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Die wahre Theorie der Fresnel'schen Interferenzerscheinungen.

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31.
I? Weher.
407
Die nngemendete Metliode ist auch sehr gut f ~ dier
jenigen Verbindungen zu verwenden, melche zwnr bei gewijlinlicher Temperatur flussig sind, jedoch ihrer Entziincllichkeit wegen aid gewRhnliche Weise schwierig ZLZ untersuchen sind. Als Beispiel fuhre ich hier noch das Zinkatliyl an, dessen Brechungsindes ich in eineiii specie11 fur
diesen Zwecli constrnirten gl%sernen Gefasse bestimmte,
worin es mir gelang, die Flussigkeit zwischen parallelen
Wsnden hinlanglich rein einzuschliessen.
Tabelle TI zeigt, dass der Index des Zinkiithyls siclr
den Werthen der anderen Netallradicale, wie Quecksilberiithyl (1,5397, D-Linie), Stanniithyl (1,4714, D-Linir), Quecksilbermetliyl (1,5319, D-Link), itnreiht. Doch unterscheidet
iich dasselbe yon jenen Verbindungen daclurch, dass es,
cler Luft ausgesetzt, sich heftig entzundet; e s liefert also
abernials einen Beweis, dass die Eigenschaft der Brennbarlieit niclit nothwendig mit eineni grossen Brechnngsexponenten verknupft zu sein braucht.
Ich hoffe nachstens dic Resultate einer zweiten Versuchsreihe zu verijgentlichen, welche die Bestimmnng der
Brechungsexponenten der meisten ubrigen flussigen Gase
zuin Zwecke hat, uncl welche jetzt thei1weii;e mit Hiilfe
eines Cailletet’schen Coinpressionsapparates und mit Faraday’schen Riihren nusgefiihrt wird , die derart abgeiindert
cind, dass sie auch die Anwendnng eines Glasprismas gestatten kijnnen.
H n a g , ,Juli 1879.
I n dem classischen Versuche, durch welchen T h o m a s
I
oT
u n g die gegenseitige Interferenz zweier Wellensysteine
clemonitrirte, w i d e die Interferenz durch Wellen erzeugt.
408
H. &: Weber.
die erhelsliclie Diffraction erlitten hatten. Y o u n g ' s Interferenzerscheinung ist cine reine Difiractionserscheinung.
F r e s n e l sah in diesein Cliarakter des Young'schen
yersiiches eine Complication und versuchte, die Interferenz
auf einfachere Weise, mit A U S S C ~ ~
der
UW
Diftraction lierzustellen. Er glaubte, dicses Ziel dnrch seinen Doppelspiegel und dnrch sein Doppcljrisma 1 iillig erreicht zu
haben; er sagt ausdriicklich: .,les franges produites par
un verre prismatique ou par deux miroirs formant un
angle triis - obtus n'appartiennent pas & la diffraction,
puisqu'elles ne sont point formPes par des rayons diffractks
ou inflkhis, maii par deux faisceaus lumineux ri-gulicrement ri-flkhis ou riSfrnct6s.'' (Mbm. sur la diffraction de
la lumihe, 11.446). T o n dieser Anschanung aus musste er
folgenclen Zusamnienliang zwisclien der Lichtstarke XI in
irgend einem Orte 62 des Interferenzraumes, der Lage dicses Ortes und der Wellenliinge il gen'm n e n :
wo y1 und r, die Entfernungen bedeuten, welche der Ort Q
yon den beidcn virtuellen Bildern der die Interferenz
erzengenden Lichtlinic besitzt, wo 2 6 der gegenseitige
Abstand dieser beiden Gilder ist, \YO y die scitliclie E n t fernung Lies Ortes Q von cler durch die gemeinschaftliche
Kiante cles Inteiferenxal~parates urid durch die Mitte
zmirchen den beiden rirtuellcn Iichtbildern gelegten Ebene
bedeutet, wo u + zi? die Entfernung des Ortes Q I on der
dnrch diese beiden Bilder gefuhrten Ebene angibt, und n o
endlich 11, eine gewissc Constsnte darstellt. Hiernztcli
17. iirden die durch den Doppelspiegel oder das Doppelprisma erzengten Interferenzerscheinungen folgenden einfachen G rsetzcii nntcrworfen sein:
1) Alle Interfexnzfransen, die demselben
sprechen, hahen genau gleiche Breitc:
u
+- ?r ent-
2) Diese Breite n-achst fur dasselhe d und 3. gennu
proportional niit der Entfernung a + W ;
3) Die Helligkeitsminimn sind siimmtlich untereinander gleich, und m a r glcicli Null;
4) Die Helligkeitsmaxiina haben ebenfalls siimiiitlich
die gleiclie Lichtstarke 3 . H,;
5) Bei Anwendung von weissem Liclite ziir Herstellung der Interferenz ist die mittlere Zone der centralen
Franse stets meiss und auf beiden Seiten von einein gelblichen, weiter nacli ausscn roth gefarbten Saiune umgeben.
P r e s n e l hat versichert, dnrch Beobachtung und Messung alle diese Consequenzen seiner Tlieorie bestatigt gefunden z u haben. I'nzahlige male iind seit F r e s n e l ' s
Tag en die Fresnel'schen Interferenzen als Grunderscheinungen erzeugt morden. und alle Beobachter halien die
Ue1,ereinstimmung dcr Fresnel'schen Theorie mit den Ersclieinungen anerliannt.
D i e s c TTe 1) e r e i n s t i minu n g zw i s c h e n d e r T 11e o r ie
und d e r Wirklichkeit besteht aher nicht; eine g p n a u e r e B e t r a c h t u n g cl e r F r e s n e 1's c h e n 1n t e r f e r enZen lyisst e r l i c n n e n . d a s s k e i n e e i n z i g e d e r i o e b e n
genannteii F o l g e r n n g e n d e r T h e o r i e den E r s c h e i n u n g e n e n t s p r i c h t.
Die Breiten der Interferenzfransen sind fur dieselbe
Entfernung ( L 7 r ganz betriichtlich ungleich. I n gewissen
Entfernungen a zc ist die centrale Franse schinaler nls
ilire liachbarn, letztere breiter als die darauf folgenden
FransPn u. s. w.; andere Entfernungen u + z v gibt e5. in
denen das Umgekehrte stattfindet; in bestimmten Entfernnngen a + 7 c endlich sind die mittleren Fransen genau
gleicli hreit.
Die TVerthe cler verschiedenen Helligkeitsrninima sind
deiitlich walirnehmbar verschieden.
Die Helligkeitsmaxiinn sind ganz betriiichtlich ungleich;
die schmaleren Franben halsen schwiichere Maxima, die
breiteren Fransen stiirkere Maxima. Diese Ungleichhcit
+
+
-110
H. F. Weber.
der Lichtstarlteinaxima ist so gross, dass sie schon auf
den ersten Blick geradezu eindringlich in die Augen fallt.
Die inittlere Zone der centralen Frnnse zeigt sicli bei
Beleuchtung des Interferenzappai’ates mit weissem Lichte
niemals weiss, sonderii immer gefarbt. Die Art der FSrbung wecliselt niit der Entfernung von der gemeinschaftlichen Kante des Interferenzapparntes in der buntesten
W e i s e . Geht man von der Nahe des Interferenzapparates
aus, der Richtung der wachsenden w entlsng, so gewahrt
man folgende Reihenfolge von Farbungen in der mittlwn
Zone der centralen F r a m e :
weiss
gelhlichweiss
gelb
branngelb
fleischroth
blaugrau
griinlichgrau
griingelb
gelb
hraungelb
rothbraun
lich t r o t h
1av en d elgr au
griinlichgelb
gelb
orange
lichtrot h
griinlichgelb
gelblic hweiss
weisslich
u. s. w.
Die Erscheinungen stehen also in vollem Widerspruche
mit der Fresnel’schen Theorie. Die letztere muss also
anf falsclien Principien beruhen.
Schon die blosse Retmclitung der Form des \-on
F r e s n e 1 gegebenen Helligkeitsausdruckes drangt ubrigens
zu cler Ueberzeugnng hin, dass F r e s n e l ’ s Theorie unrichtig sein muss. Die Erfahrung zeigt, dass die Interferenz, d. h. eine oscillirende Lichtintensitat, nur innerhalb
eines ganz bestiinmt begrenzten Raumes auftritt, uncl dass
ausserhalh dieses Raumes constante Helligkeit vorhanden
ist. Diese eigenthiimliche raumliclie Vertheilungsweise der
Lichtstarke ist aber in F r e s n el’s Intensitgtsformel nicht
enthalten.
Eine eingehende Reflexion user das Zustandekoininen
der Fresnel’schen Interferenzerscheinungen deckt den Fehler
in F r e s n e l ’ s Theorie anf. Die \*on F r e s n e l ohne jede
weitere Begrundung gemachte Annahme, claw in seinen
Tnterferenzcrscheinnngen keine Diffi.actionswirkungen vor-
komnien ist unrichtig. Die Fresnel'schen InterferenLerscheinungen sind ebenso reine Difii.actionserscheiiiungen
wie die Young'sclien; die crsteren merden durch die Combination zweier i n n e r e r Di~ractionsfr~~nsensysterne
hervorgebracht, dic letzteren resultiren durch clas Zusammenwirlien zweier Bu s s e r e r Diff'ractionsfransensysteme.
I n der folgenden Sbhandlung entwickele ich, ron dein
von F r e s n e l mit so vie1 Scharfsinn und Erfolg i n die
Difirnctionstheorie eingefiihrten Huygens'schen Principe
ausgehend die exacte Tlieorie der Fresnel'schen Interferenzersclieinnngen. Durch die Zuriickfuhrung der von
F r e s n e 1 in die Diffractionstheorie eingefuhrten ,,Fresnel'when Integrnle" auf zwei mit den Ressel'schen Functionen
in engstem ZusammenEiange stehende transcendentc Functionen gewinne icli einen verhaltnissm8ssig sehr einfachen
allgerneinen Ausdruck der Lichtintensitat, welche in irgend
einem Orte des Interferenzgebietes rorhanden ist. Jn einer
niihern Retrachtung dieses allgemeinen Helligkeitsausdrnckes wird soclann gezeigt , class ein vollkommener
Einlilang besteht zwischen der aus den Principien der
Diffraction entwickelten Tlieorie uncl den beobachtbaren
Erscheinungen.
1. Um einen bestimmten Fall zu haben, m6ge angenommen werden, die zu behandelnde Interferenzerscheinung
werde durch das Fresnel'sche Doppelprisma erzeugt. Die
fiir diesen Pall erhaltenen Resultate lassen sich unmittelbar auf den Fall iihertragen, in welchem die Interferenz
mit Hulfe des Fresnel'schen Doppelspiegels hergestellt
wird. Es sei (s. Pig. p. 412) L die punktfiirmige Lichtquelle und AB, B, CD, D, das Doppelprisma mit vertical
stehenden brechenden Kanten. Die Liclitqnelle miige so
gclegen sein, dass das ron ihr auf die hintere Flache
8,B, D,D2 des Doppelprisma herabgelassene Loth durch
die den beiden Prismen gemeinsame Kante AC in 0 hindurchgeht. Die durch L O gehende horizontale Ebene
moge als horizontale Hauptebene, die clnrch 1, und die
412
11. 3: Weber.
Kante A C gelegte Ehene als verticale Mittelebene bezeiclinet werden.
Die T on der punktftjrmigen Liclitquelle I,ausgehencle
sph'krisclie WellenflLiclie tritt nach dein Durchgnnge durcli
dxs Uoppelprisma in Form zwcier gleicher, rechteckig hegrenzter spliiirischer Wellenfllichen A CE, $1 und A C'K2E,
heryor, yon denen die erstere ihrcn Mittelpunkt in L,.
die andcre in L, hitben miige. Die Linie L,L, liegt in
der horizontalen Hauptebene; die Abstgnde der Orte L,
nnd L2 von der Gcraclen L 0 sirid gleich; die Mitte cler
Gri,aden L,L, sei niit L* bezeiclinet, der Abstand L*L,
= L*L2 sei gleicli d gesetzt. Die liorizontal laufencle
Seite der rechteckigen Begrenzung der splidrischen Wellenflachen habe die LBnge b ; die vertical laufende Seite
dieser Begrenzung sei von der Lange h. Die Strecke
L* 0 sei init a Lezeiclmet. Die Liingen b und 11 sincl selir
klein gegcniiher der Entfernung u.
Die auf den beiden sphiirischen Wellenflachen gelegenen Aethcrtheilchen linben in jedem Zeitmomente iihreinstinimende Bevegung,zustande. Urn den einfachsten Fall
der Rechnung zu haben, nelimen wir an, die von diesen
Aethertheilchen ausgefulirten Oscillationen seien geradlinig
und iiberall gleich gerichtet. Der Ausdruck fur die Ausx-eichung s1 aus dcr Gleichgewichtslage eines auf der
Wellenfliiche A C El F, gelegenen Aethertheilcliens zur
Zeit t sei:
s1 = d
t
iin 2 TC -
1’
Bezeichnen mir init s, die zii derselben Zeit btattfindende
husweichung aus cler Gleicligewiclitslage fur ein auf cler
WellenHache il CE2F2 gelegenes Aethertheilchen, so ist
ehenfalls :
f
s1 = A sin 3;c - .
[r
Die z u lijsende Anfgnbe i,t: die LichtintensitLt zu finden,
die durch das Zusammenwirken der von diesen beiden
IVellenHkhen ancgehonden Oscillationen in irgend einem
Orte Q cles Raunies hervorgernfen w i d .
Zur Liisung dient das Funclamentall?rincip iler Diffractionstheorie, das Hnygenq’sche Princip. 1st JI cler 01t
irgencl eines Flachenelements d w d e r beiden Wellentkclien, bezeichnet
die Entfernung dieses Ortes von dem
01tc Q, f i r welchen die Lichtintensitiit gesucht w i d , nncl
bcdentet S die resultirende A4usweicl~iing,welche d u i ch
&is Znsammenv irkcn nller der von clcn beiden Wellenfi&chen ausgehenden Oscillationen in Q z u r Zeit t erzeugt
wird, 50 ist:
~ v o L die Wellenliinge der von clcn Wellenflachen ;LIIY
gchenden Oscillationen darstellt, nntl wo die Integr.A t 1011
iiber alle Elernente der beiden WellentlRchen auszutlehntn
ist. Dabei ist die Vornussetzung geinacht, class cler Winliel
zwiichen cler Verhindungslinie 9 und der in M nacli a n w n
gerichteten Norinale der Wellenfl~kheso klein ist, dasq
sein Cosinus tler Einheit gleich gesetzt werclen darf.
Das auszuJTerthende Integral kann als die Snminc
zneier Theile betrachtet werdcn:
‘
in clem eriten Theile hezieht sicli die Integration nur :xnf
clip iiimmtlichcn Elemente der Wellenfiache d CZlF2; in
tlem letzten nur anf die Elemente der WellenfXt.ii.lic
H. F. Webet..
414
A LYE2
Pi.Zur Bereclinung djeser beiden Flgchenintegrale
niiige ein rechtwinlieliges Coordinatensgstem zu Grunde
gelegt werden, dessen Anfangspunkt in I.* liegt, clessen
z-Axe die Richtung L*+ 0 h:~t, dessen y-Axe in die Biclitung Lx-+ L, fillt, nnd dessen 5 -Axe vertical nach oben
liiuft. TVir bcsclidftigen uns zunkclist mit dein ersten
lntegrale Si unci clriicken die Grossen el nnd dm1 durch
Coordinatenwerthe aus.
Das beliebige Element d w , der Wellenfliiche A CE,I;,
habe die Coordinate11 .rlylzl; die Coordinaten des Ortes Q
seien . c y z . Es ist tlann:
<I1?
= 'Z2
+ yz $. 9 4-zl?+
?/,2
+ + 22.5 - Zyy,
2,2
-225.
Es gelten aber clie Gleichungen:
9+ (y - d)%+ z 3 = r l z
z12+ (yl - J)Z+
und
z12
= r?.
wenn r1 die Liinge QL, und T den Radius der spli&risclien Wellenflache A C'E1F, bezeichnet. Aus cliesen beiden
Gleichungen lassen sicli unter der Voraussetzung, dass die
Glieder viertclr Orclnung
(:I4,
(:)*j
("
')I,
(y1<A)'. . . .
gegen eins vorscliwindend klein sincl, folgende Werthe fur
und z1 ableiten:
z
h r c h Verwendung der vier letzten Gleichungen lksst sich
der obige Werth von py in folgende Form bringen:
Werden die Yerhgltnisse so gemiililt, dass die kleinen
Grossen vierter Ordnung
i
2 1 1 5,
gegen eins sind, so erlialt
y,> y, 8 1 4
- ~,z , ;-J rerschwindend klein
den Werth:
ErsctLen wir endlicli clas Fliichenelement 3' wl in erster
Ann%hernng durch seine Projection d x l dy, auf die x j / Ebene, und stellen wir wegen der geringen Variation.
welche die Entfernung el von Pl$chenelement zu Fliichenelcnient erleidet , den Factor
und zwar als gleicli
1
1
-
61
als angenzhert constant.
vor clas Integralzeichen, so er-
~- "-61'
halten wir als sehr angenzhert richtigen Werth des ersten
Integrals Sl folgenden Ausdruck:
in welchern die Lange 4,das Kantenstiick CO hezeiclinet
I n analoger \Veise lasst sich cler entsprechende Aasdruck fiir das Integral AY2 gewinnen. Sehmen wir an. die
Goordinaten des beliebigen Elements d0i2 der \TTellenflache
A Cf3',P2sind x2ya z2 (die !/-Axe soll in diesem Falle die
Kichtung L*+ L, haben), und machen wir dieselben T o r ausietzungen beziiglich der Griissen c2,g 2 , dw, und Q?. die
wir soeben in Eetreff cler Griissen .rl, y l , d o j , uiid el gegernacht haben, so erlinlten wir:
y,=b
z =h-I,
AYL
J
L J7
= I.(- - a )
sc-h
y
=o
Die in dieseni Ausdrucke Torkommende Liinnge r, stellt
die Strecke L2Q vor. Urn kurzere Formen fur S, und S2
zu erzielen, soll gesetzt werden:
416
Nach Einfuhrung dieser neuen Bezeichnung nimmt die
Suniine der beiden Fliichenintegrnle folgende F o r m an:
odes :
Hieraus liisst iich sofort die in dein Orte Q auftretende
LichtstLklte rtbleitcn. Bringt man c!cn Satz in Anwendung :
nnd beriicksichtigt, dnrs die Lichtstiirlre H in einein Orte
gleichzusetzen ist dem Mittelwerthe, welchen die lebendige
Kraft der in diesem Orte stattfindenden Aetlieroscillation
wviihrend cler Danei. einer Schwingung besitzt, dass also:
wo ,u die &sse des oscillirenden Aethertheilchens iind S
die zur Zeit t \orliiLnclene Ausbiegung atis der Gleicligewichtslage bedentet, so findet man nls Ansdrnck cler in
Q nnter dem Zusammenwirken der yon beiden Velleniiiichen ausgehenden Oscillationen auftretenden Lichtintensit&t H folgencle Form:
Die hier auftretenden Doppelintegrale konnen auf P r o clacte einfacher Integrale zuriickgefiihrt werden:
u,=h-ho-u
J'
u,=-h,-u
untl :
v,=b-!3,
ja ir:
ul=-(jl
(2,
7+ m u ;
$- mu!
418
Sornit ist die Bestirnmung der in Q resultirenden
Helligkeit auf die Auswertliung Fresnrl'scher Integrale
reducirt. I n dem folgenden Abschnitte fuhre ich die
Fresnel'schen Integrale auf die rerallgemeinerte Besse1'sclie Function uncl anf eine mit letzterer auf das engste
zusaminenhangende Function zuriick nnd decke damit die
eigentliche Natur dieser Integrale anf.
2. Die ursprungliche, von B e s s e l eingefiihrte Definition der Bessel'schen Function ist:
2,
2 m $1
=
1cos (J/ y
-
JL cos 'p) d y ,
0
wo der Index h eine gnnr;e Zahl vorstellt. R e s s e l stellte
die Function I clurch folgende, nach aufsteigenden Potenzen
des Arguments k fortschreitende convergente Reilie dar :
entwickelte die drei Fundanientalgl[~ic.hungen:
und zeigtc, dass die Function die L)ifferential~leicllung.
erfullt :
Spiiter hat clann J a c o 1~i eirien m i t e r n allgeineinen Ausdruck der Function 1 in E'orni einer seniiconyergenten
H. R PVeter.
419
Reilie gegeben, welcher fur sehr grosse Werthe des Arguments k die Natur der Transcendente vor Augen legt
und zur numerischen Berechnung derselben yon ausserordentlicher Brauchharlieit ist :
Diese semiconvergenten Reihen haben die Eigenschaft.
dass jedes neu liinzukoinmende Glied das Maximum des
Unterschiedes zvischen dein Furictionsmertlie uncl der
Sumine der angewandten Glieder bezeichnet.
Ich verallgemeinere die Definition der Ressel'schen
Function dadurch, class ich setze:
I;;) = j
' cos
(/L
(6 - 1L sin (p) (I y .
0
wo der Index /i eine g a n z b e l i e b i g e Zahl sein soll. und
fiihre als verwandte Tranxendente die Function:
-120
H. F. Tlhber..
A m rlieseii Ausdrucksforiiien der beidcn Functionen lnssen
sic11 leicht folgende Tier Eigenscliaften derselben deduciren:
und :
und:
Zwischen den beiclen Trmscendenten bestehen folgende
Zusaininen2iangc:
(4)
.I
.,
sin
;)
h n -- Ek, . cos h ;c - E$.
(3)
E$j.sin h z
7L
.
= -l ( ~
cos
, hn
+ I,;''.
Zur Darstellung der beiden Functionen fur grosse Argunientwerthe uncl zui- deutlichen Einsiclit in die Natur der
beiden Tranbcendenten Bijnnen folgenrle seiniconvergente
Keihen dienen:
Diese Reilien haben die Eigenschttft , dass die Siiinme
aller Clem riten Gliede folgenden Glieder kleiner ist d s
das a t e Glied. Die beiden ersten der vier Reilien stehen
iibrigens in einem engen Ziisamrnenhrl.nge mit den von
C. Xe u m a n n eingefiihrten Bessol'schen Functionen zwciter
Art. I n dem speciellen Fallo, dnss der Index h der Punctionen den Werth f , i, 3 . . annimint, vereinhclien sic11
die obigen Ausdrtlcke erheblich, weil dann die dritte und
vierte Reihe von selbst abbrechen und nur eine endliclie
Anzahl von Gliedern entl1,zlhen; fur den Ball A = 4 z. H.
finclet sich :
.
TI. E Weber.
422
Es sol1 jetzt gezeigt werden, dass die Fresnel'schen
liitegrale durch die Functionen I+ und E : ausgedruckt
merden konnen. Setzen wir in den Relationen (39) und
(3b) it = 4 und k = m u B , so gehen dieselben iiber in:
B u s den Beziehnngen (2a) nnd (2b) nebst (4) und (5) lasst
sich aber fiir cliesen speciellen Fall h = und k = muz
ableiten:
I(L.j=
3
1
'
al;L)-
E( L
=
md)
a,,
1
2
&*)
- mT'
'
q:,,.,
+
- a*
)Z.$
2
Aus diesen vier Beziehungen ergeben sich die beiden
folgenden:
2muBE' 1+?I
djiuq)
-2
du
= 0.
oder auch:
Xultipliciren wir die Oleichung (7) mit cos mu2, die Gleichung (8) mit sin m u 2 uncl acldiren wir die erhaltenen Producte, so erhalten wir:
H . F. Webet..
B',{
4 cos mu? = - (I,:, )
+
423
+ qz'
J . cos
* /I
712213
r '1
- E E(nu")
" .u,sintnu2].
1 2( m u )
Wird clagegen die Gleichung (7) mit sin m u B , die Gleic h u g (8) mit - cos mu2 mnltiplicirt, so liefert die Xddition der entstandenen Producte die Gleichung :
4 s i n m u 2 =tlzc
A I1j l +
(mu)
..+R(:).u.sinnzu?
-
E;J
/
. u . c o s m u 2I ~'
Die beiden allgemeinen Fresnel'schen Integrale haben demnach folgende Werthe:
Jcos(mu2).
B(+
mu q
) ).u.cosmu2
t ~ =
u %
:(I(:+
)"
+ 1 ( 4 ~ ~ '~ .(. sinimu*~
+c ~
j-sin (mu2). c ~ u= 4 ( ~f ( 2+~~(i?'~))
~ ) .u .sin m
) --
zi
~~
(12
(
-i1:
E(itbtJ
.U .COS 711 U 2 f
Die Constante C hat den W e r t h Null, sobald die untere
Grenze der beiden Integrale Null ist.
Fiihren wir die oben erhaltenen semiconvergenten
Reihen fur I 4 und E in die soeben erhaltenen Resultate
ein, so kiinnen wir sofort die GrenLwerthe angeben, welchen die beiden Fresnel'schen Integrale bei wachsendem
Xrgumente zustreben. Es ist:
sin m u2+ 2
(
1
2m;2
1.3
- (zmt&.c2)3
+ - -1
1
H. F, W>ber.
424
,
Hieraus ergibt sicli :
D,irnus geht hervor: linben die obere Greiize 71 und c l i p
Constante m der E’resnel’scllen Integrale so grosse Werthe.
class schon
,2
I erschwindend lilein gegenuber eins
12nmu2
wird, so ist:
3. Nach clieser Zuufickfuhrung dcr Fresnel’schen Integrale nuf die Functionen 1: und 3:; gehen wir wieder
2 u dem fruher gcfundeizcii iinentwickelten Ansclrucke (1\
iiir die LichtstYLrke H in1 Orte Q zurtick und ersetzen ZLI-
g23j:.To2
.n2 A2
ntichst die Grosse
durch 1.25’
n o H , die in
. ?LIP’
clen beiden T;CTellenflachen A CE; Fl und A CE2P2 vorhandene LichtstLke bezeichnet. Es ist :
Diese Suinnie zweier Quadrate lasst sich zunachst in ein
Product aur zwei Factoren zerleyen. \-on denen jeder dit
Suinme zweier Quadrate ist, und \-on denen der eine nnr
,
v 2 enthalt.
die Variabele 71, der andere nur die V a r i a b e l n ~ und
Uer errte cingelilaininerte Factor steht in keineiii Zusaiiimen1i:mge init dem dnrcli das Zusanimenwirken der beiden
M’ellexisystcine liervorgerufenen Interferenzpliiinoinen: vir
wollen denselben aus diesem Grunde nicht nalier betraciitcn. sondern nur so vie1 lien orheben. dass der G r e n z ~ e r t l i .
n elclieiii cierselhe bei ~vachrendeiiGrenzen u1 = h - (h, + CII
z
und 711 = ?id + cc zustrebt. In
ist. Dieser Factor inijge
2
dalier yon jetzt an lturz init
X 2 bezeichnet werden, wo
die Griisse X 2 eine (aus den letzteii Formeln des rorigen
Abschnittes leicht ableitbare) Function von sn (?I - JLd und m (h,+ u ) bedeutet,
~
die sicli bei wachsenden Wertlien
dieser Griissen der Einheit niihert.
Der Beliandlung des z weiten eingeklaminerten Factorc
inbge die beschrankende 170raussetzung zu Grunde gelegt
v-erden, dass die in den olieren Grenzen der Integrale auftretende Griisse h (die Breite der Wellenfl~chen)so gross
iei, und dass die in den o l m e n und unteren Grenzen vorkoiiiinenden Strecken is; und f 2 (die Entfernungen der
Dnrchstosspunkte PI und P2 Ton der Kante A C ) sich
innerhalb solclier Grenzen Iialten, dass die Griissen:
426
H. E: Wrber.
verschwindend klein gegeniiber der Einheit sind. Da der
reciproke Werth der Wellenliinge im Senner dieser GrGssen
erscheint, wircl diese Voraussetznng schon bei einer m&ssigen Ereite 6 der die Interferenz erzeugenden Wellenfliichen erfiillt sein. (1st z. B. b == 20 mm, /3, = = 2 mm,
il=0,0006mm und a=iu=1000 mm, so ist jede der beiden
angegebenen Grijssen von der Orclnung 0,Ol.) Unter diesrr
Vornussetzung ist dann:
a
wo Kiirze halber :
gesetzt worden
+
2n?lm&
a
ist.
Der Umstand, dass die Summe
gleich der Summe
22
+ 1.p:
A
ist, sobald
verschwindend klein gegen die
die Gromen
Einheit sind (was in allen Fresnel’schen Interferenzapparaten immer realisirt sein wird, da x und y nur die Langen
Null bis einige Millimeter besitzen, z dagegen rnehrere
Meter lang ist), vereinfacht diese Ausdriicke ganz erheblich. Nach mancherlei Umgestaltungen k s s t sich die Summe
der beiden zuletzt angeschriebenen Quadrate in folgende
F o r m bringen:
+~,)cos$(r,-r,)sin
z
+ (A, + A,), + ( B , + B,Y
oder,
da nach
einer
2n
- ( r , - T,) = mpi: = m&
i.
soeben
gemachten
Bemerkung
isi,,
+ ( A , 4- A , ) , + (B, + B,),.
Nach der Einfuhrung der oben angegebenen Werthe fur
A , , A,, B, und B2 verwandelt sich diese Form in die
folgende:
EL F. W e h e r .
42 8
Dieses ist aber die Sumine zweier Quadrate:
Naclidem an dieser Qnaclratensumme zwei leicht zu uhersehende Uniformungen vorgenoinmen moiden sind, rcsnltirt als Ausdruck cler Lichtintensitat im Orte Q der folgenrle Wcrth:
In dieseni A
7))
n af
= -;
t,
21'
a.?u
cr-etzt werden.
A n diesem Endresultate miige zunachst erlsutert werclen, in welchem Grade die von F r e s n e l gegehene Theorie
seiner 1nterferenz:Lpparate fehlerhnft iit. Driicken wir die
1
Fnnctionen It uncl E ' dnrch seniiconvergente Reihen ails,
5 0 erhalten wir (fiir positive ,91 und /!I2):
-
(+esetLt.
e5
\\&re so\vohl m/?; als auch m p ; so gross, duss
d o n die Werthe
1
:
12nrn1+:
und
1
rerschwindend
:
1 2 i l m :9,"
lilein ausfallen, so wurde sich der Ausdrucli der Lichtintensitkt in den einfachern W e r t h verwancleln :
Dieser A u d r n c k ist aber, \on dem f i x die Interfcrenz-
(--"
\2
erscheinung nnwesentlichen Factor a + u). X) abgesehen,
identisch rnit den1 von F r e s n e l gegebenen. Die \ o n
F r e s n e l entwickelte Theorie wiirde also nnr ddnn mit
den von ihm aufgestellten Grundsatzen der D i f h c t i o n s theorie, d. 11. mit dem Huygens'schen Princip harmoniren,
1
1
nenn die Grossen
und -verschwindend klein
-
-
1 2 r7 m 9:
12 7c m,4;
wiiren. Diese Grossen linben aber in allen Fallen ganz
erhebliche Werthe. Lassen wir z. B. den O r t Q mitten
i n dem Interferenzfelde liegen, also y = 0 sein, 50 wird
-~
~
oder gleich
7c
tg i
wenn der IVinkel L,0 L, init
<i
430
11. I.: PVeber.
bezeichnet wird; nehmen wir a=w= 1000 min, 1, = 0,00064
< i = 20' (Verhaltnisse. wie sie wohl meistens bei Fresne1'schen Interferenzapparaten vorkominen werden), so erhalt
vxi;]den
7r
t un i
--
Durcli Vergriisserung von
Werth f..,
u
und IC l'asst sich die Griisse dieses Werthes nur sehr unerheblich herabdrucken; sollte derselbe durch Vergrosserung von CI und to z. B. bei demselben i auf 0,01 herabgesetzt werden, so w%re a = 10 = 70 m zu nehmen. Vie1
leichter liesse sicli dieser Zweck durch Vergrosserung des
TVinkels i erreichen; nur wiirde man mit der VergrGsserung dieses Winkels nicht iiber eine gewisse Grenze hinnusgehen durfen, wenn die Interferenzfransen in massiger
Entfernung voin Interferenzapparate noch eine genugcncle
Breite behalten sollen.
TVBren nun aber aucli in dieser Weise fur die
Orte i n unmittelbarer Nalie cler s z - E b e n e die Griissen
nert
worden,
dass
fur
diese Orte
I,/$.p . I),,,, WE.
und
@. 3!,&,.
die Functioneii
gleich den Griissen
sin (m,3*) und cos ( ~ n , 5 ~gesetzt
)
werden durften, so ware
dieses doch nicht inehr gestattet fiir Orte, die erheblich
seitwiirts von d e r az-Ebene liegen, wie die Zusaininenhinge:
sofort erkennen lassen.
Uer erlangte allgeineine Ausdruck fur die in Q auftretende Lichtintensitat l%sst ohne weiteres erbennen, dass
iiir die Orte, fur melche y erheblich
> 2 2!
6 ist, d. 11.
fur Orte, die ausserhalb des keilfiirrnigen Raumes liegen.
der durch die Ebenen LlA C uiid L,A C ails clem allgemeinen Raume ausgeschnitten w i d , die Licht\tarke ff einen
H.E Weber.
c o n s t a n t e n Werth hesitzt.
griisier als
+ 2!
6. so wird
43 1
1st nainlich y bedeutend
= yF3k! so gross, dass
a + ti’
-y
n
+
YW
gesetzt werden clarf; der Werth p:, = a - l - w
ninimt
dagegen einen erheldichen negativen Werth an ! so~~~~
dass
1/-.b2 . I($;,
2%
vg .
3[,
angenahert gleich - sin m& und
. .ELp:)angenahert
gleich - cos m (3;
ist.
Der
liieraus resultirende Werth der Lichtstarke ist dalier
H = H , (a<
X 3 . ALISder Forin des allgemeinen Aus-
?,)’
druckes (9) der Lichtintensitit kann also sofort ersehen
werden , dass die Lielitintensitat der Hauptsache nacli
nur innerhalb der raumlichen Grenzen y =
+
8 uric1
2(‘
S eine oscillirende sein liann. Schon aus den1
1-iiistsnde, dass dieses Factum in F r e s n el’s Helligkeits//=-
~
ausdruck n i c h t enthalten ist, kann a priori geschlossen
werden, class die von P r e s n e l zur Herleitung dieses Ansclruckes angestellten Betrachtungen falscli sein miissen.
Bei der Ableitung des allgemeinen IntensitMsausdruckes (9) sind wir von der Voraussetzung ausgegangen.
dass eine p u n k t f o r m i g e Lichtquelle I, das Doppelp r i m a oder den Doppelspiegel beleuchtet. Das erlangte
Resultat kann jetzt dazu benutzt werden, den allgemeinen
Helligkeitsausdrnck fur den Fall herzuleiten, dass eine
dnrch L gehende und zur Kante AC’ parallel steliende
L i c h t 1 i n i e das Doppelprisma bcstrahlt. Zu diesein
Zw ecke ist der allgemeine Ausdruclr (9) eine Integration
1)eLiiglicli der Richtung der z innerhalb gev,<sser Grenzen
zii nnterziehen. Der durch diese Operation hervorgehende
Ausdruck der Helligkeit hat dieselbe Form \vie der
obige ; an die Stelle der Function X’tritt nur eine andere.
etwa X ; .
Id. f? Weler.
132
4. Xachdem der allgemeine Ansclruck der Lichtintensitat :
gefunclen worden ist, sol1 jetzt die V e r t h e i l u n g d e r
L i c h t i n t e n s i t g t uber die verschiedenon y etwns genzbuer
betrachtet werden. Zu diesem Zwecke sind xuntlchst der
erste und cler zweite Differentialquotient von 11 nach IJ zu
bilden. Diese Differentidquotienten lussen sich linter Anwendung der folgenden E'ormeln leicht angebeii; es ist
zuniichst :
d
U
-- (sin i/tij;) = + 2m,31
dY
a + 10 cos (iiz,d;)
a
d
(sinnifl) = -amp, Q + 10 cos (in&)
dY
d
a
(cos nz$';) = - 2rn,dl -(sin nq?)
a+w
ClY
d
-- (COY
dY
m;z)= + 2ni& -a + sin
Q
10
(in&)
;
ferner ist:
Durch Anwendung der im Abschnitte (2) gegebenen Relation:
verwandelt sich die rechte Seite der letzten Gleichung in
den einfnchern Werth:
a 316.20
(2 .~ , i-~2 ~ 3 .E$
in ,j:
Enter Benutzung der ebenfalls friiher in1 Abschnitte (2)
gegebenen Beziehung :
q,,,
+ 2 p” . q:,j7,
2 2 n 1 p I(:,j2)
7/1
__ =
diJ
-
lasst sich die der letztgefundenen analoge Relation gcwinnen :
.x(i,j;l
+ p2.E!:,,>, ) =
d ’
‘LY ( ~ 3 ~
I ,
a
(-
2mg;
Ti,,;)
+ 2 m:j’i
.
X i t Benutzung dieser Formeln findet man als Endresultat :
Hieraus lisst sich in ganz nnaloger Weise folgender Ausd2 H
dru.ck fiir d yz geminnen:
~
Die Lage cter Xaxima und Ninima dey LichtintensitBt
liings der Richtung der y ist also dnrch die Gleichung
bestimmt :
Dn der zweite Diiferentialqiiotient fiir die durch cliese
(fleichung bedingten Werthe yon y die Form:
Aiiii.
d. Phya.
11.
Chem. S. F. VIII.
28
434
H; E: CVeber.
annimmt, so entspricht dein durcll clie G-leichung (10) be\ 3I:ixiinum
der Liclitinteiisit$t, wenn die
stimiiiten y ein 1
Minimum
5. Die naliere Bestimmung der Lage cler &hxiiii:t
nnd Minima der Lichtintensitat aus der allgemeinen Gleichung (10) ist, sobalcl diese Bestiiiiniung ganz allgemein
durchgefiihrt ir-erden soll, eine ausserst iiiuhsame Anfgalle.
Auf cliese allgeineinu Bestimmung will icli nicht eingehen;
ich will micli begniigen, clie Lnge der Minima und Maxima
in der Niihe der verticalen Hauptebcne, also fur Orte init
-rerhAltnissin%ssig ldeinen y, iiiijglichst g e m u zu bestimmen,
weil dieser specielle Fall der lleclinung keine Schwierigkeiten bietet, und dicser Pall zugleich von cininenter praktischer Vichtigkcit ist, da wohl in fast allen Fallen, in
denen Fresnel'sclie Interfcrenzfransen zur Verivendung
kommen, nur die iii i t tl e r e n Fransen benutz t merdcn.
Zur Eestiniiiiuiig der h g e cier ;\laxima und Miniiiw
fur klcine 9 driicken wir zunaclist in der allgemeincn Redingungsgleichung :
H. F. kFebe2,er.
436
gesctzt ist und fuhren sodann die Xultiplication
Resultat kann in die Forin gebracht werden:
+ 21/2(i2
-
XIIS.
Das
-
2 I/ 2 (e, - e , ) cos
+ 2 1/
2 (el
+
p2)
nz 3;
sin
- 2 i, el
+ 2 c,
+
111 , j ;
il = 0.
Zur weitern Be1i:mdlung fithren nir jetzt die besclirinkende Annahiiie ein: a . ?(- uncl 8 seien so lsescliaflen.
und y so lilrin. class die Grossen:
2b *
H. I? Weher.
136
und mithin auch die Werthe e,, e2 und (i; - i:) als
rerschwindend klein ausser Betracht gelassen werden
diirfen. [Ist (I. = tu = 1000 mm, 6 = 3 m m , y = 0,5 mm,
3, = 0,00061 mm, so ist
1
T=
-
1
----
-
1. 2 7c 172 p9i3
1
= 0,0003, -= 0,001
I 2nmp;3
1
_ _ ~=
‘ 0,00481.
Dann kann die
1. 2.2mt9;1.2nmpf
letzte Gleichung in die folgende Form gebracht werden:
und
_ _ _ _ _ - ~
Die Lagen der Maxima und Minima sincl also durch die
beiden Gleicliungen bestimmt :
COS
~
2 7 sy -_
/.(a+w)
1
~ ~_ _ ___.
-3 . I ( ‘ . ( a f z c ) . cos
2J4 (L
n + ”1
w
- y”a“
~-
322L.?
I.
(_. a .
z
I,
b”p2
+ y”a”
w (a
7c
+ ZL’) +4)= ”
-~
F u r Orte, die in so grosser Nalie der verticalen Mittelebene (y = 0) liegen, class
(5
2
versch\vindend klein
gegeniiber der Einheit ist, nehmen diese Gleichungen die
einfachere Form an :
H. F. Weber.
437
wo 2 0 ~den Winkel bezeichnct, unter velchem die beiden
Lichtquellen von der gemeinschaftlichen Kante A C am
gesehen werrlen.
Sine Vergleichung dieser beiden Bedingungsgleichungen
mit dem oben gegebenen Werthe des zweiten Differentialquotienten dcr Helligkeit nach der Richtnng der y liisst
erkennen, dass die erste der beiden Gleichungen die Lage
cler Helligkeitsminima. die letzte der beiden Gleichungen
clie Lage der Helligkeitsmaxima bestimmt.
Die aufeinander folgenden Helligkeitsminima haben
also ungleiche Abstande; die Interferenzfransen sind mithin ungleich breit. Die Interferenzfransen mussen so lange
v.(f
~
__
f
ungleiche Breite haben, als die Grosse
-2nrt6w
einen
noch erheblichen Wertli besitzt. I n den bis jetzt angevandten Fresnel'schen Interferenzapparaten, bei denen zur
Erzielung moglichst breiter Fransen w sehr klein gewahlt
n urde, und deren Construction nur kleine Entfernungen
a und 2 ~ 'gestattete, ist der Werth dieser Grijsse noch recht
betrachtlich, z. B. gleich 0,064 fur a = zu = 1000 inn1
und fur 2 w = 20'. I n solchen Interferenzapparaten muss
die Ungleichheit der Fransenbreiten scharf ausgepragt hervortreten.
Xahere Aufschliisse uber die Ungleichheit der Fransenbreiten ergibt eine eingehende Betrachtung der Gleichung
Fransen in der Nahe der lrlittelebene (?y=O) genau gleiche
Breite und zwar diejenige Breite, die sie nach der Fresnel'schen Theorie uberall haben mussten; es mag diese
Fransenbreite als ideale Pransenbreite bezeichnet werden.
positiv,
so ist die Breite
negativ,
\ kleiner.
der rnittelsten Franse um eine gewisse GrGsse \ grijsser.
438
El. l? Webe,..
als die ideale Breite; ihre Nnchbarfransen haben eine urn
griissere
Breite nls die ideale Fransenbreite?
eben 50 viel
1 Heinerc
sodass das arithmetisclie Mittel dieser beiden Fransenbreillsreiteren
ten gleich der idealenPransenbreite ist. A n diese
1sclimiiileren
Nachbnrfransen reilien sich in der Richtung von der MittelI schmdere Fransen an, u. s. w. Fiir griissere
ebene fort 1
breitere
y liisst sicli das Gesetz cler Variation der Fransenbreite
in keine einfache F o r m bringen.
Von den Abstiinden der aufeinander folgenden Helliglieitsmaxima gelten laut Gleichang (12) ganz nnaloge Siitze.
Es sind aber die Ungleichheiten in den Abstanclen (leinufeinander folgenden Helligkeitsmnxima viel kleiner als
die Ungleichheiten in den Abstinden cler anfeinnnder folgenden Helligkeitsminiina , da der Quotient der ersten
Factoren der zweiten Glieder der Gleichungen (11) nnd
(12) gleich
f . 5ist.
I n die verticale Mittelebene (y = 0)
fallt imnier ein Helliglieitsmaximuin.
Nachdem die Lage der Maxima uiid Minima cler
Helligkeit fur die Ortc in cler Nihe der verticalen Nittelebene bestiinmt morden ist, sollen jetzt die Werthe iler
in ihnen nuftretenden Helligkeiten ermittelt werden. Zu
diesem Zwecke ersetzen wir in dem nllgeineinen Ausdrucke
(9) cler Lichtintensitat die Transcendenten I und E durch
ihre semiconvergeiiten Reilien :
und fiiliren die Qnndrirung cler heiclen Qlieder %us. Wir
erhalten nach mehreren Umgestaltungen:
Durch die hnnahrne, class
und e2 verschwindend klein
sind, dass sic11 mithin die Pnnctionen il nnd i2 auf die
ersten Glieder
-==
1
uncl
1’2 7 l ?n ,i;
1
VZz nL
ilirer Reihen redu-
ciren, eine Annixlime, die wir ohen zur Bestiinmung der
Lage der Maxima und Nininia der Helligkeit getroffen
linben, geisinnen wir hieraus den einfachern W e r t h :
Dn die Lage der Helligkeitsmininia (lurch die Gleicliung
hestimnit ist:
nimmt die Helligkeit in den Xinimis folgendeii W e r t h an:
440
H;
F. Weber.
Die miniinale Helligkeit in der N'ahe der Mittelebene ist
also wesentlich abhangig von a, to und o. Sie wird nur dann
+
I
+-
tg?o z) ; ; (
gleicli Kull, wenn der Bogen
.
a
+
= n . rr
'1~'
ist; fur dasselbe a , zc und w nimmt sie mit machsendeni
y zu. D a die wesentlich bestimmende Griisse in dem Ausdrucke der niinimalen Helligkeit das Q u a d r a t desjenigen
Werthes ist, der die lrleinen Ungleicbheiten der Frttnsenbreitcn bedingt, so wird die minimale Hclligkeit in der
Nahe der Mittelebene stets so klein bleiben, dass sie der
Beobachtung nahezu als Helligkeit Null ersclieinen wird.
Die Lichtstarke, welche in den durch die Gleichung (12)
bestimmten Maximis auftritt, hat den Werth :
Auch dieses Resultat inacht recht erident , wie weit sich
F r e s n e l ' s Theorie von dem wahren Sachverhalte entfernt. Nach F r e s n e l ' s Theorie ist die maximale Helligkeit constant und zwar gleich demjenigen Werthe. der
sich aus dem ellen gefundenenAusdrucke ergibt, wenn an
die Stelle des letzten , oscillirenden Factors die Einheit
gesetzt wird. I n Wahrheit ist diese maximale Helligkeit
ganz bedeutenden Schwankungen unterworfen. F u r die
Orte in unmittelbarer X h e der verticalen Mittelebene
oscillirt sie zwischen dem lrleinsten Werthe:
H. E: " e b e r .
44 1
und dem grossten Werthe:
auf und ah. Die Grosse dieser Schwankung der maximalen Helligkeit im Verhaltnisse znm Mittelwerthe der maxi2
1 + -')
a
)').\
nialen Helligkeit ist angenahert gleicli ;
10
tff
; far
a = 7U = 1000 mni nnd w = 20' schwankt demnach der
Betrag der maximalen Helligkeit um ca. 25 O, seines
Mittelwerthes.
Fur die Lage der Maxima und Minima der Lichtintensitat und fur die Werthe der Maxima und Minima
ist vor allem die Grosse des Bogens
z Szwz
-ap--
.
+ yzaz + n2+ w)
1. a u' (a
6 2tc2
massgebend. Es lBsst sich zeigen, class die Lange
) ,&- , ( , , .
+ yz a?
eine einfache Becleutung besitzt. Eine durch den Ort Q
parallel zur y z-Ebene gelegte Ebene schneidet die rirtuellen linienformigen Lichtquellen, resp. deren Verlangerungen,
und die Kante AC des Interferenzapparates. Die drei
Schnittpunkte sollen der Reihe nach R,. R, und 0 heissen.
Es ist:
H. F. Weber.
442
6. Zuin Sclilusse sollen noch einige Betrachtungen iiber
die Licht,vertheilnng in cler verticalen Mittelebene (y = 0)
angestellt werden. I n dein Falle, class y = 0 ist, wird
9 10
=
pL = n + to == p,
~~
uncl cladurch redncirt sich cler allge-
meine Ausdrnck cler Lichtintensitat auf:
Durch Einfiihrung der Werthe:
. /3. E,:,+,) = cos )TI ! 3 2 - i
-- c
nncl clurch einige Uinformnngen lisst sich diese Form in
die folgencle iiberfiihren :
I n dieser einfaclien Formel sind alle die inannichfaltigen
Thatsachen ausgedriickt, welclic die Beobachtungen an der
Mitte der centralen Franse constatiren kiinnen. Die Beobachtungen zeigen, dass die Helligkeit der Nitte der centralen Franse bei Anwendung yon homogenem Lichte ganz
betrachtlichen Oscillationen langs cler Richtung der zu
unterworfen ist, deren Amplitude mit wachsendem 20 langsain abnimmt; dieses steht in genanester Uebereinstimmnng
mit Clem vorstehendeii Helliglieitsausdrncke. Ferner ist,
wie bereits in der Einleitung hervorgehoben worden ist,
die Mitte der centralen Franse bei Anwendung ron weissem
Lichte niemals weiss, sondern immer gefarbt, und zwar
leuchtet diese X t t e in den verschiedenen Entfernungen 10
init ganz verscliiedeneii Fnrben. Auch diese Thatsache
ist qunlitativ in Clem vorstehenden Intensitiitsausdrncke
enthalten, denn der Werth von H erscheint a13 Function
der Griissen u , 70, B nnd cler Wellenlaiige 3. Dass nun
&her auch die bestiminte Farhenfolge in der Alitte cler
centralen Franse lbngs der Richtung der i r , die in den einleitenden Worten diesel- Sbhandlung angegeben wurde, in
dem gefundenen Werthe yon Ii! cingesclilossen ist. liisst
sich durch folgende Bemerknng einsehen.
Hatten wir in den drei ersten Abschnitten niclit die
Lichtintensitat gesuclit, Tvelche durch das Zusammenwirlren
cler beiden von den rechtecliig begrenzten spliarisclien
Wellenflachen ACE, PI nnd ACE, F, ausgehenden Wellensystemen in einem auf der Yerticalen Mittelebene (y = 0)
gelegenen Orte Q erzeugt tvird, hiitten wii- u i i q vielinehr
(lie einfachere Aufgabe gestellt, die Lichtstarke 13 fiir denselben O r t Q zu bestimmen, wenn clerselbe niir yon dein
einen der beiden Wellensgsteme hestralilt wird, so wzren
wir zii dem Resnltate gelangt:
Die Lichtstarke, vclche auf einem in der verticalen Mittelebene gelegenen Orte Q clurch die Interferenz cler briden
M-ellensysteme erzeugt wird, i;;t also gleicli den1 vierfiiclien Wertlie derjenigen Lichtstiirke, die in demselben
Ortc durch die alleinige Thatigkeit des einen Wellensystcms hervorgebracht v i i d Die resultirende FBrbung
cler Xitte der centralen Interferenzfranse in irgend einer
Entfernung 7u von den1 Interferenzapparate ist mithin genau clieselbe wie die Far'oung, die derselbe O r t zeigt, wenn
clas eine Wellensystein abgeblendet und nui- das andere in
Wirksamkeit gelassen wird. Dieses theoretische Resultat
steht mit den Thatsachen in J-ollkommenem Einklange.
444
H. Kayser.
Aucli B i l l e t ' s Theorie der von ihni eingefuhrten
,,Billet'schen Interferenzerscheinungen" enthalt den oben
besprochenen Fehler der Fresnel'schen Theorie. Auch
B i l l e t ' s Interferenzerscheinungen stehen unter dein Einflusse der Diffraction und sind in ganz analoger Weise
theoretisch zu behandeln wie die Fresnel'schen Interferenzerscheinungen. I c h gehe hier nicht naher darauf ein, da
die Wiedergabe der Rechnung nichts wesentlich Neues
enthalten wiirde.
I n allen Verwendungen, welche die Fresnel'schen und
Billet'schen Interferenzfransen in der messenden Physik
bisher gefunden haben, ist die fehlerhafte Fresnel'sche
Theorie zu Grunde gelegt worden. Es ist zu wiinschen,
dass die wichtigsten dieser Arbeiten, ich erinnere nur an
die scharfsinnig angelegten messenden Versnche uber Luftschwingungen T'on T i i p l e r und B o l t z m a n n , einer Reiision unterworfen werden.
Eins der wichtigsten Hulfsmittel zur Messung sehr
knrzer Zeiten sind die Stimmgabeln, die man ihre Schwingungen auf einen rotirenden berussten Cylinder aufzeiclinen lasst, wiihrend inan neben der so entstehenden Curve
auf irgend eine Weise am Anfange und Ende der zu messenden Zeit eine lllarke macht. Znr genauen Zeitbestiinmnng ist dann aber eine sehr genaue Kenntniss der
Schwingungszahl der Stimingabel nothwendig, und es liegen
daher zahlreiche Untersuchungen fiber den Einfluss aller
inijglichen Umstande :tuf diese Schwingungszahl Tor. Merliwiirdiger Weise ist aber bisher cler Einfluss der Temperatur noch wenig beriicksichtigt worden. nur gelegent-
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