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Diffraktion und Reflexion abgeleitet aus den Maxwellschen Gleichungen.

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875
4. Diffvakt6on urn& Reflexion,
abgeteitet a m d m Mamuell schen Cldchnmgen ;
V O w.
~
V. r g ~ ~ t o w s k ~ .
Einleitung.
Die vorliegende Arbeit hat den Zweck, einen stetigen
Ubergang von den Maxwellschen Gleichungen zu den Diffraktions- bez. Reflexionserscheinungen zu schaffen. Diesbezuglich ging ich von einem allgemeinen Integral aus, welches
dem Huyghensschen Prinzip entspricht, aber in strenger
Weise aus den Maxwellschen Gleichungen abgeleitet wurde.
Durch Spezialisierung (8 2) fur zylindrische Korper ist das
Integral bedeutend vereinfacht worden.
Auch hier wie bei dem Huyghensschen Prinzip sind
gewisse Annahmen bezuglich der Oberflachenwerte notig , urn
zu bestimmten Losungen zu gelangen. Diese Annahmen, die
wir einfuhren (§ 4), sind Folgerungen der Maxwellschen Theorie
und der GroBenverhaltnisse zwischen den Dimensionen der
beugenden bez. reflektierenden Korper und der Wellenlange h.
der einfallenden Welle. Als letztere setzten wir eine Lichtwelle voraus. Die Erorterungen der beiden ersten Paragraphen
und teilweise des 8 3 sind aber fur beliebige Wellenlangen
gultig.
Die Intensitat der Lichtstrahlung wurde auf Grund des
Poyntingschen Satzes berechnet und nicht mit Hilfe des
Quadrates der elektrischen graft. Da6 diese beiden Berechnungsarten zu verschiedenen Resultaten fuhren, wird in 8 5
gezeigt.
Speziell in. der vorliegenden Arbeit wird die Reflexion
an einer Ebene und die Diffraktion an einem Draht genauer
untersucht. Die Behandlung der Diffraktion an anderen
Kiirpern bez. der Reflexion bleibt einer weiteren Arbeit vorbehalten.
56 *
?K v. Ignatozusky.
876
Die Bezeichnungen entsprechen den ublichen Bezeichnungen der Vektoranalysis. (Vgl. z. B. F o p p l - A b r a h a m ,
Einfiihrung in die Maxwell sche Theorie.) Dementsprechend
bedeuten i, i,f die Einheitsvektoren langs den Achsen X, Y, 2.
0 1. Das allgemeine Integral der M a x w e l l s c h e n Gleichungen.
In meiner fruheren Arbeitl) habe ich schon auf ein derartiges Integral hingewiesen, mochte aber hier die allgemeinere
Form desselben hinschreiben, aus welcher das zitierte Integral
abgeleitet wurde.3 Diese Form ist fur die Berechnung der
Diffraktionserscheinungen am geeignetsten.
Es sei K ein Raum, welcher durch die Oberflache S begrenzt ist. I n diesem Raum ik' sollen keine Diskontinuitaten
der elektrischen bez. der magnetischen Krafte @ und 8 vorkommen. Dasselbe sol1 auch fur die ersten und zweiten Derivierten der Komponenten von B und 8 langs den Koordinatenachsen gelten. AuBerdem sollen in K die Dielektrizitatskonstante E und Leitfahigkeit c konstant sein.
Wir erhalten dann fur einen Punkt P innerhalb des
Raumes K , fur die elektrische Kraft B, folgenden Ausdruck:
1) W. v. I g n a t o w s k y , Ann. d. Phys. 18. p. 505. 1905.
2) Die allgemeinste Form des Integrals werde ich bei einer anderen
Gelegenheit mitteilen.
Biffraktion iind Reflexion.
871
Hier bedeuten :
c = Lichtgeschwindigkeit im
= Gradient eines Skalars,
Vakuum,
v
'CT = Vektorprodukt,
n
=
Einheitavektor liings der iiu/3eren Normale
EU
8,
dx und do = Raum- bez. Fliichenelement,
r = Entfernung vorn Aufpunkt P bis zu den obigen Elementen.
Die Permeabilitat p ist gleich 1 angenommen.
In den Integralen muS vor der Integration statt t, t - r / c ge-
setst werden.
Alle GroBen sind im absoluten elektromagnetischen MaSsystem
ausgedriickt.
Die Ableitung von (1) setzt voraus, daB P innerhalb von S
liegt. Liegt P aul3erhalb von S, so ist 9' J2 = 0, falls wir mit '2R
die rechte Seite von (1) bezeichnen.
Haben wir n Korper und liegt P auBerhalb derselben,
so ist fur alle Kiirper:
m1= m2= m3= . . . mn= 0.
(2)
Wir nehmen jetzt K=co an und setzen voraus, dal3 in K
n Kiirper mit den entsprechenden Konstanten E und CT verteilt sind. Die auBere Begrenzung dieses Raumes setzt sich
jetzt zusammen: erstens aus einer unendlich weit vom Punkte P
entfernten Oberflache, auf welcher also Q und @ versehwinden,
und zweitens aus den n Oberfliichen der einzelnen Korper.
Bezeichnen wir fur diesen Fall die rechte Seite von (1)mit ma,
so folgt nach (2):
Q =no=
ma+m1 m2 . . .ma.
(3)
Zieht man jetzt in Betracht, daB n in 'im, die innere Normale,
und in m1, "t2, . . %Xn die BuBere Normale zu den KGrpern
darstellt und daB die tangentialen Komponenten von @ und @
an den Oberflachen der Korper kontinuierlich sind, so bekommt man nach wirklicher Ausrechnung von (3) unmittelbar
das auf p. 505 meiner Arbeit unter (2a) angefuhrte Integral.
Wir sehen demnach, dab dieses Integral nur eine Abart
von (1) ist. F u r technische Zwecke ist das zweite Integral
geeigneter, fur Schwingungserscheinungen und fur das folgende,
wie schon oben bemerkt, das Integral (1).
Wir gehen jetzt zu einigen speziellen Anwendungen von
(1) iiber.
+
.
+
878
W. v. Ignatowsky.
$ 2. Spesialisierung des allgemeinen Frtlles.
Wir machen jetzt folgende Voraussetzungen:
1. Der Raum K = m bestehe aus Luft ( E = 1, p= 1, o=O).
2. Alle im Raume K befindlichen Korper sind absolut
reflektierend und unmagnetisch (c= co, p = 1).
3. Alle Korper sind durch Zylinderflachen begrenzt, deren
Erzeugende unendlich lang und parallel der 8-Achse sind.
4. Die magnetische bez. elektrische Kraft der einfallenden
Welle sollen unabhangig von der z-Koordinate sein, d. h. als
einfallende Welle nehmcn wir eine Zylinderwelle an.
5. Die einfallende und dementsprechend auch die reflektierte Welle sollen periodisch in bezug auf die Zeit sein. Wir
bezeichnen im folgenden die Periode durch T und 2 w l T
durch 03.
Infolge obiger Voraussetzungen erhalten wir aus (1) 8 1:
wo CY und Q’ sich bestimmen aus:
und
bez. (El die magnetische bez. elektrische Kraft der
einfallenden Welle bedeuten.
Wir zerlegen jetzt alle magnetischen bez. elektrischen
Krafte in zwei Komponenten: eine parallel der 8-Achse und
die andere senkrecht dazu und unterscheiden sie durch die
Indizes z und m.
Beachten wir, daB d w = d z d s ist, wo d s ein Linienelement Iangs der positiven Richtung (im Uhrzeigersinne, falls
Diffrakiion und Refiexion.
879
wir langs der 2-Achse schauen) der Schnittkurve der XY-Ebene
mit den Zylinderfiachen bedeutet, und daB
v1gr =5
und
V - 1= - - a
r
r0
r
sind, wo r, der Einheitsvektor langs T bedeutet, vom Aufpunkte aus gerechnet, so erhalten wir aus (1)
I
(3)
+W
8
'
-w
fa,
I
d
-Q)
Wir legen jetzt den Aufpunkt in die XY-Ebene, was die Allgemeinheit nicht beeintrachtigt, und bezeichnen durch R die
Entfernung vom Aufpunkt bis zu einem in der X P-Ebene
liegenden Element ds. Dann ist
+ 9.
ra = R B
Infolge der Symmetrie urn die XY-Ebene erhalten wir statt
der Integrale 2 und 3 in (3) folgenden Ausdruck:
'$to. R n Emf - ior
-e
(4)
s
o
c
dsdz
T.v. Iynatowsky.
880
wo 8,T nichts anderes ist als:
m
a
Q
und R,, den Einheitsvektor langs R bedeutet. Bei der Differentiation von % in (4) ist %, und z als konstant und der
Aufpunkt als beweglich angenommen.
Bezeichnen wir durch 90' die Komponente der magnetischen Kraft langs s, durch den Tensor von Qzf und durch 5,
den Einheitsvektor langs s, so ist:
wobei berucksichtigt werden mug, daB n hier die innere
Normale zu den KFrpern darstellt.
Auf Grund von (4), (5), (6) und (4)A p. 5063 erhalten
wir statt (3):
(7)
i
+ Q, - K 2 nJ
111
n
(3.;
So.Q1(Rp)
ds
wo
ist und il die Wellenlange bedeutet.
F u r die magnetische Kraft erhalten wir aus (7) infolge
der bekannten Beziehung zwischen $jund Q
__
aS, = curl B,
at
1) Der Buchetabe A bei einem Zitat bedeutet den Hinweis auf
meine friihere oben zitierte Arbeit in den Annalen.
88 1
Diffraktion und Refiexion.
und falls wir beriicksichtigen, da6 bei der Differentiation der
Aufpunkt bewegt wird, folgenden Ausdruck :
@=
$?5
+ 8, =
eio t
Ql5
+ +Jc*
Q1
"0
Aus (7) und (8) folgt weiter:
und
I
8
i-.i"'Jr.
2%
.
I, Qo(Rp)ds,
Der Ausdruck (9)stimmt vollstandig mit dem Ausdruck (18)A
p. 509 uberein, welchen wir durch direkte L6sung der Maxwell when Gleichung fur einen absolut reflektierenden Draht
gefunden haben. Wir sehen aber, daB (9) und auch (10) iiberhaupt allgemein giiltig sind fur alle bei den Voraussetzungen
1 bis 5 miiglichen Falle, z. B. bei einem Gitter, Spalt,
Halbebene etc.
Bus der Form von (9) und (10) sehen wir, da6 diese beiden
Ausdriicke zwei voneinander unabhhngige Systeme darstellen
und infolgedessen separat behandelt werden kiinnen. Wir
benutzen dies und wollen im folgenden nur das System (9)
naher untersuchen, also voraussetzen, daB
ist.
@l,
= @12 = 0
882
W. PI. Ignatowsky.
Wir konnen demnach die Indexe z und m fallen lassen,
da bei unserer Annahme Q stets parallel zur ZAchse ist und
@ senkrecht dazu.
3. Reflexion an einer Ebene und Einfuhrung weiterer
Annahmen.
Wir nehmen eine absolut reflektierende unendlich gro6e
Ebene senkrecht zur X Y-Ebene an unter beliebigem Winkel
zur X-Achse.
und sjln die zur Ebene norBezeichnen wir durch
malen Komponenten der elektrischen bez. magnetischen Kraft
einer 6eZie6@en einfallenden Welle in der Ebene selbst und
durch GI, und Qlt die entsprechenden tangentialen Komponenten, so erhalten wir fur die reflektierten Komponenten,
welche wir durch den Index 2 unterscheiden:
Da aber die Ebene eine Symmetrieebene in bezug auf die
Lage der Schwingungszentren, bez. Schwingungslinien wie in
unserem Falle von Zylinderwellen, ist, da die reflektierenden
Wellen von Schwingungszentren zu kommen scheinen, deren
Lagen die Spiegelbilder der Schwingungszentren der einfallenden Wellen sind, so folgt daraus und aus (1) 6 2
Deshalb ist die gesamte tangentiale magnetische Kraft in der
Ebene selbst gleich:
8, = 81, 8 2 , = 2 Q l t
(3)
und die gesamte normale elektrische Kraft
+
+
Gn = Gln Gzn = 2 9,.
Wir kehren wieder zu den am Ende des vorigen Paragraphen
gemachten Voraussetzungen, d. h.
(4)
9,=
= 0,
zuriick, nehmen die reflektierende Ebene senkrecht zur X-Achse
an und lassen dieselbe durch den Koordinatenanfang gehen. Die
883
Diffraktitm und Refiexion.
einfallende Welle sei eine plane ebene Welle, welche sich in
der negativen Richtung der X-Achse bewegt.
Dann ist
Q1
(5)
= fAei(Wtf2)Z)
und
=i
(6)
. h e i ( w t + p z j 7
w
wo A die Amplitude der elektrischen Kraft fur x = 0 ist.
Aus (3), (6) und (9) 8 2 folgt:
ds = d y ,
+m
-W
oder wegen der Symmetrie bezuglich der ZX-Ebene:
m
Durch direkte LSsung der Maxwell schen Gleichungen fur
unseren Fall hatten wir fiir einen Punkt auf der positiven
Seite der X-Achse:
(8)
Q = f . B e i ( ~ t f ~-5f ).
A e i ( w t - ~ z ) ,
Durch Vergleichung dieses Ausdruckes mit (7 a) erhalten
wir unmittelbar:
(9)
Die magnetische Kraft berechnet sich aus (9) 8 2 folgendermaBen. Die Summe der normalen Komponente von P%,,t
fur zwei gleiche und entgegengesetzte y ist Null. Die entsprechende Summe der tangentialen Komponenten ist
- 2 j . c 0 s ( z R ) =+ 2 j . x .
5
Demnach folgt
W
W. v. Ignatowsky.
884
Andererseits erhalten wir aus (8)
g) = i . - ,AX
i(a,t+pz)
+ i . LAe i ( O t - P x ) .
(11)
GJ
w
Ein Vergleich von (10) und (11) liefert uns wieder
m
n
(12)
J
S . Q , ( p R ) d y= -
- -TIe - i P z i .
2P
0
Wir hatten (12) direkt auch aus (9) durch Differentiation nach x
erhalten konnen. Um eine Anwendung von (9) 0 2 zu machen,
schlugen wir den anderen Weg vor.
Der Ausdruck (9) zeigt wieder einmal die Richtigkeit des
Integrals (9), 8 2 und infolgedessen diejenige von (1) 9 1,
weil (9) auch direkt abgeleitet werden kann. l)
Bier moge folgende wichtige Bemerkung folgen. Die linke
Seite von (9) andert sich nicht, ob wir x positiv oder negativ
voraussetzen, da Ra= x2 + y2 ist. Infolgedessen darf sich
der Wert der rechten Seite von (9) auch nicht andern; d. h.
auf tier rechten Seite von (9) mussen wir fur x seinen absoluten
Wert einsetzen, was auch durch den Index bei x hervorgehoben
worden ist.
Stellen wir uns vor, daI3 wir statt der Ebene nur eineHalbebene hatten, die bis zur X-Achse ginge, und der Aufpunkt be€ande sich auf der negativen Seite der X-Achse. In diesem
Falle kamen die Ausdriicke (9) 8 2 in Betracht. Bei Erganzung dieser Halbebene zu einer ganzen mugten diese Ausdriicke in (?a) und (10) iibergehen und B = .# = 0 werden.
Auf Grund obiger Bemerkung erhalten wir aber tatsachlich
@j= 2. A e i ( m g - P d - 2. A e i ( w t - P Z J = 0
und infolgedessen auch $j= 0.
Bis jetzt haben wir noch nichts uber die GroBenordnung
der einfallenden Wellenlange il angenommen. Wir wollen
dies einholen und setzen voraus, dafi die Querschnitte bez.
die Krummungsradien der Korper, die unter die Voraussetzungen
des 3 2 fallen, sehr grog sind im Vergleich zur Wellenlange,
1) Z. B. a m dem Integral (12), p. 255 bei N i e l s e n , Handbuch der
Zylinderfunktionen.
Diffraktion und Repexion.
885
und zwar wollen wir Lichtwellen als einfallende Wellen annehmen.
Auf Grund dieser Voraussetzung wollen wir zwei Annahmen machen, die uns die Losung vereinfachen, bez. iiberhaupt ermoglichen, und gestatten ziemlich gute Annaherungswerte fur (3 bez. Q zu berechnen.
Diese Annahmen sind folgende:
1. Wir wollen die Giiltigkeit von (3) nicht nur fur eine
Ebene, sondern fur beliebige Korper annehmen, solange die
Korper, wie oben bemerkt, grog im Vergleich zu it sind.
2. Das Experiment zeigt, da8 die Lichterregung auf dem
schattenseitigen Teile der Oberflache der Korper Null ist.
Deshalb wollen wir in (9) 8 2 die Integration nur uber die
belichteten Teile der Kbrper ausdehnen.
Aus der ersten Annahme folgt, daB dieselbe nur gultig
ist, falls die Korper eine solche Form haben, daB man annehmen kann, daB die von denselben reflektierten Wellen nicht
wieder zu den Korpern gelangen. Dies ist anzunehmen z. B.
bei einem Draht, begrenztem Parabolspiegel etc.
Auf Grund dieser Annahmen wollen wir jetzt die Diffraktionserscheinungen an einem Draht berechnen und mit der Beobachtung vergleichen.
8
4. Diffraktion an einem Draht.
Wir wollen als Lichtquelle eine leuchtende Linie annehmen, welche sich praktisch durch einen engen leuchtenden
Spalt realisieren laBt.
Als einfallende Welle nehmen wir eine Zylinderwelle an,
und zwar unabhangig vorn Winkel urn den Spalt herum. Laut
unserer Arbeit A erhalten wir:
wo
die einfallende elektrische Kraft ist, B die reelle
Amplitude, r1 die Entfernung vom Aufpunkt bis zum Spalt,
und w1 die magnetische Kraft senkrecht zu r1 und positiv
886
T.v. Ignatowsky.
gerechnet im entgegengesetzten Sinne der Drehung des Uhrzeigers um den Spalt. Der Draht, an welchem die auffallende
Welle reflektieren 5011, liege parallel zum Spalt in einer
Entfernung s bis zur Achse des Drahtes, welcher mit der
2-Achse zusammenfallen 5011. Die X-Achse ist zum Spalt
gerichtet.
Da r1 und s groB im Vergleich zu I sein sollen, so konnen
wir schreiben
und infolgedessen, da i
= e-iZJ2
ist:
fur r1 = s, also im Koordinatenanfang, ist
(3)
A’ ist hierbei reell, weswegen wir auch in (1) die Phase
p s - 3 w / 4 eingefuhrt hatten.
Infolge der Lage des Spaltes bezuglich des Drahtes wird
die positive Richtung von vl am Drahte, bei der Voraussetzung, daB s groB zum Durchmesser 2 9 des Drahtes ist, mit
der negativen Richtung der Y-Achse zusammenfallen und wir
kijnnen deshalb fur die Oberflache des Drahtes annehmen:
(4)
wo sp den Winkel zwischen der positiven Richtung der X-Ache
und dem Radius g bedeutet.
Wir nehmen jetzt die Qleichungen (9) 8 2 zur Hilfe, in
welchen wir wieder statt R , r , statt s, S schreiben, die
Indizes z und m fortlassen und erhalten:
Biffraktion und Re$exion.
887
wo rlo der Einheitsvektor langs r1 ist und ro derjenige langs T
bedeuten. Bezeichnen wir durch R die Entfernung des Aufpunktes bis zur Achse des Drahtes und setzten R,r und r1 grog
zu g voraus, so konnen wir unter den Integralen in (5) statt
schreiben und aus den Integralen herausheben.
Aus demselben Grund konnen wir statt Pro f , P s 0 t setzen
und aus dem Integral herausheben. sobedeutet den Einheitsvektor langs R.
Infolgedessen erhalten wir statt (5), da d S = g d y ist:
fi,
in
wo
n
+T
(7)
D =gSe-"p(r+r~--s)cos~.d~
_ 2n_
bedeutet. Dabei sollte die Integration, laut der Annahme am
SchluB des vorigen Paragraphen, nur langs des belichteten Teiles
der Oberflache des Drahtes ausgedehnt werden; da aber s grog
zu g ist, so kann man mit genugender Ann'iherung von
- m / 2 bis + m I 2 integrieren, denn man vernachlassigt nur
sehr kleine Oberflachenteile des Drahtes, bei welchen ohnehin
c o s y annahernd Null ist.
K v. Ignatowsky.
888
F u r die Oberfliiche des Drahtes konnen wir mit groBer
Annaherung setzen:
g2
g2
TI = s + - - gcos 'p - -cos
250
j
4s
4.9
und
r = R -/- ga - g cos(rp - 9.1 2 ('p - 9),
4R
4R
wo 9. den Winkel zwischen der positiven Richtung der X-Achse
und R bedeutet.
Wir wollen jetzt statt 8,n - E setzen und B klein annehmen. Mit anderen Worten, wir wollen die Diffraktionserscheinungen auf der negativen Seite der X- Achse beobachten, also hinter dem Drahte im Sinne der Lichtbewegung,
und zwar in kleinen Entfernungen von der X-Achse.
Setzen wir in (8) 9.= n E und COSB = cos 2 E = 1 , so
erhalten wir
(8)
Leos
~
-
Vernachlassigen wir endlich das letzte Glied, so konnen wir
endgultig schreiben:
n
(9)
B
= 9.e
7
- i p a n e + i p g s i n q , . sin + i p b O o s 2 g , . cos 'p . d 50
- -2
E
Statt (9) kijnnen wir setzen:
+-
.R
(9%)
B
= 9. e - i p R
+ i p g s i n r p . s i n ~- 2 i p b s i n a p d(sin 'p).
n
-_
a
Dieses Integral l a B t sich leicht umformen, und zwar:
Diffraktion und RefEexion.
889
wo
p g .sin 8
2 1/2p&
sind.
Wir kiinnen aber annehmen:
wo d die Entfernung des Aufpunktes von der X-Achse bedeutet. Dann folgt
U
n
und
I
u=m-qp;
n=-
m--9,
Sind &
und
I N reelle GrCBen, so k6nnen wir statt (13) auoh
schreibeu :
wo
(16)
M = C(m - q)
N = S ( m - q)
+ C ( m + y),
+ S ( m + q)
sind. Dabei sind C und S nichts anderes als die
Fresnelschen Integrale zwischen den Grenzen 0
bez. m + y.
Wir wollen noch einmal zu dem Integral
Paragraphen zuriichkehren. Setzen wir dort statt
Annalen der Physik. IV.Folge. 23.
57
bekannten
bis m - q ,
(7) dieses
r
rl, A,
+
ago
/K v. Ignatowsky.
wo A nichts anderes ist als die sogenannte optische Weglgnnge,
so kiinnen wir schreiben:
s
D = proportional zu e - i p A cos (8 S)d S,
(17)
S
da s konstant ist.
Hatten wir aber statt des Drahtes einen anderen Zylinderkiirper, z. B. einen parabolischen Zylinder, so kamen wir
zu demselben Ausdruck (17). Befande sich au6erdem der
Aufpunkt im Bildpunkt des Spaltes: so ware A = const. und
wir hatten dann
D = proportional zu cos (Q8)d S.
(18)
S
8
Dieses Integral hangt nur von der geometrischen Form der
reflektierenden Korper und von der Lage des Spaltee zu den
KGrpern ab.
Aus obigen Erorteriingen sieht man, wie es moglich ist,
in ganz konsequenter Weise aus den allgemeinen Maxwellwhen Gleichungen zu den Begriffen der geometrischen Optik
iiberzugehen.
Setzen wir jetzt in (6) die Werte von D und A aus (15)
und (3), so erhalten wir:
§ 5. Berechnung des Energiestromes und der Energie.
Es seien gegeben zwei Vektoren:
+ ih),
+ p I ( f ; + ih,) ,
B = Ct0ei(Wt+P)(f
(1)
8 = Q0 e i ( w t
B, und 8, reelle GroBen bedeuten.
wo f ? h,
Wir wollen jetzt das Produkt Y Q Q bez. Ct@ aus den
reellen Teilen von @ und fj und davon den Mittelwert wahrend
einer Periode bilden :
89 1
Diffrahtion und Refiexion.
T
T
Rechts mu6 noch der Faktor P‘@, Qo bez. Go $?, eingefiihrt werden,
j e nachdem, ob das Vektorprodukt oder das skalare Produkt
genommen wird. Zu demselben Ausdruck (2) kommen wir, falls
wir in ( l ) ,z. B. bei B, statt i,
i setzen, dann mit 8 multiplizieren vektoriell oder skalar, den imaginaren Teil des Produktes weglassen und durch 2 dividieren.
Auf Grund des Poyntingschen Satzes und der Gleichungen (19) 8 4 erhalten wir jetzt leicht den Mittelwert des
Energiestromes Qf., welcher durch die Placheneinheit in der
Zeiteinheit fliel3t. Es ist
-
wobei
y =p(r,
(4)
ist.
- s - R)+ P +
R
Wir kiinnen aber setzen
- R = - 2d2R r,
s
__
r, -.s
(5)
und folglich ist laut (14)
54
Da auBerdem E klein ist, SO kiinnen wir r,, = R0 = i annehmen und bekommen deshalb endgiiltig
(M2f N 2 )
(6)
Oder
(64
(Jf
2
{
!
+ m}.
+ C(m-p).C(m+p)+S(m-q).S(m+q)
- cc(m - q) + s(m - Y)I
+ + $(m + P)I ] .
- rc(nt PI
Der Differentialquotient yon & nach d ist proportional zu
sin 7t m q. Deshalb werden unter anderem Maximas bez.
Minimas von (& fur Werte von d vorkommen, bei welchen
q m 0, 1, 2, 3 . .
(7)
=I
.
57 *
W. v. Iynatowshy.
892
ist, wobei
(8)
ist.
F u r die geometrische Schattengrenze haben wir :
(9)
und folglich
(10)
m = g m = p .
Demnach folgt fur diesen Fall:
(11)
Qfb=---
i.L* {1 + G B ( 2 m ) + S 2 ( 2 m )
2
8 X C
-[C(24
+ S(2m)l]
a
F u r d = 0, also auf der X-Achse in der Mitte des geometrischen Schattens, berechnet sich der Energiestrom , da
q = 0 ist, zu
(12) @to
=-
*= (1
i AI8
+
4 2 [CZ(m) Sa(74-j - 2 [C(m)
+ S(m)])
9
und zwar wird 4E0 immer ein Maximalwert sein.
Setzen wir
D
=a
+ ip,
wo a und ,B reell sind, so erhalten wir aus (6)
Wert fur den Energiestrom
84
folgenden
wo
(14)
rn
8 = p ( r 1 - s ) f -4
ist. Und dieser Wert (13) ist, wie auch (6) 8 4, fur beliebige
Winkel 9. gultig.
Wir gehen jetzt uber zur Berechnung des Mittelwertes W
der Energie in einem Volumenelement. Es folgt wieder aus
(6) 8 4 fur den elektrischen Teil der Energie
893
Bifraktion und Reflexion.
und fur den magnetischen Teil
Und die gesamte Energie ist
w=
w,+ J y a .
(1 7)
Vor dem Draht, also bei 9.= 0, ist '$rlo
lo
=0 und 3torlo = - 1.
In diesem Falle besteht der Energiestrom aus zwei Teilen.
Der erste Teil kommt vom Spalt und der zweite vom Draht.
Demnach erhalten wir, da hier rl0 = i ist,
+
w=
__
A'S
r1 (aZ+
p")
.
{I+ Tr-}
Hinter dem Draht, fur E = 0, ist 3to+ r,, = 2 und
(19)
*nca
q=I.y,
(20)
und
(21)
w=
2
w,
QE=-i2cW1.
Wir sehen, daB es nur fur E = 0 moglich ist, aus der Energie
bez. Quadrat der elektrischen Kraft den Energiestrom zu berechnen. Identifizieren wir aber den Po yntingschen Stromungsvektor mit dem Lichtstrahl, so mussen wir immer mit dem
Ausdruck (1 3) rechnen.
Q 6. Ausrechnung der gewonnenen Resultate.
Bei der Verwertung der gewonnenen Resultate kommt es
hauptsachlich auf die Berechnung des Energiestromes
an,
denn die Werte von @ und Q an und fur sich bieten wohl
kaum ein Interesse. Dies ist hauptsachlich der Fall bei Lichtwellen, die wir gerade berucksichtigen.
Wir wollen also Q berechnen laut (6), (6a), (11) und (12)
fj 5. Dabei wollen wir nur die Klammerwerte dieser Ausdriicke in Betracht ziehen, welche nichts anderes sind a19 die
Verhaltnisse der tatsachlich durchgegangenen Energie zu der-
804
W. v. Ignatowsky.
jenigen , welche bei Abwesenheit des reflektierenden Drahtes
durchgehen wurde, denn diese letztere ist j a gleich
-rl0 . k 2
8nc
bez.
--.-8 iZ. AC a
Diese Klammernwerte wollen wir im folgenden schlechtweg
Energie nennen und mit a' bezeichnen.
Zur Erleichterung der Berechnung von (&' nach (6) und (6a)
haben wir die Tab. I zusammengestellt. Dabei wurden die
Werte der Fresnelschen Integrale weiter berechnet fur die
Argumente von 5,O bis 8,5. Die ersten 50 Werte sind dem
Handbuch d. Physik von W i n k e l m a n n , 2.Aufl. Bd.VI. p. 1054
entnommen.
Die vorletzte Kolumne stellt den Klammerwert von (12)
8 5 dar, und die letzte denjenigen von (11) 0 5. Da
ist, so vergrofiert sich m bei konstantem g, 1 und s, je naher
wir dem Drahte kommen, dagegen verkleinert sich @', standig,
wie wir aus der Tabelle ersehen. Das heiBt bei konstantem g,
il und s wird das mittlere Maximum im geometrischen Schatten
desto kleiner, j e naher wir zum Draht kommen.
Fig. .1.
F u r das Folgende sei noch auf die Fig. 1 hingewiesen,
welche die Lagen des Aufpunktes P, des Spaltes S und des
Drahtes D veranschaulicht. Die Figur stellt den Schnitt durch
die ZAchse dar und fallt mit der XY-Ebene zusammen.
u
0
0,0999
0,1999
0,2994
0,3975
0,4923
0,5811
0,6597
0,7230
0,7648
0,7799
0,7648
0,7154
0,6386
0,5431
0,4453
0,3655
0,3238
0,3363
0,3945
0,4883
0,5814
0,6362
--OD
-2,999565
1,300813
1,476252
-1,599337
1,692230
1,764251
-1,819346
-1,859138
1,883548
-1,892039
1,883548
1,854549
1,805229
1,734880
1,648653
-1,562887
1,510277
1,526727
1,596047
1,688687
-1,764475
1,503594
0
0,0005
0,0042
0,0141
0,0334
0,0647
0,1105
0,1721
0,2493
0,3398
0,4383
0,5363
0,6234
0,6863
0,7135
0,6975
0,6383
0,5492
0,4509
0,3734
0,3434
0,3743
0,4556
2,698970
3,623249
2,149219
2,523746
2,810904
1,043362
-1,235781
1,396723
1,531223
1,641771
1,729570
1,794767
-1,836514
1,853394
1,843544
1,805025
1,739731
1,654080
1,572174
1,535800
-1,573220
1,658584
-m
Tabelle I.
0
0,0050
0,0200
0,0449
0,0796
0,1232
0,1749
0,2324
0,2924
0,3592
0,4002
0,4364
0,4502
0,4394
0,4020
0,3424
0,2705
0,2032
0,1582
0,1475
0,1782
0,2391
0,3062
0
0,1004
0,2041
0,3135
0,4309
0,5570
0,6916
0,8318
0,9723
1,1046
1,2182
1,3013
1,3388
1,3249
1,2566
1,1428
1,0038
0,8730
0,7872
0,7679
0,8317
0,9557
1,0918
1,0000
0,8192
0,6717
0,5527
0,4564
0,3791
0,3165
0,2660
0,2252
0,1916
0,1643
0,1429
0,1234
0,1082
0,0949
0,0840
0,0744
0,0669
0,0584
0,0543
0,0493
0,0449
0,0410
1,0000
0,8159
0,6487
0,4833
0,3201
0,1820
0,1114
0,1454
0,2667
0,3710
0,3465
0,2144
0,1713
0,2830
0,3269
0,2046
0,2251
0,3?03
0,2138
0,3466
0,2937
0,2004
0,2023
0,6268
0,5550
0,4574
0,3889
0,3926
0,4675
0,5624
0,6057
0,5616
0,4663
0,4057
0,4385
0,5326
0,5880
0,5419
0,4481
0,4223
0,4984
0,5737
0,5417
0,4494
0,4383
0,5258
1,797129
1,744293
i,6eo296
1,589830
1,593950
1,669782
1,750045
i,~2258
1,749427
1,668665
1,608205
1,641970
1,726401
1,769377
1,733919
1,651375
-1,625621
-1,697578
1,758685
1,733759
1,652633
1,641771
1,720821
0,5525
0,6197
0,6 192
0,5500
0,4529
0,3915
0,4102
0,4963
0,5818
0,5933
0,5193
0,4297
0,4153
0,4923
0,5750
0,5656
0,4752
0,4205
0,4758
0,5632
0,5540
0,4623
0,4342
1,742332
-1,792181
1,791831
1,740363
1,656002
1,592732
1,612996
1,695744
1,764774
1,773274
-1,715418
1,633165
1,618362
1,692230
1,759668
1,752509
1,676876
-1,623766
1,677424
-1,750663
1,743510
1,664924
1,637690
0,3491
0,3460
0,2963
0,2219
0,1796
0,1859
0,2423
0,3066
0,3269
0,2847
0,2171
0,1885
0,2281
0,2941
0,3121
0,2603
0,2021
0,2126
0,2778
0,3053
0,2544
0,2029
0,2325
Tabelle I (Fortsetzung).
1,1793
1,1747
1,0766
0,9389
0,8455
0,8590
0,9726
1,1020
1,1434
1,0596
0,9250
0,8682
0,9479
1,0803
1,1169
1,0137
0,8975
0,9189
1,0495
1,1049
1,0034
0,9006
0,9600
0,0377
0,0347
0,0320
0,0297
0,0275
0,0257
0,0239
0,0224
0,0210
0,0197
0,0185
0,0174
0,0165
0,0156
0,0147
0,0140
0,0133
0,0126
0,0120
0,0115
0,0110
0,0105
0,0100
0,2780
0,2628
0,2236
0,2363
0,2708
0,2759
0,2531
0,2107
0,2869
0,2206
0,2840
0,2161
0,2908
0,2135
0,2782
0,2476
0,2282
0,2851
0,2377
0,2284
CQ
E."
*
3
rc
R
9
c
3
QJ
CD
0,5672
0,4914
0,4338
0,5002
0,5636
0,4987
0,4389
0,5078
0,5573
0,4784
0,4517
0,5385
0,5298
0,4484
0,4995
0,5495
0,4676
0,4760
0,5496
0,4816
0,4690
0,5467
0,4831
c (4
1,753736
1,691435
-1,637290
1,699144
1,750971
-1,697839
-1,642366
1,705693
1,746089
1,679791
1,654850
1,731186
1,724112
1,651666
1,698535
1,739968
1,669875
1,677607
1,740047
1,682686
1,671173
-1,737749
1,684037
0,5162
0,5669
0,4968
0,4351
0,4992
0,5624
0,4969
0,4404
0,5140
0,5537
0,4700
0,4595
0,5461
0,5163
0,4469
0,5165
0,5398
0,4555
0,4965
0,5454
0,4631
0,4915
0,5436
S(4
1,712818
1,753506
1,696182
1,638589
1,698275
i,750045
1,696269
1,643847
1,710963
1,743275
1,672098
1,662286
1,737272
-1,712902
1,650210
1,713070
1,732233
1,658488
1,695919
1,736715
1,665675
-1,619524
1,735279
0,2941
0,2814
0,2175
0,2198
0,2834
0,2825
0,2198
0,2260
0,2874
0,2677
0,2125
0,2506
0,2894
0,2338
0,2246
0,2844
0,2550
0,2170
0,2743
0,2647
0,2172
0,2702
0,2644
T a b e l l e I (Fortsetzung).
1,0834
1,0583
0,9306
0,9353
1,0628
1,0611
0,9358
0,9482
1,0713
1,0321
0,9217
0,9980
1,0759
0,9647
0,9464
1,0660
1,0074
0,9315
1,0461
1,0270
0,9321
1,0382
1,0267
0,0096
91
88
84
81
78
75
72
70
67
65
64
60
58
56
54
53
51
49
48
46
45
44
EUl
u
-1,736795
1,675137
1,689042
1,731830
1,662852
1,712650
1,712313
1,665393
1,731991
1,677607
-1,698796
1,718336
-1,666331
-1,730621
1,672929
1,711132
1,675045
0,4624
0,4997
0,5360
0,4572
0,5199
0,5161
0,4607
0,5389
0,4820
0,4896
0,5323
0,4602
0,5320
0,4859
0,4932
0,5243
0,4653
1,698709
1,729165
1,660106
1,715920
1,712734
-1,663418
1,731508
1,683047
1,689841
1,726156
1,662947
1,725912
1,686547
1,693023
1,719580
1,667733
1,66501 8
0,2189
0,2736
0,2557
0,2239
0,2806
0,2390
0,2393
0,2781
0,2232
0,2654
0,2550
0,2308
0,2781
0,2256
0,2662
0,2483
0,2405
0,9356
1,0452
1,0093
0,9459
1,0592
0,9762
0,9767
1,0545
0,9448
1,0291
1,0083
0,9600
1,0548
0,9497
1,0310
0,9952
0,9795
0,0043
41
40
39
39
37
36
35
34
33
32
32
31
30
29
29
28
S ( U )= 0,5
C(u) = 0,5
1
n
- __
COBnu
2
~
u2
-
~
d u 8
1
2
7l
sin - up.
n
n
1
+ n1u sin u2 - -cos - u2,
2
d U S
2
Anmerkung. Die Werte der Fresnelschen Integrale fur die Argumente von 5,O bis 8,5 wurden berechnet Iaut:
0,4732
0,5455
0,4733
0,4887
0,5393
0,4601
0,5160
0,5156
0,4628
0,5395
0,4760
0,4998
0,5228
0,4638
0,5378
0,4709
0,5142
Log s (4
T a b e l l e I (Fortsetznng).
00
CD
00
Diffraktwn und Reflexion.
899
Auf Grund der Tab. I wurden die Energien berechnet
fur drei Falle
(1)
m = 0,5; m = 1,5; m = 3,0,
wobei als Argument q betrachtet wurde, denn bei gegebenem
R, I , g und s ist m konstant und 6' nur eine Funktion yon p,
bez. yon d.
Die Resultate der Rechnung sind in den Tabb. 11, IT1
und IQ niedergelegt.
-~
0,O
0,3
0,5
0,6
0,9
1,2
1,5
1,8
2,O
2,l
2,2
'L,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
0,3791
0,2816
0,1820
0,1628
0,4162
1,0863
1,3455
1,1547
1,0693
1,0641
1,0087
0,8101
0,7483
0,8340
1,0561
1,2793
1,3313
1,1523
0,8750
0,7471
0,8606
1,0871
1,1917
1,0998
0,9580
0,9231
0,9682
0,9881
0,9973
1,0598
1,0855
0,9662
0,8613
0,9952
'
4,7
4,s
4,9
5,O
5,l
5,2
5,3
5,4
5,5
5,6
5,7
5,8
5,9
6,O
6,l
6,2
6,3
1,1767
1,0634
0,8377
0,9361
1,1695
1,0732
0,8606
0,9753
1,1198
1,0037
0,9297
1,0174
1,0258
1,0051
0,9898
0,9604
1,0502
6,4
6,5
6,6
6,7
6,8
6,9
7,O
7,l
7,2
7,3
7,4
7,5
7,6
7,7
7,8
7,9
8,O
1,0289
0,9036
1,0599
0,9651
0,8764
1,0741
1,0545
0,8815
1,0969
1,0006
0,9298
1,0870
0,9557
0,9969
1,0285
0,9810
0,9973
T a b e l l e 111.
(m= 1,5.)
_~
%'
0,l
0,2
0,3
0,4
0,0660
0,0284
0,0061
0,0167
0,0598
0,1099
0,1081
0,0790
0,0356
0,3535
0,6307
0,6651
w.v. rgnatowsjiy.
900
Tabelle 111 (Fortsetzung).
C'
QE'
_
__
___
0,6713
0,6842
0,8030
1,0537
1,2764
1,3391
1,2720
1,2508
1,3481
1,3929
1,2207
0,9482
0,8288
2,O
2,l
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3,O
3,1
3,2
P
0,O
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,E
0,9
1,0
1,l
1,2
1,3
I
0,8657
0,8401
0,7838
0,9158
1,1764
1,2446
1,1091
1,0468
1,0174
0,8582
0,7969
1,0200
1,1627
1,0796
1,0536
0,9980
0,8306
0,9307
1,1558
1,0821
0,9878
0,9633
0,8779
1,0471
1,1660
0,9488
5,9
6,O
6,l
6,2
6,3
6,4
6,5
6,6
6,7
6,s
6,9
7,O
0,9261
0,9848
1,0305
1,1174
0,9071
0,8705
1,1056
1,0070
0,9865
0,9191
1,0799
1,0572
0,1376
0,2187
0,2782
0,2687
0,3760
0,4950
0,5037
0,6455
0,8279
0,8500
' 0,9776
1,2281
1,2023
1,3346
4,2
4,3
4,4
4,5
4,6
4,7
4,s
4,9
5,O
5,l
5,2
5,3
5,4
5,5
1,4324
1,2845
1,3034
1,1967
0,9427
0,9400
0,7795
0,7756
0,8786
0,3150
1,1574
1,1540
1,1875
1,1106
@'
0,0224
0,0077
0,0021
0,0207
0,0102
0,0007
0,0165
0,0223
0,0038
0,0214
0,0280
0,0119
0,0075
0,0307
0,0244
0,0091
0,0321
0,0406
0,0173
0,0356
0,0610
0,0485
0,0453
0,0892
0,0800
0,0731
0,1347
0,1517
2,s
2,9
3,O
3,l
3,2
3,5
3,4
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9
4,O
4,1
Biffraktion und Repexion.
901
Zur besseren Ubersicht sind diese Tabellen auch graphisch
dargestellt (Fig. 2).
Y
6
m
R-lOm
s-125m.
Die MaBstabe der Kurven I und I1 sind gleich. Die
Linie OX' d.ient als Abszisse fiir die Kurve I. Auf den
Abszissen wurden die Werte von q aufgetragen und auf den
Ordinaten diejenigen der Intensitaten, in demselben MaBstabe.
Deshalb stellen die Qeraden Ox' bez. a h die Intensitat des
einfallenden Lichtes dar, bei Abwesenheit des reflektierenden
Drahtes. Die Zahlen auf den Abszissen bedeuten die Werte
von q m = 2 g dlil R. Was die Kurve I11 anbetrifft, so gilt
das eben Gesagte auch fiir sie, nur daB der Magstab. der
Intensifat bei ihr doppelt so grog ist, als derjenige von q
Die Kurven I, I1 und 111 stellen demnach die Intensitat des
durchgehenden Lichtes dar bei variablem d auf der einen
!K v. Ijnatowsky.
902
Seite der X-Achse. Auf der anderen Seite wird die Verteilung
der Intensitat dieselbe sein, da der Vorgang um die X-Ache
symrnetrisch ist.
Die Tabb. 11, 111 und IV und demnach auch die entsprechenden Kurven sind giiltig fur beliebige R, il, j und s,
solange nur (1) erfullt bleibt. Um bestimmte Falle herauszugreifen, haben wir folgende Werte fur diese GroBen angenommen :
p
1,5
11
3,o
11
250,o
10,o
,,
1,
19
,,
43,5 cm
12570
1)
Alle drei Falle wurden praktisch realisiert, wobei bei
Nr. 1 zwischen Spalt und Draht ein Objektiv (F=250mm)
eingeschaltet wurde, in dessen Brennebene sich der Spalt befand. Dadurch wurde praktisch s auf 00 gebracht. Es wurde
mit der Lupe beobachtet und auch photographische Aufnahmen gemacht, wo mit Genuge die Ubereinstirnrnung der
Theorie und Praxis bestatigt wurde.
Was Nr. 3 anbelangt, so sei nebenbei bemerkt, da6 er
mit dem von V e r d e t ') angegebenen Beispiel ubereinstimmt.
Nach Ve r d e t sollen im geometrischen Schatten 1 7 Streifen
zu erwarten sein. Die Kurve 111 und die Beobachtung bestatigen dies.
Betrachten wir die Kurven niiher, so sehen wir, dab im
geometrischen Schatten fur diejenigen Werte von d, welche
sich aus (7) § 5 berechnen, Maxima der Energie entsprechen,
wahrend auberhalb des geometrischen Schattens fur diese
Werte von d sowohl Maxima wie Minima, als auch Inflexionswerte der Energie auftreten konnen. AuBerdem bemerkt man,
daB auBerhalb des Schattens die Energie standig urn den
Wert 1 mit abnehmender Amplitude oszilliert.
Man kann auch die Werte von @' mit Hilfe der C o r n u schen Spirale graphisch ermitteln. Und zwar ist bekanntlich
1) E. V e r d e t , Vorlesungen uber die Wellentheorie des Lichtes 1.
p. 264. Braunschweig, V i e w e g & Sohn.
903
Biffraktion und Repexion.
M a + N a gleich dem Quadrate der Entfernung der Punkte
und n = - m - - p
der Spirale. Was die Summe
N + N anbetrifft, 80 ist dieselbe, wie dies leicht zu beweisen
ist, nichts anderes a h die Projektion obiger Entfernung auf die
Verbindungslinie zwischen den beiden asymptotiscben Punkten
der Spirale, falls man hierbei als Langeneinheit die Halfte
obiger Verbindungslinie annimmt.
Wir wollen die Anzahl der Maximas bez. der Streifen im
geometrischen Schatten bestimmen. Bezeichnen wir durch v
die groBte ganze Zahl, welche noch im ma enthalten istl) un-d
die Anzahl der Streifen durch w, so ist
to = 2 9 + 1,
(2)
was leicht aus (7)und (10) 9 5 zu ersehen ist.
Zum SchluB miichten wir noch bemerken, daB die Werte
von a,,' der Tab. I, welche aus (12) 8 5 berechnet sind, mit
griitierer Annaherung den Tatsachen entsprechen werden als
die anderen Werte von QE'. Denn bei a,' ist d = E = 0 und
folglich fallen die Glieder, welche von E abhangen, in (8a) 6 4
von selber weg, auBerdem ist in (4)8 5
r1--s--R=O
und P = O .
u=m--p
'
9 7.
Zusammenfassung.
Wir haben aus dem allgemeinen Integral (1) 8 1 die
Ausdrucke (9) und (10) 0 2 abgeleitet, welche allgemein gultig
sind fur alle Falle, die bei den Voraussetzungen 1 bis 5 8 2
miiglich sind.
Durch eingehende Diskussion der Reflexion an einer Ebene
kamen wir zu Annahmen, welche uns weitere Losungen ermoglichten. Die Ableitung des Integrals (9) 8 3 bestatigt die
Richtigkeit des allgemeinen Integrals (1) 5 1.
Die Resultate der Berechnung des 8 6 bestatigen die
Ubereinstimmung der Theorie mit dem Experiment. Wie bei
der Fresnelschen Theorie, so auch hier ergeben sich die
Werte fur d , fur die Lagen der Maxima im geometrischen
Schatten, aleich
1) 1st m B selbst eine ganze Zahl, so ist in (2) statt
wie z. B. bei Nr 3.
Y,
v-1
zu setzen,
904
W. v . Zgnatowsky.
Diffrnktion und Reflexion.
wo n eine ganze Zahl ist. Nur sind unsere Resultate eine
konsequente Ableitung aus der Maxwellschen Theorie, was
der Hauptzweck dieser Arbeit war.
Weiter ist in 8 4 auf den obergang von der Maxwellschen Theorje zu den Begriffen der geometrischen Optik hingewiesen, und zwar fur allgemeinere Falle, als derjenige der
Reflexion an einem Draht.
Zum SchluB mochte ich noch der Firma E. L e i t z in
Wetzlar meinen besten Dank fur ihr gutiges Entgegenkommen
bei der Ausfuhrung des experimentellen Teiles dieser Arbeit
aussprechen.
W e t z l a r , den 24. Juli 1907.
(Eingegangen 25. Juli 1907.)
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