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Die Supraleitfhigkeit nach Schrdingers Wellengleichung und Fermis Statistik.

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914
4. B e SwpraldtfUMgke4t mach S c h r b d i n g e r s I)
W e l l e n g l d c h u m g umd Ferrn48 7 Statist4k;
vom Er4ch E r e t z 8 c h m a n m
Inha1 t: In einem makroskopkch isotropen homogenen metallkchen
Leiter, in dem die Elementarladnngen nur nach dem Conlombschen
GtesetG anfeinander wirken, ohne j e ineinander eimudringen, beateht
kein elektriacher Wideretand, eolange die Bewegnng der freien Elektronen
lediglich durch die Schrgdingereche Wellengleichnng nnd ihre Beschwindigkeita- und Energieverteilnng allein durch die Fermische
Statistik bestimmt sind. Die Ergebnisae der friiheren anf die Boltzmannsche Statietik nnd gewtihnliche Mechanik gegriindeten Untersuchnngen des Verfaseera bleiben hiernach bestehen, mit Ansnahme nnwesentlicher Zahlwerte. - Der EinflnE der magnetischen Kriifte anf die
Elektronenbewegung ist wellenmechaniech noch nicht berechnet.
Einleitung
Die F ermi ache Qeschwindigkeitsverteilung der Leitungselektronen ist kiirslich von Hrn. Sommerfel d 7 einer im
iibrigen unter den Vomuasetzungen der alten Theorie von
H. A. Loren t z durchgefnhrten Berechnung der elektrischen
nnd Wiirmeleitftihigkeit der Metalle zugrunde gelegt worden,
und im AnschluS daran hat Hr.Houston4) die d e Broglieache Vorstellung der Wellennatur des bewegten Eleklrons verwertet, indem er die Temperatnrabhilngigkeit der elektrischen
Leitf&gkeit nach eher Formel berechnete, die von Deb y e
fiir die Temperaturabhiingigkeit der ungeordneten Zerstreuung
ebener Riintgenwellen in vollkommenen Kristsllen aufgestellt
worden i s t
Der VerfasserK) hat in seinen frtiheren Arbeiten iiber
1) E. Fermi, Ztschr. f. Phys. 38. S. 902. 1926.
2) E r w i n SchrBdinger, Ann. d. Phys. (4) 81. S. 109-139. 1926.
3) L S o m m e r f e l d , Ztschr. f. Phys. 47. S. 1-32. 1928.
4) W i l l i a m V. Houston, Ztschr. f. Phys. 48. S. 4 4 9 4 6 8 . 1928;
vgl. anch J. F r e n k e l , Ztschr. f. Phys. 47. S. 819-834. 1928.
5) Verf., Ann. d. Phys. 74. S. 189-215
n. S. 405-444. 1924; 80.
S. 109-136. 1926. Die letztgenannte Arbeit genfigt mm Verstitndnie
dee Folgenden.
Die SupraEeitfahz$keit nach Schrodingers Wellengleiehung usw. 9 16
metallische LeitfAhigkeit und Supraleitfshigkeit das einfache
Drnde-Lorentzsche Bild, der geradlinig zwischen elastischen
Atomen hin- und herfliegenden Leitnngselektronen durch die
allgemeinere Annahme ersetzt, da0 auch die jeweils freien
Elektronen dauernd unter der unrgelma0igen Wirkung der
von Atomen und anderen Elektronen ausgeilbten Krilfte stehen.
Die elektrische Leitfahigkeit kann so, insbesondere wegen der
wechselseitigen Beeinflussung der Elektronen, nicht mehr durch
eine auf die einzelnen Elektronen oder Scharen von Elektronen
mit gleicher Geschwindigkeit bezogene freie Weglilnge bestimmt
werden, vielmehr mu6 man von vornherein die Gesamtheit der
Leitungselektronen eines hinreichend goBen Gebiets ins Ange
famen. An den unregelmiiBigen, ohne LuSeren Antrieb erfolgenden Geschwindigkeitsschwanknngeneiner solchen Qesamtheit lie6 sich zunlchst ein rein kinematisches, aber von der
(3eschwindigkeitsvereilung der Elektronen unabhiingiges Kriterium f i r das Verechwinden des elektrischen Widerstandes aufweisen.
Die Ubertragung der aufgestellten Bedingang der Supraleitfghigkeit in dynamische Form geschah nnter den Voramsetzungen, da6 alle Elementarladungen im Leiter lediglich
nach den bekannten elektromagnetischen Kraftgesetzen anfeinander wirkten, und da6 fb die freien Elektronen das M a x well - Boitzmann eche Energieverteilungsgesetz galte. Es
ergab sich, d& kein Widerstand besteht, solange - klassisch
gesprochen - kein Eindringen der Elementarladungen ineinander cider - quantentheoretisch - kein Austausch freier
mit gebundenen Elektronen stattfindet. Findet ein solcher
statt, so ist der Widerstrand der Hilufigkeit der Vertauschungen
proportional.
In der vorliegenden Arb& werden nun auch die tfberlegnngen der oben angedeuteten Theorie des Verfassem, mit
der Wellenmechanik von SchrLidinger statt der gewahnlichen
Mechanik und mit Fermischerl) statt Boltzmannscher
1) Die nach F e r m i berechnete Oeschwindigkeitaverteilung der
freien Elektronen ergibt im Gegeneatz znr Maxwellschen keine merkliche Abhhgigkeit der kinetiechen Energie der Elektronen von der
Temperatur; vgl. A. Sommerfeld, a. a. O., S. 16.
916
E. Kretschmann
Statistik durchgeftihrt, soweit sie hierdurch eine neue Gestalt
annehmen.
Im Gegensatz zu der Tbeorie von Sommerfeld und
Houston werden aber ebene oder gar stehende Wellen nicht
als ausreichende Darstellung der Elektronenbewegung angesehen,
sondern erst ein erheblich verwickelterer Schwingungsvorgang
mit vielfach und unregelmaBig gekriimmten und sich bewegenden Phasenflachen, der sich im einzelnen ebensowenig angeben I&, wie die Bewegung vieler dauernd und unregelmilBig beschleunigter Elektronen. DemgemiiB konnte nicht
von einer besonderen Liisung der Wellengleichung ausgegangen
werden , sondern die gebrauchten Bewegungsgesetze mu6ten
aus der fiir die Gesamtheit der freien Elektronen aufgestellten
Wellengleichung selbst unmittelbar entwickelt werden. Die
Grnndlage hierfiir bot die von Hrn. Ehrenfestl) gegebene
elegante Darstellnng der Beziehungen zwischen gewohnlicher
und Wellenmechanik.
Die Schrodingersche Wellenfunktion y wird als Wahrscheinlichkeitsamplitude und ihr Quadrat w w* ale Wahrscheinlichkeitsdichte im Konfigurationeraume fiir die unbestimmte Lage der Punktladnngen , nicht aber als tatsilchliche Ladungsdichte ,,verachmierter" Elektronen betrachtetq
Das ist wichtig, weil so die elektrische Kraft, die aufirgendein
Leitungselektron wirkt, aus einem stets der Laplaceschen
Gleichung gentigenden Potential abzuleiten ist. Eine Bestimmung dee Einflnsses des magnetischen Feldes anf die Elektronenstramnng, die jedenfalls von relativistisch gestalteten
Wellengleichungen ausgehen miiSte, wurde wegen der damit
verbundenen Verwicklungen nicht vorgenommen. Doch ist
-
1) P. E h r e n f e e t , Ztxhr. f. Phye. 46. S. 455. 1927.
2) Die Ladungevertdung einer voll beeetzten Elektronenschale ist
hiernach erst im Zeitmittel ganz kngelsymmetriach, aber dae genUgt
offenaichtlich, nm das Fehlen beobachtbarer Richtungeeffekte m erkliiren.
Ebenao iet dsa von Hm. A. Unsiild, Ztschr. f. Phys. 43. S. 563. 1927
beetimmte Gleichgewicht eines Ions in der Elektronenwolke eines Atoms
nicht davon a b h h g i g , ob die Wolke aue stetig verteilter Lsdnng oder
am einzelnen Elektronen besteht, abgesehen von kleinen Schwankungen,
die im letaten Falle das abwecheelnd nach verschiedenen Richtungen
von den vorbeifliegenden Elektronen gezogene, verhatniemiibig sehr
triige, Ion auefdhren multe.
Die Suptaleitfahigkeit nach Schrodingers Wellengleichung usw. 9 17
wohl nicht zu erwarten, dsB sich dadurch an dem Ekgebnis
dee Folgenden etwas weeentliches iindert.
Dieses bleibt, abgesehen von Zahlwerten, die von der
Elektronengeschwindigkeit abhiingen, das entsprechende bzw.
gleiche wie nach den frtiheren Untemuchungen des Verfassers,
d. h. elektrischer Widerstand tritt nur auf, wenn die Bewegung
der freien Elektronen von Vorgilngen unterbrochen wird, die
nicht von der Wellengleichung beherrscht werden. Nimmt
man wie friiher als solche Vorgitnge die quantenmiibige Bindung freier Elektronen an Atome und das Freiwerden gebundener an, so erhitlt man auch wieder die frilhere Formel
Air den spezifischen Widerstand.1) Ebenso bleibt die angegebene Erkliirung fiir die von K a m e r l i n g h O n n e s beobachtete Unverriickbarkeit der Stromlinien in Supraleitern gegenaber magnetischen Kriiften bestehen.
I. Die kinematisohe Bedingung der BupraleitG&higkeit
3 1. Hetrachtet man in einem mendlichen homogenen
metallischen Leiter die Leitungselektronen eines hinreichend
groBen Gebiete, so fiihrt dieser' ,,Elektronenverein" auch o h m
&&ere Einwirkung und bei stationilrem Zustande ledigiich infolge der unregelma6igen Bewegung der einzelnen freien Elektronen zufallige Bewegungen als Ganzes aus. Die Schnelligkeit, mit der eine zufiillig in einer bestimmten Richtung I erreichte Striimungsgeechwindigkeit B im Mittel zu Null abflillt,
muB offensichtlich ein YaB bieten far den Widerstand des
Leiters gegen einen Strom in der nBichtung. Jedenfalls kann,
wenn im Mittel die Strijmungegeschwindigkeit n i c k gegen Null
strebt, auch kein Widerstand vorhrtnden sein. Die Bedingung,
unter der dieser ideale Fall von Supraleitfahigkeit eintritt, ist
friiher rein kinematisch' und ohne Benutzung eines bestimmten
~eschwindi~keitsverteilnngsge~etzes
fiir die Elektronen abgeleitet
und kann daher hier einfach tibernommen werden. Sie lautet:
vollkommene Supraleitfahigkeit t i t t d a m und nur d a m - ein,
wenn die zweite zeitliche Ableitung s"' der Striimungsgeschwindig1) Dieaer entateht hiernech durch Absorption und Emission von
Elaktronenwellen, dagegen nach Sommerfeld und Houston durch
bloBe Zerfjtreuung.
918
E. Setschmann
keit, gemittelt Gber alle Zeitabschnitte, wahrend deren diese
sich zuFallig in irgendeinem festen Wertbereiche s’ bis s’+ d s’
b e h d e t , gleich Null wird, unabhiingig von d.l) Die anschauliche Bedeutung dieses Satzes liegt anf der Hand: Wenn man
s’ als Zeitfnnktion aufieichnet, so ist s”’ proportional der
Kriimmung der s‘(t)-Kurve gegen die t-Achse, s‘= 0, hin. Verschwindet die Kriimmung in jedem Abstande s’ von der Achse
im X t t e l , so heiSt das, sinnfaig gesprochen, der Nullwert
der Stramungsgeschwindigkeit verliert seine Anziehungskraft
und die Geschwindigkeitsschwankungen ihren Mittelpunkt.
11. Die Bewegung der freien Elektronen nsch
der Wellengleichnng
8 2. Es seien in einem hinreichend gro6en Gebiete eines
homogenen metallischen Leiters N Leittmgselektronen mit den
Koordinaten xl, y l , z1 bis XU, y N , zN. 1st 7 ihre gesamte
potentielle Energie, m die Masse des Elektrons und h das
Plancksche Wirkungsquantum, so gelten nach S c h r b d i n g e r 3
die konjugierten Wellengleichungen :
mit
.
(m = Masse des Elektrons, k = 1, 2 , . .N).
Die Wellenfunktion zY und ihr konjugierter Wert zY* seien
durch
(2)
I d J L z Y - V*= 1
geeicht, wobei
d x , d y , d z1 - - d XN. dyN d z ,
d2
!
sei nnd fiber den ganzen 3N-dimensionalen Koordinatenraum
integriert wird.
-
.
1) Der Beweie diesee Sateee iet vom Verfseser in Ann. d. Phys. (4)
74. S. 409-427. 1924 nnd kiiner und etwse allgemeiner: Ann. d. Phys. (4)
80. S. 114-117. 1926 gegeben. Der genannte Mittelwert ist dort mit
8’. pol‘ bezeichnet , im folgenden mit (
s”),,
2) E. SchrGdinger, Ann. d. Phys. (4) 81. S. 112. Ql. (4”). 1926.
.
Die Supaleitfahigh2 nach Schriidingers TYellengIeichung usw. 919
Vr ?Pa
d Q sei die Whcheinlichkeit dafiir, daf3 die
Elektronenkoordinaten im Bereiche d Q liegen. Die ,,wahrscheinliche" x-Koordinate des 2-ten Elektrons ist dann
Zl = S d R - V Y * - x z
(3)
und demgemil6 seine ,,wahrscheinliche" Qeschwindigkeit in der
x-Richtnng
oder nach (1)
Schreibt man, wie iiblich, im xl
. . . zN-Ranme
und
SO
iet
div grad 0 G A @
und
X * A @ - @ - A X ~ _ d i v ( X g r a d ( I , -@gradX).
Folglich :
(4)
-
ila
~
472
i hm
~ d R - x , . d i v ( ! P * g r a dV - Vrgrad V*),
Mittels partieller Integration ergibt sich hieraus, da Vr
und Vr* 'Uberall im Unendlichen verschwinden und von xz nur
die eine Ableitung nach xz selbst nicht gleich Null bt:
Durch diese Gleichung ist die reelle Koordinatenfnnktion
-.
471 m
lu Y*
5
der wahmcheinlichen Geschwindigkeitskomponente
mittels
der Wahrecheinlichkeitsdchte Vr Vr* gerade so zugeordnet wie
920
1 Kretschmann
die Punktkoordinate xl durch (3) ihrem wahrscheinlichen Wert zl.
Demnach kiinnen
einngemiiS als die ,,Punktwerte" der Geschwindigkeitekomponenten des &ten Elektrons bezeichnet werden. Es iet
f, = s d Q . P Y l y * . 2 1
(6 b)
und entsprechend
iet ebenso wie der konjugierte Auedruck,
80
wird:
Die Supraktfah+it
nach Schrodingers Wellengleichung w w . 92 1
Fth dae Gesamtpotential 7' darf hier auch das Potential
des Lten Elektrons eingesetzt werden, dae alle von x l , yl, zl
abhhgigen Qlieder von T.T enthalt.
2, s- - d J ? . W p * . -a- v,
.
'1
(6)
a zt
m
Der ,Punktwertu der Beschlennigung des I-ten Elektrons
in der 2-Richtung ist also gleich der entsprechenden Beschleunigungskomponente nach der gewtihnlichen Mechanik.
8 3. Wir brauchen noch die niichste Ableitnng von zI
nach der Zeit. Ee wird nach (6) und (1)
dzl
ih
aVl
k,=-=-.
-(PA
vI* - * * A W)
dt
Inm'
a zI
' S d J? W W*- a' K
-
m
and nach (4)
z1 = , f ~ , ~ 5 2 ~ d i v ( P g rvI*
ad W*gad W)
-
'JdRWW*-.
Vl
89
asdt
m
Partielle Ansfnhrnng dee ersten Integrals rechts ergibt:
ih
avc
a vc+
a zk
a vc*
a Xk
+ - - - (KP r - W - ) a l y
a9
a 51 d y&
a 9 v,
Yk
-qdR.PP.m
a9
K
aX,at
9
oder nach (6)
2,=-- m
Sdg.wP
A+
a' v,
+
-2k)
1-
as v,
*
Die zweite zeitliche Ableitung der Striimungegeschwindigkeit s'
der N Elektronen in der z-Richtung ist somit:
+ -&3.
Annalen der Physik. IV. Folge. 86.
1,R = 1,2, ...A')
60
E. Kretschmann
922
Zur Vereinfachung der Doppelsumme w a d e noch
in
das von den Kernen und gebundenen Elektronen h e d h r e n d e
Potential VZ+ und in den von freien Elektronen erzeugten
zerlegt:
Rest
c-
+
5 = q+ 5(7)
und weiter nach den einzelnen freien Elektronen:
also:
nnd ebenso:
Bei der Summation nach 1 haben sich die rechts stehenden
in I und R sntisymmetrischen Klammern heraus. Folglich
und da Yl nach (7a) nicht auedriicklich von t a b h h g t , wird:
i .p&.fl+L.
at v +
91 +
aa
K+
az,ay,
9 4. Rechts in der letzten Gleichung steht durch - m
geteilt der Mittelwert des Klammerausdrucks fiber alle Elektronen und alle mit der Wahrscheinlicbkeitsdichte V 1I,* belasteten Pnnkte des Koordinatenraums. Jetzt ist noch einmal
zu mitteln iiber alle die Zeitelemente, wahrend deren die
2-Komponente, s', der Stromungsgeschwindigkeit der Elektronen
bei ihren znfiilligen Schwankungen sich in dem willkiirlich
Die Supraleitfiihigkeit nach Schrodinyers Wellenyleichuiiy usw. 923
vorgegebenen Wertbereiche s’ bis s’ + ds‘ befindet. Das Ergebnis der ganzen Mittlung kbnnte man, da durch sie
- (9)
y = i = 0,
~owiebei stationarem Zustande des Korpers auch
aa Vl+
-=
()
ax,a t
ist, in einem isotropen und unendlich ausgedehnten Korper
ohne weiteres gleich Null setzen, wenn nicht die Mbglichkeit
eines statistischen Zueammenhangs zwischen den Punktwerten
der Geschwindigkeitskomponenten und den mit h e n in (8)
mdgenommenen zweiten Ableitungen des Potentials bestiinde,
etwa in der Art, daS bei positivem *l auch a 2 v;+ vonugsa zl
weise positiv w k e .
111. Daa Fermieche Geachwindigkeita- und Eoergieverteilunge-
geeeta bei gegebener BtrSmungageechwindigkeit
0 6. Diese Frage wird entschieden durch die der Geschwindigkeitaverteiung der Elektronen zugunde liegenden
Statistik. Statt der m e r von mir benutzten B o l t z m a n n schen Statietik nehme ich jetzt die Fermische als gtiltig an,
die ja unverkennbare Vorziige gegentiber jener besitztl)
Nach F e r m i kann die Verteilung mit den Besetzungszahlen N, der einzelnen Zustanndsgebiete des Phasenraums,
deren jedee z Elementarzellen Air je 2 Elektronen enthalte auf
1) Fiir die Fermische Statistik sprechen auSer der bereita in der
Einleitung erwiihnten Unabhbgigkeit der kinetiachen Energie der Elektronen von der Temperatur die von W. P a u l i jr., Ztschr. f. Phys. 41.
8.81-102. 1926 gegebene Dentung dea temperaturunabhlingigen Paramagnetiamne bei Metallen und achlieSlich ihre kiirzlich von E.F e r m i ,
Ztechr. f. Phys. 48. S. 73-79. 1928 anfgedeckte Anwendbarkeit anch
auf die gebundenen Elektronen echwerer Atome. Vgl. auch im folgenden
8 6 die Anmerkung zu Gleichung (12).
60 *
E. Kretschmann
924
verschiedene W eishn erfolgen.’) Die wahrscheinlichste Verteilung in unserem Falle, wo auBer der Energie und A n z d
der Elektronen noch ihre Stramungsgeechwindigkeit d in der
z-Richtung gegeben ist, bestimmt sich aus
6 In W = -
2 [In N,-
In ( 2 t - N ~ U ~=No ,
mit den Nebenbedingnngen:
B N = 2 6N, u 0 ,
S ( N * s ’ )= ~ 5 , 6 i v =
, 0,
wo E,. und i, Energie tmd z Eomponente der Geechwindigkeit
der Elektronen des r-ten Zustsndsgebiets sind.
Es folgt:
ln N,.
- l n ( 2 z - N,) + + B e , + y 5 , = 0
a!
oder
Die Parameter m und @ sind durch Ableitnngen der
Entropie S = R In W’ bestimmt:
w5hrend y in einfacher Beziehung zur Striimungsgeschwindigkeit s’ der Elektronen steht Denn sei Yr die potentielle
Energie in dem r-ten Gebiete, so ist:
fx
+ p e r + l f i ,= m + pvr+
(q+
y:+
i,?
+ Y 2,
1) Die Verteilung der N, nicht zcntersahiedemn Elektronen dw
r-ten Zuetandsgebietee auf die 2 2 (2NJ vorhandenen Einzelatden Lann
ntimlieh, wie man leicht eineieht, auf
(2 x)!
Arten erfolgen,
N,!(2n - N,)!
und zwar in jedem Zustandsgebiete nnsbhlngig von jedem sndern.
Die Supraleitfahigkcit nuch SchrodingeTs Wellengleichzcng usw. 926
Also :
mit
as'=.
a
- -.7l
2Pm
Die f? verteilen sich nach (12) far jeden Wert von P,
eymmetriech um den Wert - -2- der somit gleich s' iet:
p.m '
y =
-
3
'
.
/j.m =
-s'.
kT
m
IV. Die 0npraleitiB;hfgkeitund der spesi5ohe Widelatand
Q 6. Nach (12) haben die Elektronengeschwindigkeiten
nur mit den Potentialwerten selbst einen unmittelbaren etatistischen Znaammeqhang, ein eolcher mit Ableitnngen dee Potent i a l ~- oder eines Teils, P+, von ihm - nach den Koordinabn kann nur mittelbar znstande kommen und fhllt fort bei
fest gegebenem Potentialwerte. Innerhalb des feeten Wertbereiche 7 bis P+ d 7 des Elektronenpotentials gemittelt, iet
folglich nach (9)
\--I
-
I
.* (?Zq:.) -
=I
asv+ - =
-s'.
a 514
Den Zusammenhang zwischen dem Verteilungegesetz (12)
nnd der Wahcheinlichkeitsdichte W W* erhlllt man, wenn
man einereeits dnrch N, nach (12) und anderemeits durch W W *
den Brnchteil d e r Elektronen ansdrtickt, der aich bei der
StrBmnngegeechwindigkeit S' dnrchschnittlich im Geschwindigkeitabereiche f bis 5 + d 5 , . . 2 bie f + d i und Potentialbereiche P b h 7 $- d V befindet:
I
.
1) F'ragt man nach der Wahracheinlichkeit dafiir, da6 eich ein
Elekhn im Innern einee poeitiven Atomhernee befinde, ao wWde dieae
neeh dem Maxwell - Boltemannachen, Energieverteilungageaetz, bei
dem N, proportional zu e- vr iat, mit en Null abnehmender KerngrtiBe,
wie leicht zu aehen, znr GewiBbeit, dagegen nach (12) wegen der 1 im
Nenner, die bei V,+
m allein iibrig bleibt, eu Null.
-
E. Kretschmann
926
. .
.
. .. V,=V+d
$=GE[dapp.
(z,=z+riz,
(14)
(Z,’Z,
V)
... V , = V ,
Rachts ist znr Beseitigung der zufalligen Schwankungen
iiber alle Zeitabschnitte zn mitteln, in denen die Stromungsgeschwindigkeit zwischen 8‘ und s’+ ds’ liegt.’) Die Integrationsgrenzen sind mit dem Integranden durch (5a) und (1)
verkniipft. Die dem von ihnen nmschlossenen Zustandsgebiete
im Ansdrucke (12) fiir N, zuzuordnende Zahl z von Elementarzellen wird durch die Quantelung des Elektronengases bestimmt, auf deren Regeln es hier nicht weiter ankommt.
Der gesuchte Mittelwert von s”’ bei gegebenem sf ist somit,
wenn man die Integration in (8)nach dem Werte von VZordnet
nnd die durchschnittliche Anzahl der in einem Wertbereiche
d Y befindlichen Elektronen mit d N bezeichnet, nach (13)und
(14) sowie (9a):
(sI,,
)#l
=
-N - mJ d N
_-
(3).
Vermi5ge der Laplaceachen Qleichung (10) verschwindet
der rechts stehende Ausdruck, sofern nur auf den Flachen
konstanten Potentials der Elektronen die s-Richtung den zu
ihr senkrechten Richtungen so weit gleichberechtigt ist, da8
w i d , wo ua einen beliebigen positiven Proportionalitatsfaktor
bezeichnet, der im Falle der Isotropie natiirlich gleich
wid.
Unter dieser Bedingung ist also
_-(S’’’)#/ =
0
1) DaB die aleichung (14) als Anfangsbedingzmg fur die Wellenfunktion, also ohne die zeitliche Mittlung rechts, bei beliebigem Verteilungagesets der N, mit der Wellengleichung (1) vereinbar id, eraieht
man leicht aua der Form von (1). (Vgl. auch P. E h r e n f e e t u.
a. E. U h l e n b e c k , Ztschr. f. Phys. 41. S. 24-26. 1921.) Dagegen ist
die wichtigere Frage, ob nach der Wellengleichnng die Fermieche
Verteilnng als mittlerer Znstand dawmd bestehen kann, erst noch zu
entscheiden.
Die Supraleitf ahigheit nach Schriidingers Wellengln'chung USW. 927
und wir haben nach dem oben in Abschn. I gesagten vollkommene Supraleitfrlhgkeit.
Diese mu/3 hiernach in einem unbegrenztenl) metallbehen
Lkter, dm makroskopisch ziotrop i9t odet wenigstens (16) erfullt,
steki bertehn, solange die Bewegung der E k b o n e n Zediglich von
den Schrodingerschen Wiellengleichungen (1) beherrscht toitd.
Ob dies Ergebnis auch bei quantenmechanischer Beriicksichtigung der verhaltnismiiSig kleinen, magnetischen Krafta
auf die Leitungselektronen bestehen bleibt, mu6 allerdings noch
untersucht werden. Doch darf es bei dem weitgehenden Entsprechen von gewohnlicher und Quantenmechanik im Hinblick
auf eine frtiher durchgefiihrte Abschatznng bis auf weiteres
wohl angenommen werden.
6 7. Nach dem oben Ausgefiihrten ist die einzige Ursache elektrischen Widerstandes in metallischen Leitern in
einem Vorgange zu suchen, der aus dem Rahmen der Wellengleichungen (1) f d t . Ale solcher bietet sich der Anstausch
zwischen den freien stromenden und den an Atomkerne gebundenen Elektronen dar, den man ohnedies bei jeder von
Null verschiedenen Temperatur, und zwar immer hAuker bei
zunehmender Erwarmung, erwarten m a t e . Z u derselben Vorstellung fiihrte meine friihere, nach der gewohnlichen Mechanik
und unter Annahme der Maxwellschen Geschwindigkeitsverteilnng durchgefilhrte Untersuchung der metallischen Leitfahigkeit und Supraleitfahigkeit. Qualitativ bleibt somit alles
beim alten. Auch die Formel fiir den spezifischen elektrischen
Wideretand im einfachsten Falle, dab beim Austritt der Elektronen aus Bindungen an Kerne wie beim Eintritt in solche
im Mittel keine Richtung bevonugt 9 und die Eintrittswahr1) Durchschneidet eine Grenze die StrSmungelinien, so &den die
stromenden Elektronen in ihr ein anisotropa Kraftfeld, daa eben vermSge dieser Anisotropie ihre Bewegung hemmen kann.
2) Verf., Ann. d. Phys. (4) 80. 8. 1lQff. 1926. Die obere (frenze
fk die W r k e der ungeordneten magnetischen Molekularfelder erhliht
sich infolge der nach F e r m i anzunehmenden grSSeren Elektronengeschwindigkeit e o p r betriichtlich. Auch die &afte a d die magnetischen Dipolmomente der Elektronen ergeben nach der gewZihnlichen
Mechanik im Mittel keinen Beitrag zu s"', wie man leicht einsieht.
3) Bei nicht reguliiren Kristallen beetehen vermutlich Vorzugericht a g e n des Eintritte und Anstritts. Dadurch iat wohl die Abhgngigkeit
des Widerstands von der Richtung zu erklaren.
028
E. Kretschmann. Die Supraleztfahigheit usw.
scheinlichkeit unabhiingig von der Geschwindigkeit des Elektrons ist, bleibt gemaB ihrer Ableitung die bereits angegebene
g = -m
. L ,
0'
nj
wo nr die Anzahl der freien Elektronen in 1 cms nnd y die
Bindtmgewahracheinlichkeit eines von ihnen in 1 Seknnde ist.
Ebenso kann die Erkliirnng der von Kamerlingh-Onnes
beobachteten merkwiirdigen Unverriickbarkeit der Stromlinien
in Supraleitern gegeniiber magnetischen K r m n einfach iibernommen werden.')
Von den weiter a) fiir Blei ansgerechneten Zahlwerten
187 f i r T = 4,2O abs. bei hachster
bleiben die fUr y (y (5)
Supraleitfrlhigkeit und = 1,87 10" (bei Oo C) bestehen, da
sie allein an8 (18) folgen; dagegen iindern sich die von der
Elektronengeschwindigkeit abhiingenden Werte. Z. B. wird der
mittlere Weg eines freien Elektrons mit der jet& etwa anznsetzenden Qeschwindigkeit v = lo8 cmlsec bia zur nllchaten
Bindung, die im Durchschnitt nach l l y Sekunde erfolgt,
5,5 loKcm = 5600 m statt frllher 14 m bei 4,2O abs. nnd
6,6 lo-' cm statt friiher 6 lo+' cm bei O o C, nattlrlich
l h g s der vielfach gekrummten Bahn gemessen, ineofern von
einer solchen quantenmechanisch iiberhaupt geredet werden dad.
Eine Untereuchnng der Abhilngigkeit dee epezifischen Widerstandee von der Temperatur soll demnilchst folgen.
Ktinigeberg i. Pr., Juni 1928.
7
-
N
1) Defer iet weimntlich, da6 die ~eschwindigkeitsrerteilnng
(12) bei
einer zdlllig entatandenen SWmnng wieder von deraelban Form ist,
wie wenn ein homogenee elektrisches Feld wlihrend einer Zeit d t snf die.
Elektronen gewirkt hiitte. Vgl. Verf., Ann. d. Phys. 80. 8. 128ff. 1926.
2) A. a. O., S. l26ff.
(Eingegangen 25. Juni 1928)
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