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Diffusion eines stark ionisierten thermischen Plasmas im Magnetfeld. 1. Teil Berechnung des Dichteprofils

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G.FncHs : Diffusion eines stark ionisierten thermischen Plasmas im Magnetfeld. I
49
Diffusion eines stark ionisierten thermischen Plasmas
im Magnetfeld. 1. Teil: Berechnung des Dichteprofils
Von G.FUCHS
Mit 7 Abbildungen
Abstract
A thermal Cs-plasma was produced by contact ionization a t the surface of a hot tungsten helix spanned in the axis of a cylindrical glassvessel. The plasma density profile n ( r . 2 )
as function of a magnetic field i n z-direction was measured with a movable LANaMum-probe
a n d compared t o t he calculated profiles. From this comparison we get information about
th e diffusion mechanism; furthermore, the cross-section for collisions of the ions and electrons with t h e neutrals can be calculated.
I n t h e present 1 s t part n(r, z ) is calculated from the diffusion equation. In the calculations collisions of the carriers with t h e neutrals as well as COULOMBcollisions are taken
into acc'ount. This leads t o anonlinear partial boundary value problem. Methods for numerical solution and numerical solutions are given.
1. Ausgangsgleichungen
Um die Plasmadichte in dem zylindersymmetrischen EntladungsgefiiD nach
Abb. 1 zu berechnen, geht man von der BoLTzMAxrNschen Transportgleichung
aus.
Fur den St,oBterm auf der rechten Seite von G1.(1) soll der Einfachheit,
halber
angenommen werden; dabei sind die vordie StoBfrequenzen der in Betracht zu
ziehenden Prozesse, niimlich :
v,i = Elektron-Ion-StoBfrequenz
vie = Ion-Elektron-Stoafrequenz
= Elektron-Neutralteilchen-StoDfrequenz
vin = Ion-Neutralteilchen-StoDfrequenz
Umladende StoBe Cs+ Cs+ Cs Cs; konnen in unserem Fa,llals elastische
StoDe betrachtet und daher unter vin subsummiert werden. Inelastische StoDe
und Rekombinationen konnen in dem von uns spater untersuchten Plasma vernachlassigt werden [I, 21.
+
4
Ann. Physik. 7. Folge, Bd. 20
+
50
dnnalen der Physik
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7. Folge
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Band 26, Heft 1
1971
Ober die Abhangigkeit der StoBfrequenzen vCnund vin von der Geschwindigkeit im Bereich thermischer Geschwindigkeiten liegen nur sehr ungenaue Messungen und stark voneinander abweichende Theorien vor [3, 4, 5, 61 ; aus diesem
Grund werden ver,und vin konstant gesetzt.
I
Abb. 1. PlasmagefaB schematiscli
Daten des Experiments: Emittertemperatur T E = 2360 K . - . 2 5 5 0 K ;
Ciisiumdampfdruck pcs = 2 * lCr3 Torr**.1,6 10k2Torr;
Emitterwendel: u' = Draht 0.6 mm 0,itrendel: p = 3 mni; R = 4,65 em, I
Kand: Glas
=
10 em;
1. Formulierung des Randwertprohlems
G1. (1)und (2) fiihren (vpl. [ i ] )unter der Snnahme isolierender AuBenwiinde
zu der Differentialgleichung
P * D , *Fn = 0.
(3)
Dabei ist D , der ambipolare Diffusionstensor. Vernachlassigt man f iir die
n-eitere Rechnung die Wendelstruktur l ) des Emitters und die Sondenzufiihrung,
(idealisiertes Mcdell vgl. Bbb. 1b) so hangt die Plasmadichte n nicht mehr von
der q-Koordinate ah. Dureh diese Vereinfachung wird die spater fur die numerische Auswertung aufzuwerdende Rechenzeit auf ein ertriigliches Ma13 reduziert. Man erhalt die Differcntialgleichung
-~
l ) Im Magnetfeld ist die Verwendung von Wendeln geboten. da die Elcktronenemission ails Flachen parallel znm Magnetfeld stark behindert ist.
G. FTJCHS:Diffusion eines stark ionisierten thermischen Plasmas im Magnetfeld. I
51
Dabei sind D,I und D,ll die ambipolaren Diffusionskoeffizienten senkrecht
und parallel zum Magnetfeld, namlich
Die Plasmadichte auf der Wand soll zu Null angenommen werden. Das ergibt
die Randbedingung
Die Plasmadichte vor dem Emitter laSt sich nach v. GOLER [l]berechnen.
Eine derartige Rechnung wiirde aber eine wendelformige Abhiingigkeit n ( r , q,z )
geben. Daher haben wir das Model1 idealisiert und setzen auf einer Zylinderfliiche vom Radius r = e (e = Wendelradius) n ( r , p, z ) = const = n, als
,,Randbedingung" am r modell-Emitter". n, konnte grundsiitzlich nach
v. GOLER als Mittelwert
berechnet werden. Wir betrachten es aber als freien Parameter, der spiiter dem
Experiment angepaI3t wird.
I n GI. (7)sollen die StoBfrequenzen venund v i n im ganzen Volumen als konstant angenommen werden. v,i ist dagegen nach [S] und [9] eine Funktion der
Plasmadichte.
mit
3
4ns0kTe
2Ze3
(nn)l/2
A : =--
a
Die Difftrentialgleichung (7) ist wegen Gl. (10) und (11)nichtlinear. Urn sie
in eine Form zu bringen, die fur die spiitere Losung geeignet ist, werden die folgenden GroBen eingefuhrt :
m2.
OB,e w ~ , i
.- -.
'en "'in
A,
4*
:=
A@,).
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Annalen der Phyaik
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7. Folge
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Band 26, Heft 1
Setzt man die Abkurzungen in G1. (7) ein, so erhklt man die Gleichung
1 a
1 + c i i ( 1 6 ~; In fi)/ln A',
-. aii
- + - : O azii
r ar
1 + o2+ cii(1nA', - In fi)/ln A:
a~
3%'
mit den Randbedingungen
6 ( @2), = iiQ = 1,
fi(R,z )
= 6(T,
*
1971
(16)
(17)
f f )= 0.
Eine analytische Losung dieses Randwertproblems ist nur fur einige Spezialfiille moglich. Einer dieser Spezialfalle ist c = 0. Physikalisch bedeutet c M 0
geringen Ionisierungsgrad. Andere Spezialfklle sind physikalisch nicht realisierbar (z.B. c = 00 bedeutet vollstiindige Ionisation). I m Spezialfall c = 0
lautet die Losung
4
i i ( r , z ; c = 0 , ~ =~ - )
7c
x
z--
1 Hi(iayr) Hz(iayR) - H;(iayr) H:(iayR)
a Ht(iaye) Hi(iayR) - H:(iaye) H',(iccyR)
anz
cos -Re
1
(18)
(ia-1).
H1, und HZ sind die HANKEL-Funktionen in der ublichen Indizierung. y ist eine
Abkurzung fur den Ausdruck
Diese Losung (18) ist fur verschiedene Parameterwerte und Orte in Abb. 2
dargestellt .
Um den allgemeinen Fall G1. (16, 17) zu losen, wurde ein Iterat,ionsverfahren
angewendet. I n G1. (16) stort der nichtlineare Term
1
1o-z
1o-L
ti6
lo+
10-10
G. FUCHS
: Diffusion eines stark ionisierten thermischen Plasmas im Magnetfeld. I
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1
lo-*
lo-‘
10’8
10”O
Abb. 3. Berechnete Profile nach dem Iteretionsverfahren c
=
20
+
Aus diesem Grund wird fur den (a 1)-ten Iterationsschritt i n dem Term
(20) der Wert ii aus dem a-ten Iteretionsschritt eingesetzt. Es entsteht eine
Folge von l i n e a r e n Differentialgleichungen (Gl. 21). Die Randbedingungen
sind bei jedem Iterationsschritt die gleichen wie bei G1. (17).
i a
r
r
aii,
ar 1 + 0 2 ar
.... . . . . . .. . . ,
............. .
azii,
+--0.
azz
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Annalen der Physik
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7. Folge
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Band 26, Heft 1
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1971
Die Folge der n, konvergiert sehr schnella) (vgl. Tab. l ) , und man e r h d t eine
Losung der Differentialgleichung ( 16).
Ein anderes mogliches Losungsverfahren besteht derin, die Folge der Differentialgleichungen mit Hilfe der GREENschen Funktion in eine Folge von
Tabelle 1
Iterationsschritt (x
I
I
fia
0,8198229
0,7980206
0,7990327
0,7989538
0,7989595
Integralgleichungen umzuformen. Dabei erhiilt man zuniichst die zur Differentialgleichung ( 16) aquivalente Integralgleichung
G ( r , z ) = $G(r, r', z , z') Q(n(r'
Wobei G die GREENsche Funktion und
-
2'))
dr' dz',
ist. Um die nichtlineare Integralgleichung (22) zu losen, benutzt man die Iteration
= $ GQ(ii,) dr'dz'
(24)
und beginnt fur fi, mit einer Niiherungslosung z.B. nach G1. (18). Der Rechenaufwand bei der numerischen Losung ist nach GI. (21) geringer als nach Gl. (24),
deshalb wurde fur die numerischen Rechnungen das Verfahren nach G1. (21)
benutzt.
3. R'umerisches Losungsverfahren
Fur die numerische Losung ist G1. (21) noch ungeeignet, da sich die gesuchte
Funktion fi in Abhiingigkeit von r (vgl. Abb. 2 u. 3) fur grol3e Werte von w2 urn
viele Zehnerpotenzen andert. Ein kleiner relativer Fehler bei der numerischen
Losung ii(r, z ) bei kleinen Werten von r erzeugt mit dem benutzten Losungsverfahren fur die linearen Differentialgleichungen [lo] [ll] einen groI3en relativen
Fehler bei groI3en r-Werten niimlich dort, wo die Funktionswerte klein sind. '
Diese Schwierigkeit tritt nicht auf, wenn die gesuchte Funktion im betrachteten Interval1 sich nicht so stark iindert; sie liil3t sich durch eine Substitution
beseitigen, sofern eine Niiherungslosung bekannt ist.
Betrachtet man Abb. 2 und Abb. 3, so erkennt man, da13 die Substitution
.
ii ( r , z ) = .f(r, z ) e-v(r-e)
eine schwach Veriinderliche f^ liefert. Setzt man nun in die ,,linearen Terme"
der G1. (21) die Ausdrucke der G1. (25) ein, 1&13taber in den nichtlinearen Ter2) Ein mathematischer Beweis fur die Konvergenz des Verfahrens wurde bisher nicht
erbracht.
G. FUCHS
: Diffusion eines stark ionisierten thermischen Plasmas im Magnetfeld. I
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men i-i stehen, so folgt mit der Abkurzung
+
g( fi) : = 1 c fi(1n A: - In fi)/ln A:
das Iterationsschema
-2-
(26)
x
e-:,(r-e)
+ dfl e-;,(r-o)
a%*
x
e-y(r-e)
+ a2f,e-y(r-e) = -
=-
-
L
a22
..............
..............
(27)
mit den gleichen Randbedingungen wie fur (21).
Jede einzelne der l i n e a r e n Differentialgleichungen (27) wurde nach der
ublichen Methode [lo], [ l l ] (vgl. [12]) gelost. Dabei wird uber das Gebiet, in dem
die Funktion gesucht ist ein Maschennetz gelegt und die Differentialgleichung
durch eine Differenzengleichung ersetzt. Es entsteht eine Folge von linearen
Gleichungssystemen fur die Funktionswerte auf den Gitterpunkten. Jedes
Gleichungssystem wurde mit Hilfe des GAnssschen Eliminationsverfahrens gelost.
Die Genauigkeit der Rechnung hiingt a b
1. von der Maschenweite des Netzes
2. von der Anzahl der Iterationsschritte in G1. (27).
Zu 1.: Die Genauigkeit der numerischen Losung ll13t sich abschltzen, wenn
man annimmt, da13 sie nicht wesentlich vom Parameter c abhiingt. Man vergleicht dazu die aus der Losung des Gleichungssystems gewonnene numerische
Losung fur den Spezialfall c = 0 mit der analytischen Losung G1. (18). Der Ver-
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gleich hat gezeigt, daIj mit, 30 Schritten zwischen r = e und r = R und 20
Schritten zwischen z = - 112 und z = 112 der relative Fehler Vil/ii < 3 10-2
fiir alle Werte von o2ist. Das reicht zum Vergleich mit der Messung &us.
Zu 2. : Da ein Konvergenzbeweis aussteht, wurde die Folge (27) abgebrochen,
a-enn
-
-
1
fa
fa-1
---<
=
10-5
fa
war.
Die Werte iia sind sind fur einen speziellen aber typischen Fall in Tab. 1
angegeben .
4. Ergebnisse der numerischen Auswertung
I n den Abb. 2 bis 7 sind einige typische Ergebnisse der numerischen Rechnung dargestellt. Abb.2 zeigt die Losung G1.(18) (Spezialfall c = 0 d.h.
CouLoMB-Wechselwirkug ist zu vernachlassigen). Die Funktion h(r, z ; c = 0,
w 2 ) ist fur wachsendes w2 monoton fallend. Das gleiche gilt such fur alle
21
11
rlQ
r/Q
Abb. 4. Berechnete Profile nach den Itertltionsverfahren
1
11
+
21
Funktionen h ( r , z ; c, w 2 ) mit c
0, die im Gegensatz zu h(r, z ; c = 0, 02)
nach
dem Iterationsverfahren aus dem Gleichungssystem (21) berechnet wurden.
ii(r, z ; c
0 . 0 3 ) fiillt zuniichst fur wachsendes w2 < 35 stiirker als h(r,z ;
c = 0, 02),
dann aber fur o2> 35 schwiicher als &(r,z ; c = 0, o*)(vgl. dazu
Abb. 2 mit Abb. 3). Dies gilt sofern c einen Wert c der von 02,
r und z abhangt,
nicht iibersteigt: aus GI. (16) folgt, da8
+
h(r, 2 ; c, 09)
4 ii(r,z ;
strebt.
w2
= 0)
fur c + 00
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G .FUCHS:
Diffusion eines stark ionisierten thermischen Plasmas im Nagnetfeld. I
1
1 o-2
1 O*&
106
10-8
1 0%
''
1
21
21
rle
'10 ___)
Abb. 5. Berechnete Profile nach dem Iterationsverfahren 09 = 300
Abb. 4 zeigt die Abhlingigkeit der Losung vom Parameter In A:. Diese Abhiingigkeit ist, soweit numerisch berechnet, schwach, dies gilt besonders fur
kleine Werte von ma.
I n Abb. 5 bis 7 ist die Abhiingigkeit der Losung vom Parameter c dargestellt.
Fur wa > 35 ist G(r, z ; c, w 2 )in c monoton wachsend (Abb.5, 6)) fiir ma < 3 5
hingegen ist G(T, z; c, ma), sofern c < C ist, monoton fallend in c (Abb. 7). Fur
ma
35 und c < C hlingt S(r, z ; c, 09)nur schwach von c ab. Die logarithmi1 %
sche Steigerung
hlingt fiir wa > 35 und und r / e > 10 nur schwach von c
ab (vgl. Abb. 5 und 6). Dies gilt nicht fur w2 < 35 (vgl. Abb. 7).
N
h
n
1
1
10-1
10''
1 0"
lo+
1 o-'
lo-'
1 dL
lo-'
1o - ~
10'~
-
21
11
'19
.r/e
Abb. 6. Berechnete Profile nach dem Iterationsverfahren w 2 = 100
1
11
21
10-L
58
T
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1
lo-'
to-'
1o-2
1o-2
h
n
1o - ~
..
-
\ I
I
I
1
11
21
lo-'
'10
'lo I
Abb. 5 . Berechnete Profile nach dem Iterationsverfahren w2 = 6
Litersturverzeichnis
v. GOLER,~.,Ann. Phys. 16 (1965) 321.
KNECHTLI,R.C.,u. J.Y. WADA,Phys. Rev. Letters 6 (1961) 215.
POPESCW,~.,
u. D.POPESCU,Ann. Phys. 19, (1968) 50.
SAUL,K. G., Dissertation Bonn (1969).
[5] DOUCET,H.
J., D. GRESILLON,
J. VERMONTu. A. WEIL,Int. Conf. on Phys. of Quiescent
Plasmas Paris (1969) Proc. I11 17.
161 FucHs,G., Z. Physik 237 (1970) 427.
[7] GoLANT,V.E.,Uspekhi Fizioheskikh Nauk 79 (1963) 377. Sov. Phys. Uspekhi 6 (1963)
161.
[8] SPITZER,L.,u. R.HARM,Phys. Rev. 89 (1953) 977.
[9] SHKAROFSKY,
I.P., e t al., ,,The Particle Kinetics of Plasma" Addison Wesley Publ.
Comp. London (1966) p. 258.
1101 SMITH,G. D., ,,Numerical Solution of Partial Differential Equations". Oxford Math.
Handbooks, Oxford Univ. Press (1965) p. 131-173.
[ll] COLLATZ,
L., ,,The Numerical Treatment of Differential Equations" Springer, Berlin
(1959).
1121 HEISEN,A.,u. B.WUNDERER,
Z. Physik 224 (1969) 237.
[l]
[2]
[3]
(41
Bei der Redaktion eingegangen am 6. Juli 1970.
Anschr. d. Verf. : Dr. G. FUCHS
Physikalisches Institut der UniversitLt Marburg,
356 Marburg/L. Renthof 5
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