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Die Wellenbewegung um eine transversal schwingende Saite in unbegrenzter Flssigkeit.

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657
2. D i e Wellembewegung urn e i n e transuersal
schwimgende Saite Qn imbegrenster Pliissigkeit ;
von A. E a l a h m e .
-Bezeichnungen:
r , 4, z Zylinderkoordinaten
rp Geschwindigkeitspotential
n (Komponenten u-, ug, us) Geschwindigkeit
der Fliissigkeitsteilchen
u (Komponenten ur,a,$,
zc.) Verriickung
g und p momentaner Dichte- und Druckwert
und p Dichte und Druck im Ruhezustand
s Verdichtung (Kompression)
C Geschwindigkeit der Transversalwellen auf der Saite
c Schallgeschwindigkeit in der Flussigkeit
n. = k c Kreisfrequenz
1
x,y, x Cartesische Koordinaten,
}
kc
R
N == - sekundliche Frequenz
2% 2%
I
=
einer Schwingung
27c
Wellenlange in der Fliissigkeit
16
-
I halbe Wellenlange der Grundschwingung auf der Saite
y Verhitltnis der spezifischen Warmen cp und cu bei Gasen
m und p Ordnungszahlen (Parameter)
Z m ($) Zjlinderfunktion mt"'Ordnung (allgemeine Bezeichnung)
Jm($),Nm($),&(E) Besselsche, Neumannsche und Hankelsche
Zylinderfunktionen
Bei Doppelvorzeichen oberes fur einlaufende, unteres fur auslaufende
Welle.
I. Problemstellung.
Ansatz uud Integration der Differentialgleiohung d e r Bemegung.
5 1. Problem.
I n einer friiheren Abhandlungl) habe ich auf die M6glichkeit hingewiesen, die Bewegung der Gasteilchen in der Um1) A. K a l a h n e , Uber die Anderung der Schwingungszahl tonender
KGrper in Gasen. Ann. d. Phys. 45. p. 321. 1914.
Annalen der Physik. IY. Folge. 46.
42
658
A. Kalahne.
gebung der dort benutzten transversal schwingenden Stabe
bzw. Hohlzylinder analytisch zu behandeln, indem man sich
statt eines einzelnen Stabes eine unendliche Anzahl gleicher,
in gleicher Form und Phase schwingender Stabe dachte, die
auf einer geradea Achse angeordnet sind und sich gewissermaBen zu einem unendlich langen Stabe zusammenschlieJ3en.
Das ist freilich eine Annahme, die nur eine Anniiherung an
die wirklich vorhandenen Verhaltnisse geben kann. Denn
durch die Hinzufugung der ubrigen, sich seitlich anschlie6enden Stabe wird die Ausbreitung der Bewegung in Richtung
der Achse, die von einem einzelnen Stabe - wenn auch in geausgeht, natiirlich ganz verhindert. Dadurch
ringem Betrage
wird aber auch die Bewegung senkrecht zur Achse beeinfluBt,
also die gesamte Strahlung veriindert. Der Unterschied wird
jedoch um so kleiner, je ranger der Stab im Verhaltnis zu
seiner Dicke und je gr6Ber die Anzahl der Abteilungen ist,
in denen er schwingt, wenn man nur die Umgebung der Mittelebene betrachtet, d. h. derjenigen Ebene, welche senkrecht zur
Stabachse durch die Stabmitte gelegt werden kann. l)
Mit wachsender Zahl der Abteilungen, also wachsender
Ordnungszahl der Eigenschwingungen, wird die Schwingungszahl des Stabes, wenigstens in den mittleren Teilen, derjenigen
der Saite immer ahnlicher, d. h. der Knotenabstand wird nahezu
konstant , die schwingenden Abteilungen haben annahernd
gleiche Lange und die Schwingungsfigur niihert sich immer
mehr der Form einer Sinuslinie. Man kann daher fur den
Fall eines in zahlreichen Abteilungen schwingenden Stabes
als Naherung einfach den Fall einer ebenso schwingenden
Saite setzen , wodurch die analytische Behandlung ermiiglicht
wird. Diese schliefit sich an die von S t o k e s 2, gegebene Behandlung des Falles einer unendlich langen, als Ganzes transversal schwingenden Saite an; ihre Grundzuge findet man u. a.
-
-
-a
1) Man kann die seitliche Strahlung ganz verhindern, indem man
den Raum durch ewei zu dem Stabe bew. der Saite senkrechte, unendlich
ausgedehnte Ebenen in den Endpunkten desselben begrenet; dadurch
werden die Bedingnngen der Rechnung streng verwirklicht.
2) G. G. S t o k e s , Math. and Pbys. Papers 4. p. 299; Phil. Trans.
Roy. SOC. 168. 1868, 18. Juni.
T.PZlenbewPgung um eine transversa2 schwingende Saite usw. 659
bei Lord R a y l e i g h l) skizziert. Es wird sich zeigen, dap unter
gewissen Umstanden im stationaren Zustand keine Energieubgabe
von der Saite bzw. dem Stab an das umgebende Medium stattfindet oder, anders ausgedriickt, dup dabei Reine Strahluny von
der schwingenden Saite ausgeht. In diesem Falle lapt sich uueh
die gemeinschaftliche Bewegung der Saite und des Mediums streng
behandeln. I n dem anderen, ebenfalls m{qlichen Falle, bei dem
Ausstrahlung vorhanden ist, kann man die Behandlung nur unter
YernachZassigung der durch die Strahluiig verursachten Bampfung
durchfuhren.
In der vorliegenden Arbeit sol1 zunachst die Schallbewegung in der Umgebung einer unendlich langen, in Abteilungen schwingenden Saite und die Energiestromung daselbst
behandelt werden.
2. Integration
der Differentialgleichung fir daa Geeohwindigkeitepotential.
Die Bewegung des Yediums, das wir als Fliissigkeit im
allgemeinsten Sinne bezeichnen wollen, wird in bekannter
Weise durch das Geschwindigkeitspotential cp dargestellt. Die
Differentialgleichung der Schwingungsbewegung ist
wo c die Fortpflanzungsgeschwindigkeit einer Starung in der
Fliissigkeit (Schallgeschwindigkeit) ist.
erhalt man die Geschwindigkeit der FliissigkeitsAus
teilchen als
(2)
u = grad cp,
also die Geschwindigkeitskomponente in irgendeiner Richtung
Y
Wir fiihren rechtshandige Zylinderkoordinaten r , 8,t ein
(r senkrechter Abstand von der Zylinderachse, 9 Azimut, z auf
der Zylinderachse gemessene Entfernung von dem auf dieser
1) Lord Rsyleigh, Theory of Sound 11.
Q 339ff.
42 *
A. Xalahne.
660
Achse liegenden Koordinatenursprung) und nehmen 9~ proportional einer Sinus- bzw. Kosinusfunktion der Zeit t an,
indem wir in komplexer Form ansetzen
(3)
cp = v ( r , Q , z ) - e + ” c t = v t r J 4 , z ) . e + i n t .
Die ,,Normalfunktion“
hPngt nicht von t ab. Durch
Einsetzen von (2) in (1) erhalt man nach Abwerfen des
Faktors ef i K c t
- PI$= A l p .
(4)
Da
ist, so geht (4)iiber in
Nun ist nach unaeren Annahmen die Bewegung der Saite,
also auch diejenige der Fliissigkeit langs der z-Richtung periodisch. Die raumliche Periode sei I ; dies ist die Halbwellenlange der Grundschwingung auf der Saite. Wegen dieser
Periodizitat kann man q in eine nach Vielfachen des Argumentes n z / 1 fortschreitende Fourierreihe entwiekeln. Wir
setzen
(6)
[
y
=
=
+ y11 + q2+ + vp +
2nx
Ho + H, cos 7 + H2cos I
-l-...+Hp
. * a
.
COB
w z
T+ . . .,
wo p = 0, 1 , 2 . . sein kann. Die GroBen H p sind Funktionen
von p , ~ , 4 ,aber nicht yon z.
Der Ansatz (6), in dem nur Kosinusglieder vorkommen,
ist brauchbar, wenn der Koordinatenanfangspunkt z = 0 in
die Mitte einer schwingenden Abteilung von der Lange I , bzw.
in die Mitte der ganzen Saite gelegt wird; denn er allein erfiillt die dann stattfindende Bedingung, da8 in der Mittelebene
( z = 0) keine Bewegung in der z-Richtung vorhanden sein darf,
also uz = 0 sein mu8, wie aus Symmetriegriinden erforderlich ist.
Soll, wie weiterhin angenommen werden muf3, auch in den
zur A c h e senkrechten Ebenen z = 112, z = 2112, z = 3112 usw.
Wellenbewegung urn eine transversal schwingende Saite usw. 66 1
und z = - 112, z = - 2112 usw. uz = 0 sein, so miissen die
Funktionen H mit ungeradem Index verschwinden. F u r die
Rechnung kommt diese Einschrankung vorliiu6g nicht in
Betracht.
Jede der Teilfunktionen yo,v1... mu8 die Gleichung (4 3)
befriedigen; daher ergibt sich fur jede der Funktionen Hv die
Gleichung
Zerspaltung von Hv in ein Produkt
(8)
Hp = R - O ,
wo R nur von r, 0 nur von 9 abhangt, fuhrt Gleichung (7)
uber in die Form
'aus der durch Zerlegung folgt
Da die linke Seite nur von r, die rechte nur von 9. abhiingen
darf, so miissen beide, wenn sie dauernd einander gleich sein
sollen, einen und denselben konstanten Wert haben, den wir
ma nennen wollen; m wird eine Ordnungszahl (Parameter) der
Funktionen R und 0. Durch EinfiZhrung derselben erhalt man
aus (9) die beiden Gleichungen
mit der allgemeinen Losung
(11)
und
oder umgeformt
0 = A, cos m 9. + B, sinm 9.;
662
A . Kalahne.
(14)
ist, und Z(I) und Z(2) irgend zwei voneinander unabhangige
Zylinderfunktionen (Be s s elsche, Neu m a n n sche, H a n k e 1sche
Funktionen) darstellen. Die Losung (13) gilt, gleichviel oh x
reel1 oder imaginar, also k > oder < p n / l ist. Nur fur den
Ubergangsfall x = 0, also k = p
muB sie durch eine andere
ersetzt werden. In diesem Falle, also wenn
A=-
(15 )
’=I ’
d,h.
x=O
ist, nimmt die Differentialgleichung (12) die Form an
Ihre allgemeine Losung ist
(17)
+ br-I”,
R
= arm
R
= a‘logr
wenn
m + 0,
dagegen
(18)
+ 6’,
wenn rn = 0 .
Aus den speziellen Bediogungen des Problems ergibt sich
dann weiter, ob beide in dem allgemeinen Integral enthaltene
Partikularintegrale zu benutzen sind, oder ob eins von ihnen
wegzulassen, d. h. mit dem Faktor Null zu versehen ist. Dss
gilt sowohl fur 0 als auch fur R. Durch Multiplikation der
a0 gewonnenen Funktionen 0 und R erhiilt man je eine der
Funktionen H,, und damit je eins der Glieder 9, in der Entwickelung (6), woraus durch Multiplikation mit e+ i * c t das entsprechende Teilglied des Geschwindigkeitspotentials 9~ folgt.
Da jedes dieser Glieder durch ein bestimmtes Wertepaar p
und m gekennzeichnet ist, so sol1 ein solches Glied als y,,,
bezeichnet werden.
,
$ 3. Featlegung der Werte von p und m.
Urn die Vorstellung zu erleichtern, sollen gleich hier die
in Betracht kommenden Werte p und m festgestellt werden.
Wellenbewegung urn eine transversal schwingende Saite usw. 663
Wir nehmen, wie schon friiher angegeben, an, da8 die
Saitenachse die z-Richtung sei, und da8 der Koordinatenursprung (z = 0) in der Mitte einer schwingenden Abteilung
bzw. in der Mitte der ganzen Saite liege. Die Saite schwinge
in der z x-Ebene; der Winkel 8 werde positiv in der Drehungsrichtung von der x-Achse zur y-Achse hin gerechnet. I n der
Fig. 1 ist die x-Achse nach unten, die y-hchse nach hinten,
die z-Achse nach rechts gerichtet, so daB die Richtungen x , y, z
in dieser Reihenfolge ein rechtshandiges System bilden.
Die Schwingung besitzt zwei durch den Koordinatenan fang gehende Symmetrieebenen, namlich die x y- Ebene fur
die z - Koordinate, die z x-Ebene fiir die 8-Koordinate. Aus
ry'hE"fen!
-2
5
(UllteIb)
I
Fig. 1.
der Symmetrie in bezug auf die y z-Ebene fur die z-Koordinate
ergab sich schon, da8 in der Entwickelung (6) nur Kosinusglieder vorkommen. Wbnn I die rBumliche Periode der
Schwingung sein soll, so folgt weiter, dab in dieser Entwickelung nur gerade Werte der Ordnnngszahl p zulassig sind,
denn fir die ungeraden p ist erst z = 2 1 die Periode. Damit
ist erreicht, da6, ebenso wie bei z = 0 , auch bei z = - 112
und + 1 / 2 u, = 0 ist. 1st nur ein Glied mit p = 2 vorhanden,
80 fiihrt die Saite eine einfache Sinusschwingung aus; sind
au0erdem noch Glieder mit hoheren Werten ( p = 4 , 6 . . .) da,
so iiberlagern sich die entsprechenden Schwingungen als Oberechwingungen dieser tiefsten Schwingung.
Von allen moglichen Werten m kommt fur die schwingende Saite nur der Wert m = 1 in Betracht, wenn die Saite
wiihrend der Schwingung ihren kreisformigen Querschnitt nicht
andert. Es ist ferner in Gleichung (11) nur das Glied mit
664
A. Kaluhne.
cos m 9. zulassig, wenn man 9 von der zz-Ebene an zahlt,
da diese Ebene als Schwingungsehene zugleich Symmetrieebene
in bezug auf 9. sein muB; sin m 9. ist aber antisymmetrisch
in 9. Zu den folgenden Rechnungen sollen ubrigens nicht
diese speziellen Werte, sondern, urn volle Allgemeinheit zu
wahren, die allgemeinen Ausdrucke m und p zunachst weiter
benutzt werden.
F u r ein Glied des Geschwindigkeitspotentials mit den
Ordnungszahlen m und p erhalt man den Ausdruck
. pnx
(19) ymp= Am, COB m 9. cos -j- [ Z ' l )( X T )
+ am+,
Z(')
(X
r ) ]e*
ikct,
wenn x $1 0 ist; dagegen
und
(21) s p o p = A , , cos P7[logT
nx
+ %op]e'ikce',
wenn x = 0 ist.
Durch Summation uber p und m, welch letztere Summation
aber bei einer Saite, wie wir sahen, wegfallt, erhalt man das
Geschwindigkeitspotential y , das allgemein einem beliebig vorgegebenen Anfangszustand entspricht.
Jedes Glied cpmpbesteht nach (19) bis (21) aus zwei additiv verbundenen Termen. Von diesen kommt aber unter
Umstanden nur einer in Betracht. 2um Beispiel ist ohne
weiteres klar, daB in (20) und (21) nur der zweite brauchbar
ist, wenn das Medium sich ins Unendliche erstreckt; denn der
erste wurde wegen des Faktors 7-m bzw. log T mit unbegrenzt
wachsender Entfernung r unbegrenzt wachsende Geschwindigkeiten, mindestens in der z-Richtung, bei(20) auch in der 9und der T-Richtung geben. Analoges gilt fur Gleichung (19);
auch hier kann unter Umstanden einer der beiden Terme
unbrauchbar werden und muB deshalb mit dem Faktor Null
versehen werden, weil die betreffende Zylinderfunktion fur unendliches x T selbst unendlich wird.
Die GroBe x (vgl. Gleichung (14)), also auch das Argument x r der beiden Zylinderfunktionen Z&) und Zz),kann
Vellenbewegung urn eine transversal sehwingende Saite usw. 665
reell oder rein imaginar sein. Ob die Zylinderfunktionen
selbst reell oder komplex sind, ist gleichgiiltig, da wir ohnehin
mit komplexen Grot3en rechnen. Fur die Anwendung auf das
physikalische Problem ist in bekannter Weise eine der beiden
reellen Formen von ympzu benutzen, die durch Trennung des
komplexen Wertes ympin seinen reellen und imaginaren Teil
erhalten werden. Wesentlich ist nur, die als Integrale von (9)
anzusetzenden Zylinderfunktionen so auszuwahlen , dat3 die
Losungen yPmP
physikalisch brauchbare Falle ergeben. Solche
Falle gibt es beim stationaren Zustand, fur den unser Ansatz (3)allein gilt, zwei wesentlich verschiedene:
1. eine Bewegung des Mediums, die in groBer Entfernung r in eine fortschreitende, einfach periodische (sinusformige) Wellenbewegung ubergeht , deren Amplitude nach
auBen hin abnimmt;
2. eine stehende, d. b. uberall zeitlich gleichphasige
Wellenbewegung, deren Amplitude ebenfalls nach auBen hin
abnimmt.
1st das die Saite umgebende Medium nach au6en begrenzt, z. B. in einem zur Saite koaxialen Hohlzylinder mit
festen Wanden eingeschlossen, so kann nur der zweite Fall
(stehende Wellen) auftreten. 1st es unbegrenzt, so liegt es
nahe anzunehmen, dab nur der erste Fall (fortschreitende
Wellen) vorkommen konne. Die Rechnung auf Grund des
allgemeinen Ansatzes Gleichung (3) zeigt aber, daS beide Falle
moglich sind, und zwar der fortbchreitende Wellentypus als
stationarer Zustand bei reellem x , der stehende Wellentypus
bei imaginarem x .
9 4. Das Beispiel der Kugelwellen.
Um einen Anhalt fur die zweckma6ige Auswahl der
Zylinderfunktionen 2
): (x r) und Z$)(x r) in Gleichung (19) zu
erhalten, sol1 das bekannte Beispiel der Kugelwellen herangezogen werden. Ihre Differentialgleichung erhalt man bekanntlich aus Gleichung (l), indem man raumliche Polarkoordinaten einfiihrt und vollkommene Symmetrie um den
Koordinatenanfangspunkt r = 0 herum annimmt, so dal3 alles
nur vom Radiusvektor T abhangt. dg, wird alsdann
8.Kalahne.
666
Durch Einfiihrung- dieses Ausdrucks Agi nimmt Qleichung(1 f
hier die Form an
aa(r cp)
-(23)
ate mit der allgemeinen Losung
(24)
1
sp=--P(T+ct)
P und @ zwei ganz beliebige Funktionen sein konnen;
@ (T - c t) stellt vom Zentrum r = 0 nach auBen fortschreitende
(auslaufende), P ( r c t) von au6en nach dem Zentrum r = 0
wo
+
hinschreitende (einlaufende) Wellen dar. Wenn P bzw. Y,
Sinusfunktionen sind , hat man einfach pendelformige (sinusformige) Wellen.
Der hier skizzierte, zur d'Alember tschen Losung (24)
fuhrende Weg der Integration fuhrt, wie bekannt, bei dem
entsprechenden Problem mit Zylinderkoordinaten nicht zum
Ziel. Man kann aber den fur Zylinderkoordinaten allein gangbaren Weg, den wir mit dem Ansatz Gleichung (3) eingeschlagen haben, auch bei dem Kugelwellenproblem beschreiten und auf ihm zum gleichen Ziel gelangen. Setzt
man namlich, entsprechend Gleichung (3),
(25)
gi = q j ( T ) e + ' k C t ,
so muB y der gewohnlichen Differentialgleichung 2. Ordnung
g enu gen
Die Integrale dieser Gleichung sind formell durch Zylinderfunktionen darstellbar, die aber in Sinus- und Kosinusfunktion,
bzw. die Exponentialfunktion, dividiert durch r , ausarten,
namlich l)
1) Reelle Zylinderfunktionen, welche (26) befriedigen, gibt ee nur
die beiden mit gebrochenemhdex J+ (kr) = N-+(kr) und L+(kr)=N+ (kr).
Wegen der Bezeichnungen vgl. J a hn k e - E m d e , Funktionentafeln und
Formeln, p. 9Off. Teubner, Leipeig 1909.
Weellenbewegung urn eine transversal schwingende Suite usw. 66 7
Statt dieser beiden reellen Funktionen, die den Bessel.
schen und Neumannschen Funktionen Jm (x r ) und N, ( x r )
entsprechen, kann man als Integrale auch die komplexen, aus
ihnen ableitbaren Funktionen, nehmen.
Sie entsprechen den Hankelschen Zylinderfunktionen H(1)
und H(2).I)
Nimmt man als Integral ~ ( rvon
) (26) eine der reellen
Funktionen @ ( T ) oder y,"(r) von (27) oder auch - was nur
eine Phasenverschiebung bzw. Verlegung des Zeitanfangs bedeutet -, die Summe beider, jede mit einem willkiirlichen Faktor
multipliziert , so erhalt man stehende Kugelwellen ; in reeller
Form, indem man ekikct in seinen reellen und imaginaren
Teil zerlegt.
Nimmt man als y ( r ) aber eine der komplexen Funktionen (28) oder auch wieder die Summe beider, jede mit
einem willkurlichen Faktor multipliziert, so erhalt man fortschreitende Kugelwellen; denn r'p wird dann von der Form
ekiK(r+ct), also eine von r + c t bzw. r - c t abhangende
Funktion, was das charakteristische Kennzeichen einer ohne
Qestaltanderung fortschreitenden Welle ist. Die reelle Form
derselben wird wieder durch Trennung in den reellen und
imaginaren Teil erhalten.
Das Geschwindigkeitspotential sp wird hier h c h eine
Sinuswelle dargestellt, deren Amplitude mit wachsender Entfernung r proportional 1 / r abnimmt. Die Geschwindigkeit der
und ebenso ihre Verruckungen
Teilchen in der r-Richtung II,
1) Vgl. J a h n k e - E m d e , 1. c. p, 95. Wegen der Integration der
Differentialgleichung (26) vgl. ebenda p. 166.
668
A. Kalahne.
aus der Ruhelage u,. werden durch zwei ubereinander gelagerte Wellen dargestellt , deren eine eine Amplitudenabnahme proportional 1 / r, die andere eine solche proportional
l / r 2 besitzt, wie durch Differentiation von
nach r folgt.
11. Definition und Eigensehsften der Zylinderfunktionen.
8 5.
Allgemeine Definition der Zylinderfunktionen.
Ganz analog lassen sich die Wellen in dem uns beschaftigenden zylindrischen Problem darstellen. Bevor wir
darauf eingehen, sollen die in Betracht kommenden Funktionen
definiert werden. Wir folgen dabei der von J a h n k e und
E m d e a) in ihren Funktionen- und Formeltafeln angewandten,
sehr empfehlenswerten Bezeichnungsweise.
Die Besselsche Zylinderfunktion (Besselsche Funktion
1. Art) ist definiert durch die Potenzreihe
durchlauft alle ganzzahligen positiven Werte von 0 bis co,
die Gammafunktion in Gaussscher Bezeichnung
(v eine positive ganze Zah1)l)
v
n ( m + v ) ist
+
+
+
.. +
(30) n ( m v ) = (m v)(m v - 1 ) . (m 1) n ( m ) .
F u r positive ganzzahlige Werte des Argumentes m v, die hier
allein in Betracht kommen, geht sie bekanntlich iiber in
(31)
I 7 ( m + v) = (m
+
+ v)! = 1 . 2 . 3 . . ;(m + v).
Fur negative ganzzahlige Argumentwerte ist 1 /IT(-), = 0.
Aus der Definitionsgleichung (29) folgt noch fur ganzzahlige m
(32)
J- ,,(6) = -
(6)
(m ganzzahlig).
Die Neumannsche Zylinderfunktion (Besselsche Funktion
2. Art) in der Bezeichnung von J a h n k e und E m d e ist
lj Jahnke-Emde, 1. c. p. 9Off.
2) Jahnke-Emde, 1. c. p. 26.
Tellenhewegung urn eine transversal schzcingende Saite usw. 669
fiir nicht ganzzahlige Parameterwerte
Gleichung
m definiert durch die
(33)
F u r ganzzahlige Werte m versagt diese Gleichung, und die
Definition durch eine Potenzreihe ( N e u m a n n ) lautet alsdann
oder etwas umgeformt
Hierin durchlaufen v und il alle ganzzahligen positiven
Werte zwischen den angegebenen Grenzen; log nat y =0,57721 6
ist die Eulersche oder Mascheronische Konstante; die Funktionen y in der ersten Form Gleichung (34) sind die logarithmischen Ableitungen der Gammafunktion, definiert durch
die Reihe
(35)
q (x)= - log nat y
+
die sich fur ganzzahlige Werte von x einfacher schreiben lafit
0-1
(36)
- lognaty +
~ ( 2=
)
2 +*
1=1
(wenn x positiv, ganzzahlig ist).
6 70
A. KaMhne.
Die Summe der ersten drei Glieder in Gleichung (34a)
ist gleich 2 / m Y , (g), wo Ym@)die Zylinderfunktion zweiter
Art in der ursprunglichen Neum annschen Definition ist.
Fur ganzzahlige Werte des Parameters M gilt
(37)
N- ,
(g) = (-
l)m
N,,,(6)
(m ganzzahlig) .
Diese Definitionen von Jm(g)und A7,(5) IaBt man fur
alle reellen und komplexen Werte des Argumentes gelten.
Fur reelle 6 sind danach J m und N , beide reell, fiir rein
- komplexe Werte kommen fur uns nicht
imaginare Werte
in Betracht - sind beide im allgemeinen komplex. Nur fur
ganzzablige Parameterwerte m vereinfacht sich dies, indem
J, bei geradem m reell, bei ungeradem m rein imaginar wird.
N, bleibt auch in diesen Fallen komplex.
Nur fiir reelles Argument sind Jm und N, oszillierende
Funktionen, die mit unbegrenzt wachsendem 6 verschwinden
wie 11fi; sie verhalten sich fur sehr grofJe 6 wie die durch
dividierten Kreisfunktionen sin
und cos { oder, was
dasselbe bedeutet, wie die durch
dividierte Exponentialfunktion mit imaginarem Exponenten e It iB.
Fiir rein imsginares Argument 8 sind Jm und N, nichtoszillierend; sie verhalten sich fur sehr groBe wie die durch
dividierten Hyperbelfunktionen Gin 6 und C50f $ oder, was
dividierte Exponentialdasselbe bedeutet, wie die durch
funktion mit reellem Exponenten e k e , und zwar werden beide
fur 1= oc selbst unendlicb, da sie beide ein Glied mit positivem Exponenten
enthalten.
Im unbegrenzten AuBenraum k6nnen also zur Darstellung
von Wellen J,(E) und Nm(g)nur bei reellem Argument 6 benutzt werden. Um auch bei imaginkem Argument daselbst
Schwingungen darzustellen, mu8 man die Ran kelschen Zylinderfunktionen H,’(g)und H$’(g)heranziehen, die unter den Zylinderfunktionen allein die Eigenschaft haben, im imaginar Unendlichen zu verschwinden und zwar Bhl’(g)fur positiv, .H$(t) fur
negativ imaginar unendliches Argument. Auf der entgegengesetzten Seite werden sie unendlich, also EL1)@)
fur negativ,
H,$?)(g)fur positiv imaginar unendliches Argument; ebenso sind
sie fur g = O unendlich.
vF
Wellenbewegung urn eine transversal schwingende Saite usw. 67 1
Fur reelles Argument sind beide komplex.
imaginarem Argument sind die Ausdrucke
Bei rein
reell, wenn 6 positiv reell ist. Da unser Argument x r bzw.
i x ' r immer positiv gewahlt werden kann, indem man der
Quadratwurzel in Gleichung (14) den positiven Wert beilegt, so
kommt im wesentlichen B$)(ig)
in Betracht.
Mit J,@ und iV,(g) hangen die Hankelschen Funktionen
durch folgende Gleichungen zusammen l):
(38)
{
~ g(6))= Jm (g) + i Nm (5)
&i?
(6) = Jm
(6)- i N m (6)
Sie stehen also zu den oszillierenden Funktionen Jm(E)
und N, (6) in einer ahnlichen Beziehung, wie die Exponentialunl; e - i E zu den
funktionen mit imaginaren Exponenten c
oszillierenden Kreisfunktionen sin C und cos 8. Dies Verhalten
weist darauf hin, in Analogie mit der bequemen Losung der
Differentialgleichung der Kugelwellen durch Gleichung(28)mittels
der komplexen Exponentialfunktionen, hier statt einzeln mit
den Besselschen und Neumannschen Funktionen, zusammenfassend mit den komplexen R a n kelschen Funktionen zu operieren, und daraus durch Trennung in den reellen und den
imaginaren Teil reelle Losungen zu erhalten. I n der Tat
bringt die Benutzung der Hankelschen Funktionen fur unser
Problem eine groBe Vereinfachung auch insofern, als man die
beiden Falle, reelles und imaginares Argument, in derselben
Form behandeln kann.
Die Gleichungen (38) konnen als Definition der H a n k e l schen Funktionen dienen. Fur rein imaginares Argument,
fur das wir spater Hl(l) brauchen werden, ergeben sich durch
Ausrechnung aus (38) die speziellen Reihenentwickelungen, die
fir m = 0 und m = 1 hier angegeben werden mbgem2)
1) In dieser Form gelten die Gleichungen nur fur reelles
2) Jshnke-Ernde, 1. e. p. 95 u. 96.
5.
672
A. Kdahne.
2
2
+ ( l o g n a t2r -I--
2
-1 ) (ia4
~
6
2!3!
+ . .]) .
,
Dabei ist lognaty wieder die Eulersche Konstante. Die
neuen Bezeichnungen GJl) 6)statt i B,,Q)($)und
statt
- H1(l)(i6) sind wegen einfacherer Schreibweise bei spateren
Rechnungen gewahlt; es sind die bei J a h n k e - E m d e in Taf. XI11
tabulierten reellen Funktionen. Sie sind fiir E = 0 beide positiv
unendlich, fallen mit wachsendem 6 stetig und nahern sich
asymptotisch dem Werte Null.
$j 6.
Die Zylinderfpnktionen fur groDe Argumente.
Da mit zunehmender Entfernung von der Strahlungsquelle der Wellentypus sich mehr und mehr vereinfacht wie
aus rein physikalischen oberlegungen folgt, so ist es wichtig,
das Verhalten der Zylinderfunktionen fur groBe Argumente
zu kennen. Dies ergibt sich am besten aus den halb konvergenten Reihen, in welche dieselben entwickelt werden konnen.')
Es mogen 8, (El) P, (g), Qm(5) folgeade halbkonvergente Reihen
bedeuten :
-
(4m e - 1) (4nt2 - 9)
4 me 1
l! 4 5 +
2! ( 4 5 7
(4m2- 1)(4m2 - 9)(4m2 - 28)
S! ( 4 3 3
+
(4ms - 11 (4m 2 - 9)
2 ! (8 5)2
9)(4me - 25)(4ma - 49)
(4 - 1) (4 m 2-_4 ! (8 5 ) 4
(4 n19 - 1) (4 me - 9)(4ma - 2 5 )
4m2 - 1
3 ! (8 5)s
+ ...
Pm($)= 1
+-
~~
-
..
+ ...
1) Jahnke-Emde, 1. c. p. 98.
~ d e n b e w e g u n gurn eine transversa2 schwingende Saite usw. 673
D a m ist
(43)
&m(& 2 i E ) = pm(E) 7 i Q m ( E ) ,
und die Zylinderfunktionen werden dargestellt durch:
Die Qleichungen (46) lassen sich auch fur imaginares Argument ig statt E benutzen und geben dann
Das obere oder untere Vorzeichen gilt, je nachdem man
das positive oder negative Vorzeichen fur die 1: wlhlt, die
bei der Substitution von iE fur lj im Nenner auftritt. Ubereinstirumung mit der iiblichen Definition der H a n k e l schen
Funktionen fur komplexes Argument l) erhiilt man durch Be1) Jahnke-Emde, 1. c. p. 101.
Annalen der Physik. IV.Folge. 46.
43
674
A. Kalahne.
nutzung
der oberen Vorzeichen. Damit, wie erforderlich,
H i ( - it) konjugiert komplex ist zu Bg)(+ iE), muB man im
Nenner
= - it'c setzen, wenn man H$(- it) bildet.
Bei den entsprechenden Gleichungen (44) und (45) ist der
Ubergang zu imaginiirem Argument, indem man i g statt
setzt, nicht gestattet, wenn man, wie iiblich, die urspriingliche
Definition von J, und Nm durch die Potenzreihen (20) und (34)
bzw. ( 3 4 4 auch fur komplexes Argument gelten Iaiflt. Denn
diese geben folgende Beziehungen
wahrend sich aus (44) und (45) durch Substitution von iE an
Stelle von E andere Werte ergeben wiirden.
Man erkennt, daB nach den Definitionen (48) H $ ) ( i t )
= 2 J, ( i g ) ist.
Aus (41) bis (42) folgt, daB 8, (g) und I'm (6) fur sehr grobe
Argumentwerte dem Werte 1, Q m (E) dem Werte Null zustreben. Daraus folgt weiter die schon angefiihrte Eigenschaft,
da8 Jm (ig), N , (it)und B$'(ilj) mit wachsendem 6 unendlich
werden wie e E / l c , wahrend H i i ) ( iE) wie e - B / l g verschwindet,
und daB Jm(g), N, (t),fi$)(g) und H g ' ( 6 ) sich mit wachsendem 6 mehr und mehr den verklingenden oszillierenden Funktionen
bzw. der Summe
nahern.
Wellenbewegung urn eine transversal schuingende Saite usw. 675
Fur alle Zylinderfunktionen gelten folgende beiden Funktional- und Differentialformeln, von denen wir spater Gebrauch
machen werden:
2m
Zrn-l(D+zm.l(<)=T4(C),
(49)
Hieraus folgen z. B. die in den Entwickelungen des
nutzten Gleichungen:
(49a)
0 12 be-
+ H:Ll(i<)= gd,?(iE),
B$?l(iE)
111. Geschwindigkeitspotentisl nnd Bewegnngssnstand des Mediums.
§ 7. ~eschwindigkeitspotentialund Bewegungezustand,
wenn x reell ist p a l l I).
Wir kehren nun zu dem physikalischen Problem der von
der schwingenden Saite in dem umgebenden , unbeyrenzten
Medium erzeugten Wellen, insbesondere der Wellen in Gasen,
zuriick. Dieses la& sich in den beiden Fallen, wo x (vgl.
Gleichung (14)) von Null verschieden und zwar entweder reell
oder rein imaginar ist, vollstandig rqittels der Hankelschen
Zylinderfunktion erster Art R:) (x r ) als Integral der Gleichung (12) behandeln, fur die man gegebenenfalls nach (38)
die Besselsche und Neumannsche Funktion einfuhren kann.
Im Falle x = 0 tritt die schon fruher (Gleichung (1 7) und (18))
gegebene Losung ein.
Demnach erhalt man aus den Gleichungen (19) bis (21)
mit Weglassung der zunachst belanglosen Amplitudenkonstante
folgende komplexe Werte fur ein Glied yrnpin der Reihenentwickelung des Geschwindigkeitspotentials
43
676
A. Kalahne.
oder wenn man @ ) ( x r ) mittels (46) darstellt
Durch Zerlegung von
sich aus (51) fur kleine
bzw. S, nach (38) und (43) ergibt
XT
und aus (51a) fur groI3e x
T
(53)
Bezeichnet man den reellen Teil von tpmpals y i p , den Faktor
des imaginaren als spgp, setzt also
Wellenbewegung urn eine transversal schwingende Saite usw. 617
I
(54)
ymp =~
+i y m p
I1
r
n
~
und schreibt zur Vereinfachung
so erhhlt man aus (52) und (53) die beiden reellen Potentiale
in je zwei Formen, namlich mit Zufiigung je einer Amplitudenkonstante A' und A"')
( yrnp
I = ~ l c o s mC
a O S ~ [ J (xrlcosnt
,
'
N,,, ( x r ) sinntl
cosmacos~[P,(xr)cos(xr+_nt-x)
- Q m (x r ) sin (x r & n t - x)] ,
Beide Losungen stellen in grol3em Abstande von der Saite
fortschreitende Sinuswellen dar, wie aus der zweiten Form .von
(56) und (57) am deutlichsten zu ersehen ist; denn das Argument der Sinus- bzw. Kosinusfunktion daselbst enthiilt Ort
und Zeit in der fur solche Wellen charakteristischen linearen
Verbindung x r t n L Das obere Yorzeichen gilt f u r die einlaufende, das untere f u r die auslaufende Welle. Natiirlich kann
man dies auch schon aus der komplexen Form (51a) bzw. (53)
ablesen. Die beiden Wellen y1 und y" sind in der Zeitphase
urn n12, d. h. urn eine Viertelschwingung, gegeneinander verschoben. Jede der beiden Wellen setzt sich aus zwei Teilwellen zusammen, die ebenfalls in der Zeitphase um m / 2 , d. h.
urn eine Viertelschwingung gegeneinander verschoben sind.
1) Wenn zur Darstellung des Gesohwindigkeitspotttntials q mehrere
Teilpotentiale mit verschiedenen m bzw. p benutzt werden miiesen, so
miissen die Amplitudenkonstanten zur Unterscheidung naturlich mit Indizes geschrieben werden als A;,, und A:@.
678
A. Kalahne.
Die Amplitude der Teilwellen ist sehr ungleich; sie nimmt
mit wachsendem Abstand T nach zwei verschiedenen Gesetzen
ab, da P, ( X T ) und Qm ( x r ) sich verschieden verhalten. J e
gro8er T wird, desto kleiner wird &, ( x r ) , das wie 1 / x r abnimmt, gegen P, (x T ) , das sich dem konstanten Werte 1 nahert.
In hinreichend groBer Entfernung bleiben also in cpl und cp"
nur die Teilwellen iibrig, die P, ( x r ) als Faktor haben. Die
Amplitude dieser schlieBlich allein in merklichem Betrage
iibrig bleibenden Wellen nimmt ab wie l / l F .
Durch Ubereinanderlagerung von ykp und gn:ip erhalt man
die reelle Losung in allgemeinerer Form, welche erlaubt, den
Anfangspunkt der Zeit beliebig festzusetzen und somit di.e
Ltisung einem beliebig gegebenen Anfangszustand anzupassen ;
selbstverstandlich zunachst nur einem der durch (56) oder (57)
uberhaupt darstellbaren Momentanzustande. Dieses allgemeinere reelle Oeschwindigkeitspoten tial, das weiterhin benutzt werden soll, ist also
= cos m 9. cos
[A'& ( x T )
+ A " N , ( x ~ )COB
] nt
'f [ A ' N , ( x r )
- A"J, (xr)]sinnt
I
Hieraus erhalt man durch Differentiation nach den Koordinaten
die Geschwindigkeitskomponenten u,., ua, u,, weiter die Verruckungskomponenten u,., ug, IL,, die Verdichtung s = (e - p ) / F
die momentane
und den Druck p = p ( l + 7s). Dabei ist
Dichte, F die Diohte im Ruhezustand, p der momentane Druck,
3 der Druck im Ruhezustand des Gases, y das Verhaltnis der
spezifischen Warmen bei konstantem Druck und Volumen. Es
wird, wenn man zur Vereinfachung setzt
(59)
Yellenbewegung urn eine transversal schwingende Saite usw. 679
A. die Geschwindigkeit
up= ~ = x c o s m a c o sP-n x x
ar
1
+
[A' J,' (x r ) A" 8,' (x r)]cos n t
7 [A' N,' ( x r )- A" Jm' (x r)]sin n t
It@ =
wobei in den beiden letzten Gleichungen einer der Ausdrucke
fur cpmP aus (58) einzusetzen ist, was der einfacheren Schreibweise wegen hier unterlassen ist. Weiter wird
B. die Yerriickung
U,
s :
= ~ , d =t - C O S ~ ~ . C O S - P n x
1
x
+
[A' Jm' (x r) A" N,' ( x r)]sin n t
f [A' 8,' (x r) - A" Jm' (x r)]cos n t
A. Kalahne.
680
wobei
ist.
Weiter wird
C. die Perdichtung
Diese Formeln gelten allgemein fur Gase und Fliissig.
keiten. F u r ideale Gase ergibt sich ferner der Druck nach
der Formel
(64)
P =@(I
+rs),
indem man aus (63) s einsetzt. Die Diskussion dieser Gleichungen
soll spater, zusammen mit denen der beiden anderen Falle erfolgen. Nur das Eine soll noch bemerkt werden: Ee ist natiirlich immer moglich, gleichzeitig eine auslaufende (unteres Vorzeichen) und eine einlaufende Welle (oberes Vorzeichen in den
Gleichungen (51) bis (63)) anzunehmen und aus beiden eine
stehende Wellenbewegung zusammenzusetzen, d. h. eine Schwingungsbewegung, die im ganzen Raume die gleiche Zeitphase hat.
Dazu miissen die Amplituden der aus- und einlaufenden Wellen
gleich grot3 sein. Diese Losung (stehende Wellenbewegung)
erhiilt man auch aus dem Ansatz Gleichung (3) immer, wenn
man als Integral R der Gleichung (12) nicht die Verbindung
Wellenbewegung urn eine transversal schwingende Saite usw. 681
Jm(z r) & i Bm(zr) sondern irgend eine reelle lineare Verbindung
Jm(xr) + 8 Nm(xr) benutzt. Physikalisch betrachtet, setzt eine
solche stehende Wellenbewegung immer das Vorhandensein
einer zylindrischen, mit der Saite konzentrischen, Hiille voraus.
die die auslaufende Welle reflektiert und so sekundar eine einlaufende erzeugt. Denn aus dem Unendlichen kann eine Welle
in Wirklichkeit nicht kommen, das ist nur eine mathematische
Fiktion. Wir haben aber den Fall der Begrenzung des die
Saite umgebenden Mediums ausdriicklich ausgeschlossen , so
daB also stehende Schwingungen im Palle I (x reell) fur uns
nicht in Betracht kommen.
8
8.
Geschwindigkeitspotential und Bewegungszustand, wenn
x = 0 ist (Fall 11).
~
~~~
Da bei unbegrenztem Medium die in (20) mit enthaltene
Partikularlosung mit r + m eine Bewegung ergeben wiirde, deren
Amplitude mit wachsender Entfernung schlieBlich unbegrenzt
zunimmt, so kommt nur die Losung mit r - m in Betracht. Also
wird komplex, wenn m 0 ist,
+
Durch Trennung in den reellen und imaginiiren Teil ergeben sich daraus die beiden reellen Geschwiudigkeitspotentiale
(mit Hinzuftigung je eines Amplitudenfaktors B' und B")
spi, = B'cos
nx 1
m 6 cos p~cos n t ,
1 rm
Das allgemeine reelZe Potential wird somit
(68)
ymp =
~
wo gesetzt ist
~
p
+= B
~
pne 1
C ~O Sp ~ ~ C O1 S rm
- -cos(nt-&),
A. Kaluhne.
682
Also wird
A. die Geschwindigkeit
B. die Perriickung
C. die Verdichtung
nx 1
(72) s = - ---"P,
- : ~ c o s m a c o s p--sin(nt-E)
c*
at
1
rm
woraus nach (64) der Druck zu berechnen ist.
Diese Gleichungen stellen eine stehende Wellenbewegung
dar; in allen Punkten des Raumes ist dieselbe Zeitphase vorhanden. Es ist anch nicht moglich, aus den Gleichungen, die
die allgemeinste Losung des Problems darstellen, fortschreitende
Wellen zu konstruieren. Es liegt eben in der physikalischen
Natur des Problems begrundet, daB in diesem Ubergangsfall,
wenigstens im stationaren Zustand, keine fortschreitende Wellenbewegung, d. h. keine Ausstrahlung moglich ist. Dasselbe gilt
nun auch fur den 111. Pall, in dem x imaginar ist, und zu
dem x = 0 nur den labilen Ubergang bildet.
Q 9. Geschwindigkeitepotentialund Bewegungszustand, wenn x
imaginar ist (Fall 111).
____
III.Pall:
x =
dk2- p*
n=
__
12
=
ix' = 2
12
ha imaginar
-
Bei unbegrenztem Medium ist das einzige Integral , das
fur R in Gleichung (12) in Betracht kommt, die Hankelsche
Wellenbewegung um eine transversal schwingende Suite usw. 683
Funktion erster Art H$)(ix' r) mit dem positiven imaginaren
Argument ix' r , da alle anderen Zylinderfunktionen positiv
imaginaren Argumentes im Unendlichen selbst unendlich werden,
wahrend I€$?(ix' r ) daselbst verschwindet. Bei auBen zylindrisch begrenztem Raume ware noch eine zweite Zylinderfunktion, etwa J m ( i x ' r ) , hinzuzunehmen, also das Integral
y m Pin der vollen Form (19) zu benutzen, was hier unnijtig
ist. Man erhalt hier also in komplexer Form wieder mit Weglassung der willkiirlichen Amplitudenkonstanten
Zur Umwandlung der ersten Form von (73) in die beiden
anderen ist Gleichung (47) nebst der bekannten Beziehung
-
m+l
in
e a = i,
also e
--I---=
a
=i
-(m+l)
benutzt worden.
Fiihrt man noch die reel2e Funktion l) GE)(x'
Argumentes x' r durch die Gleichung
T)
des reellen
ein, so laBt sich, immer noch komplex, schreiben
Durch Trennung folgen hieraus wie friiher die reellen Werte,
nunmehr mit Amplitudenkonstanten versehen
1) Vgl. fur m = 0 und 1 die Gleichungen (39) und (40). Die Anwendung der reellen Funktion ff erlcichtert den Uberblick. Tafeln und
Zeichnungen ihres Verlaufs bei J a h n k e - E m d e , p. 154. Fig. 36 und
Taf. XIII.
684
(76)
A. Kalahne.
vkp = C ' C O S ~ wBn Cx G$,)(x'~)cos
O S ~
(77) y z v = C" cos m i+ cos QI
*%
GO ( ~ ' r sin
)
Die Phasenkonstante $ !EL!
n mu8 beibehalten werden,
2
wenn man zur Darstellung eines willkiirlich gegebenen Anfangszustandes mehrere Losungen 'pm mit verschiedenen m ubereinander lagern muB; sonst kann sie als belanglos weggelaseen
werden, da man sie durch einfache Verlegung des Zeitanfangs
zum Verschwinden bringen kann. Wir wollen sie der Vollstandigkeit halber beibehalten.
Durch Zusammenfassung yon rpkp und yZv ergibt sich
wieder die allgemeinere reelle Form
m +1
wobei gesetzt ist
I n der Form stimmt (78) ganz mit (68) iiberein; nur ist
hier G g ) ( d r ) an Stelle von ~ - mgetreten, wodurch eine noch
schnellere raumliche Dampfung (Amplitudenabnahme mit
wachsender Entfernung) bedingt ist. Die Bewegung der
Fliissigkeit ist , wie im Falle 11, eine zeitlich gleichphasige,
d. h. stehende Wellenbewegung im ganzen Raum. Die einzelnen GroBen sind dabei:
A. Geschwindigkeit
Wellenbewegung urn eine transversal schwinyende Saite usw. 685
B. Yerriickung
m
us =
- 112 r c o s m a sin 5s G):
sin
C. Verdichtung
woraus man, wie friiher, die momentane Dichte p = @(1
und fur Gase den Druck p = @ (1 y s) berechnen kann.
+
+ s)
10. Diskussion des Bewegungszustandes.
F u r die Koordinaten 8 und z sind die Gleichungen des
Geschwindigkeitspotentials und aller daraus ableitbaren GrOBen
in den drei Fallen x reell, x = 0 , x imaginar ganz gleich gebaut, die Bewegungsform ist also dieselbe. Fiir T sind die
Gleichungen verschieden.
Ohne weiteres erkennt man folgendes.
Auf gewissen zur
z-Achse (Langsrichtung
der Saite) senkrechten
Ebenen, namlich den
Ebenen, wo
cos ( p 7G ./I, = 0
z
ist, findet weder radiale
noch tangentiale Bewegung statt; die Gasteilchen bewegen sich
daselbst nur in der
z=-L Z=o
z-Richtung. Diese KnoB
tenebenen fur uT und ufi
Fig. 2.
sind Bauchebenen f u r u,.
Sie schneiden die z-Achse in dem Knoten der schwingenden
Saite. Mitten dazwischen liegen die Bauchebenen fur uT und
ug, die zugleich Knotenebenen fur u, sind.
Auf ihnen ist
A. Kalahne.
686
sin ( p z/Z) = 0 ; sie schneiden die z - Achse in den Bauchen
der schwingenden Saite. Z wei benachbarte Ebenen dieser
letzteren Art, wo sin ( p n 212) = 0 ist, begrenzen eine unendlich
ausgedehnte Schicht von der Dicke z = I / p , in der Energie
nur in der r- und 8-Itichtung stromt, die also gegen die benachbarten Schichten energetisch abgeschlossen ist.
DaB dem so sein muB, folgt aus der volligen Symmetrie
der Saitenschwingung und der von ihr erzeugten Fliissigkeitsbewegung rechts und links von einer solchen Ebene (vgl. Fig. 2).
Die Xnotenebenen fur die Geschwindigkeiten u, und us sind
auch Knotenedenen f i r die Terruckungen u, nnd a&, die Yerdichtung s und den Bruck p ; die Bauchebenen sind dementsprechend auch Bauchebenen fiir diese GroBen.
F u r die 9.-Koordinate ergeben sich
ganz analog zusammengehorige Knotenebenen (cosmt? = 0) fiir I L ~und uz (radiale
*
und longitudinale Bewegung), die zugleich
L.6
Knotenebenen fur Yerdichtung und Bruck, aber
A
T;
-
tC-q
Bauchebenen fur
die tanyentiale Bewegung u6
Diese Ebenen enthalten alle die
Achse. Dazwischen liegen wieder die
Fig. 3.
Knotenebenen fur die tangentiale Bewegung u ~ namlich
,
die Ebenen sin m 8 = 0;
eine derselben ist die Ebene t? = 0. J e zwei benachbarte
der letztgenannten Ebenen, z. B. 19. = 0 und 8 = z / m , begrenzen einen Raumwinkel, aus dem keine Energie in die
anderen Raumwinkel iiberstromt (Fig. 3). I n dem uns hauptsachlich interessierenden Falle m = 1 (vgl. 0 3) sind nur zwei
solche Raumwinkel vorhanden, namlich der obere Halbraum
(0 5 9.5IC) und der untere Halbraum (n 7 9 . 5 2 n), die also
energetisch getrennt sind.
Nimmt man nun noch zwei Begrenzungsebenen sin (p nz/Z)=0
hinzu, so erhalt man einen prismatischen Raum, der sich von
der Saite nach r hin in die Unendlichkeit erstreckt und energetisch gegen neine Umgebung abgeschlossen ist; er moge kurz
als Schwingungsfach bezeichnet werden. Diese geometrischen
Verhaltnisse kommen bei der Berechnung der Energiestromung
infolge der Ausstrahlung der Saite in Betracht.
sind.
4-0
n7
z
Vellenbewegung urn eine transversal schwingende Saite usw. 687
IV. EnergiestrBmung (Strahlung) und Energieinhrlt des Mediums.
Q 11. Energiestrom (Strahlung) im Fall I
(x
reell) fur Gase.
Die Energiestromung in der Zeit d t durch ein Flachenelement d f mit der Normale v ist gleich der in der Zeit d t
von den Druckkraften an dem Element d f ' in der Richtung ZJ
geleisteten Arbeit, die sich als Produkt aus Kraft p d f und
Weg u , d t darstellt, also
evdf dt = puvdf d t .
(83)
Die Energiestromung durch die Flacheneinheit in der Zeit
T ist
a) S t r a h l u n g i n d e r R i c h t u n g
T
(Radialstrtimung).
In der Richtung r senkrecht zur Saite ergibt sich die
Strahlung wahrend der Zeit T durch Einsetzen der Werte p , s, ur
aus den Gleichungen (60), (63) und (64)
t+T
t
(84:
t+T
t+T
t
t
-
A*I Jm ( x T ) ) cos n
x x c o s m 8 1~ o [s( A~ I~J ; (xr)
Wichtig ist besonders die Strahlung wahrend einer ganzen
Schwingungsperiode. 1st die Integrationszeit T eine Schwingungsperiode, also
so fallen alle Teilintegrale in (84) weg, deren Integrand eine
einfache Sinus- oder Kosinusfunktion der Zeit, sin n t oder,
A. Kalahne.
688
cos n t ist, da diese Integrale mit der Periode ip periodisch
sind. D. h. der Anteil, welcher dem konstanten Druck jj entspricht, verschwindet, es bleibt nur der dem variablen Teil
des Druckes entsprechende; man hat also, wenn (85) gilt,
einfach in (84) den ersten Term
in der geschweiften
Klammer { I zu streichen. Von dem verbleibenden Rest fallen
aber noch diejenigen Glieder weg, die bei der Ausmultiplikation
das Produkt sin n t cos n t = 4sin 2 n t erhalten, denn sie sind
bereits mit der Periode TI2 periodisch, nehmen also auch nach
der Zeit T wieder denselben Wert an. Dasselbe gilt bei den
Gliedern mit den Faktoren sin2 n t und cos2 n t , die sich als
- cos 2 n t und + 3 cos 2 n t schreiben lassen, fur die Anteile mit cos 2 n t . Es bleibt schieBlich nur
+
+
so da6 man als Endformel fur die Strahlung durch die
Flacheneinheit senkrecht zu r wahrend einer Schwingungsperiode erhalt
L+;
(86a)
e>T)
2Z
=ler
+,
d t = 7 ,-(A''
2PY
t
P ' ) ~ o s ~ ~ ~ c o s ~ ~
I
Mittels der bekannten Formel fur die Schallgeschwindigkeit
in Gasen
c2 =
(88)
PY
B
la& sich dies noch umformen in
2
t r 2
Wellenbewegung urn ezne tTansuersa2 sehwiitgende Saite usw. 689
Das obere Vorzeichen gilt fur die einlaufende, das untere
fur die auslaufende Welle; diese Vorzeichen zeigen an, dab
bei jener Welle Energie von auBen nach der Saite hin, bei
dieser von der Saite fort nach auBen transportiert wird.
Jede der beiden durch A1 und A11 gekennzeichneten TeilI
wellen vmP
und y:p [Gleichungen (56) und (57)] ist dabei unabhangig von der anderen, da nur die Summe der Quadrate
der Amplituden A I a A112, aber kein Glied, das zugleich
A I und A11 enthalt, in dem Ausdruck vorkommt.
Die durch ein zu r senkrechtes Flachenelement wahrend
der Periode T hindurchgehende Energiemenge ist noch von
der Lage dieses Elementes abhangig.
1. AbhangQkeit von r . Durch ein F'Iachenelement df
= r d 9. d z eines konzentrisch um die Saite gelegten Zylindermantels flieBt wahrend T die Energiemenge
+
(89)
1
d f = e,(2') r d 7 7 d z
=F 2F(AIa + B 1 ' 2 ) c o s 2 n t 6 . c o s a ~ d 9 . d z .
Sie ist unabhangig von r ; also fliei3t durch alle aufeinanderfolgenden Zylinderflkchen von gleicher Winkelbreite d 8 immer
die gleiche Energiemenge hindurch. Daraus folgt, dab der
dauernde Energiestrom in der Richtung der Radien r nach
auben bzw. nach innen erfolgt.
2. Abhangigkeit von z. Diese Abhangigkeit ist durch den
Faktor cosz(pTC z/Z) in (89) bedingt; das Gesetz ist sehr einfach.
I n den zur Saite senkrechten Ebenen, wo cos ( p n z/Z) = 0 ist,
stromt keine Energie in der r-Richtung, es sind die Ebenen,
in denen die Gasteilchen sich nur in der z-Richtung bewegen.
Auf den zwischenliegenden Ebenen, auf denen cos (pnzlk)= +. 1
ist, findet die Maximalstrahlung in der 1.-Richtung statt. Diese
Ebenen sin (v n z 1I) = 0 , die Bauchebenen der Radialbewegung,
teilen den Raum in parallele Schichten der Dicke z = l / p ,
die energetisch gegeneinander abgeschlossen sind , da durch
diese Ebenen keine Energie in der z-Richtung hindurchgeht.
Die Schichten sind in Fig. 2 durch verschiedene Schraffierung
gekennzeichnet.
3. Abhangigkeit von 8. Diese ist der Abhangigkeit von z
ganz ahnlich, sie ist durch den Faktor c o s 2 m 8 gegeben. I n
Annalen der Physik.. %
'1 Folge. 46.
44
690
A. Kalahne.
den Richtungen 6, in denen c o s m 6 = & 1 ist, strijmt der
Maximalbetrag; far den Wert m = 1, der allein in Betracht
kommt, sind dies die Richtungen 8 = 0 und 9 = n ; d. h. also,
in der Schwingungsebene der Saite findet die starkste Strahlung
statt. I n der dazu senkrechten Richtung 8 = & n/2 fliebt keine
Energie von der Saite fort oder zu ihr hin.
Integriert man den Ausdruck (89) fur eJT’ d f zwischen
zwei benachbarten Knotenebenen, also z. B. von z = 0 bis
z = Z / p , und zwischen zwei Ebenen, die um den Winkel m/m
gegeneinander geneigt sind, also z. B. zwischen 6 = 0 und
9.= n / m (4= 0 und I9 = m fur m = l), so erhalt man die
ganze innerhalb des so gebildeten prismatischen Raumes
den wir kurz ein Schwiragun.gsfach nennen - aus- bzw. einstrahlende Energie. Es ergibt sich nach einigen einfachen
Rechnungen
-
z=
/I = 4
_jT_ in
nt
(90)
[w]
p
= S S e ~ T , r r l 1 9 d z = f 2m
~ ( yP j 1 2 + g 1 ’ a ) .
z=o, 6 = 0
zp=o z = o
Bei der schwingenden Saite mit m = 1 umfa6t ein solches
Schwingungsfach von 6 = 0 bis n/m den gesamten Raum auf
einer Seite der Schwingungsebene. F u r die Qesamtstrahlung
nach alien Richtungen innerhalb einer Schicht zwischen zwei
Knotenebenen ( z = 0 und z = I / # ) erhalt man daher das Doppelte, also
z=-
(91)
[
1
P’
@=Zn
=
q(T!J
z=o,
-e n l ( A1 2
t%=o
P
+ P,)
= -
1
2 n - ( A x 2+ P 2 ) .
P
Dies ist also der Betray der Energie, die in einer Periode von
einer zwischen zwei benactdarten Knoten gelegenen Abteiluny
der Saite ausyestrar’llt wird. Yon der ganzen Saite wird p ma1
so vie2 ausgeslrahlt, da
p
Abteilungen vorhanden sind.
b) Energiestromung i n der R i c h t u n g 9. (Ttangentialstrtimung).
Eine Strahlung ist hier nicht vorhanden, sondern eine
hin und her pendelnde Stromung, die mit der Schwingungsperiode T,teilweise auch schon mit TI2 periodisch ist. Man
Wellenbewegung urn eine transversal schwingende Saite usw. 69 1
T
erhalt sie, indem man J p u s d t bildet, die Werte p und
us aus
t=O
(64),(63), (60) und (58) einsetzt und integriert.
lautet
Der Ausdruck
t+T
(
I
e!?
=f p u a d t
t
t+T
=s
t
( p +j y :
cos m 4 cos
+ 8" N , ( x
T-))
py [(A' Jm
sin n t & (A1A',,
- 8" Jm ( x 1.)) cos n t]
m
( x T-)
(X
r)
I
x - sin m 8 cos [(A' J,,, ( x r)
1
+ A'' .&,
I
( X 1')) COS 72
t 7 (8' .&m
( X 1')
- A"J,(xr))sinnt]dt.
Hieraus erhellt sofort die obige Behauptung iiber die Periodizitat der Energiestromung, denn beim Ausmultiplizieren der
Klammern und Zusammenfassen der geeigneten Glieder erhalt
man zunachst zwei Glieder mit cosnt bzw. sinnt, die bei der
Integration wieder den Faktor sin n t bzw. cos n t bekommen,
also mit der Periode T = 2m/n periodisch sind. Weiter erhalt
man zwei Glieder mit c o s 2 n t und s i n 2 n t , deren Integrale,
mit s i n 2 n t und cos 2 n t behaftet, schon mit der Periode TI2
= m / n periodisch sind. Samtliche Glieder des Integrals (92)
fallen also bei Integration uber eine ganze Periode weg.
c) E n e r g i e s t r i j m u n g i n d e r R i c h t u n g x ( P s r s l l e l s t r t i m u n g ) .
F u r sie gilt dasselbe wie fiir die 4-Stromung; sie ist rein
periodisch. Die Energie pendelt wahrend jeder Periode innerhalb jeder der friiher erwahnten periodischen Schichten (vgl.
Fig. 2) in der z-Richtung hin und her, schreitet aber nicht
andauernd in dem einen oder anderen Sinne von z fort. Da
auf der Saite keine fortschreitende, sondern eine stehende
Wellenbewegung angenommen ist, so kann ja aus Symmetriegrunden in der Umgebung auch keine fortschreitende Bewegung nach der z-Richtung stattfinden. Die Formel fur e?)
44 *
692
A . Kalaiine.
geht aus der Formel (92) fur
Faktor
m
-sin
ep’ hervor,
m 8 cos !’?
durch
1
$n
- cos m
I
indem man den
B sin b m1 %
ersetzt, da sich u@ und us nur durch diese Faktoren unterscheiden.
Die Richtung, in der die Energie durch irgendeinen festen
Punkt des Raumes hindurchstromt, wechselt von Augenblick
zu Augenblick, da das GroBenverhaltnis der Geschwindigkeitskomponenten u,, us. u, sich periodisch andert. Die Linien,
langs welchen die Energie in einem gegebenen Zeitmoment
stramt , sind gekriimmte Linien (im allgemeinen schlangenformige Raumkurven). Nur in den Ebenen, in denen eine der
genannten Komponenten dauernd gleich Null ist, hat man
ebene Stromlinien der Knergie, d. h. in den Ebenen senkrecht
zur Saite, wo sin(pmzZ/l)= 0, also z = 0 , & l / p , j,Z l / p ...
ist (Bauchebenen der Schwingung), und in den Ebenen, welche
die z-Achse enthalten und fur die sin m 6 = 0 , also 9. = 0,
& m/m, 427zdjm... ist; d. h. bei der Saite mit m = 1 i n der
Schwingungsebene derselben. Die Stromlinien andern ihre
Gestalt periodisch.
Verschieden von diesen Kurven, den Stromlinien der
Energie, welche die momentane Richtung der Energiestromung
in jedem Augenblick fur das ganze Feld angeben, sind naturlich die Bahnen, welche je ein gegebenes Energieelelnent beim
Vorwartsschreiten zurucklegt ; denn diese Bahnen setzen sich
aus den aneinander anschlieBenden Langenelementen :derjenigen
Stromlinien zusammen, die fur aufeinanderfolgende Zeitelemente
gelten. Diese Verhaltnisse hier weiter zu verfolgen, hat aber
keinen Zweck.
5 12.
Energieinhalt des Mediums im Fall I1
( x imaginiir).
( x = 0)
und 111
I n den Fallen I1 und I11 ( x = 0 und x imaginar) ist keine
fortschreitende W ellenbewegung, also auch keine Energieausstrahlung vorhanden. Bei den durch die Gleichungen (68)ff.
und (78) ff. dargestellten stehenden Wellen, die fur diese Falle
charakteristisch sind, findet nur ein Hinundherpendeln der
Wellenbewegung! urn eine transversal schwingeride Saite usw. 693
Energie des Mediums in der Periode der Saitenschwingung
statt, das kein besonderes Interesse erregt. Von Interesse ist
aber die Kenntnis des gesamten Energieinhalts, der nach Eintritt des stationaren Zustandes in dem unendlich ausgedehnten
Medium steckt.
Unsere Gleichungen gelten fur den stationaren Zustand.
Solange dieser noch nicht erreicht ist, mu8 Energiestrahlung
stattfinden. Wenn z. B. die Saite zur Zeit t = 0 in dem bis
dahin ruhenden Medium zu schwingen anfangt, so sendet sie
fortschreitende Wellen in das Medium hinaus, die Energie in
dasselbe ubertragen. Diese Energie erfiillt, nach auBen fortschreitend, allmahlich den ganzen unendlichen Raum. Wenn
dieser Vorgang beendet ist, wird der Zustand stationar. Streng
genommen tritt das erst nach unendlich langer Zeit ein, da
erst dann alle Punkte des Raumes von den Wellen erreicht
sind und jede Stelle die ihr im stationaren Zustande zukommende Energiedichte angenommen hat. I n Wirklichkeit
kann dieser ProzeB praktisch bereits in endlicher Zeit beendigt sein, wenn namlich die Verteilung der Energie im
stationaren Zustand derart ist, dab der gesamte Energieinhalt
des unendlichen Raumes endlich bleibt. In diesem Fall enthalten die fernereri Teile des Raumes so geringe Energiemengen,
daB man sie praktisch vernachlassigen kann, und ein dem streng
stationaren Zustand angenaherter stellt sich schon ein, wenn
erst ein endlicher Teil des Raumes von den Wellen durchsetzt
ist, wozu naturlich auch nur eine endliche Zeit und die Abgabe einer endlichen Energiemenge erforderlich ist.
Dies tritt, wie sofort nachgewiesen werden soll, im Fall 111
ein, wo x imaginar ist; und zwar wird unter sonst gleichen
Urnstanden die notige Energiemenge um so kleiner, je groBer
der absolute Betrag von x ist.
Schon in dem Ubergangsfall I1 ( x = O ) bleiben die der
r- und 9-Komponente der Bewegung entsprechenden Energieteile immer endlich wenn m > 0 ist, dagegen bleibt der der
z Komponente entsprechende Teil nur dann endlich, wenn
m > 1 ist; er wird also in dem uns besonders interessierenden
Falle m = 1schon unendlich, jedoch nur logarithmisch unendlich,
wonach man erwarten kann, daB im Falle I11 (x imaginar) auch
dieser Anteii endlich bleibt, wie auch die Rechnung bestatigt.
-
A. Kalahne.
694
Der Energieinhalt ist formal leicht anzugeben. Da es
sich um eine stehende, uberall zeitlich gleichphasige Schwingungsbewegung handelt, so ist zu gewissen Zeiten die gesamte
Energie kinetisch, zu gewissen anderen Zeiten rein potentiell,
in den Zwischenzeiten geteilt teils kinetisch, teils potentiell.
Rein kinetisch ist sie zu den Zeiten wo sin ( n t - E ) = 0 ist
(im Fall 11)oder sin (nt =F ( m 1)m / 2 - 17) = 0 ist (im Falle 111).
Denn dann ist die Verriickung und Verdichtung iiberall gieich
Null, wahrend die Geschwindjgkeit ihren zeitlichen Extremwert
hat; d.h. es ist cos(nt-~)= -)1 1 inFall 11,cos (nt 7 (m+ 1 ) 4 2 - q)
= f 1 im Fall 111.
Die kinetische Energie eines Massenelementes p d z
= Q d r r d 9.d z in einem solchen ausgezeichneten Zeitpunkt,
also auch die Gesamtenergie des Raumelementes d t , ist
+
-+ -+ -
d ky= + g d r r d 9 . d z ( u T a u . c ~ ~
uZ2),
(93)
wo die unterstrichenen Geschwindigkeitswerte u, usw. (die zeitlichen Extremwerte) sich aus (70) bzw. (80) ergeben, indem man
daselbst den Zeitfaktor cos (nt - E) bzw. cos ( n t 'F (m+ l)n/2 - 7)
gleich 1 setzt. Die Dichte des Volumenelementes ist gleich
dem Ruhewert
da zu dieser Zeit die Verdichtung iiberall
Null ist.
Indem man d W iiber den friiher betrachteten prismatischen Raum (Schwingungsfach) yon z = 0 bis z = ZIP und
von 9.= 0 bis 9.= m/m, sowie von r = r l bis r, d. h. von der
Oberflache der Saite an bis zu einer willkiirlichen Entfernung r
integriert, erhalt man die ganze Energie dieses Raumes, den
man ins Unendliche ausdehnen kann, wenn man T unbegrenzt
wachsen la&. Die Integrationen iiber 9. und z ergeben die
Faktoren a / 2 m und 1/2p und man erhalt schlieblich die
Energie eines solchen Schwingungsfaches
e,
n z
T
Die doppelt unterstrichenen GroBen u sind die absoluten
Extremwerte der Geschwindigkeitskomponenten, die man erhllt,
indem man alle von t, 9 und z abhangigen Kreisfunktionen
in (70) und (80) gleich ihrem Maximalwert 1 setzt.
Wellenbewegung urn eine transversal schwingende Saite usw. 695
IT. P a l l ( x = O ) : Wenn x = 0 ist, so folgt aus (70)
Die in (94) enthaltenen drei Teilintegrale werden demnach im Falle I1 ( x = 0)
(96){
I
I
m2 Ba log
Es kommen nur Werte m
r ,wenn m = 0 .
r1
>0
in Betracht.
Die Gesamtenergie eines prismatischen Raumes zwischen
9.= 0 und n / m , z = 0 und I / # , r = r l und r = r erbalt man
durch Einsetzen dieser Werte in (94). Wenn m 1 ist, wird
das Integral (97) mit unbegrenzt wachsendem r unendlich,
wahrend die beiden Integrale (96) dabei endlich bleiben, ausgenommen den Fall m - 0 und die uberhaupt nicht vorkommenden Falle, wo m < 0 ist. Gerade in dem uns hauptsachlich interessierenden Fall m = 1 wird also der Energieinhalt des unendlichen Gasraumes selbst unendlich grol3,
wenn x = 0 ist.
Anders im Falle 111, wo x imsginar ist. Hier bleiben
alle drei Teilintegrale von (94) endlich; auch wenn m = 1
oder = 0 ist.
III. F a l l ( x = ix' i m a g i n a r ) : Wenn x imaginiir ist, erhalt
man aus (80) die absoluten Extremwerte der Beschwindigkeiten
696
A. Kalahne.
Die in der letzten Vertikalreihe stehenden Ausdrucke
erhalt man, indem man fur G$) nach(74) wieder die H a n k e l sche Funktion fl,,? einfiihrt, deren Argument hier imaginar
ist. Der Energiebetrag innerhalb eines ,,Schwingung.sfacheS”
von z = 0 bis z = I / # , 8 = 0 bis 9 = m/m und r = r1 bis r
wird daher nach (94)
indem man zur Vereinfachung die drei darin vorkommenden
Integrale mit Z:)(E), Zg)(&),
ZE).bezeichnet. Diese sind
ist. Mit Riicksicht darauf, daB fur 23;’ als Zylinderfunktion
die Differentialformel (50a) gilt, in der aber naturlich das
Argument 6 durch i t zu ersetzen ist, I I B t sich das erste
dieser Integrale, 2’; noch umformen in
Wellenbeweyung urn eine transversal schwingende Saite usw. 697
wobei gesetzf, ist
Also wird schlie8lich
(104a)
Zit)& = - m2
z (2) (6)+ Z$L 1 (6) - M
111
Gg)(~)]’,
und das Energieintegral (99) la& sich somit durch die Funktion
G$)und die beiden Integrale Zg) und Z t ) bzw. Z$yl ausdriicken.
Setzt man Z$)nach (104a) in (99) ein, so fallt rioch 2“’
m ganz
heraus, und der Energieinhalt wird durch Gg) und 22)
bzw. Zg)-l ausgedriickt in der Form
t = n‘rl
698
A. Kalahne.
Die Integrale Zf'(6) und Z$)-l(E) lassen sich aber in
endlicher Form durch Zylinderfunktionen darstellen. Wenn
Zm(a!E) irgend eine Zylinderfunktion ist, so gilt l)
Setzt man hierin
gleich der imaginaren Einheit i und
fur 2, die Hankelsche Funktion Bg), SO erhalt man mit
Rucksicht auf (102) sofort
Samtliche in dem Energieausdruck (106) vorkommende
Integrale verschwinden, wenn T = 00 wird. Denn aus (74)
und (47)ergibt sich, da6 jede der Funktionen H(l) bzw. G(i),
welchen Index sie auch haben moge (m oder m 1 oder
-
1) J a h n k e - E m d e , 1. c. p. 166.
Wellenbewegung urn eine iransversal schwiryende Saite usw. 699
rn +- 1 usw.), mit unendlich wachsendem Argument x r =
wie die Funktion
e -= -
VZ
1
e"I/r
dem Werte Null zustrebt. Da et schneller als jede beliebige
Potenz von 8 unendlich wird, so werden auch alle Ausdrucke
von der Form
@ e-t
--- f v
vr
etvr
fur 8 = 00 Null. Daraus folgt, da6 die Integrale Zg)in (108)
bzw. (108a) fur 8 = 00 verschwinden, und ebenso auch die
au6erdem in (106) enthaltene Funktion [Gt)(l)l2. Die untere
Grenze X ' T ~ der Integrale in (106) darf natiirlich nicht Null
sein, weil sonst alle Integrale unendlich werden. Da aber T~
nicht kleiner als der Saitenradius sein kann, so ist diese Bedingung immer erfullt. Zahlenwerte dieser Integrale lassen
sich fur in = 1 und m = 0 mittels der Tabb. XI11 bzw. XIV
in J a h n k e - E m d e s Formeltafeln berechnen.
V. SchIuG.
13. Die physikalischen Bedingungen
fir den Eintritt des strahlenden oder strahlungaloaen Zustandes.
Es fragt sich noch, unter welchen physikalischen Bedingungen der reelle oder der imaginiire Wert von x auftritt.
Vorkommen konnen beide, wie sich zeigen wird, doch ist unter
normalen Verhaltnissen der imaginare Wert die Regel.
Gegeben sei eine beiderseits befestigte Saite mit dem
Querschnitt q, der Lange 1 und dor Dichte po. Die spannende
Kraft sei P, alao die Sprtnnung P / q . Die E'ortpflanzungsgeschwindigkeit von Transversalwellen auf der Saite ist
demnach
Die sekundlichen Eigenfrequenzen der Partialtone sind
wo h die Ordnungszahl des Partialtons ist; h ist hier zugleich
100
A . Kalahne.
die Anzahl der Abteilungen, in denen die Saite schwingt, entspricht also dem p der bisherigen Rechnungen.
1st N die sekundliche Frequenz, mit der die Saite schwingt,
und p die Anzahl der dabei von ihr gebildeten Abteilungen N braucht dabei nicht gleich der entsprechenden Eigenfrequenz
Np zu sein, es kann irgendeine z. B. von auBen erzwungene
Frequenz sein -, so kann man schreiben
1st nun die tstsiichlich vorhandene Frequenz N gleich einer
Eigenfrequenz ah,so wird
I n der Wirklichkeit hat man immer h = p anzunehmen. Denn
entweder schwingt die Saite frei, fuhrt also Eigenschwingungen
aus; dann muB naturgemaB h = p sein. Oder sie fiihrt erzwungene Schwingungen aus; dann kommt auch nur der Wert
h = p in Betracht, weil nur fur ihn kriiftige Schwingungen infolge Resonanz stattfinden. Man erhalt also in jedem Falle
praktisch
nnd die Frage, ob x reell oder imaginar iat, wird gleichbedeutend mit der Frage, ob C griiI3er oder kleiner als c ist.
Die Geschmindigkeit c in dem Medium hangt nur von dessen
Natur und von der Temperatur ab, die Geschwindigkeit C auf
der Saite hauptsachlich von der Spannung P l q , von der Temperatur nur insofern, als die Dichte po eine Funktion derselben
ist. Der EinfiuB dieses Faktors auf die Saitengeschwindigkeit
ist also gering. Durch geeignete Wahl der Gastemperatur und
Saitenspannung hat man es innerhalb gewisaer Grenzen in der
Hand, C groBer oder kleiner als c , und damit x reell oder
imaginar zu machen. Zur Veranschaulichung des Gesagten
kbnnen die Zahlen der nachstehenden Tabellen dienen. Tab. 1
enthalt in den Spalten 2-5 fur Saiten von den in den Spaltenkopfen angegebenen Dicken und Querschnitten die Spannungen
P / q in Dyn/qcm, welche zu den in kg-Gew. angegebenen spannenden Kraften der ersten Spalte gehoren; diese konnen etwa
T a b e l l e 1.
,,
77
20~04
8071
q
-
25 108
50.108
,,
,,
,,
0,00785 qcm
2.108
=
~
2r, = @,@2cm
q = 0,000314 qcm
~~~~
~
~~
~
~
~
~
_.
-
~-
2 r , = 0,01 cm
q = 0,0000785 qcm
,,
,,
,,
Tabelle 2.
8.108
16.108
100.108
200.108
400.108
-
50.10'
100.10'
625.10'
1250.105
2500 lo8
,,
,,
,,
,,
,,
200.108
400*108
250O.1Os
5000*108
10000.108
,,
,,
,,
,,
,,
P/q = 25.10' Dyn/qcn: P/q = 100.108 Dynlqcm
P/q = 4 ~ 1 Dyn/qcm
0 ~
,,
,,
_
_
2r, = 0,05 cm
q = 0,00196 qcm
,,
1,602
3,205
20,04
40,07
8071
7,
7,
11
91
1,
69 -10'
172,5.102
244 010'
(345 . l o 2
48,8*10a
,,
,,
,,
,,
,,
P = 0,801 kg-Gew. C = 34,5010' cm/sec
-
2r, = 0,l cm
~
~
_
C = 36. lo2 cm/sec
51.10'
,,
72.10'
180.10'
,,
255.10'
,,
360-102 ,,
_
97,6*10'
144.102
360.102
510-10a
_
,,
,,
,,
,,
I
,,
,,
,,
)
) I
244.10'
(345.10'
,,
,,
)
c = 172-102cm/sec
360.102
(900.102
(1275.102
1
(488.10'
(690.10'
,,
,,
,,
,,
,,
)
)
)
)
)
C =(345.102 cmlsec)
(720.102
(1800.10%
(2550*102
~
a
'
~
EBE
-
$
'%6%
u'--
a $
3
,2
gJ
!f $P$a
@
E
Fortpflanzungsgeschwindigkeit von Transversalwellen auf Stahl- und Messingsaiten vou der Dicke 2 r1
bei den Spannungen der Tab. 1.
1,
1,602
-~
~ _ _
-
__
Spannende Krafte P kg-Gem. und zugeharige Spnnnungen P/q Dynlqcm fur verschiedene Saitenquerschnitte q.
702
A. Kalahne.
Tab. 2 gibt fur dieselben Drahtdicken und Belastungen
die mit diesen Spannungen berechneten Fortpflanzungsgeschwindigkeiten C an und zwar fur Stahldraht (Dichte
eo = 7,7 g/ccm) und Hessingdraht (po = 8,4 gfccm). Als Zerreiafestigkeit (Tragkraft) ist nach den Tabellen von K o h l r a u s c h 1) fur Stahl 250 kg-Gew./qmm = 245 lo8 Dynlqcm,
fur Messing 60 kg-Gew./qmm = 55,s * los Dyn/qcm angenommen.
Diese Zahlen begrenzen also die anwendbaren Spannungen nach
oben. Um innerhalb der Elastizitatsgrenze zu bleiben, mu8
man sich erheblich unter dieser Grenze halten.
-
Die eingeklammerten Zahlen der Tab. 2 gehoren, wie aus
Tab. 1 folgt, zu Spannungen, die uber die ZerreiBspannung
der betreffenden Saite hinausgehen. Diese Geschwindigkeiten C
kiinnen also nicht verwirklicht werden. Man sieht, daB bei
Messingdraht die mijglichen Geschwindigkeitswerte alle unter
250 m/sec bleiben; 244 m/sec ist der hochste in Tab. 2 verzeichnete Wert, und dieser gehort nach Tab. 1 zur Spannung
50. lo8 Dyn/qcm, die nur wenig unter der ZerreiBspannung
58,8. lo8 Dyn/qcm
Eine Messingsaite, in Luft schwingend, wird also im allgemeinen den Fall I11 (imaginares x ) ergeben, da c bei O o 331 mfsec betragt. Nur bei ganz tiefen
Temperaturen konnte c kleiner als C werden.
Bei Stahlsaiten kann C groBere Werte annehmen, z. B.
bei der noch ziemlich weit unter der ZerreiBfestigkeit liegenden Spannung 100 lo8 Dyn/qcm den Wert 360 m/sec. Dieser
ist gro8er als die Schallgeschwindigkeit in Luft bei 20° (ca.
344 m/sec). Hier wiirde also Fall I (reelles x ) verwirklicht sein,
erst recht wurde das bei tieferen Temperaturen zutreffen. Bei
nur wenig geringerer Spannung wurde sich aber wieder Fall I11
(x imaginar) ergeben. Die praktisch benutzten Spannungen
sind bei Stahl yon der GroBenordnung 100.10* bis 200- lo8
Dyn/qcm, z. B. bei Klaviersaiten. Zu diesen Spannungen ge-
-
1) F. K o h l r a u s c h , Lehrb. d. prakt. Phys. 11. Aufl. 1910. Tab. 20.
2) F. A. S c h u l z e , Ann. d. Phys. 3i. p. 1. 1910, hat allerdings bei
Memesing hohere ZerreiBfestigkeit gefunden, etws 89,5 kg/qmm = 87,7. 108
Dyn/qcm, so dalj auch hohere Werte von C vorkommen konnten; sie
bleiben aber immer noch unter 331 m/sec.
Vellenbewegung urn eine transversal schwingende Saite usw. 103
horen bei Stahldrahten von 1 m Lange nach Gleichung (110)
Grundtone von der Frequenz AJl = 180 bis 255 Schw./sec.
Da die Zugfestigkeit aller anderen in Betracht kommenden
Stoffe geringer als die von Messing ist, so sind Stahlsaiten
die einzigen, bei denen hiernach x reell sein kann, wenigstens
fur Luft a19 umgebendes Medium. Saiten aus anderen Stoffen,
auch nichtmetallischen, wie Darmsaiten, Saiten aus Kautschuk
und sonstigen organischen Stoffen ergeben in Luft, auBer bei
sehr tiefen Temperaturen, nur imaginare x ; also sollte bei
diesen im stationaren Zustand uberhaupt keine Ausstrahlung,
somit auch keine durch diese Energieabgabe bedingte
Dampfung der Schwingungen vorhanden sein.
Ersetzt man die umgebende Luft durch andere Gase, so
ruckt der Grenzwert der Saitengeschwindigkeit C , uber dem
erst Ausstrahlung stattfinden kann, an andere Stellen; bei
leichten Gasen mit groBer Schallgeschwindigkeit wird er groBer,
bei schweren Gasen kleiner. I n Wasserstoff (c, = 1263 m/sec)
konnen auch Stahlsaiten nicht mehr ausstrahlen. Dagegen
wiirden in Kohlensaure (c, = 260,5 m/sec) schon Messingsaiten
strahlen konnen, wenn man sie bis nahe an die ZerreiBgrenze - die hohere Schulzesche Zahl dafiir vorausgesetzt belastet, oder das Gas unter Q 0 abkuhlt.
Ob sich der Unterschied zwischen dem nichtstrahlenden
Zustand bei schwacher Spannung und dem strahlenden Zustand bei starker Spannung einer und derselben Saite tatsachlich beobachten laBt, hangt in erster Linie davon ab, ob
die bei reellem x vorhandene Strahlungsdampfung im Verhaltnis zu den aus anderen Ursachen (nachgiebiger Befestigung
der Saitenenden, innerer Reibung) stammenden Dampfung hinreichend groB ist, urn einen merkbaren Unterschied in der
Gesamtdampfung beim Ubergang von einem zum andern Zustand zu erzeugen. Quantitative Beobachtungen uber die
Dampfung unter verschiedenen Umstiinden, aus denen man
bindende Schliisse ziehen kBnnte, liegen leider nicht vor. Nur
solche Versuche konnten uberhaupt benutzt werden, bei denen
die Voraussetzungen der Theorie einigermaBen erfiillt sind.
Eine Saite von endlicher Lange, frei in der Gasatmosphare
ausgespannt, ist dazu nicht ohne weiteres geeignet, denn die
704
A . Kalahne.
Theorie setzt unendlich lange Saiten voraus. Man muB dann
wenigstens mit Oberschwingungen arbeiten, bei denen die Saite
in mehreren, :tm besten in vielen Abteilungen schwingt, so
da6 das Fehlen der auBerhalb der endlichen Saitenlange gelegenen Stiicke der unendlich langen theoretischen Saite nur
in der Nahe der Saitenenden storend wirkt; oder besser, man
spannt die Saite senkrecbt zmischen zwei schallreflektierenden unendlich ausgedehnten Ebenen aus, so daB die beiderseits unendlich fortgesetzten Spiegelbilder der unendlich langen schwingenden
Saite die fehlenden Teile ersetzen. In dieser Anordnung sind
meines Wissens noch keine Versuche ausgefuhrt worden.
Eine frei ausgespannte Saite von endlicher Lange strahlt
naturlich unter allen Urnstanden, da fur die von den Endteilen derselben ausgehenden Wellen die Interferenz benachbarter Wellen nur einseitig erfolgt. Der strahlungslose
stationare Zustand kann sich also nur vor den mittleren
Teilen der Saite im Medium ausbilden. AuBerdem findet bei
einer endlichen Saite die Strahlung nicht iiberall senkrecht zur
Saitenrichtung statt, es gehen naturlich auch Schallstrahlen in
den Raum jenseits der Saitenenden hinaus. Die Schallbewegung und daher auch die Stralilung in diesen Teilen des
Raumes ist zwar nur schwach, weil die von der Saite gelieferten Impulse im wesentlichen senkrecht zur Saite erfolgen,
also nur kleine Komponenten parallel dazu ergeben; aber
wenn die senkrechte Strahlung infolge der gegenseitigen Interferenz ganz verschwindet, so muB diese schwache, nie verschwindende Strahlung doch beachtet werden, durch die die
Ssitenschwingungen stets gedampft werden.
Aus Beobachtungen iiber die Anderung der Schallstarke,
die bei allmahlicher Anderung der Saitenspannung eintritt,
IaBt sich nicht leicht ein SchluB auf die Starke d& Strahlung
ziehen, denn die Tonstarke an einer Stelle des Raumes miBt
nur die daselbst vorhandene, nicht die durchwandernde
Energie. Es kann also auch eine stehende Wellenbewegung
dieselbe Tonstarke bewirken wie eine fortschreitende. Bei subjektiven Beobachtungen - objektive liegen auch hier nicht vor stort autlerdem der Umstand, daB durch Anderung der Saitenspannung die Tonhohe geandert wird, und daB bekanntlich die
Empfindlichkeit des Ohres mit der Tonhohe sehr stark variiert.
Wellenbewegung urn eine transversal schwingende Saite
USW.
705
14. Zusammenfassung der Ergebnisse.
1. Der stationare Bewegungszustand eines unbegrenzten
Mediums in der Umgebung einer transversal schwingenden,
unendlich langen Saite und die Energiestramung in demselben
werden bestimmt.
2. Es sind zwei verschiedene stationare Zustande moglich,
die sich mathematisch dadurch unterscheiden, daB eine gewisse
GrSBe x , die im Argument der in dem Geschwindigkeitspotential vorkommenden Zylinderfunktionen enthalten ist, entweder reell oder rein imaginar ist; in dem Ubergangsfall ist
sie Null.
3. Wenn x reell ist (Fall I), so sind fortschreitende Wellen
vorhanden, ist x = 0 (Fall 11)oder imaginar (Fall 111), so besteht der stationare Zustand in einer stehenden Wellenbewegung des ganzen Mediums. In beiden Fallen nimmt die
Amplitude der Bewegung nach au6en hin ab.
4. Die physikalische Bedeutung der drei Arten von
x-Werten ist folgende: Bei reellem x ist die Fortpflanzungsgeschwindigkeit der Transversalwellen auf der Saite, also auch
ihre Wellenlange, gr6Ber als die Schallgeschwindigkeit bzw.
Wellenlange in dem Medium; bei imaginarem x ist sie kleiner,
bei x = 0 sind beide gleich gro6.
5. Nur bei reellem x (Fall I) ist eine dauernd von der
Saite hinweggerichtete stationare Energiestromung (Strahlung)
mBglich. Bei imaginarem und verschwindendem x pendelt im
stationaren Zustand die Energie wahrend jeder Periode im
Raume hin und her. Nur aolange der stationare Zustand noch
nicht erreicht ist, strahlt die Saite Energie in den Raum
hinaus.
6. Der gesamte, wahrend des nichtstationaren Zustandes
ausgestrahlte Energiebetrag, der wahrend des stationaren Zustandes unverandert im Raume bleibt, ist im Fall I1 ( x = 0)
unendlich groB, im Fall I11 (x imaginar) endlich. Der stationare
Zustand muB daher im Falle I11 schon innerhalb endlicher
Zeit nach Beginn der Saitenschwingungen praktisch erreicht
werden.
D a n z i g L a n g fu h r , Technische Hochschule , Juli 1914.
-
(Eingegangen 11. Juli 1914.)
Annalen der Physik. IT.Folge. 46.
45
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