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Die SCHRODINGER-Gleichung mit nichtlokalem Potential. I. Die Resolvente

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h n a l e n der Physik. 7. Folge, Band 29, Heft 4,1973, S. 309-324
J. A. Barth. Leipzig
Die ~HRoDlNoER-~~~ichung
mit nichtlokalem Potential.
Die Resolvents
Von N. VON
DER
I.*)
HEYDT
Abstract
For a wide class of nonlocal potenthls the SCERODINGEB
integro-differentialequations
for the radial waves may be reduced to integral equations containing D-kernels. Therefore
a number of analytic and functional-analytic properties of the resolvent of the radial wave
method. Thence, the completeness of
equation may be deduced by meansof the FREDHOLW
the physical radial wave functions, among other things, is proved by a known method. The
positive-energybound states occurringwith nonlocalpotentials are interpreted as resonances
of vanishing width. We consider the non-imaginary “resonance poles” of the resolvent in
a strip 0 > Im k > -a of the complex k-plane 1/a being the range of the potential. The
structure of the principal parts is specified. The results will be used in the second part of
this article’).
1. Einleitung
Die Verallgemeinerung eines Problems der mathematischen Physik fiihrt oft
dazu, da13 dieses Problem komplizierter und unubersichtlicher wird. Der Physiker wird deshalb gemeinhin nur dann an die muhevolle Erweiterung des mathematischen Apparates herangehen, wenn ihn Experimente dazu zwingen, wenn
er nach Moglichkeiten sucht, weitere freie Parameter zu gewinnen. Es gibt jedoch auch Fdle, besonders in der Mathematik, in denen eine Verallgemeinerung
des Problems in gewisser Hinsicht eine Vereinfachung des Problems mit sich
bringt und einen tieferen Einblick in seine Struktur gewiihrt. Beispiele sind
der Ubergang von reellen zu komplexen Zahlen und die analytische Fortsetzung
der S-Matrix in die komplexe Energieebene.
Bei dem mathematisch-physikalischen Problem der SCRR6DINaER-Gleichung
scheint die Verallgemeinerung von einem lokalen Potential, das ah Multiplikationsoperator auf die Wellenfunktion wirkt, F&Y(F) = U (3)Y($),zu einem
nichtlokalen Potential, d e m n Anwendung auf die Wellenfunktion
Y($) =
4 1
dsF‘ W (r , r ) !P(F”) ergibt, von der zweiten Art eu sein. Zum Beispiel enthiilt
die Klasse der nichtlokalen Potentiale die separablen Potentiale, mit denen aich
1
A
*) Auszug aus der Inaugural-Dissertation [14], Marburg 1971.
l) Der zweite Teil dieser Arbeit wird ebenfalls in den ,,Annalen der Physik“ veroffentlicht und hier kurz als I1 zitiert.
310
Annalen der Physik
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7. Folge
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Band 29, Heft 4
*
1973
die SCHRODINGER-Gleichung vie1 einfacher losen 1&Btals mit lokalen Potentialen. Allgemein ist die mathematische Methode, die Theorie der FREDHOLMschen Integralgleichungen, die zur Losung der SCHRODINGER-Gleichung mit
nichtlokalem Potential notwendig wird, in vielem durchsichtiger als die Theorie
der Differentialgleichungen, mit welcher sich die lokale SCHRODINGIER-Gleichung
behandeln lal3t.
Der physikalische Grund zur Verallgemeinerung ist nichtsdestoweniger gegeben :I n der HARTREE-FOCK-Niiherungwird die Wechr elwirkung ekes Teilchens
mit den ubrigen Teilchen eines Vielkorpersystems durch ein energieunabhiingiges
Potential beschrieben, das aus einem lokalen und einem nichtlokalen Anteil
besteht. Sobald man die nichtrelativistische Streuung zweier Teilchen, von denen
mindestens eins eine innere Struktur - wie zum Beispiel ein Atomkern - a d weist, mit der SCHRODINGER-Gleichungbeschreiben will, wird also die Verwendung
von nichtlokalen Potentialen unumglnglich. Zum Beispiel bei der Streuung von
Neutronen an einem Atomkern kann man zwar den gemittelten Wirkungsquerschnitt durch ein lokales Potential in der SCHRODINaER-Gleichung wiedergeben,
nicht aber die sehr scharfen Maxima im Wirkungsquerschnitt, die man bei besserer Energieauflosung der Apparate beobachten kann [l],[2]. Aber schon die
Wechselwirkung zwischen zwei Nukleonen scheint nichtlokal zu sein [3], [4].
Darauf deutet auch die starke Spin-Bahn-Kopplung hin, die aus einem nichtlokalen Potential hergeleitet werden kann [5].
Die Untersuchung der nichtlokalen SCHRODINGER-Gleichung mit der
FREDHOLM-Methode bildet ferner einen erfolgversprechenden Ausgangspunkt
fur die Behandlung des Dreikorperproblems. Die FREDHOLM-Methode ist auch
hier das angemessene mathematische Werkzeug [6], und man kann durch Verwendung separabler Potentiale praktikable Gleichungen und annehmbare
Obereinstimmung rnit Experimenten erhalten [71.
Die vorliegende Arbeit sol1 dazu beitragen, zuniichst die Struktur des verdgemeinerten mathematischen Apparates ,,ScHRoDINGER-Gleichung mit nicht lokalem Potential" zu klaren. Dabei stellt sich heraus, daD nichtlokale Potentiale in besonderem MaSe zur Beschreibung scharfer Resonanzen bei der elastischen Streuung geeignet sind. DaB lokale Potentiale hierzu nicht ausreichen,
hat man echon friih vermutet [8]. Der Grund dafur scheint darin zu liegen,
daB lokale Potentiale keine ,Jdealresonanzen", das sind gebundene Zustiinde
positiver Energie, erzeugen konnen [9]. Dagegen kann schon ein einfaches
separables Potential diese Eigenschaft haben, wie in Abschn. 2. und 5. von
Teil I1 dieser Arbeitl) gezeigt wird. I n 2. werden die Voraussetzungen uber den
Potentialoperator f ormuliert und allgemeine Formeln und SMze zusammengegtellt, die man mit Hilfe der FREDHOLM-Methode gewinnt. Hieraus ergibt sich
die zentrale Bedeutung der FREDHOLM-Determinanten der LIPPMANN-SCHWINGER-Gleichung. Die Re solvente der nichtlokalen SCHRODINaER-Gleichung und
ihre analytischen Eigenschaften als Funktion der Wellenzahl k werden in 3.
untersucht. Neben der Vollstandigkeit der physikalischen Losungen der nichtlokalen SCHRODINGER-Gleichungund der daraus folgenden Spektr~ldarstellung
der Resolventen in der oberen k-Halbebene wird auch eine Laurententwicklung
der Resolventen bei Polen in einem Streifen 0 > Im k > -a der unteren
k-Halbebene hergeleitet, dessen Breite cx durch die Reichweite des Potentials
bestimmt ist. Die Ergebnisse werden in 4. kurz diskutiert.
N.
VON DER
HEYDT:~ C
H R ~ D I ~ G E R - ~ ~ ~mit
~ C iiichtlokalem
h l l I l ~
Potential (I)
31 1
2. Grundlegende Formeln und Satze
Das Problem der nichtrelativistischen Streuung eines spinlosen Teilchens
an einem nichtlokalen (oder lokalen) Potential, dessen Operator _W invariant
ist gegen Drehungen und die Bewegungsumkehrtransformation, fuhrt nach
Separation der SCHRODIsGER-Gleichung in Iiugelkoordinaten auf die Radialwellengleichung
a,
JV, y ( r ) : = U ( r )y ( r )
+ J as V z ( r s, ) y(s)
0
mit reellem g , U ( r ) und V , ( T ,s) = V,(s,r ) [lo-121. Um die Radialwellenfunktion Y ( r ) des Teilchens zii konstruieren, brauchen wir in r stetige Losunr
gen von (1) mit folgenden Randbedingungen :
~~
a ) Xtreulosungen
y l ( k ,r ) := u L ( k r )+ @,(k, r ) init
1
i k Q L (k,r ) = 0
b) Gebundene Zustande x z ( k ,r ) niit
W
l , ( k , 0)
=
J dr ~;d,(k,r ) / t = 1
0,
0
(3)
u , ( k r ) = k r j , ( k r ) und die im folgenden vorkommende Funktion
w,(kr) = -dcrh12)(kr) sind die bei NEWTON[S] benutzten RIccATI-BEssEL-Funktionen.
Mit jeder der beiden Randbedingungen (2) und (3) kann man (1) in eine
Integralgleichung umwandeln. Das geschieht mit Hilfe der GREEN-Funktion
G , ( k ; r , r') : = -
(-IZ
~
k
u,(kr,) wz( k r , ) ,
welche die Sy~nrnet~rieeigenschaften
6, ( k ;r , s)
=
G , (-k; r , s ) = G , (k;T , s)
+
(-k*; r , s)
=
6, (k., S3 r )
2i
- u z ( k r )u,(ks)
k
und fur I m k 2 0 die Spektraldarst.ellung
(4)
312
*
Annalen der Physik
mit
7. Folge
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Band 29, Heft 4
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1973
+
K , ( k ;r , 8) = W ;r , 8) N , ! k ; r, s ) ,
~ , ( kr;, s ) = 6 , ( k ;r , s ) U ( S )
m
N , ( k ; r , s)
=
j
&,(k; r, t ) V,(t,s ) dt.
0
Aus y l ( k ,r ) kann man die S-Matrix und damit den differentiellen Wirkungsquerschnitt berechnen :
m
X,(g, k ) = 1 - 2i-
f a r Iu,(kr) U ( r )
k 0
+ J ds u,(ks)V,(S,r )1yAk,
0
r ) . (10)
An dieeer Stelle wird es notwendig, weitere Voraussetzungen uber das
Potential anzugeben. Wir wollen die FREDHoLMschen Integralgleichungen (8)
und (9) auf andere Integralgleichungen zuriickfiihren, die mit der Methode von
HILBERTbzw. SMITHIES [13] gelost werden konnen. Das gelingt, wenn es
eine Funktion H ( r ) gibt, so daB H ( r ) K , ( k ;r , s) H-l(s) fur 1Im kl 5 01 mit 01 2 0
ein L2-(HILBERT-SCHMIDT)-Kern
ist [141. Zur Untersuchung von ,,Resonanzen"
mu13 a > 0 sein. Wir wollen daher Potentiale mit folgenden Eigenschaften
zulassen :
Mit drei reellen Zahlen
a>o,
EO>0,
E m > O
sei
+
H,(r) := e - m r r - - l + e o (1 r)-&+-.
Dann sol1 der nichtlokale Potentialanteil die Bedingung
W
/jar
ds H ; 2 ( r )
I V l ( r ,s)
12 ~ ; 2 ( s ) =
c,
< oo
0
erfullen. Das lokale Potential U ( r ) moge uber jedes Interval1 [a, b] mit 0 < a
< b < oo L2-integrierbar sein und das mymptotische Verhalten
<
mit l;lo > E ~ , l;lm > E~
besitzen.
DaB die Integralgleichung (8) bei lokalem Potential fur reelle k unter Voraussetzung (12b) rnit LX = 0 nach der HILBERTSChen Methode losbar ist, haben
JOST
und PAIS [15] gezeigt. Um jedoch S,(k) auch fur k = 0 uber den JOSTFormalismus definieren zu konnen, mu13 U ( r )stiirker als r3 fur r + 00 abfallen
[16]. I m folgenden wird gezeigt, daB die Voraussetzung (12b) auch fur LX = 0
ausreicht, um S , ( k ) auch bei k = 0 stetig zu definieren. Dabei wird an Stelle
des JosT-Formalismus, der fur nichtlokale Potentiale bei 1 =+ 0 i.A. ohnehin
nicht durchfuhrbar ist [141, die in mancher Hinsicht iibersichtlichere Theorie
der FREDHOLM-Determinanten benutzt.
Die Konsequenzen der Voraussetzungen ( l a ) iiber die Potentiale sind im
einzelnen :
N.
VON DER
HEYDT:SCmODINGER-Gleichung mit nichtlokalem Potential (I)
313
Satz 1 : [14]
Voraussetzung (12) bedingt, daB
P,(r, Y) := H
~ I ( T ) V z ( r s)
, ~
;l(s)
und fur Im k 2 -a
i z ( k ;r , s ) := H,(r) &,(k; r , s ) U ( s )H;'(s),
6 , ( k ; r , s ) := H,(r)b,(k; r , s ) H,(s)
folglich auch
f i z ( k ;r , s ) := [G,(k) P,] ( r , s),
K 2 ( k ;r , s ) := H,(r) K , ( k ; r , s ) Hpl
L2-(HILBERT-SCHMIDT)-Kerne
S i
(8)=
i , ( k ;r, s)
+ &,(k; r , s)
d .
Die letzten vier Kerne sind als Funktionen von k holomorph in der Halbebene
Im k > -a und stetig fii. Im k 2 -a.
Fur die folgenden Untersuchungen reicht es aue, reduzierte Radialwellenfunktionen aus dem Raum
g, := (W I H,(r) y ( r )E L2(0,-)>
(13)
zu betrachten. Darin sind eelbst fur a = 0 die physikalisch wichtigen, niimlich
die beschriinkten und bei r = 0 mit r verschwindenden Funktionen enthalten.
Dariiber hinaus gilt :
Satz 2 :(Vorausset,zung (12)) [ 111
a) Fur IIm kl 5 01 sind die in S, liegenden Losungen y l ( k , r ) der Integralgleichung ( 8 ) genau die in goliegenden Losungen des Randwertproblems (l),(2);
dabei genugt @, der Ungleichung
Ikb,(k, r )
I 5 const
VL-ir-
___ e-Imkr
(IIm kl
5 a)
(14)
+
b) Fur Im k 2 0, k
0 sind die in g mliegenden Losungen X J k , r ) der homogenen Intqrableichung ( 9 ) genau die Losungen des Eigenwertproblems (1)) (3).
Fur Im k 2 -a genugen die in 3,enthaltenen Losungen von (9) einer U n gleichung
Ixl(k, r ) 1 5 const
1'1
ar e-Vr
mit y
=M
h (a,Im k ) .
(15)
Die Losung der Integralgleichungen (8) und (9) in gPist nun gleichbedeutend rnit der Losung der Integralgleichungen
a) &(k, r )
mit
=
% ( k ,r )
+g
W
0
ds K,( k ; r , 8) &(k, 8 )
(16)
$,(k, r ) := H,(r) y , ( k , r ) und 2iz(k,r ) := H,(r) u,(kr)
W
b) i r ( k ,r ) = q
ds K,( k ; r , s ) i r ( k ,s ) mit
0
i 2 ( k ,r ) := Ha(?)Xz(k,r ) .
(17)
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Wegen Satz 1 ist (16) fur IIm kl 5 a und (17) fur I m k 2 -a mit Hilfe
der Theorie von SMITHIES
[13] uber Integralgleichungen mit P-Kernen im
Raum der L2-Funktionen losbar.
Wir stellen die fur das folgende wichtigen Ergebnisse zueammen:
Satz 3 : FREDHOLM-Determinante (Voraussetzung (12))
1. Fur I m k 2 -a existiert die Spur des Kerns K , ( k ) [14]
m
Sp K , f k ) = Sp k , ( k ) = J ds K , ( k ; S, 8)
0
und daher auch die in [13] definierte FREDHOLM-Determinanfe
d,(g, k ) := det [ l
-
g k,(k)]
die f i i r festes k sogar eine ganze Funktion von g ist.
2. [14]. d,(g, k ) ist fiir jedes komplexe g als Funktion von k analytisch in der
Halbebene I m k > -a und stetig fur Im k: 2 -a. Dort gilt
lim d,(g, k ) = 1
k+W
d r ( g , k ) = d,(g, -k*) fur reelle g
I n der offenen Halbebene I m k > -a kann d,(k) nur endlich viele Nullstellen
besitzen. Sie liegen symmetrisch zur imaginaren Achse. I n der offenen Halbebene
I m k > 0 konnen sie nur auf der imaginaren k-Achse liegen.
Satz 4: Separable Kerne
Die Spur eines separablen Kerns A ( r , s ) = a ( r ) b(s) nzit a, b L2(0,00) exist iert und seine FREDHOLM-Determinante ist
det [l - A ] = 1 - Sp A .
Satz 5: Determinantenmultiplikationssatz [17]
Sind A , B und C L2-Kerne, deren Xpuren existieren und die der Gleichung
C= A
B - AB
(18)
genugen, so gilt
det [l - C] = det [ l - A ] det [ l - B ] .
Satz 6 : Resolventenkern (Voraussetzung (12))
1. [13]. Fur I m k 2 -a ist durch die ,,Resolventenidentitat"
+
&(9>
k) - &(k)
=9
&(k) &9, k ) = 9 &(9, k ) %(k)
eindeutig e i n L2-Kern R , ( g , k ) bestimmt. Der Kern
q ( g >k ; r , s) := d,(g, k) &9, k ; r , 8)
ist eine ganze Funktion von g.
2. [14]. Der Kern D,.(g, k) ist als Funktion von k f u r Im k
und fiir Im k 2 -a stetzg. Es gilt
D,i"(g, k )
=
D , ( g , -k*)
fur
reelle g.
> -a
analytisch
N. VON
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Der Kern R z ( g , k ;r,s) ist als Funktion von k in der Halbebene I m k > --LY
meromorph und hat Pole g e m u bei den Nullstellen von d,(g, k). I n der Halbebene
I m k 2 0 kann &,(k) nur auf der positiv-imaginaren oder reellen Achse Pole
haben. Diese s i n d mit eventueller Ausnahme von k = 0 einfach. Ein Pol bei k = 0
kann hochstens Zfach sein.
Folgerung:
Die Kerne
D,(g, k ; r , s) := H;'(r) B,(g,k ; r , 8) H A S )
und
besitzen die gleichen Analyzititatseigenschuften wie die Kerne D,(g, k) bzw. R , ( g , k)
und es gilt nach (19)
R,(g, k) - K,(W = 9 K , ( k ) RL(9, k) = 9 R,(g, k) K,W
(194
Die bekannten FREDHOLMschen Satze iiber die Losungen der Integralgleichungen (16) und (17) bzw. (8) und (9), sowie weitere Aussagen, die aus den
speziellen Eigenschaften von K , ( k ) folgen, sind im folgenden Satz zusammengefaBt [ 11, 141:
Satz 7 : Losungen (Voraussetzung (12))
1. Die inhomogene IntegraZgleichung ( 8 ) besitzt fur IIm kl
01 genau dann
eine eindeutige Losung y,(k,r ) in Sa,
wenn d,(g, k)
0 ist. Sie Zautet
+
m
woraus folgt
yf(k, r ) = ( - ) z + l y z ( - k * , r )
(204
2. Die homogene Integralgleichung (9) besitzt fur I m k 2 -01 genau dann
mindestens eine Losung in Sa,wenn d,(go, k) = 0 ist. Bei festem k aus der Halbebene Im k 2 -01 genugen die Ordnung ng der Nullstelle go von d,(g, k) (algebraische Vielfachheit) und die Anzahl m der linear umbhangigen Losungen in Sa
von (9) (geometrische Vielfachheit) den Ungleichungen [131
1I
m 5 ng, m I
9; ll~z(k)lIZ.
(21)
Fur I m k 2 0, k =# 0 , sind die in Saenthaltenen Losungen Xz(k,r ) von (9)
normierbar, auch wenn 01 = 0 ist.
W e n n (9) fur k = 0 in Saeine Losung hat, ist diese nicht notwendig normierbar. M a n erhalt jedoch unter den gegenuber (12) verscharften Voraussetxungen
01 > 0 oder E, > 1
(22)
Normierbarkeit fur 12 1. F i r 1 = 0, k = 0 ist eine Ss-Losung ~ ~ (r 0) von
, (9)
genau dann normierbar, wenn auper (22) noch gilt:
OJ
J dr r
0
+s
00
( W XO(0,
0
0%
Vo(r, s) XO(0, 41 = 0 -
(22a)
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3. Wenn d,(g, k,) = 0 ist, kann die inhomogene Integralgleichung ( 8 ) hochstew im Falle von reellen oder imuginaren ko 9,-Losungen besitzen. Wenn k,
reell oder imaginar ist, kann m a n die Losung y l ( k ,r ) der inhomogenen Integralgleichung ( 8 ) genau dann nach k, hin anulytisch fortsetzen, wenn alle in 8, enthaltenen Eigenfunktionen xl(k,, r ) zu gKl(ko) die Orthogonulitatsrelation
erfullen, was fur reelle ko immer der Fall ist. Sonst kann (23) nur noch fur imaginare k, gelten. Jede Losung xL(ko,r ) aus smvon (9), die dieser Relation geniigt,
i s t im Falle ko
0 normierbar, und sie ist auch Eigenfunktion zum Kern g K,(-ko).
Genaue Abschatzungen der Eigenfunktionen x,(k,, r ) finden sich in [14].
Nach diesen Vorbereitungen soll ausgehend von (10) eine Formel fur S,(g, k )
bewiesen werden :
+
Satz 8:
1. Unter Voraussetzung (12) gilt f u r [Im kl
5 a die Formel
2. Daraus folgt mit den vorangehenden Xatzen , dap X,(g, k ) als Funktion von k
i) unter Voraussetzung (12) mit a > 0 in dem Streifen IIm kl < a meromorph
ist ,
ii) unter Voraussetzung (12) mit a = 0 auf der reellen k-Achse stetig ist,
und clap ferner gilt:
iii) im Streifen 1Im kl < a liegen Pole von X,(g, k ) hochstens auf der imaginaren Achse oder zu dieser symmetrisch im Streifen 0 > Im k > -a. Sie fallen mit
Nullstellen von d,(g, k) zuaammen. Auf der imaginaren Achse zwischen 0 und ia
konnen sie nur einfach sein.
iv) S,(g, k ) SJg, -k) = 1
(25)
v) ST(g, k ) = S,(g, -k*) fur reelleg
(26)
vi) k-+
lim
S,(g,
k
)
=1
m
(-Pi
vii) y l ( k , r ) =
S,(g, k ) y l ( 4 r )
(28)
viii) wenn d,(g, k ) bei k = 0 eine O-Stelle n-ter Ordnung hat,
(29)
i s t S,(g, 0) = (-)”.
ix) Auf der reellen k-dchse gilt IS,(g, k)l = 1.
(30)
Der Beweis von (24) soll hier durchgefuhrt werden, weil er fur die Anwendung
der FREDHOLM-Methode charakteristisch ist2):
Wir benutzen die abkurzende Schreibweise
m
If> (9 I
:= f(r) ds),
(f I s> := 0J dr f(r) 90.)
m
Klf) :=jdsK(r,s)f(s),
0
00
( f [ K := S d r f ( r ) K ( r , ~ ) .
0
2) In [lS] und [19] wird der Determinantenmultiplikationeaatzbenutzt, obwohl seine
Voraussetzungen nicht erfiillt sind.
-9
G ( k )I @Z(W2 i
4<
fiz(k)
I.
Das ist gerade GI. (18), wenn man identifiziert
B : = I@,(k))2 i T9( f i i ( k ) l , C := g 2 J - k )
und A := g g Z ( k ) .
B ist wegen (12) und Satz 7 mindestens fiir k $: 0, IIm kl OL und A und C
nach Satz 1 fur Im k 2 -a L2-Kern. Nach Satz 4 und 5 gilt daher
d,(g, -k) = d,(g, k) (1 - 2 i p w ) l@,(k)>]-
Daraus folgt die Formel (24), wenn man nach (10)
S,(g, k) = 1 - 2+<fiZ(k)
I@,(k))
beachtet.
3. Die Resolvente
Eine vollstlindige GREEN-Funktion oder Resolvente des Radialoperators
in (2.1)
bestimmt durch die Qleichung
-
und geeignete Randbedingungen - liiBt sich leicht mit Hilfe des in 2., Satz 6
definierten Resolventenkerns R , der Integralgleichung (2.8) angeben :
+
G , = 6, g R z b z .
Aus der Resolventenidentitlit (2.19a) fur R , folgt nlimlich
Rzdz= ( K ,
(2)
+ gK,R,) 6, = K , (6, + 9 R @ J = K,G,
so daB G, die ,,2. Resolventengleichung''~)fur die Operatoren 6,
und SZ, erfiillt :
Gz = 6,
*) Vgl. etwa
+ gKzG, = 6, + g&,WP,G,,
[ZO], p. 246.
W ,= 6,- 52,.
(3)
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+
Nun braucht man nur Q, + k2 von links anzuwenden und [d, k2]9, = 1 zu
benutzen, um (1) zu erhalten. Umgekehrt erhiilt man mit (2.19~3)aus G, wieder
R,:
R,= G,W,.
(4)
Die Abhiingigkeit der Integralkerne von k und g, die aus 2. klar hervorgeht, ist
hier und im folgenden nur dann notiert, wenn es wichtig erscheint. Folgende
Eigenschaften von G,(k) lassen sich nun mit Hilfe der Ergebnisse aus 2. beweisen [14] :
Satz 1: (Voraussetzung (2.12) mit a > 0)
1. &,(k; r , s ) := Ha(r)G,(k; r , s ) H,(s)
ist fiir Im k 2 -a, und falls d , ( k ) $. 0 ist, ein L2-Kern.
2. a , ( k ;r , s ) ist als Funktion von k in der Halbebene I m k > --01 meromorph
und hat dort hochstens endlich viele Pole. Sie stim,men in Luge und Ordnung mit
denen von R,(k)und in der Lage mit Nullstellen von d , ( k )uberein. I n der Halbebene
Im k 2 0 konnen sie nur auf der positiv-imaginaren oder reellen Achse liegen und
sind f u r k $. 0 einfach. Falls k = 0 ein Pol ist, kann er einfach oder doppelt sein.
Doppelt ist er genau dann, wenn es normierbare Losungen von (2.9) fur k = 0
gibt. Unter Voraussetzung (2.12) rnit a > 0 oder
> 1 ist das fur 1 2 1 der
Fall, und fiir 1 = 0 nur unter der zusatzlichen Bedingung (2.22a).
3. G,(k) hat die Symmetrieeigenschaften
G,(-k*) = Gy(k), G,(k; r , s) = G,(k; s, r )
und fur IIm kl 5 01 :
2i
k v l ( k r), v, (-k?
G,(-k; r , s ) = G,(k; r , s) (-)lfl-
(5)
+
(6)
G, erfullt die Randbedingungen
G,(k; r , s ) rz
O(r) und
1
r , s) - i kG,(k; r , s) = 0 .
Zusatz :
Voraussetzung (2.12) mit a = 0.
Satz 1 wird nur in folgenden Aussagen iiber die reelle k-Achse, die nun Grenze
des Meromorphiegebietes ist, abgeandert :
Die reellen Singularitaten ko von G,(k) sind abzahlbar und besitzen die Eigenschaft, dap
= 1 f u r ko += 0
k-k,
Lim ( k - k0)%Gl(k)4s 0 , n
5 2 f u r ko = 0
Im k > O
existiert. Sie stimmen in Luge und ,,0rdnungLLn mit denen von R , ( k )und in der
Luge mit Nullstellen von d,(k) uberein.
Die Darstellung ( 2 ) einer vollstiindigen GREEN-Funktion der radialen
SCHRODINQER-Gleichung(2.1) und ihre in Satz 1 festgestellten Eigenschaften
kann man nun benutzen, um nach einer bekannten Methode [9] die Vollstandigkeit der Losungen (2.2) und (2.3) von (2.1) nachzuweisen und so auch die Spek-
N. VON DER H E Y ~ TSoHRonINuER-Gleichung
:
mit nichtlokalem Potential (I)
319
traldarstellung der GREEN-Funktion zu erhalten
(7)
Im k: 2 0.
x 7=.2
xzvj(r)x z v j w ,
1
Die Losungen xzvj(r)von (2.3) sind dabei reell gewiihlt.
Satz 2:
1. Unter Voraussetzung (2.12) mit u 2 0 bilden die Streuliisungen lyl(k,r ) (2.2)
k 2 0 und die reell gewahlten Eigenlosungen xzul(r),...,Xlvmv ( r )
(2.3) zu den Eigenwerten k: (v = 1, 2,. . N ) und eventuell k: = 0 der Radialwellengleichung (2.1) ein vollstandiges Orthonormalsystem im Raum L2 ( 0 , 00):
fur alle reellen
.
J dq yz(q, r ) J ytF(q,
O
Z
0
mv
N
65
2 "
-
)
9)
f ( s ) ds
+C
m
Cxlvj
v = o j=1
(r)
f
0
~ t v j ( 8 f) ( 8 )
= f(r)
fur alle f E L2(0,00).Alle m, sind endlich. N kann nur im Fall u = 0 unendlich
werden. E s gilt
m
f
xzvj
0
( r ) xlpi ( r ) dr = 6,
~ j i fur
v , p = 0, ..., N
j = l , . . . , mv
i
=
1,..., rnp
ca
$xlyj
0
( r ) yl(k,r ) dr = 0 f u r alle reellen
2 "
yl(i& r ) yj+=(k,, r ) dr
Z
= 8(kq
- k,)
k und
v = 0, ..., N
j = 1)..., m,
fur alle rellen
k, und k,
O
2. Die in (2) definierte voktandige GREEN-Funktion besitzt f u r Im k 2 0
die Darstellung ( 7 ) .
Der Beweis steht in [14].
Aus der VolktLndigkeit der physikalischen Losungen des Radialwellenoperators Q, folgt naturlich uber die Vollstiindigkeit der Kugelfunktionen auch
die VollstLndigkeit der physikalischen Losungen der ScFLRoDINaER-Gleichungim
R3, die unter iihnlichen Voraussetzungen auf andere Weise bereits bewiesen
wurde [Zl]. Die in [14] benutzte funktionentheoretische Methode scheint bisher nur im Fall eines lokalen Potentials ausgenutzt worden zu sein. Ihre Anwendbarkeit im nichtlokalen Fall beruht wesentlich auf der Konstruktion (2)
der vohtiindigen GREEN-Funktion und auf der Kenntnis der Eigenschaften
des Resolventenkerns R,(k).
Durch Satz 1 und die aus Satz 2 folgende Darstellung (7) ist das Verhalten
von B,(k) zumindest in der oberen k-Halbebene einschliefilich der reellen Achse
vollstiindig gekliirt. Mit Hilfe von GI. (6) gelingt es nun, auch uber die eventuell
in dem Streifen 0 > Im k > -a liegenden Pole G,(k)einige Aussagen zu machen.
320
Annalen der Physik
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7. Folge
*
Band 29, Heft 4
*
1073
Wir beschranken uns dabei der Einfachheit halber auf Pole in den offenen 3. und
4. Quadranten, die sogenannten ,,Resonanzpole" :
Satz 3:
E s sei ko mit Re ko =# 0 und 0 > Im ko > --IY eine Nullstelle n-ter Ordnung
von d,(k).
i) G,(k), l y l ( k ) ) und S , ( k ) haben dann als Funktionen von k bei ko jede einen
Pol n-ter Ordnung.
ii) I y l ( k ) )moge um ko die Laurententwicklung
m
IYlW
=
v=
c IT,)
-n
( k - ko)"
(8)
besitzen. Dann lassen sich die Koeffizienten der negativen Potenzen in der Laurentreihe
m
G,(k)=
Y=
2 B v ( k - kOy
(9)
-n
durch die Funktionen Iq-,), ...lq~-J ausdriicken :
m
B-n+m
=
2 /%-v
v=o
V
,=O
IQ~-,+,)
( v - , ~ + ~ - ;, ]m = 0 , 1 , . . ., n - 1 ; 180 =# 0
(10)
insbesondere
B-n = Po 1 v - n ) (v-nl
(10a)
iii) Die Funktionen Ip)-n+,,J
und I&) aus (11)(m = 0, 1, 2, ...) sind in 9,
enthalten.
J e endlich viele Funktionen IT-,,),.
. . Iy-n+nl)( m = 0 , 1 , 2 , . . .) sind linear unabhangig, und m a n kann sie nach den ersten m
1 Koeffizienten der Potenzreihe
+
entwickeln und umgekehrt :
iv) Die Funktion IT-,)
= IFo) yo ist bis auf ein Vielfaches die einzige 9,Eigenfunktion des Kerns K,(ko) zu g.
Beweis: Satz 3 basiert auf den Formeln (6) und (5) und auf der Tatsache, daB wegen
der vorausgesetzten Lage von k, G , ( - k ) und lYl(-k)> bei k, regular sind und da13
d,(-k,) =# 0 ist. Wenn no, nnyl
und asdie Ordnungen der Pole G,(k), ly,(k)) bzw. S , ( k ) bei
k, sind, so folgt aus (2.24) sofort ns = n. Weiter erhilt man aus (2.10) nnyl2 ns und a m
4, Auf der negativ-imaginaren Achse gelegene Pole lassen sich nach derselben Methode
untersuchen, nur werden die Verhiiltnisse durch eventuell vorhandene gebundene Zustilnde negativer Energie (positiv-imaginare Pole von G , ( k ) )etwas komplizierter.
N.vox DER HEYDT:
SCHRoDIh.GER-GleiChung rnit nichtlokalein Potential (I)
321
(2.20) in Verbindung mit Satz 1, 2 n,, 5 7tti 5 n. h i S diesen drei Beziehungen folgt die
Behauptung i). Wenn man die Entwicklungen (P), (9) und (11)in (6), (5) einsetzt, erhalt
man durch Koeffizientenvergleich
m
2
I p n + v ) (Fm-v
B-n+m =
v=o
furm=O,l,
m
ni
2 Ipn+v)
1
(qm-"
v=o
I =v2
IQm-v)
=o
<pn+i.
I
..., n - 1
(134
..
(13b)
fur m = 0.1, 2,.
Fur m = 0 folgen hieraus sofort die Formeln (10) und (12). Wir nehmen nun an, (12) sei
bis zu einem m < - 1bewiesen, und schliel3en daraus die Gln. (12) fur m
1, indem wir
I@,,)gemiiB(12b)durch lp-n), ..., Iv-n+m) ausdriicken:
zunachstin(13b)furm 1
+
+
Wenn man die Terme mit Iq-,) bzw. (rp-nl zusammenfalt, erhiilt man
+
1 folgt. Ebenso kann man auch (12a) beweisen, indem man die
woraus (12b) fur m
eliminiert.
Funktionen I+.>
(10) folgt nun durch Einsetzen von (12b) in (13a).
Urn zu beweisen, daB die Koeffizienten Ivy> der LAURENT-Reihe (8) &us 9 a bzw. die
&(z) :=.rpy(r) H,(r) L2-Funktionen sind. benutzen wir die Integralformel fur die LAURENTKoeffizienten :
&(r) = -2%
/'
C
(k*r, dk
(k - kO)"+l
fur
Y =
-n, -n
+ 1, ...
wobei C ein endlicher, einfach geschlossener Weg ist, der nur denPo1 k, von e 2 ( k ,r ) umschlielt und ganz im Holomorphiegebiet von e 2 ( k .r ) verliiuft. Weil $l(k, r) fur alle k mit
I m k I < a, die nicht Pole von &(k, r ) sind, L2-Funktion ist, existiert das Integral
m
$ Y^?
0
(k', r ) $1 (k,r ) dr
gleichmiilig fur alle k und k' auf C. Da C endlich ist, gilt somit
m
m
und das Integral existiert noch gleichmiiDig fur alle k' auf C, so daD
00
_ -1
23Zi
21
'
I (k'* d-k'*k:)v+'o[dr
6
Ann. Physik. 7. Folge, Bd. 29
-
I'
$f (k', r ) $jv ( r ) = dr &?'( r )
d
( r ) < 03
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Annalen der Physik
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7. Folge
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Band 29, Heft 4
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1973
also
I@")E LYO, 00).
Die linenre Unabhiingigkeit von je endlich vielen der Funktionen I P)-,,+~) ( m = 0,2,l...)
ist gezeigt, wenn sich fur m = 1, 2, 3,... Iq-,+,>
nicht aus den Funktionen Iq-,)
I~L,+.,,-~> linearkombinieren liiBt. Das wiederum ist bewiesen. wenn es zu jedem
m = 1,2.3,
eine reelle Funktion Ifrn> gibt, so daB (fmlq-n> =.-.=(frnIq-n+m-l>
=0
und ([rnIq-n+m>=+ 0 ist, oder nach (8) damit gleichbedeutend (fm ! y l ( k ) )bei ko eine ,,Nullstelle der Ordnung m - n besitzt, wobei m - n = 0 Regularit,at =+ 0 und m - n < 0
Polaritiit bei ko bedeutet. Wir geben Funktionen Ifin>mit den gewunschten Eigenschaften
an :
....,
...
Ifm) =
l o o
;
1dqIw?(q)) dlq"'hm(q)(4)
(14)
--a0
Dabei ist h, eine Funktion der komplexen Variablen k mit den Eigenschaften
i) h,(k) ist holomorph fur I I m k I < a
ii) hm(k)= h,(-k) = hz(k*)Jiir IIm kl
kl?'
iii) __ hm ist fur a
d1W
iv) h,(k)
<a
> I m k 2 0 regular
kym
O(k-'-'-*-'
)
rnit
E
> 0 fur reelle
k
v) h,(k) hat beei k, eine Nullstelle m-ter Ordnung.
Man kann leicht fur h,(k) eine gebrochen-rationale Funktion angeben. Das wird am
Anfang von II,3. niiher ausgefuhrt,wo auch gezeigt wird, daB die in (14) definierte Funktion Ifrn) die genannten Eigenschaften hat, und uberdies gilt
fm(r) H i ! ( r )E Lz(O,w)fur jedes a' < a.
DaB lq-,,) Eigenfunktion von K,(ko)zu g ist, sieht man sofort, wenn man die inhomogene
Integralgleichung (2.8) mit (k - k,)" multipliziert und den Limes k -+ko ausfuhrt. DaB
es keine von Iq-,) linear unabhangige g&-Eigenfunktionvon K,(ko) zu g gibt, wird in
11.2. bewiesen.
Vergleich von (7) und (9), (10) zeigt, daB sich die Resolvente G,(k) bei Resonanzpolen - besonders wenn sie einfach sind - iihnlich verhiilt wie bei den
,,bound state"-Polen in der oberen k-Halbebene : I n beiden Fiillen bildet die
Summe uber die ,,Projektoren"5) auf siimtliche %,-Eigenfunktionen von
g K,(k,,) den ersten Koeffizienten der LanREKT-Reihe - bei einem einfachen Pol
das Residuum. In gewisser Hinsicht sind die Resonanzpole sogar besonders
ubersichtlich, weil es nur eine Ym-Eigenfunktion von gK,(k,,) gibt; bei den
,,bound state"-Polen dagegen kann es tatsachlich mehr als eine geben, das folgt
aus 11, 2. sowohl fur die imaginiiren als auch fur die reellen ,,bound state"-Pole.
G , ( k ) und damit S , ( k ) kann mehrfache Resonanzpole haben, wie ein Beispiel
in 11,5. zeigt. I n 11,2. werden wir jedoch sehen, daB sie der reellen Achse nicht
beliebig nahekommen konnen.
4. Diskussion
Ruckblickend auf die bisherigen Ergebnisse 1aBt sich feststellen : Das nichtlokale Streuproblem geht mindestens in folgenden Punkten uber die groBenteils
bekannten Eigenschaften des lokalen Streuproblems [9] hinaus :
5, Da die zu einem Resonanzpol gehorige GanfOv-L6sung I q-,)
nicht normierbar und
nicht reel1 ist. kann man natiirlich l q ~ ~ > (Iqim
- ~mathematisch strengen Sinne nicht als
Projektor bezeichnen; immerhin ist I$-,> E L2 (0,m).
N.VON
DER
HEYDT:
ScmODINQER-Gleichungmit nichtlokalem Potential (I)
323
1. Es kann normierbare Eigenfunktionen xu positiver Energie (reellem k )
geben, die ins kontinuierliche Spektrum des Radialwellenoperators in (2.1) eingebettet sind.
2. Bei festem 1 kann es sowohl xu negativen als auch positiven Energieeigenwerten mehrere linear unabhangige Eigenfunktionen geben.
DaB diese Moglichkeiten unter den Voraussetzungen (2.12) auch eintreten
konnen, wird in I1 gezeigt. Der erste Punkt ist es, der die Verwendung von
nichtlokalen Potentialen zur Beschreibung von Resonanzstreuprozessen nahelegt. Er bildet gleichzeitig einen Ausgangspunkt fiir die Untersuchung der Pole
der S-Funktion S , ( k ) in der unteren k-Halbebene (zumindest in dem Streifen
0 > Im k > -a), denn positive Energieeigenwerte sind in gewisser Weise
,,zufiillig" aus dem zweiten (,,nichtphysikalischen")Blatt der E-Ebene auf die
positiv-reelle E-Achse gewanderte Pole von S, wie in 11deutlich gemacht werden soll. 3. Satz 3 zeigt eine gewisse Analogie zwischen GaMov-Losungen und gebundenen Zustiinden. Ein nbergang zwischen beiden konnte beim lokalen
Potential nur bei E = 0 beobachtet werden, denn lokale Potentiale liefern keine
positiven Energieeigenwerte [91. Daher wird es erst bei nichtlokalen Potentialen
moglich, einen kontinuierlichen abergang von einer GAMov-Losung zu einem
gebundenen Zustand positiver Energie, also eine echte ,,Resonanz", zu studieren. Wenn man von einem ,,quasistationiiren" Zustand oder speziell in der
Kernphysik von einem ,,Compoundkernzustand" spricht 11221, meint man damit
gerade eine nichtnormierbare Losung der SCHRODINGER-Gleichung, die durch
eine (kleine) stetige Abanderung der Wechselwirkung in die normierbare Wellenfunktion eines gebundenen Zustandes ubergehen kann, der aber physikalisch
gesehen nicht stabil ist, weil ihn eine beliebig kleine Storung des Potentials, etwa
der Kopplungsstarke, wieder zum ,,Zedallen" bringen kann. Man sollte daher
die bei nichtlokalen Potentialen auftretenden gebundenen Zustiinde positiver
Energie zur Unterscheidung von den auch physikalisch ,,stabilen" Zustiinden
negativer Energie in Analogie zur klassischen Mechanik vielleicht als ,,labile('
Zustande bezeichnen. I n 11,2. wird gezeigt, daB solche labilen Zustiinde bei
gegebenem Potential tatsiichlich nur fur diskrete Werte der Kopplungsstiirke
auftr eten konnen.
Die in diesem Teil gewonnenen Ergebnisse sollen in Teil I1 dazu benutzt
werden, um mit Hilfe einer Zerlegung des Potentials weitere Aussagen iiber die
in der unteren k-Halbebene gelegenen Resonanzpole von S,(k) zu gewinnen.
Damit sol1 ein nichtlokales Potential konstruiert werden, das die Streuung eines
Teilchens an einer ganzen Klasse von quantenmechanischen Systemen - etwa
einer Reihe von Atomkernen mit verschiedener Massenzahl - beschreiben kann .
Ein solches Potential konnte trotz seines zuniichst phanomenologischen Charakters Hinweise auf die Dynamik von Vielteilchensystemen liefern.
Die diesem Artikel zugrunde liegende Dissertation wurde am Institut fur
Theoretische Physik IV der Philipps-Universitiit MarburgILahn bei Herrn
Prof. Dr. G. GRAWERT
ausgefiihrt. Ihm gilt mein besonderer Dank fur wertvollen Rat und andauernde Hilfsbereitschaft auch bei der schwierigen Kiirzungsarbeit.
21*
324
Annalen der Physik
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7. Folge
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Band 29, Heft 4 * 1973
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M a r burgllahn, Institut fiir theoretische Physik IV der Philipps-Universitat.
Bei der Redaktion eingegangen am 17. Miin 1972.
Anschr. d. Verf. : NIEOLAUSVON DER HEYDT
BRD-8401 Pentling/b. Regensburg
Rosenweg 1
z. Z. am Lehrstuhl Chemie I1 der Universitiit Regensburg
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