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Die Strahlversetzung bei der Reflexion elektromagnetischer Wellen an einem anisotropen optisch einachsigen System.

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348
Annalen der Physik
*
7. Folge
IP
Band 20, Heft 7/8
*
1968
Die Strahlversetzung bei der
Reflexion elektromagnetischer Wellen
an einem anisotropen optisch einachoigen System
yon HEINZSCHILLIKG
Mit 5 Abbildungen
Abstract
Investigated is the beamshift which a polarized eiectromagnetic wave undergoes while
being reflected a t the boundary of a trigonal medium. It is shown t h a t beaashift tends
growing toward large values within two small ranges in the nearest vicinity of both of the
limiting angles of total reflection. The two maximum values of shift depend on the angle E
between the optical axis and the normal of the separation plaiie as woll as of the azimuth E
of the plane of incidence inspite the main section of the separation plane. The effect of
beamshifting has been found t o be the more evident, the less the absorptive powers in the
two mediae do differ.
1. Einleitung
Bei der Totalreflexion polarisierter elektromagnetischer Wellen dringt die
elektromagnetische Schwingung auch in das reflektierende Medium ein, wodurch
eine Versetzung des reflektierten Strahles bewirkt wird (s. Abb. 1).Dieser von
J. PICHT[l]bereits im Jahre 1929 vorausgesagte Effekt der Strahlversetzung
fand im Jahre 1947 durch die Versuche von Goos und HANCHEN
[2] seine experimentelle Bestatigung. Fur die GroBe de dieser Versetzung ergibt sich nach [3],
das Einfallsmedinm als nicht- bzw. schwachabsorbierend voraussetzt,
Dabei bedeutet A die Wellenlange der einfallenden elektromagnetischen SchwinBung, y den Einfallswinkel. R,eidrs bzw. R,ei8m bezeichnen die komplexen Amplituden der orthogonal bzw. parallel zur Einfallsebene schwingenden elektrischen
Komponenten des reflektierten Feldes.
Bei der Reflexion zwischen isotropen Medien konnen in einem schmalen
Bereich um den Grenzwinkel der Totalreflexion sehr groBe Versetzungswerte
auftreten, wobei das Maximum der Strahlversetzung im wesentlichen durch die
Leitfahigkeit bzw. durch den Imaginarteil der komplexen Brechzahl bestimmt
ist [4].Hieraus ergibt sich, daB ein unter dem Grenzwinkel einfallender, scharfgebundelter polarisierter Strahl, dessen Frequenzen uber einen schmalen Bereich
gestreut sind. infolge der Frequenzabhangigkeit des Brechungsindexes n = n (Y),
H. SCHILLING:
Reflexion elektromagnetischer Wellen
349
bei seiner Reflexion a n Stelle eines scharfen Bildpunktes einen v e r ~ c h w ~ m m e n e n
Lichtfleck erzeugt. Aus dem Grenzwinkel l6Bt sich der Realteil, aus der Gr613e
des Lichtflecks der Imaginarteil des Brechungskoeffizienten bestimmen.
scheintare RFfleaionsebsne
\
-----------------
rhnr
Abb. 1. Strahlversetzung
isalmpes Einfallsmedium
I n der vorliegenden Arbeit wird die Strahlversetzung bei der Reflexion an
einem anisotropen, optisch einachsigen, nicht aktiven Medium in Abhangigkeit
von der Lage des Kristallgitters behandelt. Es werden die Versetzungsmaxime
in der Umgebung der beiden Grenzwinkel bestimmt und daraus Formeln fur die
Messung der Real- und ImaginOrteile beider komplexer Brechungsindizes des
Kristalls abgeleitet. Geringe Unterschiede zwischen den Absorptionsindizes treten dabei besonders fur kleine Werte der Leitflihigkeit deutlich hervor.
Die Untersuchungen setzen ein isotropes Einfa,llsmedium voraus. Sie erfolgen
im Gultigkeitsbereich des Ohmschen Gesetzes, d. h . unterhalb einer Frequenz
von 5 . 1013Hertz.
2. Das Reflexiongsesetz fur anisotrope Medien
Vorausgesetzt wird ein trigonales optisches System, dessen Symmetrieachse
als z-Achse gewiihlt wird. Die FlLchen des Dielektrizitatstensors und des Leitfahigkeitstensors sind bestimmt durch
+
+
+
E1(X2
y2) + E 3 9 = 1, 01(9 y2) ( T 3 9 = 1.
Hieraus folgt fur die komplexen Hauptbrechungsindizes
~
ni = nj (1
+ i x j ) = I/
(2)
~
n; = ni,
( j = I, 2, 3 ) . (3)
Die x-y-Ebene ist identisch mit der Symmetrieebene des Kristalls; die yAchse wird so festgelegt, daI3 sie in die Trennebene fallt.
AuDerdem wird ein 2'-y'-2'-System
(vgl. Abb. 1)eingefuhrt, dessen d - y ' Ebene mit der Trennebene, dessen x' -2'-Ebene mit der Einfallsebene identisch
ist. Die 2'-Achse weist senkrecht zur Trennebene in das Einfallsmedium.
Bezeichnet man den spitzen Winkel zwischen der optischen Achse und dem
Lot der Trennebene mit E , das Azimut der Einfallsebene gegen den Hauptschnitt der Trennebene mit 6,so ergibt sich folgender Zusammenhang zwischen
den beiden Koor dinatensystemen :
(4)
cos E
0
sine
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Es sei die elektrische Erregung der einfallenden Schwingung bestimmt durch
-
6, = 6 , e
--iw
t--&1
(
'
) , se= ( y pcosy, y s ,y p sincp).
(5)
y p und ys bedeuten dabei die Amplituden der Schwingung parallel bzw. orthogopal zur Einfallsebene, n ist der Brechungsindex des Einfallsmediums,
5, = (sin y , 0, - cos y ) die Ausbreitungsrichtung der einfallenden Welle,
r = (d,g', 2 ' ) der Ortsvektor. Das Einfallsmedium wird zunachst als nichtabsorbierend vorausgesetzt .
Fur die reflektierte Welle folgt
6,
-
=
8,e
--iw
(
t---E,.r
),a, = (R,eisrp cosy,, R, eidrs, Rp
eisrp sin y,)
,
(6)
wobei 6, = (sin q,.,0, - cos p.) die Ausbreitungsrichtung der reflektiert,en
Welle, y r = n - ip den Reflexionswinkel angibt.
Nach [5] bzw. [6] erhiilt man fur die komplexen Amplituden
RpeidrP =
R,&dre
=
(- Plcos@,A,sina,
+ P , c ~ s @ ~ A ~ s i n a , ) ~ ~1
-
+ P,sin~zA,sinal)yp
+ (Plsin @,A,cos~y,- P, sin @,A,cosa,) y,
I
(- P,sin@,A,sina,
...
(7)
1
-~
AiA23in
(OL1-a;)
a
+
( A , C O S ~-, Picos@,)sin2g,cosy= (cosqjcosr, tancjsinrj)sin2rj,
(Ajsina, + P,singj)sin2y = sinq,sin2r,,
' (9)
(Ajcosaj + Pjsin@,)sinv= cosq,sinrj,
(A,sina, - Pisin@,)sinycoscp = sinvjsinrjcosr,; ( j = 1,2).
Fur die Winkel ij
zwischen den Wellennormalen I, der gebrochenen Wellen und
den zugeordneten Strahlrichtungen Gigilt
H. SCHILLING:
Reflexion elektromagnetischer Wellen
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Setzt man die nach (9) zu bestimmenden GroBen der uniradialen Schwingung in
(7) und (8) ein, so folgt fur die Amplituden der reflektierten Welle
+
tangl(sinr,
cosr,tan(p) (cosgsinp, - cosr,sinr,-@&
tanq2 (sinr,
ccsr,tanp,) (- cospsinp, cosr,sinr,)
-1- 2~inp,[(cosr,sinr, - cosr,sinr,)
4j2]yS
tangl(thrl cosr,tanp,)(cosp,sinp, cosr,sinr2 Gt)
- tanq,(sinr, cosr,tanp,)(cospsing, cosr,sinr,)
tanql(sinrl cosr,tanp,)(cosp,sin~ cosr,sinr,
@),
tanq2(-- sinr,
cosr,tanp,)(cospsing,
cosr,sinr,) %
2tanq,tan~zsinp,(cosrlsinrz- l sinr
-a
cosr ) ?h.
___ tanq,(sinr,
cosr,tanp)(cosp,sinp, cosr,sinr,
@),
- tanq,(ainr, cosr,tanp,)(cosp,sinq, cosr,sinr,)
+
+
-
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
' I.
1
-+
1
(8a)
3. Die Berechnung der Strahlversetxung im Bereich der Grenzwinkel
Bei der Diskussion uber das Verhalten des reflektierten Strahles intereesiert
besonders die Umgebung der beiden Grenzwinkel pgl und pg2. Nach den Brechungsgesetzen (10) sind diese fur schwache Leitfahigkeit x1
1, x3 Q 1 bestimmt durch
n:
nz
n:'sin2E + ni cos2E
sin2qgl = - sin2pg2= 3
n2 nysinzesin2E+ ng(cos2E + 9in2E C O S ~E ) . (14)
D'
<
Schreibt man den Einfallswinkel p in der Form
+
+
p = pel x1 bzw. 9 = q g 2
22,
(15)
so ergibt sich fur den Brechungswinkel rl des ordentlichen Strahles in der Umgebung des Grenzwinkels pgl nach (10)
Fur den Brechungswinkel r2 des auDerordentlichen Strahles erhalt man in der
Umgebung des Grenzwinkels qo2
tanr2
____.___-__
__~___
fn: - (n; - nf)sin2ssinz( fsin2p,i2
__-sinZq(nf
-nnq)n2sin&cos&cos~sin2p,+nZn~sinp,
_.
n2[[nr
+ (n: - n~)sin2~oos2(]sin2p,
- nfn:
(17)
Dabei geht sin2pi2 aus der rechten Beziehung (14) hervor, indem man dort n,
durch n;, n3 durch n\ ersetzt. Unter Verwendung der rechten Definitionsgleichung (15) folgt weiter
~
_
(vTIr-=_
l/Sin2q& - sin2p = I/c0spg2sin pg2
x2
+
x; + 8';
,~
-
+ i x1+ v x; + F;) ; (17a)
I n den Formeln (7a) und (8a) fur die relativen Amplituden lassen sich die mit
dem Einfallswinkel p variablen GroBen ql, q2 und i, nach (12) und (13) durch
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die Kosinus der Brechungswinkel r1 und r2 ausdrucken. Ihre Ableitungen ergeben
nach (16) und (17)
Diese Funktionen sind maBgeblich fiir die Werte der Strahlversetzung A Q( q ~ )
in der Umgebung der Grenzwinkel. Das Maximum der Funktionen (20) betragt
es wird also nicht direkt am Grenzwinkel angenommen. Halb-, Viertel- und Zehntelwerte gehen aus Tab. 1 hervor.
Tabelle 1
Nullstellen der Gleichungen a(x,F )
n
I
1,000
I
0,500
- nunfax= 0 , b ( x , F) - nbnrax==0
i
0,250
I
0,100
I
I
I
Urn die Ableitung der Phasenverschiebungen ,6 und d,, zu berechnen,
schreibt man die komplexen Amplituden (7a) und (7b) am zweckmlifligsten in
dex Form
B +iB
Reis = -1----zB3 + a l l , ’ B . = BI. (I qI ) + ABf(4, (i = 1 , 2 , 3 , 4 ) .
Infolge der raschen Veriinderlichkeit am Grenzwinkel gilt
dg,
=
AB;
> 1,
ABj
<B j .
Damit folgt
Bei linearer Polarisation der einfallenden Welle kann man am kleineren der beiden Grenzwinkel wegen der vorausgesetzten schwachen Leitflihigkeit die
Imaginiirteile B, und B, gegenuber den Realteilen B, und B, vernachlassigen.
Liegen die beiden Grenzwinkel nicht zu nahe beieinander, so ergibt sich fur
cos rl in der Umgebung des Grenzwinkels ~ 7 bzw.
~ 1 fur cos r2 in der Umgebung
des Grenzwinkels qgl nur eine geringe Verlinderlichkeit, die man in erster Niiherung vernachliissigen kann.
H. SCHILLING:Reflexion elektromagnetischer Wellen
353
4. Die Strahlversetzung im Fall e = 0
Steht die optische Achse orthogonal zur Trennebene, so folgt aus (7a) und
(7b)
cosgsing - cosr,sinr,
RP eidrr = ____- - Q2
(22)
cosgsing + cosr2sinr2+ Q~ ' P J
sinr,
Rsei8pD
= sinr,
- cosr,tanq
+ cosr,tang, ye.
(23)
Setzt man zuniichst voraus, da13 auch das anisotrope Medium nichtleitend sei,
s o erhalt man aus (1)in Verbindung mit (23) als Strahlversetzung eines ortho-
gonal zur Einfallsebene polarisierten Strahles im Bereich pl
2 vgl
I m zunachst angenommenen Fall verschwindender Leitfahigkeit erfolgt fur
9 < plgl keine Versetzung. Dagegen wachst sie am Grenzwinkel pl = ye, uber
alle Grenzen.
Beriicksichtigt man die Leitfiihigkeit des Kristalls, so ergibt sich aus (l),
(18), (21) und (23) fur die Strahlversetzung des orthogonal zur Einfallsebene
polarisierten Strahles in der Umgebung des Grenzwinkels vgl
Hieraus erhiilt man nach (21) und (16e) als Versetzungsmaximum
and nach Tab. 1als Halbwertsbreite der Einfallswinkel (in Grad)
Das Versetzungsmaximum ist danach um so groBer, je kleiner der Absorptionskoeffizient x1 ist. Dagegen sind groBe Versetzungswerte nech (27)auf einen sehr
schmalen Winkelbereich Ap, beschrankt, der um so kleiner ist, je kleiner das
1000
1
d
3
100
Y
01
2
10
3
1
0.1
Abb. 2. Die Maxima der Strahlversetzung *o9.
und die Halbwertbreiten in AbhBngigkeit 3
von den Absorptionskoeffizienten.
n, = 1,36, ns = 1,365, Transformetionswinkel E = 0
23 Ann. Physik. 7. Folge, Bd. 20
0.01
0.001
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Absorptionsvermogen bzw. je grol3er die Strahlversetzung ist (vgl. Abb. 2). I n
der Umgebung des Grenzwinkels vgzerfolgt bei orthogonaler Polarisation und
hinreichendem Abstand beider Grenzwinkel nur eine Versetzung von wenigen
Wellenliingen.
Schwingt der clektrische Vektor der betrachteten elektromagnetischen Welle
parallel zur Einfallsebene, so ergibt sich aus (22) ein merklicher Wert der Strahlversetzung erst von der Umgebung des zweiten Grenzwinkels
yge = arcsm a
n
,
n
an. Fur die Grol3e der Versetzung des parallel polrtrisierten Strahles im Bereich
des Grenzwinkels q+,, erhalt man aus (l),(19), (21) und (22)
der Maximalwert betragt
die Halbwertsbreite der Einfallswinkel
Abb. 3 zeigt die Strahlversetzung in der Umgebung der beiden Grenzwinkel fur
verschiedene Werte der Absorptionskoeffizienten x1 und x,.
2:.
--
10.1
66
P I "I
67
Abb. 3. Die Strahlversetzungen de, und A@, in
der Umgebung der Grenzwinkel fur verschiedene
Werte der Absorptionskoeffizienten x1 und x3.
n = 1,5, n1 = 1,35, n8 = 1,365, E = 0
Die Strahlversetzung erscheint hiernach besonders fur kleine Werte der Leitfiihigkeit geeignet, geringe Unterschiede zwischen den komplexen Brechungsindizes ni = nj (1 ix,) eines Kristalls zu messen. Bezeichnen P)~, bzw. vpnZ
die
Einfallswinkel maximaler Strahlversetzung bei orthogonaler bzw. paralleler
+
H. SCHILLING:
Reflexion elektromqnetischer Wellen
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Polarisation, so ergeben sich nach (14) bzw. (28), (20a), (26) und (30) zur
Bestimmung der Brechungs- und Absorptionsindizes die Beziehungen
Die geringen Abweichungen zwischen den Einfallswinkeln maximaler Strahlversetzung und den Grenzwinkeln konnen fur hinreichend kleine Werte der
Absorptionskoeffizienten in erster Naherung vernachlassigt werden. I n den
Argumenten der Sinusfunktionen (32) stehen dann nur noch die Winkel maximaler Versetzung qSm bzw. qpm,wiihrend die zweiten Summanden unberiicksichtigt bleiben konnen.
5. Die Strshlversetzung im Falle e =
A
Im Falle E = 4 2 liegt die optische Ache in der Trennebene. Nach (14) sind
fur E = 4 2 , E = 0 die beiden Grenzwinkel gleich, wodurch sich die Berechnung
des Versetzungsmaximums erachwert. Im folgenden wird deher vorausgesetzt,
daB das Azimut f nicht zu kleine Werte ennimmt und daO die Grenzwinkel qgl
und yg2trotz der im allgemeinen geringen Differenz zwischen den Brechzahlen
n, und n2 nicht zu nahe beieinander liegen. Der Abstand beider Grenzwinkel sei
so groB, daB das Versetzungsmaximum des einen Grenzwinkels em anderen
Grenzwinkel nicht mehr wirksam ist. Unter dieser Voraussetzung folgt aus (7s)
und (8a), wenn n, < n3 bzw. vgl < qgzgilt:
n2
Dagegen ergibt sich, wenn n,
23*
- (n2,cos25 + n2, sina5 )
> n3 bzw. vsl > pluzgilt,
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Wie man hieraus entnimmt, tritt ein deutlicher Unterschied in der Strahlversetzung nur auf, wenn die Differenz n, - n3 zwischen den Brechungsindizes des
Kristalls grol3 ist. I m allgemeinen weichen die Brechzahlen n, und n3 jedoch nur
sehr wenig voneinander ab. Fur die Strahlversetzung in der Umgebung des
Grenzwinkels qel erhiilt man daher in Abhangigkeit von der Polarisation der
einfallenden Welle unter der Voraussetzung I n1 - n3 1
1
<
(34)
Als Strahlversetzung in der Umgebung des Grenzwinkels cpgz folgt unter der
gleichen Annahme
(35a)
I m Gegensatz zum Fall E = 0 ergibt sich hiernach fur E = 5-42 am Grenzwinkel
plgI eine groSe Strahlversetzung bei paralleler Polarisation der einfallenden
Welle, wiihrend bei orthogonal zur Einfallebene schwingendem elektrischen
Vektor eine groBe Strahlversetzung am Grenzwinkel qgzauftritt (vgl. Abb. 4).
7, ----
h=o
up= 0
I
64
63
9101
66
Abb. 4. Die Strahlversetzungim Fall E
n = 1,5, n, = 1,35, n3 = 1,365, x1 =
= ?c/L
x3 = 8 .
Fur den Spezialfall 5 = 0, E = zj2, bei dem die optische Achse mit der
Schnittgeraden von Einfalls- und Trennebene zusammenfallt und beide Grenzwinkel identisch sind, folgt durch Grenzwertuntersuchung aus (7 a) und (8a),
daB keine groBen Werte der Strahlversetzung auftreten.
6. Die Strahlversetzung unter Berueksiehtigung der Leitfahigkeit des Einfallsmediums
Bezeichnet n' = n(l + ix) den komplexen Brechungsindex des Einfallsmediums, ni = n,(l + i x j ) den des gebrochenen Strahles im Kristall, so lautet
H. SCHILLING:
Reflexion elektromagnetischer Wellen
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das Brechungsgesetz
1st daher die Leitfahigkeit des Einfallsmediums gegeniiber der des Kristalls
nicht zu vernachliissigen, so hat man, wie in Verbindung mit (16) und (17a)
folgt, an Stelle der Absorptionskoeffizienten xl und x, die Betriige der DifferenZen lxl - X I und Ix3 - X I zu setzen. Die Leitfahigkeit des Einfallsmediums
bewirkt hiernach eine VergroBerung der Versetzungsmaxima bei gleichzeitiger
Abnahme der Halbwertbreiten (vgl. Abb. 6), sofern nicht der Absorptionskoeffizient des Einfallsmediums den des gebrochenen Strahles urn mehr als das Doppelte iibersteigt.
1
120
100
Abb. 5. Der EinfluB des EinfallsmediumR.
n = 1,5,
= 1,35, ? E ~= 1,365,
= 10-4, %, = 0,8.10-4, & = o
/\\
(i
I
20
10
K
Literaturverzcichnis
[l]
PICHT,
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r21
[3j
[4]
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r61
- -
30
[lo-']
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Bd. XXV/l (1961) 1-217.
Magdeburg, 11.Physikalisches Institut der TH ,,Otto v. Guericke".
Bei der Redaktion eingegangen am 28. Juni 1967.
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