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Die unitre Feldtheorie der Schwere und Elektrizitt.

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Die unitare Feldtheorie der Schwere und Elektrizitat
Von Jaroslav Pachnw
Inhaltsiibersicht
Nach kurzer kritischer Uhersicht uber die verschiedenen unitaren Feldtheorien, die eine Weiterentwicklung der allgemeinen Relativitatstheorie von E i n s t e i n darstellen, werden die Grundlagen der vierdimensionalen unitaren Theorir
cler Schwere und Elektrizitat erortert. Die Feldgleichungen, die eine der modifizierten Delta-Punktion proportionale Materietensordichte und elektrische
Stromvektordichte enthalten, werden von einem heterogenen Hamiltonian
abgeleitet, ihre Kompatibilitat und Vollstiindigkeit nachgewiesen und auf
Grund der Ma xwellschen Naherung ihre physikalische Interpretation gegeben.
1 4-Identitaten, die die Anzahl der unabhangigen Feldgleichungen
Die 1
erniedrigen, werden als Erhaltungssatze interpretiert. Die Bewegungsgleichungen werden aus den Feldgleichungen mit der neuen Methode von
l n f e l d abgeleitet, fur der Fall der Bewegung von zwei Kiirpern in niedrigster
Naherung explizite angegeben und fur den Pall der Bewegung eines elektrisch
geladenen Probekorpers integriert. Zum SchluB der Arbeit wird ein Fundamentalsystem von Einheiten gebildet, in dem alle physikalischen GroBen mit
dimensionslosen Zahien gemessen werden, der Zusammenhang der Naturkonstanten untersucht, und eine neue Hypothese alifgestellt, nach der die
von Null verschiedene GroBe der Kopplungskonstante zwischen dem Gravit,ations- und elektromagnetischen Anteil des unitaren Feldes durch den diskont inixierlichen Charakter der elektrischen Ladung bedingt ist.
+ +
Einleitung
In seinen vorangehenden 6 Artikeln l ) hat der Verfasser einen Versuch
gemacht, die vierdimensionale unitare Feldtheorie der Schwere und Elektrizitat aus einem heterogenen Hamiltonian zu entwickeln. Dabei hat er nur die
Feldgleichungen fur die leere Raum-Zeit verwendet. Es hat sich aber gezeigt,
dalJ die Ableitung der Bewegungsgleichungen aus den Feldgleichungen fur
die leere Raum-Zeit eine schwierige mathematische Aufgabe ist, sobald mail
die Newtonsche Naherung ubersteigt,, bzw. sobald man die Bewegungsgleichungen eines Probeteilchens berechnen will. Es wird deshalb zweckmaBig, die neue Methode von I n f e l d 2 ) zur Ableitung der Bewegungsgleichungen aus der allgemeinen Relativitatstheorie auf die vorliegende unitare
Feldtheorie auszudehnen. Da I n f e l d in seiner neuen Methode die der modifizierten D i r a cschen Delta-Funktion proportionale Materietensordichte beniitzt,
l ) J . Paehner, Ann. Physik 19, 353 (1957); 30, 368 (1968) 1, 110, 201, 351 (1958);
0. 36 (1958). Diem Arbeiten werden als bzw. I , . . . T’I nnrl die Gleichnnpen als bzw.
( I , . . .) . . . (VI, . . .) bezeichnct.
2, L. Infelcl, Acta Phys. Polon. 13, 187 (1954).
J . Paehner: Unilare Feldtlheorie der Schwere und Elel;triz&it
71
SO entsteht zuerst die Aufgabe, die Feldgleichungen der unitaren Theorie in
der vorliegenden Arbeit so abzuleiten, daB die Materietensordichte und elektrische Stromvektordichte in ihnen der modifizierten Delta-Funktion proportional werden.
Die vorliegende Arbeit ist eine zusammenfassende Darstellung der unitaren
Feldtheorie der Schwere und Elektrizitat, in der auch gewisse Unklarkeitell
aus den vorangehenden Aufsatzen beseitigt und eine new, zwerkmaBigere
Hezeirhnungsweise beniitzt werden.
Kurze Ubersicht ubor die unitiiren Feldtheorien
Die verschiedenen unitaren Feldtheorien der Schwere und Elektrizitat,
die nach dem ersten, erfolglosen Versuch von Wey13) entstanden sirid untl
eine Weiterentwicklixng der allgemeinen Relativitatstheorie von E i n s t e i n 4 )
tlarstellen. kann man in zwei Gruppen aufteilen, in die fiinf- und in die vierd imensionalen Th eorien.
In den f~nfdimensionalenTheorien ist der fiinfdimensionale Raum ein
Hi ifskontinuum , in dem die Geometrie einen geeigneten mathematischen
Formalismus zur geometrischen Interpretation der Gesetze der Gravitationstheorie von E i n s t e i n zusammen mit der elektromagnetischen Theorie von
Maxwell bildet. K a l u z a 5 ) war der erste, der solche Theorie entwickelte,
deren Feldgleichungen in tier ersten Naberixng in die der E i n s t einschen untl
der Maxwellschen Theorie ubergehen. Klein6) hat diese Theorie in der
Richtung weiterentwickelt, daB die Feldgleirhungen von E i n s t e i n - M a x w e l l
am ihr riicht in angengherter, sondern in genauer Form folgten. Die mathematisch elegantere Version der Theorie von K a l u z a - K l e i n stellt die projektive Relativitatstheorie von Vehlen7) dar. V e b l e n selbst aber unterstreicht 8 ) , dal3 seine Theorie, obwohl sie eine vollkommene ubereinst',immung
mit der Theorie von K a l u z a - K l e i i i zeigt, von ganz verschiedenen physikalischen und geometrischen Standpunkten ausgeht. Das gemeinsame Zeichen
der Theorien von K a l u z a - K l e i n und von Veblen ist, dal3 ihre Feldgleichungvn und Rewegungsgleichungen eines elektrisch geladenen Probeteilchens
mit denen der Theorie von E i n s t e i n - M a x w e l l iiberein~timmen~).
Diese
Theorien stellen also nur eiiie neue Interpretation der Relativitatstheorie von
E i n s t e i n -Maxwell in quasigeometrischer Aixsdrucksweise dar, ohne ihren
physikalischen Irilialt zu andern.
Eine andere Form der funfdimensionalen unittiren Feldtheorie wiirde von
JordanlO) und von Thirry'l) entwickelt, indem die Zylindrizitatsbedingung
von K a l u z a g,, = - 1 durch die Gleichung g,, = - E2 ersetzt wurde, wobei
E2 als eine der verimderlichen Gravitationskonstante proportionale GroBe interpretiert wurde. Beide Theorien, die von J o r d a n und die von T h i r r g , unter3, H. W e y l , S.-B. Berlin. Akad. 465 (1918); Ann. Physik 59, 101 (1919). R a u m &it-Materie, 5. Aufl., Berlin 1923.
4, A. E i n s t e i n , Ann. Physik 49, 769 (1916).
5 ) T. K a l u z a , S.-B. Berlin. Akad. 966 (1921).
6, 0. K l e i n , Z. Physik 37, 895 (1926); 46, 188 (1927).
?) 0.
Veblen, Projektive Relativitatstheorie. Berlin 1933.
8 ) Siehe FuBnote 7). S. 5.
sj Siehe FuRnote 7j; S. 52.
lo) P. Jordan. Schwerkraft und Weltall. 2 . Aufl. Rraunschwcig 1955.
I1j Y. Thirry,' C. R.Acad. Sri. Paris 226, 216, 1881 (1948).
~
Annalen der Pliysik. 7. Folge. Band 5. 1.959
73
scheiden sich nur durch den verwendeten mathematischen Formalismus.
J o r d a n benutzt die Methoden der projektiven Geometrie, T h i r r y arbeitet
dagegen mit der Riemannschen funfdimensionalen Geometrie. Fierz12) h a t
aber gezeigt, daB die Theorie von J o r d a n - T h i r r y in ihrer heutigen Form
zur eindeutigen Interpretation weder der Funktion t2als der der veranderlichen Gravitationskonstante proportionalen Quantitat, noch der GroCien
gpy (p, v = 1, 2, 3, 4) als der Komponenten des metrischen Tensors fiihrt.
Einen ganz anderen Weg wahlte Klein13). Er lehnte in der ursprunglichen
Theorie von K a l u z a - K l e i n die Bedingung ab, daB ihre Feldgleichungeii
von der funften iTeranderlichen nicht abhangen sollen, die in seiner neuen
Theorie eine quantentheoretische Bedeutung hat. Es scheint aber dem Verfasser jeder Versuch einer quantisierten unitaren Theorie als verfruht ,
solange eine allgemein anerkannte Theorie der Elementarteilchen nicht
gebildet ist.
L i c h n e r o wicz14) charakterisiert zusammenfassend alle diese funfdimeiisionalen Theorien als solche, deren physikalische Interpretation Mar ist,
an denen man aber aussetzen kann, daR sie nicht genugend unitar sind. Die
vierdimensionalen Theorien, die von hier ab besprochen werden, sind so unitiir
\vie man sich nur wiinschen kann, die physikalische Int,erpretation der geometrischen Felder ist in ihnen aber eine LuBerst schwierige Aufgabe.
Zuerst erwahnen wir einige Versuche von Eisenhart15) aus der letzten
Zeit um die Bildung der vierdimensionalen unitiiren Theorie. Er geht in
seinen Arbeiten von der Annahme aim, daB die Koeffizienten der affiiien
Konnexion der Summe des bekannten Christof felschen Symbols und eines
gewissen Tensor gleich sind. J e nach der gemachten Annahme uber diesen
Tensor erhalt er verschiedene Varianten seiner unitaren Theorie. Ihr gemeinsames Zeichen ist, daB die resultierenden Feldgleichungen mit denen der allgemeinen Relativitatstheorie von E i n s t e i n -Maxwell identisch sind. Den
Gruiid fur die Bildung seiner unitaren Theorie sieht E i s e n h a r t darin, daB
er dadurch den Vorwurf von Einstein16) beseitigt hat, daB das Gravitationsund elekt,romagnetische Feld in die Gleichungen der Theorie von Eiiis tei n Maxwell als zwei logisch verschiedene Strukturen eintteten. Da die
Theorie von E i s e n h a r t keine neuen physikalischen Ergebnisse bringt, kann
man sie fur ein vierdimensionales Analogon der funfdimensionalen Theorien
von K a l u z a - K l e i n und Veblen halten.
Der Grundgedanke der vierdimensionalen unitaren Theorien, in den die
Vereinigung des Gravitations- und elektromagnetischen Feldes in das eine
unitare Feld zu neueii physikalischen Konsequenzen fuhrt, geht auf E d d i n g ton1') zuriick. Er war der erste, der darauf hingewiesen hat, daB die unitare
Theorie niaht auf der Grundlage der Riemannschen, sondern der allgemeineren Geometrie der affinenKonnexion aufgebaut werden sollte. E r hat sich nur
'1 M. F i e r z , Helv. phys. Acta 29, 128 (1956).
0. K l e i n , Arkiv. Mat. Astron. Fysik (B) 34A KO. 1 (1946).
A.Lichnerou.icz,ThBories relativistes de la gravitation et del'electroma~netisine
?*iris 1956, S. 152.
'
9 L. P. Eisenhart. Proc. Nat. Acad. Sci. USA 42, 249. 646, 878 (1956); 43,
13)
14)
333 (1957).
16) A. E i n s t e i n , The Meaning of Relativity, 4th edition, Princeton 1953, S. 98.
17) A. S. Edding t o n , Relativitatstheorie in mathematischer Rehandlung. Berlin
1926, 8. 317ff.
auf allgemeiiie Uberlegungeii beschriinkt, die Feldgleicliungen hat E i n s t e i n lq)
abgeleitet. Dieser hat aber bald seine Theorie verlassen, da sie zu unzulassigen Koiisequenzeii fuhrte. Der Grnnd fur diesen MiBerfolg lag in dei.
Annahme voii E d d i n g t o n , die auch E i n s t e i n ubernonimen hat, daB die
Koeffizienten tier affiiieii Iioniiexion symmetrisch sind. Erst viele Jahre
spater sind E i n s t e i n und S c h r o d i n g e r zu bedeutsamen Erfolgen auf dem
Wege zur Aufstellung einer unitaren Feldtheorie gekommen, nachdem sie die
aus der allgemeinen Relativjtatstheorie ubernommene Annahme von E d d i i i g t o n verlasseu hatten.
Fast in derselben Zeit haben Einstein1") uiid Srhrodinger20)21)ihrc
iuiitaren Theorien aufgestellt. Beide gehen voii der Annahme der nicht \ymmetrjscheii Koeffizienten der affineii Ronnexion aus, aber E i n s t e i n hat
seine Theorie sowohl auf deli Koeffizieiiteii der affinen Konnexion als auch
auf dem nichtsymmetrischen Fuiidamentalteiisor aufgebaut, wahrend S c h r o clinger als das primarc Feld nur die Koeffizienteii der affinen Konnexion
cingefiihrt hat, ails welcheii er die Komponenteii cles Fundamentaltensors
ableitete. Trotzdem erhielteii E i n s t e i n uiid S c h r o d i n g e r die Feldgleivhnngen, die sich nur durch das bekannte kosmologische Glied unterscheiden
das in die Theorie von S c h r a d i n g e r lieu auftritt.
~
Nach dem Aufbau der mathematischen Gruiidlagen der unitaren Theorie
vnn E i n s t e i n - S c h r o d i n g e r siiid iioch zwei schwierige Fragen zu loseii
geblieben. die geometrischen Felder richtig physikalisch zu interpretieren uncl
die Bewegungsglejchungen abzuleiteii.
Aus der Arbeit vnn Wymaiiz2)ebeiiso \vie ails rlem Buch von M m e T o n I I c lat23)erkennen wir, wie beschwerlich es ist. die erste Frage zu beantworten.
auf
~ )unerwartetc
.4uch bei der Losung des zweiten Problems ist I r ~ f e l d ~
Schwierigkeiten gestoBen. Wenn er die bekannte Methode von E i n s t e i n .Cnf eld25) zur Ableitung der Bewegungsgleichungen direkt aus den Peldgleichungen in der unitareii Theorie voii E i n s t e i n verwendete, wurtle festgestellt, daJ.3 die BeTTegung eines elektrisch geladenen Korpers vom elektromagnetischen Feld in der niedrigsten Naherung uberhauyt nicht beeinflu&
wird. Zu demselbeii uberraschenden Ergebnis ist spater auch Callaway26)
gekommen.
Anf Grunt1 tiicser Krgebiiisso und ausfiihrlicher Diskussioiien hat Boniior2')
deli Harniltonian der E i n s t e i n schen unitaren Theorie so geanciert, daB in
18)
A. E i n s t e i n , S . 3 . Bcrlio. Akacl. 3 2 , 76, 137 (1923). Sielw aucli Fuonote 17,
s. 359ff.
19) A, I 3 i n s t r i n , Ann. Math. 46, 578 (1945); Rcv. mod. P h ~ s i c s 20, 35 (1948);
('anad. J. Math. 2, 120 (1950); A. E i n s t r i u u. E. G. S t r a u s , Ann. Nath. 47, 731 (1946).
Siehe auch FuBnote 16, Appendix TT, Supplcmcnt t o Appendix 11.
*) E. S c h r B d i n g e r , Proc. Roy. Irish Acncl. A 49, 43 (1943); 237, 275 (1944); A 61,
44 (1946), 163 (1947); 205 (1948), A 52, 1 (1948); A 54, 79 (1951).
21) E. S u h r o d i n g c r , Space-Time-Structure, Cambridge 1950, S. 112.
N. W y m a n , ('anad. J . Math. 2, 427 (1950).
23) Mme N. A. Tonnelat, La th6orie du champ unifi6 rl'Einstcin r t quelques-uns
de ses developpements. Paris 1955. S. 89.
?*) 1,. I n f c l d , Acta Phys. l'olon. 10, 284 (1950).
25) A. E i n s t e i n u. TJ. I n f e I d , Cand. J. Math. 1, 209 (1949).
26) J . ( ' a l l a w a y , Physic. Rev. 92, 1567 (1953).
?') T
I'. 13. R o n n o r , Proc. Roy. SOC.(Tmndon) A 226, 366 (19.54).
74
Annalen der Phgysik. 7 . Folgp. Band 5. 1959
den Bewegungsgleichungenin der niedrigsten Naherung nicht nur die N e w t o n sche, sondern auch die Coulombsche Kraft erscheint.
Von einem ganz anderen Gesichtspunkt aus lost H l a v a tjr beide Probleme.
Eine Reihe seiner Abhandlungeri 28) sowie sein Bixch 29) stellen die bisher eingehendste geometrische Bearbeitung der unitaren Theorie von E i n s t e i n dar.
H l a v a t $ weist nach30). dal3 in der unitiiren Theorie von E i n s t e i n nur ein
schiefsymmetrischer Tensor existiert, der eine Funktion der schiefsymmetrischen und symmetrischen Komponenten des Fundamentaltensors ist und
dessen zyklische Divergenz verschwindet. Er identifiziert dann diesen Tensor
mit dem des elektromagiietischen Feldes und erklart zwei Systeme von vier
Differentialgleichungen, die E i n s t e i n gefunden hat, fiir beitle Systeme der
Naxwellschen Gleichungen. H l a v a t ? leitet noch einen weiteren Tensor
ah, den er fur den Energie-Impuls-Tensor halt. Die Rewegungsgleichungen
erhalt er als die Folge des Erhaltnngssatzes fiir Energie untl Impuls. Die
Verwendung der Methode von E i n s t e i n - I n f e l d zur Ableitung der Bemegung~gleichungen~~)
halt' H l a v a t j r , in fjbereinstimmung mit der Meinung voii
E i n s t e i n aus der letzten Zeit vor seinem Tode31), nicht fiir angemessen in
cler unitaren Theorie.
Mit den Ansichten von H l a v a t j r iiber die Ableitung der Bewegungsgleichuiigen polemisierte schon R ~ n n o r ~ Weiin
~ ) . man heute noch bedenkt,
dalj die von H l a v a t jr abgeleiteten Bewegungsgleichungen im verschwindend
schwachen elektromagnetischen Feld mit denen der allgemeirieri Relativitatsso daB sich H l a v a t g selbst gezwungen
theorie nicht iiberein~timrnen~~),
fiihlte, die Feldgleichungeii der urspriinglichen unitaren Theorie von Ei n s teiii
(loch abzuandern, so haben wir darin schon die erste Rechtfertigung einer aut
heterogenem Hamiltonian aufgebauten unitareii Theorie.
Den zweiten Grund fur eine so entwickelte Theorie hat der Verfasser schon
in der Arbeit VI ausgesprochen. Ebenso wie die allgemeine Relativitatstheorie
in sich die Newton sche Gravitationstheorie als einen Spezialfall enthalt, so
mulj man erwarten, daB auch die richtige unitare Theorie im starken Gravitations- und schmachen elektromagnetischen Feld in die Relativitatstheorie
von E i n s t e i n - M a x w e l l ubergeht. Die unitare Theorie von E i n s t e i n S c h r o d i n g e r kann diesem Postulat nie geniigen, wohl aber die vom Verfasser entwickelte Theorie.
Den dritten Grund, der die Theorie vom Verfasser rechtfertigt, aber nnr
von hypothetischem Charakter ist, konnen wir zusammen mit
im Glauben an die Einfachheit und Verstiindlichkeit der Natur sehen. Da die
vorliegende Theorie niimlich genau drei Naturkonstanten enthalt, die
Gravitationskonstante von N e w t o n , die Lichtgeschwindigkeit untl eine neue
Kopplungskonstante zwischen den1 Gravitations- urid elektroniagnetischeri
Snteil cles unitaren Feldes, so ist es moglich, mit deren Hilfe ein Fundamental23) V. H l a v a t j . ,
J. Rat. Mech. Anal. I, 539 (1952); 2, 1 (1953); 3, 103, 147, 645
(1954); 4, 247, 653 (1955); 5 , 419 (1956).
29) V. H l a v a t g , Geometry of E i n s t e i n s Unified Field Theory, Groningen 1958.
3'J) Siehe F u h o t e n 28, 29 oder .
'
1 H l u v a t j . , Nieuw Archief voor Wisslrunde (3) 2,
103 (1954).
3 l ) Nach der Korrespondenz des Verfassers init Prof. H l a r a t g .
3z) W. R. H o n n o r , Ann. Inst. H. Poilicere 15, 133 (1957).
33) Siehc FuBnote 29, S. 183ff.
%) A. E i n s t e i n , Autobiographisclies. Illinois 1949.
system voii Einheit<enzu bilden, in dem alle physikalischen GroRen mit dimensionslosen Zahlen gemessen werden. Nimmt man noch die Hypothese von
Heisenberg") hinzu, daR alle Naturkonstanten auf drei zuriickzufiihren
sind, so existiert, wie wir unten zeigen werden, eiii gew-isser Zusammenhang
znischen der neueri Naturkonstante und der elementaren elektrischen Ladung.
den man auch so aussprechen konnte, daI3 die von Null verschiedene GroRe
dies-r Konstante durch die Existenz der elementaren elektrischen Ladung
bedingt ist.
Die vorliegende unitiire Theorie ist die natiirlichste Weiterentwicklung der
allgemeinen Relativitatstheorie von E i n s t e i n - Ma xwe 11. Sie unterscheidet
sich von der Theorie von Bonnor27)32)durch eine andere Identifizierung der
schiefsgmmetrischen Romponenten des Fundarnentaltensors, die unten eingehentl gerechtfertigt wird. Im Vergleich mit der physikalischell Interpretation der Theorie von E i n s t e i n , wie H l a v a t S ; in seinem Prinzip C sie durchgefuhi-t hat, ist die vorliegende Theorie bedeutend iibersichtlicher und mathematisch rinfacher.
Die Grundlagen der unitarrn Throrie
Die pliysikalisclien Grundlagen
W e bekaiint, gewahrleistet uns die Ableitung der Feldgleichungen aus
einem kovarianten Variationsprinzip nicht nur ihre Kompatibilitat, sondern
es folgen aus ihm zugleich vier wichtige Identitaten unter den Feldgleichungen.
Bevor wir zur Wahl des Ausdrucks fur die Feldwirkung herantreten, miissen
wir uns entscheiden. ob wir die unitare Theorie fur eine reine Feldtheorie
halten (was die Meinung von E i n s t e i n war) und singularitatenfreie Losungen
ihrer Feldgleichungen suchen, oder ob die Quellen des unitaren Feldes die
Teilchen sein sollen, fiir deren Wirkurig einen analytischen Ausdruck anzugeben zweckmaljig ist.
Die Antwort auf diese Frage gibt uns die Diskussion der Feldgleichungeii
der allgemeinen Relativitatstheorie 36) sowie die der unitaren Theorie von
Eins tein3'), aus welcher folgt, daR die singularitatenfreie statische Losung
der Feldgleichungen nicht existiert, die das Feld eines Teilchens mit von Null
verschiedener Ruhmasse beschreiben wiirde. Die Bestrebung, solche Losung
zu finden, war der eine von Griinden, der B o n n o r zur Entwicklung seiner
unitaren Theorie fiihrt,e38). Eine singularitatenfreie Losung seiner Peldgleichiingen ist aber auch noch nicht bekannt.
Die vorliegende unitare Theorie ist keine reine Pelrltheorie, denn wir
betrachten, im Gegensatz zu S ~ h r O d j n g e r 3 ~die
) , Teilchen fiir die Quellen
des unitaren Feldes. Diese sind mit Clem Feld untrennbar verlrunden ixnd
werden in ihrer Bewegung durch das Peld gegenseitig beeinflufit.
35)
W. H e i s e n b c r g , Naturwiss. 45, 227 (1958).
A. E i n s t e i n , Revista (Universidad Kacional da Tucuinan) A 'I. 11 (1941).
A. E i n s t e i n u. W. P a u l i , Ann. Math. 44, 131 (1943).
37) A. P a p a p e t r o u , Physic. Rev. 73, 1106 (1948); R. C . S t r a n s , R c v . mod. Physics
21, 414 (1949).
38) Nach der Korrespondenz des lTerfasNersinit Prof. 13onnor.
39) Siehe FuOnote 21, S. 99.
36)
76
Annalcn der Physik. 7 . Folge. Band 5. 2959
Bei der Rntwicklung tinserer Theorie werden wir aber stets von der Feldwirkung ausgehen und dieser die Teilchenwirkung anpassen *O). Dieser logische
Widerspruch ist aber nur scheinbar und wird beseitigt, wenn wir bedenken,
daB wir die Eigenschafteri der Teilchen indirekt, d. h. durch die Gesetze
ihrer Bewegung erkennen. Und da die Bewegung durch das Feld beeinflurjt
wird, so haben wir beim heutigen Stand des Erlrenntnisses bessere Informa tionen vom Feld als von den Teilchen. Deshalb werden wir zuerst die Wahl
der Feldwirkung diskutieren, wir halten aber das Feld Iiicht fur das erste
Sgens, sondern als die Folge und den Nachweis der objektiven 'Existenz
der Teilchen.
Die nach diesen Gruncllagen aufgebaute unitare Theorie kiinnen wir rnit
einer der folgenden drei Methoden bearbeiten :
I. Wir rechnen nur mit den Feldgleichungen fur die leere Raum-Zeit. Die
Teilrhen xerden als Singularitaten im Feld dargestellt . Den physikalischen
Sinn der Integrationskonstanten, die die Eigenschaften der Teilchen ausdrucken, stellen wir durrh den Vergleich mit den Theorien von N e w t o n
und Maxwell fest. Die Teilchenwirkung kommt in die Theorie nicht explizite hinein.
2. Die Feldgleichungen fur die leere Raum-Zeit erganzen wir rnit den
weiteren aus dem Variationsprinzip abgeleiteten Gleichungen, die auf Qrund
der geeignet gewahlten Teilchenwirkung den phpsikalischen Sinn und numerischen Wert der Integrationskonstanten bestimmen. Diese Methode wurde
in der Arbeit I und IV erijrtert.
3. Die Teilchenwirkung und die aus ihr abgeleitete Energie-Impuls-Tensortlichte und elektrische Stromvektordichte des Teilchens setzen wir proportional der modifizierten D i r a cschen Delta-Funktion voraus. Diese Methode
hat I n f e l d in die Relativitatstheorie eingefuhrt, da sie die Ableitung der
Bewegungsgleichungen auBerordentlich vereinfacht. AUS demselben Gruud
werden wir unten diese Methode auch auf die vorliegende unitare Theorie
ausdehnen. Wir bemerken dabei, darj sie in voller Ubereinstimmung rnit den
Uberlegungen der Arbeiten I und I V steht, denn es ist nur entscheidend, ob
die Delta-Funktion, die sich im Gebiet befindet, von dem wir keine genauen
Kenntnisse bisher haben, denselben FluB bildet, welchen die Methode 2
angibt.
Die Postulate der unitaren Theorie
Infolge der Nichtsymmetrie des Fundamentaltensors und der Koeffizienten der affinen Konnexion gestattet das Postulat der allgemeinen Kovarianz eine bedeutend breitere Wahl des Hamiltonians, als es der Fall in der
allgemeinen Relativitatstheorie war. E i n s t e i n hat diese Wahl mit drei
Postulaten eingeengtXg),die wir hier der Vollstandigkeit halber zusammenstellen *).
40) Vergleiche auch dus Verfahren r u n PuckSETF9,375 (1939); A . P a p a p e t r o u ,
I'roc. physic. Soc. (London) A 62,57, 302 (1951) und Hu, Proc. Roy. Irish Acad. A 51,
87 (1951).
*) A n m e r k u n g b e i d e r K o r r e k t u r : Das Problemder Postulate der unitaren
l'lieorie und die Frage uber die Anzahl der in dieser Theorie zu emcheinenden Naturlionstanten wrrden in einer weiteren Brbeit des Verfassers nochmals erortert.
J . PochrLLr: Unitarc Feldthcoi i e doi Sehzcere und Elelirbitat
1 . Die kovarianteii Komporienteii des Fundamentaltensors y,,
den kontravarianten Konipoiienten y p Y nach cler Gleirhung
cc
( 4
sind rnit
ga,u P”= n:‘
(1)
verbuiiden. die ungelndert a m der allgemeinen Relativitatstlieorie uberiiommen wurdc. -411sGI. ( L ) folgt
g”’
c/@O
2
IXe koiitravariaute ‘rensordichte
g / l 7’
ist danii mit der Beziehuiig
‘3”” = c/I 1 Y ]‘-detg,n
/
(3)
gegeben .
2. Uas T’ariationspriiizip und die aus ihm abgeleiteten Feldgleicliungen
sincl invariant mit Rucksicht auf die &-Transformation, die ziim gegebenen
nach der Gleichung
Feld I$ tlas neue Felt1
r:,
p*= riY4-2 syLL,
(4)
py
zuovdriet, uobei L, ein beliebiges Vektorfeld istgl). Wir Wihleii die Koeffizienten 1 5 , so, dalS die Variation nach diesen zur Beziehiing
c/L,l
F
- I.;&
gat‘ --
r:v
g,1,
=0
(5)
fithrt, die eirie naturlichr Verallgemeinerung tler in tier Relativitatstheorie
(6)
ist .
3 . Slle Gleichinigeii sollen invariant mit Itiicksicht auf clie Transposi(= y Y J l )
tionen sein, d. h. die Gleichungen bleiben giiltig. wenn wir g,, mit ipy
und I’Ev mit piy(=E P:,) vertauschen. Dies druckt die Tatsache aus, dal3 die
Theorie indifferent gegeniiber dem Vorzeichen der elektrischen Ladung ist .
Zu tliesen drei Postulaten ron E i n s t e i n hat der Verfasser in der Arbeit
VI tlas vierte beigefiigt :
4. Die Gleichungeii der unitiireii Theorie sollen im starken Gravitationrttnd schwachen elektromagnetischen Feld in die Gleichiingen der allgemeiiieii
Relativitatstheorie von E i n s t e i n -Ma x well iibergeheii.
Dieses Postulat stellt zugleich eine hochst wirhtige Hilfe bei der physikalischeri Interpretation der Theorie dar.
Die Wahl des Hnmiltonians
I n tler Arbeit I1 hat der Verfasser die Griinde aiigegeben, die ihn veranIaBten. deli von E i 11st e i n entworfenen Hamiltonian durch den folgendeii ZLI
ersetzen :
4l)
Feld
Das Vektorfeld LY ist mit dem i n den vorangchdcn Arbeiten verwendetcn
dcr Glcichung Lv --- 1c Tv verbuIiden.
rvnach
78
dunaleti
deT
Physik. 7 . Folge. Band 5. 1959
Es bedeutet hier R,, den verjiingten R i e m a n n - C h r i s t o f f e l s c h e n Kriinimungstensor, der durch die Formel
RP ”
- - ~ ~ ~ , ~ ~ ri2r;”
r ~ ~ , ~(8)- r ~
7%
-
bestimmt ist. Der Strich bezeichnet hier, wie ublich, die partielle sbleitung.
Der Tensor @,,, wird durch die Rotation des Vektors L, pebildet“)
@I,,,
L ,p - Lp,Y .
(‘3)
Weiter bezeichnet g p v den symmetrischen und gp ,, den schiefsymmetrischeii
Teil des Fundamentdtensors :
v
1
__ = y
Ypu
(SPY
YPU
== 2 (SPV
1
v
+
(10)
L7”,l),
(11)
- Sv,).
A ist die bekannte reelle kosmologische Konstante urid d eine weitere reelle
Naturkonstante43).
Die vom Hamiltonian (7) abgeleitete Theorie cnthalt als Spezialfalle die
Theorie von E i n s t e i n ( A = d-2 = 0), die von S c h r o d i n g e r (A
0, d-2 = 0)
und die von B o n n o r (A = 0, d P = - p 2
0).
Die Moglichkeit einer anderen Wahl des Hamiltonians x urde von Mme
T o n n e l a t und von Mme W i n ~ g r a d s k i diskutiert.
~~)
Es folgt aus diesen
Diskussionen, daB die Hamiltonians, soweit sie der Bedingung (5) geniigen,
verwickelter sind und zuletzt doch zu den Feldgleichungen von E i n s t e i n
f iihren.
Vergleichen wir nun den Hamiltonian (7) mit dem in der leeren Raum-Zeit
geltenden Hamiltonian der allgemeinen Relativitatstheorie von E i n s t e i n Maxwell
$ = ~ ~ ” ( R P v1- - , A g p V ) +
(12)
+
=+
wo g,, und R,, symmetrische Tensoren sind und EWY
den schiefsymmetrischen
Tensor des elektromagnetischen Feldes bezeichnet, so stellen wir fest, daB
beide erwahnten Hamiltonians sehr ahnlich aufgebaut sind, falls wir g,,,
mit E,, identifizieren. Infolgedessen haben die aus dem Hamiltonian
abgeleiteten Feldgleichungen die von der Relativitatstheorie vorhergesagte
Form. Fur d = 0 werden die Feldgleichungen beider Theorien identisch.
Wir bemerken noch, daB alle Glieder in GI. (7) dem Produkt tler Skalardichte V-detg,@ und der Spur je eines Tensors gleich sind, wahrentl in
det gag gebildet werden, die
Gl. (12) die Invarianten mit der Skalardichte
im ersten Glied mit der Spur eines Tensors, im zweiten mit einer Konstante
(denn p vg,, = 4) und im dritten mit dem Quadrat der LInge eines Tensors
multipliziert ist, was analytisch ganz sinnlos i ~ t ~ ~ ) .
(6
1/-
42) Das Tensorfeld DPV
ist niit B’!Lvnus den vorangehenden Arbeitm nach der Gleichung
P P V= x F,, verbunden.
43) Die Konstante d ist init der in vorangehendcn Arbeiten verwendctcn Konstante x
== - x > 0 verbunden.
nnch der Gleichung
44) Siehe Fullnote 23, S. 20, 28ff., 129 und S. 31, Note (2), S. 33.
45) Siehe FuBnote 17, S. 284.
79
J . Paelinel: Utiituro Feldlheoi ie der Schwere und Eleklrisitnt
Bei dcr Entwicklung der unitaren Theorie werden wir das kosmologische
W e d beriicksichtigeii , um die groI3te Allgemeinheit zu erreichen. Der Verfasser
yibt aber lieine physilralischen Griinde weder zugunsten noch gegen dieses Glied
a11 nnd iiberIaI3t cfiese Frage eiiier weiteren Untersuchung.
Die Feldgleichungen
Die Variation der Feldwirknng
Wir nehmen
ail.
dnR die Feldwirkung TVl durch den dusdri~ck
l v l = 1 61
nJ'&dT
(13)
gegeben ist, in den uir tien Hamiltonian (7) einsetzen. Da ~ 1 1 ~ 1 dieser
11
Arbeit
niit der der modifizierten Delta-Punktion proportionalen Teilchenu irliurig
im Gegeiisatz zur Arbeit I ,
rechnen weiden, so wird die Integration in G1. (H),
iiber die gesamte Raum-Zeit des betrachtetcii Gehietes durchgefiihrt. Urn
(lie Ubereinstimmung mit der Relativitatstheorie zu erreichen. haben wir dcii
Koeffizient 1/16TZ statt ties friiheren 118 7c vor tlas Integral gestellt.
Wahleii wir fiir unabhangig Veranderliche f7;s,,gkbU nntl L,,,
so fintlen a i r
tiacli der durchgefuhrten T'ariatioii den Ausclruck
1- - J { ~ / ~ , , d ~ ~[(!f'';t
" - t - -T
gpv+
v:,!f')-
s"rl
F(i
= l(jn
,
,
Y
( 1 4)
- ~ ~ ( ~ ~ ' ~ ; v 8~~ , j d-a , ~ r ~ ~ ~ ~
v
obei wir bei der partiellen Integration tlen in der Arbeit I beriicksichtigten
Anteil iiber die Begrenzung aller Teilchen jetzt vernachlassigt haben, da wir
rnit der Delta-Funktion rechnen. Der Strichpunkt bezeichnet die liovariante
Ahleitung nach der nichtsymmetrischrii affinen Konnexion :'I ,,. Die Tensortlirhte %, ist durch die Definitionsgleichimg
M
X f l v = Tit,,]/-det
/
R,,,. -
:
I
\
1
2
g,p =
K gjLL- -2 @,(
,,
-+ di g,,,, -t
,-
-
1 --kt
( 1*-))
gfip
(T'~~~~)
gegeberi, wo
R
= Rapgab,
(16)
@ = @%p g a p ,
(17)
(:,,, = r Z ~ l ~ , ~ - d ~ ' ( ~ ~ - ~+ ~~1g~$ lg~: p~ pg/LI'
~ l-I~J
, , ~ .
(18)
Die Variation (lor Teilehenwirkung
'Ilrir nehnien an, cia13 die gesamte Teilchenwirkung lV2 (lurch die Summe
tler Wirkuiigeii der einzelnen Teilcheii gegeben ist :
Tt',
=
c
wit).
k
(19)
Die Variation \\ ird nach dem F~uitlamentalteiisor gAbuuncl nach Clem Vektor
L,,durchgefiihrt :
Hier integrieren wir n-ieder iiber die gesamte Raum-Zeit des betrachteteii
Gebietes. Voii der Teiisordichte 2:; und von der Vektordichte # k ) p setzen
mir nur das voraus, daf3 sie proportional der modifizierten Delta-Funktion46)
sind, ihre explizite funktionale Abhiingiglreit ist aber durch die Feldgleichungeii
bestimmt .
Nach dem Postulat 4 sol1 der Ausdruclr (20) in der Maxwellschen %herung, womit wir den Fall eines starken Gravitations- und schwachen elektromagnetischen Feldes benannt haben, in die aus der allgemeinen Relativitatstheorie bekannte Form iibergehen. Falls alle Teilchen einfache Pole sind,
gilt
SJV,
z
2 [(L2 ; :s+
k
8g,” + C
p E J
6AP ) d t.
(21)
*
W e T u l c z y jewai) nachgewiesen hat, ist die Tensordichte in der Relativitatstheorie durch die Beziehixng
&(k) - &(k)YS h
( b ) .(k)/ .(k)8
(22)
y , h h V =: WL 8
* 8
h,, hav r$@)
p v gegeben, wobei m(k) die Masse des k-ten Teilchens, 8 ( k ) seine modifizierte
Delta-Funktion und $k) seine Koordinaten sind4*). Der Punlrt bezeichnet
die Ableitung nach x4:
Im zweiten Glied auf der rechten Seite der G1. (21) bezeichnen A , die
Komponenten des vierdimensionalen Potentials des elektromagnetischen
Feldes und $ f k ) f l die elektrische Stromdichte, die das k-te Teilchen hervorruft. Dafiir gilt der Ausdruck
in dem qhk) die (invariante) elektrische Ladung des k-ten Teilchens ist.
Vergleichen wir G1. (21) mit (20), so stellen wir nach dem Postulat 4 fest,
daB das Vektorfeld L, der unitiiren Theorie proportional dem vierdimensionalen Potential des elektromagnetischen Feldes A,, sein muBa9)
LAC
= no A , .
Dann mul3 die Vektordichte
dichte ,@p sein:
$(k)fi
$(k)tc
46)
47)
48)
(24)
aber proportional der elektrischen Strom=
a,
p,.
(25)
L. Infeld u. J. PlebiLliski, Bull. Acad. Polon. Sci. 4, 687 (1956); 5 , 51 (1957).
W. Tulczyjew, Bull.Acad. Polon. Sci. 5, 279 (1957).
Da wir die Koordinaten in der Raum-Zeit mit xn ( a = 1, 2, 3, 4) bezeichnen,
sollten wir auch die Koordinaten des Tcilchens mit tkk)bezeichnen. Urn hervorzuheben,
daI3
a kontravariante Komponenten eines Vektors sind, schreiben wir in ifbereinstimmung mit den Arbeiten yon Infeld $k)a - siehe auch FuSnote 21, S. 7.
4s) Die Konstante a, ist mit der in den vorangchenden Arbeiten rcrwendeten Konstante a nach der Gleichung a, = x a vcrbunden.
i(k)
81
J . Prrcher: Unitarc Feldtheoric der Schwere und Elektrizitut
Die Voraussetzung, da13 die Teilchenwjrkung in der unitaren Theorie auch
vom Feld hpabhangt, gibt uns in Verbindung mit dem Postulat 4 eine wertvolle R,ichtlinie zur Identifizierung der geometrischen Felder der unitairen
Theorie. Die Gleichungen (24) und (25) sind das erste klare Zeugnis gegen
die physikalische Interpretation der Theorie, wie sie H l a v a t y Z 8 )29) und
BonnorZ7)32) durchgefiihrt haben.
Die Ableitung der Feldgleiehungen
Das Variationsprinzip der stationaren Wirkung behauptet, daS
sw,+ dW,
= 0.
Nach Einsetzen der Gln. (14) und (21) haben wir
1
16 x
/{[(,y;.
-2
+~Zrza
9 yps)-il:(opp;fl
4 ~ ~
k);
+ (- 4 gc + 16
~
~
v
+ ix,. + 8
sr;,-+
-
#
,v
dg{lv
v
+P)d ~ , )az
= 0.
Da wir bei der Variation die Piv, g” und Lp fur unabhangig Veranderliche
halten, kann die vorangeliende Gleichung erfiillt werden, wenn es gilt
(
glrv;E -
2 I%v
g/Lv
+ 2 r:,gpa) - s: (opfl
;p -2
v
ri0gp)= 0,
(2(;)
Y
. (k)
XILv= - 8 nyV Z,,,
(27)
k
!J~,.=4n,xY iL(k)/t.
\
7
(28)
k
.Dic Folge der Gln. (26) und (28) ist
c0= 0.
(29)
v
Fiihren wir die kovariante Ableitung in Gl. (26) durch und gehen von der
kontravarianten Tensordichte zum kovarianten Tensor unter Beriicksichtigung
der GI. (29) uber, so kommen wir zur Beziehung (5). Sic stellt uns das
System von 64 algebraischen Gleichungen fur die Tjnbekannten Ti..H l a v a t f
und S&enzso)haben nachgewiesen, daB es eine eindeutige Losung hat, wenn
oder
det spy
- =-t= 0, det g,, =t= 0,
det g,,__
+ 0,
falls det g,,v =# 0, (30a)
(det gidv - 2 det gfly)
det g P v
-
+0
falls tfet gpv = 0. (30b)
v
Die Umformung der Gleichung (27)
Auf die linke Seite der Gl. (27) setzen wir a m der Definitionsgleichurig (15)
ein und gehen zugleich von der Tensordichte zum Tensorfeld iiber
1
..( k )
%v
-H R q,v - 2 Q p V
@ g,,
G,, = - 8 n 2 T, .
(27a)
+
+
k
Durch Verjiingung erhalten wir
-R
-k 2 @ +- C: = - 8 nyV TCk),
k
5O)
V. H l a v a t y
11. A.
W. SBenz, J . Rat. Mech. Bnnl. 2, 523 (1953).
Ann. Physik. 7 . Folge, Bd. 5
6
a2
Annalen der Physik. 7. Folge. Band 5. 1.959
mobei
(31)
G = Gap gab,
- gap.
- Tap
-
-1w)
1
(k)
(32)
Nach Einsetzen in G1. (27a) haben wir
niit
H PV - GPV
2 G gblv.
(33)
G1. (27b) kann in ihren symmetrischen und schiefsyminetrischen Teil aufgeteilt werden
2
( ?'f,!k
- $- H? = - 8 z
RcCv
-
?'@) 9,")
-- ,
(34)
(35)
Bus G1. (35) folgt, daB in der leeren Raum-Zeit gilt
Rpv
= 2 @pvv
+
(36)
In Analogie mit der Maxwellschen Theorie dehnen wir die Gultigkeit
dieser Gleichung auf die gesamte Raum-Zeit aus. Infolgeclessen miissen die
schiefsymmetrischen Komponenten Tfi die Beziehung
Y
erfullen. Die G1. (36) halten wir fur die Definitionsgleichung des Tcnsorfeldes GPv.
Durch Verjiingung in Gl. (36) bestimmen wir den mit Gl. (17) definierteii
Skalar Q
%J g??
H,p $9 = 2 @.
v
+
Diesen Ausdruck setzen wir in G1. (27a) ein. Nach Umformung haben wir
1
1
Rfiu--g R , p g a _ B g p Y - 2 ~ C v +v~ H ( X ~ g ~ ~ ~ , t-+ G
8 , 0~ = 5?'f,?.( 2 7 ~ )
k
Nach Verjiingung von G1. (33) ergibt sich
H
= -G,
(38)
wobei
H
= H,p gab.
Statt G1. (33) konnen wir daher auch schreiben
(39)
83
J . Pachner: Uniture Feldtheorit! der Sclswsre und Elektrizilat
Die Subtraktion der Gl. (27d) von (27b) gibt ixns
Bei der letzten Umformung spalten wir G1. (27d) in den symmetrischen
iind schiefsymmetrischen Teil :
Substituieren wir die Heziehung (41) in G1. (43), erhalten wir wieder
GI. (35). Da das Feld
stets mit der Definitionsgleichung (36) bestimmt
ist, verschwindet die linke Seite Ton (35) identisch. Ebenso verschwindet
durch GI. (37) geidentisch auch die rechte Seite von ( 3 5 ) , da der Tensor 9:;;
geben ist.
Nach dieser Umformung sind 16 Gleichungen (27) duvch 10 Gleichungen ( 3 3 )
und durch 6 Gleichungen (36) ersetzt, die weder den Skalar @ noch @(k) enthalten. In der leeren Raum-Zeit haben die Gleichungen (42) die besonders einfache Form
R I CY
Hfl,
- = 0,
(44)
Y
+
wie sie in der Arbeit I1 abgeleitet wurden.
Der schiefsymmetrische Tensor @@, wird zugleich durch die Rotation des
Vektorfeldes nach GI. (9) gebildet. Durch zyklische Divergenz von @”, entsteht der vollstandig schiefsymmetrisrhe Tensor dritter Stufe aP :
@p v e
= @[pv.
01
@It,,
e
+
@ve, p
+
(4,i)
@Qp, v *
I h s Verschwinden von @, , ist die Jntegrabilitatsbedingung f i i r das Gleichungssystem (9). Daraus folgeri 4 Peidgieichungen
iH[$,QI
= 0,
(46)
in deiien R [ f l vel, und H C , el
~ ~die
, zyklisckieri Divergenzen von Rflvund H,,v
bezeichnen, die ebenso wie die @ L f l v , Q ]
in GI. (45) definiert sind.
I n den vorangehenden Gleichungen kommt das Tensorfeld H P y vor. Es
jst mit dem Feld G,,, nach G1. (33) verbunden. Auf Grund der Gleichungen
(33), (31) und ( 3 8) berechncri wjr die symmetrischen und schiefsymmetrischen
Komponenten H,,,
H,Lv:
3 h y l
v
v
v
v
~ i l ~ _ . - - a g f l ~ - ~ d - z ( ~ ~ ~ g , , , p g1a v - - p g r r _ P g ~ ~ ~ ~ ) ,
(47)
v
q y = - - ~ 9 ~ v - d - 2 [ g B ( g ~ p g ~$ -vg -, s 9 a-v ) - - 91g a S g ~ g ~ u - g ~ ] -
(48)
Aus G1. (47) bestimmen wir den Skalar H,,- g e :
H,,- gm
(g - a d P ( g : r :
= -;
i
ga0$I
v
-T1 $9g$ 5“a)>
(49)
(i*
81
A n n a b n der Physilc. 7. Folgs. Band 5. 1959
indem wir in GI. (42) die Beziehung
einsetzen. I n die vorangehenden zwei Gleichungen haben wir die Substitution
c: = 9 y qz
(51)
eingefuhrt.
Die Identitiiten
I n der leeren Raum-Zeit gibt es unter den Feldgleichungen die folgendcu
1
+ 1+ 4-Identitaten.
Die erste I-Identitat gehort zur GI. (28) und lautet
ge,y,p0.
(33)
Sie ist die Folge der Antisymmetrie von g y .
Um die zweite Identitiit in einer einfachen Form zu schreiben, bilden wir
aus dem kovarianten, vollstiindig schiefsyminetrischen Tensor
1
3 ( R [ cel.
die kontravariante Tensordichte
1
W" = i 3 ( % 9
+H [ c
01
1
+ H,yy,J)
(53)
@"QO,
in der & M V e " eine kontravariante, vollstiindig schiefsymmetrische Tensordichte
mit den Komponenten
1,0 ist. Die Divergenz von 'illu verschwindet dann
identisch
W",, r o .
(64)
was die zweite 1-Identitat ist.
Die letzten 4 Identitiiten folgen mit Hilfe der Methode von Weyl direkt
aus der Variation von Wl. I n der voii SchrOdingers1) abgeleiteten Form
lauten sie
1
(%Me 9'"
2
+ XE"
q"P),y
1
4-y zpu
g"",
E
(56)
= 0.
I n einer anderen Bezeichnungsweise wurden sie auch voii Bo ~
L i c h n e r o w i c z 63) gefunden.
e 5 und
~ )
voii
Die Hompatibilitat und Vollstandigkeit der Feldgleichungen
Die Feldgleichungen der vorliegenden Theorie sind die Gln. (5), ( 4 3 , (3G)
und (28). Ihre Kompatibilitiit wird dadurch gewahrleistet,, dal3 sie von einem
kovarianten Variationsprinzip abgeleitet sind.
E. Schrodinger, Proc. Roy. Irish Acad. A 52, 1 (1948).
S. N. Bose, C. R. Acad. Sci. (Paris) 236,1333 (1963).
sa) A. Lichnerowicz, C. R. Acad. Sci. (Paris) 236, 1383 (1953). Siehe auch FuUnote 14, S. 270ff.
5l)
5 9
.I. Pachiiei: Unitare FeldtLtor ie der Schwele und Bkktrizitat
85
Wir nehmen nun an, da13 eine der Bedingurigen (30a, b) fur die eindeutige
Losung der G1. (5) erfiillt ist. Wenn wir dann dieses System von 64 algehraischen Gleichuiigeii gelost iind die gefundenen Werte von Piuals Funktionen des Fundamentaltensors gPV in den verjungten R i e m a n n - C h r i s toffelschen Krummungstensor Ruv eingesetzt haben, so stellen uns 10
Gleichungen (42), 4 Gleichungen (36) und 4 Gleichungen (28) insgesamt 18
Feldgleichungen fur 16 Komponenten des Fundamentaltensors g,, dar. Da
uiiter ihnen 1 Identitat (52), 1 Identitat (64) und 4 Identitaten (55), also
insgesamt 6 Identitaten existieren, so bleiben nur 1 2 Feldgleichungen unabhiingig, d. h. um 4 Gleichungen weniger, als die Anzahl der unbelrannten
Funktionen ist, was genau dem Postulat der allgemeirien Kovarianz tler Feldgleichungen entspricht.
Die Feldglcichnngen in tler Maxwellsclcn Niiherung
I n cler uriitaren Theorie gibt es keiii anderes Feld als das unitare. Es ist
sinnlos, hier von einem Gravitations- und einem elektromagnetischm Anteil
mi sprechen, da beide durcheinander so durchdringen, dal3 es unmoglich ist,
sie klar zu separieren. Darum ist die pliysikalische Interpretation der unitlireii
Theorie so schwierig.
Erst dann, weiiii wir in der vorliegenderi Theorie alle quadratischen urid
hoheren Glieder in gPu (mit der einzigen Ausnahme der quadratischen Glieder
in ge, die mit der - sicher sehr grofien - Naturkonstante d-2 multipliziert
sind) vernachlassigcn, nehmen die Feldgleichungeii die Form ein, die uiis
eine Hare Richtlinie zur physikalischen Interpretation der Theorie gibt.
Diese Ntiherung habeii wir als die Maxwellsche benannt, da die Feldgleichungen fur g,, die lineare Form des Maxwellschen Feldes haben.
v
Zixerst zerlegen wir den Fundamentaltensor gP, in den symmetrischen und
schiefsymmetrischeii Teil
Y
- = ILCcY,
Y P Y
(Iy= k,,
.
(56)
Es w u d e in der Arbeit VI gezeigt, tlalJ in der Maxwellschen Naherung gilt
-
(I/””
h/‘”, g c = k / t V -k,,
J L ~ PhD”,
gu = k ~ v l / - d e t h , ~ ,
(57)
wobei
Durch deiiselben Rechnungsgang wie in cler Arbeit V I stellen wir fest,
(la13 die Feldgleichungen (42), (36) nnd (28) in cler Maxmellschen Naherung
in die folgende Form ubergehen:
86
Annalen der Ph?jsik. 7 . Polge. Band 6. 1969
wobei hier
(By-z
1 He he0 hh,"- ilhpv)= 2 i k 2 ( - - kap k+p ha, +-Ices
1
4
@pv
= d-'
1
2
rE,v
kpv
+
1
ha' k ~ apl:p
,
+
1
ha'
k p
k f i v : a :p 7
hfiv , (62)
)
(63)
denn in dieser Niiherung gilt
7-e
- de
3u - u -
(64)
Wir bezeichnen dabei mit Ppv den symmetrischen verjungten R i e m a n n Christoffelschen Kriimmungstensor, der nach GI. (8) statt mit Tiv jetzt
rnit den Christoffelschen Symboleii (E,) gebildet wird. Der Doppelpunkt
bedeutet die Riemannsche kovariante Ableitung (nach { E v } ) . I n der leeren
Raum-Zeit nehmen die Feldgleichungen (59), (60) und (61) die in der Arbeit VI
abgeleitete Form an.
Die entsprechenden Feldgleichungen der allgemeinen Relativitiitstheorie
von E i n s t e i n - M a x w e l l lauten in unserer Bezeichnungsweise
1
+ ilhpv)+ 8z V,,
( P p v-5 PeGheu hpy
= - 8 TC 2
E[pv.el
= 0,
_
_
~
det hap),
, = 4rc 2
k ,$k)@,
1/-
(65)
(66)
~
(Epv
!?jfA,
I ; -
(67)
wobei der Energie-Impuls-Tensor des elektromagnetischen Feldes durch die
bekannte Beziehung
V,,,=
1
47G
--
(-Ears Epp ha,
+ 1 Eaa Eap h!tv)
(68)
gegeben ist.
Wir sehen nun, do13 GI. (59) in der unitaren Theorie von E i n s t e i n Kchrodinger, in der
( H f i V - -1H
he'hp,--Agpv)=
0
- 2 e Q
ist, das reine Gravitationsfeld (ohne bzw. mit kosmologischem Glied) beschreibt.
I n der vorliegenden Theorie werden die Gleichungen (59) und (61) identisch mit (65) und (67), wenn wir setzen
EPV = k f i v d-1,
%(k)p
= $Udp d-1,
(89)
so daB die Konstante uo in Gln. (24,) (25) den Wert
uo = d-1
(70)
haben muB. Wir halten daher Gln. (61) und (60) fur den ersten bzw. zweiten
Quadrupel der Maxwellschen Gleichungen. Wahrend der erste genau dieselbe Form hat, wie in der Maxwellschen Theorie, haben wir statt des zweiten
in der Maxwellschen Niiherung
1
1
1
apV
d = Epv-Ihap E p v L a
-5
: ~ -A E,,,,), (71)
(7hap E [ n yp ,~ : p
+
J . Pachner: Unitare Feldtheorie der Sehwere und Elektrizitut
87
cl. h. der Tensor E,,, ist nicht genau gleich der Rotation eines Vektorfeldes,
sondern es existieren hier noch gewisse Zusatzglieder, von denen wir voraussetzen miissen, dall sie infolge der Naturkonstante d2 stets einen kleinen
Wert haben. Es ist aber moglich, ein solches lokales geodstisches Sysbem
von Koordinaten zu wahlen, in dem alle 1 6 Komponenten
verschwinden54), so dalj
hmfik y C : R=
: ~h”P kAc,,,,p.
Die Feldgleichung (GO) wjrd dann durch
b,
el = 0
(72)
rrsetzt, denn das Tensorfeld k,,,, , das die Feltlgleichungen (til) und (72) erfiillt,
geniigt auch der Gleichung
h ” P kPV,&J= 0.
(73)
Es gibt nun in dieseni Koordinatensystem keinen Unterschied mehr zwischen
der Maxwellschen Naherung iiiid der allgemrinen Relativitiitstheorie von
Einstein-Maxwell
Die phpsikalisohe Interpretation cler vorliegendcn Tlieorie
Die physikalischr Interpretation der rorliegenden Theorie jst nun klar
geworden :
Wir identifizieren die symmetrischen Komponenten des Fundamentaltensors mit den Gravitationspotentialen. Sie bestimmen zugleich die Metrilc
des Raum-Zcit-Kontinuums. Infolgedessen fuhren wir die kontravarianten
Komponenten aller Tensoren und Tensordichten auf die kovarianten und die
kovarianten auf die kontravarianten mit Hilfe der Tensoren hPv bzw. h,”
iiber, die durch die Gln. (66) und (58) definiert sind. Einzige Ausnahme bildet
der Fundamentaltensor selbst, dessen kontravariante Komponenten rnit
GI. (2) bzw. (3) gegeben sind.
Die schiefsymmet>rischen Komponenten des Fundamentaltensors identifizieren wir nach GI. (69) mit dem elektromagnetischen Feld, und zwar g,,
rnit den IntensitatsgroDen (B,E ) und 9”’ mit den Quantitlitsgrol3en ( H , Dy.
Die paradoxe Tatsache, daB die synimetrischen Komponenten des Fundamentaltensors den Potentialen uiid die schiefsymmetrischen den Intensitaten
proportional sind, hat schon Bonnor2’) geklart, indem er gezeigt hat, daB
die g,, und die ersten Ableitungen von gLcvin den Bewegungsgleichungen als
verallgemeinerte Kraftkomponenten ersc1Ginen.
Es entsteht nun die Frage, wie g,, und g, (m, n = 1, 2, 3) zu interpre-.,
v
tieren sind. Der Verfasser hat stets gmn mit dem magnetischen und gm4mit dem
elektrischen Feld identifiziert. DageGn haben Einstein55),Infeld%), C a l l a way”) und Bonnor2’) die umgekehrteInterpretation angenommen. Fur unsere
Interpretation spricht nicht nur der Vergleich mit der Relativitatstheorie von
v
54)
j5)
Siehe FuBnote 17, S . 262.
Siehe FuSnote 16, S. 147.
88
Annalen der Physik. 7 . Folge. Band 5. 1959
E i n s t e i n - M a x w e l l , sondern auch die Ergebnisse der strengen statischeii
kugelsymmetrischen Losung der Feldgleichungen aus der Arbeit I, nach der
die Bonnorsche Interpretation die hochst unwahrscheinliche Existenz eines
isolierten magnetischen Poles zur Folge hatte. Wir nehmen Rucksicht auch
auf eine Bemerkung von PauliSB),nach der die Intensitat des elektrischen
Feldes im lokalen pseudoeuklidischen Koordinatensystem ein polarer Vektor
und die Intensitat des magnetischen Feldes ein axialer Vektor ist. Wir halten
deshalb unsere Interpretation fur die naturgemaBe Darstellung des elektromagnetischen Feldes, wahrend der Tensor g, in der anderen Interpretation
v
eine kiinstliche Bildung ist.
Die physikalische Interpretation des Verfassers hat weiter zur Folge, da13
die Vektordichte ge fiir die elektrische Stromvektordichte zu halten ist. Da
aber die gt",', in der leeren Raum-Zeit verschwjnden, kann die vorliegende
Theorie nicht, fiir eine reine Feldtheorie im Sinne der fiberlegungen von E i n stein5') betrachtet werden, denn die Feldgleichungen (42) und (28), die die
Entstehung des unitaren Feldes beschreiben, enthalten auf der rechten Seite
als Quellen desselben die Ruhmasse und die elektrische Ladung der Teilchen.
Die Feldgleichungen (46) bestimmen dagegen die inneren GesetzmaBigkeiten
des Feldes.
Den Vektor L, identifizieren u-ir mit dem vierdimensionalen Vektorpotential des elektromagnetischen Feldes A , (s. GI. (25)). Da in GI. (63) noch kleine
Zusatzglieder erscheinen, wjrd das Feld g,, in der Maxwellschen Niiherung
v
nur in einem sehr speziellen lokalen geodatischen Koordinatensyst em genau
durch die Rotation eines Vektorfeldes gebildet.
Die neue Naturkonstante d der vorliegenden Theorie stellt eiiie Kopplungskonstante zwischen dem Gravitations- und dem elektromagnetischen
Anteil des unitiren Feldes dar. Da diese Kopplung sicher sehr lose ist, S O
ist der Wert von d kleir!. Mit sinkendem Wert von d sinkt auch die Bedeutung
der Zusatzglieder in Gln. (63) und (71), bis fiir d + 0 das Tensorfeld q P v
so klein wird, daI3 die vorliegende Theorie in die Maxwellsche NaheruG
und diese weiter in die Relativitatstheorie von E i n s t e i n - M a x w e l l iibergeht.
Wenn wir die von B o n n o r vorgeschlagene Identifizierung von qpv verlassen und die des Verfassers iibernehmen, unterscheidet sich die Theorie von
B o n n o r von der des Verfassers niir durch das kosmologische Glied.
v
Die Erhaltungsstitze
Die mathemetischen Identitaten (62), (54) und (55), die die Anzahl der
unabhingigen Feldgleichungen von 18 auf 1 2 erniedrjgen, stellen in der unitaren Theorie - ebenso wie in der allgemeinen Relativitatstheorie - vom
physikalischen Standpunkt aus die Erhaltungssatze dar.
Der Erhaltungssatz fiir die elektrische Stromdichte
Nach den Gln. (25) und (69) haben wir die Vektordichte -$@)p mit der elekt,rischen Stromdichte des k-ten Teilchens identifiziert. Xach G1. (28) stellt
dann gCv," die gesamte elektrische Stromdichte, die in der leeren Raum-Zeit
5'3)
W. Pauli, Relativitatstheorie, Enzyklopadie der math. Wiss. V, 2. Berlin
1921, S. 631.
57)
Siehe FuSnote 16, S. 166.
89
J . Pachner: Unitare Feldtheorie der Schwere und Elektrizilat
verschwindet. Die Identitat (53) spricht dann deli Erhaltungssatz fur die
elelrtrische Stromdichte aus.
Die Folge der Identitat (52) ist, daI3 auch die Divergenz der rechten Seite
von (28) verschwinden muI3. Da dieser Ausdruck die modifizierte DeltaFunktion enthalt, mu0 die Divergenz der elektrischen Stromdichte fur jedes
Teilchen verschwindeii :
rwp,,, = 0.
(74)
Die Feldgleichungen haben damit diejenigen Bedingungen ergeben, denen
die Vektordichte &k) fl genugen mu8. Vom physikalischen Standpunkt aus
bedeutet die Identitat (74) den Erhaltuiigssatz fiir die elektrische Ladung.
Beide Identitaten gelten in ungeiinderter Form auch in der Maxwellschen
Xiherung.
Der Erhaltuiigssatz fur die magiietisclie Stromdichte
I n Anlehnung an die Maxwellsche Theorie beneiiiieii wir die Vektordichte
\3na die (fiktive) magnetische Stromdichte, die stets gleich Null ist, msdurch
der Ansatz (37) gerechtfertigt wird. Die Identitat (54) stellt uns dann den
Erhaltungssatz fiir die magnetische Stromdichte dar.
Statt G1. ( j 3 ) kiinnen wir iiach G1. (3G) aucli schreiben
(7.5)
Der Ausdruck fur 9X" unterscheidet sich in der Maxwellschen Naherung
von dem, der in der Relativitatstheorie gilt, durch lileine Zusatzglieder, die
nur in einem gewissen lokalen geodiitischen Koordinatensystem oder fur d = 0
verschwinden.
Der Erhaltungssatz fiir Energie und Inipuls
Durch denselben Rechnungsgang wie in der Arbeit I1 iiehmen die vier
Identitaten (55) folgende Form ein :
Rezeichneii wir die kovariante Ableitung iiach der synmetrischen affinen
Koniiexion - mit dem Dreipunkt, so lautet die vorangehende Identitat
-gyli
[Zp&
y
+ [zeg e l :
- (%,,v- oz
+
Y
gz)I
'&
E
0.
(76a)
Nun fuhren wir die gemischte Tensordichte 233; ein, die mit der Beziehung
___ -Wz1/-detg,p=
ZpEgY
(77)
~
%I=
definiert ist. Gewisse Glieder dieser Tensordichte werden durch kovariante
Differentiation proportional der Delta-Funktion, was aus C1. (28) ersiohtlich
: ", der in der leeren Raum-Zeit verist. Diesen Teil der Vektordichte
schwindet, benennen w-ir
,,. Ebenso bezeichnen wir mit
den Teil der
Tensordichte 2,
&,
der auch der Delta-Funktion proportionalvist und daher
v
in der leeren Raum-Zeit verschwindet. Diese Glieder subtrahieren wir von der
Cp&
90
Anualen der Physik. 7 . Folge. Band 5. 1969
Identitat (76a) und haben dann
(rm: :
Y
+ [(2,,- 1 g e l
- [ZHY
- gt‘”11 r&
= 0.
- gz‘ +
- &: j
Y)
E
%l
Y
(%Let,
v
&
v
j
Y
(76b)
v
Es gilt nun infolge der GI. (36)
%v
p
-%BE
Y
= 0,
(78)
und zwar nicht nur in der leeren Raum-Zeit, sonderri auch in den singularen
Punkten, die die Teilchen darstellen. Dadurch ergibt sich die folgende Form
der vier Identitaten
(rm: :
- &:
- %+,
- gv
r:&
= 0.
v
(76c)
In der Maxwellschen Naherung wird die kovariante Ableitung nach Pirj
-
(
mit der Riemannschen nach
{pev])
identisch. Wir haben dann
m::v-&::v= 0.
(79)
I m reinen Gravitationsfeld (d. h. bei Abwesenheit des elektromagnetischen
Feldes) folgt aus (79) weiter
%::v E Z 0 .
(80)
Die Identitaten in der Maxwellschen Naherung haben also dieselbe Form
wie in der allgemeinen Relativitatstheorie,
In Analogie mit der Relativitgtstheorie halten wir die Identitaten (76c)
fiir den Erhaltungssatz fur Energie und Impuls. Die gemischte Tensor1
dichte - 2331 benennen wir die Energie-Impuls-Tensordichte.
In der unitaren
8n
Theorie hat es keinen Sinii, sie in den Gravitations- und elektromagnetischeii
Anteil zu spalten, da beide einander so durchdringen, da13 es unmoglich ist,
sie zu separieren. Erst in der Maxwellschen Naherung wird diese Trennung
moglich. Wenn wir die Benennung beider Anteile aus der Maxwellschen
Naherung, wo sie sinnvoll ist, in die exakte unitare Theorie ubertragen, wo
die Renennung nur formell wird, so haben wir
Der explizite Ausdruck fur die leere Raurn-Zeit folgt aus der linken Seite
tler G1. (42). Dabei stellt uns It: den Gravitationsanteil
und L?-lz den elektromagnetischen Anteil dar
J . Puchner: lj-nitare Feldtheorie der Sc1tzi:rre uiad Elrkirizilat
91
In der Ma xwellschen Naherung nehmen beitle vorangeheiiden Ausdrucke einfarhere Form an :
Vz = 4 n - kE&k""
(
+ -14 k,,
kca@
8:
).
(85)
Formell sind sie ideiitisch mit den entsprecheriden Ausdruckeii der allgemeinen Relativitktstheorie von E i n s t e i n - M a x w e l l . Im speziellen lokaleii
geodiitischen I(oordiiiateiisystem, in dem die Feldgleichung (GO) durch (72)
ersetzt w i d , verschwindet sowohl It:. als auch %:: v 5 8 ) .
$,
Die BeM-egungsglciehi~ngen
Wie bekannt, haben E i n s t e i n iind G r ~ m m e rzum
~ ~ ersteii
)
Male nachgewiesen, dalS in der allgemeinen Relativitatstheorie keine weitere Hypothese
zur Ableitung der Bewegungsgleichungen notig ist, da diese direkt aus den
Feldgleichungen folgen. Diesen Gedanken haben spater E i n s t e i n und
I n f e 1d as) weiter entwickelt.
Obwohl diese Nethode, die I n f e l d Z 4 ) ,Callaway26),BonnorZ7)mid der
Verfasser in der Arbeit V auf die unitsire Theorie iibertragen haben, den grol3en
Vorteil hat, da13 sie iiur die Feldgleichungen fur die leere Raum-Zeit verwendet,
so bevorzugen n i r doch die neue Methode von Inf e l d 2 )6 0 ) . da sie die Ableitung
der Bewegungsgleichungen bedeutend einfacher macht. TVir ubertragen sie
von der allgemeinen Relativitatstheorie jetzt auf die unitare Theorie.
Die Ableitung der Bea egungsgleichungen
Wir gehen von den aus dem kovarianten Variationspriiizip abgeleiteten
IdentitAten (76c) aus. Setzen wir in diese die Ausdrucke (82) und (83) ein.
so erhalten wir vier Identitaten, die in der leereri Raum-Zeit gelten Die
Identitaten (7Gc) miissen aber auch dann erfullt werden, wenii wir fur B:
die rechte Seite von G1. (42) einsetzen. Wir haben dann
(-- 8 z q,
- (k)$5)
iz
E
k
-
f 8 x-2: %;:;gz
4%:
k
-Y
7,
JyEf 0 .
v
Nach der Multiplikation mit (- h W E / 8z)erhalten xir
Nach der Regel voii der Differentiation eines Produktes gilt die folgende
Beziehung fur die kovariante Ableitung der. Teiisordichte hW"2%; :
( h W E a : ) I 1 '
= hw"::.i-hW":.%:
= h"" %:Iv
+ (h*'e.l,+ h""&,",+ hW"QE,,)2Y:,
(87)
Siehe I'uRnotr 17, S. 168 und 276.
A. Einstein u. J. Grommer, 8.-B. Berlin. Akad. 2 (1927).
6 0 ) L. Infeld 11. J . I'lebanski, Bull. Acad. l'olon. Sci. 4, 787 (1956). L. Infeld,
Arta Phys. Polon. 16. 177 (1957). L. J n f e l d , Rev. mod. Physics '19. 389 (1957).
5'3)
59)
92
Annalen der Physik. 7. Folge. Band 5. 1959
wo der Tensor Q:,, durch die FormelG1)
gegeben ist. Da die Riemannsche kovariante Ableitung des Fundamentaltensors gleich Xu11 ist,
h W E Z=
y 0,
SO
nimmt die Gleichung (87) folgende Form pin:
h'""
a:;= (ZP&
g?'
-
h"6) :
7
(67a)
+T&ge).
- - , , g-~ ( h C ' h " " + h " " 7 ~ " ' ) (T'&g$
Es gilt hier aber.
+ h"" pa) gyfi
gvg hmah"" (TLa+ r!,)= 0
Zp6
g?' (hcEhwa
=
- g?'
und weiter
v
v
v
5EPs
g r (h"" h w a
-
v
v
+ h"" hE")r!B,
gab
= S p-s gY h"" h"" (gba
a
p
!v
v
+
v
gpn
v
]'!a)
v
>
v
so dalj wir schlieI3lich haben
h"" 2%:.
= ( ZP&
g?'
+
(w
h"") " - s,,
g?' h"" h"0 (Spa
r,B,
gba
rL).
v
v
v
v
Suf Grund dieser Beziehung fuhren wir die Identitaten (86) in die Form
uber.
AUSdiesen vier partiellen Differeiitialgleichungen bilden wir 4 p gewohnliche Differentialgleichungen ( p ist die Zahl der singuliiren Punkte), indem
wir sie uber das dreidimensionale Gebiet S k - )integrieren, das stets nur einen
singularen Purikt umschliel3t :
r {(k:;
g~
J(T
-
,rk)
+ g y pc
(gs.
v
h"~)
+ kkk2
hw"
-
1
rtv+ gs. r!,)i}+ sn
v
v
rLa
v
(89)
h"'> dx, ax, dx, = 0 .
v
Diese Gleichungen sind die Folge der Feldgleichungen 2). Die kovariante
Form von (89) lautet")
61)
1
'
. H l a r a t f , J. Rat. Mech. Anal. 2, 4-5 (1953)
J . Pachner: Uniture Feldtheorie der Schweie und Elektrizitnt
93
mo bei d d k ) das invariante und endliche Linienelemerit auf der Stelle der
1:-ten Singularitat ist (im Siiine der uberlegungen von I n f e l d und P l e b a 6 (_A)
skiBo),w o es mit ds hezeichriet ist).
Urn die explizite Form der Bewegungsgleichungen anzugeben. mussen wir
zuerst den Ausdrucli fiir $3; ; ,, berechnen.
Die Berechniing des expliziten Aiisdrucks fiir
@I
Fuhren wir die kovariante Ableitung von g y nach der spmmetrischen
affirien Konnexion rf:,,
- durch, so haben wir
ge’. Y = Re,. .
Es gilt dann mit Riicksicht auf Gln. (28) und (69)
,.
g c j y = gc,, == 4 ~ 1 j 2 3 ( k ) @ .
k
(93)
Daraus folgt, daB die die g?,?, I enthaltenden Glieder singular werden.
Urn diese Glieder x u finden, schreiberi wir zuerst den expliziten Ausdruck
fur (: und fiihren dann seine Ableitung durch. Nach der Definitionsgleichixng
151) und den von H l a v a t y abgeleiteten BeziehungenB2)haben wir
(93)
( n4)
den singularen Teil der kovarianten Ableitung, so haben wir nach Gln. (92)
und (91)
1/-det gai) ; = 4 3t d ,V $k)@ 8 3 .
(95)
k
(fz
Am den von H l a v a t f abgeleiteten Beziehungen fur R,,
f 0 l g t 9 , da0
( Rpe
g”
gaJ) i keine singularen Glieder enthalt.
-
1/- cct
62)
63)
V.H l a v a t y , 6.Rat. Mech. Anal. 5, 427 (1956); 3, 110, 106 (1954).
1’. H l a v a t y , J. R a t . Mech. Anal. 3, 120-121 (1954).
94
Annalen der Physik. 7 . Folge. Band 5. 1959
Auf Grund der eben angefiihrten Gleichungen sowie voii (82) und (83)
, den Ausdruck
erhalten wir fur
+ -14 g t ! gag (1 - 21 t:) - 21 f-L 12 Reo
g e .+ I. (1
-
- d2
-
7c:
Y
)]I }
(9(i)
Falls es sich um die Bewegung eines elektrisch geladenen Probeteileheiis
handelt, dann ist das Feld an der Stelle dieses Teilchens dasselbe, als wenii
das Teilchen dort uberhaupt nicht ware (,,the background field" von I n f e l d
und S ~ h i l d ~~
) auch die FuBnoteG0)).Dieses Feld ist hier durch die
siehe
Feldgleichungen fur die leere Raum-Zeit bestimmt, wo nach Gln. (41) und (49)
-
32s gilt dann
Die explizite Form cter Bewegiingsgleichiingen
Die explizite Form der Bewegungsgleichungen erhalten wir, indem wir
zuerst den Ausdruck (96) in (90) einsetzen. Falls alle Teilchen einfache Pole
und $ k ) Q die Ansatze (22) bzw. (23), die wir aus
sind, so benuteen wir fur
der allgemeinen Relativitatzheorie ubernehmen . Die Bewegungsgleichungen
lauten dann
%Lk2
Sie sind 4 p gewohnliche Differentialgleichungen fur die 4 p Unbekannten :
(x4),
64)
m(k)(x4);
c = 1, 2, 3;
k = 1, 2 ,
.. .p.
L. I n f e l d u. A. S c h i l d , Rev. mod. Physics 21, 408 (1949).
(100)
J . Pachner: Ciiiture Feldthrorie der Schuiere uiid Elektrixilut
95
Sie bestimmeii die Ben-egung der p Singularitaten und zugleich die Abhiingigkeit der Masse d k ) voii der Zeit. Sie miissen zusammen mit den Feldglei(*hungengelost werden.
I n der Ma xwel lscheii Ngherung werden die Bewegungsgleichungen bedeutend einfacher :
\Venn wir in der eckigen Klammer das zn-eite Glied gegen das erste verriachIassigen, da die Naturkonstante d2 sicher einen geringen Wert hat, so werden
die Bewegungsgleichungen identisch mit denen, die I n f e l d fiir die allgemeine
Itelativitatstheorie von E i n s t e i n -Maxwell gefunden hatf5),denn der Austlruck
\- d-1 (k) ' m e h"' Q E 0
!lo 6
k
v
ist die kovariaute Divergenz der Tensordichte des elektromagnetischeii Feldes,
(tie I n f e l d mit Eizv,7.
bezeichiiet hat.
Die Bewegung Ton zwei Hiirperii in der niedrigsten Sahernng
Dieses Problem wurde schon in der Arheit Irgelost. Um zu zeigen, wie die
Herechnung der Bewegung voii zwei Korpern voii rergleichbaren Massen
schon in der niedrigsteii Naherung bedeixtend einfacher wird, bestimmen wir
die Beu-egungsgleichungen jetzt- mit der neuen Methode.
Fur den Fundamentaltensor g,, setzen wir wieder die Entwicklungen in
die Potenzreihen (V. 14a-e) nach einem sehr kleinen Parameter B . I n der
,
niedrigsten Naherung, d. h. einschliefilich die Glieder der Ordnung E ~ lauten
die Bewegungsgleichungen (99)
Hier haben wir die kovariante Aldeitung nach der symmetrischeii affinen
Konnexion I-;,,
durch die Riemaiinsche ersetzt, da in der Ordnung
-
uiid haben deli Ausdruck
wegen seiner Kleinheit gegen 1 vernachlassigt .
Die Bewegungsgleichungen (102) losen wir nun zusammen mit den Feldgleichungen. Diese zerfallen in cter niedrigsten Naherung in die Gleichungen
tles Gravitationsfeldes und in die des elektromagnetischen Feldes.
Mit der Berechnung des Gravitationsanteiles werden wir uns nicht befassen, da wir die Ergebnisse atis der -4rbeit von I n f e l d 2 )iibernehmen konnen.
e 5 ) L. Infcld, null. Acad. Polon. Sci. 3,2113 (1955). Siehe auch S. Baiariski, Acta
Phys. Polon. 15. 363 (1956).
96
Annalen der Physik. 7. Folge. Build 5. 1959
Hier findet man in der dritten Approximation
m(k)= mik)= konst., k = 1, 2,
und in der vierten (fur das erste Teilchen, 1: = 1)
wobej p die Entfernung des ersten Teilchens vom zweiten bezeichnet
e =v
( p m - $2'")
- p,")
.
( p " t
(104
Die Feldgleichungen (28), in die wir den Ansatz (23) zusammen mit Gln. (25)
und (70) einsetzen, lauten in der zweiten Approximation
g%,m = 4 j-c d
+ qP) 8cn),
denn nach den Entwicklungen (V. 14a-e) ist in der nullten Approximation
Setzen wir
so geht die vorangehende Differentialgleichung in die bekannte Poissonsche
Gleichung
A p = - 4 j-c d 2 40(71) i)(?l)
iiber, deren partikulares Integral lautet'
y = d z & !r ( n ) '
n
und wir finden
(105)
Dabei ist @) die raumliche Entfernung zwischen dem Punkt mit den Koordinaten x, und dem n-ten Teilchen mit den Koordinaten $n)m
r(n) z
1/ (xm- p")
(x,
- p")
.
(106)
Setzen wir nun G1. (105) in (102) ein, so ergibt sich
Die Bewegungsgleichungen in der niedrigsten Niiherung erhalten wir nach
GI. (102) aus (103) und (107). Sie nehmen die bekannte Form an:
Vergleichen wir diese Berechnung mit der Arbeit V, so stellen wir fest,
wie einfach sie jetzt geworden ist. I n der niedrigsten Niiherung ist uberhaupt
nicht mehr notig, das System von 64 algebraischen Gleichungen (5) zu losen.
97
J . Pwehner: Unitare Feldtheorie der Schwere und Elektrizitit
Die Bcwegungsgleiohiingen eines elektrisoh geladenen Probeteilchenb
$fit der Frage der Ableitung der Bewegungsgleichungen eines elektrisch
geladenen Probeteilchens aus den Feldgleichungen der allgemeinen Relativi tatstheorie hat sich schon E i n s t e i n G f ibefaBt,
)
die exakte Losung haben aber
erst I n f e l d und S ~ h i l d gegeben.
~~)
Die Bewegungsgleichungen eines elektrisch geladenen Probeteilchens
wurden, soweit dem Verfasser bekannt, noch nicht in der unitaren Theoric
abgeleitet. Diese schwierige Aufgabe wird aber bedeutend einfacher, falls wir
dazu die neue Methode verwenden. Die Uberlegungen von I n f e l d und S c h i l d a )
uber das ,,background field" werden iiberfliissig durch die Einfiihrung der
moclifizjerten Delta-Funktion von I n f e l d und P l e b a n ~ k i ~ 6 ) 6 ~ ) .
Um die Bewegungsgleichungen zu bestimmen, integrieren wir in (21. (99)
uber das dreidimensionale, das Probeteilrhen enthaltende Gebiet, wobei wir
clas unitare Feld fur das auBere, gegebene Feld halten und zugleich (97)
beriicksichtigen. Den das Teilchen bemichnenden Index k schreiben wir
iiicht mehr. Wir haben dann
%
as { (rn P PJ(,"I, 4
t m 5,
+ (rn
5y
5" r4, I :8[ha, g y Ca
+
r!,+
h,,
g y (ge v
gk I%)]
v
f d - 1 B o ~ e h " " [ g r ( , ( i l l 1$ 3 g ~ ~ g ~- T a1d 2 ) + g " P g E a g p Q ] )
v
Srtzen
Y
Y
= 0.
Y
mir65)
rn -== na
dXd
(109)
Z '
wobei modie Ruhmasse des Probeteilchens bezeichnet, so geht die vorangehende
Gleichung unter der Annahme, daB im gegebenen unitaren Feld die Beziehung
O
P t = g,,- $9 = il.T ( a )6,B
(110)
gilt, in die folgende Form iiber:
3P
X ( 4 ) d 2 y J + xd~p) df lp( G ) r ; 8 +hy,h"'n [i7L8Egz~:&+K(g~81y
v
+gpr$J1
i - d - ' Z zdEQ
h q g s o ( H + T g 51~ g a B v
v
--A@)
21
'
(111)
I
J
Summationsvorschrift
Fur den Index o( im Symbol N (a)gilt die ubliche
iricht.
I n der Maxwellschen Naherung lauten die Bewegungsgleichungen wie
folgt
1
Yo
(1.12)
mo ds
Sie ergeben sich aus GI. ( l l l ) , indem wir die quadratischen und hijhereii
Glieder i n g,,
v
(und auch die geringe Konstante
vernachlassigen. Sie
haben die bekannte Form der Bewegungsgleichungen eines elektrisch geladenen
Probeteilchensinder allgemeirien Itelativitatstheorie von E i n s t e i n - M a x w e l l .
66)
A. E i n s t e i n , S.-B. Berlin. Akad. 235 (1927).
(1927)
A n n . Physik. 7 . Folge, B d . 5
7
98
Intaulen der l'?ryxik. 7. Folge. Bund S. 1959
Die Integration der Bewegungsgleiohungen eines Yrobeteilcliens im statischon
kugelsymmetrisehen unitiiren Feld
D a s s t a t i s c h e k u g e l s y m m e t r i s c h e u n i t a r e F e l d . Auf Grund der
Gntersuchungen voii Papapetrou6') hahen wir in der Arbeit I fur den
Fundamentaltensor ypv den Ansatz
gemacht und aus den Feldgleichungen fiir die leere Raum-Zeit festgestellt,
daI3
=(1
+f)
.;
,
12
10
=rz
'
wobei WI, und 1 die Integrationslconstanten sind. Weiter haben wir in unserer
Bezeichnungsweise
Die Zrgehnisse der Untersuchung stellen mir in die folgendeii Punkte
zusammen :
1. Fur I = 0 gehen alle Gleichungen der vorliegenden unitaren l'heorie
in die der allgemeinen Relativitatstheorie iiher .
2. Fur r + 00 geheii die Funktionen a , y , w und aI4
aspmptotisch in die
Losung fur die elekt,rische Punktladung in der allgemeinen RelativitLt,stheorie
iiber, wenn wir in ubereinstimmung mit Ghi. (69) setzen
q = d-112
( I 18)
und das Gaul3sche System von Einheitenst'attdes Heavisideschen beiiiitzen,
das E d d i n g t o n verwendebeG*). Das letzte Glied auf der rechten Seite von
(114) enthalt die Konstante d--2 und erscheint weder in der unitaren Theorie
= 0. Die Existenz
yon E i n s t e i n , noch in der von S c h r o d i n g e r , wo
dieses Gliedes in GI. (114) ist ein Erfolg der vorliegenden Theorie.
3. Aus dem Vergleich mit cler allgemeinen R,elativitatst,heorie folgt, dal3
dig Integrationskonstante rn die Masse des das Peld erzeugenden Korpers
ist. Den numerischen Wert von rn konnteii mir bestimmen, indem mir die
Berechnungsmethode von T r a u t m a n 6 * )von der allgemeinen Relativitatstheorie auf die unitare Theorie ubertragen wiirden.
4. Aus G1. (114) folgt, daI3 der Ansatz (113) das ,,elelrtrische" kugelsymmetrische und nicht das ,,magnetische" Peld beschreibt, wie es manchmal
behauptet wird. Der Ansicht sich anzulehnen, daR es sich um ein magneA. Papspetrou, Proc. Roy. Irish Acad. A 52, 69 (1948).
Siehc Funnote 17, S. 280.
'j9) A . Trautman, Bull. Acad. Polon. Sci. 4, 139, 443 (1966).
67)
68)
tisches Feltl handelt, wurde bedeuten, (lie Konstante p in Gl. (118) fur die
niagnetisc.he Meiige zu halten. Die Existenz der isolierten magnetischeii
Mo.nopoIe uwrde bisher in der Xatur noch iiie nachgewieseri und wir werdeii
(laher mit ihnen in der vorliegenden Theorie nicht rechnen. Die Integrationskonstante 12 ist tlarni direkt proportional der elektrischen Ladimq des dns
F'eld erzeugeiitlen Korpers (siehe auch Gl. (28)).
5. Aus G1. (118) folgt, daW fur d - t 0 auch 2 - t 0. Das hedeutet, da13 die
voiliegende Theorie fur d + 0 asymptotisch in die nllgemeine Relativitatstheorie von E i n s t e i n - M a x w e l l iibergeht. Darum halten wir die Naturlronstante d fur die Kopplungskonstante zwischeii dem Gravitations- und
clektromagnetischeii Aiiteil des iinitaren Feldes.
Setzen uir die berechneten Werte in Gln. (82) iiiitf ( 8 3 ) ein, so stellen wii.
rest. ~
3 7 0 )
Allleaiidere:i Komponenten versch~\-indeii.Fiir r --f 00 nerden die Konipoiiellten ideiitisch m i t deneii aus der allgemeinen Relativitatstheorie von Eiiis teiilX a x w e l l . Auch (lies ist cin Ertolg der vorliegenden Theorie, tlen die Theorie
von E i n s t e i n - 8 c h r ci d i n g e r iiicht erzjeltc.
Zusammenfassentl kann man sagen, (la13 tliese Ergebriisse ein weiterer
Keweis fur die Richtigkeit tier hier angenommerieii physiltalischen Interprctation der vorliegeiiden Theorie sirid.
Die e x p l i z i t e F o r m d e r H e - \ v e g u i ~ g s g l e i c h i i i i ~ ein
i i den Ku@lcoordinateri ( T , 8,q, t ) erhalten wir, indem wir die von P a p a p e t r o u berechiieten Werte'") von TLv in GI. (111) cinsetzen. Zuglcicli vernnchlassigen wir
die kosmologische Konstante A.
(1 23)
Die Striche bezeichneri die Ableitungeii nach T .
Die I n t e g r a t i o n d e r Rewegungsgleichungeii. 13s eigibt sich aus der
GI. (121), daS sich das Probeteilchen mit der Ruhmasse m, u n c l der elektrischen
Ladung q, in der Ebeiie 8 = x/2 bewegen wird, falls es sich iii dieser Ebene
70) Die Angahcn der GI. (11.30) und (11.31) hind nicht ~ i c h t i ~ 111
: dcr letzteren ist
tlaiieben cin I h i c k f e h l c r nicht 1iorrigic.i t .
'i*
100
Annalen d w Physik. 7 . Folgc. Rnnd 5. 1959
anfanglich bewegt hat. Da
(124)
ist, so nimmt die Gl. (122) die einfachere Form
(125)
ein. Sie ist eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung fiir d&ls.
Einsetzen von w &US Gl. (116) erhalten wir durch Integration
Narh
wobei Kl eine Integrationskonstante ist.
Auch die Gl. (123) ist eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung
fur dtlds, deren allgemeines Integral lantet
Es bedeutet hier
( I 28)
(129)
Da wir die Integration der resultierenden Gleichung mit Hilfe der sukzessiven Approximation durchfiihren werden, entwickeln wir die Funktionen
Dl,
D, in die Potenzreihen und beschriinken uns dabei auf die Glieder his zii
r--6 einschliefilich. Wir finden dadurch
mdr
r6 ds ’
(128a)
- - ~-
(129a)
y’ dr
y ds
Ill=---
D,
14
Nachdem wir die beiden Integrationen in G1. (127) durchgefiihrt haben,
erhalten wir
(130)
wobei K , die zweite Integrationskonstante ist und weiter
Hier haben wir die Substitution
1
u =-r
eingefiihrt, die wir auch weiterhin benutzen werden.
(133)
-7. Pachner: Unitare Fekltheorir der Sehwe,-e nsnd Elektrizilat
101
Nun setzen wir die GIn. (124), (126) und (130) in den Ausdruck fiir tlas
Interval1 ds
cx(&) dr 2 +r2($)+r2sin2s(z) d8 2 - y ( zdt) 2 = - I
ein und erhalten mit Kiicksicht auf Gl. (124)
Wenn wir diese Gleichung nach y differenzieren und d a m durch 2 duldcp
tlividieren, finden wir nach einigen Umformungen, bei welchen wir nur die
Glieder bis u4 einschliel3lich beriicksichtigen :
(135)
wobei
(1%)
-c3_
-.
P
m- AK,
(137)
K B
(1 38)
(139)
IIier bedeutet q die elektrische Ladung des das unitare Feld ei*zetigenden
Korpers
q = 12 a-1,
('40)
in seine Masse und
Xun losen wir Gl. (135) mit Hilfe tler sukzessiven Approximation. Die
zweite Naherung lautet
1
u = - [1
mit
P
+ e cos (C
Cj5
- OJ)],
(1.42)
Die Rahn des elektrisch geladeneii Probeteilchens im statischen kugelsymmetrischen unitaren Feld ist daher in der zweiten Naherung eiiie Ellipse
rnit dem Parameter 2 p , deren Perihel sich (fur 2 < 1 im Sinne des Umlaufes)
dreht. Die Integrationskonstanten sind die numerische Exzentrizitat e uiid
die Perihellange m.
S p e z i a l f a l l e d e r Bewegung e i n e s P r o b e t e i l c h e n s . Linearisieren wir
GI. (135) und vernachlassigcn zugleich in (137) die Gravitationswirkung des
xentralen Korpers (m = 0) und in (136) q2 gegen A2 (denn es ist q2<A2),
dann beschreibt uns G1. (142) die exakte Losung dieses Spezialfalles der
Hewegunp, bei der
102
Aniialen der Pltpik. 7 . Folge. Band 5. 1959
Dieser Fall stellt uiis die Bewegung eines Probeteilchens nach der speziellen
Relativitiitstheorie dar und ist in voller Ubereinstimmung mit den Beziehungen von Sommerfeld71) fiir die relativistische Kepler-Bewegung eines
Elektrons im wasserstoffahnlichen Atom.
Wenn wir die elektrische Ladung des zentralen Korpers gleich Null setzeri
(y = A = 0), so beschreibt uns Gl. (142) die Bewegung eines Probeteilchens
jm reinen Gravitationsfeld. wobei jetzt
(146)
Dieser Fall ist in voller Ubereinstimmung rnit tler allgemeineii Relativitatstheorie :2).
Aus den Gleichungen, die in der unitaren Theorie gelten, geht hervor, daS
die Bahii des Probeteilchens voii der elektrischen Ladung durch das Glied
q2 in (136) beeinflu& wird und zwar auch dann, wenn das Teilchen elektriscli
ungeladen ist. Diese Erscheinung tritt schon in der ersteri Approximation
hervor. Der weiteren, fur die unitare Theorie charakteristischen Erscheinung
begegnen wir in der zweiten Approximation, (lie wir vom prinzipiellen Standpunkt aus zur Bestimmung des numerischen Wertes der Naturkonstante d
beniitzen konnten. Diese Korrektionsglieder liegen aher im wasserstoffahnlichen Atom, in dem iinr ein kugelsymmetrisches elektrisches Feld in der Natur
vorkommt, weit unterhalb der Beobachtungsgrenze.
Wie es zu erwarten war, unterscheiclen sich die Ergebnisse unserer Berech nixng von deiien aus der Arbeit 111, wo die Bewegungsgleichungen mit Hilie
des Variationsprineips der stationaren Teilchenwirkuiig und nicht aus den
Feldgleichungen abgeleitet wurden, nur in den Korrektionsgliedern, die aber
fiir quantitative Uberpriifung der Theorie entscheidend sind .
Die Naturkonstanten der unitaren Theorie
Dau Piindnmentalsystem
1 on
Einheiten
I n allen Gleichuiigen der vorliegendeii Arbeit wird die Zeit, die Masse und
(lie elektrische Ladung in geometrischen Einheiten gemessen. Die entsprechenden T~mrechnungsfaktorensind :
1 Sekuncle = c = 2,998.
1 Gramm
lo1" em,
= li c-2 = 7,41F.
(14b)
em
(147)
I elektrostat. Einheit der Ladung im Gau Rschen MaBspstem
(148)
- h"/*c - ~= 2,873
em.
Hier bezeichnet G die Lichtgeschwindigkeit 2,998. 1010cmlsec und K die Gravitationskonstante 6,667.
cm3/g see2. In diesem System von Einheiten,
$. Sommerfeld, Atombau und SpektraIlinien, 1. Bd., 5. Aufl. Rraonschweig
1931, 6. 272.
'9 Siehe Fulhote 17, S. 119-129.
J . Paehner: U s i t a r c Fddtlteoi i e der Schwere und Wektri-itdt
103
das iiblicherweise in der allgemeinen Relativitatstheorie verwendet wird,
werden also alle physikalischen Groljen mit einer Einheit der Lange gemessen,
deren Wert von nnserer freien Wahl abhangt.
In der vorliegenden unitaren Theorie ist moglich, eiii solches System von
Einheiten zu bilden, in dem auch diese letzte Willkiir beseitigt ist. In diesem
System messen wir die Lange mit der Einheit, in welcher die neue Naturkonstante cl den Wert 1 hat. Statt der vorangehenden drei Formeln gelten
jetzt die folgenden vier Umrechnungsfaktoren :
1 cm
( 149)
= d-1,
1 Seknnde = c d-l.
1 Gramm
= IC
c2 d-l,
1 elektrostat. Einheit cler Ladung im Gaullscheii MaRsystem
-
K-
I 1' 4
c 2 d-1.
(150)
(151)
( 152)
Die Einfuhrung dieses neuen Fundamcntalsystenis voii Einheiten in die
Idassische Physilr, in dem alle GroBen mit dimensionslosen Zahlen ausgedruckt
werden, ist, dadurch miiglich geworden, daCl die vorliegeiide Theorie eine
clritte Naturkonstante von der Dimension eincr Lange enthalt. Dieses Fundamentalsystem von Einheiten hat deshalb seine Wurzeln in den Naturgesetzen.
l& hangt nicht, wie z. B. ein ahnliches System der allgemeinen Relativitatstheorie, in dem die kosmologische Konstante gleich 1 gesetzt ist, iron der
gesamten Masse des hochst hypothetischen Modells des Weltalls ah, und wir
miisseri es daher bevorzugen.
Der Xusammenhang dor Xatiirkonstanten
An dem Glauben von E i n s t e i n 3 4 )in die Rinfachheit und Verstandlichkejt
der Natur nimmt H e i ~ e n b e r g mit
~ ~ )seiner Hypothese teil, nach der alle
Naturkonstanten niir auf drei ziirupkzufdhren sind. Gehen wir von dieser
Hypothese am, so miissen wir die Existenz einer Formel voraussetzen, die die
drei Konstanten der vorliegenden Theorie mit der elementaren elektrischen
J d u n g verbindet . DimensionsmaIJige uberlegungeri zeigen, daD sie die Form
haben muB. Das doppelte Zeichen f ist die Folge iles Wurzelzeichens von
d2, das in der vorliegenden Theorie wie eine iieue Naturkonstante (siehe G1. (7))
vorkommt. Weiter bezeichnet P eine dimerlsionslose Zahl, deren numerischer
Wert eine kiinftige Theorie angeben sollte. Nach G1. (153) erscheint die elektrische Ladung jedes Teilchens bzw. Korpers als das ganze Vielfache des
Proportionalitatsfaktors P.
Aus der Hypothese von H e i s e n b e r g ergibt sich unmittelbar, daIJ die
Konstante P einen von Null verschiedenen Wert haben mu13. Ebenso wie
die Tatsache der endlichen Lichtgeschwindigkeit den Obergarig von der
N e w t o n schen Mechanik zur speziellen Relativitatstheorie zur Folge hatte,
104
Anaalen der Physik. 7. Folge. Band 5. 1959
so zwingt uns nun die Tatsache der Existenz der elementaren elebtrischeii
Ladung, die allgemeine Relatjvitiitstheorie von E i n s t e i n - Ma x w e 11 zufolge
der Gl. (153) durch die vorliegende unitare Theorie zu ersetzen. Dies scheint
ein neues Licht auf die Bedeutung des diskontinuierlichen Charakters der
elektrischen Ladung im Rahmen einer unquantisierten Theorie zu werfen.
Fur die fundamentalen Naturkonstanten haben wir c, K und d gehalten.
Statt dessen konnen wir aber mit demselben Recht f i i r die fundamentalen
Konstanten c, K und e betrachten, so daf3 dann die neue Naturkonstante
d2 durch die Beziehung
$2 = p - 2 e2 K c-4
(154)
gegeben ist.
Setzen wir neben den schon angegebenen Werten von c und
in die
Pormel (154) noch die elementare elektrische Ladung e = 4,803. 1W0em"/,
s e c 2 ein, so stellen wir fesb, dal3
P d = e K'lz
c - ~= 1,380. 10-34 cm
(155)
ist, d. h. es ist gleich der in geometrischer Einheit gemessenen elektrischen
Ladung (was aus dem Umrechnungsfaktor ( I 52) ersichtlich ist).
E s gibt nun drei Hypothesen, die wir uber die Konstanten e, d und die
elementare Lgnge I von Heisenberg35)73)machen konnen:
1. Wir identifizieren (grol3enordnungsmaBig, denn es konnen hier noch
Zahlenfaktoren wie n,e usw. vorkommen) die Kopplungskonstante d mit der
elementaren Lange 1 und diese beiden mit der in geometrischer Einheit gemessenen elementaren elektrischen Ladung e. Alle Konstanten d, I , e liegen in der
GroBenordnung von 10W4 em, und der dimensionslose Proportionalitatsfaktor
P ist gleich oder grol3enordnungsmiiBig gleich 1. Wir schreiben daher
d
3
I = e e 10-34 em,
P g 1.
(156)
2. Wir identifizieren igroBenordnungsmaI3ig) die Koppluiigskoristante d
mit der elementaren Lange I und setzen voraus, dal3 sie von der Groaenordnung
von 10-13 ern sind. Der dimensionslose Proportionalitiitsfaktor P liegt in der
GroBenordnung von
d. h. er ist gleich der Gravitationskopplungskonstante bzw. dem Quadrat der ,,schwachen" Kopplung~konstante~~).
Wir
haben also:
d
=I
10-13 em,
P
10-20,
e
= P d G 10-34 em.
(1Si)
3. Wir identifizieren (groRenordnungsmaBig) die Kopplungskonstante d
mit der elementaren elektrischen Ladung e. Der dimensionslose Proportionalitiitsfaktor P ist gleich oder groDenordnungsmal3ig gleich 1. Das Verhaltnis
der elementaren Liinge 1 zur Kopplungskonstante d liegt dann in der GroDenordnung von 1020, d. h. es ist gleich dem reziproken Wert der Gravitations73) Nicht verweohseln die elementare LIngo von Heisenberg I rnit der Integrationskonstante 1 in Gln. (114)-(141)!
74) R . H. Dicke, Rev. mod. Physics 29, 355 (1957).
J . Pnchncr: Unilore Feldtheoi ie dti Schwere und Elektriritcil
105
lropplungskonstante, bzw. dein Quadrat des reziproken Wertes der ,,schwachen"
Kopplungskonstante ?4). E s gilt tlanii
d
Ee
g low4 cm,
P
1,
I
1020
d.
(158)
Die erste Hypothese widerspricht der von H e i s e n b e r g , da13 die elemen) , scheint dem
tare Lange 1 von der GroBenordnung von 10-13 ern i ~ t 3 ~und
Verfasser unwahrscheinlich zu sein. Die zweite und dritte Hypothese sind
xur Zeit gleichberechtigt, nach der dritten ware allerdings die Kopplung
zwischen dem Gravitations- und elektromagnetischen Anteil des unitaren
Feldes auBerst gering.
Zusammenfassung
1. Die vorliegende unitiire Feldtheorie der Schwere und Elektrizitat ist
mit Hilfe des kovarianten Variationsprinzips aus einem heterogenen Hamiltonian abgeleitet. Zu den bekannten Postulaten von E i n s t e i n , den der Hamiltonian geniigen soll, ist das vierte beigefugt, nach dem die Feldgleichungen
der unitaren Feldtheorie im starken Gravitations- und schwachen elektrornagnetischen Feld (sog. Maxwellsche Naherung) in die der allgemeinen
Re1ativitat;stheorie von E i n s t e i n - M a x w e l l ubergehen sollen.
2 . Die Kompatibilitat und Vollstandigkeit der Feldgleichungen ist nach4 Feldgleichungen, die die Entstehung des unigewiesen. Es existieren 10
t,aren Feldes beschreiben, und weitere 4 Feldgleichungen, die die innereii
GesetzmaDigkeiten des Feldes angeben. Unter den 18 Feldgleichungen gibt
es 1 1 4 Identitaten, so daD nur 1 2 unabhangige Feldgleichungen fur
16 unbekannte Komponenten des Fundamentaltensors iibrigbleiben.
3. Die physikalische Interpretation der geometrischen Felder ist auf
Grund der Maswellschen Naherung gegeben. Die Spezialfalle der vorliegen= 0), die von S c h r o den Theorie, die Theorie von E i n s t e i n (A = 0,
= 0) und die physikalische Interpretation der Theorie von
(linger (A $r 0,
B o n r i o r (A = 0,
0) fuhren zu unzulassigen Konsequenzen.
4. Die 1 4- t 4- 4 Identitsten unter deli Feldgleichungen stfellenvom physikalischen Standpunkt aus die Erhaltungssatze dar.
-5. Die Bewegungsgleichungen kann man aus den Feldgleichungen fiir die
leere Raum-Zeit ableiten. Die Ableittmg der Bewegungsgleichungen mit Hilfe
tler neuen Methode von I n f e l d , die hier aus der allgemeinen Relativitatstheorie auf die vorliegende unitare Theorie ausgedehnt wurde, ist aber bedeutend einfacher. Die explizite Form der Bewegungsgleichungen fur den Fall
der Bewegung von zwei Korpern in niedrigster Naherung und fur den Fall
tler Rewegung eines elektrisch geladenen Probeteilchens wurden angegebeii .
Fur den letzteren Fall wurden sie auch integriert.
6. Die Ergebnisse der strengen statischen kugelsymmetrischen Losimg der
Feldgleichungen sowie die Bewegungsgleichungen eines elektrisch geladeneri
Probeteilchens in diesem Feld und ihre Integralen haben die von der allgerneinen Relativitatstheorie vorhergesagte Form.
7. Die neue Naturlronstante der vorliegenden Theorie stellt die Bopplungskonstante d zwischen dem Gravitations- und elektromagnetischen Anteil
+
+ +
=+
106
Annalen der Physik. 7 . Folye. Band S. l Y S 9
des unitareii Peldes dar. Fiir d = 0 geht die Theorie in die allgemeine Relativitatstheorie von B i n s t e i n - M a x w e l l uber. Das unitare Feld zerfallt dann
in das Gravitations- und in das elektromagnetische Feld.
8. Da die vorliegende Theorie drei Naturltonstanten, die Gravitatioiiskonstante, die Lichtgeschwindigkeit und die erwahnte Kopplungskonstante
enthalt, so ist, es moglich geworden, ein Fundamentalsystem von Einheiteii
zu bilden, in dem alle physikalischen GrOBeii mit dimensionslosen Zahlen
gemessen werden.
9. Es wurde eine iieue Hypothese aufgestellt, nach der die Existenz der
elementaren elektrischen Ladung mit der Kopplungskonstante der vorliegenderi
Theorie am engsten verhunden ist. Nach dieser Hypothese hat der diskontinuierliche Charakter der elektrischen Ladung zur Folge, daB die allgemeinc
Relativitat,stheorie von F: i n s t e i n - M a x w e 11 durch die vorliegende unitare
Theorie zu ersetzen ist.
P r a g , Physiltalisches Institut der TH.
Bei der Redaktion eingegangcn a m 28. April 1959.
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