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Die Summationstne als Differenz- und als Stosstne aus den Obertnen der Primrtne.

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516
K. L. Bauer.
w e n n ich nicht irre, war es im Jahre 1871, als Hr. G.
A p p u n n aus Eanau a/M. mir gestattete, Abschrift von
einem interessanten Manuscripte zu nehmen, welches Hrn.
A p p u n n selbst zum Verfasser hatte und unter andern den
Satz enthielt: die S u m m a t i o n s t o n e sind d i e D i f f e r e n z t a n e a u s den O b e r t o n e n d e r Prirniirtone (die
Differemthe im Sinne Thomas Young’s rerstanden).
Zur Begriindung waren folgende Bemerkungen vorausgeschickt l):
.,Die Entstehung der Summationstone, welche H e l m h o l t z durch Bechnung entdeckte, glaube ich physikalisch
auf folgende Weise erkliiren zu konnen. Das Verhtlltniss
2 :3, die Quinte, liisst nusser dem Differenzton = 1
auch den Summationston 2 + 3 = 5 mithoren. Dies ist
jedoch nur in mittleren und tiefen Tonlagen der Fall; in
der zweigestrichenen oder gar dreigestrichenen Octave
konnte ich mit der angestrengtesten Aufmerksamkeit keinen
Summationston hbren, trotz meines sehr geiibten GehiSrs;
dagegen werden die Differenztone in hohen Tonlagen sehr
deutlich hbrbar. Es gibt aber Tonlagen, in welchen
gewisse TonverhZUtnisse, darunter vorzugsmeise die Quinte,
den Summationston, entgegen dem Helmholtz’schen Ausspruch, weit intensiver zu Gehor bringen, als den entsprechenden Differenzton. Es spielt hierbei die Resonanz
eine wesentliche Rolle. Lasse ich z. B. auf meinem Obertoneapparat die Verhaltnisse (Obertone) 4 :6 (Grundton
des Apparats .= c - ~ = 32 Doppelschwingungen) xusammen
erlslingen , nsmlich c,, = 125 Schmingungen, und go= 192
1) Xeine wiederholteo brieflicheu dnfragen bei G. d p y u n n und
Sohne in Hanan a/M., ob das fragliche Manuscript irgendwo pnblicirt
worden eei, blieben unbeantnortet.
K. L. Bauer.
517
Schwingungen, 80 hart man mit nur etwae geringerer Intensitlit den lJnmraationston 10 sslrr deatlich mitklingen;
man hart dann den Accord (Cdu) 4: 6 :10. Den D8erenzton diesea VerhUtnisses kaan man nur dann beobachten, wenn man dsa Ohrleicht a d die Oberplatte des
Apparata, geIinde dritckend, an&@. Hier ist es der Fall,
dass der Differemton dem Smmmtimston an Intensit3t
ganz gewaltig nschsteht. Wie id nun dieser Bummationston, d. h. seine Entstehung, phymihlhh zu e r k k e n ? Einfach so: Summationstbne kannea IW bei solchen Tonverhihissen entstehen, deren PripppruIne von aahlreichen
Obertbnen begleitet sind. Diee iet bei meinem Obertbneapparat ganz besonders der Fall, und namentlich treten
die ungeradddigen Obertane jdes eiaPelnen Klanges bedeutend hervor gegen die ger-ea
a s t man nun
den Ton (KJang) 4= co = 128 Schwingungen allein erklingen,
so hart auch ein weniger getibter Beobachter den 5. Oberton dieses TLlanges e, = 5.128 6-40Wwingungen ganz
deutlich mitldingen. Ebenso d&ch
vernimmt man den
5. Oberton dee zweiten Primiirtones = 4 = 5.192 = 960
Schwingungen, wenn man jenen PriElaOrton allein erklingen
1asst. Diese Obertbne erk80 W t i g , daas von
diesen ein sehr stark klingeadar Mereruton, nlimlich
960-840 320= el resultirt, wenn die Pri&t,ljne gleichzeitig erklingen."
Wilhrend demnach A p p u n n die Helmholtz'sche Erkllirung der S u m d o n a t 6 n e g l i d c h verwirft, ltussert sich
Hr. Dr. Bud. K b n i g in seiner umfmmnden and gehaltvollen Arbeit flber den Zusiimxmddmg zweier Tbnel) a d
p. 220 folgendermaaseen:
,,AM den hier angegebenem Beobchtungen geht also
herror, dasa DSerenstbne und kmmakionetane anoh beim
Zusammenklange e i n fa c h e r und durah gesonderte Tonquellen enen+ T h e , wenn diemlben eine sehr groaee
Intensitgt beuitzen, nacbewiesen werden kbnnen , dass sie
I
1) Pogg. Ann.
CLVII. p. 177-235.
K. L. Batter.
518
aber ausaerordentlich vie1 achwbher sind, a h die Stosst h e , 80 dass beim Zusammenklange zweier K h g e mit
einigermaassen starken Obertonen aller Wahrscheinlichkeit
nach in den meisten Fallen. die hdrbaren T h e , deren
Schmingungazahlen gleich der Summe der primken Tone
sind, Stosstbne der Obertone tmd nicht Summationstone der primken Tone (im Helmholtz'schen Sinne) sein
diirften. 1)
$chon vorher, auf p. 217, gibt Hr. K o n i g das Beispiel: ,,Zwei m n g e im Intervalle der Quinte enthalten
die beiden Reihen Tone:
2,
4,
6,
8,
10,
3,
6,
9,
12,
15,
und .die 5. Tone beider Klange (10 und 15) geben einen
Stosston m = m'r 5 , welcher gleich ist der Summe 2 + 3
der Grundt6ne.i'
Auch iiussert Hr. Ki5nig auf p. 218: ,,Eskannte
vielleicht auffallend erscheinen, dass man gerade diejenigen
Stosstgne von Obertonen zweier Klilnge besonders bemerkt
haben sollte, deren Schwingungszahl gleich der Summe der
beiden Grundtone war, wiihrend doch noch viele andere
Obertijne ebenfalls ihre StosstBne miissten horen lassen ;
dagegen ist aber zu bemerken, daas die Anzahl dieser
T h e , welche hiirbar werden kiinnen, durchaus nicht so
1) Hr. g o n i p figt hinzu: ,.Diese C o m b i n a t i o n s t o n e w e r den e b e n r o wenig duroh R e s o n a t o r e n v e r r t a r k t , als d i e
In A p p n n n ' r Manuscript
o b e n b e r o h r i e b e n e n Storstone."
heisst er hingegen: ,,Der durch die Primartone co = 128 und go = 192
Doppehhwingangen eneugte D i f f e r e n z t o n c-1 = 64 Doppebchwingnngen liisst r i c h m i t t e l s t d e s e n t s p r e c h e n d e n R e r o n a t o r s
b e d e u t e n d v e r r t a r k e n , folglich ist derselbe eine objective Klengerscheinung." Und an einer andern Stelle: .,Bei dem Accord co :so :go
= 4 : 5 : 6 rind die S u m m a t i o n s t o n e rehrdeutlichhorbar n u d werden duroh die entsprechenden Resonatoren s e h r bedeutend
veretiirkt." - Diere letzteren Bemerknngen halte ich nach den von
mir r& einem Appnnn'echen Obertiineapprat und mit Appunn'schen Resonatoren seit Jahren gemachten Beobachtnngen fur vollkommen zutreffend.
-
K. L. Bauar.
519
gross ist, ale llpl~n wold vor einer genauen prtrfang anmnehmen geneigt sein mbohte. So Wnnm die ObedJne
einss QPiatsnintervdles bis w dem 6. hin nntereinander, ausaer dem Tone 5, keinen Stosston mehr hihen
laeeen, der haher als die G m n e , welcher nicht mit
einem der Obertbne beider
mmmmenfiele."
Der Umstand nun, daaa sowohl A p p u n n als Kbnig
bezliglich der Erklllrung solcher Bummatiomtihe, welche
man beim Zusammenklingen mehr an Obertben reichen
P r i m W n e nahrnimmt, sich lediglich auf specielle Beispiele beschrbken, hat mich veranlasat, allgemein m
untersuchen, auf welche Weise sich ein Summationston
als Differemton oder Stosston aua Obert6nen der Primirtone erkliiren h s t . Weil dasErgebniss meiner Bechnung
bei ferneren Untersuchungen fiber den beruhrten Gegenstand gute Dienete leisten kann, so erlaube ich mir, dasselbe in K t h e hier darzulegen,
5.
1. Die Summationrt6ne alr
Bifferamrt6ae
LU II
Ober-
t6nen der Primiirt3ne.
Einer der zwei Primiirtane entstehe durch a, der
andere durch b Doppelschwingnngen in der Secunde; dann
entspricht einem beliebigen Oberton des eraten Primktones die Schwingungazahl az, einem mlchen des meiten
PrimHrtonee die LSchwingungspcrhl by. Sollen dieae Obertane ala DiffeJreWn den Summatienston der PrimWbne
erzeugen, so muss die Gleichung bestehen:
a x - By = f (a + b), oder a(.
1) = b(yf 1).
Hieraus folgt aofort:
P &,
up
3_rl=
b =
y f l
(I
a
wobei u und @ relative P r i d e n bedeuten magen und
p eine beliebip gsnze positive %hL
8chliesslich wird:
K. L. Bailer.
520
Dass diem Werthe die urspriingliche Gleichung xu einer
identischen machen, erkennt man sofort, wenn man bedenkt,
dass die Relation b :a = p: a mit a p b cc gleichbedeutend ist.
Handelt es sich speciell um das Intervall der Quinte,
a : p = 2 : 3 , 80 wird:
2+-33?/= j - ( 2 + 3 )
=5
x = 3p +_ I } ; p = 1 , 2 , 3 , . .;
y=2pF1
und dieses Resultat fuhrt zu folgenden Tabellen:
X
4
7
10
13
Y
-
2 x - 3 ~= 5
1
3
5
7
8- 3
14- 0
20- 15
26 - 21
Y
3
5
X
2
5
7
9
8
11
3y - 2s = 5
9- 4
15-10
21 - 16
27-22
Bus zwei Obertonen ax und ay des e r s t e n der Prim t t o n e a , b geht als Differenzton der Ton a + b hervor,
wenn:
a (5
- 9) = a + b ; s - y = 1+ -aI, -
Dieser Fall, in welchem der Summationston a + b zu den
Obertonen des Primilrtons a gehiirt, kann nur d a m vorliegen, menn b ein games Vielfache von a , mithin der
zweite Primarton ein Oberton des eraten ist.
9.
2.
D i e Summationatone s l a Stoeet6ne a m Obertonen
der Primiirtone.
Haben zwei Primartbe 71 und n' Doppelachmingungen
und ist h n < it' < (h + l)n, wobei h eine game Zahl bedeutet, so bilden sich nach Hrn. K o n i g zwei Arten von
Stossen, deren Zahlen ausgedruckt sind durch:
m = n'- lin ( u n t e r e Stosse),
m'= (h + 1)n - n' (obere Stosse),
K. L. Bmm.
621
die~ ~
SO daea die Relation m + m'= n Mteht. - S O W O
unteren, ah die oberen Stbsee gehen bei genfigender Zahl
nnd bei hinreichender IntensitlLt der Rindkt8ne in Stosstone. Uber.
Die folgende Uebersicht lehrt, wje aus den Obertonen ax und b y der Primbt6ne a, b Stosst6ne entspiingen konnen, welche mit dent Sunmationstone a + b
znsammenfallen. Unhr der Annahme, dass:
I. b y h < ax < b y ( h
+ l),
ergeben sich die Resultate:
1) m
byh = a
=QZ-
x=pp+1
?/ = a p -
1
h
+b,
I
;(U+P)h+,9<U&.
2) m'= by(Ir+ 1) - ax = b
+a,
ap +1
?/=---.c = p p
-1 I
Die den Auflbsungeresultaten beigefllgten Bedingungen
erhiilt man duroh Substitution der fiir x und y angegebenen Werfhe in die vorauagemtate Ungleichung.
Vertauscht mon gegenseitig z und y, ferner a und b:
so entsteht der Fall:
II.
axh < b y < a z ( h
+ l),
1) m = b y - a z l t = b -j- a ,
1
Y'ccp+1
; (P+.)h+u<P.p.
;IP - 1
-
h
2) m ' = a s ( h + l ) - b y = a + t ,
K. L. Bauer.
522
Fiir das Internall der Quinte, u :p = 2 ;3, wird
speciell:
I. 3yh < 23 < 3y(h + I ) ,
1) m = 2 ~ - 3 3 y h = 5 ,
x=3p+1
2p-1
;5h+3<6pS
ye-
I
h
Weil der Zahler des der ganzen Zahl y gleichen Bruches
setzen und
ungerade kit, so kann man h = 1, 3, 5 ,
erhat :
h
P
X
Y
1
2, 3, 4,. .
7,10,13,..
3,5,7,..
3
5,8,11,..
16,25,34,..
3,5,7,..
5
8, 13, 18, .
25, 40, 55, . .
3, 5, 7, , .
..
.
2) m'= 3~(h + 1) - 22 = 5 ,
p +1
y = 2--
I
h + 1 ; 5?4$2<6p.
x=3p-l
Hier k a m man h = 2, 4, 6, . . setzen und erhalt:
h
-
2
4
6
U
"
;D
4, 7, 10,. .
7, 12, 17,. i
10, 17, 24,. .
II. 2zh < 3y < 28 (h
3, 5, 7,.
3, 5, 7,.
3, 5, 7,.
X
.
.
11, 20, 29,.
20, 38, 6 0 , . .
29, 50, 71,. .
.
.
+
1).
I) m = 3 y - 2 x h = 5 ,
y=2p+l
z-3P-1
; 511 + 2 < 6p.
h
h
-
1
2
4
*P
.
.
2, 3, 4, .
3) 5, 7,. .
7, 11, 15,.
"U
0
5,7,9,..
7, 11, 15,.
15, 23, 31,.
5,8,11,..
4, 7, 10,.
5, 8, 11,. .
.
.
.
K. L. B a w .
523
2) m ' = 2 t ( h + 1 ) - 8 y = 5 ,
h
-
1
3
4'
P
3,5,7,..
5,9,13,..
8, 13, 18,. .
3:
- Y-
5,8,11,..
4,7,10,..
5: 8, 11, . .
5, 9, 13,.
9, 17, 25,.
15, 25, 35,.
.
.
.
SImmtliche fUr dae gewahlte Interval1 bermheten Resultate lassen sich a d folgende Weise libersichtlich zusammenstellen :
?n=5
me= 5
2s
sy
3y
14- 9.1
9
14
9
9 . 3 - 23
20- 15.1
15
15
15.8- 40
20
26 - 21.1
21
21.3- 58
21
26
9
15
32
50
68
9
15
21
32- 9 . 3
50 - 15.3
68 - 21.3
21
9 . 5 - 40
15.5- 70
21.5-100
50
80
110
9
15
21
50- 9 . 5
80 - 15.5
110-21.6
9
15
21
9 . 7 - 58
15.7 - 100
21.7 - 142
10
16
22
15
21
27
15-10.1
21 - 16.1
27-22.1
15
27
39
1 0 . 2 - 15
1 6 . 2 - 27
22.2 - 39
8
14
20
21
33
45
21 - 8 . 2
33 - 14.2
45 - 20.2
20
27
51
76
8.414.420.4-
10
16
22
45
69
93
46 - 10.4
69 - 16.4
93 - 22.4
10
16
22
45
75
105
10.5-
14
27
61
75
45
75
22.5- 105
16.5-
524
li. L.
Brrzrer.
Wieviele und melche dieser mathematisch moglichen Fillle
physikalisch in Betracht kommen, Mngt selbstverstandlich
von der Natur der Primilrklilnge ab.
Zum Schlusse erklare ich mich gern bereit, den
Herren Physikern, welche es wunschen sollten, die in
meinem Besitze befindliche Abschrift des Appunn'schen
Manuscriptes zur Einsicht zu schicken; dasselbe enthiilt
insbesondere auch eine Reihe interessanter Erorterungen
uber die Ursachen des verschiedenen Wohlklnnges der
Accorde in verschieden hohen Tonlagen.
K a r l s r u h e , 24. Mai 1SiS.
N a c h s c h r i f t.
1. Er. A p p u n schrieb mir unterdessen: ,,Sie erhalten
niichstens ein neues Manuscript, worin die Entstehung der
sogenannten Summationstone erleutert und bewiesen nird,
dass diese sogenannten Summationstbne (im Helmholtdschen Sinne) nichts anderes sind, als Differenztane hoherer
Ordnung. Meine friihere Theorie hieraber ist unrichtig."
2) Hr. K o n i g gelangt auf p. 234 und 235 seiner
Abhandlung zii dem Resultate, dnss die Intensitiit eines
Tones nicht nur von der Schwingungs we i t e, sonclern auch
von der Schwingungszahl abhhgt: T i e f e T o n e mussen
m e i t gr b s se r e Sc hw i ngu n g s \v ei t e n h a ben nls ho h e ,
wenn s i e diesen l e t z t e r e n a n I n t e n s i t a t gleich
kommen sollen. - In dieser Form kann der Satz
jedoch unmbglich richtig sein; denn unter Voraussetzung
constanter Amplitude wird die Intensitat eines Tones bei
zunehmender Schwingungszahl nicht fortgesetzt mttchsen,
sondern m i t e i n e r gemissen H b h e i h r Maximum
e r r e i c h e n , da es nicht nur eine untere, sondern auch
eine obere Grenze der Horbarlieit gibt. Die Schwingungszahl der Maximalintensitat wird von der Grosse der
Schwingungsweite und der indiriduellen Beschaffenheit
des Gtehijrorgans abhangen.
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