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Die Super-Eich-Symmetrie in der Allgemeinen Relativittstheorie (Einsteins A-Gruppe).

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r\nnnlen der Physik. 7 . Folge, Rnnd 35, Hcft 3, l!Ji8, S. 225-288
J . -2. Bmth, Leipzig
Die Super- Eich-Symmetric in der Allgemeinen Reletivitatstheorie
(Einsteins A-Uruppe)
Von H.4. TRRDER
Zeritralinstitnt fiir Astrophysik dcr Akadeniie der Wissenschaften der 1)1)11, I’otsdnm-RRbelsberg
I i i h a l t,siib e r s i cht. Die Super-Eich-Gruppc der nllgemeiii-relat.ivistisch~~iFeldtheorien ist
c1urc.h Einsteiris A-Crupp der den sbsolutcn Parallelismus hewahrenden Transforniat.ionen des affinen Zusammeiilianges rtLgegeben. Die Forderung tlcr Invilrianz der Dynaniih gegeniiber dicser AGrirppe be.sagt, claU ulle Lriformstionen iiber die Welt.geometrie aus tistrononiischen Reobac.hCurigen,
d. h. mtrkroskopisch, gewinnbar sind. Jedoch liefert die Porderung der Snper-Eicli-Invariun~aneh
starke Bedingungen fiir die mikroskopinche Struktur der Materic, \velc:hc zur .,Siipc.r-(:r~vit,ztion”
fiihren.
On Super -gauge -symmetry in General Itela.t,ivit,y(Einstein’s A Transformations)
A b s t r a c t . Tht: super-gauge-invariance of gen~.ral-relntivisticfield theories is giveii by Einstein’s
A-group of the transfomint.ions of the affine corinections f& whicli preswve thc s1)solute.parsllelism.
This inviwinnce principle means that all informat.ions ahont, world geometry come from astronomical
obscrvnt.ions. Hoivever, the postnlate of the invarinnce under t.hese A-transforniations implies strong
conditionls for microscopical st,ructnre of inntter which may be interpreted as “super-gravity”.
Die durch Einsteins Aquivalenz- und allgeuieines Rclativitatsprinzip bestinmite
Uriivcrstilitiit der Kopplung zwischen Materie und Gravitationsfeld hat Bedingungen fiir
tiic Materiefclder zur Konsequenz, die viillig iinclhhiingig von der Grijfie der Gravitationskonstanten f sind, welche die Kopplung zwischcn Materie irnd Gravitationsfeldem quantitativ hestininit. I n die RUS tfeni Einsteinschen Aquivalenz- und Relativitatspriwip
folgenden notwendigen Bedingungen an die Matericfelder gcht die C:ravitationskonstante
~xplicitegar nicht ein. Die Bedingungen iiiiissen auch in einem gravitationsfreien Rauin
crfrillt sein oder genauer dann, wenn dcr EinflulJ des Gravitationsfeldcs yzLauf die Matericfelder @ vernachlassigbar klein ist.
In den Einsteinschen Qravitationsgleichiin~en
erfiillt der Einstein-Tensor auf der linkeri Seitc die Uianchi-Itlentitat,
Da ( 2 ) identisch gilt, ninli dcr Materietcnsor Ti,anf tfer rcchten Seite derselhcn Bedingung geniigen iind sornit die dynamischc, Gleichung
H.-.J. TI{KUER
226
gelten. In einein lokalen rnertialbysteni oder in eineni gravitationsfreien Rautn geht (3)
in die spezicll-rclativistiscllcli Erhaltungssatzc
I I
ri,r= o
(4)
uber, d. h. die Allgenieine Rcllttivitatst heorie (ART) schrcibt uber die dynaniixchc Gleichung den Materiefeldern 4 notwendipe Bedingungen vor. Aus dicsen folgen bekanntlich
fiir I.'hanonicnologisc}ie Materie die f3ewegungs&lcichiingen von Massenpunkten (Massenmonopolen) uiid fiir ausgedehntr Kiirper u n d fiir Fliissigkeiten (Eulcrschc (:leicliungen) (Einsfein und Grommer, Einstttin'-Infeld-Hoffmmn, Foclrj.
In der I,agrarigc,-F~inktiorizuni Hamilton-Prinzip von EINSTEIX
[ 1 ] und HILBERT
[ 21
(5)
ist der Einxtcinsclie Aritcil fiir das Gravitatioiisfcld
2 = I//---g R
-
-
gmILh:I&?tk = ]/--g -gmnRm,L
(5a)
durch den Jiriitiitn~tngsskalarR gegeben. Wird itn Sinrie einer rein nictrisclicn Auffassung
der AR'r der affine %usaninienhang
iin Rieniannschen Krummungstenxor R:.,,,&von
vornlwein als Christoffel-Svtiihol angcsetzt, also
= I/--g
substituiert, so ent.hBlt 2 anSer dcr Materie @ nur den metrischen Tenvor gik und seinc
Ikriviertcn. (5a) ist. d a m iin ,Hainilton-Pririzi~)ipit dar Einsteinschen Pseudo-1Hcht.e
L! + (1'-
-
-
-g $ k r ; k
-I / - ~
gvgJl
/-
-g
p(-rgil-I- r,,i p
n
(7)
Squivalent, die nnr die git iind ihre erst.en Ableitungcn (und zwar bilinear) erhhalt
(EIXSTEIN[ I ] , SCHR~DISGER
[31). ( ( 7 ) und (5a) unterscheiden sich jctzt nur durch einc
Divergem
l.),l)
Die Bisnchi-Tdentit,Bt
(2) fiir den Iiriiinniurigstensor ail,,,driickt die 1nvarianz dcr
Dichte 2 =
R gegeniiber allgenieinen Koordinaten-'Cransforniationcn aus. Fiir den
Materie-Anteil fiihrt diese Tsvarianz zu den init. (3) aquivalcnten Bedingungen
=
( V ~ A
1-9
welchc besagt, dalJ die Materiefelder @ fiir sich allein einetti abgeschlosscnen Glleichungssystem genugen.
I)er Auffassung. dalJ die Einstein-Hilbertsche 1,agrange-Dichte (5) als Funlitional
der hletrik g l r allein aufgefant wird, steht die Darstcllung von EINSTEIN
[4,51 gegenuber,
welclie den inet risclicn Tensor gzb und den affinen Zusanimcnhang l'iLals Fcldvariahleri
ansieht. Die so gebildetc 1,agrange-Dichte
I-
tnit
3 = 1J-J
gzkd
;fig,,
+ 2%L,[@,
gd"
, I:*] j i q
Rilm= l';,,,,,- I';,,, -t- lilZ:m- TimT;l
131)
besitzt die Palatiriisuhen C'ariationsnhleitungcn (EIBSTEIN[GI; SCHR~DINGER
('3)
(9%)
IXe Su~er-Eicli-Synimetrie
in der Allgeincinen ttelativitltstlieorie
2 27
uncl (init der Tensor-Dichte gik = v q g ; k )
1
T n (12) ist I> = - (I'&- &) der Torsions-Vektor. (10) sind die Einsteinschcn Grsvi2
tationsgleichungen. ( I 1) verlangt die Abgeschlossenlieit der Materiefelder und giht die
allgemcin-kovariante Form der Matericfeld-Glcichungeil an. Die Gln. ( 12) bestitrimen
algebraisch den Zusammenhang zwischen den glk und den I'g.
Bei phanoinenologischcr Materie sowie fiir alle physikalischen Bosc-Fclder
(MesonenPclder, elcktroinagnetischcs Fcld) hangt die Lagrange-Funktion ] / - g L, der Materie
nicht explicite von den hrtragungs-Koeffizienten Til ah :
(13a)
Zwischcn diesen n3
STEIN [GI). Es ist
=
64 Gleichungen fiir die G l f ; , bestehen aber 4 Identitiiten (EIN-
ay
= a;L,
(1 4)
so daW (13) nur 60 algebrtlisch unabhangigc Glcichungen enthalt und pinen Vektor (1
unhestininit laBt. Unter Beachtung der Symmetrie ghL = glk finden wir (SCHRODIWGER
[3J)
2
(15)
r l m i - r l k m = 1'tm - r z l m - 3 Cglrnr, -- gkrnI:)
und
4
(16)
3
Die allgemcine Losung dieser GO Gleichungen besteht ails den1 Christoffel-Symbol (6)
Dnbghl gfh + y"]:!,
{;,I
-~ g r l I y m = - -g"]',.
urid den1 unbcstiinmt gebliebcnen Torsions-Vektor'
Hieririit ist (13) identisch bcfricdigt. (Die Christoffel-Synlbole sind Schrodingers Stcrn1
= 0, (SCHRBAffinitaten lT$ init verschwindendein Torsions-Vektor, - (rir2
J)TNQER [31). Rei der rein nietrischen Darstellung wird die Vektor-Torsion von vornhercin gleich Iiull gcsetzt.)
r;k)
15-
H.-J. ' h 1 5 1 ) E l l
228
Die C?nbcstirnintheit des Torsions-Vcktors in der Allgemeinen Rclativitsitst heorie
hat cine von EJNSTEIN
[ I01 l ) in seiner unsyinmetrischcn unitarcn FeIdtheorie Iiervorgchobene Bcdeutung. Eiitsprechend der Grundintuition der Allgcnieinen Relativitatstheorie hestininit der Parallel-Transport eines Vektors A k lkngs einer Kiirve xi = .ci(.s),
der Parallelisinus im Sinne von LEVI-CIVITA[ 71, die Dynamik. 13ei eincni solcheri Trarlsport blcibt die Richtung eirics Vektors Iiings xi(s) unverandert,
axm
(L),A') -= i A 1 ,
(18th)
dS
d. h. es ist
dXm
(R'D,,Ak - A"mAl) -= 0.
(1x1
ds
Dcr Levi-Civita-Transport eines beliebigen Vektors A k liings einer beliebigen Kurve
bleibt genau ditnn unverandcrt, wenn die ursprlinglichen
durch die neueii liocffieienten
rtl
.Z'g = I'LL
-t
= A[I'LL]
(
w
substituiert werden, wo A , cin beliebigcr \7ektor, der Eich-Vektor, ist (EISENIART
[R I).
Uci der affinen Darstellung der ART ninsscn wir daher geniiif3 EINSTEIN
[ 101fordern,
dalJ die Fcldgleichiingen nicht iiur gegenuber der Einstein-Gruppe der nllgemeinen JCoordinaten-Transformatiorien (Einsteins 7'-Gruppc)
kovariant sind. Wir nirisseri auch ihre Invarianz gegenuber der verallgeineinerten l<ichGruppe (19) der den ,,Parallelismus" bewahrenden Trarisformationcn (Einsteins AGruppe) fordern, d. h. gegeniiber den Substitutionen
A [ ~=~ gkl,
J AVLI = Til
811sdcrien
+w ~ ,
(21)
die Transformationsgesctze fiir den Kruminungstensor
A[Biirn]= R;&[I'?] = Rf,,
+
hi(Al,,a
- Arn,i)
(21 a)
und fur den Ricci-Tensor
(21 b)
A[R,] = Rg = R k l 4 Ai3k- Ap,i
folgell (EISENHART [g], :EINSTEIN [6, 1.01).
Wir sehen sofort, daf3 Einstcins 1,agrangc-Dichte 52 = I/-g gm"Rmltiriit sytiuiietrischen grnn ditsc Jnvarianz-Forderung von selbst erfiillt. ; 52 besitzt, ,,Super-Eich-Spnimetric" :
sm'1(~7m
+-. lIa,rn - nm,n)
A [ ~=I / / - - 9 g r n t L ~ ; n
I/-s
1
-
= Tl/-g
( p-i- y ? ~ m )(R;,, + R;J
=l
/ q g m n H,,,= 2.
(2-2)
I ) Einstein untcrsuchte dic ,,Super-~ich-Gruppe"
der c h i absoluten Parallelismus (GI. (18)) crhaltenden Transformutioncn (GI. (21 )) im Zasanimcnhang rnit seiner unitiiren Theorie des imyninietrischen W d c s gkl
glp, und arich SCHRODIXGER
[3] bezog sich auf diese verallgenieinertc Grarittttionstheorir. PAULI[ 8 ] bemerkte, dal3 die Super-Eich-(;ruppc formal die allgemein-relntiviatiuc\le
Index-Symmetrie I$ = T:k nussohliel3t. Jedenfalls sahen ENSTEW,S C ~ ~ R O D ~ N
und
GK
PA~:I.I
R
die
Super-Eich-Gruppe (21) im Zusummenhang mit cincr Unitnrisierung physikalischer Pelder, \vie dies
auch die hcatigen Spekalationen iiber ,,Supersymnietrien" tun (a. Anhang).
+
Die S iiI’e’-Eich-SSmmetrie in der Allgcmeinen R,cliltivitlitsthcorie
229
Fiir die Lagrange-l)ichte Qm der Materie-Fcldcr gilt dagegen allgernein
milrli
= m g i k ,rz,~i
=
m-Qin,
G,,, A,,, @I.
(23)
nun cntsprechcnd (22) oder (13) die Variation der Einsteinschcn Dichte 2 nach deiri
3
02
Torsionsvektor r h = - _ A k zii derr 4 ldentittlten (14) fuhrt, also - = 0 ist, ergibt
nit
L
S l k --
die Super-’Eich-Invariilnz c2er allgeniein-relativistischcn Fcldglcichungcn 4 zusltzliche
Bcdingungeri an die Materic-Fcldcr
I k s e Bcdingungcn sind trivial erfiillt, wenn (13 a) gilt, die 1,agrangeiDichtc QJr
also iihcrhaiipt nieht, explicite von den I’j, ahhiingt. Dic Gln. (21) lassen sich als 4 Bestininiiingsgleich~rngenfur den Torsions-Velct,or I; lescn, wenn QJl geniigerid allgernein
und nicht-linear von den
ahhangt. Dann herjt,inimen die Gln. (24) ebcn die Torsion
als Funldional der Matcriefelder @, NO daB die
jetzt nicht ntir ein Funktional der
Metrilc gik, sondern auch der Materie @ sind, wie dies in der sogenannten EinstcinCartmi-Theorie der Gravitation angenoniriicn wird. Die Matcrie bricht nach dieser
Theoric d s o die Super-~ich-synimetrie,wt:il der Torsions-Vcktor I‘, in die Dynamik
eingoht .
1)iese. Anffassung der Einstein-Cartan-Tlieorie ist aber nicht m6glich, wcnn Qfif
lintbar von den Z’il ahhiingt.. .Dies ist gerade der Fall hei den Diracschen Spinorfeldern M.
13eini Wac-Feld h6ngt SldVl
auch lincar vom Torsions-Vekt,or ah. 1)iese Abhangiglwit
ist, durch cinen Term 2if von 2M pgeben, bei derri gilt
(25 a)
wo S,; cler Dirac-Stroin ist. M e l3cdingungc.n (24) besagen dainit
(25)
d. I]. sie verlangen das Verschwinden dcs Dirac-Stronies !
Ofine Modifikation der Lagrange-Dichte C M fiir das Diracschc Spinorfeld y ist: cs also
nicht niijglich, Einsteins Super-Rich-Gruppc (21.) fiir Fermi-Felder zii postulicrcn oder
aucli nur die allgcnicin-relativistischeri Feldgleichungen durch unabhangige Variationen
nacli t k r Mct,rik g i k und dem %osanimenhnng
abmleit.cn, ohne Nebenbcdingungen
einzni‘iihren. Vielinelir niiiB durch solche Kehenbedingungen von vornherein dcr Torsions-Vektor ITkm f irgendeine Weise fixiert,, in Sonderheit
= 0 gesetzt werden.
Eincn Ansatz fiir die I,agrange-’Dichte $[yn, I‘&,*,
y1 dcr Allgendncn Relativitiitsthcoric: init, eineni Dirac-Spinor, weloher die GI. (25) identisch Fefriedigt, gab WEKL
[11 I an. E r set,zt.c vori vornherein die Metrizitat D,,,ykl = 0 der Ohert.ragungs-Kocffizient.erl voraus urid fiihrte diese in die 1,agrange-Dichte
ri1
r,
1.I---Q I,- = (det h f ) z[h$,,,,,
y1,
(26)
iiiit den Bezugstetradcn h i iincl den Riccischen Rotations-Koeffizienteri yipI:
(2Ba)
(2Bh)
ein. (Siehe auch TREDER
[ 121.) Fiir d m allgenieinen affinen Zusaniuienhang ( I 7) gilt
hingegen genial1 (16)
4
L>mgLl =
-k 7$ghl1:rt-
Dementsprechend ist auch die tlnti-Synii~ietrie-13cdingiing (26 1)) nipht A-invariant
( b h i w m w r 193). Mit den Kocffizicntrn ( I 7) ergibt sich viclniehr
Yinl=
ltt(lLlt,L,i- h , ! , ~=
)
(A.ti,r
- h,tr
{;1) + T2g i n l ;
(27)
und somit statt (26 h)
Die A-Transforniationeii niodifizicrcn soniit Weyls IAagrangc-Dichtc(26) fiir dic 1)iracMat.crie:
A[yiki] = j'ix.i -- gir.Al.
(2!))
Halt inan also an der Porderung der Super-Eich-Syiiiiiietric fest, so hat man i i i
der Lagrangc-Funktion die :Dirac-Mat.eric durch die Einfiihrung zusatzlicher Matcricfclder derart zu crgjinzen, (la13 die 6111. (24) nunrnehr niit Hilfe der neuen Materiefelder
hefriedigbar sind. Uiese neucn Matcriefelder lukmeii natiirlich nicht, einfacli wicdcr l h w sche Spinorfeldcr sein ; sie niiissen Ferini-Zl'elder niit hiihereni Spin rcprasent.iercn. I k i i i nach hat Einsteins Forderung dcr A-lnvnriaqz, d. 11. der Super-Eich-Symmetrie, cine
benierkcnswertc Konsequenz: Norniale l"ernii-E'clder voni Dirac-Typ ltdnnen fiir sivh
allcin nicht, existieren. Sie mussen durch Fclder niit h6hcrcm Spin crganzt werden. Dies
ist 111. E. die Philosophic dcr vieldislmtiertcn ,,Supcr-~ravitation" (vgl. XmuwmHTxZEN [ IH]). Hieraus ergehen sich d m n weiterhin auch Konsequenzen fiir die Form drr
%iietandsgleichung hochentart.eter Materic, wie sie ctwa in Scutroncn- oder Baryonctnsternen vorliegt.
Ohne Einfiihrung einer ,,Super-Gravitation" ka,nn die ltornbinicrte Thcorie des Kinsteinschen Feldcs gik und des Dirac-Feldes y nicht invariant gegeniiber F,inst.eins
A-Uruppe (21) sein. I)u nun &hergeni511 tien Prinzipicn der ART alle Ueotnctricn, wclclie
deriselhcn ~,cvi-Civitit-Pnrallelislriiis(1 8) definieren, in bezug auf ihre ma1trophysik~lisc:li
nachweisbarm Konscquenzen iiyuivalent sind, so wiirde cine solchc Brecliung der SupcrEich-Syninict-rie der ART durch die Ferini-Felder hedeuten, (la13 dic Ilikrophysik cine
eindeutigcre Yestlegung der Ckomet rie verlangt, als dies durch maltroslropisclie .Ht!oI)schtungen inaglich ist.
1. Anhang: Einst,ciris ,,3L-Traiisfc)rinationc~n"und die Erhaltung des Dirac-Stromes
EIXSTEIN
[6] (6. auch EIWSTEIN
'iind KAUPMASN
[ 14'1) schwiicht~e das I'ostulat der
lnvarianz gegeniiber dcr Super-Eich-Gruppc (21 ) auf die Forderung ah, dalJ die Feldgleichungcn invariant gegeniiber dw spezielkn Eich-Gruppc
A [ z3i]= f
a
y$
-+
(30)
@.,1
sein sollen. Beiin I'ar:~llel-'rransport ( I8 it) bedcutet (30) einfach die Cmeichung cles
( 3I )
Die Eich-Trarisforiiiationeri (30) lassen die Raiini-Kriiinniung unveriindert :
A[Rj.,,] = 1q:m
1
=
-t
crt(n,,,
- A,?&L)=;
(32)
Die Su~x.r-Eicli-Synimetriri n tlcr .\llgrmeinen Relatiritdtstheoric
23 1
Dainit hcstcht 1"-Invarianzdw (;riLvitittionsfcl(les wid es gilt fiir die I,agrange-Dic.hte
-+ 2% 11 --g
I-
-4[G]
A
Hci T)irac-Matc&
Bedingiing2)
=
2
L;l[g,,,, 1I1, I.,
@I.
(33)
tritt soiiiit an die Stelle der 1 Glcichungen (24) oder ( 2 5 ) die eiiie
und dime hesagt die ICrllaltung tles Dirac-Stroines 5'":
( 3 'i)
Einsteins .,I-lSyininctrie" leistet hier alro gersdc dssselbe \tic die Eich-Gruppe
fur das Vierer-Potential @,> der 3laxaellschen Elektroclynamik. In cier
@f = @h
Tat idcntifizici ten - ini Sinric einer Unitarisierung von Crsvit ation und Elektroii~agnctiwins - EINSTEIN
[fi] und J'AUIJ [ 8 ) die I~-'rransfornintionen(30) mit dcr Umeichung
cles Vektor-Yotentials @A.
Es ist a h zu betonen, da13 dar freic C:rsvitationsf&l die allgeiiieinc Suycr-EichIfyiiiiwtrie (21) ttcsitzt, die erst diirch dic Hinfrihrung nicht-graviwher Felder auf (30)
reduziprt wirtl. Durch mskroskopische Mcssungcn ist der ,,Eic~h-Tcrni"des Kriiminiings-
+
Tcnsors
2. .\iihang: Dw Dirae-Slroni in Einsteins sllgeiiieiner Relativitatstlieorir
c l ~ sonsyinnretrischen Feldes
Tn seiner unitbren F&ltheoric mit iinsyinmetrisclieii ,.nic4rischviii" Tvnsor -g,,l
clefinicrtc. l h s r i c n [5, fi, 13 I den kovarianten Tensor
=+
ylk
(38)
23.’
IGir das freie grl-Feld inti13 daher gelten:
gy
=
0.
Bei Ankoppluiig eincs Materie-Feldes ist dcnigegeniibcr
untl dies crgiht fur Diractlche Spinor-Felder cntsprcchtend ( 2 5 )
0 ,I6 ~== const I! /--g SL.
1l-g ,yh,
(39)
I)as hcilit, 96‘
ist hier gleich tlcr Mchtc tles L)irac-Strolncs
dies der.
,I
Intuition der Einsteinsc1tt.n Theoric dnrchaus entspricht. - Danach wire dic norillale (inakrosl;opischc) Gravitation das spimctrischc nictrische Peld grl = gu der
A R T ; dcr Vereinigung von Gravitation nrid ,,Super-Q1.avitation“ entsprachcn dagcpcn
Einsteiris ~msyininetrischcgL1 + g l l . Die unsyinnietrische Feldtheorie von Einstein untl
Schrbdinger wilre dcninneh eine ART init Supcr-Gravitation, also tatsachlich cine ~ e r a l l gciricincrte Gravitat ionst heoric. Tn ihr dcfiniert die Invarianz-E’orderung grgcniibcr der
A-Cruppe
N
h E- g,y
611k
-
+ const ~ / - g y @ i j
dic Vier-Stroiii-T)iclitc.
=
o
(40)
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