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Die Spineinstellung in ferromagnetischen Kristallen unter dem Einflu mechanischer Spannungen.

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680
Annabn der Physik. 5. Folge. Band 24. 1935
Die SpineCnsteLlung i n ferrornugnetischem K r i s t a l l c n
u n t e r dern EinfEup rnechamischer Spannufigem
Von R i c h a r d C a n s
(Mit 8 Figuren)
B e c k e r und K e r s t e n l ) haben den EinfluB starker mechanischer
Spannungen auf die Spineinstellung in ferromagnetischen Einkristallen
und das dadurch bedingte Verhalten der technischen Magnetisierungskurve studiert. Hierbei haben sie auf eine strenge Rechnung verzichtet, indem sie den Einkristall sowohl hinsichtlich der elastischen
wie auch der Magnetostriktionskonstanten als isotrop angenommen
haben. Das einfache Ergebnis dieser Untersuchung war folgendes:
,,Unter der Einwirkung einer Zugspannung wird die spontane
Magnetisierung Richtungen sen krecht zum Zug oder parallel zum Zug
bevorxugen je nachdem) ob das Vorxeichen der Magnefosfriktion negativ oder positiv ist".
Sie erwarteten auf Grund ihrer uberlegungen, daB bei einem
Ni- Draht (negative Striktion) durch einen hinreichend starken
Langszug nlle Bezirke senkrecht zur Drahtachse orientiert werden,
daB dagegen bei Drahten aus bestimmten Ni-Fe -Legierungen mit
positiver Striktion durch Zug eine Ausrichtung nach der Drahtachse
erfolgt.
fjber Eisen, dessen longitudinale Langenanderung durch Magnetisierung in der Achsenrichtung positiv, in der Richtung der Raumdiagonale aber negativ ist, ist keine Aussage gemacht.
E s sol1 nun untersucht werden, inwieweit diese Ergebnisse sich
noch aus der Theorie folgern lassen, wenn man die oben erwahnte
vereinfachende Annahme mittlerer Isotropie nicht macht. Es wird
sich zeigen, daB beim Nickel die strengere Rechnung roh zu denselben Resultaten fuhrt, beim Eisen dagegen die Verhaltnisse ganz
anders liegen.
I n einem zweiten *4bschnitt sollen dann die Magnetisierungskurven ferromagnetischer Drahte , die mechanischen Spannungen
ausgesetzt sind, berechnet werden. Fur Ni unter Zug ist das von
)
I ) R. B e c k e r u. M. K e r s t e n , Ztschr.f.Phys. 64. S. 660. 1930; vgl.
auch B e c k e r , Theorie der Elektrizitit 2. S. 177ff., Leipzig und Berlin 1933.
R. Guns. Die Spinei?istelEung in ferroiriagnetischen tirlstalben usw. 681
B e c k e r unter seiner vereinfachenden Annahme durchgefiihrt unrl
mit den Messungen von K e r s t e n (a. a. 0.) verglichen worden. Dabei
ergab sich eine befriedigende obereinstimmung zwischen den Versuchsergebnissen und der Theorie l); uber das Verhalten von Eisen
unter starker Zugspannung im magnetischen Felde fehlt bisher eine
geniigende theoretische Voraussage. Diese Lucke auszufullen, sol1
im folgenden aucli der Versnch gemacht werden.
§ 1. Ein ferromagnetischer Kristall
unter Spannung ohne LuBeres Magnetfeld
Befindet sich ein ferromagnetischer Kristall kubischer Symmetrie
unter der Wirkung einer Zugspannung B (bei Drnck ist B negativ),
deren Richtung durch die Richtungskosinusse P, , p, , la, beziiglich
eines mit den Hauptachsen zusanimenfallenden Koordinatensystems
gegeben sei, so entstehen Verzerrungen, die durch den Tensor Ajx
( i , x = 1, 2, 3) definiert sind. lier Vektor der spontanen Magnetisierung stellt sich dabei in eine Richtung ein, die durch die
Richtungskosinusse u l , u 2 , u3 festgelegt ist. d u f die Rerechnixng
dieser u kommt es uns an.
Die freie Energie setzt sich aus folgenden Bestandteilen zusammen 2):
1. der magnetischen Kristallenergie
F , = 2 1 q f % q 2 u 3 z +U 3 2 U 1 E + a12u22),
(' a)
2 . der magneto-elastischen Verzerrungsenergie
I
f' p
( A 2 3 012 w 3
+
u3 011
+ z4,,
u1 "2) 9
in der s und p die Konstanten der Magnetostriktion sind,
3. der gewohnlichen elastischen Energie
(IC)
{
F:
=
1
7-GI(All
+ A,, + A,,:), + C.(n:, + A.; + A : " )
+ 2c, (A;$ f A:l +A;,)
I ,
,
in der die C die elastisclien Konstanten des regullireti KrihttlllS
hedenten,
4. iler Energie des SuBeren Zugs
(Id)
{
F4=-
G[All P12
+
4
2 PZ2
+ A,,
+ 2iA2, la, la3 + 4,P3 PI + -Al2 Pl P J -
1) Eine Yehr sorgfiiltige experimentelle Bestiltigung veroffentlichte kiirelich
G. S c h a r f f , Ztschr. f. Phys. 97. S. 73. 1935.
2) Vgl. z. B. R. B e c k e r , Theorie der Elcktrizitgt 2. S. 18.5. 1933.
Annslcn der Physik. 6. Bolge. 21.
44
682
Annalen der Physik. 5 . Folge. Band 24. 1935
Die Form dieser Ausdriicke ergibt sich einzig und allein aus
den Symmetrieeigenschaften sowie den Annahmen, daB F, hochstens
die cc in 4. Potenz, F, sie hochstens in 2. Potenz enthalt, und daB
die elastische Energie eine quadratische Forin der Aix ist (Gultigkeit des Hookeschen Gesetzes).
Die gesamte freie Energie ist also
F
(2)
= F,
+ F , + F, + F,.
Aus diesem Ausdruck berechnen sich die Aix mittels der
Gleichungen
dF - 0.
~~
d a:,
Setzt man sie in (2) ein, so erhalt nian rnit Einfuhrung der
Bezeichnungen
P
A,,, = - 23cI, ;
4 1 1 = - __.
3 C,
Die beiden Konstanten Aloe, All, bedeuten dabei die longitudinalen Dilatationen des Kristalls, wenn er bis zur Sattigung in
der Richtung [loo] bzw. [lll] magnetisiert ist (vgl. B e c k e r , a. a. 0.).
Ware der Korper elastisch sowie magnetoelastisch isotrop
(C, = C,; A,,, = A,,,), so wiirden wir zu Clem vereinfachten Ansatz
B e c k e r s kommen.
1st die Zugspannung rr so grolS, daB der erste Summand in (3)
gegen die anderen beiden vernachlassigt werden kann, und das wollen
wir im folgenden annehmen, so vereinfacht sich die Pormel (3) zii
j F = C [ c q p 1 2 u2”p22 u32ps2
(4)
2 P (a2 a3 B 2 P:, a3 a1 P 3 B1+ a,@, BJI *
Hier s i i d C und p Abkurzungen f u r
+
+
+
+
c = - - 23 “ A , , , ;
(5)
P=-.
A
4 1 1
4 0 ”
Dabei gelten die Zahlenwerte l)
A,,,
Ki
Fe
*
106
- 50,O
+ 16
A,,,
*
108
- 27,l
1 - 1 3
P
- 0,812
1) Vgl. z.B. R. G a n s u. J . v . H a r l e m , Ann. d. Phys. [5] 16. S. 162. 1933.
li.Gans. Die Spineinstellung i n ferromagnelischen Iiristal1e.n usw. 683
Aus (4)folgt die Einstellung des Spins, d. h. das Xertesystem
der a,durch Ermittlnng des Minimums von F unter Reriicksichtigung
der Beziehung
(6')
U I Z + U2'22+ u32= 1 .
Es muB also das System der liomogeneii Gleicliungen
el2-
P P ,P,
2,
PP2P1
Pz2--A
PP3&
PP3i3,
PA83
PPz133
I
=o,
a3,--
cl. h.
R S - 1.2 + (1 - 112) D,a - (1 - p ) z (1
(8)
niit den Sbkurzungen
(9)
Dl
= pZ2p3'+ p3'i31'+
p12p22;
+ 2 p )D, = o
L),= Pl2P2'p3'*
Die folgenden Tabellen geben f u r diese beiden Funktionen auf
den Einheitskugeln die Zahlenwerte, die f u r numerische Berechnungen von Niitzen sein H erden. Dabei ist es naturlich ausreichend,
sich auf den Fall zu heschranken, claB die Zugspannung in den1
einen Oktanten P, > 0 ; P2> 0 ; P:, > 0 liegt, und die in F'rage
kommenden heiden Funktionen D, und D, brauchen aus Symmetriegriinden nur in der eineu Hzlfte dieses Oktanten berechnet zu
werden. (Eigentlich sogar nur im 6. 'l'eil.)
Dlultipliziert man die erste ($1. (7) init p,, die zweite mit - p,
und addiert sie dann, und verfahrt man aualog mit der zweiten und
dritten bzw. mit der dritten und ersten, so erhalt man
wo gesetzt ist
(11) ~
, = p , y -ip ) - i . ;
~ , = ~ ~ y i - p ) ~- ,~= ~p ~; z ( i - p ~ - - a .
Aus (10) ergibt sich also mit Beachtung von (6)
44 *
0;ooOO
0,0000
0,0000
0.0000
0,0000
0,0000
0.0000
0,0880
o,oO0o
0,0099
0,0384
0,0819
0,1344
0,1875
0,2304
0,2499
0,2304
0,1539
0,0000
~-
00
~
0,7386
2,779.
lopwo-
0
1
~ 0,0000
0,02925
0,0386
0,0654
0,1061
0,1550
0,2039
0,2424
0,2575
0,2342
0,1550
0,0883
.___
100
2,866.lo-'
1,078.10-8
loloooo
0,00754
0,0173
0,0453
0,0881
0,1397
0,1917
~0,2335
0,2519
0,2314
0,1542
0,0881
-
5 0
'
1
oil537
0.1736
0,2379
0,2700
1
11
Oil112
0.1336
0,2073
0,2456
-
20O
-
25O
1
'
1
~~
30°
0,2667.
0,2929
i o;i937
1 0.2112
-
0,0000
350
40°
0,2425
0,2475
0,2619
0,2827
0,3055
0.3239
I
-
45O
0,0000
0,2500
0,2549
0,2688 0,2889
0,3108
0,3282
0,3328
0,3149
0,2628
0,1629
0,0904
____~
.
____
450
-
2,163 lo-'
8,137* 104,658-lo-' 7,698* lo-' 1,094.10-' 1,397.10-' 1,645.lo-'
7,057.lo-' 1,166.lo-' 1,657*10-* 2,117-lo-* 2,493-lo-*
8,788.10-8 1,452.10-* 2,063* lo-' 2,636.10-* 3,104*10-*
9,218.10-8 1,523-10-a2,164.10-* 2,759.10-* 3,255 10-o
3,688
7,968.10-' 1,317~10-*1,871-10-' 2,390-10-2 2,814* 10-' 3,091-10-s 3,186-10-*
5.184*10-' 8,568*10-81.!!17*10-* 1.555*10-' 1,831.10-a
1,828.10-s 3,021 loF8 4,291
5,483.
6,455.10-3
o,oO0o
/0,0000
0,0000
lo,0000
0,0000
15O
Tabelle 2. D,= @ , 2 p a * p 3 2
0,1562
0,0886
0,1785
0,2227
0;0711
0,0960
0,2207
0,2262
0,2418
0,2647
0,2902
0,3117
40O
~- ~ _ ~______
_
--__
350
____.
z
al
?
;p"
0
kl
Fn
5.
&
9
rp
43
00
R. Calls. Die Spineinstellung in ferroniagiietischenKrislallen
USW.
(i85
Dadurch sirid die u bestilrimt, wenn man A aus (8) oder, wits
dasselbe ist, aus
L,L,L,+ p ( p l a L & ,
(8‘)
+ *-.)= 0
berechnet. [Die linke Seite von (8’) ist bis aufs Vorzeichen rnit der
von (8) identisch]. Da die drei Wurzeln a die Extremwerte der
eckigen Klammer in (4) bedeuten, ist wegen der Minimumsbedingung
fiir F von diesen drei Werten f u r Wi unter Zug (C > 0) die kleinste,
fur F e unter Zug (C < 0) die groBte Wurzel zu nehmen.
I n (12) konimen beide Vorzeichen der Quadratwurzel, und zwar
mit gleicher Wahrscheinlichkeit in Frage entsprechend der mathematischen Tatsache, daB F in (4)seinen Wert nicht andert, wenn man
gleichzeitig u l , v 2 , u, mit bzw. - a,, - cc,, - u3 vertauscht, und
das wirkt sich physikalisch so aus, daB der Zug eine von seiner
Richtung abhangige Spinrichtung hervorruft, aber dsB in den einzelnen
Elementargebieten oder Bezirken die zu dieser Spinrichtung antiparallele ebenso haufig vorkommt, 60 daR durch die Verzerrung
nicht etwa eine makroskopische Magnetisierung erzeugt wird.
Eine prinzipielle Schwierigkeit, die Spinrichtung aus (12) mit
Renutzung von (11) und (8) fur jedes Wertesystem der p zu errnitteln, liegt nicht Tor. Wir wollen uns hier aber auf die einfachsten Spezialfalle beschranken, um eine nbersicht uber das Verhalten zu bekommen.
I. DerZug fallt
i n die [lll]-2-lichtung,d. h.
18, = pz= p3 =
1
(8) geht dann iiber in
0
Da f u r Zug (a > 0) bei Nickel die kleinste, bei &sen die griifite
Wurzel in E’rage kornmt, so gilt wegen des verschieclenen Vorzeichens von p in beiden Fallen 2.
u1
oder auch
(14)
=
+ + us
c o s o = u1
uq
1 - 1’
3
.
Dann folgt aus (7)
=0
+ u 2 p 2+ u3p3= 0 ,
wo 0 der Winkel ist, den die Zugrichtung rnit der Spinrichtung
bildet.
Der Spin. stellt sich, Zug vorausgesetzt, bei beiden Stofj’en in
diesena speziellen F a l b stets senkrecht xur Zuyrichtung ein. Alle
Eichtungen dieser Ebene sind aber gleich wahrscheinlich.
6%
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 24. 1935
< 0) wechselt das Zeichen von C; dann braucht
die (griiL(te
1+ 2 p
klelnste Wurzel von A. Das ist I = _ _ 3 '
Unter Druck
man also fur
{::}
(6
]
und die GI. (7) gehen iiber in
-22a,+
u2
a, - 2a,
2a1
d. h.
+
+
+
az --
a1 = I%*
cf3=:o,
u3 = 0 ,
2a3 = 0 ,
= fX3.
Der Spin stellt sich unter Druck bei Ni und Fc irz die Zuyricktuncq Pin.
11. Der Zuy fdZt i n e i n e Hauptebene, z. B. in die (001)-Ebene,
d. h. p3 = 0.
Aus (8) folgt dann
il1 = 0;
Es gilt a, < 3,,
unter Druck 3,
a,
=
L,
=
1
__ __
-&
- 4 ( 1 - p2)p12p2x;
1
-
1 1 - 3
+ B y 1 - 4(1 - $
~
~. )
p
~
< a,.
=
Also ist fur Ni unter Zug sowie fur &sen
0 zu wahlen, und dann folgt aus (7)
MI
u3 = 1
= a, = 0;
oder
(15)
cos 0 = ulpl
+ ... = 0 .
Liegt die Verspannungsrichtung in einer Hauptebene, so stellt
sich der Spin bei Xi unter Zug soujie Fe unter Druck senkrecht zur
Xpannung in die Hauptachse. 1st auch noch /Il = 1, d. h. fallt die
Verspannung in eine Hauptachse, so fallt der Spin fur F e unter
Zug auch in diese Achse, fur Ni unter Zug wird u1 = 0. Der Spin
liegt dann in der Hauptebene senkrecht zur Richtung des Zugs, aber
in dieser Ebene hat jede Richtung die gleiche Rahrscheinlichkeit.
1st dagegen 6, = 0 uncl Ni unter Druck oder Eisen unter Zug,
so haben wir die Wurzel
zu wiihlen, wo cp den Azimutwinkel in der Hauptebene, von einer
Hauptachse an gerechnet, bedeutet.
Aus (11) ergibt sich
und aus (10) folgt
a3 = 0 .
~
~
~
R. Guns. Die Spineiristellung in ferromag?idischen Iirisfallen usu. 687
Die Spinrichtung liegt also mit der Verspannung in derselben Hauptebene. Weiter folgt aus (lo), wenn unter T,D das Azimut des Spins
verstanden w i d ,
I,, .
tg 1p = t g y * --
(16)
L,
Wir geben fur Eism untfjt-Zuy in Tab. 3 die entsprechenden Zahlen.
'I'abelle 3
0'
20'
40'
45 0
- 1,0000
- 0,9353
- 0,7515
- 0,6905
- 0,4813
- 0,1605
- 0,0000
0,8124
0,7678
0,6368
0,5911
0,4248
0,1542
0,0000
1,0000
0,9900
0.9635
o;9aa9
0,9344
0,9093
0,9062
0'
-
0,O"
8' 14.2O
- 17'
- 19' 3:;::
- 27' O i l o
- 39' 31,2"
- 450 0,O"
I
I
00 U,O'
18' 14.2'
37
42'
57O
79''
90'
t(4'
1.4'
0;l'
X,2'
0,O'
Der Winkel 0 zwischen Spin und Zug nimmt also Werte zwischen
0 und 90° an, und zwar ohne daB I , welches ein MaB fur die freie
Energie im Gleichgewichtszustand ist, sich wesentlich rerandert.
111. Do. Zug f a l l t in dic (110)-Ebcne, d. h. /I, = P2.
(8) hat dann die drei Wurzeln
j
(17)
ist.
I
A,
= b y ( 1 - 24;
zk
I
1/[1
-
i2,3
=
/312 (1 -
1 - A"1 - P )
2
$?)I2 - 4 (1 - P)(l f 22l)/j,
) 2
1 2 .
Fur Ni unter Zug gilt aber ILl nur, wenn es die kleinste Wurzel
Da I , < A,, also nicht mehr, wenn lv3< Ibl. I , gilt also, wenn
31,
-
1
> - v(i -
-
4(1
+ 2p)p,231,.
Nun kann aber die linke deite dieser Ungleichheit fur Xi nicht
>0
sein, denn dann miiBte nach (17)
BIZ> y.o,488
oder PI2> 0,725
sein. Es ist aber PIzs 0,5. 3 4 - 1 ist also < 0, und somit ist
nach obiger Ungleichheit I , kleinste Wurzel, wenn PI2> +.
Fur Ni unter Zug gilt also
J I , fur
+ S p 3 25
1 ,
,) o s p 3 " ; - .
(b < /I3? 5 1) ist also A
Ib3
(18:
Irn ersteri Fall
(7) folgt
(19)
cos 0 = Cl,p, =
*
*
= &?(1-
= 0.
p ) , u u d aus
Aiinalen tler l-'kysik. 5 . Folge. Band 24. 1935
688
Aus (11) ergibt sich L, = L, = 0; L3
+ 0, also aus (10)
a3 = 0
(20)
und somit aus (19)
a1 = -
= - .1
l/2
Dagegen erhalten wir fur 0 S
5 Q folgendes:
Aus (11) ergibt sich L = L, und somit aus (10)
d. h.
tg 9.' = tg
(22)
19.
- 5.
L,'
wenn 9' bzw. 79 die Winkel sind, die der Spin bzw. der Zug mit
der [OOlI-Achse einschliefit. Die Magnetisierungsrichtung liegt ubrigens
wegen a, = a,, ebenso wie der Zug, in der (110)-Ebene. Zahlenmafiig ergeben sich die Daten der Tab. 4.
54O 44'
60 "
$0
SO0
(300
0,1527
0,1718
0,2022
0,2221
0,2290
0,1527
0,1279
0,0675
0,0184
0,0000
0,0000
0,0000
0,0439
0,1347
0,2037
0,2290
-
- 0,0134 - 27' 52'
- 0,0139 - 15" 50'
- 0,0046 - 7O 18'
0,0000
-
900 0'
8 7 " 52'
85' 50'
87O 18'
900 0'
Fur Eisen unter Zug ist dagegen die groBte Wurzel 1, zu suchen.
Es gilt also I,, wenn A, > ill, d. h. wenn
- 4 ( i + 2 p ) I , 1j32.
3 4 - 1 < 1/(i-
Die Uiskussion dieser Ungleichheit ergibt
A, fur 0 1 , 8 3 2I
I m ersten Falle
i;
2, fur
i-<,!I3,
(,832i 4)wird
cos 0 = 0 ; u1 = - u,
1
= -x.
v2
7
u,=0.
1st dagegen ,8322 5, folgt wieder
a = a2 *, tg "I
und somit Tab. 5.
I
1.
= tg
19.-
L3
L,
Ii.Gans. Die Spineinstellung
i n ferromagnetischen Iiristallen usw. 1653
Tabelle 5
L3
A2
0,3745
0,2266
0,1060
0,0273
0,0000
0,6040
0,6i22
0,7975
0,8927
0,9550
0,9893
1,0000
- 0,1403
- 0,4230
- 0,6661
- 0,8490
- 0,9620
- 1,0000
0,0000
0,0769
0,2665
0,4663
O,ti460
0,7687
0,8124
4'
Q=:,-4'
- 35O 16'
9'
52'
900 0'
830 9'
- 330
- 27'
-220
- 15'
- 8'
0 0
0'
29'
1'
0'
6 7 O 5Y
520
350
18O
00
0'
29'
1'
0'
Zusammenfassend konnen wir sagen, daB bei Ni unter Zug der
Spin sich in den ron uns oben berechneten Spezialfallen genau senkrecht zur Richtung der Zugspannung auf den Seiten des Oktanten
und einem Teil der Hohen einstellt. I n Fig. 1 sind diese Teile der
Kreise stark gezeichnet. I11 diinn gezeichneten Linien betriigt dic
Abw eichun g maxim a1
kauni mehr als 4 O. Vermutlich wird sie nirgends betrachtlich sein.
Es ware leicht, die
/laa/
(07UJ
Rechnung noch fiir
f7001
hV01
einige andere Punkte
Fig. 1
Fig. 2
durchzuf iihren , doch
verzichten wir darauf.
Bei Eisen unter Zugspannung liegen die Verhiiltnisse jedoch
gans anders. I n den stark gezeichneten Linien der Fig. 2 steht der
Spin senkrecht zum Zug. Ihm parallel steht er nur in den Ecken,
die durch kleine Kreise markiert sind, wahrend der Winkel von
hier aus auf den diinn gezeichneten Linien stetig bis zu 90° anwachst.
L5!?&
2. Die Magnetisierungskurve
Nun wollen w i r dazu iibergehen, die Magnetisierungskurve t'
mes
unter starkem Druck oder Zug stehenden ferromagnetischen Einkristalls kubischer Symmetrie zu berechnen. Dabei wollen wir der
Einfachheit halber annehmen, daB das Feld in die Richtung der
mechanischen Spannung fallt.
Jetzt muB
F=C{(u12p12+ * ' . ) + 2 p ( u , c 1 3 p 2 p 3 + * * . ) f - H J
mit Beriicksichtigung der Nebenbedingung (6) ein Minimum werden,
oder
F
- = (@,2P1?
. * .) 2 p ( u , u3p2p3 * * .)
(23)
C
+
+
+
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 24. 1935
690
mu13 ein Grenzwert werden, wo zur Abkiirzung gesetzt ist
Es miissen also die Gleichungen erfiillt sein
(25)
I
1
@I2
- )'
al
+P
+P
P1 PZ
P P Z P1
+
Y/'3pla1
+Pp3P2,2
=
P l j33
+ P p2 P 3
(P2"'bZ
Epl?
=f
P27
+(P32-L)u3=Ep3.
S u s ihnen folgt zunachst durch Multiplikation rnit a1 bzw. a2, u3
und Addition, da13 i m Gleichgewichtszustande
+
+
= (u12p l Z ' * ')
* * ')
22, (u, p, p3
(26)
ist, wo q eine Abkiirzung ist fur
J
71 =
= ulpl
u2p2 u 3 p 3 .
(27)
.Jco
+
- g 71
+
ililittels (26) schreibt sich dann nach (23) das Minirnuni der freien
Energie
F = C @- E d ,
(28)
eine Beziehung, von der wir noch Gebrauch zu machen haben.
Aus (25) ergibt sich ferner, wie friiher, die Beziehung (10). Sie erlaubt az und u3 durch u1 auszudriicken und in die erste G1. (25) einzusetzen. Verfahrt man analog mit den anderen beiden GI. (25) so
erhiilt man
(29)
"IA,
= g p l L Z L 3 ,
a 2 4
= EPZL3L
" 3 4
= EP,L,L,
mit der Abkiirzung
+
A1 = ' 1 2' ' 3
P(B1"z
'3
Multiplikation der G1. (29) mit bzw.
ergibt
(30')
(31)
mit der Abkiirzung
(30"')
* *
*).
p l , p2, p3
und Addition
774 = f A 2
(30")
=PI2L2L3 +P22L3L1
SchlieBlich folgt aus (29) und (6)
(32)
mit der Abkiirzung
+
4
= ZA3
+
A, = v m L 3 2
+P3aL1L,*
)((22
L3' L12+ p32L12Lz2
12. Gans. Die Spineinstellung in ferronaagnetischen Iiristallcn uszu. 691
1
Ausfiihrlicli haben die A folgende Bedeutung :
A, = (1 - p ) 2 ( i
2 p ) ~ -, (1 - p 2 ) D,I. a 2 - 3,3 ,
A, = 3(1 - p)2D2 - 2 ( 1 - p)D,?, h 2 ,
(30) A,$ = (1 - p)4 D, 11, - 4 (1 - p7)3 D,a
+ (1 - p)y(u, + g ~ , )a 2 - 4(1 - p ) ~i13, a 4 .
+
+
+
+
Wir haben somit in (31) und (32) die Magnetisierungskurve in
der Form
(33)
Sie ist in Paranieterdarstellung gegeben, und zwar ist die in
den A vorkommende GroBe 1, der Parameter.
dv
q-Kurve, auf denen d H = . J f -< 0 ist,
LC d5
sind dabei labil, also fortzulassen. Zug vorausgesetzt, findet das
Die Teile der
dJ
-
~
d
d
Lei Ni (C > 0) fiir 2 < 0 , Lei F e (C < 0) fur+
d5
>0
statt. Treteii
solche Kurventeile auf, erhalt man Hysteresis uncl Barkhausensprunge I).
Es moge zunachst das Anrzaherungsgesetx an die Siittigung kurz
angegeben werden. 1st 3, sehr gro8, folgt aus der ersten G1. (33)
E=-a,
wiihrend die zweite G1. (33) ergibt
Diese Beziehung gilt natiirlich nur unter der Voraussetzung der
ganzen vorliegenden Mitteilung, daB die mechanische Verspannung
sehr groB ist. Selbstverstandlich l&Bt sich ohne weiteres eine allgemein gultige Formel auf Grund der GI. (3) angeben2).
Es sei noch hemerkt, daB nach 130) A, nur bis aufs Vorzeichen
bestimmt ist. Beide Vorzeichen haben Giiltigkeit, naturlich sind in
beiden GI. (33) die gleichen Vorzeichen zu wiihlen. Ein nbergang
zum anderen Vorzeichen verwandelt dann gleichzeitig 8 in - 6
und q in - 71. Beide Punkte liegen aus Symmetriegriinden auf
der Magnetisierungskurve.
Es ist fast iiberflussig zu erwiihnen, daB die im 5 1 behandelte
Einstellung der Spins ohne Magnetfeld, einzig und allein infolge
der Spannungen, sich als Spezialfall aus den soeben abgeleiteten
Pormeln ergibt, denn H = 0 ist nach (24) und (33)gleichbedeutencl
1) Vgl. R. G a n s , Schriften der Kiinigsb. Gel.-Ges. 8. S.44. 1931. Forriiel 18.
2) R. R e c k e r , Leipziger Vortrage 1933, S. 85, bat das Annaherungsgesctz
recht allgemcin abgelcitet.
Aiznalen der Physik. 5. Folge. Band 24. 1935
692
mit A, = 0, und diese Bedingung wiederum ist nach der ersten
G1. (30) mit (8) identisch. Andererseits ist dann die zweite G1. (33)
eine Folge von (12).
5 3. Einige Sonderfiille
I. Die Verspunnung habe die [llll-Richtung, d. h.
p,
1
= p2 = p3 = T .
v3
Dann wird aus (30)
f
A, = - ( L - ~1 -) P~ ( ~ - - J + ) ,
I
(35)
uud es folgt aus (33)
=T
(36)
(i. - -1. 3
,
?]=*I.
Mit (36) ist aber die Losung noch nicht erschopft.
Da wir
;")" fortgehoben haben, fuhrt auch i= %
a- 3
(
zu einer Losung von (25). Wie man n5mlich durch Einsetzen unden Faktor
mittelbar ersieht, ergeben jene Gleichungen
und da
TI
1
= -'al
t/3 (
gnetisierungskurve
(36')
oder
+ ag+ cc,)
ist, folgt als weiterer Ast der Maq=-6
P
(37)
wahrend (36) identisch ist mit
[37')
J = t J,.
Unter Zug ( B > 0) ist diese Gerade (37) sowohl f u r Ni, als fur
Eisen stabil; unter Druck kommt sie, weil labil, nicht in Frage.
Aber auch (37') stellt einen moglichen (indifferenten) Gleichgewichtszustand dar. Wann (37) und wapn (37') gilt, lafit sich durch (28)
entscheiden. Der stabilste Zustand irgendwelchen Storungen gegenuber ist der, in welchem F das absolute Minimum ist. Das ist aber
auf der Geraden (37) der Fall, solange 1 HI < __
3 a(- 4 1 , ) ist, fur
Jm
R. Gans. Die Spineinstellung
zn ferrornagnetischen Kristallen
usw. 693
groBere Absolutwerte der Feldstiirke dagegen auf den horizontalen
Geraden (37'). Die Magnetisierungskurve hat deinnach unter Zug
bei F e und Ni die Form der Fig. 3. Unter Druck nimmt sie dagegen bei beiden Stofien die Gestalt der Fig. 4 an. Hei H = 0
t&
findet also ein UniklapprozeW mit Barkhauseneffekt. statt. Hysteresis
in1 Sinne von Zweideutigkeit oon J fiir gegebenes H ist aber nicht
vorhanden.
3cr(-d )
Sattigung tritt bei cler endlichen Feldstarke H =
-I*'
*Jm,
auf im Gegensatz zu dem Bnnaherungsgesetz (34). Dieser schein-
bare Widerspruch erklgrt sich aber als Folge der Degeneration der
Funktionen A , durch die 71 in (33) nicht von 3, abhangig, sondern
f 1 wird.
11. Die Verspannung liege in einer Hauptachse. Da die Methode der Ableitung klar ist, gehen wir die Resultate hier ohne
Reweis.
Erstens ist A = 0 ; 71 = 6 ; F = - C g2,
zweitens = (A - 1); q = i 1; F = C ( l - 2 g).
P i e MaXiietisierungskurre hat also die Gleichung
Bei ] H i - 3 rr ( - AIOO)tritt Sattigung ein. Der Typ der Kurve
Jm
ist also cler cler Fig. 3 , n u r die Neigung der Geraden ist eino
andere. Dies gilt fiir Ni linter Zug sowie fur Eisen unter Druclr.
Hei umgekehrter Spannungsrichtung erhiilt man als Magnetisierungskurve Fig. 4.
111. Die Verspannung liege in einer Hauptebene. Es sei also
etwa /?, = 0. Dann wjrd nach (9) auch D, = 0 und von den
E'unktionen rl in (30) lBBt sich der Faktor A abspalten. Infolgedessen kann man den G1. (25) mit 2 = 0 geniigen, und es folgt aus
ihnen
(35)
a1
p,
=
u2
p2 ;
(1
+ p ) a1p,
=
6;
2€
1 fP
4 = ___
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 24. 1935
694
und somit
(37 b)
Unter Zug ist diese Gerade fur Eisen labil, fur Xi stabil [sie
hat wiederum eine andere Neigang als (37) und 137a)], unter Druck
umgekehrt.
Zu der Geraden (38) kornmt noch.der durch (33)gegebene Ast hinzu.
I n der von uns betrachteten Hauptebene ist D, = p12,822;
D, = 0 .
Wahlen wir als Beispiel etwa 8 = 90°; y = 22,5O, so ergeben
sich f u r Ni unter Zug aus (33) die Zahlenwerte der Tab. 6.
Tabelle 6
2
175
170
0,5
072
0,15
0,lO
0,05
- 0,4
- 0,R
- 0,7
- l,o
1,105
0,6030
0,0989
- 0,4022
- 0,5018
- 0,3271
- 0,0148
+ 0,3105
1,230
1,342
1,554
1,864
Tabelle 7
- 0,9982
- 0,9963
- 0,9915
- 0,9590
4
3
2
1,5
- 0,5984
1
- 0,2961
+ 0,1257
0,4909
0,95
0,s
0,Ti
0,Ci
I
3,365
2.335
1:267
0.6948
0;05985
0,007339
I
-
- 0,2060
- 0,3245
- 0,4147
- 0,4556
- 0,4525
- 0,4330
0,9915
0.9847
019596
0.9181
0;7702
0,7391
0,6080
0,4784
0,3084
0,1029
0,006842
-0,1164
0,9763
0,9833
0,9917
0,9945
Fig. 5 stellt die Gerade (38) und die durch die Tabelle gegebene
Kurve dar. Naturlich gelten auch die Werte der Kurve, die man
durch gleichzeitiges Vertauschen von E mit - E , 91 mit -?I erhiilt.
d 5 < 0 ist, fallt als labil fort.
Der Teil der Kurve, auf dem 9
PIC, nach (28) berechnet, 1st auf der Geraden kleiner als auf
der Kurve, solange die Kurve oberhalb der Geraden liegt, dagegen
ist FIC auf der Geraden groger, als auf der Kurve, wo jene oberhalb dieser verlauft. Der Schnittpunkt entspricht dem M'erte a = 0 .
Da es auf das absolute Minimum ankommt, gilt fur = 0 bis
8 = 0,5454 die Gerade, fur groJ3ere E-Werte die Kurve, man erhalt
somit die Magnetisierungskurve der Pig. 6.
Ganz anders ist der Verlauf der Magnetisierungskurve bei Eisen
unter Zug fiir dieselbe Richtung der Zugspannung (9.= 90°;
y = 22,B0). Die Fornieln (33) geben die Werte der Tab. 7.
13. Gnns. Die Spin,eiristellung in ferromagnetiscken Kristallen usw. fig5
Die Tabelle fur kleinere Werte von 3, zu berechnen hat keinen
Zweck, da mir hereits auf den labilen Teil
714
,
-iz
Fig. 6
Fig. 7 stellt die Magnetisierungskurve dar.
Barkhausenspriingen verhundene Hysteresis auf.
Es tritt also mit
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 24. 1933
696
Die in Einheiten der Sattigung (JW = 1700) gemessene Bemanenz
= 0,743, d. h.
R = 0,743 1700 = 1260;
sie ist unabhangig von der Spannung 6.
Dagegen ergibt sich die Koerzitivkraft aus gc = - 0,456, so daB
ist
71
-
Jca
wird.
MiBt man
Q
in- kg
mmB '
so wird
Hc. = 426 Q .
Die Koerzitivkraft ist also cler Spannung proportional.
0' 70° ZOO 30° 40' .Wo 60' 70' 80' 90'
-9
Die Remanenzen fur die verschiedenen Azimute y der Zugspannung in einer Hauptebene erhalt man als cosinus der Rinkel 0,
die in Tab. 3 gegeben sind. Sie sind in Tab. S tabellarisch, in
Fig. 8 graphisch dargestellt.
0
10
20
22,5
1,000
0,950
0,797
0,743
30
40
45
0,545
0,182
0,000
I i i i n i g s h e r g i. Pr., IT. Physikalisches Jnstitiit, 27. Sept. 1935.
(Eiugcgangen 30. September 1935)
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