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Die spezifische Wrme der Supraleiter nach der Theorie.

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Die spezifische Warme der Supraleiter
nach der Theorie von W. Heisenberg
Von H. K o p p e
(Uit 3 Abbildungen)
Inhaltsiihersicht
13s mrd gczcigt, daB sic11 fur clas H e ] senbcrgsche Modell tles Snpralpiters
ohne n eitere Zusatzhypotliewii die spezifiiche Wariiie und die Schn ellena ertkurre bcvechnen laiieii. Nan bckoiiiint iiisbesoiidere fur C, eiiie fur allc S u p alciter gultigc Hezielruripeii z w i d e i i 7’1T , u n d C,( T)/C,(T,), die III guter Ubereinstiiiiniung iiiit der Frfahrurig lit.
1. Einlcitiing
Vori W.H e i s ~ i i b e r plit kurzlich eine Theorie der Supraleitung nufgestellt
15 ordeii I ) , ( h e n n eseiitlithe Gcsichtspunkte iich iolgeridcrmaWcn zuaiiimeiifassen lassen. Die durch die Coulomb-iihstoOiin~bedingte Storung cler Rigenfunhtioneii i>t f u r die Elt>ktroneiian der Oherflache der ,,Ferinikugc~l.‘i i i i Iinpukraiini so groB, tlaB dcr Chdrakter der Eigeiiiuiilitioneii dadurch vollig verandcrt
--f
aird. An die Stelle (inodiiliertei) ehener Wellen tritt ciii Wellcnpakct f’ ( p ) ,
w elches aus den unbeietzten Eigenfuiiktioiicii auBerhalb der Ferniilrugel pebildet
+
(d. h . e i uird vorausgesetzt f ’ ( p ) = 3 fur jp I < 1’). Ilabei 1st p der Iiiipuls
dei Elektroiis, und P der Maxirnalirnpuls an der Oberflache der Ferniikugel, der
I m t der Elektroneiidichte n dureli die hekannte Beziehung
lit
-.
-+
zusaininenhaiigt. %iiden1 \$’ellenpaket f ( p ) gehort eiiie Eigenfuiiktion p (r.) iiri
Xoordinatenrauin, die gegeheii ist durch
60 erhaltenc Eigcnfunktion hat die Eigenschaft, iiw in piner gen issen U11igcLbung \‘on r = 0 wesentlich von Xu11 rerschieden zu sein, sie eritspricht also
Die
+.
ciricr liokaliiicruiig des Elektrons. Nultipliziert inaii nun f ( p ) niit eineiii Faktor
\ o m Betrage 1
++
406
Awiictlen der Physik. 6. Folge. Bccnd 1. 1947
wid hezeichiiet
gilt
iiiaii
die zupehorige Punlrtioii im Eioorc3ii~atciirctlirri r i i i t , y t , so
-+
->
+
p t (XI = y (x - a )
(4)
>
--f
d. h.
9;;;
stellt cin uni die St>rcckc a wrschohrncs Wellciipaket~dar. &Iaii lmin
--f
iiuii
offcnbar a so eiiirichtcii, d d p z :m p orthogorial ist, uiid auf diese JVeiyc
+. +
forti'ahrenc!, eiiie Polge a', a,'' usw. be ~tiniriic?ii,so daB die Fmiktioneri p; y;t;
y z ; yzt..usw. ciii Orthogorialsystem k) Itlen. \Veiiii maii n u n fordert, daO, rille
+
a' iiiiierlinlb tines Voluineii~V liegeii solleii, d a m wird diesw Orthogoii;il,
niaxinjal iiur eiiic bestinirrite .A~iz;etil12 \-on Eigerifunktioncn umfa
u n d cberiso viele Elcktmneri kariii r m r i dariii i r i dcrn \Velleiipaket unterbriiigeri,
ohne niit dciii P a u l i prinzip in Koiiflikt zu gcrnteri. Diese Zahl n bestiinnit, yich
iiuri eiiifach dadnrch, dalj cbenfdls a a f Grund cles P:LU
l i priuzips die \V;tlirscheiti--f
lichkeitsdichte ini p-Rauni ciiieii hest
IIieFer Wert hiiiigt von d e n NorinierunF
sichtlich keit wegeri nicht eirigegaiigc~iiivord
He is on b e r g scheii Arkwit so g c ahlt
~
pleich 2/h3 ist. D i e \ ~ a h r s c h r i r i l i c l i k ~ ~ i ~ ~eincs
~ i r ~yo11
h t e Iicsetztrri 1Ycllenpakc:tes
--i
ist
f
iiuii
(G)
=
gegebcii durcli n I f ( p ) l 2 . Xchrciben wir irii AiischlnO, an H e i s e n b e r g
d-,
w,h3
+
f'( p ) , d a m lautct d i r w Hedingung
If
tl;,!2
I 1
urid n i s t gcgcbeii durch (H. 39)".
Die Hnergie eiiies durch cin voll besctztes Welleripaket dargebtellten ZuFtLnd(s
hekoiiinit mail so : Zuuachst ist die ki tietische Ericrgie gegrben durch
Die poteiitielle Energie i s t aridrerseits iiach eirier Uberlegung von H e i s e n b e r g
aniiahcrrid gleich der elcktrostatischeri Energie cines Welleripakets gcgeniiber
ejiier Puiiktladung iin Mittelpunkt dieses Paketcs. Man kann diese Eiiergic itiittcls
G1. (2) ausdriicken; es ergibt sicli dafiir in1 wesentlichen ein Ausdruc,k der Form
coiist
1
--f
--L
1
+
+
f ( p )f ( p ' ) :;;
~
apdp' .
(8)
(P- P'Y
i
Aus GI. ( 7 ) uiid (8)kmii mail nuri cin Variatioiisprolulciii fur f ( p )gewinneri, welclies
allerdings die Gestalt ciiier reclit koinplizierten Integralgleichung hat. Von
Hciseir b e r g ist deshalb eine Nlheruiigsliisuiig nach dciii Ritzschcn Verfaliren
bestiriiirit worden, indein fur f dcr Arisatz
2 ) Gleichungcri iius I ) , auf die im folgenden Etzug genominen wild, sind durch ein
vorgcsetztes H gekennzciclmrt.
407
Iioppe: Die speeijische Wcirrne der Supmleiter nuch der Theorie E. IV. Heiscnberg
geniacht w i d .
+
Dabei ist y der ITinkel zwisclien p und eineni fest gegt,heiicii
--f
Vektor &. Hicr r i i i i 8 iiuii p r-ariiert n-erden, so daB durch die Bildurig dcs T\-(;lle~ip l r e t w eiii inoglichst groBer Eiicrgiege~~iiin
entsteht. Die Durchfiihrmrg dcr
Rcclitiung liefert,
['inin
.
--
-*d
1- e-
4&
~
4a
=-
-1 (I.).
(10)
I
Datiei ist A cine fiir eiri gegcbcnes Metall fest gegehene Koiistarite ~ o tler
n
siori einer Eriergiedichte, clereri genaue Gestalt aus GI. (H.43) entnoiriiiieii
kaiiii, auf die es aber im folgrndeii iiicht meiter ankoiniiit (sie wird s p i t e r
Teuipcratur T, dos Sprungpuriktes zuriickgchfiihrt,). co ist his auf riiieii
I j 4 gleich der in G1. (H. 47) definierteri ,,ticdeckten Oberfllche" 0.
Die Redeutung r o n
31
ergibt sich aus G1. (9): ,?L
+
+ 0 bedeutet,
1)iiiieliwerdcii
auf die
Faktor
dalS sich d;~s
.lYcSllenpaket iii der durcli i gegehenen Richtung bewegt. Das \$-elleiipaket stellt
also eirieri clektrischen Stroiii dar. Allerdiiigs iiiiiinit djeser riiclit iiriiricr iiiit a
zii ; da sich ergibt, daQ fur groWes DL das Passungswrniiigen des liTelleripaketes
iinnier kleiner wird, wird der Gesaiiitstroiii in der Grenze x --f 00 (w + 0) gleich
Xull.
Bus GI. (10) crkeiiiit riiaii nun, daW x = 0, also ein stronifreier Zustand, energetisch arn giiiistigsten ist. Dauerstriime kiinneii also iiicht eiierget
scin - eine Tatsache, die sich bckaniitlich ganz allgcriiciii ben-eiseii
hiihercr Temperatur ist dagegcn die Ausbilduiig eiiiea Dauerstroiiis darin denkbar,
weiin die Entropic c h voii OJ abhingt-, so daB ein Eiiergicaufwand genial3 GI. (10)
durch eiiien eiits clieiideii Eiitropiegc~-iiiiikoiiipeiisiert werderi kariri. Das
la& sich auch d
aussprechcn, daB niit der Ausbilduiig eines nauerstroines
cine Zunahiiic der spezifischen iYi11iie ver7r)niiden seiii muB, daniit Siipraleitung
a u f t re t en ka nil.
In der Arbeit von H e i s e i i b c r g w i d eriirtert, dall eirie solclie Zuiiahine der
spezifischen M7arnie auf Gruiid dcs 3lodells zu vcrsteheii ist. Es wircl ahcr d a m
keiiie iiriniittelhare 13erechnung versuclit, soiidrrn statt dcsscii fur die thcrrnotlynamischeii Betrachtungeii ein millkiirlicher Aiisatz geniacht, dcr dariri bestelit,
daB die spezifische TTarnie (oder, was auf dasselhc biiiauskoninit, cler teinperaturahhiiiigige Teil der Energie) in ciiie Potenzrcilie iiach OJ entwickelt, uiid dies, niit
d e m zweiteii Glied abgehrocheii mird.
2. Ableitung der Gleiehung fur die spczifisclie TKirme und der Sch~vcllcnwertburve
Irri Folgeiideii sol1 gezeigt werdcn, (ktB auch das tl~erinodyiiaiiiischeVerhalteii
iii einfacher IVeise aus deni JZodell zu bekoiiinirii ist. Weseiitlich dafiir ist dit:
inl) ausfuhrlich eriirterte Vorstellung, daB dic Elektroiieii ini W e l l e r p k e t ,,festgeklemmt" siiid, d. h. da13 es fur sic keitie angeregten Zustiiiide gibt,, die sich in
der Euergie iiur sehr menig roiii Gruiidzustaiid uiiterschcidcn. Dagpgeii sollcn
dir Zustiiiide, die iiicht zur Uildung des TT'elleiipaketesverbraucht TT-erdeii, ,,iioriml"
win, d. h. aniiaherrid ebcrieii TVellcii iiiit einein eritsprechendcn fast, koiitinuierlichen Energiespcktruni entsprechen. ITir wolleii sie liurz die freieii Zustiiilde
-->
iieniien. Wie sieht ihre Dichte Bl,.( p ) iiii Iiiipulsrauiii aus ' E Sie ist, offenbar all.I
->
2
zusctzeri als Differenz der Diehte der Zustaiidehi (s. 0. !) iiberhaupt und der& f(p)
1
If
408
Bnnnlen der Physik. 6 . Folge. Bal d 1. 1947
+
uric1 das pibt rnit f ( p ) riach (21. (9)
83
=%p2
fur
-8
~
3
p P 2 (1-01
p SP
e-zo(P--P))
fur p
> P.
Fiir die folgenden statistischcii Her cchti uligeli ist cs zweckniklliger, die Dichtcanf das Encrglcintervall zu bczirlieli. \Yepen
habcn wir dann riiit m / p zii iriu1tiy)lizic~r~~ii.
AuBerclciii brauclicn wir riur die
JV'erte in nriniittelbsrer Nahe dcr 0bcrfl:tclie y = P,und dafur ergibt sich iiacli
Q1. (12)
8n
D, (6 - 0) = D 1 ----p. m
(12.2)
D,
(8
+ 0) = D,=
8n
/L3
P m (I -0~).
Znr Berechiiung der Energie d s Funktion von T kann man hier die geliiufige
Formel
niclit anwenden, ds D ehen g e r d e bei tier Grerizeriergie [,,unst'etig ist. Xttttt
dessen ergibt sich cine ctwas koniplizierterc Beziehung, die ini Arihang abgeleitet
wird. Hicr wollen w i v iiur das Rcsultat angebcii. Zunachst cines: in der B'erniivertcilung
?z
1
(13)
E--S
-~
e h T
+1
ist bekarintlich 5' bci T = 0 gleich der Grcnzenergie [,der Ferniikugel, uird bci
niedrigcii Ternperaturen ist [ - 5,N 1'2. I m vorliegenderl Fall gilt hingegcii
5 - [,= . k T + b . ( k T)z + . . .
a ist)als Funktion
17011
(14)
D,und L12 und damit voii 0) bestimmt durch die Gleichulig
=o~[ln2-+aA,,(a)-A8,(a)]
(15)
b hraucht nicht berechriet zu werden, sonderri liiIjt sich dirakt eliminieren. F u r
die Energie pro Voluniericinheit ergibt sich daiiri :
Die npcaifisi.he Wiirme dcr S u p d e i t e r nuch der il'hcorie v. W'. I f c i s e i i b , ~ g
3Ian b(,iiutzt iiiiii a m hesten a d s Parameter. 1)ann ergiht sich
i i t i iii cr i sche K ecliii 1111g
CtJ
ails
40:)
G1. (16) durc'ri
=w ( a )
uiid G I . (17) kaiiii gcschi,icbeii werdcii
E' - E,
82
= 2P
ha
. "m ( k T ) 2K ( a ) .
(17.2)
Dahei sind die holiereii Potr iizeii voii T wvrggelassen worcleii. D a s ist liier allel:tiirigs nicht oline Tvt1iterc.s gereclitfcrtigt. D n s iiiichste Glied iii der Eiitwicklung
Tviirde potcritiiil zii T3 seiii uiid sicli z u d(.iii hiiigcerhriehrneri rci,halteri \Tie
1:k T
:inch
211
.
. u1 ct'
-
%D
-;
(;P
~
~,r
Da riuii der Parameter /3 iiii Expoiiciitcn iii G1. (12) uiid dairiit
sehr groW ist, ist tlieses Verhiiltriis iiicht selir klein.
Allerdiiip zcigt
c*inc, eii:fac.l!e Rrcl:ii~iig, auf die Iiier nicht nalier r ingegaiigcii wcrdcn soll, da13
Das 1-erschwindet, fiir T = 0 uiid T = T, (wegen = 0) und ist durcl-igangig
Irlciiier als 0,2. Dcr Faktor, der durcli die Vernachlassignng hoherer Potenzeii
~ o i Ii) entstcht, diirftc alro nicht sehr bedeutrrid sein.
B l i t G1. (10) erlialt niaii jetzt
c = u0
-
A
'<!I
( a )f -'y 71 P
1LY
. WL . (kT)' K (a).
(17;2)
Dahci sind in C, alle G l i d e r , ditr nicht roil T resp. a abhiingen, zusamiiieiipefa8t.
Fur die frrie Erwgie erpiht sicb entsl)r~rlicnd(vgl. H. 57) :
8.z
P = F0 - d (0 ( a )- Y . m (kT)2K (a).
11
Aus dieser Glcichuiig kaiiii nun a als Puiiktion r o n T bestiiiiiiit wcrden durch
die Forderung
8P
= 0, die sicli aiich schreiben lallt
i*
in
A (0
h i der Interpretation dicser Gleichung ist zii beriicksichtigeii, daU a > wie sich
bci der Aiiflbsulig von G1. (16) crgilit, iiur r o i l 0 (fiir LU = 0) bis 00 (fiir oj = 1)
1:iufeii kariii. In dieseiii 1"iertebcreich fiillt aher, \vie iiian aus Abb. 3 erkeilnt,
1 ('I<
rnoiiotoii
< 0)
fiir a = 0, uiid
1
:
iYert
ab. I)ic: reclite Scite vo11 G1. (19) hat, also eirieii hBch,stc~~r
das ciit,spriclit dcr Temperatur, bei der die Bildung drs IVelle11p;tkett:s eiiiaetxt, a!so tler-Siirui:gt ciripc.ra,tur T,. Dxiiiit kaiiri iiiaii A c,liiiiiiiiercri
mid
Jl:Lil
i.tU
heko11111it
aoriiit iiiit - 7~ =-'U(a)
ch'
kariii auf diese Weisc ,4 auch a m G1. (17,2) eliiiiiiiieren u d bekomiilt
410
Annilen der Physik. 6. Folge. Rund 1. 1947
und daraus diirch Differciltiation nach
T
und unter Berdckditigung von G1. (19) iind dcr bekannten Forinel fur die spezifischc, IVarme eiiies ,,iiornialeii'' Elc~ktroiioiigase.;
Dahei ist C; die spezifische Warnie iiiimittelbar oberhalh des Sprungpunktes.
Nittels des Ausdruckes G1. (15) fur die frcie Energie kann man aiich die
Schwelleriwertkurven, als die Feldstirke N,, die die Xapraleitung aufhebt, bevon der Gorterschen Bcziehii.ng3)
rechnen. Marl geht dnzu a u ~
ff,;
gr = FA.,-FS.
Dabei is:tFASdie freie Ericrgie (pro Volumcncinheit) des Supraleiters uiid F,,- die
freie Eiicrgie in iiicht-supraleitendeii Ziistand. Die letztere erhalt man, T T C I ~ ~ ~
(22)
Ueraus folgt d a m ziiiiiiclist
Man kann hier wieder. A eliniiriieren uiid erhalt darin, weiin n i m iioch die verhleibcnden Materialkonstanteii wicdvr durch C:: ausdruckt
3. I)islinssion cler Ergebiiisse
Die Gloichungen der letzteri Abschiiit,te kiinneii iiur zahleirmiifiig ausgewertct
werdeii. Ucr Gang dcr Rec,hiiaiig ist, (1al)c.i iolgeiider : Zunachst inussen die Iiitcgrale A j riach Gi. (1.5) hcrechnet \1-erden. Kei A,, iind A , ist dils in geschlo
b'orrn niiiglich. Perrier lasseii sich aiicli die Grciiz\\ crtc fur A =-00 aiigcabcn:
A,,(03)=
1
~~~
:
A,(cc)= 1% 2
(24)
2
n,, ( C C , ) = n ! ( I - - 2 l - ? t )
((n)
[ ( ( n ) ist die R i e r n a n n sche %etafuiikt,ion.]
Daiiri kxiin iiiaii zuniichst eiriiiial Gl. (16) iiach R ) aufIii.cn und bekoinriir so
w (2) (vgl. T;:b. 1). D,tniit l&Wt :Zicli K(tr) iwrechncii. Indciti nian GI. (16) rc.:p.
&I1
6K
(17) differci;zicrt, belroiiinit iiiaii Austlriickc fur :-und
- T- , :%us denen inan 4'
dU
c IC
i' 51
iind dainit
x
erlialt. Die Abl('itiing -7
wurctc: daiiii dnrch iaimit,tclbares n u m <(I,
i.iscIies Diffvrcrizi~~rcii
dcr
Puii!,tioiicii voir a hi.k:miit,. Zi:b~;t.riiiiicii
iing i i i r die: ::pezifidie U:iir;iir>
3) ygl. hl. v. L a u e , Supr,tlcituiirl, 13-din 1947, 8. 106. 13s wurde dwch P A dividicrt,
wcil (11. (18) dic freic Energit> pro t'oiuin~lci!lhelt iit.
Koppe: Die spezifznche Wnrme der XupraleitPr nach dw Theoiir v. W . Heisenberg
412
Tabelle 1
0,4
0.2
O,6
I
1
0,897
(1,922
0.477 I 0,404
0,549 I 0,515
0,576
0,486
2,Nj
3;29
01
'
h
1
1
45
0,8
I
I
V
,
'
0,433
1,225
0,849
1,820
0,441
0,398
3,58
I
i
I
LJ
1.2
I
0,578
0,683
0,861
1,052
O,BO2
0,560
0,784
0,727
1,217
1,29
(1,669
2,53
1,501
0,818
0,940
0,341
0,481
1,O
I
0,587
412
A n i d e n der Physik. 6. Folge. Band 1. 1947
Dieser Sprungpunkt ist hicr verschwunden - oder genauer geaagt in den Sullpunkt der Teniperatur gewaiidert. Die Griinde clazu erkeiint m a n leicht aiis
der A.bb. 3, i n der die Punlrtiori K ( o J )fur
, die ja clurch K ( a ) und o ~ ( aeine
) Parairieterdarstellung gegehen ist,, eingezeirhrict ist. Sie niiiiidet init) seiikrecliter
Ta,rigerite i n den Punlrt co = 1: geiniill (21. (19) gibt es also zu jedeni T z
0 uiid T , eiii zugehoriges w . 12a.ii lritiin nun aber auch, U I I I den AiisehluB an den
4 I e i s e 11 1 ) e I'g scheii Ansatz hcrzust,clleii, K ( 0 ) )
fiir kleine iri eiric Poteiizreihc eiitwickeln. Es
ergibt' sich iio
I<(C)I)
-
'\
-
n2
G- -
(ln?)2
x2
OJ
--
~9 012
-
+ . . ..
(17,3)
I h e x Sc1rniie:guriFPparal~el ist iiun in Abb. 3
c 1)eiif:Llls (gest~'ichelt,)
iriit, cingezeiclinct'. Die Ahleitung dieser Funktion riiiiiint nun auch Ftetig
zii! xher niir bis zii den1 eiidlicheii Crenzwert,
rind clicscr hestiirinit daiiri den uiitereii Sprung_
11111' eirie Folge dcs
it>zt kciue physikalischo Uedeut,ung. Aus (17,s) knrin inan ai~cli
die Zahlenwerte der heiden Kocffizienten 6 uiicl e in (TI.48) tind der ohcn
eingcfuhrtcn QroBc U'(0) entiicliirien. Es gilt:
Ahb. 3.
FLln'it'ion
c')
nnch Ta,loelle1
~ ~iiherungsl,arabel
_
na,ch 1)iiiikt;. Dieser ist also
Aiisatzes C1. (17,s) urid 1
Glcichung (I7 , 3 )
AnEiaiig
Berechnuny con Hittelwertcn. fiir unsletige Eiycnuw Idichte
JF7ir hahen noch die Roc:hrinngcn iia,c.hzuholc~ii, dic zii den G1. (16) und (17)
fuhren. Zu dieseiii Z w x k ist es not,wenc?ig, Mittelwerte der F o r m
F--
-t cc
.i'
F(z))L(<;-.[),j'i; n(z):=
~~
1
t."' .+ 1
(25)
-cc
zii berechneii. Setzt! iiim darin cinni:rl F = D(E),woh(:i D ( E ) die Dirhte dcr
Eigciiwcrt,e pro Euergieiri \.all ist,, so belio~iiiiiti i i a i i (sine 12estiiiniiui~p~pleichung
fiir (, wahreiid ma11 deli J ~t~elw-crt
ciner GriiSe & ( a ) fiiidet. i i i d e i ~ iiiiaii i n C1. (25)
F ==& . L ) set'zt, uiid iiri E r g c h i s ( cliiiiiiiiart. Ziir Auswert'uiig setzt' maii 7-01'aus, daW i n der. Niilie der Stel 5 die l!irlilrtioii F , bis auf cine Sprungstclle iii
der Niilic T ~ I gegen n(t:)lan tin veriindcrlich ist.. Mali riutzt, dies BUS, iiideiii
man zuiilchst ei iinial p a r t i d l
c,
i-M
m
6
(2G)
K c p p : .Dip s p ~ ~ i f i s c hIPurme
e
der Supruleiter nnch der Theorie v. IV. Heisenbrrg
-ll:3
WaIe iiuii F iiberhaupt stetip, FO bestcht das ublithe Verfaliren4) darin, Q in einr
I'otcnzrcilie iiach ( F - C) zu eiitT7ickeln. Hicr macht aber 8' an dthr Stelle
(IYert >oil 5' fur I' 70 ) c'iiieri Spruiip, uiid das bednigt eiiiige Abanderuiic.cn.
E' \el I l l i l l grgcben durch
F = F,(E) fiir e i
('37,l)
E' = F , ( e ) fiir F > C o
imd wir fiiideii daiiiit
[(,
E
Wcseiitlich ist iiuii, daB diese Puiiktioneii GI und G, auch auljcrhalb der Bereichc,
in (!enen sic mit G ubereimtiniiiieii, defiiiiert, sind, solange aich die entsprecheiideii
F Uher die Defiriitionshereiche iiach (21. (27,l) hiiiaus fort,sctzen lasseii. Davoli
niaclien wir sopleich Gel)rauch, iiideiii iJ-ir sclirciheii:
cn
Die drei Teilintegrale wertet ,iiiaii nun ails, iiidem nian die Palrtoreu voii - fur
C&
die Xtelle F = C in eiiie T a y l o r r e i h e entnickelt. Dann zeigt sich, dalj inaii fur
dip Intcgrale Potciizrciheu in kT bekoiniiit, die wir niit der zweiten Yoteriz abh e c h m . PIIm findet d a m
Die A , smd dabei die bereits oben G1. (16) angegebenrsn Iiiteprale. Es 1st (laratif
zu achteri, dalS alle .r.orkoiiirnendeii Funktioiiswerte an der Stelle E = 5' zii iirli1i1c~i1
hind. VTir x t z e i i f u r das xeitere kT = t und fuhreii folgende Ahkurzunpeii
414
Annalen der Physik. 6. Folge. Band 1. 1947
Diese Gleichung bezieht sich auf Funktionswertc an der Xtelle
urn, indcm wir noch aiiictzen
nuf
5‘ - 5,
=a
z
+ ti z2;
5‘.
Wir rechiien
A. = a + b z
unil entwickeln gleich noch nach Potc1izt.n roil z. Es folgt
F = Gl (t,)+ ( a (U’ - 9’ [In 2 -t a&
-A1]} z
(291
+
wobei sich das
. . . in der zweitcn Klaniiner auf Gliedcr niit den ersten Ahleit,~ingenr o n G und g hezieht, aiif dic cs, wie sicli gleich zeigen w i d , nicht ankornnit. Die Tntegrirle A n sirid fur clas Argument a zu nehiuen. Wir setzen 11un
zuniichst einrnal F = D,verstehcii D1urtd D,gemilj den allgenleinen Definitionell
GI. (27,l) und fiihren analog die Ahkurzunp
1
6 = T(Dl
+ D,);
d
= Dl
-
D,
cin. Dann ist
to
E’= $ D,dt. = Gl(5,) = N
0
und folglich niussen die Koeffizienten der einzelnen Pot>cnzcnyon z verschwinden .
Das liefert zunachst die bereits imgefu’hrte Bestimriiungsgleichung fur a :
a6’-
LX
[In 2
+ aA,(u) -A,(a)].
u m den Mittelxert einer Griilje & ( E ) zu bckoninien, setzen’wir in G1. (29)
G‘ = Q . D; (wohei jetzt Q selbst als durchgehcnd stetig betrachtet werden kann).
Multiplizieren wir and-rerseits die eben betrachtet>e 1Bestirnmnngsgl~:ichnrlg
fur .( mit Q, so hekoninicn mir eine Bezichung, in der erstens das z-unabhiingipi:
Glied j”Q D d F fehlt,, die aber in allen Gliedern rnit ersten Ableitungen init d*,r
fur QD ubcreinstiinnit, w-ihrend hci den zweiten Ableitungen steht
bei
&u
: (QD)‘ = Q‘D
bei Q
u :
QD’ .
Suhtrahiert man also bride Auedrucke, so i7crbleil)t
50
Q=
/ Q ( E ) Dl ( s ) ds
Wenii man insbesondere dic Energie E brrechnen will, d a m hat niaii G-,
tctzeii urid crhalt die Gl. (17).
G o t t i n g e n , Iiaiier-\Vilhelrii-Iiistitut fur Pliysik.
(Kei der Itedaktion einyegmpcn am 14. 4. 1947.)
~
i
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