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Die Schwingungen des biegungssteifen Seils mit groer Kopfmasse.

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ANNALEN D E R PHYSIK
6. FOLGE, BAND 20, HEFT 7, SEPTEMBER 1 9 3 4
D i e Schwhgungem des hiegwngssteifen Seils
m i t groper Eopfmasse
Porn W. M e y e r ;2ur C a p e l l e m
(Mit 2 Figuren)
I. Einleitung
a) Ziel und Aufgabe')
Im folgenden sollen die Schwingungen eines Seils betrachtet werden, das an einem Ende gehalten wird und am
anderen Ende eine im Verhaltnis zur Seilmasse groBe Kopfmasse
tragt (vgl. Fig. 1). Da'Y
bei sol1 jedoch die (nur
beim idealen Seil verschwindende) Biegungssteifigkeit beriicksichtigt werden, so daB
man ebensogut von 1
einem Stabe sprechen
kann, der einer in der
Stabachse wirkenden
=aft unterworfen ist.
I m wesentlichen werden
die Eigenschwingungszahlen bestimmt unter
Beriicksichtigung verschiedener Randbedingungen. Da die auszuwertenden Gleichungen teilweise langwierig
werden, wird zudem
I
Aein AnnaherungsverFig. 1. Seil mit Kopfmasse
fahren gegeben.
,
1) Die Arbeit entstand in Verfolg der Untersuchung uber den
Fr ahmschen Frequenzmesser und erweitert dort gefundene Ergebnisse.
(Vgl. Ann. d. Phys. [5] 16. S. Iff. 1932.)
46
Annalen der Physik. 5. Folge. 20.
690
Annabn der Physik. 5. Polge. Band 20. 1934
b) D i e a l l g e m e i n e B e w e g u n g s g l e i c h u n g
Es bedeutet:
1 : Lange des Seils,
F: Querschnitt des Seils,
I aquatoriales Tragheitsmoment des Seilquerschnittes, bezogen
auf die zur Schwingungsebene senkrechte Achse,
y : spee. Gewicht des Seils,
E: Dehnsteife (Elastbitltsmodul),
g : Fallbeschleunigung,
y: Auslenkung des Seils zur Zeit t an der Stelle z,
X
z : neue Verlnderliche z = - zur Ruckfuhrung auf ein Seil von
1
der Lange ,,eins".
G I : Gewicht des Seils, G, = F I y,
G,: Gewicht der Kopfmasse M2,
Q: Tragheitsmoment des Kopfes, bezogen auf die Schwerachse I
zur Zeichenebene,
a, b: Schmerpunktskoordinaten des Kopfes (vgl. Fig. l),
a = G,/(G, + 6.j Cewichtsverhiiltnis,
-
e = &.s = Trlgheitshalbmesser,
GB
&v: Tragheitsmoment des Kopfes, bezogen auf die in V (Fig. 1)
I zur Zeichenebene stehende Achse, Q v =
(d2 + pe),
o:Kreisfrequenz der Schwingung.
Ferner ist gesetzt:
B = - E'
(ein MaS fur die Biegungssteifigkeit),
P . 12
S* = (GI
+ G,)/F,
fie=%
S*
= (GI
12
+ GJ*-E.I'
Dann lautet die Differentialgleichung der Bewegung unter
Annahme kleiner Schwingungen und unter Vernachkssigung
der Drehtragheit des Massenteilchens l) und der Dampfung fur
das hangende Seil:
Unter der Annahme, daB
liefert der Ansatz:
a!
klein ist gegeniiber eins,
(la) ~ ( ~ , t ) = y ~ ( ~ ) = ~ ~ , ( ~ ) ( u ~ c o s w , t + b ~ n
s i=n w
1 1, 2t ...,
),
1) Anm. 1, S. 689.
W.iMeyer zur Capellen. Die Schwingungelz usw.
691
worin yo die Gleichgewichtslage angibt, fur die Eigenfunktion
Index n fortgelassen - die
oder Schwingungsform u(z)
gewohnliche Differentialgleichung:
u
pU"Au = 0,
(2)
wenn il der Eigenwert, mit der allgemeinen Losung:
(3) u(x)= B,Bofsz+ B , c o s r x + B T G i n s z + B , s i n r x ,
wo - wie man durch Einsetzen prufen kann -
-
-
Die Eigenfrequenz kann hiermit geschrieben werden :
-
w = r .i z . ( B . r2+ s*!,
E
Y
welche erkennen lafit, daB fur verschwindende Biegungssteifigkeit ( B = 0) die Frequenzen proportional den r-Werten
sind, wahrend sie fur verschwindende Spannung (S*= 0, bzw.
3!, = 0) deren Quadraten proportional sind.
(5)
c) Ran d b e d iln gu n g e n
Zur vollstandigen Bestimmung der Eigenwerte bzw. der
Werte r und damit der Eigenfrequenzen w seien verschiedene
Befestigungsarten und damiCRandY
bedingungen angenommen. Von
vornherein verschwindet u an der
Einspannstelle x = 0, auBerdem
verschwindet noch fur 2 = 0 die
Ableitung 21' beim festeingespannten Seil oder u" beim momentenfrei befestigten Seil. F u r das Stabende bzw. Seilende verschwindet u",
wenn die Verbindungsstelle V zwischen Kopf und Seil keine Momente - z. B. bei gelenkiger
Verbindung, Fig. 2 - iibertragen
kann. I m iibrigen gelten dort die
Bewegungsgleichungen des Kopfes
(Schwerpunkt- und Momentensatz)
unter Beriicksichtigung der an der aVerbindungsstelle ubertragenen MoFig. 2. Momentenfrei
mente und Krafte.
verbundener Kopf
46 *
I
692
Annalen der
Physik. 5. Folge. Band 20. 1934
Bildet V S mit der x-Parallelen den Winkel cp, mit der
Tangentenrichtung des Seils im Endpunkte (Fig. 1) den
Winkel 8, wobei sp - 6 klein, so daB
c^Y
sin(y 8) w tg(tp - 8) P cp - 8 w ,
-
8 X X d
dann sind die Koordinaten des Schwerpunktes S:
x g = x,+
(6a)
d.cos'p
P
1+a
- b- aY
ax,=,
y * = y v + d . s i n v ~y(l,t)+a-- dY
+b.
d X , d
*
*
,
Hiermit lauten die Bewegungsgleichungen - wenn u" (1)
0 bxw. y,
0:
(?a)
M -a*y.
-EI----+G
- aY
=O
(fur x=Z),
2
at2
ax:3
2
ax
Geht man dann mit Ansatz ( l a ) hierin ein, so hat man f u r
die Eigenfunktion die Randbedingungen:
(8a)
au"'+(l - a ) ( I a ' - a @ 2 ) u ' + I ( l - ~ ) u = O ,
ad'+
(1 - a)[a
- I (ef2+ d")].
u'- (1- a)U'ZU = 0,
(8b)
gultig f u r z = 1.
Werden k e i m Momente in V ubertragen, so wird zunachst u" (1)= 0, und bei Aufstellung der Bewegungsgleichungen
ist zu beachten, daB der Winkel y , der klein sein sol1 (in
Fig. 2 ubertrieben angegeben), nunmehr unabhangig von u' (1)
bzw.
ist, so daB y, = y (1, t) 'p d. Die Bewegungs-
*
+
a x ,=1
-
gleichungen lauten somit:
(9 b)
Q*7
9 + M , . dm 7
aBy8 + G , . d . q
=0,
giiltig fur x = 1.
Geht man entsprechend der Kopplung zwischen Kopfund Stabbewegung mit dem Ansatz ( l a ) und mit cp = K c o s Q) t
Ksincut hierin ein - wobei die Konstanten durch y und
+
1) Dies ist die Momentengleichung in bezug auf die Achse durch V.
W. Meyer xur Capellen. Die Schwingungen usw.
a y l d t sowie qj und d y l d t fiir t = 0 bestimmt sind
benutzt wiederum die Abkiirzungen, so folgt:
u [(l- u)p u'+ U''7 [il(g'S + $2) - u /32$]
(10)
+ qi - a ) ( p a - a p ~ u) =. o
-
693
und
{
als zweite Randhedingung fiir x = 1.
11. Losung fur verechiedene Randbedingungen
Die Auswertung der Formeln liefert zunachst die Eigenfunktionen und dann aus (9) und (10) die Bestimmungsgleichungen fiir r, welche im folgenden zusammengestellt sind.
Dabei ist in den Eigenfunktionen nicht jede Integrationskonstante angegeben, da sich ihr Verhaltnis aus (9) bzw. (10)
ergibt und dieses in einigen Fallen zu langwierigen Ausdriicken fiihren wiirde.
a) Mom en t en fr ei er
F e s tp u n k t
Mit ~ " ( 0=
) 0 wird die Schwingungsform bzw. die noch
nicht orthogonalisierte Eigenfunktion
u(z) = A , sinr z + A, G k s z
(11)
mit A , / A , aus (9) bzw. (10).
ct) 1st der Kopf jest mit dem Seil verbunden, so kann r
aus der folgenden transzendenten Gleichung bestimmt werden,
die zur Formvereinfachung noch s enthalt, welcher Wert j a
nach (4)durch r und I-: ausdriickbar ist:
tgr
=
+
h, h, og 8
h,- h,Zgs
'
wo
I
h,= n ( 1 - n ) ( r 2 + s 2 ) [ r * s 2 ( ~ ' ~ + + ' 2 ) - n u ' ~ ] ,
h , = s [ r ' ~ ~ ( l - a ) ~ ( e ' ~ ++r2u'(l
+'*) - n ) ( ~ ~ + n r ~ ) - n ( s ~ - a ~ ~ ) ] ,
[lzb) h3 = r[s'r2(1- a)'(e'2+ ti? s'a'(1- n)(r*+-n s*) - n (v2+ a , ~ ) ] ,
h, = (1 - a ) r s (r2+ 83
.
-
Hierin kann man je nach der GroBe von p fur hijhere
Werte r einige Glieder vernachlassigen, was auch fiir die folgenden Bestimmungsgleichungen gilt. Wird jedoch r gegeniiber p sehr groB, so streben die Werte r,, fur groBe n - da
dann r m s - den durch t g r = 1 bestimmten Zahlen, d. h.
4n+3
rm=
zu. Die Eigenfrequenzen wachsen dann mit
4
den Quadraten dieser Zahlen. F u r die Eigenfunktion bzw.
die Schwingungsform bedeutet dies, daB der Knoten in den
Endpunkt des Seiles wandert und daB a.uBerdem u'(1) ver~
694
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 20. 1934
schwindet, so daB das Seil oder der Stab wie ein einerseits
momentenfrei, andererseits fest eingespannter Stab schwingt :
Die Tragheit des Kopfes wirkt wie eine feste Einspannung.
j3) Bei momentenfreier Verbindung zwischen Kopf und
Seil vereinfacht sich die Eigenfunktion zu
(13)
u(z)= C.[s2Gbts. s i n r z + r a - s i n r . G h t s z ]
und die Bestimrnungsgleichung f u r r hat die Form
wo
(14b)
{
h,= a s ( s 2 - a ( F ) [ r 2 s z ) [ r 2 s 8 ( q ’ $8)
*+ - a @ 2 $ ] ,
h , = n r ( v z + n 8 3 [ ~ ~ ( p d’*)
’ ~ +- ~ @ ~ d ’ ] ,
h7 = (1 - a) s r ( r * sz)[r2s2g‘*-a@’ d’].
+
Die Werte r nahern sich f u r groBe n, wenn r,,>pB”, den
duroh tg T = 0 gegebenen, d. h. den Zahlen r,, = n .m, womit
u(1) nach Null konvergiert, so daB auch hier die Masse wie
ein fester Endpunkt wirkt und wir die Form des beiderseits
momentenfrei gelagerten Stabes erhalten.
b) F e s t e Eins p ann u n g im F e s t p u n k t
Mit u’(0) = 0 wird
(15) u(x)= A , ( G o f s x - c o s r z ) + A,(r.Ginsx-s.sinrz).
a) 1st dann der Kopf fest mit dem Seil verbunden, so ergibt sich die Bestimmungsgleichung f u r r zu
(16a) cosr = - sinr h, + h , Z g s
hlo+ hll Zg -I- h
(16b)
hl,
X
Z
7
1
._601s
h, = r 8 [ a ~ ’ (-la )(rs+ ~ 2 -) p(1
~
--(1)*{r2s2
(p”+ b’ ”+**I - a 2 @ 2 ( 1 - 2a)***,
hlo= 2 r e s2[(1- a ) * ( r p s 2(p’9+ b’2) +**! + d@*]
- a z ( l -a)@$***,
hll= a (1- a ) (r*+
~
s2)[r9s2($*
+ $9) - r e - a ~ ’ $ ,7
, h,,= a (r4+s4) + 2 (1 - a ) 2 ~ 2{r2s2(g’2f
s2
b“)+**} - a*(1- a) p4***.
W . Meyer zur Capellen. Die Schwingungen usw.
695
da nach (1) im Stab eine Druckkraft wirkt, die das Qorzeichen
von p2 andert, so datl auch die Eigenfunktion eine aiidere
wird. FaBt man (16) als Gleichung in s auf, SO ist in dem
Wert rr) (5) ebenfalls r durch s zu ersetzen und S* mit negativem Qorzeichen zu versehen.
F u r den horizontalen Stab ist r = s zu setzen, da in (1)/i’
verschwindet, so daB in (5) S* gleich Null zu setzen ist, also w
proportional r a wird. Ferner hat man in (16b) bei den mit *
versehenen Gliedern a’ durch -b‘ zu ersetzen, f u r die mit **
angedeuteten Glieder ist a b’ /P einzufugen und schlieBlich sind
die mit *** versehenen Glieder fortzulassen, so daB mit diesen
veranderten h-Werten G1. (16a) giiltig bleibtl), z), auch mit den
angegebenen Grenzwerten r .
Is) Bei rnomentenfreeier Verbindung zwischen Seil und Kopf
lautet die Eigenfunktion
u (z) = G , . [r s (s Gin s + r sin r ) (%of s z - cos r z)
mit der Bestimmungsgleichung fur r
WO
(18b)
h* = rpsa (g‘2 + d ’ Z ) - a p2 d‘ ,
h,, = (1 - a ) (h* - Y2 sa d’2) r s* (@ + SZ) ,
h,,= a ( l - 2 a ) r s @ *- h * ,
h,, = a [2rB8%+ (1 a) @ 4 ] ,
h,, = (1 - a ) s ra( r P sa) ,
h,, = a (2r352 - a 8 4 ) .
-
+
F u r groBe r nahern sich die Losungen von (18) den durch
tg r = 1 gegebenen (vgl. I I a , b), so daB der letzte Knoten in
das Ende des Seiles wandert.
Wird der Stab senkrecht gestellt, so gilt das zu (16) Gesagte. 1st er jedoch horizontal eingespannt, so findet bei
k l e i m Schwingungen keine Kopplung zwischen Verschiebung
und Drehung des Kopfes statt und bei groBen Schwingungen
gelten die Voraussetzungen von (1) nicht mehr. Bei kleinen
Schwingungen ist dann die Masse als punktformig anzusehen,
und es mu8 in (18a) gesetzt werden:
1) Vgl. Anm. 1, S. 694.
2) Dies gilt, ob a klein oder grofl!
696
Annaten der Physik. 5.Folge. Band 20. 1934
woraus die gleichen Grenzwerte fur r folgen, wahrend eine
verschwindende Kopfmasse (E = 1) auf die genaue Gleichung
cos r %of r = - 1 fiir den Stab ohne Kopf fuhrt.
c) G r e n z f a l l d e s i d e a l e n S e i l s
Lafit man in G1. (1)die Biegungssteifigkeit B verschwinden,
d. h. setzt E = 0 oder p = m , so erhalt man die bekannte
Differentialgleichung fur die Schwingungen des idealen Seils
welche unter entsprechender Anwendung der Randbedingungen
unter (9) und (10) und unter der Annahme, da8 (1 a)rn 13,
fur u die gewohnliche Differentialgleichung 2 ter Ordnung
-
u"(x)- r2u(z) = 0
mit
a -1
r2 = mB.__
(20)
9
liefert und
w ) fur die freien Schwingungen. auf die Eigenfunktion
u (2) = C, sin r z und auf die Bestimmungsgleichung
fur r fuhrt, wobei also o proportional r. Fiir die hoheren
Eigenschwingungen strebt r,, den Werten n n zu, so daB der
Knoten in den Endpunkt wandert. Jedoch kann in der zweiten
Eigenschwingung r
nach (21) - unterhalb R liegen, so da6
dann auger dem Festpunkt kein Knoten auftreten kann. F u r
eine punktfcrmige Masse oder fiir d = 0 hat man die bekannte
transzendente Gleichung r - tg r = a 9.
8) Die erxwungenen Schwingungen. Da das ideale Seil
einfachere und iibersichtlichere Formeln liefert, sei hier kurz
die erzwungene Schwingung behandelt, deren Wirkungsweise
im wesentlichen die gleiche bleibt, wenn der Kopf bei endlicher Biegungssteifigkeit momentenfrei mit dem Seil verbunden ist.
Es moge der Anfangspunkt des Seils (z= 0) nach dem
Gesetz 3 (0, t ) = uosin lii t bewegt werden, wenn 6 die Frequenz
der Erregung bedeutet. Man erhalt dann auf Grund des
-
1) Macht man diese Vernachliissigung nicht, so fiihrt die LSsung
auf Besselsche Funktionen. (Vgl. Ann. d. Phys. 8. S. 392f. 1931.)
2) Diese Gleichung kann auch aus den friiheren mit @ = m erhalten werden, wenn nach (6) mit b = 0 a durch d ersetzt wird und b
verschwindet.
3) Vgl. H a m e l , Elementare Mechanik.
W . iMeyer xur Capellen. Die Schwingungen usw.
697
H e r s c he1 schen Prinzips (die erzwungene Schwingung folgt
dem Takte der Erregung) mit dem Ansatz jj ( 2 , t) = a (x) sin 0 t
die Losung
~ ( x=) a,(cos ? z + B sin T z ) ,
(22)
wo
1
F = G 1. S ” . -L = G a. (nach G1. (5)
(23)
-
-
9
9
und B eine aus der Randbedingung (9) mit p = a,
bzw. B = 0
folgende Konstante ist, so daB man mit ihrer Auswertung f u r
das Seilende II: = 1 oder x = 1 die Amplitude
(24 a)
und f u r die Amplitude der Schwerpunktsbewegung den Wert
(24 b)
hat, d a
a,=
-.N.
U,
N
[ p p ’ p - ua.1
q j = - L . - a- . . n P d ‘ sin
(244
1
1V
wo
(24d) N = u cos F [ 7 2 ( p ’ 2 + a2)- ud’]- 7 sin F [ ~ ‘ Q ’ ~ - C L ~ ’ ] .
Das Verschwinden von N liefert die mit den Eigenfrequenzen
zusammenfallenden Resonanzfrequenzen nach (21).
Bemerkenswert ist hierbei die vom Doppelpendel her bekannte Erscheinung, dab bei bestimmter Erregungsfrequenz
der Seilendpunkt sich nicht bewegt, da a(Z)verschwindet, der
Kopf sich also urn den ruhenden Qerbindungspunkt V dreht
und daB bei anderer Frequenz asverschwindet, d. h. der Schwerpunkt ruht und der Kopf sich urn den Schwerpunkt dreht
) 0).
(wobei beilaufig ~ ’ ( 1 =
Hinsichtlich der Knotenbildung in der Resonanz sei auf
das oben unter a) Gesagte verwiesen.
111. Annaherung durch Ruckfuhrung auf ein System
von zwei Freiheitsgraden
a) A 11 gem e i n e r G e dank en g an g
Die Gleichungen zur Bestimmung der r - bzw. der s- und
damit der o-Werte sind insbesondere f u r die niederen Frequenzen, wo noch keine Vernachlassigungen vorgenommen
werden konnen, verhaltnismagig umstandlich. Um Annaherungsformeln zu finden, die wenigstens die Grund- bzw. die
erste Oberschwingung hinsichtlich der Frequenz zu ermitteln
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 20. 1934
698
gestatten und auch als 1. Annaherung fiir die genaueren
Qleichungen fur die r -Werte dienen konnen, betrachten wir
die Bewegung des im Verhaltnis zur Stabmasse groBen Kopfes
fur sich, d. h. eine Bewegung von zwei Freiheitsgraden. Diese
erfolgt unter dem EinfluB eines Potentials, das durch die an
der Verbindungsstelle ( V ) iibertragenen Moniente und Krafte,
also durch Schwerkraft und Elastizitat bedingt ist.
Fiihren wir als Lagekoordinaten die Verschiebung y* (t)
des Punktes V in der y-Richtung [oben y (1, t ) ] und den Winkel y
der Drehung des Kopfes ein, so hat das Potential U(y*,
die Form
+
u = +ally*2- a 1 2 Y* 9"
(25)
und die Bewegungsgleichungen lauten:
(26) M ,
d By*
d
t.L + M , . d . -!?d.!?
t2
+j
a22
9,?
aU
= - -= - a11 Y*
3Y*
I
=
+
0112
Y,
- 01.22 'p + U]2y".
Mit dem einer harmonischen Schwingung entsprechenden
Ansatz y* = K , sin w t L, cos GI t , a = K , sin w t + L, cos w t
folgt aus (26) und (27) die zur Bestimmung der beiden Frequenzen dienende, in w2 quadratische Gleichung:
+
(28) (ell - @),
- p2,- +P)
= (wI2)2+
w 2 a .
(2wlz + ~ ~ , a ) 1 ) ,
-
wo die iiberstrichenen Werte Ciik= 2
%
Mit w2 als VerM P
anderlichen kann man sich die Losung von (28) veranschaulicht
denken durch den Schnitt der die linke Seite darstellenden
Parabel mit der die rechte Seite darstellenden Geraden, welcher
Darstellung zudem - anschaulich - die f u r reelle Werte o
(w2
0) folgende Bedingung
(29)
@I, 0122 = z 07
d. h. die Bedingung fu r stabile Gleichgewichtslage zu entnehmen ist.
1) Es wird also
y* = El'
sin w1 t
+ L,' cos w1 t f K," sin w2 t f L2" cos w2 t ,
und entsprechend
cp = K; sin o1t + LpI cos o1t + K," sin w2 t + L2" cos w, t ,
wobei die Konstanten aus Anfangslage, Anfangsgeschwindigkeit und
aus (26) nnd (27) folgen.
W . Meyer xur Capellen. Die Schwingungen usw.
699
Zur Bestimmung der 3ari,.-Werte lasse man auf das bei
Vernachlassigung des Eigengewichtes unter der konstanten Zugoder Druckkraft G, stehende Seil im Endpunkte - der Verbindungsstelle V - eine in der x-y-Ebene gelegene Xraft senkrecht zur x-Achse und ein Moment M (als Vektor senkrecht
zur x-y-Ebene) wirken (letzteres unter der Voraussetzung, daB
bei V Momente iibertragen werden konnen), berechne die zusatzliche Biegelinie yo(x) und ihre Neigung yo' (2). Dann haben
Durchbiegung und Neigung fur x = 1 fur kleinen Winkel y,
der also [vgl. oben G1. (6)] annahernd gleich y,,'(Z), die Form
(30)
{
30
(4= Y* =
(p = c,,
c11
Y,'(Z)
p
p
+
+
c1,
C2*
M,
M,
wobei nach dem Maxwellschen Verschiebungssatz c,, = czl.
Hieraus folgt aber umgekehrt f ur angenonimene Werte y*
und sp
(31a) P = uI1y* - elacp und
M = a z a Y - a i z Y" 7
so daS mit
= C11Czz - 2
0 7 d. h. A =
(31 b)
(=
%)?
die Beiwerte aikzu
(31 c) ull = c2, A , cyZ2 = ell A und aI2= el, d
folgen.
Wenn die Verbindungsstelle V zwischen Kopf und Seil
keine Momente ubertragen kann, wird go' nicht gleich y, und
es verschwindet c,, und damit al,.
Formal rechnerisch hat man also die Differentialgleichung
der zusatzlichen Biegelinie, die formal mit der der Gleichgewichtslage [vgl. (31. (1)]ubereinstimmt, namlich g,, - B2
':g =.O
zu integrieren, wenn hier, bei Vernachlassigung der Eigenmasse in
der Aufstellung der Bewegungsgleichungen, p 2 den gleichen
mTert wie oben hat. Die Integrationskonstanten ergeben sich
aus der Art der Einspannung und den Randbedingungen ftir
x = 1, welche - fur die xusatxliche Biegelinie - lauten:
-
P
-
+ E 1 - go''' (Z) - G,
.
(1) = 0 ,
M--EI.~,"(I)-a.G,.jj,'(Z)=
0,
wobei f i b eben diese Linie b nicht in Frage kommt {vgl.
(324
(32b)
*
:j
G1. (6) und (711.
Werden keine Momente ubertragen, so bleibt nur (32a)
bestehen und es mu8 gi'(Z) verschwinden. Statt (32b) hat
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 20. 1934
700
-
man d a m M
d .G 2 . ‘p = 0, so daB, wenn auch g,,”(0) verschwindet, die Beiwerte a sofort hingeschrieben werden kijnnen
[vgl. 111b ,9] ’).
b) B e i w e r t e f u r m o m e n t e n f r e i e E i n s p a n n u n g i m F e s t p u n k t
a)
Kopj fest cerbunden: Dieser der G1. (12) entsprechende
Wert liefert die Beiwerte
I-
Ull
(33)
= -( 2 9 B -t a l p ) ,
I-N,
aaa= -52- “29
8-
$1
B + a’ BY - a‘
+
Pg281 1
sg 1,+ a’@(8- Zg?),
und die Forderung fur stabile Gleichgewichtslage Sg 6 + a.’pgO,
a,,
9 2 g P csgp
@Nl
= __
U’B)
,
wo N = 2 g @(1-
so daB eine labile Gleichgewichtslage nur fiir einen negativen
Wert a eintreten kann. Leicht lassen sich auch Vereinfachungen
erreichen fiir kleine Biegungsteifigkeit, d. h. 1w 0 und groBe
P2
Biegungssteifigkeit, d. h. 8‘ EI 0.
Is) Kopf momentenfrei verbundert : Wir erhalten [vgl. auch
G1. (1411 Ell= f,$12 = 0 , E22 = g d , d. h. es liegt der Fall
einer Kopplung zwischen mathematischem und physischem
Pendel vor, der ohne weiteres hatte angegeben werden konnen.
Eine Verbesserung wiirde die Beriicksichtigung der Eigenmasse
des Seiles liefern, um so eher, je steifer das Seil ist (physisches
Doppelpendel).
.
c) B e i w e r t e fiir f e s t e E i n s p a n n u n g i m F e s t p u n k t
a) Kopj’ fest verbunden: Wir miissen wie oben [Gl. (16) u. f.]
die Lage des Kopfes zur Einspannstelle beriicksichtigen und
erhalten :
1. beim hangenden Stab:
-
(x,l
-
.
= - ___
’.Bin’
.Q
1
1-g
= __ [’Eoi
B NP
(Xs3
= --
Na
, wo
ivy=@ G i n ? + ~ ( 1 &of$),
-
fl2
8 - Bin 6 + a’ @{@Bin - 2 (KO!
- I)\],
- (6ofB - 1)
1) In der S. 689 angefuhrten Arbeit ist fur den fest eingespannten
dieser Weg durchgefuhrt unter Vernachlassigung des Einflusses der
Zug- bzw. Druckkraft Ge.
W . Meyer xur Capellen. Die Schwingungen usw.
701
mit der Forderung Gig /? + a'@& 0, welche nur durch einen
negativen Wert a nicht erfullt wird;
2. beim waagerechtelz Stab:
-
12g
all = 7
l . 6 (1
(35)
mobei
p2 b' 2 1,
-
@S
b') ,
if,, =
-
13
ell 7
3 ,
fTl* = ii,l
1
T,
d. h. G, b 1 & E I sein muB;
3. b&m stehendelz Stab:
,
wo N , = 2(1
- c o s @ )- @Gin(?,
begrenzt durch die Forderung ctg@- a'@ 0, so da8 eine
labile Gleichgewichtslage nur fur einen positiven a-Wert eintreten kann, d. h. wenn der Schwerpunkt oberhalb der Verbindnngsstelle V , oder wenn a = 0, fur den Wert /? = +.
@) Kopf momentenfrei verbunden: In gleicher Weise wie
unter I I I c 01 [vgl. auch GI. (IS)] mussen wir drei Falle unterscheiden und erhalten zunachst gemeinsam:
-
cc22
=g.
a
und
z12= 0 ,
aber
1. beim hangenden Stab Ell = - __-6
B-SSB
2
- Q P'- 6
stabiler Gleichgewichtslage,
2. beim stehenden Stab Zll
= -!!schrankung, daB
5 %,
3. beim waagerechten Stab
1
mit immer
mit der Ein-
~
zl1= - E I mit
8" = M2-P
~
immer
stabiler Gleichgewichtslage [vgl. G1. (18c)].
Wie oben unter I I I b 01 angegeben, konnen Vereinfachungen
fur kleine oder groBe Biegungssteifigkeit getroffen werden.
Und so wird durch @ = 00 der Fall des reinen, unter I I I b / ?
angegebenen Seils mit a = d erhalten, wie auch oben bei den
transzendenten Gleichungen angedeutet wurde.
IT. Zusammenfassung
Es wurden die Schwingungen des biegungssteifen Seils, d. h.
eines Seils, dessen Elastizitatsmodul nicht vernachlassigt werden
kann, unter der Annahme, daB die an einem Ende befestigte
702
Annalen deer Physik. 5. Folge. Band 20.
1934
Masse groB ist im Verhaltnis zu der des Seils an sich, wesentlich im Hinblick auf die Eigenfrequenzen untersucht. Da die
Formeln zu deren Bestimmung z. T. langwierig sind, wurden
far die beiden ersten Frequenzen Annaherungsformeln hergeleitet, die zugleich die Bedingungen stabilen Gleichgewichts
ergeben. Da das reine Seil nur ein Grenzfall des biegungssteifen ist, wurden auch die Sonderfalle des waagerechten und
senkrecht stehenden Stabes erortert.
Eine feinere Unterteilung hatte noch dadurch erfolgen
konnen, daB man beim fest eingespannten Seil (bzw. Stab, wie
es in der auf S. 689 angefuhrten Arbeit geschehen ist) allgemein
den Winkel 6, den die Tangente des Stabes an der Einspannstelle mit der Waagerechten bildet, eingefuhrt hatte. Jedoch
wurde davon abgesehen, da die Grenzfalle, namlich 6 = 90°,
c = - 90° und cr = 0 angefuhrt wurden und die Unterschiede
im allgemeinen nicht pol3 sind.
Da die Resonanzlagen bei erzwungenen Schwingungen
durch die Bestimmung der Eigenfrequenzen gegeben sind,
wurde nur fur einen Fall, den des reinen Seils, die erzwungene
Schwingung erortert.
A a c h en.
(Eingegangen 29. Juni 1934)
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