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Die vollstndige Lsung der Differentialgleichungen zweier magnetisch gekoppelter konstant gedmpfter elektrischer Schwingungskreise.

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138
5. B i e v o l l s t a n d i g e L6sung d e r Differentialgleichwngem
xweier rnagnetisch gekoppelter, k o n s t a n t
g e d a m p f t e r eleJctrischer SchutingungsTcreise :
vow P. E i e b i t x .
I n h a l t : 1. Einleitung. 2. Mathematischer Hilfssatz. 3. Das Geseta der magnetischen Koppelung: a) Allgemeine Liisung , b) Integrtltionskonstanteo, c) Anfangsbedingungen, d) Allgemeines Gesetz. 4. Ungedampfte Kreise: a) Allgerneiner Fall, b) Koppelung Null, c) Koppelung 1, d) Abstimmung. 5. Ergebnisse.
~-
1. Einleitung.
Die Theorie der gekoppelten Schwingungskreise haben
5. v. G e i t l e r , A. Overbeck, V. B j e r k n e s , P. D r u d e und
M. Wi e n im wesentlichen entwickelt.
Sie fiihrt auf lineare homogene Differentialgleichungen
vierten Grades. Das Verfahren, nach dem ihre Losungen
bisher aufgesucht wurden, lauft im wesentlichen darauf hinaus,
aus der ihrer Form nach bekannten allgemeinen Losung die
physikalische Bedeutung der auftretenden RechengroBen fur
jeden besonderen Fall zu ermitteln.
Dieses Verfahren fuhrt zu einer richtigen Beschreibung
der Vorgange, und obgleich es umstandlich ist, mu6 man es
anwenden, solange die allgemeine Losung nicht gefunden ist.
Es ist auch bekannt, daB es grundsatzlich m6glich sein
muB, die Eigenschaften des gekoppelten Gebildes auf algebraischem Wege aus denen der Einzelkreise und der Koppelung
zu ermitteln, doch ist es bisher nicht gelungen, die allgemeine
LBsung in geschlossener Form darzustellen.
Die Schwierigkeit beruht in der Losung einer algebraischen Gleichung vierten Grades. Im vorliegenden Aufsatz
J‘odstandige
Losung der Bifferentialgleichungen
usw.
139
w i d gezeigt, daS sich diese biquadratische Gleichung im allgemeinen Falle auf eine kubische Gleichung zuriickfuhren la&.
Mit der so gefundenen kubischen Resolvente laBt sich die
allgemeine Liisung der Differentialgleichung durchfuhren und
zum Ausgangspunkt der Theorie machen.
NaturgemaB stimmen die Ergebnisse, soweit sie bisher
bekannt waren, mit denen fruherer Arbeiten uberein, doch
erscheinen sie jetzt ohne umsfandliche Rechnung als besondere Falle eines allgemeinen Gesetzes.
2. Mathematischer Hilfssats.
I n dem Ausdruck
(la) f = f ( t )= q,-A, E, f wl.14,p,
+ ez.Az E, + w 2 - 8 , P,
sollen die Groflen p und w Konstanten sein und die GroSen
A , E und F folgende Funktionen von t :
a’ e -el t , iT1 = sin (w,t + u’), F, = cos (w,t + a’),
(Ib)
=
A2 -- u“ e - ez t , E, = sin (w,t a”), F, = cos (w,t + w”).
{
+
Differentiiert man beide Seiten von (la) viermal nach t,
so ergeben sich der Reihe nach folgende Gleichungen:
clfo
= f‘ = - ( w , ~+ p12)
dt
+
A, 3,- ( 0 % ~
e 2 2 ) ‘1, 4, ,
f”=(w12+qla){e14~1 - ~ , 4 ~ ’ 1
(wzZ+@z”)fPz 4 3 2 - 0 2 8 2
+
f”‘= (w12
+ el2){(wlZ- el? A, 3,+ 2 w1el A, J:i
+(m~z+e~a))f(Wzz-~,z)A,~,
f ” ’ = (GI1,+
+ (ma +
p12) {!~l(+-
1’ f
~ (<I,
z
+ 2w,&q2F7,),
3 0 1 2 ) A, El +w,
P!l
(w12- 3 6,2)r11
- 3 ~2 ’) 8, 3 2 +ws (
~ ~ 4~3A,
- F’J
3 *
Diese vier Gleichungen sind ebenso wie (Ia) linear in
A, F1, A, .Ez und A, I?,. Durch
bezug auf die Fuuktionen A,
Elimination dieser vier Funktionen erhalten wir eine Gleichung
U = 0, in der D eine fiinfreihige Determinante darstellt.
Die Glieder der dritten bzw. funften senkrechten Reihe
dieser Determinante enthalten samtlich den Faktor w, bzw. w,.
Wir konnen also B durch W , . W ~ dividieren. Ersetzen wir
P. liiebitz.
140
nuflerdem zur Vereinfachung der Schreibweise die GroBen
durch u auf Grund der Gleichungen
(4
+ Q12,
u 1 = I 3 21
TO
uz = ma2 4- Qz29
so erhalten wir:
-o=
-D-
w1 0%
f
f
f
f"
"
'I
el
1
!)2
- 7%
0
- ui3
1
0
Ql u1
- u1
0 2 2%
- u2
U l ( U l - 2 el2)
2 el u1
UZ (UZ - 2 e2)
f"" (11u1(4Q,"3uu,) u1(u1-4(117 Qau,(4p22-3u,)
2 0, UZ
Uz(U,-4Q,2).
Diese Determinante hat folgende Eigenschaft : Multipliziert
man die ersten vier wagerechten Reihen der Reihe nach mit
den Ausdrucken:
a = u1 u2 ,
(4
22, = 2(!1,Ul
( b)
(4
+ 4 Q1 + uz
+ Qz),
c =
f d)
+O1~J,
<)2
3
2 d = 2 (!I1
so ist die Summe aller Glieder der zweiten senkrechten Reihe
gleich Null, ebenso die Summe aller fiinf Glieder der dritten,
der vierten und der fiinften senkrechten Reihe, z. B.:
( I , (?A, ?La)
- 2 U l ( { I z u,
+2
UI
+
!'I
u2)
(.,- 2 P12)(P,
+
+ Qz) +
=
el .ul u2 (1 - 2 + 1)
+
!In U,"-
2
+ + 4 01 ez)
('1 7'1 (?ll
242
Q1 U l ( 4 Q I 2
- 3 Ul)
-+ a)
+ el ~ ~ '+( 21- 3)
+
(4 - 4)
h'12n2~,
+ <+1(-
4
+ 4) = 0 .
Wenn man also die beschriebenen Multiplikationen ausfiihrt und alsdann zu den Gliedern der ersten wagerechten
Yollstandige Losung der Differentialgleichungen usw.
141
Reihe die darunterstehenden Glieder der iibrigen vier Reihen
addiert - wodurch der Wert der Determinante unverandert
bleibt - so nimmt die erste wagerechte Reihe die Form an:
af
+2 b f +
df"'+f''"
cf'+
0
0
0
0
.
Entwickelt man nunmehr die Determinante nach dieser
Reihe und dividiert man durch die Unterdeterminante des
ersten Gliedes - sie hat den von Null verschiedenen Wert:
(ul
- so
- u2Ia- 4 (el - (4(e, u1 - el 4
erhalt die Gleichung B = 0 die Form:
af
(11)
+2bf+
cf'+
2 df"+
f " " =0 .
Urn die Gleichungen (a), (b), (c), (d) nach
aufzulosen, fuhren wir die HilfsgroBe ein:
ul, u2,
el und pz,
z = u1 + u 2 .
(2)
Aus den Gleichungen
(2)
und (a) ergibt sich alsdann:
(111a)
(z) und (c) liefern:
4e1pz = c
(2')
-z .
Diese Gleichung ergibt in Verbindung mit (d):
(I11b)
F u r w1 und wz,liefern die Gleichungen (u), (IIIa) und (IIIbl
folgende Ausdrucke:
Setzt man die Werte (XIXa) und (IIIb) von u und p in
die Gleichung (b) ein, so erhalt man die folgende kubische
Bestimmungsgleichung fur z :
(IV)
23
-cz2-
4 ( a - 6 d ) z + 4 ( a c - a d 2 - ha) = 0 .
F. Kiebztz.
142
Wir gelangen also zu dem folgenden
Hilfssatz :
Bas ullgemeine Integral einer linearen liomogenen BifferentiaZgZeichung vierter Ordnung z‘on der Form :
lautet :
(I)
if(”
a’e - el t ( 9 , sin (w,t
=
+ a ” .e- t re2.sin
+ a‘) + w1 cos (w, t + a’)]
t + u”) + w2 - cos (w, t +
.
(0,
E”)]
Dabei sind a’, a”, a‘, a” willkiirliche ~~tegrationskonstanten.Zur
Bestimmung von w,, co2, p1 und e2 liise man zunachst die Gleichung dritten Grades:
(Iv) 2 3 - c z * - 4 ( u - b 6 ) z + 4 ( a c - u ~ d ” - b 2 ) = 0
nach z aufi
r
PI)
Sodann ist:
+ c - 2 d 2 + 2 IZ4-a - 2 d V t - c + 2,
4 w Z 2 = z + c - 2 d 2 - 2 F 2 - U + 2 d l / z - c + 2i,
4w12=z
2el=d+1z-c+2,
2q2 = d
- l/:
- c + 2.
3. Dae Qesetz der magnetiechen Koppelung.
a) Allgemeine L6sung.
Wir betrachten zwei magnetisch gekoppelte Schwingungskreise, 1 und 2, und bezeichnen mit Cl und C2 die Kapazitat
ihrer Kondensatoren, mit I;, und L2 die Selbstinduktionskoeffizienten, mit CY, und W2 die Widerstande ihrer SchlieBungskreise.
Wir bezeichnen ferner mit .LIZ den Koeffizienten der Induktion, die der Iireis 2 auf 1 ausiibt, mit LZ1die Induktion
von 1 auf 2.
el und ea bedeuten die Ladungen, el/Cl und e2/C2 mithin
die Spannungen der Kondensatoren zu einer beliebigen Zeit t ;
il und i2 sind die Stromstarken, die in den SchlieBungskreisen
zur Zeit t 0ieBen.
Alle diese GrbBen sollen in gleichem, absolutem MaBsystem gemessen sein.
Vollstandige Liisung der Diffeereialialgleiciiungen uszu.
143
Das Spannungsgleichgewicht in den beiden Kreisen wird
dann in bekannter Weise durch die beiden Gleichungen auseedruckt:
Da i die zeitliche Abnahme yon e ist, also die Gleichungen gelten :
z1
(2)
=---dd elt '
z2=--
d e,
dt
'
so kann man die Gleichungea (1) in folgender Form schreiben:
(3)
{
el
e,
+ W, C, el'+
+ W, C2 e,'+
2, C, el"+ A12Cle2"= 0 ,
L, C,e,"+ L,, C, el"= 0 .
Die zeitlichen Ableitungen von e sind dabei durch Striche
gekennzeichnet.
Man kann nun die erste Gleichung nach e2 auflosen, die
zweite nach t zweimal differentiieren und sodann in die so
gefundene Gleichung den Wert von ea einsetzen. Dann erhalt man eine Gleichung vierter Ordnung fur e,. Das umgekehrte Verfahren liefert dieselbe Gleichung fur e2.
Das Ergebnis dieser bekannten Umrechnung l) lautet bei
der gewahlten Bezeichnungsweise:
(4)
{ (1 - k2)
er,:
+ 2 (r, + r,) e;,; + ( o , +~ 4 r1 r, + oZ2)eY,z
+ 2 ( ~ ~ 0 ~ ~ + r +~ 0012022e,,z
~ ~ ) e i=, 0~.
Dabei sind die GroBen k2, o und r zur Abkurzung f i r
folgende Ausdrucke geschrieben worden:
(5)
Ihre physikalische Bedeutung ist bekannt: k ist der magnetische Eoppelungskoeffizient , oder einfach die Koppelung der
beiden Schwingungskreise. 0, bzw. 0, ist die Zahl der Schwingungen des Kreises 1 bzw. 2 in 2 n Sekunden, seine Frequenz
oder Haufigkeit. T, und ra sind die Dampfungsfaktoren der
Kreise 1 und 2. Die Dampfungsfaktoren sollen zunachst noch
1) Vgl. z. B.
W. Kiinig, Drudes Physik des Athors 1912. p. 473.
F. Kiebitz.
144
nicht durch die Dekremente ersetzt werden, weil die folgenden
Rechnungen ubersichtlicher werden.
Die Differentialgleichung (4) hat die Form (II), und zwar
haben die GroBen a, b, c, d jetzt folgende Bedeutung:
\”’
1
c =
\d=
-
1
O I ~ + ~ T , T S + O ~
-2
~
c: Q*
1 - 12
1
’
f ‘9
___
1
- 161
1
2
=
c, -f- ry, w,-c; c, + L,c,
L, L2 - 4%
L2,
L, rv2
L, rv, .
._- + -~
L,
7
L, I,, - L,, L,,
Mithin lautet die allgemeine L6sung des Systems der vier
simultanen Differentialgleichungen (1)und (2):
1
1.
t jwl.cos (w,t + a,’) + g, sin (a), t + a,’)]
+ ~ ~ ” . e - ~ ~ ~ ~ w , . c o sa,”)+
( w , t ~+ ~ - s i n ( w , a,”)},
t+
e2 = az’ .e -el { w1 .cos [wlt + u2’)+ e, . sin (w, t + a,’))
+ a,”.e-e,tfw,.cos(w,t+ u2”)+ pz.sin(w,t+uL)].
el = al’.
e
(7)
t
i1 = u1’(w12+gl2).e-e1t.sin(ailt+ a,‘)
(8)
+ p, ),
zg = 02’ (ol
2
+ u , ” ( c o , ~+ p,2).e-e9t.sin(w,t + cc,”),
. e - el . sin (w,t + u2’)
+ u2” (oZ2+ p2,). e
sin (02
t + an”).
t
-@Z
t .
Dabei sind die GriiBen w und Q naeh AuflGsung einer
Gleichung dritten Grades mit dem Hilfssatz aus den Grogen
5 und C algebraisch zu berechnen, indem man die Werte (6)
von a , b, c, und d in die Gleichungen (111)und (IV) einsetzt.
Die Gleichungen (6) und (7) besagen, daB in jedem System
von zwei magnetisch gekoppelten Schwingungskreisen von beliebiger Dampfung und beliebiger Schwingungshaufigkeit Strom
und Spannung in jedem Kreise durch die Ubereinanderlagcrung
von zwei gedampften Sinusschwingungen dargestellt werden,
deren Dampfungsfaktoren und deren Haufigkeiten mit dem
Hilfssatz aus der Koppelung und den entsprechenden GroBen
der ungekoppelten Kreise auf algebraischem Wege berechnet
werden kijnnen.
Jc
Plollstandige Liisuny der Differentialgleichw~yenU.W.
145
b) D i e I n t e g r a t i o n s k on s t an t e n.
Die acht Integrationskonstanten a und ac in den Gleichungen (7) und , (8) sind nicht samtlich willkiirlich, sondern
sie miissen fur alle Werte von t die Gleichungen (3) erfiillen.
Diese Gleichungen wollen wir vermoge der Abkurzungen (5)
in folgender' Form schreiben:
Die GrOBen e, e' und e" kSnnen wir in bequemer Form
darstellen mit Hilfe der A4bkiirzungen:
Beachten wir, da8 das logarithmische Dekrement 8, einer
Schwingung von der Haufigkeit w1 und dem Dampfungsfaktor [ I ,
durch die Gleichung definiert ist:
et
y1 = 2 7t . el und ebenso y s = 2 E -,
01
Annalen der Physik. IT.Folge. 40.
. a%
10
146
3’. Kiebitz.
so konnen wir fur (9) auch schreiben:
(9‘)
Yz
ctga1 = ‘2/1
, ctg a, = %’
n
Die Gleichungen (10) und (9‘) sagen also iiber die Phasenverschiebungen a folgendes aus:
,,Die Kotangente der durch die Dampfung verursachten
Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung jeder
Koppelungswelle ist der 2 n te Teil ihres Dampfungsdekremented‘.
Wir fahren in der Berechnung der Integrationskonstanten
fort und denken uns die Ausdriicke (10) in (3’) eingesetzt. Es
entstehen so zwei Gleichungen von folgender Form :
Darin sind die Bezeichnungen B und q zur Abkiirzung fur
folgende Ausdriicke geschrieben worden:
Pollstandige Losung der Differentiulgleichungen usw.
147
Die Forderung, daB die Gleichungen (11) fur alle Werte
von t erfilllt sein sollen, zerfallt bei gliederweiser Vergleichung
der beiden Seiten jeder Gleichung in je vier Bedingungen. Sie
lauten, fur beide Qleichungen berechnet:
+
- az’=
aI’
(13)
al”-
- (711”+
+
&I)
= TIz‘
EZ)
= T2”+
81
E,
,
-
Die beiden rechten Seiten jeder dieser vier Gleichungen
mussen vermoge der Lasungen des Hilfssatzes untereinander
iibereinstimmen; d. h. sie stellen vermoge der Qleichungen (12),
(S), (5) und (111)dieselben algebraischen Funktionen der QroBen L,
C und W dar.
Die acht Integrationskonstanten a und a sind also durch
vier unabhangige Gleichungen miteinander verbunden ((13)
und (14)).
Die Elimination der vier Konstanten a,’, a,”, aa’ und a,’‘
soll fur den allgemeinen Fall nicht durchgefuhrt werden, weil
sie auf umstandliche Ansdrucke fuhrt, die fur die Berechnungen
in dieser Abhandlung entbehrlich sind.
Es ist von Interesse, zu bemerken, daS die Gleichungen
fur die Phaseniinderungen 17 (12) auch in der Form geschrieben
werden konnen:
c) Die Anfangsbedingungen.
Da von den acht Integrationskonstanten der Gleichungen
(7) und (8) nur vier wesentlich sind, so konnen wir vier Anfangsbedingungen vorschreiben.
Es soll sein fur
(15)
t = 0: el = eo,
Als solche wollen wir wahlen:
il = ez = i, = 0 ,
10*
I?
148
Kiebitz.
oder nach (2) und (10):
1
-
a,’ l/ul sin (a,‘+
+ al” 1/<.
a 1 ’ 5 sin u1’
-I-al” u2 sin u,”
sin (ul”+
+ az“ I<sin (u,”+
+ a2”u, sin or,”
Anfangsbedingungen besagen , daB
&
a,’
sin (a,’+ el)
a,’ul sin a,’
E,)
= eo ,
=0,
E,)
=
o,
=0.
Diese
zur Zeit t = 0
beide Schwingungskreise stromlos sein sollen und der zweite
Kreis aufierdem ladungsfrei.
.
Sie sind also streng erfiillt, wenn die Schwingung im
ersten Kreis durch einen Funken erregt w i d und dem zweiten
Kreise von auBerhalb des gekoppelten Systems keine Energie
zugefiihrt wird; die Zeit, zu welcher der Punken einsetzt, ist
dsnn mit Null bezeichnet. Allerdings sind in diesem Falle
die Voraussetzungen der Theorie insofern nicht streng erfiillt,
als der Dampfungswiderstand E71 den Funkenwiderstand enthalt7 der keine Konstante bedeutet, sondern eine wenig bekannte Funktion der Stromstarke und mithin der Zeit darstellt.
Wird der erste Kreis durch einen Wienschen StoBkreis
mit Loschfunkenstrecke erregt, so ist sein Dampfungswiderstand von der Zeit an konstant, wo der Funken erlischt, und
insofern sind die Voraussetzungen der Theorie streng erfiillt.
Die Bedingung, daB der zweite Kreis noch strom- und ladungsfrei sein soll, in einem Augenblick wahrend des Erloschens
der Funkenstrecke, in dem der erste Kreis stromlos ist, la&
sich bei geeigneter Anordnung mit gro6er Annaherung erfullen.
Unter Umstinden kann jedoch eine besondere Prufung der Vorgange vor dem Erloschen des StoBfunkens erforderlich werden,
2. B. wenn der StoBkreis den zweiten Kreis merklich induziert.
Immerhin ist zu bedenken, daB die Anfangsbedingungen
und damit die Erregungsweise nur die Amplitude und die
Phase der Koppelungsschwingungen beeinflussen nicht aber
ihre Periode und Dampfung.
d) D s s a l l g e m e i n e Gesetz.
Wir fassen die vorstehenden Rechnungen zusammen in
dem folgenden Koppelungsgesetz, das ohne Einschrankung fur
alle Schwingungszahleo Diimpfungen und Koppelungen gilt:
l4ollstandige Losung der Differentialgleichungen
usw.
119
Es seien 1 und 2 zwei magnetisch gekoppelte Schwingungskreise. Wir bezeichnen mit Cl und C, die Kapazitat
ihrer Kondensatoren, mit LI und 2, die Selbstinduktion, mit
W, und W;, den Widerstand ihrer SchlieBungskreise, mit L,,
die Induktion von 2 auf 1, mit LZ1die Induktion von 1 auf 2.
el und e2 bedeuten die Ladungen der Kondensatoren zur Zeit t,
il und i;, die Stromstarken, die zur Zeit i in den SchlieBungskreisen vorhanden sind. Alle diese GroBen werden in gleichem,
absolutem MaBsystem gemessen.
Alsdann wird der zeitliche Verlauf der Ladungen und
Strome dargestellt durch die Gleichungen :
1
I
-
-
el = al’ vsl e-
(4 1
a
-
e2 = a2’ vu, e-el
1.
- sin (ro, t + al’+e l )
+ a,”.
e-e?t . sin(w, t + a , ” + ~ , ) ,
- sin (a,t + a;,’+e,)
+ az”. 1/< . e-pert . sin t + ez’’+ 8,) ,
t
(0,
i, = a,’. ul e-elt. sin ( 0 1 t
(B)
I;,
.
= a,‘. u1 e-@l
+ a,‘)
+ a,”.
% e-ezt
+ a,”.
a,
- sin (wlt + a,’)
. e-
er t
- sin (w,t + a,”),
. sin (a;,
t+
(1~~‘’).
Hierin bedeuten die acht GroBen a und a Integrationskonstanten.
Zur Bestimmung der GroBen w , E , Q und u bilde man
die Schwingungshaufigkeit der einzelnen Kreise (d. h. die Zahl
der Schwingungen in 2 n Sekunden) ohne Dampfung:
ferner die Dampfungsfaktoren:
und die Koppelung:
(E)
150
lil Kz'ebitz.
Sodann berechne man die HilfsgroBen :
(a=-- 0,s 012
I
1
'"
1
'=
1
- c,c,
- k'
*
ox2 + 4 r1T B
+ 09:
r, + r,
1
Id = - -1- --- -k2= - - . 2
1
L, L,
- L,,L2, '
-
1
c, c,
-5,
c, + w,w,c, c, + L, c,
4 L, - L12 L,,
L, W, + L, 5
L, L, - L,, L,,
und lose die Gleichung dritten Grades:
(G)
2- c z 2 - 4 ( a - - b d ) z + 4 ( a c - a d 2 - h 2 ) = 0
nach z auf. Alsdann berechnet man die Haufigkeit w und
die Dampfung e der Koppelungsschwingungen nach den
Formeln :
4wIa = Z +
4 w Z 2= z
(J)
2d2+ 2
C-
f
n
-
2dfz-c+;iZ7
+ c - 2 d 2 - 2 1/9- 4 a + 2 d l z - c + d 2 ,
I
1
2Q1=d+l/z-c+t,
2 g, = (L' - l z - c
Die HilfsgroBen u und
E
+ 2.
ergeben sich nach den Formeln:
Von den acht Amplituden- und PhasengroBen a und oc
sind nur vier wesentlich; sie sind untereinander durch die vier
Gleichungen (13) und (14) verknupft.
Im iibrigen hangen sie von den Anfangsbedingungen ab.
Schreibt man als Anfangsbedingungen vor:
(15)
t = 0,
el = eor e, = il = iz = 0,
so dienen zur Berechnung der acht QrbBen a und u auBer
den vier Gleichungen (13) und (14) noch die vier Gleichungen (16).
Tollstandige Losung der Bifferentinlgleichungen usw.
151
4. Zwei niaht abgeatimmte, ungediimpfte Elchwingungakreise.
a) A l l g e m e i n e r Fall.
Es so11 zunachst der ideale Fall betrachtet werden, in
dem die Widerstande W in zwei beliebigen Schwingungskreisen
unendlich klein sind.
Fur diesen Fall:
f< = w, = 0
ergibt das Koppelungsgesetz (Gleichung (D)) :
1; = T, = 0 ,
(D')
mithin nach (F)
I
(F')
b-0,
d=O,
mithin nach (G)
2- c z 2 - 4 a z
+ 4 a c = ( z - c ) ( z 2 - 4 4 = 0.
Von den Losungen dieser Gleichung fiihrt:
(G')
z=c
durch Rechnung mit reellen GroBen zum Ziel.
Die Gleichungen (J)ergaben:
el = e2 = 0 f
O = 0.
Aus (H) ergeben sich die Frequenzen:
1
( m12 = (c
2
+
1/c2
- 4 a)
3'. Kiehitz.
152
Die HilfsgriiBen
u
und
E
erhalten die Werte:
n
(L')
81
=
= -.
2
82
Zur Berechnung der Amplituden a und der Phasen cc ergeben zunachst die Gleichungen (12):
Die Vorzeichen der Grogen B sind zweideutig; wir konnen
sie positiv setzen, solange die Vorzeichen der Groi3en a
(Gleichungen (11)) noch nicht festgesetzt sind.
Mit den angegebenen Vorzeichen in (13) und (14) eingesetzt, liefern sie:
ul' = azt n ,
{
( 14')
I
I
a,'
- L,,
L,
a,'
a,'/ -
+
ul"= a%"+ n ,
.
ol*
3.
L,
-
--.L,
WZ2
,,=- w22
W,*
o,2-
L,,
W12
W12
Lz .
- __
W?
0,e-
L,,
'
,
09,
Die beiden rechten Seiten der ersten Gleichung (14') sind
in der Tat einander gleich; denn sie ergeben nach Gleichung (E):
w14(1
oder nach (F'):
(17)
- ~ 2 -) m 1 2 ( O 1 2 +
022)
+
012022
=0,
+ a = 0.
w I 4 - cw12
Ebenso mu$ nach der zweiten Gleichung (14) die Beziehung
bestehen :
mz4- c w a 2 a = 0 .
(17')
+
7Xstandige Josung der Differentialgleichungen usw.
153
I n der Tat werden diese Gleichungen durch ( H ) identisch
erfullt.
Die Anfangsbedingungen (1 6) erhalten fur den vorliegenden
besonderen Fall, d. h. mit Rucksicht auf (K'), (L') und (13') die
einfache Form :
a,'
GI,
cos a,'+ all' w2 cos ul"= eo
,
al' co12sin a,'+ all' w22 sin all'= 0 ,
a; o1 cos a,'+ a; w2 cos ul"= 0 ,
a2'w12sin u,'+ az"wZ2sina,"= 0 .
Sol1 die zweite und die vierte von diesen Gleichungen gleichzeitig bestehen, so muB al' und al" einzeln Null sein, d. h.
nach (13):
a,'= a,"= 0 ; az'= az"= n .
Die erste und dritte Gleichung erhalt dann die Form:
a,' w1 + al" w 2 = e,
a2' wl
,
+ a2"w2 = 0 .
Es bleibt noch ubrig, aus diesen beiden Gleichungen und
(14') die vier GrbBen a einzeln zu berechnen. Man findet,
indem man die Gleichungen (F) und ( H ) berucksichtigt :
Wir wollen zur Abkurzung schlieBlich einfuhren:
Alsdann liefern die Gleichungen (A) und (B) fur den Fall
yon zwei ungedampften gekoppelten Schwingungskreisen die
B! Kiebitz.
154
folgenden Formeln fur den zeitlichen Verlauf von Ladung und
Strom in beiden Kreisen:
el
-T
= $ {( l + + ) c o s w , t + ( l
08-09
)
012-oaa
coswzt],
il = + { m , ( ~ + + j sole
i n-o0, ,a t
+ w, (1 - q
j sin w, t 1 ,
L*l
.L
,-o- . fcos w 1 t - cos m2 t ] ,
L
= - eo 2 2 f w l sin o,t - w, sin w, t ] .
0
ez = - e,
0l8
i,
0 2
L8
Dabei sind die Graben 0, w1 und w, aus den Gleichungen (19)
und (H) zu berechnen.
bj Die K o p p e l u n g iat Null.
In diesem besonderen Falle ist
L,, = L,, = k2 = 0 ,
mithin nach (H) und (19):
w1 = ol,
0 = .,a-
w2 = o,,
022.
Die Gleichungen (A') und (B)ergeben also:
e, = e,
. COS o1 t ,
il = eo o1 - sin o1 t ,
e, = 2,. =
0,
d. h. die ungedampfte Eigenschwingung des ersten Kreises
allein.
c) D i e K o p p e l u n g i s t u n e n d l i c h feat.
In diesem Falle ist
L, = L, = L,, = LZl = L ,
h 2 = 1.
Der Fall la6t sich verwirklichen, wenn man beiden Schwingungskreisen eine gemeinsame Spule gibt. Er lauft darauf
hinaus, da6 man zwei Kondensatoren C, und C, parallel
Yollstandige Aiisuny deer D i f f e r e n ~ i a l ~ ~ e i ~ h ~usw.
& n g e n155
schdtet. DemgemaB berechnet man nach (H) fur die groBe
Koppelungswelle die Hiiufigkeit :
1
1
Die kleine Koppelungswelle verschwindet, denn es wird m, = co.
Die Amplituden erfordern 3ei den eingefuhrten Anfangsbedingungen eine besondere Berechnung; sie haben im allgemeinen nur fur andere Anfitngsbedingungen Interesse.
d) Abstimmung.
Die vollsfandige LGsung fur den Fall zweier abgeatimmter
ungedampfter gekoppelter Kreise hat A b r a h a m mitgeteilt
(Theorie der Elektrizitiit Bd. I. p. 300).
F u r diesen Fall haben wir zu setzen:
o1 = n
2
=
0.
Dann ergibt sich aus (19) und (H'):
O=2k02=202
02
w12=I--lc)
(H")
dE'
___
m2= =
02
~
1 + L '
und weiterhin aus (A') und (B) im Einklang mit den Formeln
von A b r a h a m :
1,
=
~2f c o s w , t + c o s o , t ~ ,
=
e0
-fm,sinw,t
2
+ w2sina~,t),
F. Kiebitr.
I. 56
Vollstandige Losung usw.
5. Ergebnisse.
Das allgemeine Integral einer homogenen linearen Differentialgleichung vierten Grades wird dargestellt durch algebraische Funktionen ihrer Koeffizienten und einer kubischen
Resolvente.
Die Anwendung auf die Differentialgleichungen ei”ns Gebildes von zwei magnetisch gekoppelten Schwingungskreisen
gestattet, nach Auf 16sung einer kubischen Gleichung die Eigenschaften der Schwingungen im gekoppelten Gebilde auf algebraischem Wege durch die Eigenschaften der Einzelkreise
darzustellen (allgemeines Koppelungsgesetz).
I m besonderen werden die Frequenzen, Amplituden, Phasen
und Dampfungen dcr Koppelungsschwingungen berechnet.
Die kubische Resolvente la6t sich fur den Fall verschwindend kleiner Dampfung streng berechnen. Fiir diesen
Fall wird die Berechnung der Koppelungsschwingungen auch
fur nicht abgestimmte Systeme streng durchgefuhrt.
B e r 1i n Y t e g l i t z , November 19 12.
-
(Eingegangen 22. November 1911.)
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konstantin, lsung, die, zweier, der, gekoppelten, schwingungskreise, elektrischen, differentialgleichungen, gedmpften, vollstndig, magnetischen
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