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Die Wirkung eines unendlich langen Metallzylinders auf Hertzsche Wellen.

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746
8.
D i e W4rkwng eines ZClzefidUch l m g m Hetallxglimders auf Hertxsche WeLlm;
von
W. SeQts.
Bei der groBen praktischen Bedeutung , welche die elektrischen Wellen durch die Telegraphie ohne Draht erlangt
haben, diirfte es nicht nur von theoretischem Interesse sein,
die Storungen , welche metallische Korper in Beziehung auf
die Ausbreitung der Wellen hervorbringen, zu studieren. Abgesehen von der Reflexion an Metallwanden wurde bis jetzt
nur die Wirkung einer metallischen Kugel l) berechnet.
Im folgenden soll nun untersucht werden, wie ebene elektrische Wellen in der Umgebung eines unendlich langen leitenden Zylinders , dessen Achse senkrecht zur Fortpflanzungsrichtung der Welle liegt, verandert sind. Freilich weichen
die hier zugrunde liegenden Bedingungen von den in Wirklichkeit vorkommenden Verhaltnissen , wo man es stets mit
endlichen Leitern zu tun hat, und wo die Wirkung des
Empfangers nicht zu vernachlbsigen ist, erheblich ab. Aber
man darf vermutlich doch aus den Resultaten der folgenden
Rechnungen einige Schliisse auch auf die unter realen Versuchsbedingungen vorkommenden Storungen ziehen.
I n der nun allgemein gebrauchlichen Bezeichnungsweise
lauten die Maxwellschen Gleichungen
_ _ _ +-@
4 n=u= r o t $ j
a t
und --=rot&.
P a@
c
at
(Es bedeutet @ die elektrische (statisch gemessene), $jdie magnetische Kraft, & und p die Dielektrizitats- bez. Magneti.
sierungskonstante, c die Lichtgeschwindigkeit und B die elektrostatisch gemessene Leitfahigkeit.)
Zur Losung unseres Problems miisaen wir Polarkoordinaten anwenden, und zwar soll die z-Achse mit dem unendlich langen Drahte zusammenfallen, r sei der Abstand des
1)
J. J. T h o m s o n , Recent researches in electricity and Magne-
tisme. 1893.
W?rkung eines unendlich langen Metallzylinders etc.
7 47
gegebenen Punktes von der Drahtachse, sp der Winkel, welchen
r mit der positiven x-Achse bildet, wobei sp in der Richtung
der positiven Rotation wachst.
Die Komponenten von Q nach diesen Koordinaten sind
Gs,@., und @,, und die von S j sind Qz,Qr und 8,.
Die M a x w ellschen Gleichungen, auf Polarkoordinaten
transformiert, lauten dann l):
I. R a p i t e l .
F u r den Fall ebener Wellen, deren elektrische Kraft
parallel dem Drahte, also in der z-Richtung verlauft, vereinfachen sich diese Bleichungen ganz erheblich. Offenbar
wird G und S j unabhlngig von z sein, es verschwinden also
alle Differentialquotienten aid z. In der urspriinglichen ebenen
Welle war Gv und GV = 0, und hieran kann die Anwesenheit
des Drahtea nichts andern; also auch diese Gr8Sen verschwinden, und demnach ebenfalls &. Da G und Q der Zeit nach
rein periodisch sind, so muS, falls der Differentialquotient
einer Funktion a/d t = 0 ist, dies ebenfalls yon der Funktion
selbst gelten.
Die Gleichungen (2), (3), (4) werden identisch gleich Null,
und es bleibt bestehen :
(1)
_
I! _
a@*
_
c at
4nu
= 1ar43, - ’
+c=
r
ar
r
@
a@?,
-~
acp
1) A. S o m m e r f e l d , Wied. Ann. 67. p. 237. 1899.
7 48
W. Seitz.
Da im folgenden nur noch eine Komponente der elektrischen
Kraft vorkommt, so sol1 an Stelle von Qg einfach Q geschrieben
werden.
Es sind folgende Grenzbedingungen zu erfiillen: F u r
T = 00
hat man ebene Wellen, welche sich vom positiven x
nach abnehmenden x fortbewegen, es muS also sein:
wenn man unter Ad die elektrische Amplitude, unter il die
Wellenllnge, unter 4 2 m die Schwingungszahl versteht.
Ferner mussen an der Drahtoberflache die Tangentialkomponenten der elektrischen wie der magnetischen Kraft aus
dem iiuheren Raum in das Innere des Metalles stetig ubergehen; also fur T = Q (d. i. Drahtradius)
(@.)I
=
(@k!
( W 1 = (%)a
7
9
wobei der Index 1 sich auf den auheren Raum, der Index 2
sich auf den Draht bezieht. Aus (111) folgt dann fur T = Q
Durch Differentiation von Gleichung (11) nach y ~ von
,
Gleichung (111)nach T , und von Qleichung (I)nach t erhalten wir,
indem wir $jq und Qv eliminieren, den bekannten Ausdruck:
Da Q in Beziehung auf die Zeit rein periodisch ist, so konnen
wir setzen:
Q
= e i n t u7
wobei u eine Funktion von
halt dann die Form:
(v) ( - T s+pTn oz n
T
und
'p
ist.
Ausdruck (IV) er-
4nup.
Im auSeren Raume ist die Leitfahigkeit (r = 0, im Drahte
selbst dagegen darf man die Verschiebungsstrome gegeniiber
Wirkung eines unendlich langen Metallzylinders etc.
749
den Leitungsstromen vernachlassigen, und demnach E p na/cB= 0
setzen. l)
Bezeichnen wir den Ausdruck in der Klammer mit (- kB)
und setzen fiir u Q,cosmy ein, wobei m beliebige ganze
Zahlen darstellt, so geht die Differentialgleichung in die bekannte Be sselsche Qleichung uber
(k2
- $)Q, = 0 ,
deren partikulare Lijsungen die Besselschen Funktionen erster
und zwelter Art J,(k r) und 9,(A r) mit dem Argument k T
sind. Der Index m bedeutet, daB die Funktionen rnbr Ordnung sind.
Die allgemeine Losung yon (V) wiire daher:
.
C(%K&(W
+LJm(k~))cosmy,
wobei m alle ganzen Zahlen von 0 bis 00 darstellt.
Im AuBenraum ist
12
2n
k = k , = fGT = T .
Im Drahte ist
Da f i r das Argument 0, also fir T = 0 K = 00 wurde, so
reduziert sich fiir den Innenranm das Integral auf
u, = C b , J , ( k , r ) c o s r n r p .
Damit im AuBenraum die Bedingung
i
a r coa 'p
4
= Meikrcos'p
U , = ~ = M ~
erfiillt wird, errtwickeln wir
Es istq
e i *I
7 ~ 0 '8
P
nach J, (k, r).
Wir setzen also im AuSenraum
m
bm'J, (k, r)=JZ
[bo(kl
W
r)
+ 2 2 imJ, (kl
1
T)
cos (rn 97)] = Mei k re08 P' ,
1 ) A. Sommerfeld, Wied. Ann. 67. p.261. 1899.
2) E. Heine, Haadb. d. Rugelf. 1. Bd. p. 82. Gleichung (14b).
W. Seitz.
750
c a,,,Krn
OD
%=
( P l ) cos (m
94
+ M [ Jo (PI)+ 2 F i" Jh,)
cos m 'p
W
(VZ)
*
OD
=
\
2a,,,K , (p,) COB (my ) + Me'P1
cos
0
(Pl) M 2
J, (PI)= 6, J1
(P?)7
4(pi) - M 2
Ja (PI) = bz Jz
( ~ 2 ;
)
a1 Kl
az
+
,
1
Hieraus konnen die Konstanten a,, a,, a, etc. berechnet werden;
namlich :
1) A. Sommerfeld, Wied. Ann. 67. p, 248. 1899.
Wirkuny eines unendlich Zangen MetaZZzylinders etc.
II
751
a, = 2 i M
I m folgenden sollen einige far das Rechnen mit Besselschen Funktionen notige Formeln angegeben werden.
Es istl):
P7
P4
P9
. ..) .
G {l - 2 . ( 2 n + 2 )
+ 2.4.(2~~+2)(2n-t-4)
Fur sehr gro8es Argument mit nicht verschwindendem imaginaren Teil, wie dies bei ps der Fall ist, wird
Jm(p) = K
j e nachdem der imaginare Teil positiv oder negativ ist.3
Ferner ist 3, :
1) E. H e i n e , 1. c. Gleichung ( 1 4 ~ ) ; R. W e b e r , Partielle Diff.Gleichungen 1. p. 157. Tabellen der Besselschen Funktionen erster
Art finden sich bei L o m m e l (Besselsche‘finktionen 1868), ferner noch
ausfiihrlicher bei M e i s s e l (Abhandl. d. Berl. Akad. 1888), Tabellen der
Besselschen Funktionen zweiter Art bei B. A. S m i t h (Mess. of mathem.
26. p. 98. 1896/97). Die letzteren Zahlen sind nach einer etwaa anderen
Formel berechnet als der von H e i n e angegebenen, konnen aber durch
Vorzeichenwechsel und Addition von J, (p)(In 2 0,577 215 7) auf diesen
Ausdruck zuriickgefrihrt werden. Den Hinweis auf diese Tabellen, wie
manchen anderen wertvollen Rat verdanke ich Hrn. Prof. W. W i e n .
2) A. S o m m e r f e l d , 1. c. p. 248.
3) E. H e i n e , 1. o. Qleichung (44f).
+
w.seitz.
762
Zur Berechnung der Funktionen dienen auch die Formeln:
a Jm (PI (XIV)
aP
(XV)
sowie
2m
(XVQ
(XVII)
- J,’(P)
*
J,
m
=
7J, (PI - J, + 1 (PI9
(PI = P ( J , -1 (PI + J, + 1 (PI)7
??1
=m’
(P)= p 4%
(P)- JL+*
(PI7
2 m K ( P )= P ( % - l ( P )
+ Km+l(P)).
Aus Formel (XU) fur groSe Werte von p mit negatiuem
. Teil berechnet sich mit Hilfe von (XIV) und (XV):
(XVIII) .
-A+(+
--
- 8+ i
p
2 .
+1+--2
P
- -pa
If,
4
etc.
P
Diese Ausdriicke werden wir im folgenden zur Berechnung
von a,, a,, as gebrauchen.
Kupferdraht vom Radius 0,l om.
Die Leitfiihigkeit
$ = 5,83.lO-4
abs. Einheiten.
Die Schwingungszahl sol1 lo9 pro Sekunde sein, also n-2 11d. log,
die Wellenlange in Luft gleich 3.1010/109= 30cm. Da in
diesem, wie in allen iibrigen Fiillen der den Draht umgebende
Raum mit Luft erflillt sein 8011, so wird p, und el = 1, pees iet
hier ebenfalls = 1.
N'irhuiig eines icnendlich Zangen iMetallzyZincters etc.
753
Es wird daher
k1
=
n
-
c
2.n
3
= _.lo-'
k , = J- i.--
=
4nun
CZ
0,2095,
- (1 - z]
2 n i 5 , 8 3 . l o 5 = (1 - i) 4800,
fur die Drahtoberflache, d. i. 1' = (1 = 0 , l cm ist p , = 0,02095,
p , = (1 - i) 480. Fur diesen Wert von p , kann man die abgekurzte Form (XVIII) benutzen :
Es ist ferner
-~
P,
=2,182.10-5((1 +i),
J,(p,)=0,99989, Jo'(pl)= -0,010474,
KO= 5$135, KO1=- 47,79,
also:
cc,
=
i + 2,182. l O - ' ( l + i) 0,010474
fM 0,99989
(1 + i) . 47,79 - i 5 , 1 3 5
- 2,182.
+ 0,00003989i);
- - ~%'(0,19468
ferner
Jl'(P9)
-i-
1
.
= 2-
l+i
(PJ
(1 - Z) 480
960 '
J1(p,) = 0,010474, J1'(p,) = 0,49993,
Kl'(Pl) = - 2276,1,
Kl ( p l ) = 47,29,
- 2,182. l O - ' ( l + i) 0,49993
a, = M 2 i
- 2 , 1 8 . 10-4(1 + i ) 2276,13 - i 47,793
= M(0,913.10-6 - 0,000 439 i ) ;
ferner
~~
~
J1
( Lg);
J2 ( p l )= 0,00005461, Ja'(pl)= 0,005213,
R,'(p,) = - 435085
K, (pl) = 4557,.5,
n,=-y
+
- 2,182. 10-5(1 + 23 0,005213
+ i) 435 085 - (2 + 9,l . 10-3 4557,5
0,00005461 (i 9 . 1 .
- 2,182. 10-'(1
= M(2,38. lo-'
+ 9,82. l O - " i ) ,
Annalen der Physik. IV. Folge. 16.
48
W. Seitz.
754
ferner
J , ( p , ) = O,OU000019, J3'(pl)= 0,00002721,
K 3 ( ~ 1=
)
a, = - 2 i M
=
870122,
-&'(pi) = - 124596720,
0,00000019 (i -
- 2,182. lO-'(l
- M(0,272
s&) - 2,182. 10-4(1
+ i)0,00002721
+ i) 124,60. lo6 - 870121
.
43,6 i) lo-'"
-'
Fur die OberfEiiche des Dralites ist r = 0,l cm, also p , =0,02095.
Fur diesen Wert ist:
KO (PI)= 5,135,
x,(p,) = 47,793,
Ir, (PI)= 4557,5,
K3 (pl)= 870122
und
Q t = e i n t + M e i l l t + l l l ~ ~ ~ ~
-
fur cp = 0, d. i. in der Richtung der einfallenden Wellen, da
sich diese vom positiven zum negativen x bewegen
@=(aoKo+a,Kl+a,K, +a,K,+..
+
(cos (nt
.)(cosnt+isinnt)
+ p,) + i sin (nt + p,))
+
Wenn wir fur a M ( a ip) schreiben, so wird der reelle
Teil von (3, der allein zu berucksichtigen ist:
+ C C K2
~ +CL,
K, + . . . + COSY,] M C O S ~ ~
+ [PoKO+ PI Kl + P2 K, + P3 K , + .. . - sinp,] Main n t,
= [-0,9997 + 4,36.10-6+ 10,83.10-'- 2,365.10-9 + , . .
Q = [a,K,, + u ~
A,'
+ 0,99978Jillcosnt,
+ [0,0002044 + 0,02096 - 4,475. lo-' - 3,79.10-T
+ . . . - 0,020941 M sin n t ,
=0;
IVirkung eines unendlich Eangen Metullzylinders etc.
fur
- d. i. hinter
cjj = TC,
@ = [aoKO - ul Kl
755
dem Draht:
+ a, K, - u3 K3 + . . .] (cos n t + isin n t)
+ iain(nt-pp,)],
KB - cc3 K3 +. . . + cosp,]
= [G, KO - ctl Kl +
+N[cos(nt-pp,)
Mcosnt
+ [ P o KO- p1Kl + pa Ka - ps K, + + sinp,] Msin n t,
= [0,9997 - 4,36. lo-'' + . . . + 0,999781 M C O S t
+ [O,OOO 2014 - 0,02096 - . . . + 0,020941 Msin n t,
*
=
*
0;
fur y = &
7c
-
-- 2
@ = [o,
KO - u B K a . ..](cosnt+isinnt)
+ M(cosnt+isinnt),
... + l ] M c ~ s n t + C p , K ~ - ~ ~...]
$ sinnt,
= [0,9997 - 10,83.
+ . . . + 13 M C O S T Z ~
+ [0,0002044 + 4,475.
. . .]sin n t ,
=[q,K,-ct,K,
=0.
In der gleichen Weise sind die Werte von 6 fur grofieren
Abstand berechnet worden, und die Ergebnisse in der folgenden Tabelle zusammengefaBt. Die Reihen konvergieren desto
schneller, je grol3er p , d. i. r ist; es braucht daher bald nur
das erste Glied der Reihe beriicksichtigt zu werden. AuBerdem
wurde noch die mittlere elektrische Energie der Welle fur
die einzelnen Punkte berechnet, da es bei experimentellen
Hrstimmungen gerade auf diese ankommt.
Sie ist
T
0
wenn wir setzen:
@ = M ( A cos n t
+ B sin n 1 ) .
I n der letzten Rubrik der folgenden Tabelle ist die mittlere
Energie in Prozenten der mittleren Energie der ursprunglichen Welle angegeben.
48*
W . Seitz.
756
Tabelle 1.
r l P + I P ) . 100
Q
~-
~~-
0
0
0
0
0
0
M (0,300 COB n t - 0,09322 sin n t)
M(0,SOO COB n t + 0,0955 sin n t)
M(0,305 COB n t + 0,00014 sin n i)
Y (0,427 COB n t
Y(0,427 COB n t
M(0,447 COB n t
- 0,1960 sin n t)
+ 0,1960 sin n t )
+ 0,00013 sin n t)
22
22
N(0,520 COB n t
- 0,3680 sin n t)
42
+ 0,3882 sin n t )
+ 0,000082 sin rrt)
M (0,3955 cos n t - 0,8405 sin n t )
Y (0,3955 cos IZ t + 0,8405 sin n t )
Y(0,520 COB n t
Y(0,599 COB n t
r = 9,56 cm
r = 11,95 cm
r = 14,34 em
0
Y(-0,6377 cos 91 t
M (- 0,6377 cos n t
M 1,1631 COB n t
0
M(-0,8161 COB n t
M(-0,8161 cos n t
M 1,1738 COB n t
M
M
M
M
0
- 0,1417 sin nl)
+ 0,1417 sin n t )
42
85,8
86,2
86,2
78,O
100,01
100,Ol
l00,4
92,t
9q1
1,222
76,4
76,4
135,5
68,5
68,6
158,O
75,2
75,Z
130,5
+ 0,7588 sin n t)
89,7
89,7
117,s
(- 0,1954 COB n t
Y(-O,1954 cos n t
M 1,0125 cos n 1
M
- 0,5992 8h a t )
+ 0,5998 sin n r)
20
(- 0,7935 COB n t -I-0,3504 sin n t )
(-0,7935 COB a t 0,3504 sin n t )
1,1432 cos R t
(- 0,5674 COB n t
M(-O,5674 COB la t
M 1,0843 COB n t
r = 19,12 cm
r = 21,51 cm
M (0,855 COB IZ t + 0,00003 sin n t )
M (0,0717 COB n t - 0,9982 sin n t )
Y (0,0717 COB n t + 0,9982 sin I)t)
M (1,0019 COS n t )
Y (- 0,311 COB n t - 0,909 sin n t )
M (-0,311 COB n t + 0,909 sin n t)
M 1,106 COB n 3
0
r = 16,78 cm
9988 O/*
9,91
9,30
-
- 0,7588 sin IZ t)
+ 0,9784 sin n t)
- 0,9184 sin n t)
99,L
99,4
102,5
Wirkung eines uneiidlich langen Metallzylinders etc.
757,
T a b e l l e 1 (Fortsetzung).
Q
r = 23,90 cm
(Pl =
5)
r = 26,29 cm
(PI = 5,5)
1'
= 28,68cm
(P1 =
6)
r = 33,46cm
(P1 = 7)
r = 38,24 cm
(P1
= 8)
r = 43,02 cm
(P,= 9)
r = 47,80cm
(p1=
10)
97,16 'lo
97,16
89,3
+ 0,7061 sin n t)
86,75
86,76
80,6
M (0,2296 cos n t
M 0,9456 cos n t
- 0,7061 sin n t)
M (0,8379 cos n t + 0,2807 sin n t)
hf (0,8379 cos n t - 0,2807 sin n t)
M 0,8781 cos n t
M (0,6781 cos n t - 0,6575 sin n 2)
M (0,6781 cos n t + 0,6575 sin n t)
Y 0,9246 cos n !i
M (-0,1209 COB n t - 0,9888 sin n t)
M (- 0,1209 cos n t
+ 0,9888 sin n t)
dl 1,02975 COB n t
M(-0,8147cosnt
M (- 0,8147 cos n t
211 1,0967 cos n t
M
M
M
+ B y . 100
+ 0,9891 sin n t)
- 0,9591 sin n t )
d.i (0,2296 COB n t
M (0,606 L COB n t
M(0,6061 cos n t
M 0,8978 COB n t
8 2
(-0,7664 cos n 2
(- 0,7664 COB n t
1,0723
- 0,4115sinnt)
+ 0,4115 sin n t)
+ 0,5448 sin n t)
- 0,5448 sin n t)
78,O
78,O
7 7,O
89,l
89,l
85,3
99,5
99,5
106,O
83,l
83,l
120,l
88,4
88,4
115
Fig. 1.
Die Energie der uraprtinglichen Welle wird, wie aus der
Tabelle hervorgeht, durch den Draht vor und hinter demselben, d. i. far sp = 0 und sp =.n,. in gleicher Weise ver-
758
W; Seitz.
andert, falls wir von den kleinsten Werten von r absehen, in
ganz anderer Weise dagegen far cp = & n12. Der Verlauf
der Energie der Wellen bei verschiedenem Abstand vom Draht
ist am besten aus dem vorstehenden Kurvendiagramm (Fig. 1 )
zu ersehen.
Ordinate ist die Energie in Prozenten der unveriinderten
Welle, die Abszisse bildet p , d. i. der Abstand von der Achse,
gerechnet in Wellenlangen und multipliziert mit 2 m.
Jo ( p a )= 0,90926 - 0,05452 i
J1(p,) = 0,16956 - 0,16056 i
Ja(pl) = 0,0004953 -0,00226 i
- 51 (pa)
Jl’(pa)= 0,5000 0,0407 i
J , ( p z )= 0,08553 - 0,0795 i
Jo’(~a) =
+
Jo (Pl) = 1 7
J1( p l ) = 0,0002005,
Ja ( p l )= 2,2. lO-lO,
Jo’(P1) = - 4 (Pl)
9
J,’(P,)= 0,500,
J i ( p l )= 1,05.10-j.
759
Wirkung eines unendlich Iangen Metallzylinders etc.
Durch Einsetzen dieser Zahlenwerte in (IX) erhalt man:
a. = - M(0,05303 + 0,041 935 i),
jM (0,475 - 0,0308 9 . lo-'",
u1 =
a4 = - M(0,0392 - 0,342 i )
.
Die Werte von fi5 fur verschiedene T und y wurden ebenso,
wie in dem zuerst behandelten Falle berechnet und sind in
folgender Tabelle zusammengestellt.
T a b e l l e 2.
-~
E
r
-0,0002 cm
'=%( berfliiche)
(pl = 0,0000419)
0,239cm
(P1= 0,051
+ 0,476 sin n t)
+ 0,476 sin n t)
+ 0,476 sin n t)
M (0,7727 COB n t + 0,1290 sin n t )
M (0,398COB n t
M (0,398 COB n t
31 (0,398 cos n t
M (0,7727 COB ra 1 + 0,2280 sin n t)
M (0,7740 COB n t + 0,1785 sin n t)
+ 0,049 sin n t )
M(0,806 COB n t + 0,249 sin n t )
0,478 cm
M (0,806 COB n t
(Pl = 04)
M(0,811
0,956 cm
(P1= 092)
1,912 cm
(PI = 074)
-
4,78 cm
(Pl
1,O)
7,17 cm
(PI = 195)
9,56 cm
(PI = 2)
11,95 cm
( P I = 215)
A'
COB
ra t
+ 0,149 sin ra t)
M (0,8295COB n t
M (0,8295COB n t
- 0,080 sin n t )
+ 0,318sin n t)
M (0,8494COB n t + 0,119 sin n t)
.U (0,8120 COB n t
M (0,8120 COB n t
M (0,8909 cos n t
- 0,3026 sin n t )
+ 0,4754sin n t)
+ 0,0905 sin n t )
M (0,501U COB n t - 0,8102sin n t)
M(0,5010 COB n t + 0,8726 sin n t)
M(0,9605 COB ra t + 0,0312 sin n t)
M (0,07027 COB n t - 0,9980 sin n t)
bI (0,0049 COB n t
M (1,0005cos n t
+ 0,9972mn n 1)
- 0,0004sin n 1)
+ BP
38,5 Yo
88,5
38,6
61,4
64,5
63,0
66
71
68
69
78,5
73,4
75
89
80
90,7
101,1
92,5
100
99,5
100,1
M (- 0,3680COB n t - 0,9317 sin n t) 101,8
M (-0,3880 COB n t + 0,8861 sin n t] 93,4
211 (1,0289 COB IC t - 0,0228sin ?1 t)
106
iN (-0,7664 a s n t - 0,6341 sin n t ) 97,2
M (- 0,7564 COB
+
1 0,5639 sin n t )
88,7
-11 (1,0444cos rat - 0,0351 sin n t )
109
W.Seitr.
760
T a b e l l e 2 (Fortsetzung).
~~
~
A ? + B1
0
M (-0,9426 cos n t - 0,1791 sin n t ) 92,o
J!f (- 0,9426 cos n t + 0,1043 sin n t) 90,O
109,6
M (1,0473 cos n t - 0,0374 sin n t)
14,34 cm
(PI = 3)
“lo
(-0,8977 COB n t + 0,3194 sin la t) 90,7
95,o
M (- 0,8977 cos n t 0,381 sin n 2)
108
Jf (1,0390 COB n t - 0,0308 sin n t )
111
16,73 cm
(PI = 395)
-
+
M (-0,6288
93,s
COB 12 t
0,7373
12 t )
(-0,6288 cos n t - 0,7797 sin n t ) 100,2
M (1,0229 cos n t - 0,02115 sin n t ) 104,s
19,12 cm
M
(P1 = 4)
M (- 0,2045 cos n t + 0,9754 sin n t ) 99,2
Y (-0,2045 cos n t - .0,9808 sin n t) 100,2
M (1,00339 cos TZ t - 0,00268 S b vz 1) 100,8
21,51 cm
(Pl = 495)
23,90 cm
(Pl = 5)
26,29 cm
M (0,2692 COB n t + 0,9705 sin n t)
?d (0,2692 cos n t - 0,947 I sin n t)
M (0,9852 COB n t + 0,0117 sin n 2)
101,2
96,7
97,O
31 (0,6804 COB n t + 0,7279 sin n 1 )
M (0,6804 cos n f - 0,6839 sin n t)
M (0,9721 COB n t 0,0220 sin n t)
99,2
92,9
94j5
+
(PI = 5,5)
+
M
M
(0,9266 cos n 1
0,3069 sin n t )
(0,9266 COB n t - 0,2544 sin n t)
M (0,9668 cos n t 0,02625 sin n t )
28,68 cm
(PI= 6)
+
95,3
92,4
93,3
Die Energie der Welle fir verschiedene Werte von p ,
und f i r y = O , rn und n / 2 ist ebenso wie im ersten Falle
durch das folgende Kurvendiagramm (Fig. 2) dargestellt.
4
R
?
Fig. 2.
JZ
4
Wirhung eines unendlich langen illetailzylinders etc.
7 61
Wahrend im ersten Falle, d. i. bei dem Kupferdraht, auf
der Oberflache des Metalles Q nahezu gleich Null war, kommt
hier der elektrischen Kraft auch an dieser Stelle noch ein
endlicher Wert zu. Demnach muB auch eine endliche Energiemenge vom Platindraht absorbiert werden.
Man kann diese mittels des Poyntingschen Satzes berechnen. Nach diesem ist der EnergiefluB durch die Oberflache eines Drahtstuckes vom Radius p und der Lange eines
Zentimeters :
E = =P C
jn
@z@Vdy*
0
GZ ist nach obiger Tabelle an der Oberfiiiche des Platindrahtes
von 'p unabhangig. Dasselbe gilt von &; denn nach (111):
Da ferner h,
=n/c
+
+
ck
@p -- 7$ 1 21 ( ~ o ~ o ' ( p , !a, ~ , ' ( p , ) C o ~ c p
.
+ Jficosye~PicosV) eI?Lt
=
- iB [(0,05303 + 0,04193 i) 0,23867 . lo5
- (0,475 - 0,0308 i). 10-l'. 5,696. 1O8c0sy
+ (0,0392-0,342i).10-'o.55,43.1013cos(2q)...
+ ieiPi
COST
cos q ] ei n 1 .
I n dieser Reihe konnen alle Glieder, welche enthalten, vernachlassigt werden, ebenso das Glied i e ipi co8 'P cos (p, da dessen
grBBter Wert gleich i ist.
Es ist daher 8, nahezu unabhangig von cp.
Wenn man ausmultipliziert und dann nur den rellen Teil
berucksichtigt, so erhalt man
Es ist
8,
daher
E=
= (1265 sin n t
''2z---
'b
4%
&f9
2
+ 1000 cos
(0,398 cos n t
72
t).
+ 0,476 sin n t)
+
(1265 sin n t
1000 cos n t)
= M 2 .3 . 106(980cos n t sin n t
205 sinan d 398).
+
+
7 62
U? Seitz.
Wiihrend einer Schwingung absorbiert der Draht folgende
Energiemenge :
T
2n
+
= 3 . 106MaP(102,5 398)
= 3 . los M
alO-9.500,5
= 1,50 Ma.
Auf noch einfachere Weise liiBt sich diese Zahl berechnen
aus dem Ohmschen Gesetz, da die elektrische Kraft auf der
Drahtoberflache von q~ unabhangig ist.
Der Strom ist bei der geringen Dicke des Drahtes im
ganzen Querschnitt nahezu gleichmiiBig verteilt, wie aus der
bekannten Formel von Lord Kelvin hervorgeht.')
Es ist
T
T
Der elektrostatische Widerstand fi ist gleich
.-=--
1
10-0
1
6,9.104'900 p 2 n
ferner ist
fCEa d t
M2
= -0,385 I'
2
10-7
780
'
(vgl. Tab. 2).
0
T
JEdt
=
780. l o 7 .10-9.Ma.0,1925
0
= Ma 1,50.
Eisendrctht v o m Radius 2 em.
Es ist
zCS= 1 0 , 8 . 1 0 - 6 ,
pz=llO.z)
1) Vgl. die von H o s p i t a l i e r berechnete Tabelle dee Wechselstromwiderstandes gerader Driihte; G. Ferraris, Wiseensch. Grundl. d.
Elektrotechnik p. 294. T e u b n e r , Leipeig 1901.
2) J. KlemenEiE, Wied. Ann. 50. p. 475. 1893.
763
Wirkung eines unendh'ch Zangen Metalkylinders etc.
Ferner sei
-
il = 600 c m ,
n = 2 n . 0 , 5 . 1 0 * , also
daher
k,
=
2 I .0,5.108
= 0,010475.
3.10'0
hi= -~i.8~a,10,8.0,5.10e.l10,
It,
= (I
- 44850.
An der Drahtoberfllche ist demnach:
p,
= 0,02095,
p,
= (1
- i) 9700.
Hier konnen fur J,,' ( p , ) / J , (pa) etc. die abgekurzten Formeln
(XVIII) angewandt werden.
notigen GroBen sind
Die zur Berechnung von a,, a,,
auBer A,, k,, pa,Jd(pa)/Jm(pa)
dieselben wie im Falle I, da p ,
denselben Wert hat,.
Es ergibt sich:
a, = - M(0,1945 + 2,155.lO-*i),
a, =
uZ =
~ ( 4 : 8 9 . 1 0 - 6- 4,33.10-4 i),
M(2,35.10-* + 5,35. 10-10i).
Die Werte von @ fur verschiedene Abstande I- sind ebenso
wie in den vorigen Beispielen berechnet und in Tab. 3 zusammengestellt.
T a b e l l e 3.
~~
~
~
~
Q
0
(pI = 0,02095)
0
0
M (0,5086 COB n t - 0,09466 sin ?a #)
Y (0,3025 COB n t + 0,09620 sin n t)
M (0,3075 cos n t + 0,00077 sin n t)
M (0,4276 COB t - 0,1957 1)f )
dI (0,4276 COB n t + 0,1969 sin n t)
dl (0,4476 COB n t + 0,00081 sin n t)
M(0,620 COB n t - 0,5876 sin n t)
M (0,520 cos n t f 0$3885 sin n t)
111 (0,699 cos n t + 0,08046 ah n t )
AS+P
0
0
0
10,05
10,08
9,45
23,lO
22,16
20,oo
4a,o
42,l
35,T
W, Seitz.
164
T a b e l l e 3 (Fortsetzung).
A2 + B4
Q
~~
~~
dl (0,3941 COB n t - 0,8405 sin n t)
M (0,3940 COB n t + 0,9408 Bin n t )
M (0,8533 COB n t + 0,00016 ein n t)
M (0,07163 COB n t - 0,9970 sin n t )
~
8612 "0
86,2
72,8
+ 0,9970 sin n t )
99,9
99)9
100,4
Y ( - 0 , 3 l l c o s n t - 0, 909sinnt)
M (-0,311 COB n t + 0,909 sin n t )
Y (1,1057 COB n t 0,00018 a h la t )
92,O
92,O
12.2,l
Y(0,07163 COB n i!
Y 1,0019 cos m t
-
Y (- 0,6377 COB n t - 0,5990 sin n t ) 76,3
M (- 0,6377 COB n t + 0,5990 sin n 2) 76,3
135,5
M(1,1632 COB n t - 0,00018 a n n t)
M(-018160COSnt- 0,1422CO898t)
M (-0,8160 cos la t 0,1418 COB n 2)
M(1,1738 COB n t 0,00014 ah 71 t )
-
+
68,6
69,6
138,O
Die Abhangigkeit der mittleren elektrischen Energie von r
bez. p , ist, wie in den fruheren Beispielen,. in folgendem Kurvendiagramm (Fig. 3) dargestellt.
1
-F
a
2
Fig. 3.
E i e e n d r a h t vom R a d i u s 2 cm.
Es sei jetzt
n = 2 R . 7.82. lo*, also
I = 384 ni .
7 65
Wirkiing eines unendlich langen Metallzylinders etc.
Da wie in1 vorigen Beispiel
cB
= 10,s. 10-5,
ist, so wird
R,
= 0,000 1637
,
R,
p2 = 110
= (1
- i) 606,25
und an der Drahtoberflache
p1 = 0,0003274, p , = (1 - i) 1212,5.
Fur Jo’(p2)/Jo
( p , ) , J1’(p,)/J, (p,) etc. kommen auch hier die
abgekurzten E’ormeln (XVIII) in Anwendung.
Die zur Berechnung yon ao, al, a, niitigen Besselschen
Funktionen sind:
(PI)= 1,0000 9
J1 (pl)= 1,637. lo-”
J , ( p l ) = 1,34
Jo
J o ’ ( p l )=
J 1 ’ ( p l )=
Ja’(pl)=
- 1,637.10-4,
0,5000,
0,819.10-4.
KO(pl) = 9,29475,
K o ’ ( p l )= - 0,3060. l o 4 ,
(pl) = 0,3060. lo4, Rl’(pl)= - 9,35 . l o G ,
K , ( I > ~=) 0,1873. lo*, K,’(pl)= - 0,1144.10’a.
Daraus berechnet sich ntlch Formel (IX):
a, = - M(0,1071 + 0,00052 i),
a1 = M(0,892 - 9,7b i ) . lo-”
a, =
M(1,177 + 0,2165i).
Die Werte von (3 fur rerschiedene r sind, wie im Vorhergehenden berechnet und in Tab. 4 zusammengestellt.
T a b e l l e 4.
Q
r
A’
+ BB
~~
= 0 = 2cm
(Oberflbhe)
0
T
0
0
( p , = 0,000 327 4j
306 cm
(Pi= 0,051
612 cm
(PI = 0,1)
1224 cm
(PI =
0,2)
1
1
- 0,0473 sin w t)
+ 0,0517 ein n f )
+ 0,0022 sin n t)
M(0,6111 COB n t - 0,0980 sin PZ t)
df(O,642 COB n f
df(O,542 c o ~ ln f
M (0,543 cos n t
+ 0,1017 sin n t )
+ 0,00185 sin n t )
- 0,1972 sin n 1)
+ 0,2001 sin ra f )
+ 0,00148 sin n t)
(0,611 COB n t
64 (0,616 COB n t
M(0,6754 coa n f
Y (0,6754 COB n f
df(0,6958 COB 98 t
0
0
0
2996 %
29,7
29,4
38,3
38,4
38,O
49,5
49,6
48,s
w.seitz.
766
Tabelle 4 (Fortsetzung).
Ap + Be
Q
l ' p
M (0,700 cos n t - 0,3883 sin n t )
111 (0,700 cos ra t + 0,3905 sin n t)
M (0,779 cos n t + 0,0011 sin n t)
bI (0,4606 cos n t - 0,8410 sin n t)
dl (0,4606 cos R t + 0,8417 sin 1c t )
M
(0,9201 cos vz 1
+ 0,0004sin n t )
111(0,07081 COB n 1 - 0,9976 sin A t)
M (0,07081 cos n t + 0,9976 sin A t )
M (0,99895COB n t)
211 (-0,359 cos la t - 0,909 sin n t)
111(-0,359 cos n t + 0,909 sin n t )
M(1,0586 COB a t
15 300 cm
18360 cm
24 480 cm
- 0,00028 sin A 2)
M (- 0,7109 cos vz t - 0,6994 sin n t )
M(-0,7109 COB n t + 0,5986 sin n t)
M(l,O899 cos n t - 0,00044 sin 1c t )
-
COB n t
0,1422sin n t)
M(-0,8943 cos A t + 0,1422sin n t)
M (1,09625 cos n t 0,00046 sin A t)
111 (-0,8943
M (0,6054cos n 1 + 0,7583 sin t)
M (0,6054COB n t - 0,7587 sin n t)
Y (1,0463COB n t - 0,0002 12 t)
M (-0,2010 COB n t + 0,9781 sin n t )
dl (-0,2010 COB n t - 0,9781 sin n t)
M (1,0069cos n t
- 0.00003
sin n t)
64,l OiLl
64,2
60,5
91,s
91,9
84,5
100,o
100,o
99,8
95,2
95,2
112,o
86,2
86,l
118,5
81,9
81,9
120
93,9
94,O
109,6
99,5
99,5
101,4
Wirkung eines unendlich langen Metallzylinders etc.
76 7
Der Verlauf der mittleren Energie mit p , bez. T wird
auch hier durch das vorhergehende Kurvendiagramm (Fig. 4)
veranschaulicht .
11. K a p i t e l .
Die Schwingungen der elektriechen Kraft erfolgen senkrecht
zur Drahtachse.
Die Drahtachse sei parallel der z-Achse ; die Fortpflanzungsrichtung der Wellen sei die negative x-Achse, wie im I. Eapitel.
Auch jetzt wird Q und LE von z unabhangig sein. Es
verschwinden daher alle Differentialquotienten 813 z ; in der
urspriinglichen Welle sind @, 8, und @# gleich Null und
selbstverstandlich gilt dies auch in der Nahe des Drahtes.
Wenn ferner fiir eine Komponente von @ oder @ der Differentialquotient nach der Zeit verschwindet, so muB diese Eomponente
ebenfalls verschwinden.
Die sechs auf Polarkoordinaten transformierten Hauptgleichungen (vgl. p. 747) vereinfachen sich daher folgendermaBen:
(XXI)
1 a@,
-_--- r1 a ra. rQ w +FF’
P 3 8 s
cat
Wir fiihren nun eine Hilfsfunktion 17 durch folgende Gleichung ein’):
d 2 r I + ~4 n u a n~
(XXII)
_
,
aq,
Wir konnen dann die Ausdrucke (XIX) und (XX) syrnbolisch
,$j
2 = c a V a t
folgendermaBen anschreiben :
(XIX) ( c5 aat + 7)
4 n u Q = -1 -& - +
a+r
r (c a t
~
4nu
c
asn
Ol{L
’
und daraus folnt:
(xxrv)
1) Ahnlich verfiihrt S o m m e r f e l d in oben geuauuter Arbeit.
W. Seitz.
768
Setzen wir (XXII), (XXIII), (XXIV) in (XXI) ein, so erhalten wir:
sp
a 3 n
c2
at2a(c
4nutu PIT
1
a
asn
1
aan
8
%
(xx~)
+
a t a p l = r x ( r m )+ p F g 4 n u p an
a 1 an a e n
L
a T (y!g+
a t ) = & i j , + 3 7 + 7 7 7
0%
c2
uncl daher auch
(XXV)
4ncry
a9n
~
a t2
c'l
+
an at
02
an +-+---.
a=n 1
1
r -87
ar1
~
rt
Setzen wir
L? = w e i n t ,
so erhalten wir
Ebenso wie im I. Kapitel konnen wir im Drahte selbst
vernachlassigen, und umgekehrt wird im AuBenraum
4nupirL
= 0.
c:!
(e p /ca) na
~~
In der dort gebrauchten Bezeichnungsweise konnen wir
schreiben, indem wir noch setzen u; = P, sin m y :
d. i. eine Gleichung, die durch Besselsche Funktionen integriert wird. Setzen wir
2
w 2 = i~
J, (li, r) sin (rn y ) (vgl. p. 749).
Nach (XXII) ist dann
Damit die Bedingung
(Qm)
= e''l''+i.r.cos~)
erfullt wird, setzen wir
+ 2 JfxiDL4, cos m y
W
OD
C a:, J , (hl r)cos m y
= JfJ0
1
0
-
iu
i 01t
+ I,, r cos $01 .
Krkung eines unendlich langen Metallzylinders etc.
Ferner ist nach (XXII):
(XXII') 8, = 4 n o
nach (XXIII) ist:
an
~~
I( @ )
a'p
=
C
bm J,(k,
0
O0
r) cosm cp e i n n ' ,
l e i n l - a* W ,
= -1 a * I I = -
r l
1'
a 9 2
r
a 'p'
Aus (XXIV) folgt
1) Fiir r
k, ist wieder p , und fur r k, ist p , gaechrieben.
Annalen der PhFaik. IV. Folge. 16.
49
769
7 70
K Beilz.
Aus diesen Gleichungen lassen sich die Werte von q,,q,
und as berechnen.
Es ist die Rechnung durchgefuhrt ftir den im I. Kapitel
behandelten Kupferdraht von 0,l cm Radius bei einer Schwingungszahl lo9 pro Sekunde; die betreffenden Daten finden
sich p. 753-754.
Die Rechnung ergibt :
aa
a0 =
-
a, =
a2 = -
M (0,00021 9 5
iM 0,000435,
+ 0,000 000 46 i),
icz. 2,42.10-8,
a3 = - i M M . 4 , 3 7 . l O - ' 3 .
Da k,
= n / c , so
wird
(XXIV) (@& = i e i n t [C amcos m cp. KA(p,)+A2 i. cos 'p e"rco8V
An der Drahtoberfiache, d. i. fur
P
= g = 0,l cm
I.
bez.
p, = 0,02095 wird:
-
fur 'p = 0
(@,h
= (icosnt
- sinnt)N[0.0002195.47,79
- i. 0,000435.2276,l + 2,42.10-*. 4,W. 106
+ i4,37.10-15.1,25.108--. .. + iO,99978-0,02098],
= M [ ( - 0,01047 - 0,01052 + 0,02098) sin n t
+ (0,99985 - 5,46.
- 0,99978) R t]
COB
= 0;
-
fiir cp = R
= (i cos n t
- sin n t) M[O,OOO 2 19 5 .47,79
+ i. 0,000435.2276,l + 2,42.10-8.4,35.106
- i4,37.10-13.1,25.108-. .. - i.0,99978 - 0,020981,
= 0;
fiir
=
+
R
und sp
=
-2
7T
-
eV, = (i cos n t - sin n t) M[0,000219 5 .47,79
- 2,42.10-8,4,36 . l o 6 ., .] m=
0.
77 1
Wirhung eines unendlich lanyen Metallzylinders etc.
Nach (XXIV') ist:
(QJ,= +
i
eint
[$a,,,
m Km(pl)sin m cp)t Bib,p
sin 'p eiplco*,
= 0 und cp = rn ist:
fur
fiir y = f
Q,= 0 ,
+ ist:
q=*-0,02095 (icos n t - ain n t)[i 0,000 435 . 4 7,8
+ i . 4,37. lo-''. 3.8,7. l o 6 - . .. + i0,2095],
=F
Ml,992cosnt,
T
Im folgenden seien noch die Werte von Q, und
r = 0,478, d. i. pl = 0,1, angegeben.
@?
fur
y=OJ
* M(0,0966 sin n t - 0,9532 cos nt),
Q,
T
$ J @ $ d t = -OJ916,
i
w
d.i.9176Proz.;
2
0
0
y=w,
= M(0,0966 sin n t
+ 0,9532 cos nt),
T
+J@;dt
c
,0,916,
M'
d.i.9176Proz.;
0
n
SP'fT'
@v = - M0,00125 sin n t ,
T
Gr =
I
M 1,0444 COB n t ,
T
LTJ @ $ d t = ~20 , 0 0 0 0 0 1 5
0
l o
d. i. 109 Proz.
Die Wirkung des Drahtes verschwindet demnach schon in
ganz yeringer Entfernung, was man ohne weitere Rechnung aus den
49 *
772
W. Seitz.
Wirkung etc.
Werten von a,,, a,, n2, a3 und den Reihen, welche Q, und Q,
darstellen, erkennen kann.
Zusammenfassung der Resultate.
1. D r a h t a c b s e p a r a l l e l der e l e k t r i s c h e n Kraft.
Der Mittelwert von @ a verschwindet auf der Oberfllche
des Drahtes in allen berechneten Beispielen, mit Ausnahme
des Platindrahtes von 0,0002 cm Radius, wo er nur auf
38,5 Proz. des ursprunglichen Wertes reduziert ist.
Der Mittelwert von E2 veriindert sich mit wachsendem
Abstand vom Draht in allen untersuchten Fallen, abgesehen
von dem auBerst dunnen Platindraht, in ahnlicher Weise. In
quantitativer Beziehung bestehen freilich bedeutende Unterschiede. Der Verlauf von Qz mit T ist am besten aus den
Kurven zu ersehen. Die Wirkung des Drahtes erstreckt sich
auf Abstande von mehreren Wellenlangen.
Der Mittelwert von Q2 ist fur 'p = 0 und y = n, d. i. vor
und hinter dem Drahte, gesehen in der Richtung der fortschreitenden Welle, nahezu derselbe, fur y = f n / 2 , d. i. auf
beiden Seiten, ein hiervon ganz abweichender. Auch in dieser
Beziehung zeigt der diinne Platindraht eine etwas andere
W irkung.
2. D r a h t a c h s e p a r a l l e l der m a g n e t i s c h e n K r a f t , a l s o
s e n k r e c h t Bur e l e k t r i s c h e n Kraft.
An der Oberflache des Drahtes (Kupferdraht von 1 mm
Radius) ist fur y = 0 und cp = n die Radial- und die Tangentialkomponente der elektrischen Kraft gleich Null, wahrend fur
= f n / 2 die Radialkomponente sogar verstiirkt, die Tangentialkomponente ebenfalls verschwindend klein ist. Es
werden also hier durch den Draht die elektrischen Kraftlinien
konzentriert.
Schon in sehr kleiner Entfernung von der Oberflache erlischt die Wirkung des Drahtes auf die Wellen.
Wiirzburg, Physik. Inst., Januar 1905.
(Eingegangen 26. Januar 1905.)
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