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Die Temperaturabhngigkeit des Widerstandes von Halbleitern.

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Die Temperaturabhangigkei t des Widerstandes
von Halbleitern ")
Von J. H. G i s o l f
(Mit 13 Abbildungcn)
Inhaltsubersieht
Das Wilson- Guddensche Modell des Storstellenhalbleiters ist bisher aus~chlie13lichaiigewandt worden unter der Annahme, daB es beim absoluten Kullpunkt der Teniperatur weder Leitungselektronen noch Leitungslocher gibt. Es
wird in dieser Arbeit die Annahme gemacht, daS die durch die stochiometrischeii
dbweichungen bedingten Storstellen in der Regel Elektronenspender sind, dereii
Energieniveau oberhalb des unteren Randes des Leitungsbandes Iiegt, oder Elektjronenfanger sind, deren Energieniveau unterhalb des oberen Randes des hoch.ten vollen Bandes liegt. Es wird gezeigt, da13 diese Spender bzw. Fanger praktisch immer vollstandig ionisiert sind. Dadurch ist der Energiewert dieser Niveaus
fiir die Erscheiiiungen vollkommen gleichgiiktig. Es werden Formeln hergeleitct
fiir den Fall, daS neben diesen thermisch inaktiven Spendern oder Fangern auch
thermisch aktive Spender oder Fanger vorhanden sind, so wie sie bisher ausschliefllich in Betracht gezogen morden sind. Anstatt der linearen Beziehung zwischen
logo und l/T findet man jetzt einen komplizierten Verlauf, der in vielen Fallen
die vielgestaltigeii Beobachtungen wiederzugeben vermag.
Zur Erklaruiig der Meyerschen Regel wird angenommen, da13 sich unterhalb
des Leitungsbandes des Halbleiters eiii Kontinuum voii Haftstellen anschliel3t.
Die elektronenspendenden Storstellen liegen, wie gesagt, als Regel oberhalb des
linteren Randes des Leitungsbandes und sind vollig dissoziiert.
Damit die N e y e r sche Regel gilt, ma13 die Dichte des Haftstelleiispektrullls
ho grol3 sein, da13 das thermische Potential g der Elektronen praktisch temperaturunabhangig ist. I n diesem Pall hat die Meyersche Gerade die Neigung k T. Es
zeigt sich, daS dieser Were eine ausgezeichnete Annaherung darstelit. Die beohachteteii Werte sind grol3er als k T.
Der Koeffizient a in der Leitfahigkeitsformel: cr =-a exp -e/k Z!' sol1 in diesein
Fall gleich u e (2 n m k Tlh2)'lS sein. Setzt man die Zahlenwerte ein, so bekommt
man fur T = Raumtempcratur: a = 4,1u. Diese Beziehung ist qualitativ wid
groBenordnungsmaBig in Ubereinstimmung mit deli vorliegenden Beobachtungen.
Die abweichendeii Neigungen der Meyerschen Geraden lassen sich formell
immer auf eine Beziehung zwischen der Beweglichkeit u und der Leitfahigkeit G
der Form u = A cr-B zuruckfuhren. Fur ein homogenes Haftstellenspektrum
~-
*) Publiziert mit Genehmigung der NiederlBndischen Militarmission heini Alliiertrn
Kontrollrat in Deutschland.
1*
4
A v d n der Physik. 6. Folge. Band 1. 1947
wiirde ails der Giiltigkeit der Meyerschen Regel folgen, daB
u = cxp-Cc?Ns (C, >O),
weiin die Neigung der Geraden > k I' ist,. Qualitativ gib,t diese Formel dic Tatsachen
richtig wieder. Das Beohachtungsinaterial gest.attet keinen genauen Ve2gleich.
Das Modell, das der Erklarung der Meyerschen Regel zugrunde gelegt iut: macht
c s rerstandlich, wie sich durch rclativ geringfugige h d e r u n g der Zusainmcnsetzung
die Lekfahigkeit um niehrere Zehnerpotenzen andern kann: Ob cine Verbindung
chinen positireii oder eineii negatiren Temperaturkoeffizient der Leibfiihigkeit hat,
lilingt ron der Differenz der Haftstellen- und der Storstellenkonzentration ab.
Fur das typische Halbleiter\-erhalt,eii mu13 die Haftatel1eiikoiizentr:ition groBer
als die Konzentrat,ion der st,ochiouietrisch bedingten Storstellen sein.
Die stochioiiietrischeii Abweichungen, die in den Verbindungeii auftreteii
koniieii, uiiterscheideii sicli fiir die verschiedensten Verbindungen uin inehrere
Zehnerpoteiizen. Besoiiders go13 sind sic hei deii mehrwertigen Metalloxyden,
-sulfiden und -seleniden. Diese Stoffe zeigeii eiiie ,,metallische" Leitfiihigkeit,
soferii iiicht durch besondere Uinstande die Haft.stellenkonzentration, die bei
diescii Stoffeii anscheincnd fast imnier kleiner als die Storstellenkonzeiitration
jst, gcnugend groB wird, uiii den TeinI'eraturkoeffizient der Leitfahigkeit positiv
inachen zu konnen. Anscheiiieiid tritt dies ein bei duilnen Schichten (voii PbS
und PbSe), die durch Aufdanipfen oder durch Verspiegelung hergestellt sind.
,
Die von H i n t e r b e r g e r an derartigen Schichten beobachtete Teniperaturabhaiigigkeit der Leitfiihigkeit ist, in guter Ubereiiistiniiiiuiig init deii obenstehenden Betrachtiingen.
c,
Einleiting
In dieser Arbeit wird rersucht, durch ,Anwendung uiitl Weiterfuhrung des
sogcnannten Wilsonschen Halbleitermodells cine Zahl von bisher noch uiidurchsichtigen Eigenschaften der Hdlbleiter zu erklaren.
Der grundlegende Gedanke Wilsons, da13 die Leitungselektronen derjenigen
Halbleiter, deren Leitfiihigkeit einen positiven Temperaturkoeffizienten bat, durch
eine thermische Dissoziation erzeugt werden, gewann erst Lebeiisfahigkeit, nachdem sie durch eine ncue Hypothese, die von Gudden stammt, erganzt wurdr.
G u d d e n l ) betonte zum erstennial die groBe Bedeutung der Gitterfchlstellen als
Spender oder FLnger von Elektroiien. Die Erfahruiigstatsacheii zwingen den
Gedanken auf, da13 die Elektroncnspender oder Fanger init Abweichungea der
idealen chcmischen Zusammensetzung zu tun haben, und zwm derart, da13 Elektronenvpeiider auftreten, wenn das Verhaltnis von Metal1 zu Metalloid grader iut,
als niau es auf Grund der idealen Formel erwarten wiirde, und da13 Elelitronenfanger auftretcn, wenn das Gegenteil der Fall iut. Im letzteii Fall tritt Defektleitung
- auch fiocherleitung geiiannt - auf, wie aus dem Halleffekt und d e n Vorzeichen der Therinospannung hervorgeht. Obschon es als gesichert betrachtet
werden kann, da13 die stochiometrischen Abweiohungen mit dem Auftreten von
Elelitronenspeiidern oder Fiingerii verknupft sind, fuhrt die naheliegeiide Hypothese, da13 die thermische Dissoziierung dieser Spender bzw. Flinger madgebend
sei fiir die beobachtete Temperaturabhangigkeit der Leitfahigkeit, zu groReii
Schmierigkeiten.
l)
B. Gudden, Ergebn. (1. exnkt. Xatarwius. 13 (1934).
1 . Sclia ierigkciteii, tlic tleni ~~ilrron-(;iidtlenscheiiHalbleitermodell anhaften
Wenri die Energie, die man braucht, uiii ein Elektron von einem Spender zu
losen, gleich E eV isc und wenn die Konzentration der Spender gleich N , cm-3
ist, so wird die Konzentration der ,,freien" oder Leitungselektronen nz,falls die
inittlere Energic der Warmebewegung ein Mehrfaches groBer ist als k T,gegeben
durch die Formel:
,>tl = ~-4r3A'l
?xi)-- ~ : k2 T ,
(1)
woriii :
X I = ( 2 x t i / , k !!';h?)'/*= 2 3 7 . 1 0 ' 9 (2','3Ou)'/~
fur I l l 1 = ?/I .
(2)
I~
Hieriii bedeutcw :
T = absolute Teniperatur;
k = Boltzmann-Konstante
h = Konstante yon P l a n c k
= 8,63. 1 0 - 5
= t555.lO-27
eV;
erg sck;
m r = effektire Mas= cines Leitungselektrons;
'WL = normale. Elektroneiimasse = 9,02 10-28 Q;
N , = statisbisches Gewicht des Leitungszustandes.
-
Vori der Ableit.ung
uiid
der Bedeut.ung dieser Formel a i r d in1 folgendeii ]loch
die Rede win.
Wenn nian itnlii11111it, dalJ - die Elekt~ronenbeweglichkeit unabhangig von der
Temperatur ist, und wenn man von der geringen Temperaturnbhangigkeit von AX,
absieht, so geht aus Formel (1) eine lineare Abhangigkeit zwischen dem Logarithriius der' Leitfahigkeit und der reziproken Tepperatur hervor. Diese lineare Abhiingigkeit ist in vielen Fallen experimentell bestiitigt worden. Sehr oft findet
man jedoch auch einen ganz anderen' Temperaturgang der 1:eitfahigkeit. Viele
Halbleiter haben eiiien init steigender Temperatur zunehmenden Widerstand so
wie die Metalle. Gelegent.lich findet man Widerstands-Teniperaturkurven, die ein
Maximum des Widerstandes bei einer bestimmten Temperahr aufweisen. Es
kommen auch Falle Tor, bei denen der Widerstand durch ein Minimum geht,
und es gibt Falle, bei denen die ~lriderstands-Temperaturkur\,eein Maximum
iind ein Minimum aufweist.
Auch wenn die exponeiitielle Abhangigkeit (1) experjmentell gefnnden w i d ,
zeigt sicli meistens, da8 die ,,Ablosecnergie" E fur verschiedene Muster der
gleichen Verbindung keine Konst,aiite ist, sondern offenbar von der Konzentration der Storstellen abhangt, uiid zwar derart, d a 8 E abnimmt mit zunehlnender
i
Leitfiihigkeit. W.Meyer*) 3) 4) 5) 6) fand die merkwtirdige Regel, daB, ~ e n i nian
die Aktivierungseiiergie der verschiedensten Halbleiter gegen den Logarithmus
der Leitfahigkeit bei einer festen Temperatur anftragt, die aufgetragenen Pun kte,
sei es auch mit einw gewissen Strenung, aiif einer geraden Linie liegen.,
I
.
W.Meyer, Z.Physik 86 (1933) 278.
W.Meyer, Z. techn. Physik 16 (1935) 356.
4) W. Meyer, Tech.-wiss. Abhandl. Osram-Konzem 4 (1936) !)A.
6, W. Meyer u. H. Neldel, Z . techn. Phyaik 18 (1937) 588.
6 , ,\V.Meyer, Z.Elektrochem. 50 (1944) 274.
?)
a)
Annulen cler Physik. 6. Folge. Band 1. ' 1947
tj
Zur Erkliirung dieser Erscheiilmig niinmt b l e j e r an, dall
die Halbleituiig hcrruhrt von im Gitter eingebnut,eii Storstellen, i-on dencn
sich, unter hf\VaIld der Energie F , je eiii Elektron abspalteii k a m ;
1,) die ,,Abloseenergie" E abhangip r o i i dcr Konzentration der Storstellen ist,
und zkar derart, dnB mit zunehiiiender Konzentration (also mit zuiiehmender
Leitfahigkeit) die Abloseenergie auf ganz bestimmt.e Weise abnimmt.
;I)
Diese Erklarung hat etwas Uubefriedigendes : Ersteiis ist es nicht ersichtlich,
w-eshalb die ,,Storstelleiiniveaus" vcrschiedenster Herkunft in den verschiedensten
Kristallgittern in so vielen Fiillen einen Abstand zum Leitungsband haben, der
zwischen 0 uiid etwn 0,5 eV liegt, und zweitens ist es ebensoweiiig ersichtlich,
weshalb ihre gegenseitige Beeinflussung eine so einfache uiid unirerselle Gesetzinafligkeit. befolgt, wie sie die Meyersche Regel zeigt.
Auch J. H. d e Boer') hat eiiie Erklarung dieser 'Erscheiiiung rorgeschlagen.
I)e Boer iiimmt an, dall es in1 Halbleiter cine Korrelation gibt zwischen der
Energie eines Storatoins (allgemein : ,,Storstelle") ini Gitter und der ElektronenAbloseenergie E dicser Stiirstelle, und zwar derart, daB die energieirmsten Storstellen imrner die hochste Elektronen-Abloseenergie haben sollen usw. Bei dem
Einbau von Storstellen werden der Reihe nach zuerst die Stellen ini Gitter von
Storstellen besetzt, fur die die Energie der Storstellen am geringsten ist, uiid
diesen entspricht - auf Grund der oben erwihnten Korrelation - die hochstr
Ahloseenerpie.
Gegeii diesen Erklaruiigsversuch 1aBt sich der gleiche Einaand erhebeii wie.
gegen die Meyersche Regel (uiiter ,,erstens" erwahiit). Uberdies ist der erwahnte
Zusammenhang zwischen Einbauenergie dcr Storstelle und Abloseenergie des
Elektrons keineswegs Mar.
Eine weitere nierkwiirdige Tatsachc ist, da13 sich die Leitfahigkeit eines HalbIciters ofters durch geringfugige Anderuiig der Zusammensetzung, die meistens
iinterhalb der Grenze des auf chemischem Wege Nachweisbaren bleibt, urn mehrere (sogar bis 10) Zehnerpotenzen iindern 1Pllt. Es ist kaum anzunehmen, daB es
sich dabei urn Konzentrationsanderungen \-on einem solchen Umfang handelt.
In den folgenden Kapiteln wird versucht, mit Hilfe einiger neuer Aniiahmen
zu einem besseren Verstandnis der Erscheinungeii zii kommcn .
2. Erste zusatzliche Hypothese
Das I\ilsonsche Halbleitermodell beruht auf der Theorie voii BIoch uber
tlas Energiespektrum eines Elektrons im "self consisting field" eines Kristallgitters. Das Spektrum besteht aus Bandern von Energiestufen. In der Theorie
von Wilson wird angenommen, daB fur einen Isolator und fur eiiien Halbleiter
Iieim absoluten Nullpunkt der Temperatur das hochste von Elektronen besetzte
Energieband vollstandig besetzt ist. Diese Annahme wird im folgenden beiliehalten, jedoch mit der Einschrankung, daB sie nur gilt fur stochiometrisch
rehe Verbindungen.
Die Energie eines Elektrons, das thermisch yoxi einem Elektronenspender
pelost werden kann, und die Energie eines Elektrons, das von einem Elektronenfanger verhaftet' worden ist, gehoren nicht zum Energiespektrum des Kristalls
-~
') J. H. de Boer, Elektronenemissions- und Adsorptionaerscheinungen. Leipzig
1937. S. 241.
Gzsolf :Dbe Temperuturubhu'ngigkeit des Tl'ider~tuidescon Halbleitern
7
und! konnen deshalb sowohl in den erlaubten Energiezonen als in den verbotenen
Energiezoneii liegen. Es liegt bis jetzt kein Grund vor zu der Annahme, daB
diese Energiewerte immer im beschrankten Bereich zwischen dem hochsten vollhrsetzten und dem niedrigsteii unbesetzten Energieband liegen miiBten. Es wird
jetzt die Annahme gemacht, daB als Regel wenigstens einer dieser Energiewerte
mBerhalb dieser verbotenen Zone liegt, und zwar so, daB bei H a l b l e i t e r n
in i t
Met a llii b e r s c h u B (no r m a l e E 1e k t r o n en lei t ung) d i e Sp e n d e rniveaus u m w e n i g s t e n s ein Mehrfaches voii k T o b e r h a l b d e s u n t e I PI^ R a n d e s d e s L e i t u n g s b a n d e s liegen, u n d daB bei H a l b l e i t e r n m i t
-11 e t a 11o i d ii b e r s c h u B (L o c he r 1e i t u n g) d i e E le k t r on en f a n g e r n i ve a u s
urn w e n i g s t e n s e i n Mehrfaches v o n k T u n t e r h a l b d e s o b e r e n R a n d e s
clcs h o c h s t e n v o l l b e s e t z t e n B a n d e s liegen.
-----__
I
Leeres Band
, /,/////////,/,//////
Spender-Niveau des
uberschiissigen
Metalles
- - - - --- Finger-Kiveau des
uberschiissigen
Met alloides
/.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
-
Ceeres Bond
~//////////,///~/////~~
------- Spender-Niveau des
iiberscliussigen
Metallcs
,
//I////////////&
- - - - - - - Banger-Niveau des
Volles Band
Yolles Band
__----Leeres
Bond
Spender-Niveau des
uberschiissigen Meta!les
C
Yolles Band
__-----
b
iiberschussigen
Metalloides
Abb. 1
Fanger-Siveau des
iiberschiissigen Metalloides
In Abb. 1 sind die Energieschemata gezeichnet fur die Falle, daB es in der
Verbindung
a ) nur OberschuBleitung geben kann,
b) nur Defektleitung geben kann,
c ) amphotere Leitung gibt.
Als Ausnahme kann es vorkomrnen, daB im Fall l a die Fangerniveaus bzw. im
Fall l b die Spenderniveaus einen Abstand von einigen k T vom unteren bzw.
oberen Rand haben. Diese Ausnahmefalle sind u. a. durch eine Durchbrechung
der Me yerschen Regel gekennzeichnet. Im nachsten Abschnitt wird gezeigt
werden, daB Elektronenspender, deren Energieniveaus um ein Blehrfaches von Ic T
oberhalb des unteren Randes des Leitungsbandes liegt, praktisch immer vollstandig dissoziiert sind.
3. Die thermische Dissoziierung der Elektronenspender
Wenn es fur die Elektronen verschiedene Bindungsstufen gibt mit den Energiewerten El, E p ,. . .,E,, so werden sich im Palle des thermischen Gleichgewichts
die zur Verfiigung stehenden Elektrouen nach den Gesetzen der statistischen
8
Annalen der Physik. 6. Fdge. B u d 1. 1947
Mechanik uber diese Energiestufen verteilen. Damit die Verteilung einem Gleich.gewichtszustahd entspreche, mu13 fur jede der Energiestufen Ei das ,,thermische
Potential" gi, das gegeben wird durch die Gleichung:
+ k I' In {ni (Xi-n i ) }
gi = Ei
den gleichen Wert haben, also:
g1 = g2 = * .
. = y, =
* * *
=y
.
(4
Es bedeuten in Formel (3): .
Ei die Enegie eines Elektrons, das an der i-ten Stufe gebunden ist;
N i das st,atistische Gewicht dieses i-ten Zustandes. Wenn es sich um eine
Stufe des Kristallspektrums handelt, ist iVt = 2, und wenn es sich um die
Bindung an einen Elektronenspender oder -fanger handelt, ist Ni gleich
der Konzentration dieser Spender oder Fanger mit, der gleichen Bindungsenergie E,.
ist die Konzentration der Elektronen, die an der i-ten Stufe gebundeit
sind. Wenn es sich urn die Bindung an Elektronenspender handelt, ist 7t;
gleich der Konzentration der noch nicht dissoziierten Spender, und wenn
es sich um die Bindung an Fanger handelt, so ist mi gleich der Konzentration dejenigen Fanger, die bereits ein Elektron aufgenommen hahcii.
Die Gleichung (3) lafit sicli umschreiben zu
72{
ni= M i/ { 1 -k exp (Ei-gg,)/kF ) ,
(5)
und wenn im Falle des thermischen Gleichgewichh alle gi gleich g sind, so wird
die Gleichgewichtsverteilung der Elektronen gegeben durch :
+
ni = N i/ { 1 exp ( E i - g ) / k T}.
(6)
Das thermische Potential laat sic11 eliininieren durch die sell~stverstandlicheBeziehung :
\'n..
=n ,
I
(7)
wobei n die Gesaintkonzent(ratioi1der Elektronen ist. S u s Foriuel (6) ist ersichtlich, daB fur alle Energiestufen, fur die (E,-g)/k T
1 ist, die Besatzungszahl
ni praktisch verschwindet, so daB diesf: Stufen bei der Addierung 7 a u k Betracht
1, so ist praktisch n, = Ni,
gelassen werden konnen. 1st jedoch ( E i - g ) / k T
d. h. die Stufe ist voll besetzt. In dieseni Fall kann man jedoch in der Addierung 7
die entsprechenden Glieder links uiid rechts gegeneinander streichen. Es interessieren also nur die Stufen, die teilweise yon Elektrouen besetzt sind. Bei dcr
tfberlegung, welche Energiestufen in Betracht gezogen werden mussen, kann mail
fiir g eineii ungefahren Wert benutzen, den man bekoinmt durch die Erwiigung,
da13 fiir T = 0 die Grenze zwischen den besetzten und den unbesetzten Niveaus
gleich g ist, wie aus Formel (6) abzulesen ist. I n dern Falle, da13 es nur Elektronenspenderniveaus oberhalb des untereri Randes des Leitungsbandes gibt, lidgt g
fur T = 0 auch oberhalb des unteren Randes des Leitungsbandes, und in diesem
Balle gehen in die Addierung nur die von den Spendern abgelosten und noch
ablosbaren Elektronen ein, wenn die Enegielucke zwischen dem vollen Rand und
dem Leitungsband groaer als einige Zehntel eV ist.
Wenn die Konzentration der Elektronenspender N , betragt, so gibt es M sElektronen, die uber die Spenderniveaus und die Stufeii des Leitmigsbandes verteilt
>
<
Giuolf :Die l'emperalurabhtingiglceil den H-ia'wshnda om Halbleitrm
8
sind. Dic Koiizentration der an deli Spendern &undenen Elektronen ist gemal3
Formel ( 6 ) fileich:
n, = N , / { 1
exp ( E ,- g ) / k T
(8,
und die Konzentration der Elektronen, die an eiiie gewisse Stufe E des Leit,ung+
bandes gehunden sind, ist gleirh :
+
1
)
+
n,(E)= 2 / { 1 exp ( E - g ) ' k I T ) .
Wenii die Zahl der Stufen niit Energiewerten zwischen E und E
tungsbaiid gleich D(E)dE ist, so ergibt Formel ( 7 ):
S,i( 1
+ ex?
(E,- g ) / k T}
+2
m
D (E)
dE/{ 1
0
(9)
+ dE im Lei-
+ exp ( E - g ) / k T)= Xs. (10)
Nun gilt fur deli unteren Baiidrand in erster Naheruiigs):
D ( E ) = 4 z 1 / 2 * m;" * E"'/h" ,
(11)
mo w t die ,.effektire" Masse der Leitungselektronen bedeutet. \Venn inan den
Ausdruck (11) in (10) substituiert, bekonimt nian
uiid
.L' = E,'k
T,
Die Funktion 1 (gik T) ist nunierisch berechiiet worclen und ist in Abb. 2 graphisch
dargestellt. Der untere Rand des Leitungsbaiides ist als Nullpunkt der Energieskale angenommeri. Die Gleichungeii (12) und (13) ergeben das thermische Potential g als Funktion von N,, E , und T.
Die Losung geschieht a m einfachsteii graphisch, indeni man die rechte Seite
von der Gleichung (12) gegen g/k T auftragt bei rorgegebenem Wert von E,, N ,
und T,und diese Kurve schneidet mit der Kurre, die die rechte Seitc von der
Gleichung (13) darstellt. Der g/k T-Wert des Schnittpunktev gibt den gesuchten
Wert \-on g. Kennt nitin g, so ergibt Forinel (8) deli Wert von n, (d. h. die Konzentration der undimoxiierteii Spender), und die Gesaintkonzentration cler Elektronen im Leitungsbaql wird gegebeii durch :
n, = 8 n
+(kT)"'
I/i
-
I (glk T ) / h 3=< 6,84 10" (kT)'" I (g/kT) c n r 3 ,
(15)
wenn m 1= m ist.
Der Dissoziatioiisgrad der Spender betragt :
Hieraus liest Inan ah, da13 der Dissoziationsgrad abnimmt bei zunehmendem
Wert von g/k T und bei konstantem Wert von E, und T. Der EinfluD der Spenderkonzentration N , und der Spenderenergie E, auf den Dissoziationsgrad 1LI3t sich
nun leicht diskutieren. Die rechte Seite der Gleichung (13)nimnit inonoton zu
bei zunehmendem Wert von g/k T,wie ails Abb. 2 ersichtlich ivt. Pie rechte Seite
6)
A. Sommerfeld u. IF. Bethe. Elekttonentheorie dcr 3ktdle. Handb. d. Pl~ybil,
XXIvp, s. 399 u. 462.
10
Annalen der Physik. 6. Folge. Band 1. 1947
der Gleichung (12) hingegen nimmt monoton a b bei zunehmendem glk I?. Qualitativ ist die Lage so, wie sie in Abb. 3 dargestellt ist. Die rechte Seite der Gleichung (12) nimmt proportional mit der Spenderkonzentration zu. Also verschiebt
sich bei zunehmendem N , der Schnittpunkt zu groBerem Werte von g/k T und
infolgedessen nimmt der Dissoziationsgrad a b bei zunehmender Konzentration
der Spender. Eine Zunahme der Spenderenergie E , bewirkt cine Parallelverschiebung der Kurve der Gleichung (12) in Richtung der grooeren Werte von
glk T. Auch dabei verschiebt sich der Schnittpunkt nach groljeren g/k T-Werten.
Aus Abb. 2 geht hervor, da13 I ( g / k T ) zunirnmt bei zunehmendem Wert von
gik T, und aus drr Gleichung (15) folgt dann, daB die Konzentration n, der Elebtronen im Leitungsband zunimnit, unddas
bedeutet wieder, daB der Dissoziationsgrad zunimmt bei zunehmendem E,. Der
EinfluB der Temperatur auf den Dissoziationsgrad ergibt sich sofort durch die
Uberlegung, daB beim absoluten Nullpunkt der Teinperatur die Gesamtenergie
minimal sein soll, d. h. daB fur T = 0
x
Gi. (13)
GI. (121
,
4
-
9/k
Abb. 2
Abb. 3
der Dissoziationsgrad gleich 1 sein soll und infolgedessen bei zunehmender Temperatur abnehmen wird. Statt ciner quantitativen Diskutierung der Gleichung (12)
werden einige numerische Beispiele geniigen, um alle wesentlichen Ziige des Modells
zu iiberblicken. Es sei N , =
dicse Wahl bedeutet, daB die Abweichung der
idealen chemischen Zusammensetzung auljerordentlich groB jst (etwa
Mittels Formel (la), (16) und Abb. 2 findet man, daB der Dissoziationsgrad groSer
ist als 9976, wenn E, > 0 , l O eV ist. Fur N , = 10le (Abweichung der Stochiometrie etwa 10-6) 1st der Dissoziatioiisgrad 99% fur jeden positiven Wert von E,.
Um den EinfluIj der Temperatur zu iiberblicken, sei die hochste Temperatur
gewahlt, mit der man in der Praxis zu rechnen haben wird. Fur diese Temperatur
kann man etwa 700' K annehmeii (bei hoheren Temperaturen werden nieistens
Nebenerscheinungen auftrcten). Fur E, = 0 und N , < 6 1019 ergibt sich ein
Dissoziationsgrad von > 50%. Eine so grol3e Spenderkonzentration wird jedoch
niemals auftreten konnen, so daB man sagen kann, daB sogar bei einer so hohen
Temperatur wie 700' K der Dissoziationsgrad immer groBer als 50% ist.
Also k a n n m a n s.agen, daB p r a k t i s c h i n jedeni Fall, wo d i e S p e n d e r n i v e a u s o b e r h a l b d e s u n t c r e n R a n d e s d e s L e i t u n g s b a n d e s liegen,
S p e n d e r v o l l s t i n d i g dissoziiert s i n d b e i j e d e r i n B e t r a c h t k o m de n T e m p e r a t ur, K on zen t r a t i o n u n d e n e r ge t is c h e n L a ge.
Es werden diese Storstellen der Kurze wegen als ,,thermisch inaktive" Stor-tczllen bezeichnet.
Alles was oben gesagt 1%-urde
iiber Spendcrniliveaus oberhalb des unteren Randes
d+. Leitungsbandes gilt mutatis mutandis auch fur Fangerniveaus unterhalb des
trlrcreii Randes des hochsten besetzten Bandes.
t i ~ l ~
111 ~ , i i
4. EinflnD yon temperaturabhiin~igeiiSpendern nnd Fiingern
auf die Leitfiihigkeit
Der Allgenieinheit der Betmchtungen n-egen wird der Fall untersucht werden.
tLrB es neben diesen immcr vollig dissoziierten Spendern (oder Bangern) auch
Elektronenspender gibt, dereii Energieniveau unterhalb des unteren Randes des
IAtungsbandes liegt. Die Konzentration der Leitungselektronen wird, wie immer,
ygeben durch GI. (15). Uni explizite Formeln herleiten zu konnen, mu6 man
d w dllgerneinheit der Betrachtung etwas einschranken, und zwar derart, daB anwnommen wird, daB das thermische Potential g kleiner ist als die niedrigste
Etmergie des Leitungsbandes, d. h. es sol1 n E<
l0ly sein [s. Formel (18)].
Wenn cxp (E- g)/k T >> 1 ist, so bekommt die Funktion I (g/k T) [s. Forrtwl (13)] eine sehr einfache Gestalt. Im Nenner des Integrals I [s. Formel (14)]
limn das Glied
1 rernaehlassigt n-erden und infolgedessen wird:
-
+
M
L
1 (g/k T ) = exp q/k T .
0
I .z dx exp - x = 1% exp glk .T
iind Formel (15) ergibt:
nL= (2 ?t m ,k T/h2))'12exp glk T .
111 den oben benutzten Formeln fur die Funktion I (g/k T )ist die niedrigste Energiestufe des Leitungsbnndes als Nullpunkt der Energie angenommen worden. Wenn
nmn sich von dieser Wahl befreit, kann man schreiben:
n, = ( 2 z m , k T/h2)'/2exp-(El-g)/k 21,
(17)
1% I) die Energiewerte und das thermische Potential auf &hen willkurlichen Nullpunkt bezogen sind. Die Energie E bedeutet die Energie des unteren Randes
dw Leitungsbandes.
Wenn man die allgemeine Forinel (6) fur den Fall, daB exp (Ei- g ) / k T >> 1
i-t, vergleicht mit Formel (17), so sieht man, daI3 man formell das ganze Leitungshind ersetzen kann durch ein einziges Niveau mit der Energie E , gleich der Energie
d p q untereii Randes des Leitungsbandes und mit dem statistischen Gewicht :
A', = ( 2 rc m,k T/hz)'/*
[siehe Formel (2)] (18)
n, = ATlexp ( E ,- g)/k T .
Jhe Fragestellung hat sich also jetzt zu der folgenden reduziert: wie wird sich
cine gegebene Zahl von Flektronen (Konzentration n) im Falle aes thermischen
Gleichgewichts uber zwei Energiestufen mit den statistischen Gewichten N , und
N s und mit den Energiewerten E l und E, (wobei der erste der grol3ere ist) verteilen ?
Dieses Problem 1aBt sich nach dem allgemeinen Verfahren des Abschnitts 3,
Gleichung (6) und (7) losen: Die Differenz der Gesamtkonzentration n der Elektronen und der Konzentration N , der Spender, deren Energieniveau unterhalb
des Leitungsbandes liegt, ist die Konzentrationln, der uberschussigen Elektronen.
n,=n-hT,=n,+n,-NN,.
(19)
12
Anlaalen der Physik. 6.F'dge. Band 1. 1947
Wenn nil positiv ist, so ist n.. leich der Konzentration der Leitungselektroiieir
u s
fiir T = 0, und wenn ng negativ ist, so ist nii gleich der Konzentration der diusoziierten Spender fur T = 0.
Die Moglidhkeit, daB es mehr oder weniger Elektroneu als Bindungsstellen
gibt, ist bis jetzt nicht beachtet wordeu. Man wird ein ,,Zuviel" an freien Elektronen haben, wenn ein Teil der Elektronenspender ihr Niveau oberhalb des unteren Randes des Leitungsbandes hat, denn diese Spender sind, wie in Abschn. 3
gezeigt wurde, immer vollig dissoziiert. Diese Storstellen haben also zur Konzentration der ini Spiele stehenden Elektronen beigetragen. As Bindungsstellen
kommen sie jedoch nicht mehr in Betracht. Gibt es auch Elektronenfanger,
deren Energieniveau auf einem Abstand unterhalb drs Leituiigsbandes liegt, tlrr
grol3 i6t gegen k T, so werden sie iinmer von Elektronen besetzt sein; die voil
ihnen euigefangeneu Elektronen sind weiter ausgeschaltet, untl man wird ein
,,Zuwenig" an freieii Elektronen haben. Das alles liflt sich auch auf Defektleiter
ubertragen : Elektronenfiingerniveaui unterhalb des obereii Randes des hochsteii
vollen Bandes geben ein ,,Zuviel" an Leitungsliichen, und Elektronenspender,
deren Niveaus oberhalb des vollen Baudes liegen auf eineni Sbstand, der grolJ
gegen k T ist, werden ein ,,Zuwenig'' an Leitiingdochern verursachen. Es wird
sich zeigen, daB dieses ,,Zuviel" oder ,,Zuwen$' an Elektronen (oder Lochern)
einen groBen EinfluB auf die Temperaturabhiingigkeit der Leitfahigkeit hat.
Der oben schon erwahnte Fall, dafl die Leitfahigkeit bei abnehmender Tempt.ratur erst abnimnit (typisches Halbleiterverhalten), durch ein Minimum geht
und dann wieder zunimmt (z. B. bei Schmelzprobeii von PbSeB)) 1aDt sich erklaren durch die Annahme, da.13 inehr Ladungstriiger im Spiele sind als Stcllen,
an denen sie gebunden werden konnen. Das laBt sich folgendermaflen einsehen:
Bei abnehmender Temperatur werden immer mehr der urspriinglich freien Ladungstrager gebunden, was sich in einer abnehmenden Leitflhigkeit offenbart. Wem es
urspriinglich mehr freie Teilchen gibt als Stellen, an depen sie gebundeii werden
konnen, so wird bei sinkender Temperatur der Fall eintreteii, daB alle zur Verfiigung stehenden Bindungsstellen von Elektronen besetzt sind. Bei weiterer
Kuhlung wird die Konzentration der freien Ladungstriiger nicht weiter abnehmen
konnen. Da die Beweglichkeit der Elekt,roiieii bei abnehmender Temperatur ennininit, wird die Leitfahigkeit also bei weiter sinkender Teniperatur wieder ansteigen.
Wenn inan die der Formel (6) entRprechenden Ausdriirke fur 11, und n, in GI. ( 1 9}
eirifiihrt, so bekomrnt man mit:
CXP ( E ,- g)/k T = y
1111d
6,-- E, = A E :
(no)
y2 ( X , f rtii) f y { N , rh;, - AT, n,i exp AE/k 7'}
(21)
- (X,- .n-;')exp d E / k T = 0 .
+
+
Diese quadrat,i%chrGleichunp hat die L6sung:
uiid die Konzeiitration der Leitungselektronen ist gegeben durc,li:
a , = X,/y
9,
B. Gudden, Privatinitteilung.
.
(23)
Ci.wIj :Die l’eiiipe,nlri~cibhii~igigkci~
tles I.l;rlrr.utCciirles i
m
13
Hdbleitem
Kilter bestininiten Umstanden, die jefzt niiher betrachtet werden sollen, kflt sich
die allgenieirie Losung (22) weseiitlicli vereinfachen.
Es sei jetzt angenomnien, dnD unter allen Uinstanden
<:
n,i, ATl
(24)
kt. Fiir die Praxis bedeutet diese Annahine keiue wesentliche Einschriinkung.
Es lassen sich die folgenden Fiille uiiterscheidcn:
( 1 ) ( S , - X S , - n n i i - n n , , e x p d E / k T } 2 > 4 ( X l - n j i ) (N,+ nii)e x p A E / k T
cdcr
+
<:
(11) ( X I- S,- nii- nii exp AE/k T}
4 ( X L-nJ (N8 ni,)exp AE/k T ,
Sehcn tlicscii Ucdinpngen lassen Rich noch wiedcr zwci Falle unterschciden,
1laClltlt.ul
+ +
odes
Xi ;y X8 nii nqiexp AE/k T
N , N , nil niiexp AE/k T
(C)
\Venn die Bedingungen (I) und (A) zugleich erfullt sind, ivird die Bedingnng (I)
gleichbedeuteiid mit
exp AE/k T <I N l / ( N ,$- nfi),
(14
i i n d unter diesen Urnstanden wird die Losung (22) in erster Nahernng gleich
< + +
:= X l / ( X sf
.
(25)
(26)
Die Deutuiig clieses Hesultates ist einfach: Alle Elelrtroiie~ispeiid~~
sind dissoaiiert. Dieser Fall wird realisiert sein, weiin [s. Bedingung (IA)] die Konzentrat.iou der (tliermisch aktiveii) F:lektronenspeiider genugend klein ist, die Ablosecnergie genugeiid klein ist, uiid der ElektroueiiiiberschuD nii geniigend klein (oder
sopar. negntiv) ist.
Wenn die Bedingungen (I) und (B) zugleicli erfiillt sind, wird I gleich
y
IlUd
n, = X,
nii)
+ n,, .
>
+
.
exp AElk T
ATl ( N , n,,)ln$
Unttr diesen Bedingungen kann nian noch wieder zwei Falle unterscheiden,. je
iiacbdem :
(ID)
)I
,‘ > 0 : ElektroneniiberschuD (z. B. von thermisch iuaktiveu Spendeni) und
< 0: Elektronendefizit (z. B. von thermisch maktii-en Fingerii).
Fiir den Fall nii > 0 reduziert Rich die Losung (22) zu
‘11 ir
Y = *,lnii
n , = n.ii .
(27)
und
(28)
Das heiDt, daI3 in dieseni Fall die Disvoziation der (thermisch aktiveii) Elektronenspender vollstandig zuriickgedrringt ist. Dieser Fall wird eintreten, weun
(s. Bedingung IB) die Abloseenergie genugend groB (oder die Temperatur geiiiigend niedrig) ist, die Konzeutratioii der iiberschiissigen Elektronen (also z. B.
die Konzentration der therinisch inaktiveu Spender) genugend groD ist und die
Konzentration der (thermisch aktiven) Spender N , der Bedingulig
nf
- exp AEIk T - n,,
N
>>Xs>> N, - ? i i i -
n,, exp ABik
T
(29)
14
Annnlen der Physik. G. Folge. Bund 1. 1947
In dem Falle, claB die Bedinguiigc,ii (t) rind (U) realisiert sind, uiid daB n,,
ist, wird die Likung (22):
- t1,
71 = -___
x, + 71k c s p ilElk T
ulld
n,
=
-
s,(J.+ '"')
)la
4
(.I(
esp -AEjk T
.
t
I)
(:$I)
In diesem Fit11 wird, ilbgevehen von der geriiigen Temperaturabhangigkeit der
Elektronenbeweglichkeit und des Faktors N,,der Logarithmus der Leitfahigb-cit
cine lineare Funktion der reziprokeii Temperatur sein.
Fiir den Fall (11) wird die Losung (22):
~n,t
e s p AE/k 1' .
(32)
y = \/A~rr&~'s+ nu)expdE/a li T - ( f i s ~~,~
~
~
~
flu
)o
Tg V= (EJ - E,)/4,60k
Fur nL:- N , / y bekolulnt mdii
i n diesem Fall keinen eiiifachen ,4usdru&. Wenn it-doch in diesem Fall n,'= 0
ist, so wird
-
I!,
\IssATLe s p -i l E '2 k T
1
[s. Forinel (1) ).
Wenn man log nl grgw
l / T auftragt, bekonimt m'tii
die folgendeu Darstellungen .
Abb. 4 fiir n,, > O
uii(l
dbb. 5 fiir nV6<0.
Bei deli Betrachtungrn
dieses -4bschnitts ist an eincn
Halbleiter mit normalr r
Elektroneiileitung
dackt. Die Resultatr
lassen sich ohne weiteres
auf Defektleiter iihwtragen.
Fur dic Konzentratii)ii
der Leitungslocher in Ahhangigkeit r o n der Teiiiperatur findet man dsnn
genau dieselben Gleichungen und Losungen TI+'
im Falle der nornialen
Elektronenleitung.
Aus diesem Abschnitt
geht hervor, daB da5
W i 1s on - Gu d d e n schr
Modell des Storstellenhalbleiters inehr Moglichkeiten in sich tragt a h
bis jetzt gewohnlich 111
p
n" ( 0
s
-
Gisolf :Die Teinperatirrabitairgigbit des W'idei-stctndes ro1b Hulbleilcrn
15
Betracht gezogen wurde, und es ergibt sich die Hoffnung, die bis jetzt noch
ganz ungeklarte Vielheit der Erscheinungen nach diesem Prinzip zu ordnen. So
kann man in vielen Fallen den beobachteten Temperaturgang der Leitfahigkeit
aIs Teilabschnitte der allgemeinen Kurven 4 und 5 auffassen. Durch systematischc
Untersuchungen, u. a. in groBeren Temperaturbereichen, kombiniert mit Bestiminungen der chemischen Zusammensetzung und der Elektronenbcweglichkeit,
ware eine quantitative Uberpriifung der Ergebnisse moglich. Obschon es in vieleii
Fallen, wie schon gesagt, eine qualitative Ubereinstimmung gibt, 11. a. im Verhalten der amphoteren Halbleiter (wie in Abschnitt 8 gezeigt werden wird), so
gibt es auch michtige Erscheinungen (die sog. Meyersche Regel fiir den Verband
zwischen der Aktivierungsenergie und der Leitfahigkeit), die eine grundsatzliche
Erweiterung des Modells notwendig machen, wie in dem niiclisten -4bschnitt besprochen werden w i d
B. Die Meyersche Rcgel
j.
Die phanommologisehe Erkliirunq
Forinel (18) gilt universal, und die GroBe ( E l - - ) , aufgetragen gegen In nt
bei einer Temperatur, gibe eine universelle lineare Funktion. Nun ist aber die
,,Abloseeiiergie" E , so mie sie in Formel (1) auftritt, nicht mit der GroSe (El- g )
identisch. Das thermische Potential g ist im allgemeinen eine Funktion der
Temperatur. Der Koeffizient N , ist, wie aus Formel (3) hervorgeht, nur schwach
von der Temperatur abhlngig, so daB log N raktisch als temperaturunabhangig
.., P
betrachtet werden kann. Wenn die Leitfahigkeit eines Halbleiters durch Forme1 (1)beschrieben werden kann (wobei also a und E unabhangig von der Temperatur sind), so mu13 g gleich der Suninie eines temperaturunabhangigen Gliedes go
und eines, der Temperatur proportionalen Gliedes g' sein. Also:
B = 90
mit
g'
+
(33)
<Jf
y k 1 ' , wo y unabhangig vim 9' jst.
(31)
Die Fornieln (Is), (33) und (31) ergeben zusaminen :
+
I n n1 = In x, J - (El- go)/kT .
(35)
und E, - go sind ternperaturunabhailgi~, nncl (E,- go)
Die GroBen In A'
ist identisch init der durch Formel (1) definierten Ablijseenergie E . Also
+
El-go
(36)
=E .
Die Forinel (35) laot sich unter Beachtung von (36) sclire~l~eii:
I n nl= In N , 3'- Elk T .
+
Damit eine u n i v c r s e l l e l i n e a r e Beziehuiig z w i s c h e n In n, u n d
s c h e Regcl) besteht, mu13 y eine lineare Funktion yon E sein, also
E
(37)
(Meyer-
y=pe+q,
(38)
wobei y wid q unabhangig von F und von der Teirlperatur sein sollen. p und p
konnen auch Null sein, uiid man findet also sls hinreichende Bedingung fiir das
universelle Gelten der Meyerschen Regel, daS y = 0 ist, d. h. d a B d a s t h c r m i s c h e P o t e n t i a l g u n a b h a n g i g v o n d e r T e m p e r a t u r ist [weil d a m in
16
Anmbn &r. Physik. 6.Folge. B a d 1. 1947
P o m e l (37) nur universelle Koiistanten auftreteu]. Wenn das dcr Fall ist, YO
i s t d i e Neigung t g v d e r ( f e r a d e n , welche m a n e r h a l t , weiin m a n d i e
Abloseenergie E gegen In )L, (bei k o n s t a n t e r T e m p e r a t u r ) auftriigt,,
g l e i c h k T (s. Abb. 6). Auch die Konstante a in Formel (1) hat in diesem Fall
eine uiiiverselle Bedeutung. Die Leitfahigkeit o hangt in folgender Weise niit
der Konzentration nL der Leituiigselektroneu msaiiimeii :
Ino=In(eun,)=ln(eu1Y,)-&l~T.
Identifiziert man diese Formel mit In o = la n -E/k T, so ist:
.
a = e uN,
-
Mit e = 1,60 10-10 Amp sek und, N , = 2,67 * 10-19
(39)
fur T = 300' ';st also
cc = 4,l 7 1 . .
(40)
erwahnten Arbeit ein Bild, woriii e gegen logo
N e y e r gibt in der unter 6 )
bei 20' C fur eine groBe Aiixahl von Praparaten (der Verbindungen CdS, Cr403,
TiO,, Mo,, U30,, WO, und ZnO) aufgetragen ist. Die
1nE
Punkte streueii uni 'die Meyersche Gerade. Die auf Grund
der oben stehenden uberlegungeii zu erwartende Neitg'P-kT gung dieser Geraden ist gegeben durch
'! /
-
tgpo = k T/loge = 0,058 eV
(41)
'Die Gerade, uni die die MeDpunkte in der Meyerscheii
Darstelluiig streuen, hat eine Neigung tgg, = 0,064 eV.
Die fjbereinstimmung mit deni Wert t,gq+, iut, wenn mail
.die starke Streuung betrachtet, befriedjgend. Die Streuung wird vie1 geringer,
wenn man verschiedene Praparate der gleichen Substanz rergleicht. Auf Gruiid
der Herstellung kann man erwarten, daD diese verschiedeneu P r a p r a t e sich in
ihrer stochiometrischen Zusammeiisetzung nnterscheiden. Es liegen die E-Werte
31s Funktion von logo fur Reihen von Must,ern der folgenden Verbindungen
vor fur T :
293' K:
/n
0,
Abb. G
WO,
TiO,
(Neyer 1. c.)
>,
Neigung: t,gv = 0,063 eV
,,
t,gp = 0,075 :,
Fe.203
,;
>>
t g v = 0,089 9 ,
ZllO
,)
.,
t.gg, = 0,081 ,,
Ta,O, (HartmaiinlO)) ~,
t g v = 0,061 ,,
.Fur jetle dieser Substanzen gilt die Meyerschc Regel recht befriecligend (inner:
halb der Genauigkeit von & lo%, mit der E bevtimmt werden kann). Die Abweichungen voii der Neigung tgpo'sind offenbar reell. Es liegt eine MeSreihe an
vervchjedenrii Ti0,-Praparaten bei 400" vor (s. 6 ) ) . Auch hier ist die.Meyersche
Regel befolgt. Die Neigung der E- gegen log o-Geraden betriigt tg v = 0,235eV,
mahreiid tgp, (T = 673' K) = 0,137 eV ist.
Wenn niaii auch niit der Aimahme, daB das thermische Potential g unabhangig
von der Temperatur ist, qualitativ und groDenordnungsm8Big die h d e r u n g der
Neigung mit der Temperatur herleiten kann, so liegen doch die gemessenen Werte
systematisch hoher. Im iiachsten Abschnitt wird die Frage diskutiert werden.
lo)
W. H n r t . n i a n n , Z. Physik 102 (1936) 709.
17
(Asol!: Die l’empEruturcibh6nrJigkcit &a WiCier8Imdes cou lialbleikrn
die Annahnie (38), niit der iiian iiaturlich jede beliebige Neigung der M e p e r d e l i Geraden bekonmen kann
(tgg, = - p + l / k T ) modellniaBig deutbar ist.
Die Wcrte des Koeffizieirten n der Forinel (1) streuen sehr stark. Ein Teil
qlieser Streuung ruhrt con der Uiigenauipkeit der Bestiinniuiig her. M e y e r 3)
hat von 130 Priiparatcii ron fiinf verschiedenen Verbindungen die log a-Werte
bestimint uiid gegeii ihre Haufigkeit, aufgetrageii. Es ergibt sich eiiie - der
GauBschen ahnliche - Kurve mit eiiier Halbwertsbreite voii 0,9. Das Maximum
liegt hei log R = 0,73,d. h. a = 5,4 (Grenzen der Halbwertsbreite: a = 14,8 bis
u = 1,95). Vergleicht iiiaii dieseii Wert, mit der Forinel (40), so ergibt sich fur die
niitt.lere Elektronenbewcglichkeit u fiir die 130 Halhleiter der Wert:
‘14
= 1,3cln2,!’Voltsek
.
Die starke Streuuiig, die inan in den cr-Wcrten bcobachtet, wird, wie M e y e r
hemerkt hat, auf Rechiiung der ElektroneiiI~en~e,qlichkeit
gesetzt. Es gibt eineii
Parallelismus zwischeii den1 Gang des Koeffizieiiteii n und den, aus HalleffektMesshgen bestiniinteii Beweglichkeiteii innerhall, einer Reihe von Praparaten,
die sich durcli verschiedene stochioinetrisclie Zusaiiimeiisetzuiig (verschiedener
Storstellengehalt) unterscheiden. Bei zunehiiiendem Storstellengehalt iiehmen
die Beweglichkeit u und der Koeffizieiit a in uiigefalir gleiclicin Verhiiltnjs ab, SO
wie man es gemiiR Formel (40) erwarten wurde.
6. RIodellniiiBige Ueutung
Es erhebt sich die Frage, welche modellmal3ige Deutuiig der Bediiigung (38)
zukomnit. Es sei zuerst der spezielle Fall betrachtet, da13 das therniische Poteiitial temperaturunabhingig ist, in welchem Fall die Erscheinuiigen, wie aus deiii
vorigeii Abschnitt. hervorgeht, schon in den Hauptzugeii wiedergegebeil werdeii
liijnncn.
Ein wirklich teiiiperaturunabhaiigiges thermisches Potential iiiiiDte inan beini
,.Eigenhalbleiter“ crwarten. Fiir die jetzigeii Betrachtungcii spielt tliescr Fall
keine Rolle. Die Frage ist also, waiin das thcrtnische Poteiitial y in geiiiigender
Naherung als teinperaturuiiabhaiigig betrxhtet werden kani!. Die Bedingung
dazu ergibt sich aus (33), (35) und (36):
g‘
<
&,
.
(42)
Eine sehr geringe Teniperaturabhaiigigkeit des tlieriuischen Potciitials fiiidet
mail bei den Metallen. Als in gewisser Hinsiclit den Metallell iihnlich sei jetzt
zuerst der mathematisch leicht zu behandelnde Fall betrachtet, da13 sich uiiterhalh
des Leitfahigkeitsbandes eiii honiogenes Koiitiiiuuni r011Energieniveaus bei
Ann. Phynik. 6. Folgc. Bd. 1
-I
18
Awmleti drr Phyxik. 6. Fdgc. Brind 1. 1947
diesem anschlieat. Es ist hierbei gedacht an A k z e p t o r - N i v e a u s (HaftsteUen),
die durdh thermische Dissoziierung ihr eingefangenes Elektron wieder an das
Leitfiihigkeitsband abgeben konnen. Die ini Spiele stehenden Elektronen werden
den oberhalb des unteren Randes des Leitfiihigkeitsbandes liegenden, praktisch
immer dissoziierten Spendern (,,Storstellen") entstammen (9. Abb. 7).
Es sei die Geeamtkonzentration der Haftstellen N ) , . Die Breite des homogenen Haftstellenspektrums sei LIE (= E l - Eo).
Die Dichtc D des Haftstelleiispektrums betragt also
D =NJAE .
(43)
Die Konzentration der Haftstellenniveaus init der Enextric. zwischen E und E
.
hetrigt also D dI3, uncl ron diesen iMt die Aiizahl
I
DdE
l+exp(c-g)/kT
+dE
voii Elek-
tronen besetzt.
Die Gesamtbe~etzung?zit der Haftstellen betriigt also:
+ exp (Et- g)/k T
+ e x p ( E o - g ) / k I"
1
1
ni, = Y h-
(41)
Weiin inan anninimt, daB die Breite des Hsftstellenbandes bedeuteiid groBer ist
als k T und daB die Zahl der voil den spendenden Storstellen abgegebeneii Elek-
tronen nicht klein ist gegeniiber der Gesaintzahl der Haftstellen, so kann man
I
<
exp (Eo- g ) / k T
1 setzen. Und wenn man annimmt, dnB exp ( E - g)/k T>:;
kt (d. 11. n, 1018),\s0 ergibt (44) mit (18):
.<:
71 l,
,
*vl,{ 1- kT .In N,/n, } .
=
(45)
Es sej, wie schon oben hervorgehoben wurde, die Gesamtzahl der im Spiele stehrnden Elektronen gleich der Zahl der oberhalb der uiiteren Grenze des Leitfahigkeitbbandes liegenden elektronenspe\ineildeii Storstellen Xs. Es ist also :
)Z1
+
? I / , = ATs
.
Aus (45) und (46) ergibt sich
Wenn man diese Gleichung mit der allgenieinen Gleichuiig (18) vergleicht,
findet man, da13
9
=
I{, ~-
x,
+
- s, n , A E
~
s,
$0
(4s)
ist. W e m inan nun g gemif3 Forinel (33) in einen telllperatul.unab~Siigigell-411teil go und eincn temperaturabhangigeii Anteil g' zerlegt, so hekommt inan :
T -",
g0 --EE,-%.AE
*A
'
(49)
und
q'
=5
*Vh
.13
J)
. '
(50)
Damit annaheruiigsweise der Logarithinus der Leitfihigkeit eine lineare Fuuktion
von 1/T sei, mu13 der Bedingung (42) gemiilj (El-- go) g' sein, d. h. also
>
s/, :>
- AT*
lzl
,
(51)
d. h . d i e Z a h l d e r L e i t u n g s e l e k t r - o n e n sol1 k l e i n s e i n g e g e n i i b e r t i e r
Z a h l d e r u i i l i e s e t z t c n H a f t , s t e l l e n . \Venn dies der Fall ist, w i d :
Die Gleichungen (34); ( 3 5 ) uiid (50) ergeben :
Nun ist
ini rechten Glied eiiie Funktioii von T und voii P . Wenn man jedocli
itnniinnit, wie oben sclion geschah, daB 9' < E , so verschwindet in (52) der ersto
Term rechts p i d c s v r g i b t s i c h d i e M e y e r s c h e G e r a d p i n i t eiirer Neiguiig
g l e i c h k T.
In Abb. 8 ist In 7+ als Funktion von liT fur verschiedene Weerte \-on Xswicdrrgegeben, so wie er aus (52) uiid (53) berechnet worden ist, fur den Fall, dal3
d E = 1 eV und N,&= 10'8cm-3 ist. \Vie aus dem Bilde hervorgeht, ist ab
'nl M 10'5 cm-3 die Beziehung zwischeil In nl und 1/T praktisch linear. I n -4bb. 9
ist die GroBe (El- g ) gegen In ?L aufgetragen, so wie sie aus (48) berechnet wurcte
und fur den gleichen Fall wie in Abb. 8. Auch hier geht fur log n < 15 die K u r w
in die Meyersche Gerade mit Neigung k T iiber.
Dieses einfache Beispiel der energetisch hoinogeiien Haftstellenverteilluig ermoglicht es aucli, den Fall cines willkurlichen Haftstellenspelitrums zu iiterblicken.
Beim absoluten Nullpunkt der Temperatrir ist das thermische Potential gleich
dem hochsten besetzten Energieniveau. Aus (49) geht hervor, daB d e r t e m p e r a t u r u n a b h a n gi g e An t e i 1 d e s t h e r m i s c h e n P o t e n t i a 1s g1 e i c 11 d e ni
.)*
-
2Q
A n d m der Physik. 6 . Folgc. Build 1. 1947
t h e r m i s c b e n P o t e 11 t i a 1 1) e i in a b s o 111t e n N u 11p u n k t d e r T e inp e r a t u r ist.
E s ist ersichtlich, dafi dies auch fiir cin millkurliches Haftstelleiispektruni
zutreffen wird. Wenn der temperaturabhangige Teil des thermischen Potentials g'
vernachlassigbar ist, kann iuan also aucli fur deii Pall einer willkurlichen Verteilung der Haftniveaus die Abloseenergie E = E , -go angebeii.
Auch der temperaturabhhgige Teil g' des therinischen Potentials, so wie er
yon Forinel (50) gegeben wird, hat eine einfache Deutuiig. M,/dE ist die Dichte D
des honiogenen Haftst,ellenspektruins. g' = n, . d E / N , = n l / D i s t d i e S e n k u n g
rler G r e n z e zwischeii deli b e s e t z t e n u n d d e n u n b e s e t z t e n N i v e a u s
I)ei E r w a r i n u n g v o n d e r T e n i p e r a t u r 0 b i s z u r T e n i p e r a t u r T. Auch
tfiese Deut.ung liifit sich fur rin willkiirliches Spektruni in e r s t e r N i i h e r u n g
beibehalten, wenn iiiaii in die Formel 9' = n J D fur die Dichte D, welche jetzt,
cine Funkt,ioii der Energie E ist, deli Wcrt D(E = go) einsetzt, RO go = E [ - F
1
a
cu
pi
-
f8 ?? 76 15 14
' 73 12 11 10 9
8
7
6 5
Y
3
2
1
0
log. n,
Ah I I . !I
und E die beobachtete Abloseenergie ist, und 'weiin inan fur n, deii Wert n, = iV,
exp-&,'k T setzt. Naturlich kommt auch jetzt wieder die Meyersche Gerade
heraus niit der Neigung k T,wenn g' << E ist.
Jetzt ldit sich die Frage betrachten, ob und wie nian auf Grund des gegebenen
Modells die Abweichungeii von dem Wert k T fur die Neigung der Meyerschen
( h a d e n erklaren kanii. W e auf S. 15 an Hand der Fornieln (37) und (38)schon
hervorgehoben wurde, kann das temperaturabhangige Glied des thermischen
Potentials unter bestimniten Bedingungeii cine abweichende Rleyersche Gerade
ergeben. Die Frage ist, 01) diese Beditigiingen beim Haftstellenrnodell erfiillt sind.
Es lafit sich zeigen, daD, wenn inan der Bedingung (38), unter der sich eine
Neyersche Gerade niit von k T abweichender Neigung ergibt, genugen will,
entweder annehnien muB, da13 das Energiespektrum der Haftstellen oder die
Elektronenbeweglichkeit abhangig ist voii der Elektronenspender-Konzentration.
Die erste Moglichkeit ist nicht von vornhereiri auszuschliefien, ist jedoch weniger
wahrscheinlich als die zweite Moglichkeit. Nehmen wir also an, da13 die Elektronenbeweglichkeit u eine bestinimte Funktion ist der Storstellenkonzentration
N,, und zmar derart, da13
(54)
u.=pcxpn:&,
Cl'imll: D i i ; l'rniperaturabhangigbil des Widerstundes cmi Hnlbbiterti
whci
\ uiid
21
[I unitbhangig von E und > 0 sind. In dieseni. Fall ist nanilich
111
c = 111 e u n L = 111 e X~b- (klT-x)
F
,
(55)
und cx nirtl tlic l l e y e r s c h e ltegel befolgt init, einer Neigung dcr Geraden gleieli
1
I /(iTT,-Lx)
Forniell kann ninn also d i e A b w e i c h u n g clcr N e i g u n g y o n
cleni W e r t k T ininier auf eine S t o r s t e l l e n a b h a n g i g l i e i t d e r B e w e g l i c h kei t zuriickfiihren. DalJ die Elektronenbeveglichlreit tatsachlich stark von der
Storstellenkonzentration nbhiingt., wurde sclion ituf S. 5 bci der Diukussion des
Koeffizienten n dcr Forinel (1) erwahnt und es ist so, daB mit zunehmendeni
Storstellengehalt (abnehmendem E ) die Beweglichkeit abiiimmt, also qualitativ
in Ubereinstiniinuiig niit GI. (54).
I>urch (54) iind (39) ist eine Beziehung zwischen der Beweglichkeit untl der
Leitfahigkeit gegeben :
ti=fiexpn&=Ao-U.
(36)
Fur dcn Fall des honiogenen Haftstellerispektrunis ergibt (54) niit (52) cine
Heziehung zwischen cler Beweglichkeit iind der stochiometrischcn .4hwcichung:
11 =
exp .Y (AE- D N,) = C , exp - C , -V, .
(57)
%urgenauen Uberpriifuiig dieser beiden Fornieln liegen noch keiiie Beobschtuiigen
vor. Die Bcobachtungen von E i s e n r n i ~ i i n sind
~ ~ ) qualit,ativ init (56) zu vereinbarcn .
('.
MIIrtallisclic Halblcitw, tturphot8ereH.iilbleiter, ioitl ,,Eigrn"-Halb1eitt.r
7. ])as Varseicheii des Telnperaturkoelfizionteu des Widerstclndes
Wic in1 vorigen Abschiiitt gezeigt wprde, kann man, ungeachtet bestinlinter
Xusnahnieii, sagen, dafl das Vorhandenseiii der Haftstelien fiir das typische
Halbleit~rverhalteii(neg. Teniperaturkoeffizient der Leitfahigkeit) notwendig ist.
Es lroinnit daliei auf die Gesaintkonzrntration der Haftstellen N,# an. Das miigc.
; ~ ncinem Beispiel erlautert, acrden.
In1 Fall cines ho~nojienenHaftstelleiispektrunis mit tier Breite JE und der
~~enamtkoiizeiitratioiicier Haftstellen LV,~und einer Konzentretion der elektroneii- (oder lochcr-)spendenden thermibch insktiven Storstellen N , ist die Konzentration n, der Leitungselektroneli oder -1ocher gegeben durch die Gleichungeli
[s. Forniel (15) und ('IS)]:
I' 111
..1E
s,/ 12, } = s,.
(58)
In Abb. 10 sintl die ans dieser Gleichung herechneten Werte voii log Togegen
log 7 i 1 aufgetragen fiir verschiedene Werte der Haftstelleiikonzentrittioii und fiir
4E = 0,5 eV uiid T = 300" K. Die Kurven geben zu den folgenclen Benierkun~eli
AnlaB. Bei grofler Storstellenkonzentration N,ist die Zunahme der Konzcntration
der Leituiigsclektroaeii gleich der Zunahine der Koiizentration der Storstellen,
Das bedeutet, daB die Gesamtkonzentratioii der im Spiclc stehendeii Elektronen s o
-
I*)
J,.
E i s e n i i i a i i t i , .\1111.
I'hysik ( 5 ) 38 (1940) 121.
22
Awmlen der Physik. 6 . Folge. Bu7d 1. 1947
vie1 grijJ3er ist als die Konzentratioil der Haftstellen S,L,
daO die letzten praktisch
voll besetzt sind. I n diesen1 Fall ist die Leitung nietallischer Art. Iin ganz steil
rerlaufenden Teil der Kurve hingcgen sind die Haftstellen nur teilweise von Elektronen Lesetzt. Dcr starkc Anstieg der Konzentration der Leitungselektronen
bei zunehniender Storstellenkorizentratioll riihrt davon her. daB mit zunehmendem ATs. also rnit zunehinender Gesamtkonzentratioli dcr Elektroneii, die Grenze
zwischen den besetzten und den unbesetzten Haftstellen steigt, wodurch
die Ahloseeiiergie sinkt, was ,gemal3
(1) einen exponentiellen An-,
Pormel
79 stieg der Konzentration der Leitungselektronen zur Folge hat.
Sehr beachtenswert ist, da13 auf
78 diesem Teil der Kurve bei einer gcringen h d e r u n g der Abweichung voii
77 der idealen Zusammensetzung (in
diesein Beispiel eine Anderung der
Storstellenkonzentratioii um etwa
einen Faktor 2 die Konzentration der
Leitungselcktroneii (also die Leitfahigkeit) sich uni mehrere Zchnerpotenzen
2 75
(in dieseni BGspiel 7 Zehnerpotenzen)
3
iindert. Hiermit ist die in Abschnitt 1
79 unter c) erwahnte Schwirrigkeit vollig
behoben.
Weiter ist nus cler Abhildung er73 sichtlich, daB die Konzentmtion der
Haftstellen zieinlich kritiscli sein kann
72 fur das Auftreteii des t,ypischen
Halbleiterverhalteiis. Bei gegebener
Stbrstellenkonzentration genugt in
77 diesem Beispiel eine Konzentrationsanderung der Haftstellen um eineii
Faktor 2, urn einen typischen Halbleitcr in einem meta.llischen Leiter
tog. Nj
umschlagen zu lassen.
Abb. i n
Die ideale. Zusammensctzung einer
Verbindune:
., la& sich bei der Svnthese
iiur bis zu cineiii fur jede Verbindung charakteristischen Grade verwirklichen 12).
Das hat zur Folge, daB es bei jeder Verbindung ein MindestmaB an Haftstellen
geben mu13 (namlich etma gleich der Konzentration des iiberschussigen Metalls
bzw. Metalloids), darnit die typisclie Halbleitung (negativer Temperatnrkoeffizient des Wderstandes) gewiihrt ist. Die h i den verschiedenen Verbindungen
vorkoniinenden stijchiometrischen Abweichungen unterscheiden sich uni mehrere
Zehnerpotenzen : bei den ionogenen Salzen inachen sie sich auf kcherlei Weise
bemerkbar; bei einer Verbindung wie ZnO sind sie da, aber doch noch YO gerinp,
daB sie sich jeder analytischen Bestiminung entziehen ; bci Verbindungen wir
f
-
lz)
Ci. F.Hiitt,ig, Hochschulwissen 4 (1327) 261, 317, 366.
PhS untl PbSc sind sie 11111 itiehrere Zehnerpotenzen groBer. Das kaiin erklaren,
aeshalb es nicht gelingt. ein schlecht leitendes Bleisulfid massiv herzustellen.
I)ie nus rlem Schnielz hergestellten Proben zeigen, ebenso wie die nat.iirlichen
PhS-Kristalle, nietallische Leit,fahigkeit. Die Haftstellenkoiizentration ist anscheinend zu gering, iiin einen negativen Teiiiperaturkocffizieiit des Wiclerstandes
hervorrufeii zu konnen.
Bci den jet.zigeii Betrachtungen nehnien die Haftstellen offenbar cine sehr
wichtigr! Stelle ein, und gerade uber die Natur dcr Haftstellen laat sich noch sehr
wenig itussagen. DaB sie da siiid, ist geniigsam gesichert durcli die TJntersuchungeii
von P o h 1 untl Mitarbeitern an den Alkalihalogeniden und durch die Iienntnissc.
uher'die Krist,allphosphore. Anscheinend sind die Haftstellen strukturempfindlich. 3Im konnte denken, da13 die Haftstelleri rnit Gitterabweichungen zu tun
habeii, die energetisch w-eniger einschneidend 'sind als die Abweichnngen der
Storhiorhetrie. Es gibt Hinweise, da13 die Haftstellen, jedenfalls teilweise,
die ,,Oherflachenterme'; des Kristalls sind. Dunne, durch Aufdampfen oder
(lurch Elektrolyse erhaltene Schichten von PbS zeigen im Gegensatz zu den
iiiassiven Proben wohl das typische Halbleiterverhalteii. Die Hypothese liegt
:tuf dcr Hand, daB die Haft~stellenkonzentration der Schichten die der massiven
Probeii groI3eiiordnungsniiBig ubertrifft. Wie sich im nachsten Abschnitt zeigen
wird, stiinmt die an diesen Schichten beobachtete Ternperaturabhangigkeit der
Leitfii higkeit rnit diescr Vorstellung uberein.
H. .\mphotere Helbleiter
IVenn inan, ausgehend von einer Verbindung mit MetallhberschuB, diese alliniihlich in eine Verbindung niit MetalloidiiberschuB uberfuhrt (z. B. durch Erhitzen eines Sulfids in Schwefeldampf), so laat sich denken, daB dieser Ubergang auf zwei verschiedene Arten vor sich gehen kann. Es konnen die Storstellen
der einen Art dlrnahlich verschainden, worauf die Storstellen der aiideren Art
eingebaut werden. Es kann aber auch sein, da$ die ursprunglichen Storstellen
ganz oder teilweise bestehen bleiben, und daB sofort der Einbau der neuen Storstellen anfangt. Bei den drei Beispielen der Abb. 1 kornnit das, was das elektrische Verhslten betrifft, auf das gleiche hinaus, denn im ersten Fall verschwinden rnit den Storstellen des uberschussigen Metalls auch die von ihiien abgegebeneri
Elektroiien. I m zweiten Fall bleiben zwar die Storstellen hestehen, aber die Elektronen merden 'von dem eingebauten Elektronenfanger ausgeschaltet. Es gibt
jedoch Fiille, und zwar wenii die Abloseenergie E positiv ist, wo die geiiannten
zwei Moglichkeiten sich wohl in eineni verschiedeneri elektrischell Yerhalten
offenbaren; Untersuchungen daruber sin$ im Gange. Beiin aniphoteren Halt)leiter (dbb. 1 c) wird die Leitung von fliberschul3- in Defektleitung umschlageri,
sobald die Konzentration der Elektronenfanger die der Spender ubertrifft. Die
Leitfahigkeit geht dabei durch ein BIinimuni.
Wenn der Abstand roni vollen zum leeren Band so gro8 ist, daB praktisch
keine thermisch bedingten Uberglnge stattfinden konnei\, so wird inan in den
Konzentration von
in Abb. 1 gegebeneri Fallen init einer temperaturunabha~~gi,oen
Leitungselektronen, also ruit einer ,,metallischeii" Leitfahigkeit, zu tun haben.
Die Temperaturabhangigkeit der Leitfahigkeit von PbS-Schichteli rnit verschiedenen stiichiometrischen Abweichungen ist eingehend ron H i ~ i t e r b e r g e r ' ~ )
13) H.Hinteiherger, %. Physik 119 (1912) 1.
24
Annalen der Phyyik. 6. Folge. Band 1. 1947
untersucht worden. Bei PbS mu13 man damit rechnen, daI3 ein oberganp voii
Elektronen vom ,,vollen" Band in das Leitungsband moglich ist. Sieht man zuerst von den Haftstellen ab, so findet nian die Konzentration der Leitungselektroiien aus der Gleichung (21). Gleichung (21) ist dem jetzigen Fsll angepaBt.
20 -
75
I
$?+
-
-
,a
13 -
iridem 3, = iV, gesetzt ist,
iiiid
statt
')L,',
N , geschrieben ist, uiid lautet jetzt:
+ expdE/lcT)
+. V N T i t e x pA Elk T 2+ N fexp A Elk TI .
1
exp (E,- g ) / k T = 2 (N,-+
[--ATs (1
N,)
~
(59)
-1E ist der .U)staiid vom vollen bis zum leereii Band. I n Abb. 11 sind die Ergebnisse fur eiiieii Wert von AE uiid fiir verschiedene Storstellenkonzentrationen
(d. h. verschiedene stochioriietrische Zusariiiiiensetzuiigen) gezeichnet worden.
-1uf den horizontalen Strerken ist das uiitere Band ganz gefiillt und die Konzentration der Leitungselektronen ist gleich der Konzentration der Storstellen, also
unabhangig vori der Temperatur (auf dieser Strecke wird die Leitfahigkeit schori
zuiiehmen init abnehmender Temperatur wegen des negativen Temperaturkoeffizienten des Widerstnndes). Diese Kurven geben den Temperaturverlauf der
Leitfahigkeit, so wie sie H i n t e r b e r g e r gefuiiden hat, noch nicht rjchtig wieder.
E:s iniissen nor11 die Haftstellen niit in Hetrncht gezogen werdeii. -41s Beispiel
Gisolf :Die TernpmturobIiii,igigEeil des Widerstaiides
OIL
Halbkilern
25
ist angeiioniiiien worden, da13 die Gesamtkonzentration der Haftstellen AThgleich
1016 cn1-3 ist. Die genaue Beschaffenheit des Haftstellenspektrums ist weniger
wichtig. E s ist angenommen, daB die Haftstellenniveaus homogeri iiber dem
Eriergiebereich d E verteilt sind.
Nan findet die Koiizentratioii der Leitungselektrorien bei vorgegebener Konzentration der Haftstellen N, und der vollig dissoziierten Storstellen N , durch
(lie oberlegung, daB die Konzentration der Leitungselektronen nI,vermelpt mit
tler Konzentratioii 1~~~der an den Haftstellen gebundenen Elektronen und ver-
ringert uin die Konzentration 71: der ,,Lecher“ im vollen Bande, gleich det Konxentration der (vollig dissoziiertm) Elektronenspender n, sein 111118. n l ergibt sich
itus Forinel (18). Genau analog ergibt sich fur n$ die Formel
nuf = x,; { 1
+ exp ( 9 -
E J / T~} .
(60)
w i d gegebeii voii Formel (45). Piir den Fall, daB die Haftstelleiiniveaus homogeii iiber die ,,verbotene” Zone zwischen deni rollen Rand und dein Leitungsband wrteilt sind, ergibt sich hieraus:
I#),
26
Annnlen der Phyaik. 6 . Folgc. Band 1. 1947
Diese Gleichung laWt sich leicht praphiscli nach ?il losen. D i e Losungeii fur AE
= 0)5 eV und N , = 1015 cni-3 und fiir \-erschiedenc Rcrte voii ATs sind in dcr
Abb. 12 dargestellt.
Die Kurven haben eine groWe dhnlichkeit mit den roil H i n t e r h e r g e r fur
aufgedampfte PbS-Schichten erhaltenen (s. Abb. 13). Solange das Beobachtungsmaterial nicht ausgedehnter ist, erscheint es
wenig angebracht, eine genau quantitative
Uberpriifuiig der Ubereinstinimung diirchzufiihren.
Es moge noch a n Hand dcr Abb. 12folgendes beinerkt werden :
Beiip. Ubergang vom einen zum anderen
Leitungstypus bei einer hestimmten Temperatur T geht die Leitfahigkeit durch ein
Minimuni, das gegeben wird, durc'h die Ordinate desjenigen Punktes der in Abb. 12 nngegebenen Geraden mit der NeigungdEl4,BO k)
dessen Abszisse gleich 1000/Tist.
!).
I)er ,,Eigenhalblciter"
Gelegentlich wird in der Likratur die
Bemerkung gemacht, da13 noch nie ein Halhleiter beobachtet worden ist, bei den1 die
Leitungselektronen durch einen thermischen
Ubergang aus den1 vollen Band kommen,
und bei dem die Leitfahigkeit also nicht
von Storstellen bediiigt ist. Auf Grund des
Obenstehenden la& sich dazu sagen, daW bei
:inem blistand der Bander von 0,5 eV, wie
.m obigen Beispiel, die Konzentration der
Leitungselektronen, die therniisch aus den1
rollen Band eelost siiid. etwa 2 1015 ~ r n - ~
rP hetragt (wie aus der Abh. 11 ahgelesen werA l h . 13
den kann). Damit der Halbleiter also wirklich ein ,,Eigenhalbleiter" sein soll, mu13
eine etwaige. stochioinetriscli bedingte Stijrstellenkonzentratioii (also mit oberhalb des unteren Randes des Leitungsbandes liegenden Spendcrniveaus) lilein
gegen 1O16cnl-3 sein. Aber das becleudt, daB die Abneichungen der Stochiometrie klein gegen etwa 10-7 sein niussen, dainit iiberhaupt 'ron einem ,,Eigcnhalhleiter" die Rode sein kann.
E i n d h o v e 11 , Humbold Plein 16.
(Hci dtkr Hrdaktion cinprgapgcn ain 1. Sept. 1946.)
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