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Die Sommerfeldsche Bodenwelle.

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Die Sommerfeldsche Boden welle
Von Bernhard Kockel
Mit 7 Abbildungen
Inhaltsiibersicht
Obgleich eine in den letzten Jahren erschienene Arbeit den Titel ,,Oberflachenwelle und kein Ende" trug, sol1 in dieser Arbeit noch einmal in moglichst einfacher Weise die Sommerfeldsche Behandlung des Problems
dargestellt werden. Die Diskussion uber den Begriff ,,Bodenwelle" befindet
sich in Abschnitt 7. Zur Polemik uber das Sommerfeldsche analytische
Verfahren tragt Abschnitt 8 zwei numerische Beispiele bei.
In wenigen Jahren konnen wir das 50jahrige Jubilaum der Arbeit S o m m e r f e Ids1) ,,uber die Ausbreitung der Wellen in der drahtlosen Telegraphie"
feiern, in der er das Problem des Ssnders uber einem leitenden Halbraum behandelte. Man sollte meinen, da13 in dieser langen Zeit ausreichende Klarheit
uber die Ausstrahlung eines solchen Senders erreicht worden ist. Eine in den
letzten Jahren entstandene Diskussion2) zeigt aber, da13 das nicht so ist.
Dadurch ist es vielleicht gerechtfertigt, das Problem noch einmal in moglichst einfacher Form zu behandeln, wenn auch eine der Arbeiten der letzten
Zeit schon den - berechtigten - Titel trug: ,,Oberflachenwelle und kein Ende".
1. Beziehungen fur Vektorpotential und Feldstlrke
In der Hohe h (Abb. 1) uber der Trennebene zwischen zwei durch die
Dielektrizitatskonstantenund Leitfahigkeiten E , u - EE, 03 gekennzeichneten
Abb. 1. Koordinaten und Bezeichnungen
A. Sommerfeld, Ann. Physik [4] 28, 666 (1909).
Th. Kahan u. G . Eckart, C. R. Paris Acad. Sci. 226, 613 (1948); J. Physique
Radium [VIII] 10, 166 (1949); Physic. Rev. 76, 406 (1948); Archiv elektr. tfbertrag. 6,
26, 347 (1961); H.O t t , Archiv elektr. Obertrag. 6,16, 343 (1961); Z.Naturforschg. 8a,
100 (1963).
10
Ann. Physik. 7. Folge. Bd. 1
l)
2,
146
Annalen der Physik. 7. PO@. Band 1. 1958
Halbraumen befindet sich ein vertikaler schwingender Dipol der kleinen Lange 1,
in dem der Strom J e - i w t flieBt. Dann sind elektrisches und magnetisches
Feld in beiden Halbraumen ableitbar aus einem Vektorpotential B, das niir
eine Vektorkomponente '$Is hat, nach den Beziehungen
GauBsche Einheiten
@
iw
=7
$j = rot
(af
1
grad div
Praktische Einheiten
0 = i w (a %1 g r a d d i v a )
+
a)
$j = -rot
1
B
PO
wobei die HilfsgroBe k definiert ist durch
und die GroBe A , das Vektorpotent,ial ohne den Zeitfaktor
J1
".
Intensitatsfaktoren bzw. -4 nc
e-iwt
und die
sich fur die heiden Halhraunie ergibt zu
~
(3)
+W
Die Ableitung dieser Formeln ist bereits in die Lehrhucher3) eingegangen und
kann dort nachgelesen werden. Zur Verifikat,ioii genugt es, sich davon zu
iiberzeugen, daB in der Nahzone des schwingenden Dipols die Felder richtig
wiedergegehen werden und dal3 die Grenzbedingungen
erfullt sind, nohei man Gebrauch rnarhen muB von der Formel
+W
Die Bedeut,ung der in diesen Beziehungen neu aufgetretenen GroBen R,
R', T ist aus Abb. 1 ablesbar.
3) A. S o m m e r f e l d , Partielle Differentialglekhungen
Akademische Verlagsgcsellschaft.
cler Physik, Lcipzig 1947,
147
B . h-ockel: Die Sommer-feldsche Bodenwelle
2. Die Werte von k und kE
Nach (2) gilt (in praktischen Einheiten,
des Vakuums)
E,,
= Dielektrizitatskonstante
Naturlich dknkt man bei der praktischen Anwendung an einen Sender in
einem Luft-Halbraum iiber einer (ebenen) Erde. Damit hat der indexlose
Halbraum eine verschwindend kleine Leitfahigkeit und es gilt
k
0
2n
C
L
I. = Wellenlange im Vakuum
=.-=-
(5 )
kE
Die GroBe q = k liegt nach ( 5 ) urn so naher der Winkelhalbierenden des
ersten Quadranten der GauBschen Zahlenebene und ist ihrem Betrag nach
um so grofler, je kleiner o,je groBer also die Vakuumwellenlange ist.
Fur gewisse Pauschalwerte fur
Seewasser
u = 10-2 @1 cm-1
E = 80
und nassen Boden
0
=5
gibt Abb. 2 die Lage von q = !
!
! in
k
einem doppelt-logarithmisch geteilten ersten Quadranten der G a u B schen Zahlenebene. Man erkennt
die Annaherung an die strichpunktierte Winkelhalbierende fur
geniigend groBe Werte von A und
daB fast allgemein
.
P1
cm-l
= 10
700 i
70i
50 i
30 i
20 i
10 i
7i
5i
3i
IQI> > I
2i
gilt. Unter dieser Voraussetzung
sol1 die weitere Diskussion von
(3) gefuhrt werden.
47i
3. Sommerfelds Auswertung fiir
das Vektorpotential im Luftraum
Das Vektorpotential A im Luftraum enthalt nach (3) als dritten
Summanden ein Integral
E
10 i
95i
Q3 i
aZi
2
3
5 7 10
20 30
50 70100
Abb. 2. q = k. fur Seewasser und nassen
k
Boden
+M
10*
148
Annalen
deT
Physik. 7 . Folge. Band 1. 1958
Der Integrationsweg ist zunachst die reelle Achse. Uni das exponentielle
Kleinwerden der H a n k e l funktion im Positiv-Imaginaren auszunutzen,
zieht S o m m e r f e l d den Integrationsweg nach oben. Da die Wurzeln in (6)
mit positivem Realteil gewahlt werden mussen und beim 17erziehem
des Inte~grationsweges eine Nullstelle des Nenners k& V A 2 - k2 k2 1/A2 - &l
iiberschritten wird, entstehen in der Ebene drei neue Integrationswege
I : beide ,,Ufer" des Hyperbelstuckes A2 - k 2 5 0
+
11: ein Umlauf um den Pol 1, =
VZkE
k2 + ki
111: beide ,,Ufer" des Hyperbelstuckes A2 - k; 5 0.
In Abb. 3 sind die neuen Integrationswege dargestellt, wobei auch fiir
den oberen Halbraum eine sehr kleine Leitfahigkeit angenommen wurde,
so daB auch k eine komplexe GroBe ist. Man kann nun, woriiber in der Literatur Einmiitigkeit herrscht, ohne weiteres den Anteil des Weges I11 vernachlassigen ; denn in allen physikalisch interessanten Fallen hat kB einen
positiven Imaginarteil und dann kann man immer Abstande r (Abb. 1) finden,
fur die 1 r auf dem ganzen Weg I11 einen groBen positiven Imaginarteil hat,
die Hankelfunktion HA1) (1T) also sehr klein wird. Dagegen ist Einspruch
I
I
I
Abb. 3. Urspriinglicher Integrationsweg Iiings
der rcellen Achse und S o m in er f e 1 d sche Integrationswege I, JT, 111 in der A-Ebene
Abb. 4. Zum
Text v. s.14P
erhoben worden gegen die Aufteilung in die Beitrage der Wege I und 11,
wobei gesagt wird, daB man die beiden Anteile gemeinsam durch einen auch
den Pol mit umfahrenden Weg erfassen mu13, etwa in der Art des gestrichelten
Wegs in Abb. 3. Als Begriindung wird angegeben, daB der Weg I zu dicht
an dem Pol vorbeifuhre und behauptet, daB infolgedessen der Beitrag des
Weges I den Polanteil wieder aufhebe.
Es gibt aber natiirlich keine Aussage der Funktionentheorie, die besagt,
daB man beim Ziehen eines Integrationsweges uber einen Pol auf der anderen
Seite ,,geniigend weit," von dem Pol weggehen muB. Man priife als Beispiel
1
das Integral iiber -~
auf den Wegen der Abb. 4. Selbstverstandlich gilt,
2 - &
$ = $ + $ ist, wie nahe auch der Weg c am Pol vorbeifuhrt. Man findet
a
b
c
J =-2z i
J = in + 2 i a r c g.t:
J = - i z + 2 i arc tg;
daB
a
b
c
N
149
B. Korkel: Die Somnierjeldsche Bodenwelle
Diese Resultate mogen trotz ihrer Trivialitat aufgeschrieben und dabei darauf
verwiesen werden, darj (bei N > E ) das ungefar geradlinig am Pol vorbeifuhrende Integral c das Unilaufintegral b etwa zur Halfte aufhebt; denn dasselbe findet man auch bei der Ausu-ertung von (6), die jetzt aufgenommen
werden soll.
4. Auswertung des Integrals (6)
A. Das Umlaufintegral lI
Fur dieses hat nian in allen Termen in (6) 1 = 1 -
k kE
' - l/k2 +'ki. zu setzen, im
+
(letzten) Nenner des Integranden dagegen I = 1,
[ zu schreiben. Benutzt
man konsequent die Beziehung k< kE, so erhalt man
.k2 p b ; - k % = - i k k E ,
vg-=z-
m3)
kE
1,
=k
bzw. (fiir das Argument der Hankelfunktion) I , = k --k3 und fiir
2 kZ.
Die Xnwendung des Resicluensatzes ergibt dann ( 7 ) , n obei die Multiplikationspunkte die einzelnen Anteilk von (6) trenneri
I n der Wellenzonc lc r
H a n k e l funktion
> 1 kann
man die asyniptotische Entwicklung dcr
eintragen uiid erhIlt, n-enn man im Esponenten u = k r
-
f
rE
2 k;'
im
Kadi-
kanden einfach u = k r setzt
Tragt
iiian
hier die Abkiirzungen
p ((lit: sogenannte numerische Entfernung) = i
r k3
2 ki
(10)
3)
Man hat fur positive Realteile der TVurzeln zu sorgen.
150
Annalen der Physik. 7. Folge. Band 1. 1958
B. Das Integral uber den Weg I
Da die H a n kelfunktion Hf)fur positiv-imaginare Werte exponentiell
klein wird, sind nur A = Werte der GroI3enordnung k von Bedeutung. Also
kann man zunachst l/A2 - k& w 1/- kg = - i kE setzen3) und erhalt.
~
Schneidet man nun langs des Weges I auf und biegt die Randlinie in die imaginare Achse, oder anders ausgedriickt, setzt man A2 = k2 y2, so erhalt man
+
Der Nenner im Integranden zeigt nun, daB nur die I y ]von der Gr6Benordnung
k2
0 bis einige -wichtig fur das Integral sind, weil man sehr dicht an der NullIkEl
k2
stelle des Nenners i - vorbeiintegriert.
fk"7-P
kE
Fur diese maBgeblichen 1yI ist
>
r
w,r k. Fur die Wellenzone k r
1 ist dann das Argument der
H a n k e l funktion groI3, so daB man wieder die asymptotische Entwicklung
(8) verwenden kann. Setzt man dabei im Nenner 1/k2+ y2 = k , im Exponenten1/k2+ y2 = k
z,1 Y2 so entsteht
+
Diese Entwicklungen sind natiirlich vollstandig falsch, wenn ] yI
2 k wird.
k2
Da diese Gebiete wegen des Nenners y - i - keine wesentlichen Beitrage
kn
geben, kummert man sich nicht darum, sondern integriert in (14) trotzdem
weiter uber die gesamte imaginare Achse. Setzt man nun in (14) eine neue
Variable w ein gemlil3
und benutzt die GroBen p und z aus (lo), so entsteht
ei 7 4 4
wobei der Integrationsweg jetzt durch den Punkt b = ______ fuhrt, also in der
6
GauI3schen Zahlenebene gemaB Abb. 5 liegt und eine Neigung von weniger
als 45" gegen die reelle Achse hat. Das in (16) stehende Integral J berechnet
151
B. Xoekel: Die Sommerfeldscke Bodenuelle
inan gemail3
bw
bw
boo
boo
$
---Xe-T-2ee-r
-
*
7
d w J dz'e-t'(a';l),
0
'
0
.
woraus nach einer erlaubten Vertauschung der Intkgrationen
-
s dz' 1-e-T'm' d w
bdo
r
-n
J
i e - r - 2 e-r
~ 7 '
0
0
folgt. Das Integral iiber w ist auch b-i den liomplexen Werten von z' und dcr
1
2
,:f
schiefen Lage des Integrationsweges = -
J =-
so dal3 man schlieDlich
I
i e-r
-
1-
e-r
J$
~
dz' = -
i e-z- 2 *1' n e-r
du
~
(17)
d
0
findet. Traigt man (17) in (16) ein, so erhalt man
Vergleicht man nun (18) und (ll),so sieht man, da i in der Tat das Integral JI
das Umlaufintegral J I I ungefahr zur Halfte aufhek ;, wie am Ende des vorigen
dbschnitts behaiiptet wurde ; denn
in (18) ist der erste Summand der
maflgeblichere, wenn z w ,g und ,g
3
nicht zu grol3 ist. Nebenher erkennt
$
man, dail3 man das Umlaufintegral
auch aus (16) als Integral im positiven Drehsinn um den durch die
aufeinanderfolgenden
Transfor- 3 v M d i ~ 5 - $
B
mationen nach w = 1 gewanderten
Pol hatte berechnen konnen. Man
I
6. I
erhalt dann, wie es auch sein mu&
aus (16) sofort (11). Vereinigt man Abb. 6. Integrationswege fur die Integrale
schlieI3lich (18) mit (ll),so findet
(13),(16) und (26)
man fur das Integral (6)
-
7
ik ( v + T )
J=-2e
{
7
Sind endlich z und h nicht zu grol3, so kann man.'den Bruch in (19) als Ent,i k R'
wicklung von7
R
(9.
Abb. 1) ansehen, wobei wieder R' im Nenner in 0. Ord-
nung = r, im Exponenten in 1. Ordnung zu r
nommen ist. Damit entsteht
+- +2 r
(2
h)2
~
entwickelt
ange-
152
Annalen der Physik. 7. Folge. Bond 1 . 1958
Zuni SchlulJ seien die Bedingungen zusammengestellt, die f iir die Giiltigkeit
der benutzten Entwicklungen und Vernachlassigungen notig sind :
1. k< lkE1,
2. k r > 1 der Aufpunkt mu13 sich also in der Wellenzone befinden,
ke
3. eP2<
1 d. h. r darf aurh nicht beliebig grol3 sein,
161
'
4. lcr- 4- h'z<
72
1 d. h. x und h diirfen nicht zu grol3 sein.
6 . Die Feldstarken in der Trennflache
Die Yereinigung von (3) und (20) fiihrt zunachst auf
Berechnet inan hieraus nach (1) die Feldstiirken in der Trennflache, so erhiilt
man nach einigem Streichen vernachliissigbarer Ternie in praktischen Einheiten
o., = i W J 14%n - s f u l A g = , , ,
Q, = i
Jlp,, k
m--e-iml
4 n k,
A(z=O)
(22)
Jl
@c -- - - i k - e - i m4' Ln4
(2 = 0 ) .
Dabei ist
. Fiihrt man nun
k - n. e-i"
c
k,
k
w
=C
(p und n positiv reell)
ein und entiiimnit aus (22) den Realteil, so findet man fur die Trennflarhe
iiber eineni Halbraum
e n d li c h e r L e i t f a h i g k e i t
Jlp w 1
unendlicher Leitfiihigkeit
Q,=--A-psin(kR-mt++)
2n R
Jlp w 1
@,=--?
--pnsin(kR-co+f-v)
2n R
0:,--
,$
@?=
J E w l psin(kR-cot++)
Q-2nc R
@,=
Jlpocloo 1
sin
2n
(k R - w t )
0
J2 l%wE1R ~ i n ( k
R-cot).
(24)
B. Kockel: Die Sommerfeldsche Bodenwelle
3 53
Diese Beziehungeii zeigen, da13 im Falle endlicher Leitfahigkeit gegen uber
dem Fall unendlicher Leitfahigkeit durch die GrijRen p,ol und v bestimmte
Amplituden- und Phasenveranderungen eintreten.
6. Auswertung fur reelle numerische Entternungen
In Xbb. 6 sind fur einige Wellenlangen und Entferungen uber Seewasser
die Werte der komplexen numerischen Entfernungen eingetragen. Fur grol3e
\Vellenlangen konimt man immer mehr in die Nahe der reellen Achse. Fiir
den Grenzfall
k3
ereell,alsok& = ilkE12; e = r - 2 kEjz und zugleich h = 0
1
05
I
15
2
Abb. 6. Werte der (komplexen) ,,numeriaohen Entfernung''
g iiber Seewasser in Abhiingigkeit von der Wellenliinge il und
der wirklichen Entfernung
wgi bt sirh fiir den Amplitudenfaktor und die Phasenverschiebungen nach (23)
p und 0; sind i n Abb. 7 eingetragen. LY wachst niit steigender numerischer Entfernung von 0' nach 180", p fallt von 1 nach 0 ; die Amplituden sind also in
jeder Entfernung kleiner als fur den Sender iiber einem unendlich gut leitcnden Halbraum.
154
Annalen der Physik. 7.Fdge. Band 1. 1958
7. Sol1 man den Begriltf ,,Bodenwelle66einfiihren?
Die Antwort auf diese Frage sei gleich vorausgenommen : Es scheint nicht
gunstig, den Begriff einzufiihren. Ein Physiker, der nur die iibliche Erlau1
terung dieses Begriffes zur Kenntnis nimmt, da13 namlich eine mit - ab-
Abb. 7. Der Amplitudenfaktor p und die Phasenschiebung
a als Funktion der numerischen Entfernung e, wenn dieso
reell ist
1
nehmende Raumwelle und eine mit - abnehmende Bodenwelle langs der
I/;
Trennflache auftreten, kommt zwangslaufig zu der Vorstellung, da13 dadurch
wesentliche Amplitudenvergrofierungen gegeniiber dem Fall auftreten, da13
const
keine Bodenwelle vorhanden ist; denn in jeder Funktion der Art __
9.
const
+ __
r/s
ist von einer gewissen Entfernung an der zweite Summand grofier als der
erste. Diese Vorstellung ist aber falsch, wie der Verlauf von p in Abb. 7 zeigt.
Man sollte den gesamten Ausdruck p era = ( 2 3 ) einheitlich als einen Term
behandeln, der die Amplituden und Phasen des Feldes a n der Trennflache
bestimmt. Entsprechend sollte man den einzelnen Anteilen, die durch den
mathematischen Kunstgriff des Suchens praktischer Integrationswege entstehen, nicht selbstandige physikalische Bedeutung zuschreiben.
I n Formeln sieht das, was eben ausgefiihrt wurde, so a m :
Man kann den friiheren Ausdruck fur O;,
auch a2s
schreiben und sieht in dieser Schreibweise die Aufteilung in ,,normale" Welle
und Bodenwelle. Diese 2. Schreibweise ist aber bei weitem nicht so klar wie
die erste; denn die Feldamplituden kann man eben aus der 2. Schreibweise
155
B . Kockel: Die Sominerfeldsehe Bodenwelle
erst nach Bilden von
+
+
((1
I/kr p cos ~ ) 2 (l/L
q sin p)'
entnehmen, und das fuhrt auf den Faktor p zuriick.
8. Zwei numerische Beispiele
Es ist natiirlich zuzugeben, da13 die vielen Veranderungen der Funktionen
und Variablen und die vielen Vernachliissigungen ein gewisses MiStrauen gegenuber der Brauchbarkeit der Niiherungsformeln aufkommen lassen. Deshalb
moge das Integral (6) fur zwei numerisehe Beispiele exakt durch numerische
Integration und nach den Naherungsformeln berechnet werden. Dazu wurde
erstens
kLid=lOOi
k2
kr=K=lO
gewahlt. Mit dcr Ersetzung
R2 = k2 - k2 n2 entsteht
z+
h =n
aus (6)
Die Integrationswege I und 11.sind ebenfalls in Abb. 5 eingetragen und der
Beitrag eines auch hier zunachst entstehenden Integrationsweges I11 wieder
weggelassen. Das Polintegral I1 laat sich weiter umwandeln in
und das lafit sich bequem auswerten, wenn man K
und die Hankelfunktion gemal3
Hi1) ( K
+ x) = H!')(K) - x H:
(5)
+
+x
setzt
( K )- Hi1) ( K ) )
(27)
=K
entwickelt. Das Integral uber den Weg I wandelt man am besten in
urn und kann dann ebenfalls bequem auswerten. Das Ergebnis fur
und d = 100 ist
J I nach (28) = k (0,024-0,074i); nach (18) = k (0,0248-0,0738i)
JIInach (26) = k (-0,081
0,127i); nach (11)= k (-0,0820
0,1265i).
Als zweites Bejspiel wurde
k2
&
=id=5i
kr=K=5
z+h=O
kZ
gewiihlt. Wegen des kleinen d-Wertes ist es in dieseni Falle auch ohne gro13e
Miihe moglich, die urspriingliche zu (6) aquivalente Ausgangsformel Som merfelds
+
+
156
Annalen der Physik. 7. Forge. Bnnd 1. 1958
ohne jedes Verziehen des In tegrationsn-eges auszuwerten. Zweitens kann inan
.II JIInach (26) und (28) bilden, wobei man hier besser fur die Auswertung
von (26) die asyinptotische Entmicklung der Hankelfunktion an Stellc von
(27) verwendet. In beiden Fallen findet man, wie es sein niufi, den gleichen
Wert
J nach (30) = JI .III
nach (26) und (28) = lc (--0,18--0,36i).
(31)
+
+
Dagegcn ergeben die Naherungsformeln
+
J I J I nach
~
(11) und (18) = k: (-0,21--0,36i).
(32)
Die gute t'bereinstimmung in (29) und (31) nird inan wohl nicht fur eiric Zufalligkeit halten und kann deshalb auch diese nunierischen Beispiele als einen
Releg fur die Korrektheit des benutzten analytischen Verfahrens ansehen.
Das Ergebnis in (31) sollte iiberdies jedes RfiDtrauen gegen die Zerlegung in
die beiden Integrale Jr und J ~ zu
I beseitigen helfen. Die Abweichung von
(31) gegen (32) hat natiirlich ihre Ursache in den1 im zweiten Reispiel zu kleinen
= 1/F, den nian kauni als grof3 gegen 1 ansehen kann.
Wert von
'2'
L e i p z i g Theoretiseh-Physikalisches Institut der Kal.l-Mars-Univei,sitLt.
Bei der Redaktioii ciiigegangeii am 7. J u n i 1957.
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