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Die Streuung von Strahlung am magnetischen Elektron.

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ANNALEN D E R PHYSIK
5.FOLBE
BAND 3 3
HEFT 8
DEZEMBER 1 9 3 8
D i e Strewwag won B t r a h l u n g am mag@et4sche*aEde&rorn
Von W.F'rnnx
(Mit 2 Abbildungen)
Einleitung
Die Streuung von linear und elliptisch polarisiertem Licht am
freien ruhenden Diracelektron wurde voii K l e i n und N i s h i n a
untersuchtl). Diese gaben jedoch die Streuformeln nur fur im Mittel
unmagnetisierte Elektronen an. Im folgenden sol1 die Streuformel
allgemein, fiir beliebigen Spin des Elektrons vor und nach dem
StreuprozeB, abgeleitet werden. Die Rechnung la& sich kurz und
ubersichtlich durchfuhren, wenn man erstens die Streuformel geeignet
umformt (8 2) und zweitens nicht die Feldstarken der Streustrahlung
berechnet, sondern direkt die Intensitat.
$1. Bezeichnungen
Es sei im folgenden
v = 01 die Frequenz des Primarstrahls,
1
2n
el der Einheitsvektor in der Fortschreitungsrichtung des P. S.,
J,
die Intensitat des Primarstrahls,
diejenige Primkintensitat, welche einen fur die Polarisationsrichtung a (1
e,) voll durchlassigen Nicol durchsetzt.
Snalog, mit Index 2 statt 1, sei der Sekundarstrahl beschrieben.
Ferner sei
(1) .p = h VI e, - __
hYz
e, der Impuls des RiickstoBelektrons,
c
die Energie des RiickstoBelektrons
(2) E = Eo + hv, - hv,
(einsehlieWlich Ruhenergie).
Aus (1) und (2) folgt fiir die Sekundhrfrequenz v, die C o m p t o n
sche Beziehung
5= 1
_h_y1( I - (el e,)).
(3)
3, (a)
{
-
+
Va
E"
sei der Einheitsvektor des Spins vor dem StreuprozeB,
crl
6," der Einheitsvektor des auf Ruhe transformierten Spins
nach dem StreuprozeB.
fiber 5, , 5, vgl. G1. (18) und (23).
1) 0. Klein u. Y. N i s h i n a , Ztschr. f. Phys. 62. S.853. 1929 und
Y. N i s h i n a anschliedend.
Annalen der Physik. 6. Folge. 33.
47
690
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 33. 1938
Die GroBe s(a) fur alle moglichen Polarisationsrichtungen genugt
nun nicht zur vollstandigen Beschreibung der Polarisation; ist es
doch nicht moglich mit Hilfe eines Nicols etwa zirkular polarisiertes
Licht VOQ unpolarisiertem zu unterscheiden. Hier hilft uns ein
doppelbrechendes Plattchen von variabler Dicke, welches wir, unter
45 O gegen die Richtungen mrwrimaler und minimaler Intensitat geneigt, zwischen Lichtquelle und Nicol gebracht denken. Man kann
dann jeden Strahl in einen unpolarisierten und einen elliptischen
Anteil zerlegen l). Das doppelte Produkt aus den Hauptachsen2) des
elliptischen Anteils benutzen wir zur Erganzung des Intensitatsausdrucks 3(a), und verwenden dafur die Bezeichnung @. Ob der
elliptische Anteil rechts- oder linkspolarisiert ist, drucken wir durch
ein positives bzw. negatives Vorzeichen von Ct, aus.
Wenn es auch fur harte Strahlung weder
Nic ol sche Prismen noch doppelbrechende Plattchen gibt, so mogen sie doch als gedachte Instrumente unsere RechengroBen veranschaulichen.
Fur die Rechnung nehmen wir zunachst als
Primarstrahl elliptisch polarisiertes Licht, welches
wir durch sein Vektorpotential in der folgenden
Form beschreiben :
iq(?
- t)
(4)
%, = a, - A l e e
der Polarisations(in komplexer Schreibweise; der Realteil ist das
ellipse durch den
komplexen Einheits- wahre Vektorpotential) worin jetzt A , der Betrag
vektor der
des Vektorpotentials sein sol1 und a, ein im allPolarisation
gemeinen komplexer Einheitsvektor (a,. al* = 1).
Wie man sich durch reelle Darstellung iiberzeugen kann, sind Realund Imaginarteil von a, zwei konjugierte Durchmesser der Schwingungsellipse; der Umlauf geht in Richtung vom Realteil zum Imaginarteil (vgl. Abb. 1). Man hat
Abb. 1. Darstellung
(Fur spatere Zwecke unterscheiden wir hier a und a*.)
1) Der elliptische Anteil kann bei geeigneter Dicke des Plattchens durch
den Nicol ausgelijscht werden, dagegen dnrchsetzt bei jeder Einstellung den
Xicol genau die Halfte des unpolarisierten Anteils.
2) Die Lhge der Hauptachsen nehmen wir dabei als Wurzel aus den
zugeharigen Intensitaten an.
W .Franz. Die Streuung von Strahlung am magnetischen Elektron 691
Wir drucken in unseren Streuformeln xunachst unter der Voraussetzung elliptisch polarisierten Primarlichts 3, (a) und @a durch
&(a) und @, aus. Da jedoch die Beziehungen zwischen diesen
GroSen homogen linear sind, gelten die Streuformeln auch j i i r beliebiges Lirtht, in welchem sich $(a) und @ additiv aus den verschiedenen inkoharent uberlagerten Komponenten zusammensetzt.
5 2. Vereinfachung der Streuformel fur das ruhende freie Diracelektron
Wir gehen aus von einem elliptisch polarisierten PrimEirstrahl,
und berechnen die Streuintensitat (a) beziiglich einer beliebigen
Polarisationsrichtung a. Fur den seiner physikalischen Definition
nach reellen Einheitsvektor a lassen wir aber jetzt komplexe Werte
zu; wir konnen dann aus & (a) auch
entnehmen, wie sich zeigen
wird [vgl. 8 5, besonders Formel (3511.
Die Streuformel fur das ruhende Elektron lautet:
mit
(9)
F = (iY 4 (Y4 - (iY e,)) (iY a,)
+ (iY a,) (Y4 - (iY e,))
Y a)
u ist der koordinatenunabhangige Teil der Eigenfunktion des Ruck-
stoBelektrons, es gilt also
p, - E Y 4
(10)
und als Normierungsbedingung
+ ic(.Pu)]u= 0
a y 4 u = 1.
(11)
-+
y = ( y , , y z , y3) und y 4 sind die D i r a c schen Operatoren,
C---iY.Y,Y,Y,
ist der P a u l i s c h e Spinoperator und o1 der
Spineinheitsvektor des Anfangszustands (also kein Operator, sondern
ein reeller Vektor).
(8) stimmt bis auf die Bezeichnung mit Formel (36) der angefiihrten Arbeit yon K l e i n und N i s h i n a uberein; im Anhang
sei ihre Herleitung kurz wiedergegeben.
Wir bringen jetzt (8) in eine andere Form. Weil e, Ia, und
e4 Ia , wird
(12)
{F
= (@a) (a a,) (Y4
- (i Y
el))
+
(0a,) (6a)
(u, - (iY e 2 ) )
= ( a a J ( ~ 4 - ( ' ~ e J + ~ 4 -( i ~ e z ) ) - - ( [ a a , I ~ ) ( i ~ , e i - e e , ) ,
worin die bekannte Beziehung
(13)
(b's)(tD C ) = (b tD)
+ i ([b tD] @)
47 *
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 33. 1938
692
beniitzt ist. Den ersten Summanden formen wir weiter urn mit
Hilfe von (lo), was niit (1) und (2) ergibt:
+
-
- 74) - hY1 ( 7 4 - (ie, 7)) hv7,(74 ie,7)) =
(I4)
oder, von rechts mit (1 + y,) multipliziert und etwas umgeformt:
(15) 93 (Y4
- (i el Y ) + Y4 - (i e, 7))(1+ r3 =
'1
+
ya
-a(iy,e,-ee,)(l+y4~.
Wir diirfen daher, wie ein Blick auf (8) und (12) zeigt, F ersetzen
durch
F
('6)
=
{ --(a+v1
VP
"1
u2
a,) - i ( [ a a,]
.I)(iy, e,
e,)
und dazu adjungiert:
F = ( W ,- e , ) ( y q+2V) (aa,)+i([aa,I.)).
(15a)
v1
Setzt man dies in die Streuformel(8) ein, dann kommt die storende
GrOBe (i y, e, - e,) in Wegfall, weil
(17) (ir,el - %)P+fll.)U+ Y J ( i Y , e, - e,)=(e,- eJ2;Y4- 1)(1+(5p)).
Statt des Spins selbst tritt dessen Spiegelbild beziiglich der Richtung
el - e, in Erscheinuug:
51
(18)
= - G 1 + 2 .
e,
\el
- e,
- %YA
*
(81,
e, - eJ
Aus (S) wird
mit
(20)
A=-
v1
"1
f v.2
- v2 @a,), 23
=
[aa,l.
Nach dieser Vereinfachung macht die Auswertung der Streuformel
keine Miihe mehr.
5 3.
1
Auswertung der Streuformel, allgemein
Mit Hilfe von (13) errechnet man
+
+
+
+
( A - {(B 4)(1 p14)(A* i(B*.))
= A A* (1
(g1 4) $8B*)(1 - (814)
(21)
i(A %* - BAA",5, ). - i ([BB*], 5, - a)
(AB* A * % , p14) (%8,)(%*a) (%*5JBcr).
Man kann aus (10) leicht ableiten, da6
E - E,
E - E,
a(y0- 1 ) u = - -. , a ( y 4 - l)su=---(22)
E
%
+
+
+
+
+
+
W .Franx. Die Streuung von Strahlung am magnetischen Elektron 693
und damit la& sich (19) von den Operatoren y4 und CT befreien.
Ahnlich wie beim Anfangszustand tritt jetzt nicht der Einheitsvektor
des Spins g,t0) (auf Ruhe transformiert) auf, sondern dessen Spiegelbild beziiglich der Achse q :
P *
g2 = - ,(O) + 2 p).
(23)
P2
Die alZgemeine Formel, welche sich aus (19) und (21) ergibt, hat
wenig Bedentungl); wir geben sie in Anhang 2 wieder. Um die Zusammensetzung des Streulichtes aus seinen verschiedenen elliptisch
polarisierten Komponenten (welche den verschiedenen fjbergangen
entsprechen) anschaulich zu machen, untersuchen wir in 5 4 die
Streuung linear polarisierten Lichtes genauer. Spater (35 ff) werden
wir dann stets uber den Spin des Endzustandes summieren.
-
(fq),
3 4. Die Streuung linear polarisierter Strahlung
mit und ohne Spinumkehr
Der Ausdruck (21) vereinfacht sich, wenn man B = 2 5, setzt;
das bedeutet nach (22) im Ergebnis 5, = f 5,. Da 5, das Spiegelbild des Anfangsspins bezuglich el - e,, und 5, das Spiegelbild
des Endspins beziiglich
p
h
= --(vl
e,
- 'v2 e,)
ist, besagt in nicht-
relativistischer Naherung (a. h. w, = Y,)
5, = + 5,: der Spin bIeibt erhalten,
(24)
8, = - 5,: der Spin kehrt sich urn.
{
I n Strenge bedeutet nun 5, = 5, eine gewisse Drehung des magnetischen Momentes 2); dennoch wollen wir bei der Ausdrucksweive (24)
der Kiirze halber verbleiben.
Aus (21) wird in beiden Fallen, wenn wir noch zu reellem a
iibergehen (dam wird A*= A , B*= 8):
(25)
{
+ (514) ( A + i (B4)
+ (a,.,) + B2(1 - (S1 + 2 (%
( A - i (B4) (1
= A 2 (1
0))
(235,).
6)
Dies gibt zusammen mit (22), (20) und (19), wenn der Spin ungeandert bleibt:
1) Der Ubergang zu einem Endzustande mit definiertem Spin tritt ja nur
dam physikalisch in Erscheinung, wenn die Endzustande zum Teil besetzt
sind, unter Auszeichnung einer bestimmten Magnetisierungsrichtung.
2) Der Spin .dreht sich um die Normale der Ebene (el, e,) um einen
Winkel 6, doppelt so groB wie der Winkel zwischen el - e, und p.
694
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 33. 1938
Bei der Umrechnung ist Formel (3)beniitzt.
Fiir @, ergibt sich in einfacher Weise [vgl. (35), (3611
e4
(27)
@,= T*-JI
mY 3 ) : (
($- $)
([I'
e21
1%S 1 j *
Gehen wir zum klassischen Fall uber (d. h. v, = v J , dann verschwindet @, und der zweite Summand in &(a), und wir erhalten
die Thomsonsche Streuformel:
(Uasa.)
e4
(a, 5: J , * (a a,)?
mmc'Ra
Die Intensitiit ist Null fur die Polarisationsrichtung ~ a , wir
; haben
eine lineare Schwingung in Richtung der Projektion von a, auf die
Ebene 1e, (Schwingungsebene).
Nach (26) haben wir klassische Polarisationsverhaltnisse fur
5, = f a,; dann verschwindet niimlich, wie im klassischen Fall, der
zweite Summand. Im allgemeinen ist die Schwingung elliptisch;
die Projektionen von a, und [a, 3J auf die Schwingungsebene haben
die Richtung zweier konjugierter Durchmesser. Der Umlauf geht
von [a, S,] nach a,; dies kann man aus dem Vorzeichen von @,
entnehmen. Linear wird die Schwingung, wenn die beiden konjugierten Durchmesser in eine Gerade fallen; dazu mu6 die Ebene
durch a, und [ale,] auf der Schwingungsebene senkrecht stehen.
Die Richtung der linearen Schwingung ist die klassische. - Fur
die elliptischen Schwingungen ist die Projektion von a, nur dann
Hauptachse, wenn a, oder [a,$,] i n der Schwingungsebene liegt.
Fiir die Streuung mit Spinumkehr ist
$2
(28)
(29)
e4
J1
($)'(
a2= - . e4 . (33 + 3 - 2) (a, e,)
2
m1c4R*
,&(a) = 7 ___
myc4RP *
Jl
~
v,
v1
Va
"I
(?I-
(a, 5,)
-
Da6 diem Ausdriicke fur v1 = v, verschwinden, darf nicht verwundern,
da klassisch bei der Streuung der Spin ungeandert bleibt. - Die
Schwingung ist im allgemeinen elliptisch. Linear wird sie in zwei
Spezialfiillen: 1. Wenn (a, e,) = 0, dann liegt a, in der Schwingungsebene des Sekundklichtes, und $,(a) verschwindet fur a = a, (dies
ist die klassische Schwingungsrichtung des Sekuhdkstrahls); wir
haben also eine lineare Schwingung senkrecht zu dieser Richtung.
2. Wenn (a, 9,) = 0, dann ist [[a, a]31]2 = US,)^, was eine lineare
W .Franz. Die Streuung zlon Strahlung am rnagnetischen Elektron 695
Schwingung in Richtung der Projektion von 5, auf die Ebene l e ,
darstellt.
Die insgesamt von einem Elektron mit Spin c1 gestreute Intensifat ist die Summe von (26) und (28), welche den beiden moglichen
fjbergangen entsprechen; die Summe von (27) und (29) ist ein MaB
fur die insgesamt von den Feldstarkevektoren uberstrichene Flache
daraus
Die Intensitatsverteilung (30) tauscht eine elliptisch polarisierte
Schwingung Tor, deren Hauptachsen die klassische Polarisationsrichtung und deren Normale sind; die uberstrichene Flache ist jedoch
vie1 kleiner, als dieser elliptischen Schwingung zukame (vgl. weiter
unten). Die Intensitaten sind nach (30) vom Spin des Anfangszustandes unabhangig.
Gehen wir von zwei Anfangszustanden mit entgegengesetztem
Spin
= B und 5, = - G) aus, dann liefern die beiden Streuprozesse
ohne Spinumkehr dieselbe Intensitatsverteilung, ebenso die beiden
Streuprozesse mit Spinumkehr; die Ausdrucke (26) und (28) sind ja
gegen einen Vorzeichenwechsel von G invariant. Hingegen andert
cD2 nach (27) und (29) mit 8, das Vorzeichen. Wir erhalten fur
5, = 5 und 8, = - 5 dieselben Polarisationsellipsen, in entgegengesetzter Richtung durchlaufen. Besitzen nun in der Streusubstanz
gleich viele Elektronen den Spin 8, = 5 und 5, = - G, dann bleibt
die Intensitatsverteilung ,,elliptisch'"), wahrend die Summe der iiberstrichenen Flachen gleich Null ist.
Wir wollen jetzt die Zusammensetzung der Gesamtstrahlung
aus den vier elliptischen Komponenten noch an Hand von Abb. 2
veranschaulichen. Da das Ergebnis (die Klein-Nishina-Formel) von
der Wahl der ,,gespiegelten" [vgl. (IS)] Spinrichtung 8, unabhangig
ist, legen wir diese speziell parallel zu +a,, urn die Formeln zu
vereinfachen. Dann ist namlich [a, S,] = 0, und wir haben ohne
Spinumkehr die lineare Schwingung
(32)
$2
(a)
-
+
vJ2 (a aJ2;
@2
= 0*
1) Wie iiberhaupt Licht jeden Polarisationseustandes in seiner Intensitatsverteilung einer elliptischen Schwingung gleicht.
696
Annalen der Physzk. 5. Folge. Band 33. 1938
Mit Spinumkehr die elliptische Schwingung
-
-
(a, eJ.
(33)
S2(a) (yl - yZ), [a all2; D2 & (yl - v2))2
Der allen Gliedern gemeinsame Faktor
J,
-.-.
4
1
e4
(yc)*yl.yg
ist unterdruckt. I n Abb. 2 ist neben den beiden Schwingungskurven,
welche (32) und (33) entsprechen? noch die scheinbare Schwingungsellipse der Gesamtstrahlung (32) + (33) eingezeichnet (gestrichelt). Die
uberstrichene Flache ist gleich der Flache der kleinen Ellipse (33)
nL'C4Il'l
I
'p~-@l,e21/
(V,.V,Xfi,i.a,c,Jl~
*
yes. v p - 4 v, v,
I
' I
A ,
4
@P2F
Abb. 2. Die 4 Schwingungen des elektrischen Vektors,
welche den verschiedenen ijbergangen des Spins entsprechen.
Punktiert die ,,acheinbare Polarisationsellipse" der Gesamtstrahlung
(Klein-Nishina-Formel)
jsofern man von einem magnetisierten Elektron ausgeht), also kleiner
als die Flache der vorgetauschten Gesamtschwingung. F u r eine unmagnetische Streusubstanz wird die kleine Ellipse in beiden Richtungen gleich haufig durchlaufen, die Summe der uberstrichenen
Flachen ist Null; doch wird auch jetzt durch die Intensitaten die
gestrichelte Ellipse vorgeUuscht.
Fur die Abbildung wurde ?L = 2 und (a, e,) = 1 gesetzt. Dies
%
entspricht der Streuung von y-Strahlung der Wellenlange 24 X E
unter 90°. Der elektrische Vektor der Primarstrahlung bildet mit e,
einen Winkel von 60°.
5. Streuung elliptisch polariaierter Strahlung
Wir knupfen
Strahlung, welche
Elektron gestreut
wir dabei. Nach
(34)
nun wieder an 6 2 an und berechnen aus (19) die
insgesamt an einem in Richtung G~ magnetisierten
wird. fiber den Spin des Endzustandes summieren
(13) wird
W . Franz. Die Streuung von Strahlung am magnetischen Elektron 697
Mit Hilfe dieses Ausdrucks konnen wir auBer S,(a) auch a, berechnen. Denken wir uns ein rechtwinkliges Koordinatensystem
definiert durch die Einheitsvektoren e,, ey, e,, wobei e, = e, sei, d a m
folgt aus (6) und (7)
(35)
I n dieser Differenz w i d aus
(36)
(a a?--. 0 ;
(b a)(m a*)+
i([b iv] e2);
[a a?--.
2 i e,.
Geht man damit in (34) und (19) ein, dann wird schlieJ3lich:
Die Formel fur die Gesamtintensitat J , entsteht aus (37) durch
Summation uber zwei aufeinander senkrechte Polarisationsrichtungen:
Bei der letzten Umformung ist bentitzt, daB nach (3)
§ 6. Streuung von Strahlung beliebigen Polarisationsauatandes
Im allgemeinen ist die Primarstellung nicht elliptisch polarisiert ;
sondern aus mehreren elliptischen Komponenten inkoharent zusammen-
698
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 33. 1938
s1
gesetzt 1' . Sie la& sich kennzeichnen durch die GroBen (a)und a1,
welche sich additiv aus den elliptischen Komponenten ergeben. Dagegen la& sich die Strahlung durch einen einfachen Polarisationsvektor a, nicht darstellen. Diejenigen Glieder in (37) und (38),
welche a, noch enthalten, driicken wir deshalb durch die IntensitatsgroBen aus. In (37) ist dies das Glied (a, a) (a," a). J1. Nach (6) ware
es unmittelbar gleich 3l(a), wenn a eine mogliche Polarisationsrichtung des Prirnarstrahles (d. h. a Iel), und nicht des Sekundarstrahles ware (d. h. a Ie2). Wir formen daher urn
a ersetzen wir also durch seine in der primiiren Schwingungsebene (1
el) liegende Komponente, deren Lange gleich dem cos des
7%-inkels gegen die Schwingungsebene, namlich = I[a el]I ist, wahrend
der Einheitsvektor
[ e , [a ell]
I [a ell I
nunmehr auf el senkrecht steht. Wir erhalten jetzt nach (6)
Ahnlich kann man sich uberzeugen, daB
was fur den Ausdruck (38) benotigt wird.
Fuhren w i r nun (40) und (41) in (37) und (38) ein, dann ist a,
verschwunden und die Fornieln gelten fur beliebige Primarstrahlung:
1) Jede nicht rein elliptische Strahlung laBt sich in unendlich vielfacher
Weise bereits durch zwei elliptische Komponenten darstellen; am einfachsten
etwa durch eine elliptische Schwingung und eine lineare in Richtung der
kleinen Halbachse. Eine andere mogliehe Zerlegung in eine elliptische
Schwingung und eine unpolarisierte (darstellbar durch zwei zueinander senkrechte lineare Schwingungen gleicher Amplitude) liegt der Definition von @
in 0 1 eugrunde.
W.Franz. Die Streuung von Strahlung am magnetischm Elektron 699
Im klassischen Fall (w, = wl) entsteht entsprechend der T h o m s o n schen Formel
Die sekundare Polarisation ist ein getreues Abbild der primaren.
Nach (42) treten demgegenuber zweierlei Verfeinerungen auf:
1. Bei Streuung an unmagnetischer Substanz erscheint ein
Zusatz unpolarisierter Strahlung, namlich das von a unabhangige
Glied J,. Dies wurde an harter Rontgenstrahlung von Rodgersl)
experimentell nachgewiesen.
2. Bei Streuung am magnetisierten Elektron tritt ein weiterer,
von der Spinrichtung abhangiger Zusatz auf. Mit diesem Effekt
wollen wir uns weiterhin beschaftigen.
Die benotigte harte Strahlung steht nur i n unpolarisierter Form
zur Verfiigung, und das bedeutet fur J2 (&(a) ist j a nicht direkt
mefibar, da es fur Rontgenstrahlung kein Nicol gibt):
-
(44) J
1
--.--2
e4
112%c4
.
v
3
( v~2
RY (2)
v1
+ ~v1- [ e , e , l z J,
) (Klein-Nishina).
Um auch die Polarisationsverhaltnisse untersuchen zu konnen, muB
man die Sekundarstrahlung einer zweiten Streuung unterwerfen.
Dies sei im folgenden theoretisch untersucht.
Q 7. Zweifache Streuung unpolarieierter Strahlung
Wir kennzeichnen Primar-, Sekundar-, Tertiarstrahl durch die
Indizes 1, 2, 3. Mit (rl, und (rZ3 bezeichnen wir die Spinrichtung
I) E r i c R o d g e r s , Phys. Rev. 50. S. 875. 1936.
A n n a h der Physik. 5. Folge. Band 33. 1938
700
bei der ersten bzw. zweiten Streuung.
unpolarisiert, d. h.
Die Primarstrahlung sei
1
s 1 ( a ) = - 2* J , ; U1=O.
(45)
Die tertiare Intensitat wird nach (42a)
I
- (1 - e, e,) (x
h e, +
Vs
9(e, e,) e,,
%,)
*
%}-
Die sekundaren GriSBen drticken sich nach (42) und (43) durch die
primiiren aus:
Neben den Streuwinkeln (e, , e,) und (e,, e,) tritt auch der Winkel
zwischen den Streuebenen [el e,] und [e, e,] auf; dies hangt damit
zusammen, da6 bei der ersten Streuung aus dem unpolarisierten
Primarstrahl ein polarisierter Sekundarstrahl entsteht. Bei 2 ma1
W.Franx. Die Streuung von Strahlung am magnetischen Ebktron 701
rechtwinkliger Streuung verschwindet die Intensitat, wenn die Streuebenen aufeinander senkrecht stehen (Barklascher Versuch).
Bei 2mal rechtwinkliger Streuung entsteht aus (49), wenn eines
der streuenden Elektronen unmagnetisiert ist l):
-
Diese Formel wurde von N i s h i n a [a. a. 0. (4)]gegeben. Das klassische Glied (e, eJ2 verschwindet fur e3 L el (Barkla). Der nichtklassische Zusatz ergibt auch fur diese Anordnung eine Restintensitat,
welche experimentell von R o d g e r s (a. a. 0.) nachgewiesen wurde.
Sind beide Streukorper magnetisiert (d. h. Mittelwert yon g12
und cZ3von Null verschieden), dann bewirkt der letzte Summand
in (49) eine Vergrofierung oder Verkleinerung der Intensitht, je nach
der Richtung von ul2 uncl cas.Die Intensitat ist am grotlten, wenn
und am kleinsten, wenn einer der Spins die Richtung (52) hat, der
andere die entgegengesetzte.
Bei 2mal rechtwinkliger Streuung wird speziell:
Der relative EinfluB des Spins ist am grofiten, wenn Primarstrahl el
und Tertiarstrahl e, aufeinander senkrecht stehen, weil dann der
klassische Anteil (el e3)2 verschwindet.
Bei weicher Primarstrahlung (hv1 E,) ist die 2mal rechtwinklige Streuung mit e3 I e, am besten zur Reobachtung des
Spineinflusses geeignet. Fur harte Primarstrahlung werden grofiere
-
<
1) Dabei ist umgerechnet mit Hilfe von:
womit
und analog:
ferner :
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 33. 1938
702
Streuwinkel etwas gunstiger; bei Th C" (A = 4,7 XE) liegen die
giinstigsten Winkel nahezu bei 180O. Wir geben deshalb noch die
Formel f u r 2fache Streuung nach ruckwarts (e, = - e, = el):
3 8. Doppelte Streuung am magnetisierten l i m n
Wir wollen unser Primarlicht streuen an Eisen, welches in
Richtung des Einheitsvektors m,, vollstandig magnetisiert ist. In
vollstandig magnetisiertem Eisen treffen auf jedes Atom 2,4 Bo h r sche Magnetonen; von den 26 Elektronen des Atoms sind im
Mittel 2,4 magnetisiert in Richtung m,,, wahrend der Spin der
ubrigen 23,6 unregelmaBig verteilt ist. Die Intensitat des Sekundarstrahls nach (44) und (47) bleibt hiervon unberiihrt, da diese Ausdriicke vom Spin nicht abhangen (fur unsere unpolarisierte Primarstrahlung); jedoch wird der Flachenausdruck q2 fur die 23,6
unmagnetisierten Elektronen = 0 und nur fur die 2,4 magnetisierten
durch (48) gegeben. Im Mittel hat fur unser Eisen
also nur
3
26
des Wertes (48); wir konnen aber auch (48) direkt anwenden, wenn
wir unter g12nicht einenvektor vom Betrag 1, sondern den ,,mitt2,4
leren SpinLL
T26
- m,, verstehen.
- Ebenso konnen wir bei der
zweiten Streuung an einem in Richtung mZ3 magnetisierten Eisen
verfahren, und gelangen auch jetzt zu Formel (49) bzw. (53), (54) mit
G12
(55)
294
= __
26
- mrz;
023
=
294
-
* m23
F u r die Barklasche Anordnung e,
e, Ie3 L e, erhalten wir
als Verhaltnis der maximalen Intensitat zu der minimalen:
-
-
Da [ all jr31 klein ist (= 0,0085), entwickeln wir nach [ cl1 la3[:
1571
AJ
J=
0,0085
__.
2
Der Effekt betragt demnach fur weiche Strahlung 0,85 Ole, fur hart
Strahluug weniger (aber immer mehr als 2/3 x 0,85O/,). Doch lassen
sich. wie oben bemerkt , bei harter Primarstrahlung durch andere
Wahl der Streuwinkel giinstigere Verhaltnisse gewinnen.
W.Franx. Die Streuung vor~Strahlung
am magnetischen Elektron 703
Fur 2 fache Ruckwartsstreuung ergibt sich analog
F u r sehr harte Primarstrahlung wird nach (3) mit (e, e,) = - 1:
hv,
= Ea
und
hv,= 4E
;rJ
daraus
AJ
3
* - = 0,010.
J
5
Der Effekt ist hier l,O0/,,.
Man erhalt also bei geeigneter Anordnung immer einen Effekt
von etwa
sei die Primarstrahlung hart oder weich. Jedoch
kann man bei Verwendung harter Strahlung mit groBeren Offnungen
der Strahlenbundel arbeiten. Sobald namlich die Oflnung (d. h. Abweichung von der Bedingung el e, Ie3 Iel) groBer wird als
etwa h v,/E,, iiberdeckt die klassische Streustrahlung [in (53) gegeben
durch das Glied -(el eJ2] unseren Effekt. Arbeitet man etwa mit
einer Strahlung von 1 B Wellenlange und einer primaren, sekundaren
und tertiaren Offnung 1 : 3 0 linear, d a m muB man auf Promille
genau messen, urn den EinfluB der Magnetisierung nachzuweisen. Die Verwendung sehr weicher Primarstrahlung hat auBerdem den
Nachteil, daB die absoluten Intensititen des spinabhangigen Ante&
vie1 kleiner werden als f u r eine Strahlung etwa von der Harte hu, B,,
__ = 0,017
fiir weiche Strahlung ist die Ausbeute
- G ,"i.
-
1
A n h a n g 1:
Kuree Ableitung der Streuformel fur das freie Elektron
Die Diracgleichung des freien Elektrons
(59)
16st man durch den Ansatz
wobei die koordinatenunabhangige GrGBe u der folgenden Beziehung geniigen mu%:
(61)
{Eo- E . ~ , + ~ ( c ~ =
Y 0) ] z c
und E mit
(62)
p verkniipft ist durch die relativistische Abhangigkeit:
E g= EOp
f (e p)* .
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 33. 1938
704
Normierung und Orthogonalitat der Eigenfunktionen y ist gegeben durch die
Vollstandigkeitsrelation
welche fiir willkurliche Funktionen f und g zu gelten hat ').
Mit dem Ansatz (60) wird hieraus nach Anwendung des F o u r i e r s c h e u
fntegralsatzes C hat man zu ersetzen durch
d.9) :
( n
Uy4u=N .
(64)
AT ist eine hyperkomplexe Einheit (d. h. N a = N ) vom Rang 1 (vgl. a. a. O.,
F r a n z , §4),die Norm.
Die Gleichung des Elektrons im Felde der Primarstrahlung (vgl. § 1)
laBt sich losen durch den Ansatz (Lichtwelle als kleine Storung)
i
(66)
Y=
ex(pr-Et)
{
h3,B
(+)
- u + w
- i w , ( t - ~ ) + ~ - )
.e
- e
i+q(t-y)l
Die Storungsglieder w ( + ) und w(-)ergeben sich aus
(67)
{i (c .p
(67 a) {i (c .p
ie
2
.A1*(ya)..u,
ie
. A, * (y a*) . zc
+ h v1 e l , y) - y4 ( E + h vl) + Eo]w(+)= -
-
+ Eo\zd-) = -
-
- h v1 el ,y)
- y4 (E - h vl)
2
ZU
Der Ubergangsstrom von einem Anfangszustand y. zu einem Endzustand
(69)
vn ist :
iC(q.%yy,'+4 n 7 y a ) .
so,=
Setzen wir hierin die Eigenfunktionen nach (66) und (67) ein und wahlen
diejenigen Glieder aus, die in dem Stijrungsparameter linear sind und deren
Exponentialfaktor
i
e
I- @ Y l + E a - - E n ) t
h
auf den Ubergang von a nach n hinweist, dann erhalten wir fiir das Vektorpotential der Streustrahlung (nun wieder in komplexer Darstellung):
I) Im iibrigen sei bezuglich der angewandten Methode verwiesen auf
W. F r a n z , Zur Methodik der Diracgleichung, Wiinchner Ber., November 1935,
besonders 3s 2, 4, 7, 8 und 11.
W .Franx. Die Streuung von StrahZung am magnetischen.EZektron 705
Damit der Anfangszustand ein Elektron darstellen kann, muB er normierbar
sein und deswegen eine kleine Impulsunschtrfe besitzen (welche wir jedoch
unendlich klein denken und nicht explizit anschreihen). Deshalb hat man
auch nicht genau mit einem scharfen Ubergang nach dem einen durch (1)
und (2) gegebenen Endimpuls zu rechnen, sondern uber einen gewissen
lmpulsbereich der Endzustande zu integrieren. Nennen wir p den Impuls des
Endzustands, wahrend der Anfangsimpuls Null sei, dann bekommt der Ausdruck fur die Intensitat die Gestalt
(die Bedeutung von f kann aus dem vorhergehenden ersehen werden). Hierauf
la5t sich nun nicht unmittelbar der F o u r i e r s c h e Integralsatz anwenden, da v2
von E und damit von p abhgngt. Man fiihrt deshalb als neue Variable ein
und erhiilt aus (71)
(73)
Daraus wird nach dem F o u r i e r s c h e n Iutegralsatz
(73a)
oder ausgeschrieben
Der Integrand ist eine Konstante. Aus der Normierungsbedingung
(75)
entnimmt man mit Rucksicht auf (60) und (64):
d. h. wenn man die Eigenfunktion des freien Elektrons normierbar macht
sei es durch eine kleine Impulsunscharfe (Wellenpaket), oder durch Beschrankung auf einen Raum (Periodizitiitsbedingung), so entspricht dem der
Ubergang (75a).
Bearhtet man die Bedingung 9 = 0, oder, was dasselbe ist, Impuls- und
Energiesatz (1) und (2), so laBt sich (74) vereinfachen zu
(76)
e4
. ($)".
$%(a)= Jt. 4 m ~ C 4 R I
Annalen der Phyaik. 6. Folge. 33.
-ii,. F . zd,ii,.
Pun
48
706
Annakn der Pkysik. 5. Folge. Band 33. 1938
Ferner kann
0.
B. d. A. gesetzt werden:
-
= u, ==
(76)
(1
+ 7,) (1 +
IT ITl)
4
worin 0 , der Spin-Einheitsvektor des Anfangszuetandes ist. Beachtet man nun
noch, daE
(79)
(1
+ 7,) 7 (1 +
74)
=7
(1 - 74) (1
+ 7,)
=
0,
und streicht dementsprechend die beiden Glieder in (77), welche mit (1
behaftet sind, so entsteht genau die im Text verwendete Formel (8).
+ 7,)
A n h a n g 2:
Die Streuformeln fur beliebige Polariwtfon den Primarlichte
und beliebigen Spin in Anfange- und Endzuatand
Wenn man allgemein Formel (21) und (22) in (19) einsetzt und die Bedeutung von % und 8 aue (20) entnimmt, so wird fur reelle Polarisationsrichtungen die Intensitat:
Mit Hilfe von (35)und (36) berechnet man aus (19), (201, (21)
( a , , 5,
+ z2) fa,* e,) + konj.
2
Diese Formeln kann man nun wie die Formeln (37) und (38) des Textes
fur beliebige (nicht rein elliptische) Primgrstrahlung brauchbar machen, indem
man in Analogie zu (40) und (41)den Einheitsvektor der Primiirpolarisation a,
eliminiert.
W .Frana. Die Streuung von Strahlung am magnetischen Elektron 707
Die gesamte gestreute Intensitat erhalt man wie fruher, indem man
iiber zwei zueinander senkrechte Polarisationsriehtungen summiert; dabei
verdoppeln sich die von a unabhangigen Glieder, wahrend aus Gliedern der
Form 2 (b a) (tu a) entsteht: ([be,] [m e,]).
-
Zusammenfassung
Die Formeln fur die Streuung an einem in bestimmter Richtung
magnetisierten Elektron werden auf einem einfachen Wege abgeleitet
und fuhren zu einer Erweiterung der von K l e i n und N i s h i n a gegebenen Formeln um Spinabhangige Glieder. Die Anwendung auf
magnetisiertes Eisen laBt es mBglich erscheinen, daW der EinfluB
der Magnetisierungsrichtung auf die Intensitat zweifach gestreuter
Rontgen- oder y-Strahlung experimentell nachweisbar ist.
K o n i g s b e r g , Institut fur theoretische Physik der Universitat,
4. August 1938.
(Eingegangen 12. August 1938)
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