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Die Strahlung des schwarzen Krpers und das Dopplersche Prinzip.

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333
6. D i e Strahlung des schwarsen E6rpers
un d das D o p p 2 ersche Prinxip;
von M a t h i a s C a n t o r .
6 1. Das von W. Wien entdeckte Verschiebungsgesetz
ist fur die Theorie der Strahlung fundamental geworden. Das
Wesentliche der Uberlegungen, welche zur Entdeckung dieses
Gesetzes gefuhrt haben, durfte in der Bemerkung bestehen:
es lassen sich die Wellenl’angen einer Strahlung, die von einem
Spiegel reflektiert wird, dadurch verandern, daB der Spiegel
unter Leistung mechanischer Arbeit bewegt wird. Die Veranderungen, welche unter solchen Umstanden die Wellenlangen
erfahren, wurden von Hrn. W i e n l) durch Anwendung des
Dopplerschen Prinzipes bestimmt und auch in der yon Hrn.
A b r a h a m gegebenen Ableitung wird dieses Prinzip kenutzt.
Durch die folgenden Betrachtungen kann das Verschiebungsgesetz und gleichzeitig auch das S t e f a n Boltzmannsche
Strahlungsgesetz gewonnen werden , ohne das D o p p l e r sche
Prinzip vorauszusetzen. Den von Hrn. W i e n beschriebenen
Vorgang vorausgesetzt, sei die Strahlung, welche von einem
bei der Temperatur 19 befindlichen schwarzen Korper ausging,
in einem Hohlraum enthalten und werde von den W h d e n vollstandig zuruckgeworfen.
Das Volumen des Hohlraumes sei v und mit U und F sollen
die gesamte und die freie Energie in ihm bezeichnet werden.
Durch 19. und v wird dann der Zustand vom Raume bestimmt
und es gilt fur eine umkehrbare Veranderung die Gleichung3)
-
1) W.W i e n , Sitzungsber. d. k. Akad. d. Wissensch. zu Berlin am
9. Febr. 1893.
2) M. A b r a h a m , Boltzmann-Festschrift p. 55. Leipzig 1904.
3) H. v. H e l m h o l t z , Ges. Abh. 2. p. 968. 1882.
M. Cantor.
334
Die Arbeit, welche das betrachtete System bei einem Volumszuwachs dv abgibt, ist dann bestimmt durch
Auf die Wande des Raumes wird nun der von der Strahlung
herruhrende Druck p ausgeubt und die Arbeit bei der Volumanderung wird durch p dv angegeben, so daS
Bezeichnet man mit u die Dichte der Energie in dem Raume,
so ist
u=
uv,
p = 13 u
und es folgt aus (I)
Dieser partiellen Differentialgleichung f i r u entsprechen die
simultanen Differentialgleichungen
du
~~
~
d 4
--
8
2c
=-
dv
3v’
welche die partikularen Integrale bei konstantem Volumen v
(1a)
u=
bei konstanter Energiedichte
(Ibf
I?$=
c1$4,
I
c, ,
und das allgemeine Integral
(14
u = 7 9 4 f (77 $)
ergeben, wobei C,, Cz willkurliche Konstante, f eine willkiirliche Funktion bedeuten.
Die erste Gleichung ist der Ausdruck des S t e f a n - B o l t z m annschen Strahlungsgesetzes. Die zweite besagt, daI3 die
Strahlungen, welche von schwarzen KGrpern bei verschiedenen
S f r a h h i g des schwarzen K6rper.T.
335
Temperaturen ausgesandt werden , auf Volumina gebracht
werden mussen, die sich umgekehrt wie die dritten Potenzen
der Temperaturen verhalten , damit sie gleiche Energiedichte
besitzen. Es la& sich nun zeigen, daB unter bestimmten
Voraussetzungen dieser Satz mit dem Verschiebungsgesetz
identisch wird.
0 2. Der Hohlraum sei ein Wiirfel von der Kantenlange E
und es werde angenommen, daB die Strahlung durch ebene
Wellen parallel den Wiirfelflachen bedingt sei. Diese Annahme wird wenigstens mit einiger Annaherung der gleichfiirmigen Verteilung der Strahlung in den Hohlraumen entsprechen.’) Die Volumanderung soll derart erfolgen, daB alle
Wiirfelkanten gleichmaI3ig geandert werden in der Weise, daB
je eine Wiirfelflache festgehalten, die ihr parallele aber rerschoben wird. Unter diesen Voraussetzungen werden die drei
orthogonalen Wellenziige bei der Kompression des Raumes
in gleicher Weise geandert und es geniigt die Veranderung
fur einen derselben - den in der Richtung z fortschreitenden - zu ermitteln. Diese Veranderungen werden erhalten,
wenn man das elektrische Feld der Wellen nach vollzogener
Volumsveranderung bestimmt. Das elektrische Feld ist aber
bestimmt durch die Wellengleichung und durch die den gemachten Voraussetzungen entsprechenden Anfangs- und Grenzbedingungen. Die letzteren sind dadurch gegeben, daB die
Wellen durch zwei vollkommene Spiegel begrenzt werden
sollen.
Eine derselben befindet sich dauernd an der Stelle x = E,
der andere ist anfangs bei 2 = 0 und wird parallel zu sich
selbst verschoben. Die Bewegung desselben soll mit einer
beliebig kleinen, im ubrigen aber irgend einem Gesetze folgenden Geschwindigkeit vor sich gehen.
EN sind dann bestimmte Gleichungen an beiden Spiegeln
zu erfiillen, und es liegen hier also Grenzbedingungen vor,
durch welche der Zustand nicht bloB an einer bestimmten
Stelle des Raumes vorgeschrieben wird, sondern auch an verschiedenen Stellen, welche sich nach einem angegebenen Gesetze mit der Zeit andern.
1) L. B o l t a m a n n , Wied. Ann. 22. p. 291. 1884.
336
M Cantor.
Die von Riemann’) angegebene lntegrationsmethode gestattet nun die Wellengleichung fur derartige Grenzbedingungen
zu integrieren.
Bezeichnet E eine Komponente des betrachteten Feldes,
so besteht die Gleichung
wenn w die Fortpflanzungsgeschwindigkeit des Lichtes in dem
Medium des Hohlraumes - hier das Vakuum -- bedeutet.
Wird die neue Veranderliche y = w t eingefuhrt, so
hat man
und das nllgemeine Integral ist gegeben durch
b
a
Die Bedeutung dieser Losung ergibt sich durch eine geometrische
Darstellung (Fig. l), wenn .z nnd y
als rechtwinklige Koordinaten in einer
Ebene gedeutet werden.
B ist die Komponente des Feldes in einem beliebigen Punkte P
der Ebene. Das Integral ist zu erstrecken langs der Kurve a 6 von a
bis b, wobei a und b die Schnittpunkte dieser Kurve mit zwei durch
P unter 45O gegen die KoordinatenFig. 1.
achsen gelegte Geraden G, und G,
sind. Ea und Eb sind die Werte von E in a und 6. Sind
diese Werte und die Differentialquotienten von E langs der
Kurve a b bekannt, 80 ist B vollstandig bestimmt. F u r die
Differentialquotienten bestehen noch die Beziehungen:
1) H. W e b e r , Die partiellen Differentialgleichungen d. math. Yhysik
2. p. 224. Braunschweig 1901.
Strahking des schwamen Korpers.
337
konstante Werte haben.
Die Kurve a & wird durch die Anfangs- und Grenzbedingungen bestimmt. Die Anfangsbedingung gibt die Differentialquotienten von E fur t = O =y also langs der x-Achse
von x = 0 bis x = 1. Durch die erste Grenzbedingung, daB
bei x = 1 sich ein fester Spiegel befindet, werden dieselben
l h g s einer zur y-Achse parallelen Geraden von y = 0 bis y = 00
bestimmt.
Durch die Festsetzung, daB ein zweiter Spiegel nach einem
bestimmten Gesetz in der x-Richtung verschoben werden soll,
werden die Differentialquotienten langs einer Kurve 2 = fb)
angegeben, wenn diese Gleichung das
Gesetz, nach welchem der Spiegel
bewegt wird, ausdriickt. Als einfaches Gesetz dieser Bewegung soll
vorgeschrieben werden, daB der fur
t = y = 0 bis x = 0 befindliche Spiegel
zur Zeit t , also fur y = w tl = p seine
Bewegung beginnt. Diese erfolge
mit der konstanten kleinen Geschwindigkeit c und der Spiegel werde bis
x = m verschoben. Diese Lage soll
fur y = q erreicht und dann dauernd
beibehalten werden. Durch Fig. 2
wird die so .bestimmte Grenzkurve
dargestellt, wobei die Gerade C D
die Spur des bewegten Spiegels
angibt.
Der betrachtete Wellenzug kann aus Wellen von verRchiedener Lange bestehen und das jeder dieser Wellen entsprechende Feld geniigt der Gleichung (11) und mug an den
Spiegeln verschwinden. Die Superposition dieser Teilfelder
Annaien der Physlk. 13'. Foige. 20.
22
338
ill. Cantor.
gibt dann das Feld des ganzen Wellenzuges. Zur Bestimmung
cles Anfangszustaiides dient die Angabe, daB bis zur Zeit
2 = 0 = y der bewegliche Spiegel sich bei x I
0 befinden soll,
es mu6 also fur I = 0 En = 0 sein, wonn I& das Feld bezeichnet , welches einer der vorhandenen Wellenlangen il entspricht. Benutzt man die allgemeine Liisung
+
El = @(Y-x)
W(~+.X),
so stellt @ das Feld der nach 2 fortschreitenden, W das der
entgegengesetzt gerichteten Wellen dar. Da nun Wellen in
verschiedenen Phasen y vorhanden sein konnen, ist
(&-%)
-
= XCO@(!/
'p
+ 90) -
Aus der Bedingung 8).
= 0 fur .x = 0 folgt bis zur Zeit t = 0
also fur den Anfangszustand
8
2=ccosp(y-2
oder
(IIb)
w
Bl
+ cp) - cos@(y+ z + y ) ,
+
= 2 s i n ~ x ~ s s i n p ( ycp).
9
Der Anfangszustand ist hiernach durch stehende Wellen in verschiedenen Phasen charakterisiert, wobei die Wellenlange il
bestimmt ist durch
p = - .2I n
Da nun auch bei .x = 1 sich ein vollstandig reflektierender
Spiegel befindet., so muB auch fur ~ : = l
31 =
sein, also
p=-
7I
0
16
1 '
woraus folgt
l=k
A.
2 '
wenn k cine g a m e Zaiil bedeutet.
Dies gilt nun fur alle in dem betracliteten Wellenzug
vorhandenen Wellen und es soll im folgenden der Index il
weggelassen werden. Mit den gemnchten Voraussetzungen ist
das Vorkommen von Wellen mit allen beliebigen Perioden
nicht vertraglich. Die mijglichen Wellenlangen folgen nicht
339
Strahhing des schiuarzen Kiirpers.
stetig, sondern mit endlichen Intervallen aufeinander. Die
Intervalle kijnnen aber durch VergrOSern von I bestandig verkleinert werden. Urn nun E zu erhalten, mu6 der in (11)vorkommende Integrant
fiir den Linienzug A, A B Bl bestimmt werden. Die Linien
3 A l und B B, entsprechen ruhenden Spiegeln, an welchea
dauernd E = 0, also nuch 8 . E l d y = 0 ist,. Bus der Relation (ILa) folgt deshalb, daB a X / d x langs allen durch Punkte
von E A l parallel zu G, gezogenen Geraden konstante Werte
behalt. Daher ist
Y)-E-&(!d=~BB,(?/-
z)?
wobei durch die angefugten Indizes die Linien angedeutet
werden, langs welchen der betreffende Ausdruck zu bilden ist
und I’, wie auch in der Figur angedeutet, den Abstand der
Spiegel nach der Verschiebung bezeichnet. Ebenso folgt, da8
also auch
Es ist daher
VBB,(Y)
- 1‘)
( y - 2 1’) -
= Yggl (Y
V BB, (y - 1’) = Y E A,
v,U(g)= Y E 4 (,!/
7
7
- I’)
und in gleicher Weise
Y BB~ (Y)= VJnB~ (Y - 2 1‘)
d. h. die Y sind Iangs EL!, und BB, periodische Funktionen
mit der Periode 21’.
Es geniigt daher, y d t langs E B C A B A‘ C’ D E’ zu bestimmen, es kann dann auch fur alle spateren Werte nngegeben werden. Fur die einzelnon Teile dieses Linienzuges
erhalt man nun.folgende Werte:
Lungs A B . Hier ist, wie oben gefunden wurde, bis zur
Zeit t = 0
E= 2sinpxXsinp(y + y),
v
und da hier y und d y = 0 ist, wird
q A B d z= --dx
dE
aY
=2jSsiii/?.~~cos~rpdx.
m
22*
M. Cantor.
340
Urn fur die ubrigen Linien die Relationen (Ha) anwenden zu
konnen, mu8 noch bestimmt werden
und
Langs A C ist d E i d y = 0 und durch Benutzung der Re-
lation (IIa) erhalt man
fiir Punkte, welche auf einer zu C, parallelen Geraden gelegen sind. Aus der Fig. 2 folgt
WACdz=
zPCSinp(,Y
a
+ V)dy*
Zangs C B ist E = 0, somit
Aus (Ha) folgt, wenn die Qleichung von C D .. . y - p = ( o / c )
heriicksichtigt wird,
Hieraus ergibt sich
hangs .DIt ist d E/ d?j = O und mittels (IIa) falgt
.
+ m + ?)dye
Ynxdz = apXsin@(y
rp
Langs BBl ist uberall t 3 E f d p = 0 und rnittels (IIa) folgt:
Zanggs B C' :
v B C r d z =2 p x s i n p ( y - 1 + y ) d y .
Langs C' D':
P
.z
Strah Zung des schwarzen Kiirpers.
341
Aangs B'E':
y D I E t d=
z Z p C s i n @ ( y - 2'+ m
+ y).
'p
Die Diskussion dieser und etwas allgemeineren Verschiebungen, namentlich solcher, bei welchen das Ende dem Anfangsvolumen gleich wird, durfte nicht ohne Interesse sein.
Zuniichst aber soll ein besonders einfacher Fall untersucht
werden. Die Verschiebung soll zur Zeit 0
beginnen und so lange fortgesetzt werden,
bis die bei Beginn der Verschiebung von dem
bewegten Spiegel ausgehende Welle nach
der Reflexion an dem feststehenden eben
E'
wieder zum ersten zuriickkehrt.
a
Wird die Dauer dieser Verschiebung
mit t' bezeichnet, so ist
p = cot'= E + l'= 21'+ m ,
E
m = ct',
R
und es wird
P
=0,
o+c_1+2'+m
w-0
1+1'-na
- 4I"
o +_
c _2 _
- -.1
vA/Et
o+c
o + c
dz = Z - - - - - p ~ s i n ~
U - c
(y
- 2'-
(y
- 2 2'-
'p
yEErf
dz = 2 -o +- cp ~ sin p
0 -c
'p
Berucksichtigt man, daB
[
2:
0 - 0
+ cp] d y ,
m) + y ] dy .
m)
M. Cantor.
342
ist ersichtlich vp. d z f i r A E' und EB" durch periodische
Funktionen von 2 l' ausgedriickt und nach friiherem wird durch
diesen Ausdruck q dz auch fur alle spateren Zeiten dargestellt.
Nach der Verschiebung werden fiir alle Punkte oberhalb
E l , fiir welche also y > x g - m die Koordinaten
80
+
+
Ya = y
-x
m
ylJ=y-l+x
und
i
Ea = Eb = 0 .
Man erhBlt somit
b=y-E+z
2E=Jydz
a=y-x+m
oder
4
y-x+m
0
0
0
+
woraus folgt
k
E ' = 2 s i n n-,-(.rm ) C s i n -nr k- ( y + y P 1 ) ,
(W
1
PI
wobei
1'
'PI
= 2-
- *.
Man erhalt also nach der Verschiebung wieder stehende Wellen,
deren Wellenlangen bestilnmt sind durch
2'
2
l'= k--,
wahrend fiir die anfanglich vorhandenen
l=k-
1
2
Strahhing des sehzaamen Korpers.
343
war. Somit werden alle Wellenliingen durch die Verschiebung
im Verhaltnis I'll geandert und es bleibt
I'
=
= Konst.
I ' E .
Wird statt der Lange 1 das Volumen des Wiirfels v eingefuhrt,
so erhalt man
3
l"
h
__ = Konst.
AUS dieser Qleichung in Verbindung mit (Ib) folgt aber das
Ferschiebungsgesetzz:
= Konst.
8 3. Es liegt
nahe, auch die Reflexion einer ebenen Welle,
welche normal auf einen Spiegel auffallt, der mit konstanter
Geschwindigkeit c in der
Richtung seiner Normalen
sich bewegt, in derselben
Weise zu untersuchen. Fig. 4
gibt die geometrische Darstellung dieses Falles. Der
Anfangszustand bis zur Zeit
t = 0 ist wieder gegeben durch A
4 = cosp(y-x)-co9~~(~+x)
= 2sinpxsinpy,
Fig. 4.
und man erhalt
y A L I d z= p s i n @ x d z ,
Fur alle Punkte, fur welche y > x ist, sind die Koordinaten von
Yn =
W
;
I
; ( y - x) ,
.zn = -
c --(y-x),
w--c
und
M . Cantor. Strahlung
344
des schwarzen KGrpers.
so da8
b
2E =sqddz
a
oder
0
E
S+Y
w
0
Man erhalt so
A’= cosp
W S C
0 - 0
( 1J
- x ) - cosj3(y + x).
Zu der einfallenden Welle -cos
reflektierte
p (!y + x) tritt
also hinzu eine
1st rl die Lange der einfallenden, A’ die der reflektierten,
so folgt
1 - w + c
- 9
A‘ - 0 - 0
wie 8s dem Dopplerschen Prinzip entspricht.
W i i r z b u r g , Physik. Inst., 26. Marz 1906.
(Eingegangen 28. Mtirz 1906.)
Nachschrift. Durch das Vorstehende (9 2) wird auch die
Bewegung einer gespannten Saite bestimmt, die eintritt, wenn
einer der Befes tigungspunkte z. B. durch fiberschieben eines
starren Rohres bewegt wird.
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