung ,B (bzw. x - / 3 ) gegen die
reelle Achse verlauft, wegen
IpI 7 2
in die reelle Achse
4
selbst verlegt
werden. Bedeutet Vrdie Wurzel mit positivein Realteil, so ergibt sich
das lntegral
1
dt,
2 .
-X
das bekanntlich auf die T-Funktion oder das Pehlerintegral zuriickfiihrbar ist. Somit fulgt:
(('I* im Nenner rechts ist naturlich ebenfalls cler Wurzelv ert init positivem Realteil).
Wir.multiplizieren beiderseits niit e'af , wo a komplex und die vnrige Bedeutung habe, und integriere'n nach E , indem wir den Integrstionsweg a m dem Yunkt 5 = k R so ins Unendliche fuhren, daB dort
eta[ verschxvindet. Dies gibt:
+n
Die Forderung, daB eta? im Unendlichen verschuinde, daB dort also
a [ mit positivem Imaginarteil auslaufe. ist erfullbar: Da namlich
3l
E = ezrB mit dem reellen Wert k R beginnt und 12 $1 bis ansteigell
26'
.4nnalen &r P h p i k . :i.Folge. Band 43. 1943
396
darf, verfiigc!n wir in1 Vcrluut' der Tntcgration im Fakt.or eZiP noch ubcr
cine J)rehung ini Ginen odcr andern Sinn bis zur Grol3e einer Vierteldrehung, mitt& clcr sic11 n 5 = a IE( e 2 P aus den Pudkt.en a k R heraus stetig
in die obere Halbeheno cindrehen 1aBt. Nirgends braucht dabei die
negativ-imaginare ti 5 -.Wise iiberschritten zu werden. Kritisch ist nur,
wenn ( I k R zufallig ail! dieser Ach.re selbvt liegen sollte, was zunfichst
ausgiwhlosscn werdr.
I1111 letzt.en lntegral rechter Hand sct.xen wir weiter \at = t ,
wobei sich a h Verz\\,eigiingsschnitt dcr Riemannschen Fliiche
natiirgcmaR die negativ-imaginare a 5 - Achse anbietet, die lieinen der
Integationswege zrrschiieidet. Kraft dieser Festwtzurig w i r d diLa cine
Blatt
saint dc!n urizerschnittcrien Wegen auf jene T -Halhbene
abgebildet, die wchta der Winkclhalbierenden diirch den 2. und 4. Quadranten Iiegt., das antlere Blatt epicgelbildlich d a m . Entscheiden wir uns
fur die erste Abbildung, so lilufen allc ~ntegrationswegcim I . Quadranten der t-Ebene aus und diirfen in Richtung der povitiv-reellen
Achse umgebogcn aerden. Mit der Abkurzung a k R == e folgt dann
der gcsuchte Zusammenhang niit den Fresnclschen Intcgralen:
v
s
vs
jl
(
2 1 ' m.$
e-
(4)
.kiln' L12m
82 --
ia
ds
L-
-
I-.
<
p'"F.-iL'
( k R p ; '1
f!iT'
-+.
tl t-.
To-= I. p
Was das \'orxeichen von vT unti I,' bctrifft, so ist
-zu beac:liten, d'dj
in t .=
1/; bereits iitier das Voraeictien von E vert'iigt i x t (positiver liealteil!). Dic unterc, LLIIS5 --:. k R sioh ergcbende Integratioiisgrenze hat daher die Form t oL- 7'V F R
woraus man abliest,
dal3 V a u n d zo gkichen ,4rc& hcsitzcn. 'Mit t oliegt somit auch
in der Halbebene rechts dcr Winkelhslbiercndcn, die den 2. und
4. Quadranten kilt uncl die also die braiichbarc Wurzel 1; von der
unbrauchbaren schcidet. l'ritt v f l HUS dieser Halbebcno LLUS, so tritt
die entgegengesetxte Wurzel - k'aein iin.1 wird brauchbar. Wir haben
also einen \70rzeichcnwechsel, wenn
die Winkclhalbiercndc ciurchqucrt oder, wa.q dayselbc ist, wenn a Iiegstiv iniapinar wird. Kin solcher
Wert von a beschrribt aber den Durchgang ties Pols durch die Fallh i e , wic man an den iiber die Pallinie erstrcckten lntegralcn (3) erkenlit,, die dann iiber eincn.Po1 leufen. Der Durchgang des l'oh durch
die Fallinie bedingt also einen Vorzeichennechsel von.; '1 Das pasvende
\rorseichrn laBt sich nun auH dem Grenzwert von 1; fur kleines y bestimmen, indcrn man vich den Pol an den Pa0 herangeriickt denkt.: in
VT.
a
Vn
Va
ist dann pin solches Voraeirhen zu wiihlcn, daB der Vektor f pl =
= $ 1 ( a - 1 9 ~ )in die fur ;\
vorgevchriebene Richtung, also in die
Httlbebene rechls der korhin erwiihnten Winkelhalbicrenden neist. DR
H . Ott. Die Sattelpunktsmethode in der Umgebung eines Po& usw.
397
,zt
}
diese Winkelhalbierende in der Umgebung des Passes iiberdies mit der
Fallinie zusammenfallt, gilt somit das
Pol
{ L:tts} der Fallinie steht.
fiir beliebiges
{
\;orLeichen, fitlls cicr
Oder anders ausgcdriic.kt: Es ist (nun
v):
-
1-2 s i nv2
mit dem oberen oder unlel-en Vorzeichen, je nachdem der Pol voin
lntegrationsweg eingefangen ist oder nicht. Fur reelles pl reduziext sich
dies auf die einfache Vorschrift von P a u l i 5 ) , daU 1 stets positiv zii
nehnien ist.
Aus (3) und (4) folgt fur ( l a ) nun ohne irgendeine T'ernachlassi-
la=+
a
,I
Ntiherungsformeln
tiir tiit,
5
A',
(n) h a t
bereits
€'ti
u l i angegeben:
3. Dislcussion von (6)
Wir betrachten die 1. h'aherung von (6) in zvei Grenzfiillen.
1. Der Pol sei so weit vom PaR entfernt, daU I e I >> 1. Aus
_
'' -- A ( a )1% und
LU
mit ( 7 c ) ergibt sich sofort in cbereinstimmnng
zur gewohnlichen Sattelpunktsniethode ( 2 ) :
( 8a )
2. Riickt der Pol unbegrenzt gegen den Sattelpunkt vor, so folgt
Q
fur y - - + 0, wenn wir d = - setzen
N
entwickeln :
( 5 1) nnd
S ( a )= N
(OP
y}
398
Annnlen der Physik. 5. F o ~ QB. u d 4.3. 1943
Die geschweifte Klamnicr ist, wic bei P a u l i , genau die HaKk des
= (I. Beim Durchtritt deu Pols durch
h s i d u u m s von (1) im Pol aQP
die Fallinie springt Js kraft des Vorzeichenwechsels ( 5 ) also urn
2 x i x Residuum. Die Cesamtlosung von (1) bleibt aber stetig, denn
dieser Sprung wird gerade durch den unstetigen Beitrag kompensiert,
der durch den Residuensatz beirn Einfangeii des Pols hereinkommt.
Tritt drr Pol nicht im FaB, sonderri in dcssen Umgebung diirch
die Fallinic, derart, daB wohl noch y , nicht aber mehr p als klein
?o
gelten hann,
YO
ergibt sich mit der Umformung So -=
J'
/- Jre , in
m
==
\F-"
"
der das zweite Tntrpral ehrnfalls clus Vorzeirheri mit \ a oder
wechselt:
I.'?
Der Sprung des ersten Terms, der mit dem Residuum in der Durchgangsstelle nahezu [bis auf Q ( a ) a n Stelle Q (&)I ubereinstimmt, 'wird
auch hier durch den Residuensatz konipensiert ,
Die Untersuchung, wieweit die zweite Kaherung von (6) bereits
vernachlassigt werden darf, verschieben wir auf die folgenden konkreten Beispiele.
Die besprochene Methode bleibt auch dann noch verwendungsfahig, nenn A (6)nicht einen einzigen Pol, sondern eine Reihe von
Polen 6, in der Kahe des Passes a besitzt. Wir zerlegen dann A in
Partialbruche, wobei bekanntlich jeder der Pole den Rruch
liefert ( A , = Residuum yon A im Pol
und Weise weiterbehnndeln la&.
A,
6- 6,
a,), dor sich in der vorigen
Art
§ 4. Beispiele
a) Anwendung auf die drahtlose Telegraphie. Vorausgesetzt sei ein
vertikaler D pol in beliebigem Abstand h von der (ebenen) Erdoberflache. Der Hertzsche 'Vektor der primaren Erregung
und der
7
, lassen sich im Fernfeld in die zu ( I ) parallele Form
sekundaren 1
bringen :
no
H . Ott. -Die Xattelpunktsmethde in der Umgebung e k e s Pols usw.
399
R, und R sind die Abstande zwischen Enipfanger und Sender, bzn.
Empfanger und Spiegelbild des Senders, a, und a die zugehorigen
(spitzen) Keigungswinkel gegen die T'ertikale; der Integrationsweg C
ist der gleiche wie in (1). f (8)=,
n2cos6-w
.
n2cos8+ w
wo w =Vn2-sin26,
1
- Wahrend die gewohnliche RattelVGq5
hat P o l e * ) bei cos aP = f
punktsmethode ( 2 ) zur Integration von (10) meist ausreicht, yersagt
sie bei groBer Bodenleitfahigkeit (In14 1) gerade in dem praktisch
wichtigen Fall der streifenden Inzidenz, bmr. der streifenden Ausstrahlung (wenn h = 0). I n diesem Fall, der in einer fruheren Arbeit des
Verf.3) nur kurz beruhrt wurde, weil er danials auBerhalb der Fragestellung lag, schiebt sich in (20) nicht nur der PaB a , sondern mit
1
1
(Pol
wachsendem n auch der Pol cos OP = -- , sin 1 9 ~ 1 -n
2 n2
P, in Abb. 2 der genannten Arbeit) unbegrenzt nahe an den Punkt
-
cY,
hertin,
2
JL
1-
so t l d (lit! niodifixierte Sattelpunktsmethode des $ 2
inierliiUlic-h wirtl, I\ n n n man niclit gerictle k II als cxtreni groR w a l l h i will.
Uni Rechnung zu sparen, schreiben wir zuvor aber f (6) so um,
daB der Koeffizient c2 der 2. Niiherung von ( 6 ) bereits moglichat klein
ausfalle: Dies gelingt, indem man
f =1
+ (f-
1) = 1 -
2w
+ -=I---
2w
cos 6 w
N
setzt, den vorgezogenen Summanden 1 Pogleich in (10) ausintegriert,
vn
n2
eil:R
WRY
nach (9) - ergibt, und endlich mit dem Rest
(noch mit
R
k
&
e
4
zu multiplizierende
2w
-in
N
das
Integral ( I b) eingeht,
v
E
wobei dann - 2w
an die Stelle von -4 (6) tritt. Nach ( 6 )
N
sin a
erhalt man nun fur das Gesamtfeld mit einem Schlag eine allgemeine
Strahlungsformel, die fur beliebige Abstiinde h des Senders von der
Grenzflache, fur beliebige Bodenleitfahigkeit und fur alle Ausstrahlungsrichtungen a**) gilt, und dies, wenn man von der einzigen Einschrankung k R % 1 absieht, ohne jecle weitere T'ernachlassigung:
*) \'on den Verzweigungspunkten von f rind den dadurch vrrursarhten
,.FIankenu-ellen"3) sehen u ir hier ab.
**) Ausgenommen irn Zviiit d c s Senders.
. A n ~ b der
n Physik. 5 . Folge. Band 43. 1943
400
(c:,m:Entwicuungskoeftizienten von
l
C ( 5 , y )=--
2w
N
p-.x
sin u
cost-cosy
t
2
cOs
Welchen Chtirakter die Losung im einzelnen annimmt, hangt von
der ,,numerimhen" Entfernung*) e ab und ist nur noch Sache der
1
Diskussion. Aus b, = a - 6, ergibt sich mit cos 8, = ---I\
llnd
Bei beliebigem a und n:
(124
- nsina- cosu
=I
1.
Bei beliebigem a, aber
% 1:
p = ( 1 - s i n n + - cosa
- + + ) k ~ .sinu
(12b)
n
2n
Und endlic-h Lei kleinem IyI:
p w -
kR
(sin ci $. 12 cos a)2.
2 n2
Wir betraohten wiederum die 1. Raherung in zwei Grenzfallen:
1. 1 ~ 1 % 1 (Pol steht weit vom PaB ab): Bei schleohter Bodenleitung ist diese Bedingung fur fast alle' Aufpunkte erfullt, mit wachsendem n ist jedoch streifege Inzidenz (im Falle h 0 ) , bzw. streifende
Ausstrahlung (Fall h = 0) mehr und mehr auszuschlieBen; auBer fur
extrem groRe k R. In Parallele zu 3 folgt aus (11) sofort die bekannte
Formel:
eii&
eikR
2 w ( a ) __ eikR0
eikR
*
(13)
D=--
1-
Ro
'
R
i1-m)
-
-+ y f (4.
RO
Liegt der Sender in der Grenzflitche selbst (R, = R), so verschwindet (13) bekanntlich fur die streifende Ausstrahlung wegen f
wenn notig, noch die 2. Nbherung adsuchen').
(3=
1 und man muI3,
2. Kleines (PI und somit maDiges oder kleines Q (Pol in P a h a h e ) :
Trifft zu fur die Umgebung einer gut kitenden Grenzflache, falls der
Sender in der Grenzflache selbst oder nahe bei derselben liegt, es sei
denn, daR k R ganz extrem groWe Werte hat. Wie in 3 folgt nun fiir
*) Die aiis Glrm Rpiegolpunkt rles Sendem tieram zii messen ist!
H.OU. Die Saitelpunktsmethode in der Umgebung e i m Pols urn'.
401
und daher aus (11) und (7a) :
eikR,
I n=-RO
I
eikR
-
( I-t ) = -
Schreibt man noch das Fresnelsche Integral in ein Fehlerintegral um:
'2 ;E
4 1; c, fur a - - + -reell
(lessen obere Grenze yo = e
wird, so erkennt
2
man, wenn man den Sender in die Grenzflache legt (Ro :
R),die
Formeln von S o m m e r f e l d * ) , v a n d e r Pol und N i e s s e n E ) . Fur
die 2. Naherung von (11) findet man bei groBem
1121:
c2
-
2icosa.
n
-,
8ie kann wegen cos a 4 1 also bereits vernachlassigt werden.
Naturlich gibt (11) auch Auskunft uber die I'erhaltnisse zwischen
diesen beiden Grenzfallen, doch irrt eine rationelle Diskussion z. Z. noch
erschwert aegen des Fehlens geeigneter Darstellungen der Fresnelschen,
bzw. der Fehlerintegrale fur maBiges, beliebig komplexes Argument*).
Wenn auch die beiden Formeln (13)und (14) in der Haupteache l h g s t bekennt
sind, so glauben wir doch, damit nicht lediglich nur alten Wein in neue Schlliuche
gefiillt zu haben. Dies um so weniger. als wir uns gerade aua der einheitlichen
Darstellung (11) des Feldes eine endgiiltige Kllirung der schon so oft diekutierten
Frage nach der Oberflechenwelle versprechen. Was wir kiinlich') als , . h e Art
ObeflAcheneffekt" gekennzeichnet haben, l&Ot sich nhmlich jetzt genauer prlizisieren: Dieser Effekt besteht darin, daO der Term
eikR
co
So in (11). der
v7
weitab von der Grenzfleche eine Kugelwelle darntellt, sich mit Ann&herung des
Sendere und des Aufpunkts an eine gut leitende Grenzflache allmlihlich in eine
Zonnecksche Oberfllchenwelle verwandelt. Denn auB 5 3 wissen wir, daO dieser
Term mit abnehmendem p dem (halben) Residuum im Pol 8, zuatrebt, daa Residuum im Pol iat aber nach S o m m e r f e l d physikaliech eine Zenneckwelle, wa8
m Exponenten
man iibrigem auch am Auftreten das Brewsterschen Wink+ 8p i
von (14) erkennt. Die Abspaltung eines Zenneckwellen-Terms aus der Gesamtstrahlung iet also unter gegebenen Umstlinden doch nicht ganz so ,,wilIkurlich",
wie vernchiedentlich behauptet wurde, nur reicht diem Oberfllichena-elle nicht
weit in die Atmosphere hinein, sie tritt. wenn wir uns so ausdriicken diirfen, nur
als ganz schmaler Saum des riiumlichen Wellenfeldes in Encheinung.
* ) Eine Approximation dwch Besselsche Funktionen bei E. Lornmel,
Abh. d. Kgl. Bayr. Altad. tl. \V. 15. 8 . 120. 18R6.
Annaten der Physik. 5. Foige. Band 43. 1943
402
Eine anclere Frage ist allerdings die, wie weit sich diese Welle auch praktisch
vom iibrigen Feld trennen liiBt, was freilich nicht so aussichtsreich erscheint: Gehen
wir der Grenzfliiche im Sinne wachsenden p entlang, so ist die Amplitude der
Oberfliichenw~?lle
im Verhdtnis zu den begleitenden Kugelwellen fur kleine e zu1
niichst recht klein, sie warhst allerdings im Bereiche um I @ = - zu’gleiclier
2
Stiirlie heran, aber tamit niihern wir uns bereits dem Gebiete mii13iger Q , in welchem
der fragliche Term seinen Charakter als Zenneckwelle vorliert, u m mit weiter
wachsendem p endlich in die Kugelwelle der ‘Losung (13) einzumiinden. Womit
ubrigens die .Richtcharakteristik fur die tangentiale Ausstrahlung ekes Senders
schlieBlich auch bei guter Leitfiihigkeit in 1. Niiherung verschwindet, nur in sehr
vie1 groBerer IEntfernung kR a18 bei schlechter.
I
b) Schal.lausbreitung uber Wasser. l7bedeutet jetzt das Gcschwindigkeitspotentid @, fur das (10) unter Abanderung von f erhalten bleibt3):
ycos6-w
f (6)= -y ist das Dichteverhaltnis*) Wasser-Luft (- 800),
y cos6 w ’
2
2w
n r s - 6 Wir benutzen wiederum die Umformung f = 1 9
ycos6fw
und gelangen auf die gleiche Art wie vorhin zum Ausdruck (11) fur
das Ueschuindigkeitspotential
@. Der fragliche Pol ist jetzt gegeben
-. 1!1-n2
I - ri2
diirdi t’os 81:,
-1
i n ?Yp = I i- -; yr schiebt skh
Y
2 yz
mit wachwideni y in cler ClE- Ehene nun v o n o b r i ~her grgen tlt!ll
+
-
7:
Pntikt’ it
I sin p
12
~
n
.- liertiii. Alx M d l t’iir
2
:
I
= sin
(a - 6,)
I2
=
cos2 (I
(kit
Pol
Absta.iitI
I+4
?LZ
- l’ii,lS
kaiin
dienen. Liegen Schall-
i
yuelle oder Aufpunkt weitab von der Grenzflache, so ergibt sich also
(13),rucken aber beide gleichzeitig gegen
C
2 w ( u ) 1 - cos p
die Grenzflache vor, so geht -!= = - -*
- niit den
&us (11) wieder die Kugehclle
Va
-
1’;
N (a)
Grenzwerten ‘w ( a )--+ i Vl-nz,
AT ( a ) =-h”-(6.p)
* p -+ - y p und
C
il:2
V1-n2
- 13in Y- iiber i n : O -.+ - ~
va-= - 1/2
- , nntl
- &her ist
2
Y
die erste Naherung ron 0:
In
&kR0
0 ==-.
eikR
4- R
Ro
(15)
.
--
27&(1-n2)
R
~~RCOS
1
-
v
1z
-,,
*) In der zitierten Arbeit des Verf.3) mu13 es bei der Definition von y (S. 446)
.
naturlirh hril3en: y =
PI
Alles weitere bleibt davon unberiihrt.
H . Ott. Die SattelpnkkwmtMe in der Umgebung eines Pols u4w.
403
Avch hier laBt sich das Fresnelsche Integral durch die Substitution
t=
v,
iy umformen, daB die obere Grenze yo =--fur
a
eik R
71
a --+ - reell
2
CO
wird. Wiederum beschreibt also der Term --== -
''
VR
mit Annaherung von Schallquelle und Aufpunkt an die Grenzflache einen
,,Oberfliicheneffekt", der aber, wie man leicht nachrechnet, in den
praktischen Entfernungen der Akustik gegenuber der Kugelw elle noch
keine Rolle spielt. In diesen Entfernungen ist also der Reflexionskoeffizient selbst fur streifenden Einfall nahezu gleich 1, d. h. gleich dent
.einer vollig ,,schallharten" Grenzflache, und die Richt 2harakteristik
einer auf der Grenzflache liegenden Schallquelle ist in allen Richtungen
nahezu konstant gleich 2
Der genannte Oberflilcheneffekt kenn hier nicht mit einer ,,selbatiindigen"
Oberfliichenwelle in Beziehung geeetzt werden, denn es gibt keine akustische
Parallele zur Zenneckwelle, euch nicht bei komplexem n. Wohl vermag, wie in der
Elektrodynamik so auch in der Akustik, die ebene inhomogene Welle e i k R ~ 0 8 ( 8 ~ - n )
die Granzbedingung jiir sich ellein zu erfullen, aber als selbstilndige Ltisung
der Wellengleichung hat dieselbe keinen Sinn, de wegen k k R cos ( 8 p - u ) =
ikr(1
liegt.
1 -n*
V i T F
+ 7)
t kz-
Y
ihre Dampfung in der verkehrten z-Richtung
Zusammenfaeeung
Es wird eine Methode von P a u l i veraIlgemeinert, mit der sich die
Sattelpunktsmethode in der Umgebung ekes Pols durchfuhren l&Dt ;
die Lbsung fuhrt auf (verallgemeinerte) Fresnelsche Integrale. Die
Anwendung auf einen Hertzschen Dipol, der auf oder iiber der ebenen
Erdoberflache von beliebiger Rodenleitfiihigkeit liegt, liefert mit wenig
Rechenaufwand sofort das Fernfeld dieses Senders.' Die Frage nach
dem Auftreten von Zenneckwellen wird neu beleuchtet. Als weitere8
Beispiel wird die Ausbreitung des tfberwasserschalls behandelt. DaD
sich auch der Unterwasserschall in seichtem Wasser (Schall zwischen
zwei Grenzflachen) dieser Methode bequemt, sol1 demnachst gezeigt
werden.
Literatur
1) Vgl.: A. Sommerfeld in Frank-Mises, Diff. G1. d. Phys., 2. Aufl.
S. 844. 1935.
2) A. Sommerfeld, Ann. d. Phvs. 28. 5. 665. 1909.
3j H. O t t , Ann. d. Phys. 41. S: 443. 1942.
4 ) Erscheint demnilchet.
5) W. Pauli, Phys. Rev. g4. 6.924. 1938. (Sommerfeld-Heft.)
6) B. v a n d e r P o l u. K. F. Niessen, Ann. d. Phys. 10. S. 485. 1931.
Wiirz burg, Physikalisches Institut d. Gniversitgt, Mai 1943.
(Eingegangen 27. Juli 1943)
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