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Diffuse Strahlung dielektrischer Kugeln im Grenzfalle da Kugelmaterial und umgebendes Medium fast gleiche Brechungsindices haben.

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157
2. Bffuse Strahlumg dielekt&scher E u g e h 4rn
Gremfalle, d a p Kugelmaterial ulzd zcrngebmdes
NLed4urn fast gleiche Brechulzgshd$ces habtm;
VOM G. Jobst.
Unter diffuser Strahlung einer Kugel veretehen wir den
Anteil des Lichtes, der durch die Kugel aus der Einfallsrichtung durch Bengung, Brechung oder Reflexion abgelenkt
wird; das einfallende Licht ist parallel.
Aus der Yaxwellschen Theorie IaBt sich fur Kugeln beliebiger GrbBe und Materials der allgemeinste Ausdruck fur
diese diffuse Strahlung zwar berechnen, nicht aber wegen der
Kompliziertheit der Lbsungen diskutieren. Man ist daher auf
die Diskussion von Spezialfallen angewiesen; in folgendem
beabsichtigen wir eine Qegenaberstellung dreier charakteristischer Falle, bei denen Kugeln und auBeres Material stets als
vbllig nichtleitend vorausgesetzt werden. Wir untersuchen
a) die Rayleighsche Strahlung (sehr kleine Kugeln),
wenn 8uBerer und innerer Brechungsindex fast
gleich sind,
b) groBe Kugeln im gleichen Falle,
c) den Schattenfall.
Bezeichnungen.
R = WellenIange des einfallenden Lichtes,
w = Kreisfrequenz,
c = Lichtgeschwindigkeit,
Ha= Brechungsindex des umgebenden Mediums,
iVj = Brechungsindex der Kugel,
s = xi N.,
a = Kugeldurchmesser,
-
2na
R2
A '
%e(z) = Reeller Teil von
Q=-
c
'
2.
1‘68
CT. Jobst.
Den Ausgangspunkt unserer Untersuchungen bildet die auf
Grund der Maxw ellschen Theorie berechnete Formel fur die
diffuse Strahlung einer Kugel, auf welche paralleles Licht
auffallt,
1
wobei sich die unl,. an2 auch darstellen lassen durch
mit
Hierbei sind:
Vn
(21,
xa
Zylinderfunktionen,
(XI’
5n
5’,
9%‘
(3)’ Xn‘
(XI
(3)
deren Ableitungen, und zwar
=
j/:
*
zi +
I/*
(2)9
im wesentlichen Besselsche und Hankelsche Funktionen mit
halbzahligem Index. Ihre hauptdchlichsten, fur uns in Betracht kommenden Eigenschaften, insbesondere ihre semikonvergenten Entwicklungen werden wir im folgenden noch kennenlernen.
Diffuse Strahlung dielektrischer Kugeln usw.
159
Die drei von uns in Betracht zu ziehenden Spezialfalle
a, b, c unterscheiden sich mathematisch wio folgt :
a)
gE<gglJ
e N , < 1, e q < 1,
b)
ee<l<g,
c)
1<g&<g.
2na
Im Falle a) ist das Verhaltnis g = I
klein gegen 1; das
resultierende Gesetz ist das Rayleighsche I-' Gesetz. Im
2na
Falle b) ist p = groS gegen 1, das Produkt g ( q . - N,)
I
aber immer noch klein gegen 1 wegen des vorausgesetzten sehr
kleinen Wertes von & - a,. Das hier giiltige Strahlungsgesetz konnte als zur geometrischen Optik gehijrig angesehen
werden ; wir werden aber sehen, daB die Beugung eine wesentliche Rolle spielt, wie aus der Abhhngigkeit der Endformel
von I hervorgeht.
I m Falle c) ist sowohl g als auch g groB gegen 1. Hier
liegt der Fall vor, daS alles auf die Kugel auffallende Licht
zerstreut wird durch Reflexion und Brechung. Dieser letzte
Fall ist physikalisch an sich trivial. E r ist angefuhrt, weil
die Rechnung, die wir hier benbtigen, auch fur den Fall b)
gilt und mit groBer Scharfe die Grenzen der Gultigkeit beider
Gesetze erkennen 1aBt.
Der Fall a) ist in der iilteren und neueren Literatur
mehrfach behandelt worden, insbesondere zusammenhiingend
mit weiterreichenden Fragen in einer Arbeit von Miel), und
im Zusammenhang mit dem Lichtdruck auf Kugeln von Deb ye
Wir stellen hier kurz die Resultate zusammen:
Pall u). In der Summe fur D beriicksichtigen wir nur
das erste Glied, da die weiteren Glieder Beitrage von der
GrbSenordnung (g
usw. liefern (siehe Deb ye, a. a. O.,
S. 104). Wir erhalten fur
g 2 a
0
1) G. Mie, Beitriige ZUP Optik triiber Medien.
Ann. d. Phps.
4. 25.
2) P. Debye, Der Lichtdruck auf Kugeln. Ann. d. Phpa. 4. 30.
G. Jobst.
160
0,
mit der hier in Betracht kommenden Genauigkeit.
Da ferner a': < < 1 ist, so wird
an2=
(4
.Fall c). Auch im Falle c) konnen wir mehr oder weniger
auf die Ausfuhrungen von Debye (a. a. O., S. 124-126) verweisen. Auf Grund der dortigen Uberlegungen lassen sich
unsere Koeffizienten An1, An2 folgendermaBen darstellen:
1 < n < pNa.
Fur n > p Nu nehmen die Koeffizienten An1, An2 andere
Formen an. Ihrem Betrag nach verschwinden sie exponentiell gegen die Koeffizienten An1, An2 im Falle n < pNa. Somit wird aus der unendlichen Summe
m
die endliche
161
Diffuse Strahlung clielektrischer xugeln usw.
wobei definiert ist
To =
cos
12
+ 4-
O<rU<+
--
Na
1; = sin z0- rocos to
hTisin T~
r1 = Ni sin T,,
9.
2
- Na sin 7,
+ h7asiu tl < 1 ,
=---N, sin T~ - Ni sin
N,,sin I" + iVi sin 7,
< 1.
Bei der Summation uber n wird der Ausdruck e2i(eiVafo-eATifJ
wegen der Voraussetzung e (Na N;.) 1, also auch g N,fo p Ni f i
1, stark zwischen positiven und negativen Werten
schwanken und, da der Faktor in der eckigen Klammer nicht
sehr von 2 verschieden ist, zu der in erster Naherang in g N,
quadratischen Summe keinen Beitrag liefern, in welchem der
Exponent von g N , hbher als zweiter Ordnung ist.
Wir erhalten also
- >
>
(c)
B =n
I:,=
e2Na2 =
A
Na2A2.
(2 ZIP
( 2;)2u:,A7u2 =
~
7
!c
us.
Full a). In diesem Falle sind die Uberlegungen, welche
zur Vernachlassigung der oszillierenden Bestandteile im Falle c)
fiihrten, nicht mehr anwendbar. Denn fur e a Q 1 whd auch
g N a f , - g 4 f ; < 1 und gibt zum Gesamtwert einen nicht zu
vernachlassigenden Beitrag. Der Fall b) zwingt uns einerseits
wegen der GraBe der Einzelargumente g N , > 1 , g Ni7 1
unserer Funktionen v,, yn',x,, x,,' zur Verwendung der Debyeschen Ent wickluogen der Zylinderfunktionen. Die iiblichen,
im Falle a) benutzten Ausdrucke sind hier nicht brauchbar.l)
Andererseits fuhrt aber die Tatsache, daB die Zahler unserer
GriiBen gnl und
wegen der fur Fall b) gemachten Voraussetzungen quasi d&rential sind, zu einer einfachen Losung.
Wir schreiben
v,.' ce N,)v/ (e N& e Nu% 10 N.1
e
vnl(eA7J
eN4vn(eNi)
vn' (4 h")
$*' =
X
/
(e
nrar
v
n
CQ
N
a)
+ 61
N a
X n (e N a ) q/ (e
{
{
}
1
1 ) G. Job s t , Zur Farbentheorie kolloidaler Metallsuspensionen.
Ann. d. Phys. 76. S. 867. 1925.
Annalen der Phy&.
IV. Folge. 78.
11
a1 = e 8
(x, (e N,) v,,"(e Na)- x,,' (0 x,)7 ~ ;(e N,))
-
EX'^ (e fl,) 9, (Q flJ ,
wobei der Nachweis lcicht erbracht ist, dab der in der geschweiften Klammer des Nenners stehende Ausdruck gleich l
und 6l wegen des vorausgesetzten kleinen Weites von E gegen
N,. 1 zu vernachliissigen ist. Es ist namlich x, (x) und 1pll (I)
je eine Partikularlosung der Differentialgleichung
q:: (2)
+ (1 -
12. (12
+ 1) ) qn(4 = 0,
-___0%
also
x, (z)yn'(x) - 7pn(x)x,&'(3) = constans,
wobei die Konstante bei der speziellen Wahl von x , ( x ) und
?pn(x) den Wert 1 hat. Dann-aber wird:
- (4NJv,,Ce i ~ i~) 2 (e' N,I
q9:(e NJY
--
1
und da das erste Glied in der geschweiften Klammer gegen
die folgenden mit dem Faktor e multiplicierten wegen g 1
vernachllssigt werden kann, wird
'% = Nu Ie 3,)fw,' (e 3,)'- v?,
(c' Nu) (g N,)l
mit
d(@J = - 4)
xhnlich wird
%
= 3i (Q Nil f ~ n " ( e Y n (PNil - V n I 2 (Q flJ1
oder, .da
>
vn''
N)
O ( g f l i )=
ist, so wird
%l=
'%'
= Nu
- d ( e f l , )= e(N -
e (Nu- 4)I
(eN ) - w, (e XI w,,"(eX)1
e > 1 statt
Die bei D e b y e gefuhrten Beweise, daB im Falle
der unendlichen Summe
+ sez(2n+
oc
D
=
1
die endliche
1 ) ( ~ , 1 +~ , & a )
Diffuse iStrahhng dielektrischer Kugein ustu.
163
tritt, sind auch hier wie im Fall c) heranzuziehen. So ergibt
sich also
oder da
Es isb' aber nach der Differentialgleichung fiir y n ( p N u )
und nach den Debyeschen Entwicklungen
llf
164
G. Jobst.
da
sin z0d r,, =
1
-e NQ
ist. Damit nimmt D den Wert an:
n
-
B =4
5 (N,
2
.9)4
a
( ( ~-i ~ ~ 2 ) l c7,o sin8
s ro d r , ,
0
indem man statt der Summe das Integral schreibt und dadurch Grijf3en hoherer Ordnung vernachlassigt, also
(b)
D
= 2kt
5 (Nu’ p)4 (Nj
- flu)$
Diskussion der Lijsungen.
Wir stellen die drei resultierenden Strablungsgesetze nochmals zusamrnen :
B = - l. 6n a 2 . (“‘;“)“N2.(XU
- 4 ) 2 ,
(4 e 4 g g l
2‘1
(b)
(4
P 6 < 1 g e
~ = n a 2 (*? ) ‘ . I V ~ ( N ~ - . N ~ ) ~ ,
l < e e g
B = maa2.
Es lassen sich also auch im Falle b) groBer Kugeln bei fast
gleichen Brechungsiudices von Kugelmaterirtl und BuBerem
Medium Farbenerscheinungen erwarten, ahnlich dem Ray1 ei gh -
Biffuse Strahlung die2ektri.scher &yeh
usw.
165
schen Falle. Die Beobachtung dieser Erscheinungen und die
experimentelle Bestatigung der Theorie wird durch den Umstand erschwert, da6 die Bedingung N, - Ni= 0 stets nur fur
eine einzige Farbe erfullt ist, da j a N, und 3 ihrerseits
wiederum Funktionen der Wellenlange sind. Hauptsiichlich
auf letzterem Umstande beruhen wohl die schonen Farbenerscheinungen, die man an Strahlungsfiltern beobachtet, wie
sie zuerst von Christiansen') und auch von R a y l e i g h angegeben sind, bei denen feiri zerriebene Steinsalzkristalle in
einer dem Steinsalzbrechungsexponentenangeglichenen Mischung
von Schwefelkohlengtoff und Benzol suspendiert sind. Immerhin spricht die Bevorzugung der blauen Farbe im diffusen
Licht und des Rots im durchgehenden Strahl als experimentell
feststellbare Erscheinung dafur, daS man auch in diesem Fall
unregelma6iger Korper von keineswegs Kugelgestalt mit lihnlichen theoretischen Ergebnissen wie in unserem Falle dcr
Kugeln zu rechnen hat,
Wir haben einen Versuch mit einer Glaskugel (Durchmesser 0,5 cm, Brechungsexponent 1,58) gemacht, die wir
in einer Mischung von Benzol und Schwefelkohlenstoff aufhiingten und erhielten sehr schone farbige Erscheinungen.
Wir beobachteten im durchfallenden weiBen Licht, also denjenigen Anteil, welcher durch Streuung dem auffallenden weif3en
Lichte verloren gegangen war. Waren Ni - Nu noch wesentlich
von Null verschieden, so erschien die Kugel schwarz, lief3 also
keinerlei Licht hindurch, zerstreute vielmehr alles diffus.
Niiherte sich die Differenz Ni - 3, der Null und zwar jeweils
fur eine Farbe (Dispersion), so trat gerade diese Farbe in dsr
Durchsicht auf und die diffuse Strahlung fur diese Farbe war
gleich Null. Ferner war die Bevorzugung der langwelligen
Farbe im durchgehenden Licht, entsprechend dem Faktor 1 /Az
deutlich zu erkennen : Im durchgehenden Licht beobachtet
waren die langwelligen Farben jeweils sehr vie1 kraftiger als
die blau-violette Seite des Spektrums. Immerhin muBte zur
exakten Prufung des in der Formel auftretenden Faktors
1
.
1)
-((Ni
18
- NJ2 mit
8= yl(A), Nu= ys(A)
-
C. Christianson, Wied, Ann. 33. €3.
198 u. 439. 1885.
166
G. Jobst, Diffuse Straitlung dielektrischer Kugeln usw.
eine genaue Intensitiitsmessung der spektralen Anteile erfolgen,
die wir bisher unterlassen haben.
Hr. Prof. G e r l a c h machte mich auf die C h r i s t i a n s e n schen Farbfilter aufmerksam, was mich zu dieser- speziellen
Untersuchung veranla8te. Ihm sowohl, wie meinem hochverehrten Lehrer Hrn. Prof. S o m m e r f e l d , der mich durch
mancherlei Ratschlage auch bei dieaer Arbeit forderte, mochte
ich meinen berzlichsten Dank aussprechen, Auch Hm. Dr.
H a u s s e r , Wernerwerk M. Siemens & Halske, danke ich herzlichst dafur, daI3 er mir in zuvorkommender Weise die Mittel
seines Laboratoriums zur Verfugung stellte.
(Eingegangen am 30. Juni 1925.)
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