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Die Schwingungen biegungssteifer Saiten.

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156
Man krtniz eirie schwingende Saitv als recht enipiindlichcii
Dehnungsmesser fur technische Zwecke verwendei.1) Hierl-ei
wird an dem zu untersuchenden Eauteil, der ein Trager, ein
Yachwerkstab, ein Schwungradam oder soostjgeu Teil sein kann,
eiirie Saite mit ihren Enden so lofestjgt, daB sie a n einer
e la st isc hen Yer1ii.n gerun g o cler TTer kiirzu n g dieses Ha u t eiles teilnehmen muS. Dabei wird ihr Ton erhoht oder wrtieft und
diese TonhCiheniinderung wird a n einer Yergleiclissuite 1 estimmt, deren Spannnag unrer&nderlich, deren Ziinge a1 cr
inittels eines I erscliieblicheii Steges einstelfiar ist . I'ri der
1Tritersuchiin g der Fehler qnellen eines solehen Ije him 11gsrriesseus stellte es sich als notwendig heunus, den 1KntluB der
Jiiegungssteifigkeit auf die Schwinguilgen \ o n Saiten iiiiher zu
untersuchen.
Eei der iiblichen I J e i u a ~ l ~ ig~ i iollig biegsamer Saiten gilt
in der X die als un\eriinderlich mgesehene LBiigshaft. p (lie
h11asse cler Liingeneinheit ?,edentrt, wiihrend II: u n d y die Jcoordinaten eines Punktes deu - unendlich diiriiien - Saite
und t die Zeit i d . In der folgeiiden Rechnung sol1 J das Trtlgheitsn oineiit eiiies Queischiiitts der Saite uiid E der Elastizitiitsmodul ihres Materials win.
Aiif (.in Saitcnstiick 1011 dcr Laiige a z airlien die in der
Pig. 1 gexeiclirirtcri lirdtc. cbin: a ) die l ~ o r r t ~ o n r i i t eTon
n S in
der y-Hiclitnng, nanrlich X sill u uncl S sin ( a -ta a), 1 ) die
!ioril~.onenten\on 8 in der r-liic htuilg cob a und 8 (0s (a+ aa),
( ) die Sclierhilfte V iind I - + a V , d ) die 3Iassenkraft
1) Die echwingende Saaitc. alr Ut hnung+mc.swy, Zeitschr. dea
Verelns dcutbrlirr Jngc nicurr, 191s). S. 1008.
+
0) die Momelite EM und 1M
a M. Die Gleichung der in
deer y-Richtmng wirkenden Krafte lmtet :
mid
P
+ 8 P - P+
Jcn(a + a a )
oder
d F-+ Scos a d oc
- Sainu -
- p 8' I dt
=I
y %d
x =
o
0.
Sola.nge es sich uni kleine Schwingungen handnlt, kam
cos a = 1 ge!ttset.zt werden und
so deB ent.stteht
'Weiter mrde die
8118 Qr
Bieguqplehre lrehnpte Giet-
aus der dnrch Differenheren fo@
0. Sch cleft)..
158
l)ie aus der Biegurigsluhro I,ekannte Eexiehung
ay- p
a .G
gilt auch fur eineii Stab rnit Langskraft, dn diese inir cine
Yerschiebung der Nullinie netch der Druckseite hin I;ewirkt,
aher ttn den sonstigen TTe&altnisseii niehts lindert . h h darf
deirinach setzeii
und orlialt durch nochrrialiges Differenzieren
1)urc:h Einsetzen in Gleicliung (1) findet man die Lhfferentia.1gleichung des Problems
Mohald nian in c1iese.r Gleichung J = 0 setzt, also die Skifigkrit vernachllssigt, geht sie iiber in die bekannte Form
die fur einen I3alken ohne LBngskraft gilt. Jler fix diese ({leic hi1ng gem a c h t P Ans atz
y = A sir1 a 5 sin b t
karin auch m r Iiosung der Gleichung (3) benutzt werden.
Urn die Rithtigkeit mi yriifeii, hildet man die Diflrrentialyou t ient'en
a@2J
a 8 2 = - Aa*sincLxsinb-t,
-
und setzt sie in (;leichuog (3) ein.
EJA
a4 sin a 2 sir1 b
t
=-
i:A a2 sin a z sin b t
+ p A b 2 & a zsin b t.
1)a diesc Gleichung firr alle \”cute i o n
11 tlio folgendc Eezichung kestehen
R J a4 =- X a2 +,ub’.
(4)
2
iind f grlten sol],
niii
Fur II gilt K I O C ~ Icine weitere Bedingung: an den Kndon der
St~ite,bsi a = 0 und 5 = 2 mu13 namlich y 0 iverden fiir
itlie Werte \ o n t. Dies islt riur moglich, Wenn sin a 1 = 0 i s t ,
w n n also
n==L
, ‘)II
” - d , 3 -It usw.
=I
1
Zu jcdeni diescr Werte \ o n a iiiidet, 1na11 &us (Ilticliung (4)
den xugehorigen Welt Ion b. Tliese Werte b,, b,, b, steheii al-cr
nicht in einfacher I2eziehang zueinandri . 1’t.i tijner \ ollig
1iit.gsarne.n Saite ( J = 0) ist heliaimtlich
b , ‘ : b2’: B,’ . . . = 1 : 2 : 3 . . .
lint1 k i eineni steifen uiigespannten Balken j s t
hl” : b2I’ : b;’ . , = 1 : 4 : 9 . . .
I11 keiden Fallrn gibt der liorper ctuWer den1 Grundlon
eine lieihe 1-011 OEertijnen, die zuiii Grundton barmonisch siiid.
IXe Obertone der i-orliegenden steifen Saite sind jedoch nicht
harmonisch. M a n rrh’dlt aus Gleichung (4)
.
und init der Heaiehuiig
n
f iir die Sc hwiylngun gsza h len
P
&
“n
--
Fiir einc htiihlerne Klaviersaite yon 40 em Liingv uric1
1 u r n Dicke gestalten sicli die Terhhltnisse fiir einen Grnedton von 92. = 485 $chwingringea 6 0 : mit der Eeziehting
m r -
c~gibtsirh frir S
A U ~Glcichung
b
en
(4):
S = 4neZep- 46(7-)',
S
z=
'149
- O,O1 = i'6,83 kg .
lhe Saite hraucht um den kleinen Uetrag on 0,07 kg sveniger
gespannt xu Werden ttls die 1-ollig biegsame, die eine Zugkraft
von 75,9 kg erfordert . Dio Ekhwingungszahlen PL ergeben sic11
ELI nl = 435, w2 = 870,9, n8= 1809,5, ?L - 1750,8, wiihrend
h i einer vollig kdrgsamen Saite sein wiirdln: = 485, 7221 = 870,
?i,'=1305, ?&,'=1740, wcnn sit3 nuf den Grundton 435 geYttimmt ist . Piiy den Gebrauch des erwtihnten Dehnnngsmossers
kommt os nicht darauf an, daR die steife Baite eine etwas geringere Kiraft orfordert , sondern daB sie'ein wenig Iiingey sein
ztinl.. Die Klaviorsaite miiBte 39,82cm lang sein, statt 40cm.
T'ielleicht kann die Erhdhung der Obcrtone einer steifen
Xaitc mir Erkl&rung der eigentiimlichen Rrscheinung herangrzoogcn wctrdm, daB einwandfrei gute Musiker die Oktsv frill
wmig zu groR nehmen, groBer als dein Schwingungseahleiiverhaltnis 1 :2 entspricht , Wird das Ohr van einem einfacheii
Ton von .n-Ssliwingungen in ~ Q YSekunde getroffen, NO wild
pine hcstimmte Paser der Rasilnrmemhran bewegt , die ilirerweits den vlugehhrigen Nery beeinfkifit. Es knnn n l w auclr,
wir hier angenommen werden 6011, eine Fasri. untw 13ildung
&ne.s Knotens in dsr Mitte erregt wrden und zwar miiBte es,
da die Fasern hi ihrer goringen 3dinge Richer pine merklichc.
Bteifigkeit bositzen, eine Faser yon etwas weniger als
~/2-&hwingungen win. Beruht nun der Konsonanzrinclrwk
clarauf, daR on zwei T h e n zum Teil die gleichen Ihsern erwgt werden, so ist es ersicht,lich, daR ein Toil ?& und eiii Toil
%/.2 komonant sein miissen.
IJni die Amplitude der Ohrtbne 3x1 ermitteln, mu8 oin
gewisner Anfangszustand der Saite gegeben eein und zwar m6ge
mgenoininen werden, ~ R die
R Saite dnrch e k e I<Ja.ft in der
'Mitt4 heleatet iind tlann toegelamen wird, Info& der Steifig-
Die. ~ c roiitguw~eit,
h
bkgungssteifer Saittm.
1ti1
lieit jst dia P'orin der Saite nivht, geradlinig, sondedl sie w r iauft nach einer i i b e r einc Garade iihergelagerten liyperkcl.
funlition. Ehe die Form der Saito kcrechnet wird, sei eino sllgemeinere Eemerkung uber die Form elastischer StiiEe gestattet. Ein am einen Ende eingespannter
Stab (Fig. 2) wird am anderen Ende in
heliebiger Richtung yon einer Kraft er;
griffon, deren Iiomponenten S und Q sind.
I)ie Biegung erfolge in der Ebeno eines
f
41er Hauptriiglieitsmomente deEi Querschnitts. Dsiin lautet die DifferentialI
gleichung d e ~Hiegungslinie
<
(5)
Q.2.
1/
--sy = - f i J d'rl-zs '
Fig. 2 .
tleren Losnng nian schreikcn karin
2
f e
*'J
Ilurch zweirnaliges Differenzieren und Einsetzen in Gleichung ( 5 ) Itann man die Richtigkeit nachweisen; femer sirid
die 13edingungeii erfullt, daB f = O wircl fiir 2 = 0, nnd
i'iir x = 1, wio man sich leicht uberzeugen kann.
Setxt man in Gleichung (6) die KomFonente Q = 0 , so
bleibt der Stab gerade, y wird Null fiir Jeden Wert yon 2.
Haken Q nnd 8 positive Werte, so b a r n man kurzer schreiken
1)er Stab verhalt sich wie ein Viertel der zu Eerechnenden
Saite, deren Gleichung entsprechenden Bau haken wird. Litl'it,
man S zu Null werden, so belrommt Gleichung (7) die Form
co -w, clis sich leicht auf die Form O/O Fringen lSRt
AUOdeB d0r
Phpik. IY.FOlW.
@a
11
0. Schmfar.
162
Ua
1s
gleichzeitig mit S verschwindttt, so darf iiiaii
als neue Veranderliche einfuhren und Ziihler und
Nenner nach dieser differenzieren : gleichzcitig werde mr T’carcinfachung gewhriehrn
2 = f$
- _ L_
1/ E J
-a.
Lhnn ist
limy = Q
Z=O
a z & o [ a x 1 ~ a x i : n Z 6 i n a_
a l -a x _
C s o i a x_z = -~
0
n 3 601a x 1 + a, :? a 1 bin a x 1
0
.
Ifan mu€! Zahler und Nenncr noch einmal nach z cliff@renzieren und erha,lt
arc.nZGinazI+ az.aIBinaa1
+ a x n a ~ l a l & o f a x l -a x a x G i n a x m
limy = Q n 3 . 2 x E v [ a 2 1 + 2 a 3 n P a I Q i n a x l
;
:=0
+ (4 x3 a 1 n 1 6 v i (I 1
-
-
0
0
.
\Venn man mini k i t t e n Male differenziert , findet inan
-
S a x a l e a 1& f a x 1
limy
;=O
=
Qa
+ a z x n 2 . nlalBin a x 1
- u.1:. a x a s Q v i r r . z x
a
~ 3 ~ 2 B v f n r 6 + 3 a Y ~ 2 ~ a l ~ i n a x 1>
312 3xaa I a 16vf a x’ 1 + a x 3 . a l a 1 a I Gin a x 1
+
Pics ist aber die bekannte Biegungsgleichung eines Triigc~rs.
Wird bei positivem Q der Wert r-on S negativ, s o srl xc inan
--
8 = S‘
wid crhalt ails Gleiclmng (6)
D i e Schwingungen biegzmgsstedfer Saiten.
wa.s
~ R I einfncher
I
schreiben ka,nn
168
,
Sctzt rnnn in diever Gleichung Q = 0 , PO wird y z u Null,
w ~ ~ i inicht
n
etwA der Nenner des zweiten Gliedes auch Null
ist. Der Wert von S', fiir den dies eintritt, rrgibt sich atis
k = 1, 2, 3 . . .
und man koiitint auf die Rnlersche Knickforinrl.
gJlk=
m
I
cc-
Fig. 3.
Fur die in Vig. 3 geeeichnete Saite gilt folgendes: \'on
0 his 1/2 ist
1011
l / 2 ilk 1
yr
(11)
I
=-.2?-6
!
S
Q
s
--
-.
-a
[Eing (.z t
q il
+)
- z)- gin 11
gesetxt ist. Die Beaditnng drs ncgativen Torzeichens dieser
Wurzel ergiljt weder hier noch bei der vorigen Retrachtung
eine Indernng. Das wr#ntterte Aussehen der Gleichungen (1 0)
11*
164
0. Xcknefet~. Die Sohzoingumyi bkgungssieifw Soiten
wid (11) gegenuber der Gleichung (7) erkltirt sich aus der
Verschie bung des Koordinatensystems, die vorgenommen wurdr ,
urn die folgenden Integrationen zu erleichtern. Die Fouriersche
Reihe, die den T7erlauf der SaiBe wiedergibt, lautet
(12)
1
nx
1
37Tz
1
r~-bb,+~,cos--+6,cos---~b,cos-2
7nx
I
f...,
wotci die Koeffizienten der Sinusglieder und der geraden
Kosinusglieder nicht erst, hingeschriehen sind, weil sie Null
werden.
Fur die rollig biegsclme Saitt. ist 17 co wegtti: J = 0 und
der zweite Bruch in der Klamnier fallt weg, die Koeffieienteu
serhalten sich d a m beksnntlich
1
Hoi der steifen Ssite werden sie Idciner; fiir die ak Beispiel
he range zogene Klasrierssit c wird
3
1
f i l : b 3 : b 5 : b...
, = I.--.---*'
11,4
'
45,3
'
1
128,6
(Eiugegangen 6. November 1919.)
* ' '
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