close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Die Schwingungsdauer und Dmpfung asymmetrischer Schwingungen.

код для вставкиСкачать
1111
S . D i e Schwirbg ungsd auer
und D&rnpfumg aq~rnrnetrischer8chwingumgen;
v o n IF. A. S c h u l x e .
L)ie Eigenschaften der asymmetrischen Schwingungen,
welche entstehen. wenn die Kraft bez. das Drehungsmoment,
welche das aus der Ruhelage abgelenkte System in diese
zuriickzufuhren bestrebt ist , fur entgegengesetzt gleiche Ablenkungen iiicht denselben absoluten Wert hit, sind kiirzlich
von F r a n z R i c h a r z und P a u l Schulze’) untersucht worden.
Sie haben hauptsachlich fur mchrere Falle asymmetrischer
Schwingungen die Abhangigkeit der Asymmetrie der Schwingungen von den ubrigen bestimmenden physikalischen Grossen,
sowie den allgemeinen Zusammenhang zwischen der Asymmetrie
der Schwingungen und der Asymmetrie der Ablenkungen entwickelt und durch Versuche numerisch bestatigt.
P a u l S c h u l z e 2 ) hat sodann an dem speciellen Beispiel
des Unifilarmagnetometers gezeigt . wie sehr man unter Umstanden in praktisch wichtigen Piillen auf diese Asymmetrien
Rucksiclit nehmen muss.
Be; dieser Wichtigkeit der asymmetrischen Schwingungen
und der Haufigkeit ihres Vorkommens durfte es gelegentlich
von Nutzen sein, Ansdrucke fur die Schwingungsdauer und
Pampfurig asymmetrischer Schwingungen, wenigstens fur kleine
A mplitnden, zu besitzen, die im Folgenden gegeben werclen sollen.
1. Die Schwingungsdauer tuymmetrischer Schwingungen.
Wie F r a n z R i c h a r z u. P a u l S c h u l z e 3 ) gezeigt haben,
ist die Differentialgleichung der asymmetrischen Schwingungen
fur kleine Amplituden von der Form
K
~
dPN
na
= - d f ” (0) - - f ” ’ ( O ) ,
dt
2
1) F. Richarz 11. P. S c h u l z e , Ann. d. Phys. 8. p.348. 1902; die
ausfiihrlichen Rechnongen vergleiche in der 1naug.-Diss. von P. S c h u 1 z e,
Greifswald 1901.
2) P. S c h u l z e , Ann. d. Phya. 8. p. 714. 1902.
:ii F. Richnrz u. P. S c h u l z e , 1. c. p. 362.
F. A. Schulze.
1112
wo u die Ablenkung aus der Ruhelage, K das Tragheitsmoment ist; f' ist eine Function yon u, die noch die der jeweiligen Aufgabe eigenen Parameter enthalt; sie zeigen ferner,
dam, wenn u = + 19. der eine Umkehrpunkt ist, der andere
Zur Abkurzung sei
gesetzt; die beiden Umkehrpunkte sind dann
cc = + 6 und
a! =
- 9.-
2 cz
S F
7Y2.
Die Integration der Bewegungsgleichung liefert:
Die Dauer der Schwingung von einem zum anderen Umkehrpunkt wird also:
19
- 9.- y35
$2
Cl
also ein elliptisches Integral erster Gattung.
Auf die Normalform mird dieser Ausdruck gebrrtcht durch
die Substitution :
-~
dz
~
~~
at 1 (5 - n2)(z-
Hierbei sind ul,
__
a31
u 2 , u3
c1 (192
=+
2 l/k
l/S ( a , - aB) 1/(1
dx
-9) (1
die Wurzeln der Gleichung
- d)+ gc,
Diese sind annahernd :
=+a,
(793
- 013) = 0.
- k2x 2 ) '
1113
Asymmekische Schwingungen.
ferner ist
i
f
= - + c g , mithin
dx
Est ist nun
Durch Einsetzen der Werte von u l , uz,us wird der Nenner,
indem man wieder nur Glieder von der Grossenordnung iF2
berilcksichtigt :
Hieraus folgt nach einigen Urnformungen unter Benutzung bekannter Annaherungsformeln fur 1/1 + 6 und 1 / 1 / 1 + 8, wo 6
klein gegen 1,
-~
I
.
nun i a t
Annslen der Phyalk. IV. Folge. 9.
72
1114
F. d. Schulze.
Wie es sein muss, geht der Ausdruck fur c2 = 0 in den
bekannten Ausdruck fur die Dauer der gewohnlichen ,,elastischen"
Schwingungen uber.
Beim gewohnlichen Pendel gilt, falls man noch a3 berucksichtigt, die Gleichung
sobald also c, / c1 nur etwa den Wert 0,4 ubersteigt, ist die
asymmetrische Schwingung schon bedeutend weniger isochron,
als die symmetrische Pendelschwingung ; mit Zunahlne von
c, /cl nimmt die Abweichung vom Isochronismus sehr schnell zu.
Es hatte keine principielle Schwierigkeit, die Schwingungsdauer der asymmetrischen Schwingungen zu berechnen unter
Beriicksichtigung der Glieder mit u s , also allgemein eine
Schwingung, die nach der Gleichung
d'cx
= - c, CL - c, u2 - c3 u3
(1 ?i
vor sich geht. Die Schwingungsdauer wiirde sich dann wieder
als ein elliptisches Integral erster Gattung darstellen ; die
Umkehrpunkte miissten in analoger Weise berechnet werdeii
wie in dem vorigen Fall ; wobei aber nun eine cubische Gleichung
aufzultisen ware. Im ganzen wiirde die Rechnung erheblich
complicirter werden, ohne die Einsicht in die Sache wesentlich
zu erhohen. Falls, wie in den meisten vorkommenden Fallen, c3
dasselbe Vorzeichen hat wie c1 , so wiirde in dem Ansdruck
fur T sich der Factor von 19, noch grosser, die Isochronie
also sich noch geringer ergeben.
und
Fur ganz kleine Elongationen wird also T = n /
es hangt also die Aenderung der Schwingungsdauer gegen die
normale symmetrische ab von der Art, mit der sich c1 niit der
die Asymmetrie bedingenden Ursache andert , uber die sich
natiirlich allgemein nichts aussagen lasst. I n den beiden von
F. R i c h a r z und P a u l S c h u l z e naher betrachteten Fallen
asymmetrischer Schwingungen wird, wie man leicht sieht, rnit
zunehmender Asymmetrie c1 kleiner , also die Schwingungsdaner grosser.
1115
dsymmetrische Schwingungen.
Die abgeleitete Formel fur die Schwingungsdauer wurde
an den Schwingungen eines durch Torsion aus dem Meridian
abgelenkten unifilar aufgehangten Magneten gepriift. Die
Bezeichnungen sind dieselben wie die von F. R i c h a r z und
P a u l S c h u l z e benutzten. Der Magnet bilde also mit dem
Meridian den Winkel y, wenn der Torsionskopf um den Winkel w
gedreht ist ; (9. sei die maximale Elongation nach der tordirten
Seite hin , 1’ die Schwingungsdauer in Secunden. Bezuglich
der Versuche selbst sei nur bemerkt, dass hierzu eine Coulomb’sche Drehwaage mit cylindrischem Glasgehause benutzt wurde,
an der sich eine Gradteilung befand, vor welcher das Magnetende vorbeistrich, sodass die Drehungswinkel bequem abgelesen
werden konnten. Die Schwingungsdauern selbst wurden mit
einer ‘Is Sec. angebenden Arretiruhr gemessen. Die allgemeine
Bewegungsgleichung ist hier l)
Fiir Schwingungen, bei denen nur die quadratischen Qlieder zu
beriicksichtigen sind, wird hieraus :
K ist das Tragheitsmoment des Magneten, D durch das vom
Erdmagnetismus auf ihn ausgeubte Drehungsmoment gegeben.
Es ist also
c =
2
-
I ) .
2K
s1ny.
Ohne B und K zu messen, lasst sich die Formel fur T so
prufen, dass man die beobachteten Quotienten der Schwingungsdauer fur die betreffende asymmetrische und die symmetrische
bei y = 0 stattfindende Schwingung mit den berechneten vergleicht, worauf es ja auch nur ankommt. 19, und y sind in
Graden angegeben.
~
1) F. Richarz u. P. S c h u l z e , 1. c. p. 350.
‘13*
1116
3'. A. Schulze.
Unter Tb, sind fur 9. = 0 die aus dem Wert von
berechnenden Werte
Tber.
=
c1
sich
T~=O,,,o
angegeben; fur 9.>0 jedoch ist dann der fur 9.=0 beobachtete Wert zu Grunde gelegt,
'her.
{l +
= '@=Oboob.
da es sich j a hierbei nur um den Einfluss von 9. handelt.
Es ist hierbei noch additiv zu 9.= der fur die gewohnlichen
symmetrischen Pendelschwingungen unter Berucksichtigung
von ma hinzutretende Factor
hinzugefugt, urn diesen Einfluss
mit einzufiihren. Uebrigens ist & bei den Versuchen nur
bis etwa y = 30° noch von gleicher Grassenordnung wie
&(c,/cJ2;
fiir grassere Winkel tritt .& ganz zuruck hinter
pZ (ca/cJ2. Unter &o,.
sind fur 9 = 0 diejenigen Werte angegeben, der sich T nach der graphischen Extrapolation mit
abnehmendem 9. asymptotisch niihert.
Die mitgeteilten Versuche sind beliebig aus dem Versuchsmaterial herausgegriffen.
1. w = 00, y = 00.
- ~~~~
00
6
12
18
3.
I
'
~
GI
2.
~ _ _ _ _ _
~
'beob.
~
11,84
11,84
11,88
11,91
____Tber.
'
,
I
-
11,87
11,92
= 540°, y = 57,3O.
~
-~
Oo
6
l2
18
GI
= 360°, y = 34,4'.
I
1
,
~
I
'beob.
12,94
12,95
12,96
12,99
I
1I
1
Tber.
12,92
12,95
12,98
13,02
4. o = 620°, y = 70,3O.
4
____
00
6
12
in
15,48
15,52
15,64
15,80
I
~
15,50
15,52
15,63
15,85
00
6
12
18
18,70
18,78
19,20
19,68
18,80
18,SO
19,lO
19,80
1117
Asymmetrische Schiuingungcn.
5. o = 650", 7 = 78,05".
--'-/Tieob.
-
6.
Tber.
~
o
=
660°,
4
Tbeob.
00
6
12
25,84
26,40
28,30
~
I
0 0
6
12
18
22,28
22,53
23,50
24,20
1
1
1
22,49
22,53
23,28
24,26
7.
7 = 82,8".
-~
i
1
Tber
_
_
26,30
26,30
28,08
o = 670°, y = 87,0°.
Wie man sieht, wird die abgeleitete Formel gut bestatigt;
es ist deutlich zu sehen, wie mit wachsender Asymmetrie mit
steigenden Werten von y die Schwingungen immer weniger
isochron sind.
2. Verteilung der Schwingungsdauer auf die Elongationen
rechta und
link8
von der Nulllage.
Es moge noch auf eine eigentumliche Eigenschaft der
asymmetrischen Schwingungen hingewiesen werden, die sich
ergiebt, wenn man berechnet , wie sich die Schwingungsdauer
von der einen Elongation zur anderen verteilt auf die Strecken
rechts und links von der Ruhelage.
Fiir die Ruhelage x = O wird
I-%.
Nun ist
also zo =
_
F. A . Sehulze.
1118
Daraus bei Anwendung bekannter Naherungsformeln:
ferner ist
daraus wieder in erster Annaherung:
-1
+1
Die Viertelschwingungsdauern zu beiden Seiten dieser
Ruhelage werden also ungleich; denn es ist
0
annahernd gleich
Less
3
q
Jdz(l+
GJ(l+kszZ')
0
=Jdz(1+-2-9
1
1
0
also annahernd gleich Q c2 / c , 19.
Die beiden Schwingungsdauern rechts und links von der
bezeichnet werden mijgen, sind
Ruhelage, die mit T, und
demnach annahernd
I m vorliegenden Beispiel, wo
T,> I T und
,
zwar ist
T1 -
r __
- +.,!
c2/c1
1
el
,'j
negativ ist, ist also stets
+ &($)*,W
7
1119
Asymmetrische Schioingungen.
Aus den Ausdriicken fur T, und T . folgt nun ferner die
eigentiimliche Thatsache, dass zwar i", mit abnehmender Elongation. wie zu erwarten, abnimmt, nicht aber Tr; I , wachst
vielmehr mit abnehmender Elongation; fiir 9. = 0 nahern sich
schliesslich 1; und T, asymptotisch dem gleichen Wert.
Da TL- Tr von der Grossenordnung von 9. ist, so sind
die Unterschiede zwischen
und 1: recht betrachtlich.
Die gezogenen Folgerungen wurden durch die Versuche
gut bestatigt, wie folgende Tabellen zeigen.
y = 33,30.
1.
Hier waren die Zeiten zu kurz und einander zu nahe gleich, um
mit der Arretiruhr geniigend genau gemessen werden zu konnen.
y = 50,l".
2.
7:
'-
y, 5 beob.
T,
--
T
6O
12
7,s
7,s
7 12
7,o
0,020
0,053
19
870
678
0,08 1
3.
Tr ber.
____
~-
~~~
0,022
0,044
0,07 1
y = 70,3O.
____
I
T(- Tr
r
3
____
T T
T
_ _ _ _ ~
~~~
~~~~
~~
~~
I
9,s
10,3
11,4
60
12
18
3
ber.
T
-beob.
970
898
0,042
874
0,15
'
~
~~
0,045
0,09
O,l5
0,08
4. y = 78,25'.
__
____
4,T-r
~
~-
6O
12
18
--
12,2
13,O
14,6
Tr
10,6
10,o
9,G
I-
beob.
I
1
I
ber.
~
~-
~
0,074
0,131
0,212
0,068
0,136
0,227
F. A. Schulze.
1120
Man erkennt deutlich wie Tlmit 9. zunimmt, I, dagegen
mit wachsendem 9. abnimmt. Da die Rechnung nur angenahert,
und die Zeitmessungen nur auf ’1, Sec. genau sind, so diirfte
die Uebereinstimmung zwischen Beobachtung und Rechnung
befriedigend sein.
Im allgemeinen ist also bei sehr geringer Asymmetrie
auch die Abweichung der Schwingungsdauer von derjenigen
bei symmetrischer Anordnung ebenfalls nur gering. Immerhin
wird auch bei geringer Asymmetrie auf die durch sie bedingte
Aenderung der Schwingungsdauer Rucksicht zu nehmen sein,
wo es sich um genaue Messungen handelt, z. B. bei Bestimmung
von Tragheit,smomenten, bei der Gauss’schen Bestimmung der
Horizontalcomponente des Erdmagnetismus und dergleichen
Namentlich durfte hier auf etwaige elastische Nachwirkung zu
achten sein, die leicht Asymmetrie in die Schwingungen hineinbringen kann. Auch bei Messungen von dchwingungsdauern zur
Bestimmung der Erdschwere mit dem Pendel kiinnte sich die
Schwingungsdauer merkbar andern, wenn etwa seitlich in der
Erde grosse Metallmassen liegen.
3. Dampfung der asymmetriechen Schwingungen.
Zum Schluss sei noch ein Ausdruck fur die Elongationen
asymmetrischer Schwingungen unter Beriicksichtigung der
Diimpfung gegeben. Bei Einfiihrung einer der Geschwindigkeit proportionalen Dampfungskraft bekommt die Differentialgleichung der Schwingung die Form :
dBa
__ =
d t2
- c,
c(
da
- cz uz - 2 b -.
dt
Multiplicirt man beiderseits mit duldt und integrirt zwischen
den Grenzen to und t l , so kommt:
t.
to und tl seien nun die Zeiten zweier aufeinander -folgender
Umkehrpunkte, die bei den Werten a! = + 9. und u = 9.’ liegen
mogen. Die linke Seite wird dann Null. Die Berechnung des
Integrales der rechten Seite , die streng durchzufiihren sebr
schwierig sein wiirde, wollen wir unter der Annahme fuhren,
dass die Schwingung symmetrisch und ungedampft sei. Diese
1121
Asynimetrische Mtcinyungen.
Annahme wird, wenn die Reibung und Asjmmetrie nicht sehr
gross ist, den Wert des Integrales nicht erheblich gegen den
w a k e n andern, da der Integrand d a l d t seine grossten Werte
in der Nahe der Ruhelage u = 0 hat , wo also der Einfluss
des die Asymmetrie bedingenden Gliedes mit u2 verschwindet,,
dagegen dccldt klein wird fur grossere a. Bezeichnet T wieder
die Schwingungsdauer zwischen zwei aufeinander folgenden
Umkehrpunkten, so wird
t0
9. ist die maximale Elongation.
0=
+ c1 $ a +
Obige Gleichung wird dann
T
- +cz9'3
c, S ' a
+c2 rP3-
+4bz92C1.
Fiir die ungedampfte Schwingung (6 = 0) ist
I?;=,,
= - Iy
-+
c1
$2;
fur die gedampfte Schwingung sei t9' =
(1 - d) . 0 sei
so klein, dass die Glieder mit J2 etc. zu vernachlassigen sind.
Bei Einfuhrung dieses Wertes von 8' in die obige Gleichung
ergiebt sich nach einfacher Rechnung, wenn man berucksichtigt,
dass c1 t92 - $ c, tP3 - c1 #,a=
- g c, i&,8=o= 0 ist :
= 6 T--
8%
1
-
41.'? + ?:
b=O
c1
4'3
b=O
setzt,
oder, wenn man annahernd hierin :t. =
ist c2/cl $ klein gegen 1, so wird
&=hT(l-
Fur c2 = 0 geht dieser Ausdruck bei nicht zu grosser
Diimpfung uber in denjenigen der ,,elasti~chen~~
gedampften
Schwingungen ; fur diese ist ja bekanntlich
~~
" = e-bT= 1- h ~ + .
9
..
E . 8.Schulze.
1122
Es ware leicht, in dieser Berechnung von S auch die
Glieder mit S2 zu beriicksichtigen; da es sich aber nur um
angenaherte Berechnung haudelt, sei davon Abstand genommen.
Ist, wie beim Unifilarmagnetometer, c2 negativ, so ist die
Dampfung bei der asymmetrischen Schwingung grosser als
bei der symmetrischen ,,elastischen" von gleicher Schwingungsdauer.
Der gefundene Ausdruck von 6 giebt, um bei dem Beispiel des Unifilarmagnetometers der Anschaulichkeit halber zu
bleiben, an, wie gross nach der Seite hin, nach welcher nicht
tordirt ist, der Ausschlag bei Diimpfung wird, wenn man nach
der Seite hin, nach welcher tordirt, ist, den Magneten um den
Winkel 9 aus der Ruhelage gedreht hat. Entfernt man umgekehrt zunachst nach der nicht tordirten Seite hin den Magneten um - i? - c,/cl a2aus der Gleichgewichtslage, so wird
der Umkehrpunkt auf der tordirten Seite: iF(1 - S), wo 6
denselben Wert wie oben hat, was sich durch eine der obigen
ganz analoge Rechnung ergiebt.
Man erkennt leicht, dass der reciproke Quotient je zweier
nach derselben Seite aufeinander folgender Elongationen (1wird. Da nun S abhangig ist von 9, so sind diese Quotienten
nicht wie bei der symmetrischen Schwingung constant, sondern
nbhangig von der Elongation 9, und zwar ist, wenn el und e2
zwei aufeinander folgende Elongationen nach derselben Seite
sind:
= (1 - 8)2 = (annahernd) 1 - 2 b (
'Y 1 - 19)
(1)
+
el
%
Fur ca = 0 entsteht wieder der Ausdruck fur die symmetrische
Schwingung e,/el = 1 - 2 b T, dem sich fur abnehmende 8
auch bei asymmetrischen Schwingungen e2 /el asymptotisch
nahert,.
Aus (1) folgt noch
Diese Formel wurde wieder an demselben Unifilarmagnetometer gepruft. Da hier c, negativ ist, so wachst das Dampfungsverhiiltnis mit zunehmender Amplitude. Der Wert von b wurde
am Versuchen bei untordirter Aufhangung (y = 0) ermittelt,
und unter Benutzung der experimentell ermittelten Werte
1123
dsymmetrische "3chwinyungen.
von 1' die Werte voii
'g-'
Es fand sich fur
berechnet.
el
E = el
-e2
.
el
1. 1' =
ou.
%cob
9
._
~-
3
El,,,
~~~~
0,020
>
o,mo
10
0,020
0,020
0,022
15
'LO
0,027
0,028
0,029
0,031
0,033
(10
5
10
15
20
~
~~
Y
Eber
Ebeob
0,028
0,029
0,030
0,032
0,034
4. y = 52,2'
= 73,OO.
~
Y
Ebeob
~~
0 0
y
61,9".
=
~
~
3.
y
2
&beob
Ehe,
~~
~
~~
00
5
10
15
20
~~
0,033
0,036
0,038
0,041
0,045
~~
~
0,033
0,037
0,040
0,044
0,047
~
0 ')
0,042
0,047
0.051
0 062
3
10
15
5. y
=
1
0,042
0,049
0,053
0.065
s4,30.
~~
4 , r
0,045
0,054
0,064
Die beobachteten Werte sind durchweg etwas kleiner als
die berechneten ; das Anwachsen von E mit 9 bei zunehmender
Asymmetrie ist deutlich erkennbar.
M a r b u r g i. H., Physik. Inst. d. Univ., September 1902.
(Eingegangen 1. October 1902.)
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
437 Кб
Теги
schwingungen, die, asymmetrische, dmpfung, schwingungsdauer, und
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа