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Die universelle Impedanzkonstante in ihrer algebraischen Verknpfung mit anderen Naturkonstanten [1].

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H. U. SEIFERT:
Die universelle Impedanzkonstante
269
Die universelle Impedanzkonstante in ihrer algebraischen
Verkniipfung mit anderen Naturkonstanten 111
Von H. U. SEIFERT
Inhaltsubersicht
Die Impedanz des freien Raumes, die durch den Quotienten von Induktionskonstante
puound Influenzkonstante c0 gegeben ist, entgeht weithin der Aufmerksamkeit, die sie ,215
universelle Naturkonstante verdient. Dies kommt daher, da13 im CGS-System po und e0 als
MaSsyatemkonstanten betrachtet werden, die man willkiirlich festsetzen kann. Wenn man
sich stattdessen an die experimentell bestimmbaren Werte fur po und e0 halt und diese
dimensionskorrekt schreibt, dann hat die Impedanzkonstante den eindeutigen Wert
z = 377 V/A und liefert in dieser Form einen niitzlichen Beitrag zur Geschlossenheit des
physikalischen Begriffssystems. Unter Heranziehung der Impedanzkonstanten kann man
niimlich aus den universellen Naturkonstanten eine Reihe von iiquivalenten natiirlichen
Einheitensystemen bilden, die andernfalls nicht angebbar sind. Die so erhaltenen Einheiten
zeigen, wie vielfach die Impedanzkonstante im traditionellen Rahmen der Dimensionen
Strom, Spannung, Zeit und Liinge mit anderen Naturkonstanten verflochten sein kann. Sie
bestiitigen damit die begriffliche Gleichrangigkeit der Impedanzkonstanten. und der iibrigen,
bekannteren Naturkonstanten, was im Hinblick auf die Rolle der Impedanzkonstanten
in der Molekiilphysik von Bedeutung ist.
1. Zur Bestandsaufnahme
Die universelle Impedanzkonstante 5 = 377 VjS spielt im physikalischen
Schrifttum bis zum heutigen Tag neben den anderen Naturkonstanten, die die
Lehrbucher auf der ersten oder letzten Seite verzeichnen, eine eigentiimlich
untergeordnete Rolle, die ihrer Bedeutung kaum gerecht wird. H A L L ~der
N , sich
seit 1952 in verschiedenen Publikationen [2--41 darum bemuht hat, dieser
GroBe zu einer angemessenen Beachtung zu verhelfen, nennt sie deshalb ,,die
von den Physikern vergessene Naturkonstante" [a].
Diese Formulierung ist vielleicht etwas iibertrieben, denn vollig ubersehen
ist die Impedanzkonstante keineswegs. Man findet sie beispielsweise in SOMMERFELDS ,,Elektrodynamik'- [5] an verschiedenen Stellen und wenn man in die
altere Literatur zuruckgeht, dann trifft man sie - allerdings in etwas verkleideter Form - bereits in DRUDES
,,Physik des Aethers" von 1912 [6].
Aber diese und ahnliche Erwhhnungen geschehen mehr oder minder im Voriibergehen und die Frage, in welchen Zusammenhangen das Auftreten der Impedanzkonstante eine physikalische Notwendigkeit ist, bleibt unerortert . Insofern
ist HALLI~NS
Bemerkung nicht unberechtigt.
HALLBNselbst, der die begriffliche Gleichrangigkeit von Vakuum-Impedanz
und Vakuum-Lichtgeschwindigkeit mehrfach nachdriicklich betont, beschrankt
sich jedoch darauf, die Bedeutung der Impedanzkonstanten fur die Ma k r o -
270
Annalen der Phgsik
*
7. Folge
*
Band 16, Heft 5--6
*
3965
Physik herauszuarbeiten. Ob und in welchem Umfang diese GroBe auch fur die
Mi kro-Physik wichtig ist, ist dagegen noch kaum systematisch untersucht
worden. Gerade hier aber ergeben sich einige interessante Aspekte.
Was nun insbesondere die Molekulphysik betrifft, so liegt es nahe, zu fragen,
ob man nicht durch eine explizite Beriicksichtigung der Impedanzkonstanten
das Verstiindnis mancher Erscheinungen vertiefen konnte. Denn man hat es ja,
wie etwa bei der Lichtabsorption, hiiufig mit rein elektromagnetischen Phanomenen zu tun und es wiire seltsam, wenn eine rein elektromagnetische Fundamentalkonstante wie die GroBe z hierbei vollig ohne Bedeutung wiire.
Es erweist sich bei solchen uberlegungen, daB es in der Tat moglich ist, den
Lichtabsorptionsvorgang im Einzelmolekul formal als molekulares Impedanzphiinomen zu beschreiben und einfache MoIekulspektren unter Heranziehung
eines elektromagnetischen Funktionsmodells zu interpretieren [7]. Die Schwierigkeit liegt lediglich darin, daB man hinsichtlich des Modells gewisse Freiheiten
hat und die Auswahl beim gegenwiirtigen Stand der Dinge nicht vollig willkiirfrei vornehmen kann. Wie immer man aber das Funktionsmodell wahlt : es zeigt
sich, daB man bei der Berechnung der elektromagnetischen Funktionsparameter stets auf die Vakuum-Impedanz als BezugsgroOe stoBt.
Weiterhin kann man die Betrachtung der Energiebilanz beim Absorptionsvorgang dadurch ergiinzen, daB man, gestutzt auf experimentell bestimmte
KenngroBen von Absorptionsbanden, die umgesetzte Photonenenergie hv in
Faktoren, namlich Zeitkonstante, Effektivstrom und Effektivspannung, aufspaltet [ S ] . Auch hierbei ist man auf ein geeignetes Modell angewiesen. Aber
auch hier trifft man, unabhangig von der Wahl des speziellen Modells, wiederum
auf die Impedanzkonstante z.
Selbst wenn man bei der Auswertung von Molekulspektren vollig im traditionellen Rahmen bleibt und ein Molekul lediglich durch Oszillatorstiirke f und
Obergangsdipolmoment p z j kennzeichnet, bekommt man es mit der Impedanzkonstante zu tun. Davon kann man sich uberzeugen, wenn man die Bestimmungsgleichungen fur f und p,,, die in ihrer ublichen Schreibweise elektrostatische CGS-Einheiten verlangen [Y], in eine einheiteninvariaiite Form urnschreibt .
So sind also vorwiegend rein praktische Grunde der AnlaB, nach der Stellung
zu fragen, die die Impedanzkonstante z im Kreis der bekannteren Naturkonstanten einnimmt.
Diese Stellung ist durch zwei Aspekte bestimmt. Einerseits ist die VakuumImpedanz durch ihre einfache experimentelle Bestimmbarkeit so unmittelbar in
der Erfahrung verankert, daO sie es verdient, so, wie es in Tab. 1geschehen ist,
gleichberechtigt neben das MagnetfluB-Quantum, die Vakuum-Lichtgeschwindigkeit, die Elektronenladung, die FEEMI-Konstante, die Gravitationskonstante,
die PLANCK-Konstante und die Elektronenmasse geschrieben zu werden. (Da
in unserem Zusammenhang nur dimensionsverschiedene Konstanten von Interesse sind, sind die Massen der ubrigen Elementarteilchen hier nicht aufgefuhrt.)
Andererseits bedeutet diese Gleichberechtigung aber nicht, daB die VakuumImpedanz als algebraisch vollig unabhiingig von den ubrigen Naturkonstanten
angesehen werden konnte.
Es bestehen vielmehr zwischen den in Tab. 1aufgefuhrten Konstanten gewisse algebraische Abhlingigkeiten. Denn es sind hier acht GroBen durch vier
H. U. SEIFERT
: Die universelle Impedanzkonstante
271
Grundeinheit,en ausgedriickt und dies allein macht bereits deutlich: daB nicht
alle acht, Konstanten algebraisch voneinander unabhiingig sein kbnnen.
Tabelle 1
Die i m AVSM-System ausdriickbaren Naturkonstanten der Mechanik und
Elektromagnetik
I
Vakuum-Lichtaeschwindigkei
- t
E1ektronenlad;ng
FEm-Konstante
Gravitationskonstantr
PLmcK-Konstante
Elektronenmasse
Vekuum-Impedanz
c = 3 , O O . 108
e = 1,60.
f = l , d l . 10-62
g = 6,66 * lo-"
h = 6,63.
m = 9,11 .
z = 3 , 7 7 . 102
Exponenten der
1
0 ' 0 -1'
1, 0
1
0
1
1
1
3
5
-1 -1 -5
1
1
2
0
1
1
3 - 2
Um die hier beatehenden Abhiingigkeiten formulieren zu konnen , gehen wir
davon aus, daB es moglich sein muB, die Beziehungen umzukehren, die zwischen
den Naturkonstanten und den verwendeten Einheiten bestehen. Anstatt die
Naturkonstanten durch diese Einheiten auszudriicken, mu13 es auch moglich
sein, die Einheiten durch die Naturkonstanten algebraisch darzustellen. Oder,
was damit gleichbedeutend ist, es muB - mindestens - einen Weg geben, mit
Hilfe der Naturkonstanten ,,natiirliche Einheiten" fiir alle in der Physik vorkommenden GroBenarten anzugeben.
Die Idee, auf universelle Naturkonstanten natiirliche Einheitensysteme z u
begriinden, ist alt und diirfte auf PLANCK
zuriickgehen [13]. I n der Folgezeit
sind dann - unter verschiedenartigen Motivierungen - weiterc Vorschllge
hinzugekommen.
Wenn man hierbei, wie es im folgenden geschehen soll, auch die Impedanzkonstante z heranzieht, dann vergro13ert sich die Anzahl der moglichen Einheitensysteme betriichtlich. Hinsichtlich der praktischen ,,ZweckmaBigkeit" solcher Einheiten ist Zuriickhaltung geboten. Was jedoch klar in Erscheinung tritt
und worauf es hier ankommt, ist die bcgriffliche Gleichrangigkeit der Impedanzkonstanten nicht nur mit der Lichtgeschwindigkeit , sondern mit allen universellen Konstanten, die heute bekannt sind.
Eine gewisse Schwierigkeit bei der Zusammenstellung von natiirlichen Einheitensystemen liegt darin, da13 in bestimmten MaBsystemen neben den echten
Naturkonstanten noch sogenannte MaBsystem-Konstanten auftreten. Gliicklicherweise iat es aber so, daB MaSsystem-Konstanten n u r in den verschiedenen
Varianten des CGS-Systems vorkommen, wiihrend alle iibrigen kohiirenten System, die sich auf vier (oder mehr) unabhiingige Ausgangsdimensionen stiitzen,
ohne MaBsystem-Konstanten auskommen.
Aus diesem Grund haben wir bei der Zusammenstellung der Tab. 1das CGSSystem vermieden. Neben dem Vorzug, auf diese Weise f r e i v o n M a B s y s t e m K o n s t a n t e n zu sein, haben wir den weiteren Vorteil gewonnen, daB bei den
abgeleiteten GrBBenarten (Dimensionen) n ur g a n z z a hli g e Di m e n si on s e x p o n e n t e n vorkommen .
272
Annalen der Physik
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7. Folge
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Band 16, Heft 5-6
*
1965
DaB wir im ubrigen dem Ampere-Volt-Sekunde-Meter-System
(AVSM-System)
den Vorzug vor anderen moglichen Vierersystemen (etwa dem Meter-KilogrammSekunde-Ampere-System) gegeben haben, ist im Grund von sekundarer Bedeutung und nur dadurch bedingt, daB das AVSM-System weitgehende begriffliche
Symmetrie zwischen den Dimensionen ,,Strom" und ,,Spannung" bietet und deshalb fur Impedanziiberlegungen besonders naheliegend ist l ) .
2. Die Vakuum-Impedanz und die Vakuum-Lichtgeschwindigkeit
Ehe wir den formalen Beziehungen weiter nachgehen, wollen wir uns noch
davon iiberzeugen, daB es sich bei der Impedanzkonstanten tatshhlich u m eine
GroBe handelt, deren Wert allein aus der Erfahrung und nicht aus einer MaBsystem-Konvention stammt.
Durch je ein einfaches Influenz- und Induktions-Experiment findet man
nach den Gleichungen
und
fur die Vakuum-Konstanten e0 und po die Werte
c0 = 8,85
AS
VM
(3)
VS
AM
(4)
*
~
und
po = 1,2G * 10-6-,
denn die vier FeldgroBen D ( A
E ( V N - l ) ,B ( V S S - 2 ) und H ( A N - l ) sind
eindeutig durch das Experiment bestimmbar. Da die MeBvorschriften fur D ,E ,
B und H festliegen, ist es unmoglich, numerisch oder dimensionell uber eo oder po
irgendwie zu ,,verfiigen". e0 und ,uokennzeichnen vielmehr die elektromagnetischen Eigenschaften des freien Raumes und sind somit echte Naturkonstanten.
Aus dem GroBenpaar eo und po folgt nun durch Multiplikation und Division
das a q u i v a l e n t e K o n s t a n t e n p a a r c und z.
und
G1. (5) ist die wohlbekannte MAXWELL-Relation,G1. (6) ist eine hierzu duale
Relation, die die Vakuum-Impedanz z definiert. Auf die Gleichrangigkeit dieser
zwei Gleichungen griindet sich also die Gleichrangigkeit der beiden Naturkonstanten c und z.
~
1) Die Dimension ,,Masse" ist im AVSM-System eine abgeleitete Groaenart und die
Einheit 1Kilogramm ergibt sich aus den Einheiten der Ausgangsdimensionen
nach der be.
kannten Beziehng
1K = 1AVS3M-'.
H. U. SEIFERT
: Die universelle Impedanzkonstante
273
Gestiitzt auf die paarweise dquivalenz von co und yoeinerseits und c und z
andererseits konnte man natiirlich in Tab. 1das GroBenpaar c und z gegen das
GroBenpaar c0 und yo austauschen. Da jedoch kein AnlaB besteht, die Lichtgeschwindigkeit von ihrem angestammten Platz unter den Grundkonstanten der
Physik zu verdrangen, ist der Vollstandigkeit Genuge getan, wenn man ihr
- wie es hier geschehen ist - die Vakuum-Impedanz zur Seite stellt. Dann eriibrigt es sich aber, E~ und po in die Zusammenstellung aufzunehmen.
3. Die Vakuum-Eigenschaften co und p0 als Mallsystem-Konstanten
Die Vakuum-Konstanten c0 und yo sind also in ubersichtlicher Weise nach
den Gln. (1)und (2) mit experimentell bestimmbaren GroBen verknupft und
damit einer willkiirlichen Festsetzung entzogen. Dasselbe gilt fur c und x .
Damit stellt sich die Frage : Wie kommt es dann, daB die Vakuum-Konstanten c0 und yodennoch als MaBsystem-Konstanten angesehen werden, denen man
willkurliche Werte ,,erteilen" kann ? Die Folge hiervon ist bekanntlich, daB die
Impedanzkonstante dann zum Quotienten zweier willkiirlich definierter GroBen
wird und damit ihren Charakter als Naturkonstante verliert.
Der Grund ist leicht anzugeben. I n den herkommlichen Darstellungen der
Elektromagnetik benutzt man namlich zur Definition von c0 und yo nicht die
Feldverkniipfungsgleichungen (1) und (2), sondern das elektrische und das
magnetische COULOMB-Gesetz. Mit den formalen Eigenschaften der COULOMBGesetze hangt es dann zusammen. daB Mehrdeutigkeiten entstehen konnen. I m
elektrischen Fall geht man also von der Gleichung
aus, die die Kraft fel mit der elektrischen Ladung qeI, der Influenzkonstante E,,
und dem Abstand r verkniipft. Vom mechanischen Standpunkt aus enthalt also
die e i n e G1. ( 7 ) zwei neue, nichtmechanische GroBen, namlich qel und so. Da
die Gleichung in erster Linie dazu herangezogen werden soll, die L a d u n g a n das
mechanische Begriffssystem anzuschlieBen, ist es nicht unverstandlich, daI3 man
sich der Influenzkonstante auf andere Weise, namlich durch definitorische
Festsetzung, entledigt. Damit wird diese GroBe zur MaBsystem-Konstante. I m
magnetischen Fall ist die Situation noch etwas komplizierter. Denn hier sind
nebeneinander bis zum heutigen Tag zwei widerspriichliche Schreibweisen fur die
magnetische Kraft in Gebrauch, namlich
und
Die Induktionskonstante steht also einmal im Zahler und einmal im Neniier derselben Gleichung. Beide Formen werden bis heute verwendet, Schreibweise (8)
findet sich etwa, im AnschluB an SOMMERFELD,
in dem Lehrbuch von HALLBN
[4] von 1962, wahrend Form (9), um hier nur eine der neueren Quellen zu zitieren, in dem Lehrbuch von PAGEund ADAMS[14] von 1980 beriutzt wird.
Neben dieser Diskrepanz besteht auch hier die Schwierigkeit, daB durch e i n e
Gleichung z wei GroBen, namlich q,nag und yodefiniert werden.
19 Ann. Physik. 7. Folge, Bd. 16
274
Snnalen der Physik
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7. Folge
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Band 16, Heft 5-6
1965
4. Die Impedanzkonstante im CGS-System
Von der Freiheit, E~ und
durch Definition festzulegen, ist bekanntlich in
grol3em Umfang Gebrauch gemacht worden. Wenn man, ohne zu den noch
offenen Kontroversen Stellung zu nehmen, die bisherigen Festsetzungen zusammentragt, gelangt man zu Tab. 2.
Bekanntlich unterscheidet man zunachst drei Varianten des CGS-Systems,
das elektrostatische, das elektromagnetische (oder magnetostatische) und das
Gausssche System, von denen es - je nach der Stellung des Faktors 4n - jeweils eine ,,konventionelle" und eine ,,rationelle" Modifikation gibt. Dies bringt
die Zahl der Festlegungsmoglichkeiten fur c0 und p0 auf sechs und diese Zahl verdoppelt sich abermals, wenn man noch die mit G1. (8) und (9) gegebenen verschiedenen Schreibungen des magnetischen COULOMB-Gesetzes beriicksichtigt.
Tabelle 2
Die auf die ConLomB-Gesetze basierten Festlegungen f u r Influenzkonstanteeo.
Induktionskonstante p0 und Verkettungskonstante y , sowie die hieraus
folgenden CGS-Werte f u r die Vakuum-Impedanz z
I
G1Eo(7)
z
I
G1. (8)
1
tionell
~
rationeli
1
1
1
konventionell
___
4nc2
1
__
4n c2
1
-
rationell
8,
e
k
u3
konventionell
rn
m
b
d
rationell
1
-
-In
G1. (12)
4n
C
4n
-
1
-
4n
-
C
C
C
1
1
1
C
C
1
1
-
1
-
C
C
4n
-
1
4nc
4nc
-
1
4n
1
-
C
4nc
4n
4n
-
4n
1
1
1
-
1
1
-
4n
-
C
-
1
4n
4n
1
4n
-
C
1
1
-
C
1
C2
4n
1
m
-3
1
4n c2
G1. (11)
l 1
C
C
C
C
1
C
275
H. LT. SEIFEHT
: Die unirerselle Impedanzkonstante
Bei der Berechnung der Impedanzkonstanten a u s d e n s o f e s t g e s e t z t e n
W e r t e n fur E~ und ,uohat man nun abermals zwei Moglichkeiten, je nach dem,
ob man die elektromagnetische Verkettungskonstante
in die Definition
17011
z mit einbexieht oder nicht. Ini einen Fall hat man also
(11)= (6)
und irn anderen Fail
Die Werte, die man nach G1. (11)erhalt, stimmen mit denen iiberein, die
FLEISCHMANN
[l5] aus seinem Ausdruck fur die Vakuum-Impecfanz bekommt,
und aus G1. (12) findet man die Werte, die HAI,LI$N[2] fur die Impedanzkonstante im CGS-System angibt.
Auf solche Art erhalt man die letzten beiden Spalten der Tab. 2 , also insgesamt 24 Moglichkeiten, die Impedanzkonstante z festzulegen. Nicht alle dieser
24 GriiDen sind verschieden. aber es befinden sich immerhin die folgenden sechs
verschiedenen Werte darunter .
z=l
z = 47d
* - c
z
=
z
= dz/c
dnc
-& -- l c
(13a-f)
Verglichen mit dem unzweideutig durch das Experiment bestimmbaren Wert
z = 377 VIA fiillt es schwer. die Festsetzungen des CGS-Systems fiir sonderlich
zweckmiiI3ig zu halten, denn diese fuhren letztlich dazu, daI3 eine WiderstandsgrijDe entweder als reine Zahl oder als Geschwindigkeit oder als reziproke Geschwindigkeit erscheintz).
5. Natiirliehe Einheitensysteme
Nach diesem Eskurs, der zeigen sollte: weshalb der Naturkonstantencharakter der Vakuum-Impedanz im CGS-System nahezu vollsthdig rerloren geht,
kehren wir zu unserer Schrei bweise im AVSM-Syst,em zuriick und bet,rachten
nun die Moglichkeiten, unter Heranziehung der Impedanzkonstanten natiirliche Einheit,ensysteme zu bilden und auf diese Weise die engen Verflechtungen
der Naturkonstanten zu zeigen.
~
_
_
*) Die Gleichungen (13s-f) sind insofern instruktiv, als sie in nuce d i e Stelle bezeich-
nen, a n der die Schwiiche der CGS-Systeme (und zwar aller Varianten) liegt: Immer dann,
wenn der Zusammenhang eine klare dimensionelle Unterscheidung z w i s c h e n G e s c h w i n d i g k e i t e n u n d W i d e r s t a n d s g r o D e n erfordert, wirken sich die zunachst harmlos erscheinenden Festsetzungen der Konstanten q, und p,, storend aus, in allen anderen Fallen
ist dagegen nichts gegen den Gebrauch der CGS-Systeme einzuwenden.
19*
276
AnnaJen der Physik
*
7. Folge
*
Band 16, Heft 5-6
*
1965
a) Natiirliche Dreiersysteme und das Determinantenkriterium
I n dem bereits erwahnten System hat PLANCK
[13] aus Lichtgeschwindigkeit,
Gravitationskonstante und Wirkungsquantum je eine natiirliche Einheit fur
Lange, Masse und Zeit angegeben, also ein dem CGS-System aquivalentes Einheitensystem konstruiert. Allerdings mu13 man, um zu diesen Einheiten zu gelangen, Quadratwurzeln aus bestimmten Potenzprodukten von Naturkonstanten
ziehen. Damit erhalt das PLANCKsche System eine n i c h t r a t i o n a l e Struktur.
Anders ist dies bei einem System, das FINKELNBURG
[16] angegeben hat.
Hier kommt man mit r a t i o n a l e n Rechenoperationen aus. Dieses System
stiitzt sich auf Lichtgeschwindigkeit, Wirkungsquantum und Protonenmasse.
Anstatt nun von Fall zu Fall auszuprobieren, ob sich aus einem bestimmten
Satz von Naturkonstanten ein rationales natiirliches Einheitensystem aufbauen
la& oder nicht, kann man sich mit Vorteil eines einfachen Kriteriums bedienen :
Wenn die Determinante der Dimensionsexponenten der ausgewahlten Konstanten den Wert f1 besitzt, dann ist dies hinreichend dafiir, daB die neuen, naturlichen Einheiten als Naturkonstanten-Potenzprodukte mit g a n z z a h l i g e n
Exponenten geschrieben werden konnen.
Dieses Determinantenkriterium, das eng mit dem sogenannten Pi-Theorem
zusammenhiingt und fur das sich etwa bei FOCKEN
[17] eine Ableitung findet,
sol1 auch im folgenden herangezogen werden. Angewandt auf das PLANCKsche
System erhalt man eine Determinante vom Absolutbetrag 2, wahrend man fur
das FINKELNBURGsChe System den Absolutwert 1 findet.
Neben diesen Dreiersystemen lassen sich nun aus den Konstanten der Tab. 1
eine ganze Anzahl von Vierersystemen bilden, die dem Determinantenkriterium
genugen. Solche Systeme wollen wir als ,,iiquivalent" bezeichnen. Die Impedanzkonstante z wird sich hierbei als uneiitbehrlich erweisen.
b) Das Fundamentalkonstantensystem (c, e, m, z )
Wir iiberzeugen uns zunachst davon, daIJ das folgende, von H A L L Izusam~
mengestellte Konstantenquadrupel [3]
Vakuum-Lichtgeschwindigkeit e
Elektronenladung
e
Elektronenmasse
m
Vakuum- Impedanz
(14)
7
uiiserem Determiiiantenkriterium geniigt. Man findet,, gestutzt auf Tab. 1,
C
e
1
m
'
-,
n
4
a1
a2
a3
0
0-1
1
1 0'-1.
3-2
0 0
1 0
1 1
-1
1
(15)
H A L L ~hat
N aus dem Quadrupel (14) eine groBe Anzahl von ,,Elementargrofien", z. B. fiir Tragheitsmoment, Energie usw. abgeleitet. Es genugt jedoch,
wenn wir je eine Einheit fur Strom, Spannung, Zeit und LLnge angeben, da sich
H . IT
SEIFERT:
. Die universelle Impeclanzkonstunt8e
277
hieraus o h m weiteres alle iibrigen Elementareinheiten ableiten lassen. E s ergeben sich (lie folgenden Einhciten
i,
')nc?
=-=
zc
I .:N .
103
A
Diesem Eiiiheitemysteni koriiieii wir nun. indem wir die Konstanten voii
Tab. 1mit Hilfe des Determinantenkritrriums durrhprufeli. weiterc nquivalente
natiirliche Einheitensysteme zur Seite stellen.
c) Das Fiinclamentalkonstautensystem ( b , c, e, m )
Dcr Konhtanterisatz
MagiictfluB-quaiit urn
b
Vakuum-Lichtgeschwitidigkeitc
Elektronenladung
e
Elektronenmasse
)?I
rnit der Determinantc
I)
C
0
0 - 1.
P
1
1
0
I
1
3-2
ni
I
0
- 1
erweist sich gleichfalls als fin FundameiitalkonstAntensysteni. Hieraus erpebeii
aich als natiirliche Einhriten die folgenclen GroBen
1
2
eb
inc
=-
=
1.21.
10-12
M.
d) Das Fundamentalkonstantensystem (b,f, m, z)
Ein drittes Beispiel eines Fundamentalkonstanteiisysteins ist tlas folgende
Quadrupel
Magnetflul3-Quantum 0
FmMr-Konstante
f
(30)
Elektronenmasse
111
Vakuum-Impedanz
z,
278
Annalen der Physik
*
7. Folge
*
Band 16, Heft 5-6
*
1935
denn auch hier ist, die Exponentendeterminante
a1
a2
b
0
1
z
-1
a4
a3
1
1
0
0
,
0;
Das hierauf basierte natiirliche Einhejtensystem besitzt die GrundgroBen
t3
f * m3z5
=-
bl0
=
7,92
*
10-55
s
DaB hierbei GroBenordnungen auftreten, die weit aul3erhalb der Grenzen
der Laboratoriumsphysik liegen, ist im Hinblick auf die herangezogenen Naturkonstanten nicht uberraschend.
e) Weitere Ir'undamentalkonstsntensysteme
In dieser Weise konnte man fortfahren und weitere Fundamentalkonstantensysteme und ihre Umkehrungen zusammenstellen. Beispiele sind etwa
( b , c,
(F,
m , 2)
(23)
/, m, 2)
(24)
( b , 9, m.2 )
(23)
( e , 9, m, z )
(26)
Es ist charakteristisch, da13 in fast allen der aufgefuhrten Beispiele die Impedanzkonstante z vorkommt. Das Quadrupel (17), das die einzige Ausnahme bildet, umfal3t stattdessen gleichzeitig das magnetische Quantum b und das elektrische Quantum e und deren Quotient ist wiederuni einer ImpedanzgroRe Bquivalent.
f) Dimensionslose Naturkonstanten
Wenn man sich nun dafiir interessiert, die algebraischen Beziehungen der
Naturkonstanten untereinander in einheiteninvarianter Form zu formulieren,
dann kann man das in vielfaltiger Weise tun, denn jeder Quotient gleichdimensionierter Einheiten stellt eine dimensionslose Naturkonstante dar, etwa
oder
H. U. SEIFERT
: Die universelle Impedanzkonstante
279
m e diese Ausdriicke sind GroDen vom Typ der SOMMERFELD-Kollstanten a.
w a s die SOMMERFELD-Konstante selbst anlangt, so ist zu bemerken, daB die
e2
iibliche Form - nur ini konventionellen elektrostatischen oder GAussschen
liC
1
137
CGS-System den bekariiiten dimensionslosen Zahlenwert - hat. Einheiteninvariant ist hiiigegen die Form
die man mit Hilfe der Gln. (5) und (ti) vereinfarhen kann zu
Auch hinter der SOMMERFELD-Konstante, die somit vom formalen Standpunkt aus gesehen keine ausgesprochene Sonderstellung einnimmt, verbirgt sich
also letzten Endes die Vakuum-Impedanz 5 .
6. SchluSbemerkung
Es so11 nicht versucht werden, Spekulationen iiber die GroSenordnungen der
angegebenen Einheiten anzustellen. Ebensowenig ist beabsichtigt, diese Einheiten fur den praktischen Gebrauch zu empfehlen. Trotzdem ist ein vergleichender Blick auf die erhaltenen Systeme nicht ohne Interesse. Die Vielfalt der Verkniipfungen, in denen die Impedanzkonstante z auftreten kann, ohne daD dabei
der gewohnte begriffliche Rahmen von Strom, Spannung, Zeit und Lange verlassen wird, illustriert jedenfalls die Gleichrangigkeit dieser GroSe mit den anderen, bekannteren Naturkonstanten.
Es spricht also alles dafiir, die Impedanzkonstante in der gleichen Weise zu
behandeln wie alle iibrigen Naturkonstanten auch und sie explizit anzuschreiben,
wann immer sie aus physikalischen Griinden vorkommen muB. An keiner Stelle
ist der Obersichtlichkeit gedient, wenn man die Impedanzkonstante herausgreift und ihr den Sonderstatus einer ,,frei verfiigbaren" Konstante zuweist.
Mit den eingangs erwahnten Beispielen aus der Molekiilphysik ist die Bedeutung der Impedanzkonstanten keineswegs erschopft und es lohnt sich sicherlich. ihr weiter nachzugehen. Jedenfalls bewegt man sich auf festem Boden, wenn
man mit dieser Naturkonstante unbefangen umgeht.
Frau Professor Ev.1 M. PHILBIP;
sei fiir ihr freundliches Interesse an dieser -4rbeit
bestens gedankt.
Literaturverzeic hnis
[l] SEIFERT,
H. U., Phys. Verhandl. DPG 5 (1965) 48 (auszugsweise Mitteilung).
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Bei der Redaktion eingegangen am 21. Mai 1965.
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