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Die Wrmeleitungsgesetze in bewegten Medien Aufstellung einer molekularkinetischen Wrmeleitungstheorie mit einer Untersuchung ber die Grenzen der Fourierschen Entwicklungen.

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ANNALEN D E R PHYSIK
5.FOLGE
HEFT 5
BAND 2 4
NOVEMBER 1 9 3 5
Die Warrneleitzcnysgeset~ei m bewegtem X e d i e m
Aufstellung einer molekularkinetischen W&vneleitungstheorie
m i t elner Untersuchung aher die Grenxen
d e r F o u r i e r s c h e n Entwicklungen
Von M a x i m i l i u m L a m g
(Mit 5 Figuren)
I. Physikalische Tateachen
Die zur analytischen Erfassung und Berechnung von Temperaturfeldern heute zur Verfiigung steheride F o u r i e r sche Warmeleitungstheorie, deren Schopfer nicht nur die Grundlagen der Warmebewegungsgesetze entwickelt sondern dieselbe auch ausgebaut hat,
Fig. 1. Striimung mit Geschwindigkeit w gegen ein geheiztes Gitter
mit Wiirmeausbreitung entgegen der Stromungsrichtung bis ins unendliche
nach der F o urierschen Warmeleitungstheorie
so daB seitdem nichts Weseritliches hinzugefugt werden niuBte , ist
nicht in der Lage, das Temperaturfeld beschleunigter Systeme
wirklichkeitsrichtig zu beschreiben.
Betrachtet man beispielsweise ein nach allen Richtungen unendlich ausgedehntes Medium, das sich nach Fig. 1 mit der gleichformigen Geschwindigkeit w gegen eine beheizte Wand, die, urn die
Linearitat der Stromung zu wahren, als Gitter ausgebildet zu denken
ist, bewegt, so liefert die analytische Untersuchung des stationaren
Zustandes eine Ausbreitung der Warme entgegen der BewegungsAnnalen der Physik. 5 . Folgc. 28.
26
394
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 24. 1935
richtung des Mediums bis ins Unendliche. Dieses Ergebnis steht
aber mit der Beobachtungstatsache einer endlichen Fortpflanzungsgeschwindigkeit der Warme, die zu unseren alltaglichen Erfahrungen
gehort, unmittelbar in Widerspruch.
Bevor auf die Klarung dieser Nichtiibereinstimmung zwischen
Theorie und Wirklichkeit eingegangen wird, sol1 die vorstehende
Aufgabe nach den Methoden der F o u r i e r s c h e n Theorie kurz behandelt werden. Mit Fig. 1 seien folgende GroBen eingefiihrt:
8 = Temperatur
w = Geschwindigkeit des Mediums
3, = Warmeleitfahigkeit
Q = Dichte
C p = Spez. Warme.
Berechnet man die durch den in Fig. 1 eingezeichneten Durchfluflquerschnitt in der Zeiteinheit im stationaren Zustand stromende
Warmemenge, so erhalt man l):
durch Konvektion g C, w 8 ,
d4
durch Warmeleitung h ~~,
ti X
also
(1)
W = p C , w S + A - - dd x4
*
Bildet man hiernach die Warmebilanz des Raumelementes, berechnet
man nach G1. (1) den Unterschied der ein- und austretenden Warmemengen, so erhiilt man
h -d2+B
pC
w -a- 4= o .
(2)
dX I
p
ax
Diese hier durchgefiihrte Operation entspricht dem Inhalt des
Gaussschen Satzes. G1. (2) stellt die allgemeine F o u r i e r s c h e
Tarmeleitungsgleichung fur den linear-homogenen Fall dar. Als
Losung der Gleichung erhalt man
8 = C,
C, e - a x ,
worin
+
a
=
_e!2ww_.
I.
Nit den Grenzen
ergibt sich die Feldgleichung zu
8.= 0,
(0,- O,)e-az.
(3)
+
1) Vgl. z. B. G r o b e r - E r k , Die Grundgesetze der Wiirmeiibertragung,
Springer 1933. S. 4 und 148.
M . Lang. Die Warmeleitungsgesetxe in bewegten Medien
395
Die G1. (3) stellt den in Big. 1 eingezeichneten Temperaturverlauf
dar, die nach dem Vorhergesagten diesen physikalischen Vorgang
nicht richtig beschreibt, d a die Teniperaturlinie nicht bis ins Unendliche reichen kannl).
Fig. 2. Optische Ermittlung des Temperaturfeldes eines geheizten Rohres nach
Prof. Dr. E. S c h m i d t - Danzig. Uas dunkle Gebiet stellt das Tenrperaturfeld
dar. Das Bild zeigt dcutlicli die unstctige Begrenzung des Wiirmeausbreitungshereiches und vor allem die endliche Wiirnieansbreitung entgegen der Stromnngsrichtung des Mittels. Keiue der beiden Tatsachen ist rnit der F o u r i e r s c h e i i
Tlieorie zu erklsren
Auch die me8technische Untersuchung liefert unmittelbar die
mit der Theorie in Wirlerslsruch stehende Tatsache des endlichen
Ausbreitungsweges der W%rme entgegeu der Rewegung des Mediums.
1) ])as gleiche Ergebnis findet man bei der Untersuchung des hierzu
inversen Vorganges der HeiWdampfkondensation. Vgl. W. S t e n d e r , Der W8rmeiibergang bei kondensierendem HeiBdampf, VDT-% 1926, S. 905.
26 *
396
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 24. 1935
So zeigen die Schlierenaufnahmen eines beheizten Rohres, das die
Warme an die umgebende Luft durch Koiivektion abgibt, einen
endlichen, und zwar scharf abgegrenzten Ausbreitungsbereich der
Warme. Fig. 2 stellt eine solche Aufnahme darl). Es wurde zu
deren Herstellung das Schattenbild-Schlierenverfahren beniitzt2), bei
welchem von der Erscheinung Gebrauch gemacht wird, da6 die
GroBe der Ablenkung der Lichtstrahlen Tom optischen Dichtegefalle
des Mittels und damit vom herrschenden Temperaturgefaille abhangt.
Die nachtraglich eingezeichnete, gestrichelte wei6e Linie ist die Begrenzung des Schattens des kalten Versuchskorpers. Das tiefschwarze
Gebiet auljerhalb dieser Linie ist der Schatten des ganzen Temperaturfeldes. Der senkrechte Abstand der au6eren hellen Linien von
der gestrichelten ist ein Ma6 fur die Warmeabgabe an jeder Stelle
der Oberflache.
Das mit der konvektiven Warmeabgabe verbundene Luftstromungsfeld, welches in der Aufnahme naturgema6 nicht zum Ausdruck
kommt, da nur das optische Dichtegefalle erfaljt wird, erfullt in
stationarem Zustand den ganzen umgebenden, unendlichen Raum,
wahrend das Temperaturfeld das genau begrenzte dargestellte Gebiet
einnimmt. Diese Figur hat insofern grundlegende Bedeutung, als
der hier in G1. (3) herrschende Widerspruch zwischen unendlich
ausgedehntem Stromungsfeld und endlichem, scharf begrenztem, also
unstetigem Temperaturfeld auf optischem Wege, der in diesem Falle
wohl das vollkomrnenste MeBverfahren bildet, unmittelbar anschaulich
dargelegt ist.
Diese Nichtubereinstimmung zwischen Beobachtung und Analyse
zwingt zu einer Revision der hydrodynamischen Grundgleichungen,
insofern dieselben Systeme beschreiben, die mit Systemen anderen
Bewegungszustandes in Warnieaustausch stehen.
11. Die Strukturunabhangigkeit der F o u r i e r schen Gleichungen
Obgleich die Anschauungen der Physik die Warme als Bewegungserscheinung der Molekule erklaren, war F o u r i e r bei der
Aufstellung seiner Gesetze nach den ihm bekannten Erfahrungstatsachen nicht genotigt gewesen, eine bestimmte L4nnahme uber den
Mechanismus der Warmebewegung zu treffen, seine Theorie gilt ganz
allgemein , unabhangig von einer besonderen Struktur der Materie.
Die uns heute zur Behandlung von Warmeleitungsproblemen zur
1) Diese Figur wurde freundlichst von Hrn. Prof. Dr. E r n s t Schmidt,
Danzig-Langfuhr, zur Verfiigung gestellt.
2) Vgl. E. S c h m i d t , Forschung auf dem Gebiete des Ingenieurwesens
1932, S. 181.
M . Lang. Die Warmeleitungsgesetze in bewegten Medien
397
Verfiigung stehenden, im wesentlichen samtlich auf F o u r i e r zuruckgehenden Gleichungen nehmen daher grundsatzlich keine Rucksicht
auf die Struktur der Materie, ihre Gesetze sind mithin gleicherweise
fur amorph- wie molekularstruktuierte Materie anwendbar.
Mit der Tatsache jedoch, daB die Bewegnngsenergie der Gesamtheit der Molekule die Warmemenge darstellt und die Warmeleitung im Energienustausch durch ZusammenstoB der Molekule nach
dem Gesetz der Erhaltung der gemeinsamen BewegungsgrbDe sowie
der kinetischen Energie besteht, erlangt der Geschwindigkeits- und
Beschleunigungszustand des Mittels fiir die Warmebewegung entscheidende Bedeutung. I n G1. (2), die in allgemeiner Form
Q C, (w,grad 8)+ h A 2 9. = 0 l)
(4)
lautet , ist die Geschwindigkeit im Glied, das die Warmebewegung
durch Konvektion darstellt, enthalten, es fehlt jedoch der Ausdruck
fur den EinfluB der Beschleunigung. Die spatere genaue Untersuchung wird zeigen, daB sich dieses Glied mit Hilfe der molekulartheoretischen Betrachtungsweise zwanglos ergibt.
Treten in dem betrachteten hydrodynamischen Stromungsraum
durch Verformung des Stromungsfeldes oder durch Vorhandensein
von Grenzfiachen Massenbeschleunigungen auf, so ist G1. (4),die
vorteilhaft als klassische W~rmeleitungsgleichungbezeichnet werden
soll, da sie die spezifisch strukturellen Eigenheiten der Materie
und damit die Mechanik der Warmebewegung nicht enthalt, nicht
mehr in der Lage das Temperaturfeld wirklichkeitsgetreu zu beschreiben. Wie die nachfolgende Ableituiig der Wiirmeleitungsgleichung zeigen wird, enthalt dementsprechend der Koeffizient des
Beschleunigungsgliedes als KenngrolJen des strukturellen Aufbaues
der Materie gaskinetische Elemente. Mit der Feststellung der Ungultigkeit der F o u r i e r schen Gleichung fiir beschleunigte Stromungsfelder wird hier erstmalig die Grenze dieser von der Bauforni der
Materie unabhangigen Betrachtungsweise aufgezeigt.
Das Unbeachtetbleiben dieses Umstandes ist dadurch zu erklaren, daB die meBtechnische Uritersuchung von Warmeleitungsvorgangen meist an ruhenden Anordnungen durchgefuhrt wurde, da
die Messung in beschleunigten Stromungsfeldern mit groBen Schwierigkeiten verbunden ist. Erst nach Entwicklung der optischen Me&
verfahren, wie das SchattenbildverSahren nach Prof. S c h mi d t , das
cine quantitative Auswertung zulaBt , konnten Untersuchungen an
bewegten Stromungsfeldern durchgefuhrt werden und ergaben auch,
1) Vgl. z. 13. G r o b e r - E r k, Die Grundgesetze der Warmeubertragung.
Springer 1933, S. 150.
898
Awnalen der Physik. 5. Folge. Band 24. 1935
wie Fig. 2 eeigt, ein scharf begrenztes Temperaturfeld im unendlich
ausgedehnten Stromungsraum.
111. Ableitung der Wiirmeleitungsgleichung
fur molekular struktuierte Materie
Den physikalischen Gegebenheiten entsprechend, also mit Berucksichtigung der Tatsache, daB die Materie nicht amorph sondern
molekular struktuiert ist, werde nun nachstehend die Warmeleitungsgleichung, die fur Kontinua entwickelt wurde und stillschweigend
fur molekular struktuierte Materie angewendet wird, auf molekulartheoretischer Grundlage abgeleitet, wodurch die durch die Bauforni
Fig. 3. Schaubild zur gaskinetischen Aufstellung der neuen Warmeleitungsgleichnng. zo ist die Tiefe jener Schicht, aus welcher das betrachtete Molekel
kommt. Als Mittelwert fur z, ergibt sich:
Mittlere Wegliinge x Geschwindigkeitsquotient
der Materie bedingten physikalischen Erscheinungen unmittelbar
erfagt werden. Die Untersuchung werde bei Annshme eines ,,magig
dichten Gases" als Medium durchgefuhrt, da in diesem Falle die
Rewegungsgesetze der Molekel nach der Ton D. B e r n o u l l i angeregten und von R. C l a u s i u s ausgebauten kinetischen Theorie der
Gase bekannt sind. Da man bei Flussigkeiten nicht in der Lage
ist, die Bewegungsgesetze der Molekel eindeutig zu beschreiben, ist
hier eine exakte Warmeleitungsgleichung nicht angebbar. Feste
Korper scheiden yon vornherein aus der Betrachtung aus, da die
vorliegende Problemstellung nicht auf diese anwendbar ist.
Urn die hier verwendete Methode der molekulartheoretischen
Betrachtungsweise niiher zu erlautern, sei vorerst die Aufgabe der
Warmeleitung fur ein relativ zu seiner Umgebung ruhendes Gas auf
molelrulartheoretischer Grundlage behandelt l).
1) Z.B. Theoretische Physik, yon G. J a g e r , Walter de Gruyter 1930, S. 107.
M . Lung. Die Warmebitungsgesetxe in bewegten Medien
399
Mit Fig. 3 und den fruheren Bezeichnungen seien noch folgende
gaskinetische Griiljen eingefiihrt:
n = Anzahl der Molekel im betrachteten Raum.
m = Masse einer Molekel.
c = Geschwindigkeit der Warrnebewegung der Gasmolekel.
6 = Mittlere Warmebewegungsgeschwindigkeit der Molekel in
der Bewegungsrichtung des Gases.
s = Mittlere Weglange.
p = Gasdruck.
I n einem rechtwinkligen Koordinatensystem bestehe parallel zur
"
so daB durch die Flachent-Achse ein Teniperaturgefille dz ?
einheit der x y-Ebene in der Zeiteinheit die TTarmemenge
w
a4
= -h
(5)
d2
flieBe, wobei 1 wie friiher die Wiirmeleitfahigkeit bedeute. Nach
der dnschauuiigsweise der kinetischen Theorie der Gase ist nun
nichts anderes als eine Energiemenge, welche mittels der Bewegung
der Molekeln durch die x y-Ebene geschafft wird. Jede die x y-Ebene
passierende Molekel tragt die Warmemenge
~
w
wo z,, die Hohe jener Schiclit bedeutet, aus der die betreffende
Molekel kommt.
Bildet man nun die Bilanz fur die, durch die Summe (n) aller die
x y-Ebene nach beiden R,ichtungen in der Zeiteinheit (6) passierenden
Molekeln, getragene Warmemenge (me CJ7 so kann man sofort anschreiben:
Warmemenge in Richtung der + z-Achse:
Xarmemenge in Richtung der
- z-bchse:
Es ergibt sich damit fur
Nach den Lehren der kinetischen Gastheorie bestehen nun fiir die
gegenseitige Abhangigkeit der einzelnen GroBen folgende Beziehungen :
400
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 24. 1935
(7)9
Die Werte aus G1. (7) in G1. (6) eingesetzt, liefert:
w =-
@.-*
3
d4
dz ’
womit man bei Vergleich mit GI. (5) erhalt:
Dies ist die bekannte Gleichung der gaskinetischen Beziehung fur
die Warmeleitfahigkeit, die unter anderem die Moglichkeit bietet,
den Zahlenwert fu r die mittlere Weglange s versuchstechnisch zu
ermitteln.
Die gleiche, vorstehend gegebene Entwicklung werde nun auf
den Fall der Warmeleitung eines gleichmaflig bewegten Gases angewendet, der, wie die fruheren oberlegungen bereits zeigten, noch
nichts Neues bringen kann und die B’ouriersche Gleichung Q1. (1)
liefern mu5.
Diese Beziehung, genau wie G1. (6) mit Hilfe der Gleichungsgruppe
G1. (7) ausgewertet, ergibt:
die bei Beachtung von G1. (8) mit G1. (1) vollkommen ubereinstimmt.
Betrachtet man nun den hier in Rede stehenden Fall, in
welchem es sich also nicht urn ein beschleunigungsfreies System
handelt, so erhalt man bei Untersuchung der allgemeinen Feldform,
wo Warme unit Medium keine ausgezeichnete Stromungsrichtung
besitzen, folgenden Ausdruck:
1) Vgl. FuBnote 5, G. J a g e r , Theoretische Physik, S. 88-108.
Walter
de Gruyter, 1930.
2) Vgl. FuBnote 5, G. J iig e T , Theoretische Physik, S. 108. Walter
de Gruyter, 1930.
iM.Lang. Die Wtirlneleitungsgesetxe in bewegteit Medien 401
Mit den gleichartig gebauten Werten fiir VJry und W , und bei Reachtung, daB
(10)
1 ~ =~ jyol
~ =1 / z o ) und div(pw) -- 0 ,
ergibt 01. (9), auf dieselbe Weise wie friiher ausgewertet und nach
dem G a u s s schen Satz umgeformt :
worin
(w, grad 9.) = w x
a:, 4 w
a
a:,
y
X
__
aY
+ w, a:,
~
az
+k(d2L',.-?&+_.__+-.tlz
aTLl,,
az
a,a: y
aa
w2
z
y).
Die Beziehung GI. (11) unterscheidet sich von der von F o u r i e r
entwickelten G1. (4)durch das die Beschleunigung enthaltende Glied
h
div ( A (w,
.
Der Vektor A(w,9.) ist ein Differentialoperator und sol1 als dynarnische Warmeleitungsfunktion bezeichnet werden.
Wie die zahlenmagige Deutung des Faktors SIC zeigt, ist der
quantitative EinfluB der dynamischen Warmeleitungsfunktion im
allgemeinen nur gering. Bei einer als Kontinuum betrachteten Bauform der Materie 1s = 01 sowie in beschleunigungsfreien Feldern
a UI,
I==
awzs
a2 2
. -. = 0 i wird
das Glied der Warmeleitungsfunktion
gleich Null, die neue ~7%rmeleitungsgleichung
GI. (11) geht dann in
die F our i e r sc h e Gleichung GI. (4) iiber. Es ist hier darauf hinzuweisen, daB G1. (9) unter Voraussetzung einer unveranderlichen
Dichte Q des Mittels, also n = konstant angeschrieben wurde, was
bei Vorhandensein von Massenbeschleunigungen und den damit auf-
Annalen deer Physik. 5. Folge. Band 24. 1935
402
tretenden Druckanderungen , sowie bei Beriicksichtignng der durch
das Temperaturfeld bedingten Warmedehnungen des Mittels nicht
genau richtig ist.
Fiihrt man auch diese Abhangigkeiten in die Rechnung ein,
wobei s und c mit der Dichteanderung als unveranderlich angenommen werden, so ergibt sich fur Gl. (9) die erweiterte Beziehung:
1
Wx=i-&mCp
-
((.
- $zo)
a
[ E + ( w x + s 2 0 + an
*
dB
(9. + =%)
aY Yo +
a4
-(.fx20)(lo.-x50)
a U),
a av,
* [ E - (WE - r
” o --Yo aY
-
zO)]
a zu,
Zo)],
und damit als vollstandige Warmeleitungsgleichung der Busdruck:
(11a)
1
0=pCp(w,grad8)+AA28 +Iw:
SC
- Cp -{ I?
3
div ( A ( w , s ) )
A 2 4 + (grad 0 , grad 6)
+ $ [div q + 8 div n + (n,
grad 9)
wobei eilt:
Es ist zu beachten, da5 der Vektor IT und A die gleiche Bauform
besitzen. Nicht beriicksichtigt ist in den G1. (11) und ( l l a ) die
T57armeentwicklung durch innere Reibung (q = 0), wodurch in diesen
beiden Gleichungen noch die Glieder
.
(w,
grad p ) + q Dissip.-Funkt. w I)
hinzutreten.
Weiter ist bei G1. (11) vor allem zu beachten, daB dieselbe
gaskinetische Elemente, und zwar im Koeffizienten s/c des dritten
Gliedes enthalt, die sich nicht weiter auf makrophysikalische GroBen,
wie z. B. die letzten drei Beziehungen der Qleichungsgruppe 7 zuriickfiihren lassen. I n dieser Feststellung liegt die innere Verschiedenheit der alten und neuen Warmeleitungsgleichung und
1) Lord Ray1 eighsche Dissipationsfunktion.
M . Lang. Die Warmeleitungsgesetze in bexegten Medien
403
letzten Endes der Grund fur die anfangs geschilderte Nichtiibereinstimmung zwischen Wirklichkeit und analytischer Beschreibung.
Die GI. (11 a) ist aus einem bestirnniten Grunde sehr bemerkenswert:
Mit Zuhilfenahme der aus Gleichungsgruppe (7) folgenden Beziehung
-na-3dc2p
=dxn,
wobei also die Dichte als nur vom Druckwert abhiingig betrachtet
werde, ergibt die Umformung der beiden Glieder der G1. ( l l a )
- C,
7 j 3 - A2 p + (grad
Q,
grad I?)]
den Ausdruck
(4
- I { 8 .A2 In p
+ (grad In p , grad 8)).
Man erkennt sofort, daB der so gewonnene Term rein phanomenologischen Charakter besitzt und somit auch aus einer phanomenologischen Betrachtungsweise, also nach den Fourierschen Grundlagen, gefunden werden miiBte.
Bei der Aufstellung der klassischen Warmeleitungsgleichung
muB mithin auBer der Strukturabhangigkeit des Warmeleitungsvorgangs noch eine zweite EinfluBtatsache iibersehen worden sein.
Die phanomenologische Entwicklung des vorstehenden Ausdruckes (a) ergibt sich aus folgender Uberlegung : Jede Dichteiinderung ist im allgemeinen Fall nach der Zustandsgleichung der
Gase mit einer Temperaturiinderung verbunden, welche Erscheinung
den Inhalt der beiden in Rede stehenden Terme der G1. ( l l a ) bildet.
Es gilt
P V = RI?,
wobei v das spezifische Volumen, R die Gaskonstante darstellt und
8 in Grad Kelvin gerechnet wird. Weiter wird die Differentialform des Boy le-Charlesschen Gesetzes wie folgt angeschrieben:
pav
+vap = Raa.
Betrachtet man nun lediglich jene Komponente der Temperaturanderung, die bei festgehaltenem spezifischen Volumen (dv = 0 )
infolge der differentiellen Druckanderung allein auftritt, denn nur
diese ist phanomenologisch ermittelbar, so erhalt man nach den
beiden vorstehenden Gleichungen
404
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 24. 1935
Um die durch die Druckanderung hervorgerufene Temperaturanderung in die Warmeleitungsgleichung eingliedern zu kijnnen,
werde die G1. (b) mit - 2, erweitert. Es gilt dann fur die Warmeleitkomponente aus dem Titel der Druckanderung
oder die rechte Seite nach dem Gaussschen Satz umgeformt
- 2,{9..A2Inp+ (gradlnp. grada)],
welcher Ausdruck gleichlautend mit dem Term (a) ist, womit die
Ableitung der beiden molekularkinetisch gefundenen Glieder der
GI. (11a) auf phanomenologischem Wege durchgefiihrt ist. L)er in
G1. (11a) verbleibende Term
+
[div VJ
+ 9. div I7 + (n,
grad a)]
stellt somit jenen der Temperaturanderung entsprechenden Anteil
dar, welcher sich durch die, bei unveranderlichem Druck eintretende,
differentielle Dichteanderung ergibt.
Die G1. (11a) in der iibersichtlicheren Form als Warmestromgleichung geschrieben, wobei in der ersten Zeile die phanomenologischen Glieder und in der zweiten Zeile die strukturabhangigen
Glieder stehen, lautet
mit der Auswertungsvorschrift, daB in den Vektorformeln fur
und n an Stelle von Q die GroBe l n p zu setzen ist.
TO
,
IV. Wiirmeiibergang an Randgebieten
Die oben entwickelte Gleichung GI. (11) gilt fur Raume mit
stetiger Geschwindigkeitsanderung. Fu r die Behandlung technischer
Anordnungen wichtiger jedoch ist die Untersuchung des Falles einer
sprunghaften Geschwindigkeitsanderung, dem zwar an sich im allgemeinen keine physikalische Realitat zukommt, welcher jedoch bei
vereinfachenden Annahmen die Berechnung bestimmter Anordnungen,
vor allem den Warmeiibergang an Randgebieten, wie an Heizflachen
und Kondensationsschichten gestattet.
Bezeichnen w 1 und w, die Geschwindigkeiten an den beiden
Seiten der Unstetigkeitsflache, oder bei Betrachtung endlich aus-
M . Lang. Die Warmeleitungsgesetze in bewegten Medien
405
gedehnter Bereiche die Mittelwerte derselben, so erhalt man fur die
iibertragene Warmemenge W wie nach G1. (9):
Als einer der der physikalischen Wirklichkeit sich zwanglos darbietenden Falle sol1 das Temperaturfeld des Dampfkernes beim
Warmeubergangsvor~ang bei HeiBdampfkondensation berechnet
werden, da bei Annahme eines parallel zur Wand ruhenden Dampfkernes die physikalischen Verhaltnisse und damit die analytische
Erfassung sich hierbei verhaltnism5iBig einfach gestalten und da
iiberdies diese Aufgabe die Anregung zur vorliegenden Untersuchung
bildete I).
Mit Fig. 4 liefert G1. (12) fur die Grenzschicht zwischen Dampf
und Kondensationsfilm bei
w 1 = 0 ; w 2= w ,
da die Massen- und Warmebewegung entgegengerichtet, ist, und mit
9. = 0 , wobei 13. die Ubertemperatur gegen Sattdampf bezeichnet,
die Beziehunn
w = n ( 1 - -1 tu cl9
(13)
2 5
dx
Das Temperaturfeld wird in der HeiBdampfschicht , da dort keine
Beschleunigungen auftreten, durch G1. (1) beschrieben, an der Grenzschicht gilt jedoch G1. (13). Setzt man noch
--)-.
wobei 1, ,,d;? dynamische Warmeleitf ahigkeit" an der Grenzschicht
genannt we1-.e und bezeichnet man mit Os die Sattdampftemperatur
und mit 0, die Heifldampftemperatur, so wird die vorliegende Aufgabe durch folgende Gleichungen beschrieben :
1) Es wird hier die vereinfachende Annahnie gemacht, daI3 die Grenzschicht ohne weiteres in der Lage ist , die Uberhitzungswiirme abzufiihren.
Die genaue Untersuchung ergibt jedoch, dafi in diesem Gebiet ein Schmingungsvorgang einsetzt, vgl. diesbeziiglich: L a n g , HeiBdampfkondensation als
Schwingungsproblem, Forschung auf dem Gebiete des Ingenieurwesens, S. 212.
Der weitere Verlauf des Temperaturfeldes im HeiBdampfkern wird aber durch
diese Erscheinung nicht beeinflufit, so daS fur dieses Gebiet die hier entwickelten Gleichungen genau gelten.
Annalen aer Physik. 5. Folge. Band 24. 1935
406
(15)1)
I
Feldgleichung:
Grenzbedingungen:
Damit ergibt sich die Gleichung des Temperaturfeldes zu
D
<
X
--
Heildampfzone
1 -Wand
Kondensufllm
Fig. 4. Tempereturverteilung bei kondensierendem HeiBdampf. Nach der
moleknlar-kinetischen Warmeleitungstheorie breitet sich die Abkiihlung in der
HeiBdampfzone nur bis eum Punkt A aus, was auch mit unserer Erfahrung
von der endlichen Ausbreitungsgeschwindigkeit der Warme in Einklang steht.
Die F o u r i e r s c h e Theorie liefert dagegen eine Ausbreitung bis ins unendliche,
was den Beobachtungstatsachen widerspricht
und die Tiefe der Abkiihlungszone betragt
H = - A ln-. A
(17) 7
~ C , W A - Id
1) Es ist hier auf die beiden verschiedenen Werte der Leitfahigkeit zu
achten, und zwar 1 (statisch) in der Feldgleichung und Ad (dynamisch) in der
Grenzbedingung.
2) Das Temperaturfeld..endet in der Entfernung H, wie in Fig. 4 eingezeichnet, unstetig, was in Ubereinstimmung mit der Schlierenaufnahme Fig. 2
steht. Der Grund fur diese Unstetigkeit geht aus folgender Uberlegung hervor:
Setzt man fur die Warmeausbreitungsgeschwindigkeit in erster Annaherung
d4
iu = const __ an, dann kann man fur den Punkt A die Beziehung aufstellen:
dx
dY
w = const __, womit sich ein endlicher Temperaturgradient an der Grenze
dx
des Temperaturfeldes einstellt.
M. Lung. Die Warmeleitungsgesetze in bewegten Medien 407
Bei il= A,, also bei senkrecht zur Wand ruhendem HeiBdampfkern, dringt in nbereinstimmung mit der bisherigen Theorie die
Abkiihlung bis ins Unendliche vor. F u r technische Anordnungen
gilt in erster Annaherung nach G1. (14) meist il = A,, da das Glied
1 --w
in Aiibetracht des Umstandes, da6
E
in der GroBenordnnng
von lo2 mlvk liegt, au6erst klein wird. Krreicht jedoch die T'ranslationsgeschwindigkeit des Mittels den Wert
2
5
w = 2E7
w i d also nach G1. (14) A, = 0, dann gelingt es der Abkiihlung bzw.
Fig. 5. Darstellung des Warmeausbreitungsweges H und der dynamischen
Leitfahigkeit I d in Abhangigkeit von der Geschwindigkeit w des Mittels. Bei
einer Geschwindigkeit des Rilittels gleich der doppelten Molekulargeschwindigkeit kann sich die Warme nicht mehr entgegen der Bewegungsrichtung des
Mittels ausbreiten. Dieses Ergebnis kann die F o u r i e rsche Theorie
nicht liefern
Erwarmung nicht mehr in das stromende Mittel, entgegen der Bewegungsrichtung, wie auch GI. (17) zeigt, einzudringen, die dynamische
Warmeleitfahigkeit ist Null geworden. Der Faktor 2 in der Beziehung
w = 2 erklart sich aus folgender molekularkinetischer fjberlegung :
Sol1 durch den DurchfluBquerschnitt mittels molekularer Bewegung
keine Warme entgegen der Stromungsrichtung des Mediums transportiert werden, dann mussen die, sich mit der Geschwindigkeit (- 6)
bewegenden Molekel in die Richtung der Stromung, also auf (+ 6)
umgelenkt werden, es muB ihnen also die Geschwindigkeit
+
- (- El 6 = 2 E
erteilt werden. I n Fig. 5 ist die Tiefe der Warmeausbreitungszone
nach G1. (17) und die entsprechenden dynaniischen Leitfahigkeitswerte
an der Grenzschicht nach Gl.(14) in Abhangigkeit von der Stromungsgeschwindigkeit des Mittels dargestellt.
408
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 24. 1935
abersioht
Die Anwendung der F o u r i e r schen Warmeleitungstheorie auf
die analytische Untersuchurig des Temperaturfeldes hydrodynamischer Strtimungsraume ergibt eine Warmeausbreitung entgegen der
Bewegungsrichtung des Mediums bis ins Unendliche, wa8 sowohl mit
unserer Erfahrung yon einer endlichen Warmefortpflanzungsgeschwindigkeit als auch mit auf optischem Wege durchgefuhrten
Messungen in Widerspruch steht. Die Ursache dieser Nichtiibereinstimmung zwischen Theorie und Beobachtung liegt in dem Umstand,
dal3 die F o u r i e r schen Gesetze auf Grundlage einer als Kontinuum
struktuierten Materie aufgebaut sind und daher, in Zusammenhang
mit der Tatsache , daB der Warmeleitungsvorgang eine Bewegungserscheinung der Molekiile ist, nicht mehr in der Lage sind, das
Temperaturfeld in bewegten Medien wirklichkeitstreu zu beschreiben.
Die Ableitung der Warmeleitungsgleichung bei Berucksichtigung
der molekularen Bauform der Materie zeigt in nbereinstimmung
mit den vorhandenen Beobachtungsergebnissen eine endlich ausgedehnte, und zwar unstetig begrenzte Warmeausbreitungszone eines
im stromenden Medium befindlichen Quellgebietes. So liefert die
analytische Untersuchung die grtiBenmal3ige Beziehung, daB eine
Warmeausbreitung entgegen der Stromungsrichtung des Mittels bei
einer Geschwindigkeit desselben gleich der doppelten mittleren Molekulargeschwindigkeit in dieser Richtung, nicht mehr moglich ist.
J a g e r n do rf, Esl. Schlesien, Juli 1935.
(Eingegangen 2. August 1935)
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