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Die Wirbelstrme in einer Kreislochplatte im Felde eines koaxialen Einzelleiters.

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H. Buchholx. Die Wirbelstrorne in einer Kreislochplatte usw. 231
D.le Wirbelstriime i n einer Ereislochplatte
irn Pelde ednes koaxialen Einzelleiters
7on Herbert Huchholx
(Mit 5 Figuren)
1. Die Stellung der Aufgabe und einige vorbereitende Betrachtungen
Im Hinblick auf einige haufige Ausfiihrungsformen technischer
Apparate sollen im folgenden die Wirbelstrome und ihre Energieverluste in einem leitenden Hohlzylinder von endlicher Hohe berechnet werden, in dessen Achse ein von Wechselstrom durchflossener,
sehr langer, geradliniger Leiter verlauft. Bei den Leiteranordnungen,
auf die damit abgezielt wird, hat die Riickleitung auf die Ausbildung
der Wirbelstrome keinerlei EinfluB, weil sie entweder sehr weit entfernt oder selbst koaxial gefiihrt ist. 1st die Hohe des Zylinders
klein gegeniiber der Wandstirke, so kann der Zylinder anschaulicher
als Kreislochplatte bezeichnet werden. Im umgekehrten Falle liegt
eine Hiilse Tor. Im spateren Text wird wegen der groBeren Anschaulichkeit vorwiegend von der Kreislochplatte statt von dem
Hohlzylinder gesprochen werden. Eine Beschrankung der Allgemeinheit sol1 in dieser Bezeichnung nicht zum Ausdruck kommen.
Die damit umrissene Aufgabe ist eine Verallgemeinerung eines
erstmalig von P. D e b ye l) behandelten Wirbelstromproblems. In der
Tat kann dieses Problem durch eineii einfachen Grenzubergang aus
dem vorliegenden entwickelt werden. Zu diesem Zweck lassen wir
in Gedanken den mittleren Radius der Kreislochplatte in der Weise
iiber alle Grenzen wachsen, daB dabei die radiale Dicke der Platte
stets die gleiche bleibt. Das magnetische Feld in der Nachbarschaft
der Platte nimmt dann bei zunachst unveranderlicher GroBe des
Stroms im umgekehrten Verhaltnis zum niittleren Radius der Platte
ab. Wird aber der Strom i m Einzelleiter in demselben MaBe wie
dieser Radius gesteigert, so behalt das Magnetfeld im Bereiche der
Platte einen endlichen, Ton Null verschiedenen Wert und geht dabei
gleichzeitig mehr und mehr in ein gleichformiges Feld iiber. SchlieB1) S. P. D e b y e , Wirbelstrijme in Stiiben von rechteckigem Querschnitt,
Ztschr. f. Math. u. Phys., Ed. 54. S. 418-437. 1907 und M. J. 0. S t r u t t , Stromverdrangung in rechteckigen Leitern, Ann. d. Phys. 83. S. 989-1000. 1927.
232
Annalen der Physik. 5. Polge. Band 24. 1935
lich entsteht bei unbeschrankter VergroBerung von Plattenradius
und Strom aus der Lochscheibe ein unendlich langer Stab mit rechteckigem Querschnitt, der in einem zu seiner Achse parallelen und
homogenen Felde steht. Das ist aber gerade die Anordnung, die
dem von D e b y e behandelten Problem zugrunde liegt.
Die Verwandtschaft zwischen dem Problem des rechteckigen
Stabes und der Kreislochplatte zeigt sich noch in anderer Weise.
Bei der Kreislochplstte sind die Kraftlinien des erregenden Feldes
wegen des vernachlassigbaren Einflusses der Ruckleitung jedenfalls
koaxiale Kreise. Die Wirbelstromung besteht daher wegen der axialen
Symmetrie der Platte aus in sich geschlossenen, eben ausgebreiteten
Stromfaden, die in allen rechteckigen Meridianschnitten der Scheibe
in der gleichen Weise verlaufen. Ein solches axialsymmetrisches
Ringsystem von Stromfaden besitzt aber nach dem Beispiel der
Kreisringspule nur innerhalb des Ringsystems selbst ein eigenes,
nicht verschwindendes Feld. Das magnetische Feld des stromdurchflossenen Einzelleiters wird daher durch eine axial zu ihm angeordnete Kreislochplatte aufierhalb dieser Platte bis an alle ihre Grenzflachen heran in gar keiner Weise verandert. Das gleiche gilt fur
den unendlich langen, rechteckigen Stab in einem homogenen und
zu seiner Achse parallelen Felde, da sich hier das System der
Wirbelstromfaden bei der Erzeugung eines eigenen magnetischen
Feldes wie eine unendlich lange, gleichmafiig bewickelte Zylinderspule verhalt.
Die im folgenden fur eine einzelne Kreislochplatte aufgestellte
Losung bleibt daher auch dann noch richtig, wenn auBer dieser
einen Platte noch eine beliebige Zahl anderer koavial angeordneter
Platten vorhanden ist, die mit oder ohne Abstand, dam aber isoliert,
nebeneinander liegen. Dabei konnen die Platten sogar verschiedene
GroBe und Dicke haben.
2. Erliiuterung der Zeichen
und die mathematische Formulierung der Aufgabe
Der besseren nbersichtlichkeit wegen moge zunachst eine Zusammenstellung der in dieser Arbeit verwendeten mathematischen
Zeichen gebracht werden. Es bedeuten
J .e- i w t
das Zeitgesetz fur die Stromstarke des den Einzelleiter
durchflieBenden Wechselstroms in A mit i = d - 1 ;
o = 2 nf
die Kreisfrequenz in s-1 und die Periodeiizahl in Hz;
P? 6
die relative Permeabilitat und die elektrische Leitfahigkeit des Materials der Kreislochplatte in S /cm;
lI= 4 Z - ~ O -ein
~ benannter Zahlenfaktor mit der Dimension H/cm;
H. Buchholx. Die Wirbelstrome in einer Kreislochplatte usw. 233
x=
p c das reziproke EindringmaB in l/cm f u r das Platten-
material;
die Zylinderkoordination eines Bufpunktes;
die asiale Dicke der Platte in cm;
4a
der aufiere und der innere Radius der Platte in cm;
R ioL
der auBere komplese Scheinwiderstand des Einzelleiters in Ohm als MaB fu r die Energieverluste in
der Platte.
Die Kreislochplatte werde gemaB Fig. 1 zu dem Zylinderkoordinatensystem der r, cp7x orientiert. Die magnetische Feldstarke
besitzt dann nur die Komponente Qv, die obendrein
von cy unabhangig ist. Aus
den Gleichungen des quasistationaren Feldes ergibt
sich in bekannter Weise
fur die Feldstarke .Q9, im
Inneru der Scheibe die
folgende Differentialgleichung :
Fig. 1
r7 4t: 2
2a
-
Dahinzu kommen nach dem eingangs Gesagten fu r $jv die Grenzbedingungen :
Durch die G1. (1) und (2) ist $jv bereits eindeutig bestimmt.
Die Stromung in der Scheibe hat lediglich eine r- und eine
nach den
z-Komponente. Beide Komponenten lassen sich mittels Q9,
Gleichungen
. ,
a@,
%, y, z) = - __
(34
aZ 7
(3b)
i, (r,4 =
i
-
a
=(T
- $jv).
berechnen. Die Energieverluste wiederum sind aus der Stromdichte berechenbar. Die LSsung der ganzen Aufgabe kommt danach
im wesentlichen auf die Integration der GI. (1) hinaus bei gleichzeitiger Berucksichtigung der drei Grenzbedingungen (2 a). (2c).
..
234
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 24. 1935
3. Das komplexe L8sungsintegral fur $&
Die Integration dieser beiden Gleichungssysteme geschehe mit
Hilfe komplexer Integrale , die in fur sie charakteristischer Weise
uber zwei ins Unendliche auslaufende und zu einer der beiden
Zahlenachsen symmetrische Wege erstreckt werden I). Eine schrittweise Herleitung der Losung wiirde im vorliegenden Falle zu weitschweifig werden. Aus diesem Grunde sol1 das losende komplexe
Integral ohne weitere Zwischenrechnungen angeschrieben werden.
Erst spater wird ein Hinweis darauf erfolgen, wie der Aufbau dieses
Integrals im vorliegenden Falle erschlossen worden ist.
I xY.,/7
s- Ebene
4
Fig. 2
Bedeutet (2L) den in Fig. 2 eingezeichneten Integrationsweg in
der komplexen s-Ebene, so wird das Gleichungssystem (2.1) nnd ( 2 . 2 )
durch die folgende Beziehung fur QP befriedigt:
1) Wegen der erstmaligen Anwendung dieser Methode auf die LSsung
der L a p l a c e s c h e n Gleichung bei einfachen Randbedingungen vgl. man die
Arbeit von I. T. B r o m w i c h , Proc. London. Math. SOC.,2. Ser., Vol. 30. S. 165
bis 177. 1030. Wegen ihrer Anwendung auf schwierigere Falle vgl. die Arbeiten
des Verfassers in Arch. f. Elektr., 28. S. 122-130. 1934 und in der Ztschr. f.
angew. Math. u. Mech., 14. S. 285-294. 1934. Die Voraussetzung der symmetrischen Anordnung der beiden Weghalften ist iibrigens keine notwendige.
H . Buchholz. Die Wirbelstrome in einer Kreislochplatfe usw. 235
Hierin steht f ( x s ; a,b) zur Abkiirzung fiir die durch (2) definierte
Funktion I). F u r spatere Zwecke sind eine Reihe von Eigenschaften
f (A; a, b ) = Y , (a A) * J , (b A) - Yl (b 1)* J , (a 2)
(2)
dieser Funktion in den nachstehenden Gleichungen zusammengestellt:
f @ ;a, a
+
8)
+-E
*
~
2
na
(E 3
0) ,
Urn zeigen zu konnen, daB die GI. (1) tatsachlich eine Losung
des Gleichungssystems (2.1) und (2.2) ist, muB zuniichst einiges iiber
die Pole des Tntegranden von (1) und uber deren Lage zu dem Integrationsweg (2L) gesagt werden. Der Integrand von (1) besitzt
a) einen einfachen Pol im Nullpunkt der s-Ebene,
p) zwei einfache Pole in den Punkten s = &
y) eine unendliche Kette rein reeller und einfacher Pole in den
NullstelIen der G1. (3) in bezug auf s. 1st + )s: mit p = 0 , 1 , 2 ...
IF,
f .(
.
a, b) 5 Y , (a x s) J , (b x s) - J , (ax s) k',(b x s) = 0
ein solcher Pol, so ist wegen (2d) auch ein Pol. Die Pole
(3)
s;
sr
liegen daher symmetrisch zum Nullpunkt der s-Ebene. Eine genauere
Angabe iiber die Lage der Pole kann zunachst entbehrt werden.
Vor der Hand geniigt die Feststellung, daB die absolut kleinste
Nullstelle von (3) fur jedes endliche x a und x b jedenfalls selbst
endlich und wegen (2e) von Null verschieden ist.
8) eine unendliche Kette kompleser, einfacher Pole in den
(4)
1) In der Bezeichnung der Zylinderfunktionen hiilt sich die vorliegende
Arbeit an das Buch von G. N. W a t s o n , Treatise on the Theorie of Besselfunctions, Cambridge, 1922.
236
Annalen deer
Physik. 5. Folge. Band 24. 1935
Nullstellen der G1. (4) in bezug auf s. Die Lage der Wurzeln von (4)
laBt sich leicht ermitteln und ist aus den beiden Beziehungen ( 7 4
und (7b) zu entnehmen:
*
- 21
sf' = (cosctp)
. eT1 c .( +);:
7
( p = 0 , 1 , 2 . ..).
Auch diese Pole liegen demnach symmetrisch zum Nullpunkt
der s-Ebene. F u r p = 0 ist im allgemeinen 0 < u p <
5.
und f u r
p -+00 geht up-+ 2und damit auch arc s:)+
Mit wachsendem p
2
nahern sich also die Wurzeln von (4)in der s-Ebene asymptotisch
der A c h e der rein imaginaren Zahlen, wie das schematisch in Fig. 2
zum Ausdruck gebracht worden ist. Fur die absolut kleinste
Wurzel sr) ist auf jeden Fall sp)l > 1 und arc sf) > $. Es ist
daher fur endliche Werte von x, a, b und d stets moglich, die beideu
zur reellen und imaginaren Zahlenachse symmetrischen Wegbestandteile von (2L) sowohl zwischen dem Nullpunkt und dem Pol f s t )
als auch zwischen den Polen f 1; und f sr)hindurchzufuhren.
Die eben angefiihrten vier Polgruppen bilden die einzigen, im Endlichen gelegenen Singularitaten des Integranden von (1) in bezug auf s,
denn sowohl die Funktion 6 D f ( x zvs"--i) als auch dieFunktionf(xs; a,b)
sind im Endlichen durchaus eindeutige Funktionen ohne Verzweigungsstellen endlicher oder unendlich hoher Ordnung. F u r die Funktion ED[ folgt dies aus ihrer Eigenschaft, eine gerade Funktion zu
sein, f u r die Funktion f aus den Beziehungen (2d) und (2e). Im
ganzen genommen ist der Integrand von (1)eine ungerade Funktion.
GemaB ( 2 0 verhalt er sich in den unendlich fernen Teilen des Integrationsweges so, daB selbst fur z = f d und r = a oder b das zugehorige Integral noch absolut konvergent bleibt.
Die Existenz des Integrals in der Beziehung (1) ist damit gesichert. Es braucht mithin nur noch gezeigt zu werden, daB es
tatsachlich die G1. (2. 1) und (2.2) befriedigt. Fur die Differentialgleichung selbst ist diese Behauptung in Rucksicht auf (2a) fast
evident. F u r die vier Grenzbedingungen la& sie sich auf die
folgende Weise rechtfertigen.
1st etwa z = f d , so wird der erste Bruch unter dem Integralzeichen von (1) der Eins identisch gleich. Der neue Integrand besitzt
dadurch nicht mehr die Polgruppe 8. Wegen der absoluten Konvergenz des Integrals darf d a m aber der Integrationsweg von (1)
I
H. Buchholz. Die Wirbelstrome in einer Kreisbchplatte usw. 237
a n die imaginare Zahlenachse herangelegt und schlieBlich auf einen
Umlauf um den einfachen Pol s = 0 zusammengezogen werden. Die
Anwendung des Residuensatzes fuhrt damit fu r QV tatsachlich zu
dem Wert J / 2 n r .
1st andererseits etwa r = a , so reduziert sich der zweite Bruch
unter dem Integralzeichen von (1) wegen (2c) auf den Faktor b .
Der neue Integrand enthalt jetzt nicht niehr die Polgruppe y . Der
Integrationsweg (2L) darf mithin in diesem Fall an die reelle Zahlenachse herangebogen und die beiden Weghalften von (2L) schlieBlich
jede auf einen Umlauf um je einen der beiden Pole
frreduziert
werden. Der Residuensatz fuhrt auch hier fur Qv sofort zu dem
erforderlichen Wert J / 2 x a. Auf die gleiche Weise 1a6t sich zeigen,
dafl aus (1) fur r = b wie notwendig der Wert J / 2 n b herauskommt.
Das Integral (1) stellt mithin tatsachlich die richtige Losung der
Aufgabe dar.
3,i. Die LZisung fur den orensfall des rechteckigen Stabee
Aus der G1. (1) laBt sich mit geringer Miihe eine gleichartige
Beziehung fur die Feldstarke im Innern eines unendlich langen,
rechteckigen Stabes herleiten, der in einem zu seiner Achse parallelen,
homogenen Felde steht. Nach den Ausfiihrungen im Abschnitt 1 ist
dazu nur notig, in (1) die Gl. (5)
(5 a)
b=v+h,
(5 b)
a=v-h,
t5c)
r=v+x
einzusetzen und v-+m gehen zu lassen. Nach (5) hat h die Bedeutung der halben Hohe des Rechtecks in Richtung der x-Achse,
wahrend die Hohe des Rechtecks in Richtung der x-Achse nach
wie vor durch 2 d gegeben ist. AuBerdem ist sinngemaB fur v-+m
zu setzen. Qy bezeichnet dann die GroBe des eingepragten, zur y-Achse
parallelen Feldes. Fu r die Feldstarke @, im Innern des rechteckigen
Stabes folgt demgema6 aus (1) in Rucksicht auf (2f) die Beziehung:
I n ( 6 ) hat der Integrand dieselben Polgruppen u, /? und 6 wie
in (1). Die Polgruppe y wird dagegen im vorliegenden Falle von
einer unendlichen Kette rein imaginarer und einfacher Pole in den
Annakn der Physik. 5. Folge. Band 24. 1935
238
Punkten':8 = f i.n
('
( x h)
+
0'5) gebildet.
Der Integrationsweg von (6)
kann daher tatsachlich der gleiche sein wie in (1). In allen Randpunkten des Rechtecks nimmt QY gemal3 (6) den konstanten
Wert
an. Dies kann auf dieselbe Weise wie oben gezeigt
werden. Die G1. (6) stellt also auch im vorliegenden Falle die
richtige Losung dar.
Der Ausdruck fur Qy wurde im vorstehenden auf deduktivem
Wege aus der allgemeineren Losung (1) hergeleitet. Selbstverstandlich
kann er auch direkt iiber die Differentialgleichung fur Qy und die
zugehorige Grenzbedingung gewonnen werden. Diese Aufgabe ist
fraglos vie1 leichter zu losen als die vorliegende, die eine unmittelbare Herleitung von (1) verlangt. 1st aber die GI. (6) auf diesem
einfacheren Wege erst einmal gefunden, so laBt sie sich umgekehrt
mit Vorteil dazu benutzen, auf induktivem Wege dem schwierigeren
Problem der Kreislochplatte beizukommen. I n der Tat unterscheiden
sich die Integranden von (1) und (6) nur in dem verscbiedenen Aufbau
ihres mittleren Faktors, und das steht bei der inneren Verwandtschaft
der beiden Falle von vornherein zu erwarten. Nun fuhrt die Differentialgleichung (2.1) ganz von selbst zu dem Ersatz des Gliedes
cos ( x s x) in (6) durch die beiden entsprechenden Zylinderfunktionen J ,
und Y , mit dem Argument x s r . Die weiteren Glieder in dem neuen
Zahler und Nenner miissen aul3erdem u. a. so gewahlt werden, daB der
Grenziibergang w-+m nach Anwendung von (5)im wesentlichen auf den
COS ( x 9 k)
Bruch COB ( x s h) zuruckfuhrt. Nach einiger Einfuhlung kann auf
diese Weise sehr bald die richtige Zusammensetzung des Integranden
herausgefunden werden. Tatsachlich wurde die G1. (1) vom Verf.
auf diesem Wege gewonnen.
4. Das komplexe Integral fur die Energieverluste
Um mittels (3.1) die Beziehung fur die Energieverluste in der
Kreislochplatte aufzustellen, wird am zweckmaBigsten der komplexe
P oynt i ngsc he Satz benutzt. Danach besteht fur die mittleren
Warmeverluste Q,n und fur den rnittleren Betrag W,,, a n magnetischer
Energie innerhalb der Kreislochplatte der folgende Ausdruck:
(1)
.
- . - , Qm:L
d
2 i G J . W,]
.I
-j
i, (b, x ) - d z 0
d
1
j-,
i, (a,2). d x -
0
i, (r
dr,
worin 7 den konjugiert komplexen Wert von J vorstellt. Die auf
der rechten Seite dieser Gleichung auftretenden Integrale konnen
nach Beriicksichtigung von (2.3a, b) und (3.2) leicht ausgewertet
H. Buchholz. Die Wirbelstrome in einer Kreislochplatte usw. 2,39
werden. F u r den komplexen Scheinwiderstand des Einzelleiters
kommt damit nach der ublichen Definition von R und o L die
Uarstellung zustande:
[ R - - i w L = - -J2[2Q
m
=--.-1
nu
-2im.Wm]
d
a.b
‘%I
1
a g ( -n.d l / i F X )
ndvs’i-
Hierin ist g(A; a , b) durch die G1. (3) bestimmt und die damit
definierte
g ( A ; a , b) = Y o(a A) J1(b A) - Yl (b n) J , (a 7,).
(3)
-
.
Funktion besitzt die durch die nachstehenden Formeln ausgedruckten
Eigenschaften :
@30)7
(3c)
g(h.em”i;a,b)=em”i.g(l;a,b)
(
g ( A ; a , b ) + ( . ; A * ~ G ) - l . cos h(a-bbj
(34
{
(3e)
(3
(m=$-O, 1,2...),
fur b,a-+m
oder
A+m,
g ( A ; a , b)+(:Ab)-”’
. [ y o( a ~ , )cos
. (Ib -
3
+)
- J , ( ~ I.sin
)
(1, b - 3 3 1 fiir b + a ,
I g(3.; b , a)+ ( g l b ) - ”
e‘)
1 - [ J (a~ I.) . sin (E, -):
b
~
- Y , (a A) . cos (1 b -
a)]
fiir b + a .
GemaD (3b) ist daher
{
(3f)
x b . g ( x s ; a , b ) + x a . g ( x s ; b , a ) - - ~4- - - - - ~n(2b.s2 - a 2 ) . I n
n.9
m
b
-
a
(x s 3 0).
I n (2) ist der Integrand wiederum eine in der s-Ebene eindeutige
und ungerade Funktion von s, die wegen (3f) die gleichen Pol-’
Annalcn der Physik. 5. Folge. Band 24. 1935
240
gruppen u,@,
y und 6 aufweist wie der Integrand von (3.1). Auch
uber die Lage des Integrationsweges zu den Polen und iiber die
absolute Konvergenz gelten die gleichen Bemerkungen wie zu dem
Integral in (3.1).
Wird in (2) entweder d = 0 oder a = b , so mu6 R - i w L
jedesmal verschwinden. Das ist auch in der Tat der Fall, denn
fur b = a + e+a z. B. geht wegen (3a', a") der Zahler im zweiten
Bruch des Integranden wie 6J gegen Null, wahrend der Nenner
nach ( 3 . 2 ~ )mit 8 nur in der ersten Ordnung verschwindet.
Es gehe andererseits in (2) infolge einer standig abnehmenden
Frequenz x -+0 . Dann reduziert sich wegen (3f) die rechte Seite
der G1. (2) auf den Ausdruck (21, dessen Integral nach dem Besiduen-
satz sofort ausgewertet werden kann. F u r die Induktivitat L der
Scheibe kommt also im Gleichstromfalle die Beziehung zustande:
L
1
=2TC
. np.2 d . In ab H .
Uas entspricht aber tatsachlich dem Beitrag, den der von der Kreislochplatte besetzte Raumteil zu der Induktivitat des Einzelleiters
liefert.
4,I . Einige Brenzfalle in der Beziehung fur die Energieverluste
Aus der Beziehung (2) laBt sich wiederum ohne Schwierigkeit
die ihr entsprechende Formel fur die Energieverluste in einem unendlich langen, rechteckigen Stab herleiten, der in einem zu seiner
Achse parallelen, homogenen Feld steht. Zu diesem Zweck kann
an der G1. (2) genau so vorgegangen werden wie vordem an der
G1. (3.1). Fur die Energieverluste je Zentimeter Hohe eines Stabes
von 2 d 2h cms Querschnitt entsteht damit der Ausdruck:
-
uber die Pole des Integranden von (4)gilt das gleiche wie im AnschluB an die G1. (3.6).
Ein anderer praktisch wichtiger Grenzfall ergibt sich aus der
Annahme, daB die Hohe 2d der Kreislochplatte bei. sonst unveranderlichem b und a iiber alle Grenzen wachst. Urn f u r den
damit entstehenden unendlich langen Hohlzylinder die Grenzform von ( 2 )
H. Buchholz. Die Wirbelstrorne in einer Kreislochplatte usw. 241
angeben zu konnen, mu8 mohl beachtet werden, da8 sich nach (3.7 a,b) in
diesem Falle die Pole der Polgruppe S mehr und mehr auf die beiden
Stellen s = +- fi- zusammenzieheri l). I n der Grenze liann daher der
Integrationsweg (2L) nicht mehr zwischen den beiden benachbnrten
Polen +
und sr’ hindurchlaufen. Diese Schwierigkeit mu8 unter
allen Unistanden vermieden werden. Dies kann dadurch geschehen,
da8 vor dein Grenziibergang der Integrationsweg (2L) iiber die
beiden Pole & 1; hinweggezogen und mehr an clie reelle Achse
lierangebogen wird. Der so verlagerte neue Integrationsweg von
Fig. 3 werde mit (2LJ bezeichnet. Statt (10) ergibt sich damit der
Ausdruck:
fr
I
xI).g(XS;a,b)+xn.g(xs;b,a)-
\
f
( x 5 ; a,
(
.
~
n4s)
b)
as
~2
. (s? - i )
I n clem Integral der G1. (5) darf nun der Grenziibergang d -f 03 ohne
weiteres vollzogen werden. Das Integral behalt dabei jedenfalls
einen endlichen Betrag. Ein sehr langer Einzelleiter mit weit entfernter oder koaxialer Ruckleitung besitzt also infolge eines zu ihrn
gleichachsig angeordneten, elektrisch leitenden Hohlzylinders, der
ihn auf seine ganze Lange hin umgibt, je Zentimeter seiner Lange
den folgenden zusiitzlichen, komplexen Energieverlust :
I
b *g
..
(x
I/;;
a, b) + a . g ( x
- _ _ ~
4
]/i;b, a) -
(-nxvr)
~~~~
Ohm
_____-
cm
f ( x vi; a, b)
GemaB der Herleitung liegt (6) die Voraussetzung zugrunde,
da8 die magnetische Feldstark; a n der inneren Zylinderwanduug
den Wert J / 2 n a uncl a n der iiuBeren den Wert J / 2 n b hat.
Wiirde der unendlich lange Hohlzylinder zugleich die Riickleitung
fur den Strom im linearen Leiter bilden, so verschwande die
1) Dieses Zusammenriicken der Pole hat einen tieferen Sinn. Es zeigt
bildlich an, daB im Grenzfall aus der Polkette ein Verzweigungsschnitt wird.
Vgl. auch den Abschnitt 5,i.
Aiinslen cler Physik. 5 . Folge. 2 4 .
lti
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 24. 1935
248
magnetische Feldstarke a n der auBeren Zylinderwandung. F u r den
scheiobaren Widerstand des Leiters je Zentimeter Lange gilt in
diesem Fall der bekannte, einfachere Ausdruck:
(7)
I n (6) sei zunachst b sehr groib gegeniiber a. Dann ergibt die
Beziehung (6) numerisch merklich dasselbe wie in1 Grenzfall b -t oc).
Die entsprechende Leiteranordnung besteht jetzt aus einem sehr
langen Einzelleiter, der in der Achse einer kreisformigen Bohrung
innerhalb eines unendlich ausgedehnten, leitenden Korpers verlauft.
Nach Ausfuhrung des Grenzuberganges in (6) ergibt sich mittels (3 e’, e”)
fiir die komplexen Energieverluste eines solchen Leiters die einfachere
Formel :
Der Ruckstrom verlauft hierbei in1 wesentlichen an der Innenflache
der Bohrung. I n der Tat fiihrt auch die G1. ( 7 ) fur b - t co auf
(6a) zuriick.
Es sei andererseits b nur wenig groBer als a mit b - a a .
Dann werden zweckmaibig nach (8a) und (8b) die Funktionen f ( A ; a, b)
und g(?,;b,a) um den Punkt ail herum nach Potenzen von il(b-a)
entwickelt. Dagegen wird fiir die Funktion g (A; a, b) eine solche
Entwicklung gemaib (8c) besser um den Punkt b 3, herum vorgenommen.
m
71
=1
n=l
m
I n den G1. (8) bedeutet P,, (ail) die durch (9) definierte Funktionaldeterminante. Diese Determinante
P, (an) = J , ( a ~Y )r ’ ( a a) - Y , (aA) J : ) ( ~ A ) .
(9)
latlt sich bekanntlich rational durch die aL ausdrucken. So gelten
fiir die sechs ersten Ableitungen die nachstehenden Ausdriicke l):
~~~
~
1) S. G. N. W a t s o n , a. a. O., S. 76. Vgl. anch die Arbeit von S. A.
S c h e l k u n o f f , The electromagnetic Theory of Coaxial Transmission Lines
and Cylindrical Shields, Bell System Techn. Journ., Vol. 13 (1934), anf S. 562.
H. Buchholx. Die Wirbelstriime in einer Ilreislochplatte usw. 243
(9a) P, (2)3 0 ,
2
(9b)
ti
(9d) P, (2) = nz
2’
2
2
=-nz
(9c) P, (2)= - nze ’
’
-+nzz
(9e) P5(x)= - 4
24
nz5
’
(9 f )
Man gehe gemaI3 (8) mit ihnen in (6) ein. F u r den koniplexen
Energieverlust eines sehr diinnwandigen Hohlzylinders entsteht damit
j e Zentimeter seiner L b g e angenahert die Beziehung:
Die erste Naherung dieser Gleichung fiihrt wieder zu dem Beitrag
einer sehr diinnen zylindrischen Schale zu der InduktiviUt eines
Einzelleiters.
6. Die Formeln f u r die Energieverluate im allgemeinen Fall
Der Busclruck (4.2) fur den komplexen Scheinwiderstand des
Einzelleiters gilt f u r beliebige Werte der vier reellen Parameter
x , a, b urid d. Die weiteren Rechnungen haben dann darauf abzuzielen, von der Darstellung der Energieverluste als komplexes
Integral zu Formeln zu gelangen, die fiir die numerische Berechnung
der Verluste geeignet sind. Die einfachste und in vielen Fallen
auch wirksamste Art der weiteren Behandlung des Integrals liegt
in seiner Aufliisung in unendliche Reihen. Damit diese Umgestaltung
jeweils auf moglichst rasch konvergente Reihenentwicklungen fiihrt,
niuW je nach der absoluten GroBe der vier Parameter oder gewisser
Kombinationen von ihnen verschieden vorgegangen werden. Die
folgenden Untersuchungen beriicksichtigen davon drei praktisch besonders wichtige Falle.
5,i. Die Energieverluste f u r
x
d, x a
>> 1
I m ersten dieser FBlle sei jedes der beiden Produkte x a uncl
x d wesentlich gr66er als 1. Dies mag darin seinen Grund haben,
da8 x infolge einer hohen Freqnenz oder einer hohen Leitfahigkeit
selbst von betrachtlicher GroBe ist. Jn der Regel ist bei dieser
dnna,hnie auch noch x ( b - a) eine groBe Zahl. I n erster Naherung
kommt es dann darauf an, die Grenzform von (4.2) fur x + co zu
finden. Nun riicken hierfur zunachst einmal wie in dem eben be16*
244
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 24. 1935
handelten Grenzfall die Pole t qi und & )s! immer naher aneinander. Fur R - i w L wird daher zweckmaBig von vornherein von
der Darstellung (4.5) ausgegangen. Wegen (3.3) und (3.2f) gilt aber
Fig. 3
+
/
\
Fig. 4
fur x -+ 00 das gleiche von der Lage der Pole
s r zum Nullpnnkt.
Der Integrationsweg (2 Lo) muB also entsprechend dem obergang
von Fig. 3 zu Fig. 4 auch aus dem Zwischenraum zwischen dem
Nullpunkt und den Polen f s t ’ herausgezogen werden. Der da-
H . Buchholz. Bie Wirbelstrome
in, einer
Kreislochplatte usw. 245
durch entstehende Integrationsweg ( 2 L,) ist in Fig. 4 dargestellt.
Die Umformung des Weges (2 L,) in den Weg (2L,\ kann etwa in
der Weise erfolgen, daB die untere Weghalfte von ( 2 L,) iiber den
im Nullpunkt liegenden Pol hiniibergestreift wird. AuBer (4,2)und (4,5)
gilt daher fur den auBeren Scheinwiderstand auch noch die andere
Integraldarstellung:
R - i w L = + X.
7CU
I
v-i
. In --ab .sg ( x d 1/=>
Fur x - f m besteht aber gemaB (3.2f) und ( 4 . 3 4 fur den zweiten
Bruch im Integranden von (1) langs des ganzen Integrationsweges
die Grenzgleichung :
- (a + b ) . ctgxsjb - a)
wid da auf diesem Wege nirgends Srn (s) = 0 ist, so darf l) die rechte
Seite von (2)bis auf Glieder von der Ordnung exp. [- 2 x (b - a). 1 Srnsl]
mit
i (a + b) identifiziert werden, je nachdem Srn (s) 2 0 ist.
Ebenso ist in (1) bis auf Qlieder von der Ordnung exp. [- 2 x d
%e I s z - i unter der gleichen Bedingung die Funktion Sg ( x d l/=)
der Einheit gleich, denn der Weg ( 2 L,) laBt sich in einem endlichen,
von x unabhangigen Abstande an den Punkten & 1/. vorbeifiihren.
I n der letzten Behauptung iiber das Verhalten des Zg steckt noch
implizite die weitere Voraussetzung, daR lings (2L,) iiberall
*
.
%e ljs2 - i
>0
ist. Diese Annahine ist gemaB Fig. 5 tatsachlich mit Clem Verlauf
dieses Weges in der s-Ebene vertraglich, wenn die Phasenwinkel
von s t vT in der dort angegebenen Weise gewahlt merden. Der
~-
_____
I) Man kann niimlich schreiben ctg z = + i
oder ctg z = - i . 1 +
[
2.
- e-2TF] fur
(2)>O.
-
1
fur $nt (z) < 0
Ebenso ist %g z= 1-
2. e ~
22
1+e-l=
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 24. 1935
246
-.
Is2
~-
Verzweigungsschnitt der Funktion
- i mu8 bei dieser Festsetzung der Phase vom Punkte + 1/.k uber den unendlich fernen
Punkt zum Punkte - 1/. gefuhrt werden. Das Glied mit dem
Integral in (1) hat sich damit bisher, von den Exponentialgliedern
abgesehen, auf den Ausdruck reduzieren lassen:
1
2n2.(r
_~
a+z,
ab
as
L1 u
= - -__
1
. -.J
a+b
2~
.
ab
5.2
tl s
(82
-
$12
L
U
Fig. 5
I n dem letzten Integral kann der Integrationsweg L,, von
beiden Seiten her a n den oberen Verzweigungsschnitt herangeklappt
v - Ebene ein Schleifenintegral,
-50
ra
entsteht hieraus in der
(
dessen Weg im Nullpunkt dieser
werden. Mit Hilfe der Substitution s =
0
Ebene beginnt, den Punkt + 1 im positiven Sinne umlauft und
wieder im Nullpunkt endet. Zu Anfang des Weges ist. dabei
in (2a) arc(?)- 1) = - n und gegen Ende arc (w - 1)= m . Der
Wert dieses Schleifenintegrals kann leicht ermittelt werden und ist
in (2a) angegeben. Abgesehen von den Exponentialgliedern , die
+
H. Buchholz. Die Wirbelstrome i n einer Kreislochplatte
USM.
247
f ur x-+m sehr rasch verschwinden, fuhrt also die zweite Zeile
von (1) auf den von x unabhangigen, asymptotischen Naherungswert:
4i
a -+ b
-.-.
d - u
a.b
Demgegenuber hangen die beiden ersten Zeilen von (1) im wesentlichen linear von x ab, denn die iibrigen mit x behafteten Glieder sind
in Rucksicht auf (2) und auf die FuEnote ausschlieElich Exponentialfunktionen, die die Exponenten - 1/%x ( b - a) oder - I / 2 x * d
haben und zu dem linearen Glied additiv hinzutreten. F u r sehr
hohe Frequenzen berechnet sich demnach der fiktive Scheinwiderstand eines Einzelleiters infolge einer axial zu ihm angeordneten
Kreislochscheibe nach der Naherungsformel:
-
GemaB dem Hauptglied von (3) kann bei Hochfreyuenx die
Wirbelstriimung in der Platte aufgefaBt werden als eine Stromung,
die die Randgebiete der Scheibe gleichmaEig bis zu einer Tiefe
von (l/x) cm durchfiieEt und wobei die Platte eine scheinbare
komplexe Leitfghigkeit D 1/< besitzt. F u r eine derartige Stromung
berechnet sich namlich der TT'iderstand des durchstromten Gebiets
nach einer bekannten Formel zufolge der Gleichung:
-~
2d _ _ _ _
(i).
2na
+----
-u1 / ~
2d
(+) - 2 n b . u l/i
+-
(+I-
--.j-...>
6
u~ja
dl.
U
denn z. B. fur die Stromung senkrecht zur Plattenachse ist der
Querschnitt des Strombandes veranderlich, und zwar gleich
Aus dieser Beziehung ergibt sich aber in der Tat das erste Glied
ron (3). Das zweite Glied dieser Gleichung bringt jedenfalls richtig
zum Ausdruck, daE sich der Phasenwinkel des Scheinwiderstandes
niit wachsendem x dem Winkel 45O von kleineren Werten her nahert.
5,z. Die Energieverluste der Kreislochplatte fur
H
d
<1
I m zweiten der zu betrachtenden Faille sei x d entweder infolge
eines kleinen x oder wegen einer nur geringen Plattendicke eine beliebige Zahl zwischen 0 und 1 oder doch nur wenig griiEer als 1.
Dagegen sol1 uber die GroMenordnung TO^ x a und x b vorlaufig
nichts ausgesagt werden. Urn unter diesen Bedingungen eine brauch-
248
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 24. 1935
bare Formel f u r R - i w L zu tinden, ist in der G1. (4.2) der Integrationsweg (2L) auf diejenigen Pole zusammenzuziehen, die in dem
senkrechten Streifen zwischen seinen beiden Weghalften enthalten
sind. Dies sind die Pole der Gruppen u und 6. D a alle diese
Pole nur einfache Pole sind, so stoRt die Berechnung ihrer Residuen
auf keine Schwierigkeiten. Als Resultat dieser Umformung ergibt
sich damit f u r den auBeren Scheinwiderstand die folgende absolut
konvergente unendliche Reihe:
-.I/-i
%
s Q ( X d l / X. I)n - b
7IU
f (x
F
SF’; a,b)
I
in der s z , und up durch die G1. (3.4) und (3.4 b) definiert sind
Demnach ist im besonderen cos (ap) aus der Beziehung zu berechnen:
cos up = [l
+ (3)4.
(p+
+
)
“
I
”
.
so daB fiir ein x d
<1
niiherungsweise durch
schon nach wenigen Gliedern cos’I2 (a,)
(n -()2 p + 1)
2.xd
f3
ersetzt werden kann. Die Koeffi-
zienten der Reihe (4) nehmen somit merklich wie die reziproken
fiinften Potenzen der ungeraden Zahlen ab. Die Reihe (4) kann
unter diesen Umstanden auch dann, wenn eine weitere Vereinfachung
wegen eines ungiinstigen Wertebereichs nicht moglich sein sollte,
noch zur numerischen Berechnung von R - i w L verwendet werden.
I n den meisten praktischen Fallen wird sich allerdings eine
solche Moglichkeit bieten, denn gerade bei diinnen Kreislochplatten
ist fur gewohnlich a und damit erst recht b von so groBem Betrage,
daB schon fiir das absolut kleinste Argument
der Zylinderfunktionen in (4) die asymptotischen Naherungen dieser
Funktionen verwendet werden kiinnen. Fur a x sf’( 1 kann dann
zunachst wegen (2)der zweite Bruch hinter dem Summenzeichen von (4)
in der kiirzeren Form - (a + b) ctg ( x ):s (b - a)) angeschrieben
werden, und dies wieder darf, falls b - a nicht gerade wesentlich
1
-
>
H. Buchhotx. Die Wirbelstrome in einer Kreislochplatte usw. 249
kleiner als a ist, wegen 3 m ( 3 7 ) > 0 in einem vergleichbaren
Grade der Naherung durch i (a + b) ersetzt werden. Fur die
zweite Zeile von (4) ist damit bis jetzt entstanden:
-
Wegen
ezf;$'
=i
-
tg (up) (1
-i
- ctg uJ
folgt daraus in Ruck-
sicht auf (3.7) die andere Schreibweise:
(
Solange nun ctg u,,= -
1 ist, erlaubt die unter dem Summen-
zeichen auftretende Potenz die Entwicklung in eine unendliche Reihe,
und danach kann noch die Summationsfolge Fertauscht werden.
Die Summation uber p fiihrt aber sogleich zu der R i e m a n n s c h e n
<-Funktion').
Unter der Bedingung x d
<
laBt sich mithin f u r
groBe Werte von x a in Erganzung zu (4) der fiktive Scheinwiderstand auch in der Form angeben:
m
n=O
Diese Gleichung entspricht der G1. (50) in der oben zitierten Arbeit
von P. D e b y e und konnte auf sie mittels der Substitution (3.5) zuriickgefuhrt werden. I u der T a t kommen ja auch die obigen Annahmen iiber die GroBenordnung von x d und x u darauf hinaus,
daB die Kreislochplatte als ein rechteckiger Stab aufgefaBt werden
darf, der zu einem Kreis von groBem Durchmesser zusammengebogen worden ist.
Beim nbergang von (4)zu (5) ist damit f u r den einen Bestandteil von R - i w L eine nach Potenzen von x2 d2 fortschreitende
Reihe gewonnen worden. Dieser Darstellung wiirde es entsprechen,
in (5) auch den anderen Bestandteil mit der Funktion Sg ( x d
durch eine solche Reihe zu ersetzen. Jedoch sol1 hier aus Griinden
der Platzersparnis davon abgesehen werden.
vx)
1) Eine hequem zuglngliche 'I'nfel der j-Funktion von R i e m a n n enthalten die neuen Flrnktionentnfeln von J a h n k e - E m d e , 2. Aufl., 1933, S. 323.
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 24. 1935
250
5,3. Die Energieverluste f i r eine Hulse mit b - a Q tl
Im dritten und letzten Falle habe der den Einzelleiter umgebende Zylinder mehr die Gestalt einer Hiilse, deren Wandstarke b - a kleiner als ihre Hohe 2d ist. Eine diesem Fall angepa6te Reihenentwicklung la6t sich am bequemsten aus der
GI. (4.5) gewinnen, indem die beiden Weghalften von (2Lo) in Fig. 3
auf die von ihnen umschlungenen Teile der reellen Achse und auf
die in dieser Achse liegenden Pole der Polkette y zusammengezogen
werden. Nun gilt in der Nahe der Nullstelle s = sr) yon (3. 3) mit
s
= s(“‘)
(6)
+E
{
bei beliebig kleinem
j (%):s
+x
E;
a, t ~ =
)
E
die Entwicklung (6). Die An-
. [ a x .g
(%
sr; a,
- t I b x g ( % s ; ; b:a)]$O(Ez)
b)
E -t
0)
wendung des Residuensatzes fuhrt dann VOD (4.5) in Rucksicht
auf (6) sofort auf die folgende, vorlaufige Reihendarstellung fur
R - i IO L :
.
~___
a
.g (x
) :5
; a, b)
-b
-g
( )x :5
; b, a )
Diese Gleichung lafit sich durch einen Wechsel in der Bezeichnung weit
ubersichtlicher schreiben. Wird zunachst x a; s
= t p und
B
-
a
=v
>1
gesetzt, so nimmt die G1. (3.3) fur sir’ oder t, die Gestalt an:
f(t,;
1, V) = Y , (t,)
- J1(V tP)- E’,
(V
t,) * J , (t,)
=
0.
Die Wurzeln t, dieser Gleichung hiingen fur jedes p = 0, 1, 2 . . .
natiirlich von z1 ab, und zwar in sehr starkem MaBel). Dagegen
ist die GroBe (v - 1) t, nur relativ geringen Schwankungen unterworfen, andert sie sich doch z. B. zwischen v = 1 und v --t 03 nur
1) S. A. K a l a h n e , Uber die Wurzeln einiger Zylinderfunktionen und
gewisser aus ihnen gebildeter Gleichungen, Ztschr. f. Math. ti. Phys. 54. S. 55.
1907.
H. Buchholx. Die Wirbelstrome in einer Kreislochplatte usw. 251
in den Qrenzen n und 3,83. I n der unendlichen Reihe wird daher
zweckmabig die Substitution (7) vorgenommen :
1
= __
.t
=
1
vp.
(7)
P
a x
p
x(b-a)
Beriicksichtigt man dann noch die G1. (4,6), so ist damit fur den
Scheinwiderstand der Hulse die weitere Beziehung entstanden:
R - i o L = 2 d . [ r ( a ,b) - i w l ( a , b)]
- -
dem Werte 1 liegt, von eineni um so
Nun ist up, je naher
kleineren p an merklich gleich m * (1 + p). Auch im vorliegenden
Falle verhalten sich also die Koeffizienten der unendlichen Reihe
im wesentlichen wie die reziproken fiinften Potenzen der ganzen
Zahlen. Die Reihe (8) ist demnach schon an und fur sich gut konvergent.
Diese Reihe 156t sich aber unter der praktisch bedeutungslosen
Einschrankung eines v - 1 < 1 sogleich weiter vereinfachen. Unter
clieser Bedingung ist es nzmlich schon fur das absolut kleinste
Argument to der Zylinderfunktionen in (8) mit dem ungefahren
Zahlenwert n/(v - 1) zulaissig, diese Funktionen durch ihre asymptotischen Naherungen z u ersetzen. In Rucksicht auf (4.3) tritt
dann, nachdem von diesen Naherungen Gebrauch gemacht worden
ist, an die Stelle des zweiten Bruclis unter dem Summenzeichen der
Ausdruck:
Zl/Z
--b + a
b - a -t b-a *
1
t, (v - 1) ’
Fur ein v - 1 < 1 darf darin naherungsweise
t; (v - 1) = up* 7d * (1 p )
gesetzt werden. AuBerdem sei d b - a) und x (b - a) eine Zahl,
die in der Nahe von 1 oder aber zwischen 0 und 1 liegt. Dann
hat in (8) die Funktion Xg wesentlich den Wert 1 , und fur die
zweite Zeile dieser Gleichung entsteht:
COB
+
>
2
- __
7C* fJ
-
I-[
W
x(b-a)
n+b
4
*
ab
1
2m
p=O
252
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 24. 1935
I n diesem Ausdruck kann unter den bisherigen Voraussetzungen
das unter dem Summenzeichen stehende Binom in eine unendliche,
absolut konvergente Reihe entwickelt werden und hinterher eine
Vertauschung der Reihenfolge der Summationen erfolgen. Die Summation nach p wird dadurch ausfuhrbar und leitet wieder zu der
R i e m a n n schen <-Funktion. F u r die Energieverluste kommt unter
diesen Snnahmen die endgultige Beziehung zustande:
IR - i
L
.
= 2 a [r (a,
q - i w i (a,q;l
m
Die rechte Seite der ersten Zeile dieser Gleichung stellt die
in einer Hulse von der Hohe 2 d auftretenden Verluste dar, wenn
dabei von den Verlusten je Zentimeter Lange einer unendlich langen
Hulse ausgegangen wird. Die zweite Zeile gibt die Korrektur an,
die an diesem behelfsmaBigen Ergebnis wegen des Einflusses der
Hulsenenden angebraclit werden muB. Aus Gl. (9) ergibt sich d a m ,
datl die Korrektur wie im Falle 5 . 2 im Sinne einer Verkleinerung
der Verluste wirkt.
Zusammenfassung
Die vorliegende Arbeit bringt die allgemeine Losung fur das
Wirbelstromfeld in einem Hohlzylinder endlicher Hohe, in dessen
Schse ein wechselstromdurchflossener linearer Leiter liegt. F u r die
Darstellung der Lijsung werden komplexe Integrale verwendet.
Auch die Energieverluste im Zylinder konnen dann durch derartige
Integrale ausgedriickt werden. Fur drei praktisch besonders wichtige Grenzfalle lassen sich aus der Integraldarstellung Reihenentwicklungen herleiten, mit deren Hilfe die Verluste in ausreichender Annaherimg berechnet werden konnen.
B e r l i n , Wiss. Abt. der AEG.
(Eingegangen 12. August 1936)
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